定积分的概念教案

定积分的概念
教学目标：
知识目标：掌握定积分的含义，理解定积分的几何意义。

能力目标：
1、理解定积分概念中归纳思维的运用；
2、掌握例题求解过程中对比思维的运用。

素质目标：提升分析与解决问题的能力
教学重点和难点：
教学重点 ：定积分的概念和思想
教学难点：理解定积分的概念，领会定积分的思想
教学方法：
1、直观法：让抽象的数学与具体的生活结合。

2、归纳法：让严整的数学定义与休闲的娱乐生活结合。

3、类比法：让例题求解过程与社会事例结合。

4、总结法：数学学习中培养的能力贯穿生活、社会、科学等各方面。

教学过程：
一、引入新课
我们已经学过规则平面图形的面积：三角形 四边形 梯形 圆等，那么不规则平面图形的面积该怎么求呢？ 二、讲解新课
实例1曲边梯形的面积
曲边梯形:若图形的三条边是直线段，其中有两条垂直 于第三条底边，而其第四条边是曲线，这样的图形称为曲边梯形，如左下图所示.
推 广 为
(1)分割 任取分点b x x x x x a n n =<<<<<=-1210 ,把底边[a ,b ]分成n 个小区间
[]21,x x ,(),,2,1n i =.小区间长度记为 );
,,2,1(1n i x x x i i i =-=∆-
(2) 取近似 在每个小区间[i i x x ,1-]上任取一点i ξ竖起高线)(i f ξ,则得小长条面积
i A ∆的近似值为
i i i x f A ∆≈∆)(ξ (n i ,,2,1 =);
(3) 求和 把n 个小矩形面积相加(即阶梯形面积)就得到曲边梯形面积A 的近似值
i n
i i n n x f x f x f x f ∆=∆++∆+∆∑=)()()()(1
2211ξξξξ ;
(4) 取极限 令小区间长度的最大值{}i n
i x ∆=≤≤1max λ 趋于零,则和式
i
n
i i
x f ∆∑=)(1ξ的
极限就是曲边梯形面积A 的精确值，即 i
n
i i
x f A ∆=∑=→1
)(lim
ξλ
实例2 路程问题
解决变速运动的路程的基本思路：
把整段时间分割成若干小时间段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程的近似值,再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值． （1）分割 （2）近似 （3）求和 （4）取极限
路程的精确值
2、归纳总结曲边梯形的面积和变速运动的路程得出定积分的概念。

3、定积分的概念
定义
3.1 设函数)(x f y =在[b a ,]上有定义，任取分点
<<<=321x x x a n n x x <<-1b =,分],[b a 为n 个小区间],[1i i x x -),,2,1(n i =.
记
{}i n
i i i i
x n i x x x ∆==-=∆≤≤-11max ),,,2,1(λ ,
212101T t t t t t T n n =<<<<<=- 1--=∆i i i t t t i i i t v s ∆≈∆)(τi
i n
i t v s ∆≈∑
=)(1τ0},,,m ax {21→∆∆∆=n t t t λi n
i i t v s ∆=∑=→)(lim 1
0τλ
再在每个小区间],[1i i x x -上任取一点
i ξ，作乘积i
i
x f ∆)(ξ 的和式：
,)(1
i
n
i i
x f ∆∑=ξ
如果0→λ时,上述极限存在（即，这个极限值与 ],[b a 的分割及点i ξ的取法均无关），则称此极限值为函数)(x f 在区间],[b a 上的定积分，记为
,)(lim d )(1
i n
i i b
a
x f x x f ∆=∑⎰
=→ξλ
其中称)(x f 为被积函数,x x f d )(为被积式，x 为积分变量，],[b a 为积分区间，b a ,分别称为积分下限和上限。

4、定义引出中的归纳思维
我们通过对曲边梯形面积和路程问题求解步骤的归纳总结，得出了定积分的定义。

在这个过程中，我们运用了思维方式中一种典型的方式：归纳思维。

归纳思维在我们的身边随处可见。

播放视频短片：（6分钟左右）
视频短片选自韩国正在热播的宫廷历史剧《宫中秘史》第33集中有的情节之一：昭显太子（昭显世子）在赵贵人的迫害下被父皇默许毒害致死，金内官在太子灵前对朝廷现状归纳总结，为世子妃分析困局，寻找最佳路径！
我们在分析和解决问题过程中经常运用到归纳思维，他是数学教学中培养思维能力的一种重要的形式！这也是学习数学的重要性之一！ 5、定积分定义中值得注意的几点：
(1)定积分表示一个数，它只取决于被积函数与积分上、 下限，而与积分变量采用什么字母无关，例如：
⎰⎰
=1
21
2d d t t x x .一般地，
⎰
⎰=b
a
b
a
t t f x x f d )(d )(.
(2)定义中区间的分法和i ξ的取法是任意的.
三、讲解例题 1、例题
例1 利用定义求定积分
用定义法可以求出
上可积。

在存在],[)()(lim )3(0
b a x f x f n
i i i ⇒∆∑=→ξλdx x ⎰
102dx x ⎰
10
2i i n
i x ∆=∑=→2
10lim ξλ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→n n n 121161lim .3
1
=
2、例题求解中的对比思维
例题求解过程实际上是跟定义步骤一一对比模拟的过程，其中对比思维运用明显。

《中国将面临着大洗牌，你准备好了吗！》，这是最近在QQ空间广为转载的一篇文章。

文章中说：
1）、中国移动说，搞了这么多年，今年才发现，原来腾讯才是我们的竞争对手。

2）、最彻底的竞争是跨界竞争，你认为收费的主营业务，一个跨界的进来，免费，因为人家根本不靠这个赚钱。

典型的案例如：
瑞星杀毒收费，360杀毒进来全部免费，让整个杀毒市场翻天覆地。

微信免费，让舒舒服服地收了十几年的通信和短信费的几大垄断运营商们大惊失色。

对比思维是数学中培养思维能力的一种重要的形式，也是我们分析解决问题的一种重要的思维，在我们的工作生活随处可见。

四、练习
练习将由曲线
x
y 及直线y=0,x=0,x=1围成的平面图形的面积用定积分表示。

先学生练习，后讲解。

五、小结
1）定积分的定义
2）本节课主要的两种思维方式：
归纳思维，对比思维
这两种思维方式在社会科技生活的体现：今年6月11日神舟十号的发射成功，让人情不自禁的运用想起了神舟八、九号。

（对比思维）
很自然的得出（归纳思维）：神舟十号与神舟八号、神舟九号和神舟十号的状态基本是一致的，本次任务取得成功后，这种状态的神舟飞船和长征2F运载火箭将构成我国标准的天地往返运输系统。

这一系统不但能够用于空间实验室的航天员往返运输，未来也将作为我国空间站的运输工具，承担航天员天地往返运输系统和空间站救生船的职能。

在人类奔向太空的50余年历史中，天地往返运输系统始终支撑和书写着太空之旅的传奇故事。

3）所以数学其实是贴近我们现实生活的，只不过他以潜水的形式出现，在社会生活中发挥着巨大的潜效果。

正如我们上QQ潜水隐身，好友没看见我，不代表我不在线！
4）数学是提高我们分析解决问题的能力强有力的工具，正因为数学我们人类思维才得以进步，我们“嫦娥奔月”的梦想才得以实现。

数学推动着人类文明不断前进。

六、布置作业
1、P122 练习题3 2
2、找一个我们身边运用对比和归纳思维的事例。

最后让我们在李玉刚的《嫦娥奔月》中结束今天的课程！。