不定积分的概念
不定积分的概念与性质
式
任 意 常 数
例1 求 3x2dx 解: ( x3 ) 3x2 3x2dx x3 C
例2 求 cos xdx
解: (sin x) cos x cos xdx sin x C
例3
求
1dx x
解:
ln x 1
x
1dx x
ln
dx sin 2
x
csc2
xdx
cot
x
C
(10) sec x tan xdx sec x C (11) csc x cot xdx csc x C (12) e xdx e x C (13) a xdx a x C
ln a
例5
求
1 x4
结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的。
3. 设 k1 , k2 为非零常数
k1 f1( x) k2 f2( x)dx k1 f1( x)dx k2 f2( x)dx
三、基本积分表1
(1) kdx kx C(k是常数)
(2) xdx x1 C( 1)
第四节 不定积分的概念与性质
一 不定积分的概念 二 不定积分的性质 三 基本积分表
一、不定积分的概念
定义 在区间 I 内，函数f ( x)的带有任意常
数项的原函数，称为 f ( x)在区间I 内
的不定积分，记为 f ( x)dx
f ( x)dx F( x) C
积 分 号
被积 积分 表变 达量
例9 解：
求
2x2 1 dx x2( x2 1)
x22 (xx2211)dx
不定积分的通俗理解
不定积分的通俗理解不定积分是高等数学中的一个重要概念，它在微积分学中有着广泛的应用。
不定积分的概念很容易理解，但是对于初学者来说，如何正确地理解和应用它却是一项挑战。
在这篇文章中，我们将讨论如何用通俗易懂的语言来理解不定积分的概念。
不定积分是什么？在微积分中，不定积分是指求某个函数的原函数。
我们可以把原函数看作是一种反导数的过程，即通过求导数的逆运算来得到原函数。
如果一个函数f(x)的导数是F(x)，那么F(x)就是f(x)的原函数。
不定积分的符号表示为∫f(x)dx，其中f(x)是被积函数，dx表示积分变量。
不定积分的结果通常用一个带有常数项的函数表示。
例如，如果f(x)=2x，那么∫f(x)dx=x+C，其中C是任意常数。
如何求不定积分？要求一个函数的原函数，我们可以通过积分的方法来实现。
具体来说，我们需要找到一个函数F(x)，使得它的导数恰好等于被积函数f(x)。
例如，如果f(x)=2x，那么我们可以令F(x)=x，求导得到F'(x)=2x，恰好等于f(x)。
因此，我们可以得到不定积分∫f(x)dx=x+C，其中C 是任意常数。
需要注意的是，有些函数没有原函数。
例如，f(x)=1/x就不是一个可积的函数，因为它的积分结果在x=0处是无限大的。
此外，对于某些复杂的函数，求得它的原函数可能是非常困难的，甚至无法用初等函数表示。
如何应用不定积分？不定积分在微积分中应用广泛，可以用来解决各种实际问题。
例如，我们可以通过不定积分来计算曲线下面积、求出物体的体积、计算弧长等。
此外，不定积分还可以用于求解微分方程。
微分方程是描述自然现象和物理过程的数学模型，通过求解微分方程的解，我们可以得到这些现象和过程的数学描述。
不定积分在这一过程中扮演着重要的角色，因为我们需要通过不定积分来求解微分方程的通解。
结语不定积分是微积分学中的重要概念，它可以用于解决各种实际问题，也是求解微分方程的关键工具之一。
理解不定积分的概念并正确应用它，对于学习微积分和应用数学都是非常重要的。
不定积分的概念和计算方法
不定积分的概念和计算方法不定积分是微积分中的一个重要概念，用于求解函数的原函数。
在这篇文章中，我们将讨论不定积分的定义、性质以及常见的计算方法。
一、不定积分的定义不定积分是求解函数的原函数的过程。
设函数f(x)在区间[a, b]上可积，F(x)是函数f(x)在区间[a, b]上的一个原函数。
则称函数F(x)在[a, b]上的不定积分为∫f(x)dx = F(x) + C，其中C为常数，称为积分常数。
