2020年高考数学(理)总复习：平面向量(解析版)

在 △ ABC 中， AC＝ 1，∠ ABC＝ 60°.
根据圆的性质：同弧所对的圆周角相等．
作 △ ABC 的外接圆，当 BC 为圆的直径时， |a|最大，
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此时 |a|＝BC ＝ 1 ＝2 3 ； sin 60 ° 3
当 B， C 无限接近时， |a|＝ BC→0.
故 |a|的取值范围是
23 0,
3
A．9
B．3
C. 109
D． 3 10
【解析】 向量 a＝ (2，－ 4)， b＝ (－ 3， x)， c＝ (1，－ 1)，∴ 2a＋b＝ (1， x－ 8)，
由 (2a＋ b)⊥ c，可得 1＋8－ x＝ 0，解得 x＝9.则 |b|＝ － 3 2＋ 92＝ 3 10.故选 D.
【答案】 B
如图，设 M (－ 1， 3)，则 O→A＋ O→B＝O→M ，取 N(1，－ 3)，
∴ O→M＝－ O→N.由 |C→D |＝ 1，可知点 D 在以 C 为圆心，半径 r ＝ 1 的圆上， ∴ O→A＋ O→B＋O→D ＝ O→D －O→N＝ N→D ，
∴ |O→A＋
O→B＋
O→D
|＝
→ |ND
|，∴
D． [ 7－ 1， 7＋ 1]
【解析】 法一：设出点 D 的坐标，利用向量的坐标运算公式及向量模的运算公式求
7
解．
设 D(x， y)，则由 |C→D |＝1， C(3,0)，得 (x－ 3)2＋ y2＝ 1.
又∵ O→A＋ O→B＋ O→D ＝ (x－ 1，y＋ 3) ，
∴ |O→A＋ O→B＋ O→D |＝ x－ 1 2＋ y＋ 3 2.
B．2 3
C．2
D．－ 3
( ) 【解析】
因为点
M 是线段
AB 的中点， 所以 O→M ＝ 1 2
→ OA
＋
O→B
，|OA＝ |OB|＝ |AB|＝ 2，
所以 △ ABC 是等边三角形，即〈 O→A， O→B〉＝ 60°， O→A·O→B＝ 2×2×cos60°＝ 2，
→→ OC·OM
＝
5 OA
2 OB
【答案】 － 2
2．已知向量 a＝ (3,1)， b＝ (1,3)， c＝ (k，－ 2)，若 (a－ c)∥ b，则向量 a 与向量 c 的夹角 的余弦值是 ( )
5
1
A. 5
B.5
5 C．－ 5
1 D．－ 5
【解析】 ∵ a＝ (3,1)， b＝ (1,3)， c＝ (k，－ 2)，
∴ a－ c＝ (3－ k,3)，∵ (a－ c)∥b， ∴ (3－ k) ·3＝ 3×1，∴ k＝ 2，
)
A ．－ 13A→B＋ 23A→D
B．－ 23A→B ＋ 43A→D
C.23A→B －A→D
D．－ 23A→B ＋A→D
【解析】 在线段 AB 上取点 E，使 BE＝ DC，连接 DE ， 则四边形 BCDE 为平行四边形，
则 B→C＝ E→D ＝ A→D －A→E＝A→D －23A→B；故选 D.
解得 λ＝ ±1
【答案】 ±1
题组训练二 平面向量的平行与垂直 1．设向量 a＝ (m,1)， b＝ (1,2)，且 |a＋ b|2＝ |a|2＋ |b|2，则 m＝________. 【解析】 由 |a＋b|2＝ |a|2＋ |b|2，得 a⊥ b，所以 m×1＋ 1×2＝ 0，解得 m＝－ 2.
＝45，A→P＝ (x，y－ 1)，A→B ＝ (0，－1)，A→D＝ (2,0)，若满足 A→P＝ λA→B＋ μA→D，
即
x＝ 2μ y－ 1＝－ λ
，μ＝2x，λ＝ 1－ y，所以
λ＋ μ＝ x2－ y＋ 1，设
z＝ x2－y＋ 1，
即 x－ y＋ 1－ z＝0，点 P(x，y)在圆 (x－ 2)2＋ y2＝ 4上，所以圆心到直线的距离
→ |ND
|max＝ |N→C|＋ 1＝
7＋
1，
→ |ND
|min
＝
7－ 1.
【答案】 D
题组训练四 数与形相辅相成求解向量问题
已知 |b|＝1，非零向量 a 满足〈 a， b－ a〉＝ 120°，则 |a|的取值范围是 ________．
【解析】
如图，设 C→A＝ b， C→B＝ a，
则 b－a＝ B→A，
(2) 在利用数量积的定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中模和夹角已知的向量 进行计算．
求平面向量的模时，常把模的平方转化为向量的平方．
【例 5】在平行四边形 ABCD 中， |A→D|＝ 3， |A→B|＝ 5， A→E＝ 23A→D ， B→F＝ 13B→C， cos A＝ 35，
则|E→F |＝(
( ) O→P＝
1 3
1 OA
2
1 OB
2
2OC
＝1 3
O→E＋ 2O→C
，∵ 2E→O＝O→C，
( ) ∴ O→P＝ 1 3
4E→O＋ O→E
＝ E→O，∴ P 在
AB
边的中线上，是中线的三等分点，不是重心，
故选 B.
