4-1 不定积分的概念与性质
4-1 不定积分的概念与性质(高等数学)
第4章 不定积分§4.1 不定积分的概念与性质教学内容：一．原函数1.定义：设)(),(x f x F 是定义在区间I 上的函数，若对任意的I x ∈，都有)()(x f x F ='，或x x f x F d )()(d =，则称)(x F 是)(x f 在区间I 上的一个原函数．2.定理：（原函数存在定理）若函数()f x 在区间I 上连续，则在该区间上一定存在可导函数()F x ，使得对任意x I ∈都有()()F x f x '=，即区间上的连续函数一定有原函数．3.若)(x F 是)(x f 在区间I 上的一个原函数，即)('x F =)(x f ，则C x F +)(也是)(x f 在区间I 上的原函数．即一个函数如果存在原函数，则其原函数有无穷多个.4.定理：设函数()F x 是()f x 在区间I 上的一个原函数，那么()f x 在区间I 上的任意一个原函数可以表示为()F x C +，其中C 是任意常数．二．不定积分的概念定义：如果)(x F 是)(x f 在区间I 上的一个原函数，则()f x 在区间I 上带有任意常数的原函数C x F +)(称为)(x f 在区间I 上的不定积分，记作()d f x x ⎰，即()d f x x ⎰=C x F +)(，其中，⎰称为积分号，)(x f 称为被积函数，()d f x x 称为被积表达式，x 称为积分变量，任意常数C 称为积分常数．三．不定积分的几何意义对于确定的常数C ，()F x C +表示坐标平面上一条确定的曲线；当C 取不同的值时，C x F +)(表示一簇曲线．由()()f x dx F x C =+⎰可知，()f x 的不定积分是一簇曲线，这些曲线都可以通过一条曲线向上或向下平移而得到，它们在具有相同横坐标的点处有互相平行的切线．四．不定积分的性质性质1. (1)[()d ]f x x ' ⎰=)(x f ， 或 d[()d ]f x x ⎰=()d f x x ；(2) ⎰+='C x F x x F )(d )(， 或⎰+=C x F x F )()(d .性质2.⎰⎰=x x f k x x kf d )(d )(（k 为非零常数）.性质3.⎰⎰⎰±=±x x fx x f x x f x f d )(d )(d )]()([2121.五．基本积分公式表1．d k x kx C =+⎰（k 为常数）； 2．11d 1x x x C μμμ+=++⎰（1μ≠-）；3．1d ln ||x x C x =+⎰； 4．d ln x xa a x C a =+⎰；5．e d e x x x C =+⎰； 6．sin d cos x x x C =-+⎰；7．cos d sin x x x C =+⎰； 8．2sec d tan x x x C =+⎰；9．2csc d cot x x x C =-+⎰； 10．sec tan d sec x x x x C =+⎰；11．csc cot d csc x x x x C =-+⎰； 12．21d arctan arccot 1x x C x C x =+=-++⎰；13．d arcsin arccos x x C x C =+=-+.六．例题讲解例1.求不定积分 (1)2d x x ⎰； （2）1d x x ⎰．例2.若池塘结冰的速度由d d yt=给出，其中y 是自结冰起到时刻t 冰的厚度，k 是正常数，求结冰厚度y 关于时间t 的函数．例3.已知某曲线经过点(0,1)，并且该曲线在任意一点处的切线的斜率等于该点横坐标的平方，试求该曲线的方程．例4.距离地面0x 处，一质点以初速度0v 铅直上抛，不计阻力，求它的运动规律．例5.求e 5d x xx -⎰． 例6.求x xx d 1⎰． 例7.求23)d x x - ．例8.求2(1)d x x x - ⎰． 例9.求221d (1)x x x x x ++ +⎰． 例10.求22d 1x x x +⎰．例11.求42d 1x x x +⎰. 例12.求2tan d x x ⎰． 例13.求2sin d 2x x ⎰． 例14.求22d sin cos x x x ⎰． 例15.求221d .sin cos22x x x ⎰例16.设()2||3f x x '=+，且(2)15f =，求()f x .。
不定积分的概念与性质及基本积分公式