不定积分的定义告诉我们，不定积分的结果是一个函数，它是原函数F(x)和一个常数C的和。
这个常数C的取值是不确定的，因此称之为积分常数。
二、不定积分的性质1. 线性性质：若f(x)和g(x)在区间[a, b]上可积，k为常数，则有∫[kf(x) + g(x)]dx = k∫f(x)dx + ∫g(x)dx。
这个性质说明不定积分具有线性运算的特点。
2. 反向性质：若F(x)是f(x)的一个原函数，则F(x) + C也是f(x)的原函数，其中C为常数。
这个性质告诉我们，不定积分具有反向运算的特点。
3. 初等函数性质：初等函数的导函数可以通过不定积分求得。
例如，导函数为常数函数的函数，在不定积分中可以得到一个线性函数。
三、不定积分的计算方法计算不定积分的方法有很多种，下面介绍一些常见的方法：1. 基本积分法：根据导函数与原函数的关系，可以求出一些基本函数的不定积分。
例如，∫x^n dx = 1/(n+1)x^(n+1) + C，其中n为非负整数。
2. 分部积分法：对于乘积函数的不定积分，可以通过分部积分法进行求解。
分部积分法的公式为∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx，其中u(x)和v(x)为可导函数。
3. 代换法：对于一些复杂的函数，可以通过代换法进行不定积分的计算。
代换法的基本思想是用一个变量替换原函数中的某一部分，使得原函数的形式变得简单，然后再进行不定积分的计算。
微积分中的不定积分
微积分中的不定积分微积分是数学中非常基础而重要的学科，它研究的是变量的变化，包括极限、微分、积分等。
其中不定积分是微积分中的重要概念之一。
一、不定积分是什么？不定积分是指求导的反运算，也就是对函数进行积分。
对于函数f(x)，其不定积分可以用∫f(x)dx表示。
其含义为求解f(x)的一个原函数。
通俗来说，原函数指的是导数为f(x)的函数。
二、不定积分的基本公式不定积分包括基本不定积分和常用不定积分两类。
基本不定积分是指简单的函数积分，常用不定积分是指需用到一些公式的函数积分。
下面来介绍一下基本不定积分和常用不定积分。
1. 基本不定积分(1) ∫kdx=kx+C其中，k为常数，C为任意常数。
(2) ∫xndx=1/(n+1) x(n+1) +C例子：∫x^2dx=x^3/3+C(3) ∫e^xdx=e^x+C例子：∫e^xdx=e^x+C(4) ∫sinxdx=-cosx+C例子：∫sinxdx=-cosx+C(5) ∫cosxdx=sinx+C例子：∫cosxdx=sinx+C(6) ∫1/x dx=ln|x|+C，(x ≠ 0)例子：∫1/x dx=ln|x|+C(7) ∫sec^2xdx=tanx+C例子：∫sec^2xdx=tanx+C2. 常用不定积分(1) ∫sinhx dx=coshx+C(2) ∫coshx dx=sinhx+C(3) ∫secxdx=ln |secx+tanx|+C(4) ∫cscxdx=-ln|cscx+cotx|+C(5) ∫sec^3xdx=1/2·secx·tanx+1/2·ln|secx+tanx|+C(6) ∫csc^3xdx=-1/2·cscx·cotx-1/2·ln |cscx+cotx|+C三、不定积分的计算计算不定积分需要根据不定积分的基本公式和常用不定积分的公式进行运算。
运算时需要注意的一些事项如下：1. 常数项的处理：不定积分中的常数项可以被省略，即∫f(x)dx 和∫f(x)dx+C的计算结果是一样的。
不定积分的基本概念与性质
不定积分的基本概念与性质不定积分是微积分中的重要概念之一，它具有广泛的应用领域。
本文将介绍不定积分的基本概念与性质，帮助读者更好地理解和应用不定积分。
一、不定积分的基本概念不定积分，也称为算术积分，是微积分的基本概念之一。
它是函数求导的逆运算。