【答案】 B
3．设 P 是 △ ABC 所在平面内的一点，且 C→P＝ 2P→A，则 △PAB 与 △ PBC 的面积的比值是 ()
则实数 m的值为 (
)
n
1
1
A. 6
B.4
C．6
D．4
【解析】
O→A
→ ·OB
＝
3×2×cos60°＝
3，
∵ O→C＝mO→A ＋ nO→B，O→C⊥ A→B，
∴ (mO→A＋ nO→B) ·A→B＝ (mO→A＋ nO→B) ·(O→B－ O→A)＝ (m－ n)O→A·O→B－mO→A2＋ nO→B2＝ 0，∴ 3(m －n)－ 9m＋ 4n＝ 0，∴ m＝ 1，故选 A.
＝1∶ 2，∴ CE ∶OE＝ 3∶ 2，∴ S△AEC ＝ S△BEC ， S△BOE ＝2S△ BOC.∵△ OBC 与 △ ABC 的面积分
别为
S1、
S2，∴
S1＝ S2
1 6.故选
B.
【答案】 B
．
题组训练一 平面向量的概念及线性运算
1．在梯形 ABCD 中， A→B＝ 3D→C，则 B→C等于 (
＝ 52－ 2×5×1×35＋ 1＝20，∴ |E→F|＝ |G→B|＝ 2 5，
故选 B.
【答案】 B
5
【例 6】．已知 A，B 是圆 O：x2＋ y2＝ 4 上的两个动点， |A→B|＝ 2，O→C ＝53O→A－ 23O→B.若 M
是线段 AB 的中点，则 O→C·O→M 的值为 (
)
A．3
∴ |O→A＋ O→B＋ O→D |的几何意义为点 P(1，－ 3)与圆 (x－ 3)2＋ y2 ＝1 上点之间的距离，由 |PC|＝ 7知， |O→A＋O→B＋ O→D |的最大值是 1＋ 7，最小值是 7－ 1.故选 D.
法二：根据向量 O→A＋O→B的平行四边形法则及减法法则的几何意义， 模的几何意义求解．
3 B．－ 2
4 C．－ 3
D．－ 1
【解析】 以 BC 为 x 轴， BC 的垂直平分线 AD 为 y 轴， D 为坐标原点建立坐
标，则 A(0， 3)，B(－1,0)，C(1,0)，设 P(x，y)，所以 P→A＝( －x， 3－ y)， P→B＝ (－ 1－ x，－ y)， P→C＝ (1－ x，－ y)
)
A. 14
B．2 5
C．4 2 【解析】如图，取 AE 的中点 G，连接 BG
D． 2 11
∵
A→E＝
23 A→D ，
B→F＝
1→ 3BC
，
∴ A→G＝ 12A→E＝ 13A→D ＝13B→C＝ B→F，∴ E→F＝ G→B，
∴ |G→B|2＝ |A→B －AG |2＝A→B 2－ 2A→B·A→G＋ A→G2
【例 4】．已知 a＝ (3,2)， b＝ (2，－ 1) ，若 λa＋b 与 a＋ λb 平行，则 λ＝ ________.
【解析】 ∵a＝ (3,2)，b＝ (2，－ 1)，∴ λa＋b＝ (3λ＋ 2，2λ－ 1)，a＋ λb＝ (3＋ 2λ，2－ λ)，
∵ λa＋b∥ a＋ λb，∴ (3λ＋ 2)(2－ λ)＝(2 λ－ 1)(3＋ 2λ)，
3
【答案】
3
3
1
1
OA OB
2
2
＝
56O→A
2－
1 3
OB
2＋
1 2
O→A·O→B
＝
5 6×2
2－
1 3
×2
2＋
1 2
×2＝
3
，故选
A.
【答案】 A
题组训练三 平面向量的数量积
1．已知 △ ABC 是边长为 2 的等边三角形， P 为平面 ABC 内一点，则 P→A·(P→B＋ P→C)的最 小是 ( )
A ．－ 2
上．若 A→P＝ λA→B＋ μA→D ，则 λ＋ μ的最大值为 (
)
A．3
B．2 2
C. 5
D．2
【解析】 如图所示，建立平面直角坐标系：设 A(0,1)， B(0,0) ，C(2,0)， D(2,1)， P(x，
y)，根据等面积公式可得圆的半径
r＝ 2 ，即圆 C 的方程是 ( x－2) 2＋y2 5
B.16
C.14
D.
1 2
【解析】 延长 OC 到 D，使 OD＝ 4OC，延长 CO 交 AB 于 E.
1
∵ O 为 △ ABC 内一点，且满足 O→A＋O→B＋ 4O→C＝ 0，
∴ O→D＋ O→A＋ O→B＝ 0，
∴ O 为 △ DAB 重心， E 为 AB 中点， ∴ OD∶ OE＝ 2∶1，∴ OC∶OE