不定积分的概念与性质及基本积分公式不定积分是微积分中的重要概念，它是定积分的逆运算。
不定积分表示函数的原函数，也就是通过积分求导得到原函数。
在具体计算不定积分时，需要使用一些基本积分公式和性质。
一、不定积分的概念：不定积分是解决反向运动问题的方法，也就是求导的逆运算。
给定一个函数f(x)，它的不定积分表示为∫f(x)dx，其中f(x)称为被积函数，x为积分变量，∫表示不定积分。
二、不定积分的性质：1. 常数性质：∫kdx = kx + C，其中k为常数，C为任意常数。
2. 线性性质：∫(u+v)dx = ∫udx + ∫vdx，其中u、v为可导函数。
3. 反向性质：如果F(x)是f(x)的一个原函数，则有∫f(x)dx = F(x) + C，其中C为任意常数。
三、基本积分公式：1.幂函数积分公式：a. ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中n≠-1b. ∫1/x dx = ln，x， + C。
c. ∫(1+x^2) dx = x + (1/3)x^3 + C。
d. ∫(1-x^2) dx = x - (1/3)x^3 + C。
e. ∫(1+x^2)^(-1/2) dx = arcsin(x) + C。
2.指数函数与对数函数积分公式：a. ∫e^x dx = e^x + C。
b. ∫a^x dx = (a^x)/(lna) + C，其中a>0且a≠1c. ∫(1+x)^n dx = (1/(n+1))*(1+x)^(n+1) + C，其中n≠-1d. ∫(lnx) dx = xlnx - x + C。
3.三角函数积分公式：a. ∫sin(x) dx = -cos(x) + C。
b. ∫cos(x) dx = sin(x) + C。
c. ∫tan(x) dx = -ln，cos(x)， + C。
d. ∫cot(x) dx = ln，sin(x)， + C。
e. ∫sec(x) dx = ln，sec(x) + tan(x)， + C。
4-1不定积分的概念与性质
问题： (1) 原函数的存在性。 (2) 原函数是否唯一？不唯一它们之间有什么关系？ (3) 如何求原函数。 原函数存在定理： 如果函数 f ( x ) 在区间 I 内连续，那么 在 区 间 I 内 存 在 可 导 函 数 F ( x) ， 使 ∀x ∈ I ，都有 F ′( x ) = f ( x ) 简言之：连续函数一定有原函数.
∫ dF ( x ) = F ( x ) + C .
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(2)不定积分的几何意义
函数 f ( x ) 的任一原函数的图形称为 f ( x ) 的一条积分曲线。全体原函数的图形称为 f ( x ) 积分曲线族。
积分曲线族的切线互相平行。这是因为
[∫ f ( x )dx ] ′= [F ( x ) + C ] ′= F ′( x ) = f ( x )
dF ( x ) = f ( x )dx ，那么函数 F ( x ) 就称为 f ( x ) 或 f ( x )dx 在区间 I 内原函数。 ′ 例 (sin x ) = cos x sin x 是 cos x 的原函数. ′ 1 (ln x ) = ( x > 0) x 1 ln x 是 在区间( 0,+∞ )内的原函数. x
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1 dx . 例6 求积分 ∫ 2 2 x (1 + x )
解
1 1 1 ∫ x 2 (1 + x 2 )dx = ∫ ( x 2 − 1 + x 2 )dx 1 = − − arctan x + C x
tan 2 xdx 例7 求积分 ∫
解
sin 2 x 1 − cos 2 x ∫ tan xdx = ∫ cos 2 x dx = ∫ cos 2 x dx 1 = ∫ ( 2 − 1)dx = tan x − x + C cos x
高职高等数学教案第四章不定积分
第四章 不定积分§4-1 不定积分的概念与性质一、不定积分的概念1.原函数定义定义1：如果在区间I 上，可导函数()F x 的导数为()f x ，即对任一xI ，都有()()F x f x 或()()dF x f x dx ，则称()F x 为()f x 在区间I 上的一个原函数。
