相似三角形复习公开课)
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公开课相似三角形专题复习 ppt课件
B
D
C
ppt课件
15
A
D
A
B
E
C
D
A
B
E
C
D
B
E
C
AD
α
αα
B
E
C
A
α
B
F D
α
E
α
C
C
B
D
ppt课件α α
OP
α
A
16
思考题：已知：等边△ABC 中，P为直线AC上
一动点，连结BP,作∠BPQ=60°,交直线BC于点
N.
(1)当P在线段AC上时，证明PA·PC=AB ·CN
(2)若P在AC的延长线上，上述关系是否成立？
A
D
A
D
F
F
B
E
C
ppt课件 B
E
C
10
A
△ABE∽ △ECF（（21））点点EE为为BBCC上上任任意意一一点点，
若若∠∠BB==∠∠CC==α6,0∠°A, EF= F ∠∠CA,E则F△= A∠BCE,则与△AEBCEF与
的△关E系C还F的成关立系吗还？成立吗？
B
E
C 说A 明理由
A
A
FF F
A
2.若△ABC∽△ADE， 你可以得出什么结论？
D B
“A”型
角： ∠ADE= ∠ B ∠ AED= ∠C
E 边：DE ∥ BC
AD AE DE .
C AB AC BC
AD AE . DB EC
DB EC
.
AB AC
面积： SADE ppt课件
DE 2.
第12讲相似三角形的判定复习课件(共46张PPT)
全效优等生
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
4．如图4－12－5，AB是半圆O的直径， D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE 与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD类似， 可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误
的是 A．∠ACD＝∠DAB B．AD＝DE C．AD2＝BD·CD D．AD·AB＝AC·BD
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
第四章 类似三角形
第12讲 类似三角形的判定
全效优等生
全效优等生
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
部分数学符号的来历 数学运算中经常使用符号，如＋，－，×，÷，＝，＞， ＜，∽，≌，()， 等，你知道它们都是谁首先使用，何时 被人们公认的吗？ 加减号“＋”“－”：1489 年德国数学家魏德曼在他的著 作中首先使用了这两个符号，但正式为大家公认是从 1514 年荷 兰数学家荷伊克开始．乘号“×”：英国数学家奥屈特于 1631 年提出用“×”表示相乘；另一乘号“·”是数学家赫锐奥特首 创的．除号“÷”：最初这个符号是作为减号在欧洲大陆流行， 奥屈特用“∶”表示除或比，也有人用分数线表示比，后来有 人把二者结合起来就变成了“÷”．瑞士的数学家拉哈的著作中 正式把“÷”作为除号．等号“＝”：最初是 1540 年由英国牛
D.147
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【解析】 ∵∠C＝∠E，∠ADC＝∠BDE， ∴△ADC∽△BDE，∴DDEC＝ABDD， 又∵AD∶DE＝3∶5，AE＝8， ∴AD＝3，DE＝5， ∵BD＝4，∴D5C＝34，∴DC＝145.
∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，
又∵BE是∠ABC的平分线， ∴FG＝FC，
例2答图
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4．如图4－12－5，AB是半圆O的直径， D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE 与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD类似， 可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误
的是 A．∠ACD＝∠DAB B．AD＝DE C．AD2＝BD·CD D．AD·AB＝AC·BD
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第四章 类似三角形
第12讲 类似三角形的判定
全效优等生
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部分数学符号的来历 数学运算中经常使用符号，如＋，－，×，÷，＝，＞， ＜，∽，≌，()， 等，你知道它们都是谁首先使用，何时 被人们公认的吗？ 加减号“＋”“－”：1489 年德国数学家魏德曼在他的著 作中首先使用了这两个符号，但正式为大家公认是从 1514 年荷 兰数学家荷伊克开始．乘号“×”：英国数学家奥屈特于 1631 年提出用“×”表示相乘；另一乘号“·”是数学家赫锐奥特首 创的．除号“÷”：最初这个符号是作为减号在欧洲大陆流行， 奥屈特用“∶”表示除或比，也有人用分数线表示比，后来有 人把二者结合起来就变成了“÷”．瑞士的数学家拉哈的著作中 正式把“÷”作为除号．等号“＝”：最初是 1540 年由英国牛
D.147
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【解析】 ∵∠C＝∠E，∠ADC＝∠BDE， ∴△ADC∽△BDE，∴DDEC＝ABDD， 又∵AD∶DE＝3∶5，AE＝8， ∴AD＝3，DE＝5， ∵BD＝4，∴D5C＝34，∴DC＝145.
∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，
又∵BE是∠ABC的平分线， ∴FG＝FC，
例2答图
相似三角形判定一公开课.
B C
解:(1) ∵ DE∥BC DE∥
ADE=∠ ∴ ∠ADE=∠B, AED=∠ ∠AED=∠C.