给定一个函数f(x)，如果存在函数F(x)，使得F'(x) = f(x)，那么F(x)就是f(x)的一个不定积分，记作∫f(x)dx。
二、不定积分的性质1. 线性性质：若f(x)和g(x)的不定积分都存在，那么它们的线性组合af(x) + bg(x)的不定积分也存在，并且是af(x)和bg(x)的不定积分的线性组合。
2. 积分的换元法：不定积分具有换元法。
即通过变量代换，将一个复杂的函数替换为另一个变量，使得不定积分的求解变得简单。
3. 积分的分部积分法：不定积分具有分部积分法。
通过对积分式中的一部分进行求导，另一部分进行不定积分，从而将一个复杂的积分式转化为一个简单的积分式。
4. 基本积分公式：不定积分的基本公式是通过观察求导与不定积分的关系得到的。
常见的基本不定积分公式包括幂函数的积分、指数函数的积分、三角函数的积分等。
5. 牛顿-莱布尼茨公式：牛顿-莱布尼茨公式是不定积分与定积分之间的重要联系。
根据该公式，若F(x)是f(x)的一个不定积分，那么定积分∫[a,b]f(x)dx = F(b) - F(a)。
三、不定积分的应用不定积分在多个学科领域有广泛的应用，以下介绍其中的几个方面。
1. 几何应用：不定积分可用于计算曲线的弧长、曲线与坐标轴所围成的面积以及曲线的质心等。
2. 物理应用：不定积分可用于物理学中的速度、加速度以及质量等的求解。
例如，通过计算速度函数的不定积分即可求得位移函数。
3. 统计学应用：不定积分可用于统计学中概率密度函数的求解，从而计算随机变量落在某个区间内的概率。
4. 经济学应用：不定积分在经济学中有着广泛的应用，特别是在计算边际效用、生产函数以及准线性需求曲线等方面。
不定积分的概念与基本性质
不定积分的概念与基本性质在微积分中，积分是一个重要的概念和工具。
它可以看作是微分的逆运算，用于求解函数的原函数。
在不定积分中，我们将讨论不定积分的概念以及其一些基本性质。
一、不定积分的概念不定积分，又称为反导数，表示对一个函数进行积分得到的结果。
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上的不定积分可以表示为∫f(x)dx。
二、基本性质1. 线性性质：对于任意常数C，以及可积函数f(x)和g(x)，有以下公式：（1）∫[f(x)+g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx（2）∫k·f(x)dx = k·∫f(x)dx这意味着我们可以将一个复杂的函数拆分成多个简单函数的和或差的形式进行积分计算。
2. 保号性质：若在[a,b]上，有f(x)≥0，则∫f(x)dx≥0。
这个性质告诉我们，如果函数在某个区间上始终保持非负，则其在该区间上的积分也将非负。
3. 常数项性质：若函数f(x)在[a,b]上可积，且F(x)是f(x)的一个原函数，则对于任意常数C，有∫f(x)dx=F(x)+C。
这个性质表明，不定积分的结果存在无穷多个，只相差一个常数项。
4. 换元法则：设函数f(u)在区间[a,b]上可积，且u=g(x)是可导函数，且导函数g'(x)连续，则有以下公式：∫f(g(x))g'(x)dx = F(g(x)) + C其中，F(u)是f(u)的一个原函数。
换元法则为我们提供了一种通过变量代换简化计算的方法。
5. 分部积分：若函数u(x)和v(x)在区间[a,b]上可导，且连续，则有以下公式：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx这个公式将一个积分变为了另一个积分和一个乘积的形式，通常用于解决无法直接积分的情况。
三、结论通过本文的论述，我们了解了不定积分的概念和基本性质。
不定积分是对函数进行积分的逆运算，可以求解函数的原函数。
不定积分的定义和计算方法
不定积分的定义和计算方法不定积分，也称为原函数或者积分函数，是微积分中的重要概念之一。
它与定积分相对应，是求解函数的面积或者曲线长度的逆运算。
本文将介绍不定积分的定义和计算方法，帮助读者更好地理解和掌握该概念。