例：(sin )cos x x ，则sin x 是cos x 的一个原函数；1(sin 1)(sin )(sin 3)cos 2x xx x ，则都是cos x 的原函数。
2.原函数性质定理1：如果()f x 在区间I 上连续，则在该区间原函数一定存在。
定理2：如果()F x 是()f x 的一个原函数，则()F x C 是()f x 的全体原函数，且任一原函数与()F x 只差一个常数。
例：验证2211cos 2,sin 2,cos 233x x x 都是sin 2x 的原函数 证：2211(cos 2)sin 233(sin 2)sin 2(cos 2)sin 2x x x x xx，则三个函数都是sin 2x 的原函数3.不定积分定义定义2：()f x 的全体原函数称为()f x 的不定积分，记作()f x dx ，其中称为积分号，()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式，x 称为积分变量。
说明：如果()F x 是()f x 在区间I 上的一个原函数，则()F x C 就是()f x 的不定积分，即()()f x dxF x C例1：求23x dx解：因为32()3x x ，所以3x 是23x 的一个原函数则233x dx x C例2：求1dx x解：当0x时，1(ln )x x当0x 时，11ln()x xx 所以1 ln ||(0)dx x C xx4.不定积分几何意义在相同横坐标的点处切线是平行的，切线斜率都为()f x ，可由()yF x 沿y 轴平移得到。
例：一条积分曲线过点(1,3)，且平移后与231y x x 重合，求该曲线方程解：设2()31f x x x C由于曲线过(1,3) 则3131C ，2C2()31f x xx二、不定积分性质性质1：[()()]()()f x g x dx f x dx g x dx性质2：()(0)()0(0)kf x dx k kf x dxdxC k性质3：(())(),()()f x dx f x f x dx f x C三、基本积分表(1)kdx kx C (k 是常数) (2)111ααx dxx C α(3)1ln ||dx x C x (4)x xe dx e C (5)ln x xa a dxC a(6)sin cos xdxxC(7)cos sin xdx x C (8)221sec tan cos dx xdx x C x(9)221csc cot sin dx xdx x C x (10)sec tan sec x xdx xC(11)csc cot csc x dx xC (12)21arctan 1dxx C x(13)21arcsin 1dx x C x例1：求51dx x解：55154111514dx x dxx CC x x例2：求x xdx解：313522223512x x xdx x dxCx C例3：求3(sin )xx dx解：433(sin )sin cos 4x x x dx xdxx dxxC例4：求2(1)x dx x解：22(1)211(2)x x x dx dx x dx xx x2122ln ||2x xdx dxdx xx C x注：根式或多项式函数需化成αx 形式，再利用公式。
4.1 不定积分的概念与性质
11
නcsc cot d = − csc + ;
(12)
13
第一节 不定积分的概念与性质
第一节 不定积分的概念与性质
නe d = e + ;
+ ;
න d =
ln
(14)
නsinh d = cosh + ;
(15)
නcosh d = sinh + .
= ln | | +
第一节
第一节 不定积分的概念与性质
不定积分的概念与性质
第四章
第四章 不定积分
不定积分
(4)
(5)
1
න
d = arctan + ;
2
1+
1
න
d = arcsin + ;
1 − 2
(6)
නcos d = sin + ;
(7)
නsin d = − cos + ;
第一节 不定积分的概念与性质
′ = 2的积分曲线族
第四章 不定积分
例4 质点在距地面0 处以初速0 铅直上抛, 不计阻力, 求其运动规律.
解
取质点运动轨迹为坐标轴, 原点在地面, 指向朝上,
质点抛出时刻为 = 0, 此时质点位置为0 , 初速为0 .