(2) △ ADE∽ △ABC. ADE∽
理由是: 理由是: ADE=∠ ∵ ∠ADE=∠B ( 两直线平行,同位角相等. ） 两直线平行,同位角相等. AED=∠ ∠AED=∠C ADE∽ ∴ △ ADE∽ △ABC. （两角对应相等的两个三角形相似 ）
如图4 17,D,E分别是 ABC边AB,AC上的点 如图4-17,D,E分别是△ ABC边AB,AC上的点 分别是△ ,DE∥ ,DE∥BC. 图中有哪些相等的角? （1）图中有哪些相等的角? A 找出图中的相似三角形, （2）找出图中的相似三角形, D E 并说明理由; 并说明理由; 写出三组成比例的线段. （3）写出三组成比例的线段.
猜想一：一个角对应相等 − − − − 猜想二：两个角对应相等 猜想三：三个角对应相等 角的关系
3种猜想：角和边关系 边的关系
根据三角形内角和， 根据三角形内角和，可将猜想三与 猜想二化归为同一个猜想
如果两个三角形有一个内角对应相等， 如果两个三角形有一个内角对应相等， 那么这两个三角形一定相似吗？ 那么这两个三角形一定相似吗？
→
AE DE AD = BC = AB AC
课堂达标 1.如图在△ABC中，DE∥ BC,AD=3cm,BD=2cm,△ADE与△ABC 3 是否相似，相似比是 。
5
2.如图，D,E分别为△ABC中AB,AC边上的点，请你添加一个条件 2. D,E ABC AB,AC ） 使△ADE与△ABC相似，你添加的条件是 ∠ ADE= ∠C （∠AED= ∠B）
D
B
● ●
E F
C
解:(1) ∵ DE∥BC DE∥
ADE=∠ ∴ ∠ADE=∠B, AED=∠ ∠AED=∠C.
(2) △ ADE∽ △ABC. ADE∽
理由是: 理由是: ADE=∠ ∵ ∠ADE=∠B ( 两直线平行,同位角相等. ） 两直线平行,同位角相等. AED=∠ ∠AED=∠C ADE∽ ∴ △ ADE∽ △ABC. （两角对应相等的两个三角形相似 ）
如图4 17,D,E分别是 ABC边AB,AC上的点 如图4-17,D,E分别是△ ABC边AB,AC上的点 分别是△ ,DE∥ ,DE∥BC. 图中有哪些相等的角? （1）图中有哪些相等的角? A 找出图中的相似三角形, （2）找出图中的相似三角形, D E 并说明理由; 并说明理由; 写出三组成比例的线段. （3）写出三组成比例的线段.
猜想一：一个角对应相等 − − − − 猜想二：两个角对应相等 猜想三：三个角对应相等 角的关系
3种猜想：角和边关系 边的关系
根据三角形内角和， 根据三角形内角和，可将猜想三与 猜想二化归为同一个猜想
如果两个三角形有一个内角对应相等， 如果两个三角形有一个内角对应相等， 那么这两个三角形一定相似吗？ 那么这两个三角形一定相似吗？
→
AE DE AD = BC = AB AC
课堂达标 1.如图在△ABC中，DE∥ BC,AD=3cm,BD=2cm,△ADE与△ABC 3 是否相似，相似比是 。
5
2.如图，D,E分别为△ABC中AB,AC边上的点，请你添加一个条件 2. D,E ABC AB,AC ） 使△ADE与△ABC相似，你添加的条件是 ∠ ADE= ∠C （∠AED= ∠B）
D
B
● ●
E F
C
人教版数学九年级下相似三角形专题复习公开课优秀教学案例
3.能够运用相似三角形的性质和判定方法证明几何命题，培养逻辑推理能力。
（二）过程与方法
1.通过案例分析、小组讨论、师生互动等多种教学活动，培养学生独立思考和解决问题的能力。
2.引导学生运用相似三角形的知识进行几何图形的变换和分析，提高学生的空间想象能力。
3.培养学生运用数学知识进行逻辑推理和证明的能力，提升学生的数学素养。
在教学内容上，我选取了与相似三角形相关的几个重要知识点，包括相似三角形的性质、判定方法以及相似三角形在实际问题中的应用。在教学过程中，我将采用案例分析、小组讨论、师生互动等多种教学方法，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探索，培养他们的独立思考能力和团队合作精神。
在教学实践中，我发现许多学生在解决相似三角形问题时，往往对基础知识掌握不牢，导致解题思路混乱。因此，在本次公开课中，我将重点强调相似三角形的性质和判定方法，并通过典型例题的讲解和练习，使学生能够熟练运用这些知识解决实际问题。
此外，我还注意到，学生在学习过程中，往往对理论知识较为抵触，容易产生厌学情绪。因此，在本次公开课中，我将尽量使用生动的语言和贴近生活的案例，让学生在轻松愉快的氛围中学习，提高他们的学习积极性。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.掌握相似三角形的性质和判定方法，能够灵活运用这些知识解决实际问题。