一、不定积分的定义不定积分是求导运算的逆运算。
给定函数f(x)，如果存在函数F(x)，使得F'(x) = f(x)，则称F(x)是函数f(x)的一个不定积分，记作∫f(x)dx =F(x) + C，其中C为任意常数。
不定积分的定义说明了不定积分与原函数之间的关系。
通过求某个函数的不定积分，我们能够得到该函数的原函数。
需要注意的是，不定积分有无穷多个解，因为对于一个函数而言，其原函数可以加上任意常数C而不改变。
二、常见的计算方法在求解不定积分时，我们需要掌握一些常见的计算方法。
下面将介绍一些常见的计算方法及其示例。
1. 基本积分法则基本积分法则是利用基本函数的导数公式反推不定积分。
以下是一些常见的基本积分法则及其示例：（1）常数函数积分：∫kdx = kx + C，其中k为常数。
（2）幂函数积分：∫x^n dx = (1/(n+1))x^(n+1) + C，其中n不等于-1。
（3）指数函数积分：∫e^x dx = e^x + C。
（4）三角函数积分：∫sin(x) dx = -cos(x) + C，∫cos(x) dx = sin(x) + C。
2. 分部积分法分部积分法是求解某些复杂函数不定积分的方法，它基于乘积公式（即(uv)' = u'v + uv'）。
以下是分部积分法的公式及其示例：∫u dv = uv - ∫v du示例：∫x*sin(x) dx = -x*cos(x) + ∫cos(x) dx = -x*cos(x) + sin(x) + C3. 代换法代换法，也称为换元积分法，是通过引入一个新的变量，将原函数转化为更容易求解的形式。
以下是代换法的公式及其示例：∫f(g(x)) * g'(x) dx = ∫f(u) du示例：∫x*sin(x^2) dx，令u = x^2，那么du = 2x dx，原积分变为∫sin(u) (1/2)du = (-1/2)cos(u) + C = (-1/2)cos(x^2) + C除了基本积分法则、分部积分法和代换法，还有一些特殊的计算方法，如三角函数公式、倒数公式、欧拉公式等。
不定积分的概念
微分法: F ( x) ( ? )
互逆运算 积分法: ( ? ) f ( x)
路程
速度
积分学
不定积分 定积分
§1 不定积分的概念
1.1 原函数与不定积分的概念 1.2 基本积分公式 1.3 不定积分的性质
问题
已知直线运动的物体路程函数, 可以通过求导 数的方法求出物体运动的瞬时速度. 现在要问: 如果我们知道了物体运动的瞬时速度, 如何求 物体运动的路程? 即
(2) kf ( x)dx k f ( x)dx.（k 是常数，k 0)
若
则
n
f ( x)dx ki fi ( x)dx i 1
线性性质
例5
求积分
( 1
3 x
2
2 )dx. 1 x2
拆 项
法
解
原式
3
1
1 x2
dx
2
1 dx
1 x2
3arctan x 2arcsin x C
例6
注意：1.积分号“ ”是一种运算符号，它表示求已知
函数的所有原函数；
求已知函数的所有原函数即不定积分的方法称为
积分法. 由不定积分的定义，可知
导数
微分
d
dxBiblioteka f ( x)dxf ( x),
d[ f ( x)dx] f ( x)dx,
F ( x)dx F ( x) C, dF ( x) F ( x) C.
y' 2x
y
x1
, 2
§1 不定积分的概念
1.1 原函数与不定积分的概念 1.2 基本积分公式 1.3 不定积分的性质
1.2 基本积分公式
利用逆向思维和
(1) 1dx x C
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由c(0) 20 c 19
c(x) ex 19
3.基本积分公式
实例
x1 x
1
xdx x1 C . 1
( 1)
启示 能否根据求导公式得出积分公式？
结论 既然积分运算和微分运算是互逆的， 因此可以根据求导公式得出积分公式.