设时刻质点所在位置为 = (), 则
不定积分.
′ () = ()
න()d = () +
积 被
分 积
号 函
数
第一节 不定积分的概念与性质
被
积
表
达
式
积
分
变
量
不定积分的概念与基本性质
不定积分的概念与基本性质在微积分中，积分是一个重要的概念和工具。
它可以看作是微分的逆运算，用于求解函数的原函数。
在不定积分中，我们将讨论不定积分的概念以及其一些基本性质。
一、不定积分的概念不定积分，又称为反导数，表示对一个函数进行积分得到的结果。
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上的不定积分可以表示为∫f(x)dx。
二、基本性质1. 线性性质：对于任意常数C，以及可积函数f(x)和g(x)，有以下公式：（1）∫[f(x)+g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx（2）∫k·f(x)dx = k·∫f(x)dx这意味着我们可以将一个复杂的函数拆分成多个简单函数的和或差的形式进行积分计算。
2. 保号性质：若在[a,b]上，有f(x)≥0，则∫f(x)dx≥0。
这个性质告诉我们，如果函数在某个区间上始终保持非负，则其在该区间上的积分也将非负。
3. 常数项性质：若函数f(x)在[a,b]上可积，且F(x)是f(x)的一个原函数，则对于任意常数C，有∫f(x)dx=F(x)+C。
这个性质表明，不定积分的结果存在无穷多个，只相差一个常数项。
4. 换元法则：设函数f(u)在区间[a,b]上可积，且u=g(x)是可导函数，且导函数g'(x)连续，则有以下公式：∫f(g(x))g'(x)dx = F(g(x)) + C其中，F(u)是f(u)的一个原函数。
换元法则为我们提供了一种通过变量代换简化计算的方法。
5. 分部积分：若函数u(x)和v(x)在区间[a,b]上可导，且连续，则有以下公式：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx这个公式将一个积分变为了另一个积分和一个乘积的形式，通常用于解决无法直接积分的情况。
三、结论通过本文的论述，我们了解了不定积分的概念和基本性质。
不定积分是对函数进行积分的逆运算，可以求解函数的原函数。
第四章不定积分4.1不定积分概念与性质
①若 F( x) f ( x)，则对于任意常数 C ，
F ( x) C 都是 f ( x)的原函数.
② G(x)是f(x)的另外一个任意的原函数，
则 F ( x) G( x) C （ C为任意常数）
问题1：原函数存在定理
若函数 f ( x)在区间 I 内连续， 那么在区间I 内一定存在原函数F ( x)， 使x I ，都有F ( x) f ( x).
简言之：连续函数一定有原函数.
注1：“初等函数在其定义区间内一定存在原函 数”. 注2：在某区间内不连续的函数，也可能存在原函数.
问题2：原函数是否唯一？若不唯一，它们之 间有什么联系？原函数的一般表达式？
x
ln(x) 1 1 (x 0)
x x
dx x
ln
|
x
|
C;
1、 (1) kdx kx C (k是常数);
基 (2) xdx x1 C
本 积 (3)
1
dx x
ln
|
x
|
C;
( 1);
分 表
(4)
1
1 x
2
dx
arctan
x
C
;
(5)
1 dx arcsin x C; 1 x2
1
1 x2
,
1
1 x
2
dx
arctan
x
C
.
例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程. 解 设曲线方程为 y F( x),
根据题意知 d F(x) 2x dx
4-1不定积分的概念和性质
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三、 不定积分的性质
(1)
是常数， ∫ kf ( x )dx = k ∫ f ( x )dx . （k 是常数，k ≠ 0)
d (2) dx
[∫ f ( x )dx ] = f ( x ), d[∫ f ( x)dx] = f ( x)dx,
∫ dF ( x ) = F ( x ) + C .
为任意常数） ∴ F ( x ) − G ( x ) = C（C 为任意常数）
大学数学教研室 2010年12月26日1时28分
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不定积分的概念和性质
前面我们已经研究了一元函数微分学。 前面我们已经研究了一元函数微分学。但在科学 一元函数微分学 技术领域中，还会遇到与此相反的问题： 与此相反的问题 技术领域中，还会遇到与此相反的问题：即寻求一 个可导的函数，使其导数等于一个已知函数，从而 个可导的函数，使其导数等于一个已知函数， 产生了一元函数积分学 一元函数积分学。 产生了一元函数积分学。积分学分为不定积分和定 积分两部分。 积分两部分。 本章我们先从导数的逆运算引出不定积分的概念 本章我们先从导数的逆运算引出不定积分的概念 然后介绍其性质，最后着重系统地介绍积分方法。 然后介绍其性质，最后着重系统地介绍积分方法。
e x dx = e x + C ; ∫ ax x (13) ∫ a dx = + C; ln a (12)
大学数学教研室 2010年12月26日1时28分
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2 例4 求积分 ∫ x xdx .
解
x 2 xdx = ∫ x dx ∫
5 2
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例10
解
例11
解
例12 求积分
解
例13 求 解
x4 例14. 求 dx . 2 1 x ( x 4 1) 1 dx 解: 原式 = 2 1 x
( x 2 1)( x 2 1) 1 dx 2 1 x dx 2 ( x 1) d x 1 x2 1 3 x x arctan x C 3 说明： 以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形， 才能使用基本积分表.
基 本 积 分 表
㈠
dx ( 4) arctan x C 或 arc cot x C 2 1 x dx ( 5) arcsin x C 或 arc cos x C 2 1 x
( 6)
(7)
cos xdx sin x C sin xdx cos x C
简言之：连续函数一定有原函数. 初等函数在定义区间上连续
初等函数在定义区间上有原函数
定理 2. 原函数都在函数族 ( C 为任意常数 ) 内 .
证: 1)
即 又知
[( x ) F ( x )] ( x ) F ( x ) f ( x ) f ( x ) 0
故
( x ) F ( x ) C 0 (C0 为某个常数)
第四章
不定积分
微分法: F ( x ) ( ? ) 积分法: ( ? ) f ( x ) 互逆运算
第一节 不定积分的概念与性质
一、 原函数与不定积分的概念 二、 基本积分表
第四章
三、 不定积分的性质
一、 原函数与不定积分的概念
引例: 一个质量为 m 的质点, 在变力
下沿直线运动 , 试求质点的运动速度
能否根据求导公式得出积分公式？
既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以 根据求导公式得出积分公式.
(1)
( 2)
dx ( 3) ln x C x
kd x k x C 1 x dx 1 x
利用逆向思维
( k 为常数)
1
C ( 1)
x 0时 1 ( ln x ) [ ln( x ) ] x
例4 求积分
解
例5 解
例6 解
例7. 求 解: 原式 =
x a x a dx ln a C
[(2e )
x
5 2 )d x
x
x ( 2e ) x 2 5 C ln( 2e ) ln 2
x e 5 x 2 C ln 2 1 ln 2
2 csc xdx cot x C
dx 2 sec xd x tan x C ( 8) 2 cos x dx ( 9) 2 sin x
(10) (11) (12)
sec x tan xdx sec x C csc x cot xdx csc x C
内容小结
1. 不定积分的概念 • 原函数与不定积分的定义 • 不定积分的性质
• 基本积分表 (见P 188)
2. 直接积分法: 利用恒等变形, 积分性质 及 基本积分公式进行积分 . 分项积分 常用恒等变形方法 加项减项 利用三角公式 , 代数公式 ,
思考与练习
1. 若
2 x f (ln x ) d x
x x e C e d x
x a x C (13) a d x ln a
例2. 求
x 解: 原式 = x d x C 4 3 1
4 3
4 1 3
3 x C
例3. 求
1 3
1 1 解: 原式= sin x d x cos x C 2 2
3. 若 是( B ).