例 5 若 f(x)dx x2e2x c,则f (x) _____
例6 : 若f (ex ) 1 e2x ,且f (0) 1,求f (x)
例7 设f(x)的导数为sinx,则下列有可能为f(x) 的 原 函 数 的 是(____) (A) 1 sinx; (B)1 - sinx; (C)1 cosx;(D) 1 - cosx
(1) kdx kx C (k是常数);
基
本 (2) 积
xdx x1 C ( 1); 1
分 (3) 表
dx x
ln
|
x
|
C;
1
(4) 1 x2dx arctan x C arc cot x C;
(5)
1 dx arcsin x C arccos x C; 1 x2
称为f (x)的 不定积分，记为 f ( x)dx .
f(x)的不定积分就是f(x)的全体原函数，即：
f ( x)dx F( x) C
积 分 号
被 积 函 数
被 积 表 达
式
积 分 变 量
任 意 常 数
例1 求 x5dx.
解
x6
x5,
6
x5dx x6 C .
6
例2
求
1
1 x2
dx.
3、把 f ( x) 的一个原函数F ( x) 的图形叫做函数 f ( x)
的________，它的方程是y F ( x) ，这样不定积
f ( x)dx 在几何上就表示________，它的方程是
y F(x) C ；
4、由 F ' ( x) f ( x) 可 知 ， 在 积 分 曲 线 族 y F ( x) C ( C是任意常数 ) 上横坐标相同的点
（2）若F ( x) 和 G( x) 都是 f ( x) 的原函数， 则 G( x) F( x) C(C为某常数)。
注 : 设F(x)为f(x)在I上的一个原函数,则称F(x) C为 f(x)在I上的所有原函数.(C为任意常数)
(二)不定积分的定义：
1.定义5.2 设F(x)为f (x)的一个原函数,则F(x) C
例 sin x cos x sin x是cos x的原函数. ln x 1 ( x 0)
x ln x是1 在区间(0,) 内的原函数.
x
2.原函数存在定理：
如果函数 f ( x)在区间 I 内连续，
则 f(x)在区间 I 内存在原函数F ( x) ，
使x I ，都有F ( x) f ( x).
验证：( x2 C)' x5 6
解
arctan
x
1
1 x2
,
1
1 x
2
dx
arctan
x
C
.
2.几何意义 函数 f ( x)的原函数的图形称为 f ( x) 的积分曲线.
不定积分在几何上表示一积分曲线族.
曲线族中每一条积分曲线横坐标相同点处的切线 相互平行。
由不定积分的定义，可知有如下性质:
d
dx
f
(x)dx
f
(x),
d[ f (x)dx] f (x)dx,
F(x)dx F(x) C, dF(x) F(x) C
结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的.
在实际应用中, 已知F( x), 求F( x)
计算公式 : F(x) F(x)dx 还可能相差一个常数.
例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的倒数，求此曲线方程.
f
( x)dx
g( x)dx
f
( x)dx
g( x)dx
f ( x) g( x).
(2) a 0 af (x)dx a f (x)dx
例
求积分
( 1
3 x2
2 )dx.
1 x2
解
( 1
3 x2
2 )dx
1 x2
3
1
1 x
2
dx
2
1 dx 1 x2
3arctan x 2arcsin x C
(6) cos xdx sin x C;
(7) sin xdx cos x C;
(8)
dx cos2
x
sec2
xdx
tan
x
C;
(9)
dx sin 2
x
csc2
xdx
cot
x
C;
(10) sec x tan xdx sec x C;
(11) csc x cot xdx csc x C;
处作切线，这些切线彼此是______的； 5、若 f ( x)在某区间上______，则在该区间上 f ( x)的
原函数一定存在；
6、 x xdx ______________________；
7、
dx x2 x
_______________________；
8、 ( x 2 3x 2)dx _________________；
第一节 不定积分的概念及其 性质
• 原函数与不定积分的概念 • 基本积分表 • 不定积分的计算方法概述 • 小结
一、原函数与不定积分的概念
(一)原函数
1. 定义5.1： 如果在区间I 内，x I 都有F ( x) f ( x) 或dF ( x) f ( x)dx，
则称F(x)为f (x)在I内的一个原函数.
3、 x sin x C ； 2
5、4( x 2 7) C ； 74 x
5(2) x 2、2x 3 C ；
ln 2 ln 3 4. (cot x tan x) C ；
6、tan x arc cot x C .
三、 y ln x C .
例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.
解 设曲线方程为 y f ( x),
根据题意知 y 2x,
y 2xdx x2 C,
由曲线通过点（1，2） C 1, 所求曲线方程为 y x2 1.
解 设曲线方程为 y f ( x),
根据题意知 y 1 ,
x
y
1 x
dx
ln|x|源自C,由曲线通过点（1，2） C 2,
所求曲线方程为 y ln | x | 2.
例4 设生产某产品x单位的总成本为c(x),固定成本 c(0) 20,边际成本为ex ,求c(x)
解 : c(x) ex ,c(0) 20
1 x2
dx
1dx x
arctan x ln | x | C.
例10
求积分
1
1 cos
2
x
dx.
解
1
1 cos
2x
dx
1
1 2 cos 2
x
dx 1
1 2
1 cos2
x
dx
1 2
tan
x
C
.
说明： 以上几例中的被积函数都需要进行 恒等变形，才能使用基本积分表.
练习:求积分
1 x 2 (1
2x2 x2
基本积分表(1) 求微分与求积分的互逆关系
不定积分的性质
思考题
1, x 0 符号函数 f ( x) sgn x 0, x 0
1, x 0
在 (, ) 内是否存在原函数？为什么？
思考题解答
不存在.
假设有原函数 F ( x)
x C, x 0
F ( x) C ,
x0
x C , x 0
简言之：连续函数一定有原函数. 问题：(1) 原函数是否唯一？
(2) 若不唯一它们之间有什么联系？
例 sin x cos x sin x C cos x
（C 为任意常数）
关于原函数的说明：
（1）若 F ( x) f ( x) ，则对于任意常数 C ，
F( x) C 都是 f ( x)的原函数.
(1
1 x2
)
x
xdx
6、
x 2 sin2 x2 1
x
sec2
xdx
三、一曲线通过点( e 2 , 3 ) ，且在任一点处的切线的斜 率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程 .
四、证明函数1 e2x , e x sinh x 和 e x cosh x都是
ex
2
cosh x sinh x
的原函数 .
但F ( x)在x 0处不可微， 故假设错误
所以 f ( x) 在 (, ) 内不存在原函数.
结论 每一个含有第一类间断点的函数都 没有原函数.
一、填空题：
练习题
1、一个已知的函数，有______个原函数，其中任意
两个的差是一个______；
2、 f ( x)的________称为 f ( x)的不定积分；
1
2.
dx
sin2 x cos2 x
22
4. sin2 xdx
5. secx(tan x secx)dx
6.
(x
- 1)3 x
dx
7. 2x (e x 1)dx
8.
x x 3 23 x dx
x
四、 小结
原函数的概念：F( x) f ( x)
不定积分的概念： f ( x)dx F ( x) C
练习题答案
一、1、无穷多,常数； 2、全体原函数；