的导函数为
则
的一个原函数
( A) 1 sin x ;
(C ) 1 cos x ;
提示: 已知
求
( B ) 1 sin x ;
( D ) 1 cos x .
f ( x ) sin x ( ? ) f ( x ) ( ? ) sin x
即
或由题意 f ( x ) cos x C1 , 其原函数为
三、不定积分的性质
1.
k f ( x ) dx k f ( x )dx ( k 0) 2. [ f ( x ) g( x )]d x f ( x )d x g( x ) d x
则
n
推论: 若
f ( x )dx k f ( x )dx
i 1 i i
即 ( x ) F ( x ) C 0 属于函数族 F ( x ) C .
定义 2. 若 其中
在区间 I 上的原函数全体称为
(P185)
上的不定积分, 记作 则
积 表 达 式 x x 例如, e d x e C 1 3 2 x dx 3 x C
积 被 分 积 号 函 数
sec 2 x csc 2 x
5. 求不定积分 解：
(e
2x
e 1)
x
6. 已知 求A,B.
x2 dx 2 dx A x 1 x B 2 得
2 B x2 A x 2 A 1 x 2 2 1 x2 1 x 1 x
f ( x ) d x sin x C x C
1
2
4. 求下列积分:
提示:
(1)
1 1 1 ( 1 x2 ) x2 2 2 2 2 2 x 1 x2 x (1 x ) x (1 x )
2 2 sin x cos x 1 ( 2) 2 2 2 2 sin x cos x sin x cos x
例
sin x cos x
sin x 是 cos x 的一个原函数.
1 ln x ( x 0) x
1 ln x 是 在区间( 0, )内的一个原函数. x
问题:
1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ?
2. 若原函数存在, 它如何表示 ?
定理1.
存在原函数 .
(下章证明)
1 2 x C 2
x e 提示: 1 ln x f (ln x ) e x
2. 若
是 e x 的原函数 , 则 1 f (ln x ) C 0 ln x C d x x x
x f ( x ) e 已知 提示:
f ( x ) e x C0 1 f (ln x ) C 0 x f (ln x ) 1 C0 2 x x x
根据牛顿第二定律, 加速度
A 因此问题转化为: 已知 v( t ) sin t , 求 v ( t ) ? m 定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x)
满足 F ( x ) f ( x ) 或 dF ( x ) f ( x ) d x , 则称 F (x) 为f (x) 在区间 I 上的一个原函数 . A A A 如引例中, sin t 的原函数有 cos t , cos t 3, m m m
( A B ) 2 Ax 2 1 x2
A B 0 2A 1
A 1 2 1 B 2
作业
P192 2 (11)----(26)
5; 7
;
( 2)
F ( x ) d x F ( x ) C
结论：
或
d F ( x ) F ( x ) C
微分运算与求不定积分的运算是互逆的.
二、 基本积分表(一) (P188)
x 实例 x 1
启示
结论
1
1 x x dx C . ( 1) 1
x F ( x) C f ( x ) d被
积 分 变 量
积 分 常 C 为任意常数 数 不可丢 !
sin xdx cos x C
不定积分的几何意义: 的原函数的图形称为
的积分曲线 .
f ( x ) dx 的图形
y
的所有积分曲线组成 的平行曲线族.
o
x0
x
显然，求不定积分得到一积分曲线族.
例1. 设曲线通过点( 1 , 2 ) , 且其上任一点处的切线 斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程. 解:
所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有
y x2
y
y x2 1
(1 , 2)
因此所求曲线为 y x 1
2
o
x
从不定积分定义可知:
d f ( x )d x f ( x ) 或 d f ( x )dx f ( x ) dx (1) dx
例8. 求
x (1 x 2 ) dx 解: 原式 = 2 x(1 x )
1 1 dx dx 2 1 x x
arctan x ln x C
例9. 求
2 (sec x 1)d x 解: 原式 =
sec xd x d x tan x x C