2.学会使用相似三角形的知识对图形进行变换和分析，提高空间想象能力。
人教版数学九年级下相似三角形专题复习公开课优秀教学案例
一、案例背景
本节公开课的主题是“人教版数学九年级下相似三角形专题复习”，旨在帮助学生巩固和深化对相似三角形知识的掌握。九年级的学生已经学习了相似三角形的性质和判定方法，但他们在实际解决问题时，往往对这些知识运用不够灵活。因此，本节课的设计目的是让学生在复习中强化对相似三角形知识的理解，提高解决问题的能力。
（二）过程与方法
1.通过案例分析、小组讨论、师生互动等多种教学活动，培养学生独立思考和解决问题的能力。
2.引导学生运用相似三角形的知识进行几何图形的变换和分析，提高学生的空间想象能力。
3.培养学生运用数学知识进行逻辑推理和证明的能力，提升学生的数学素养。
在教学内容上，我选取了与相似三角形相关的几个重要知识点，包括相似三角形的性质、判定方法以及相似三角形在实际问题中的应用。在教学过程中，我将采用案例分析、小组讨论、师生互动等多种教学方法，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探索，培养他们的独立思考能力和团队合作精神。
在教学实践中，我发现许多学生在解决相似三角形问题时，往往对基础知识掌握不牢，导致解题思路混乱。因此，在本次公开课中，我将重点强调相似三角形的性质和判定方法，并通过典型例题的讲解和练习，使学生能够熟练运用这些知识解决实际问题。
此外，我还注意到，学生在学习过程中，往往对理论知识较为抵触，容易产生厌学情绪。因此，在本次公开课中，我将尽量使用生动的语言和贴近生活的案例，让学生在轻松愉快的氛围中学习，提高他们的学习积极性。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.掌握相似三角形的性质和判定方法，能够灵活运用这些知识解决实际问题。
2.学会使用相似三角形的知识对图形进行变换和分析，提高空间想象能力。
人教版数学九年级下相似三角形专题复习公开课优秀教学案例
一、案例背景
本节公开课的主题是“人教版数学九年级下相似三角形专题复习”，旨在帮助学生巩固和深化对相似三角形知识的掌握。九年级的学生已经学习了相似三角形的性质和判定方法，但他们在实际解决问题时，往往对这些知识运用不够灵活。因此，本节课的设计目的是让学生在复习中强化对相似三角形知识的理解，提高解决问题的能力。
相似三角形的性质公开课ppt课件
01
相似三角形的定义
两个三角形如果它们的对应角 相等，则这两个三角形相似。
02
相似三角形的性质
相似三角形的对应边成比例， 对应角相等，面积比等于相似
比的平方。
03
相似三角形的判定
通过比较两个三角形的对应角 或对应边来判断它们是否相似
。
解题技巧归纳
寻找相似三角形
在复杂的图形中，通过观察和分析，找出可能相似的三角形。
与全等三角形关系
全等三角形是特殊的相似三角形 ，当相似比为1时，两个三角形
全等。
全等三角形的性质在相似三角形 中同样适用，如对应边、对应角 相等，周长、面积等性质也可以
类比到相似三角形中。
在研究相似三角形时，可以利用 全等三角形的性质进行推导和证
明。
02
相似三角形性质探究
对应角相等
相似三角形的对应角相等，即如果两个三角形相似，那 么它们的对应角必定相等。
，能够独立思考并解决问题。
学习态度与习惯
在学习过程中，我始终保持积极 的学习态度和良好的学习习惯， 认真听讲、积极思考、及时复习
。
THANKS
个三角形相似。
相似三角形的对应角相等，对应 边成比例，面积比等于相似比的
平方。
02
性质
判定方法
预备定理
平行于三角形一边的直线截其他两边所 在的直线，截得的三角形与原三角形相 似。
SSS相似
三边对应成比例，则两个三角形相似。
SAS相似
两边对应成比例且夹角相等，则两个三 角形相似。
AA相似
两角对应相等，则两个三角形相似。
在证明过程中，需要注意证明两个三 角形相似的条件以及对应角的确定。
通过构造相似三角形，可以找到与已 知角相等的另外一个角，从而证明角 度相等关系。
公开课相似三角形专题复习PPT课件
添平行线构造相似三角形的基本图形。
3
相似三角形
E
E
F M
G
F
N
G
若G为BC中点,EG交AB于点F, 且EF:FG=2:3,
试求AF:FB的值.
添平行线构造相似三角形的基本图形。
4
基本图形的形成、变化及发展过程：
平行型
.
旋转
∽
斜交型 .
.
.
平移
特 殊 垂直型
平移
.. 特 殊
5
运用模型☞
1.添加一个条件，使△AOB∽ △ DOC
BBB
αα6600°°
EEE
6α6α00°°
CCC
12
问题2：
D
（12）延长BA、CF相交于点
A
F
D点,D且,E且为善E于B为C运B的用C中 的类点中比、，点若，若
α
∠B=∠迁C移=的α数, ∠学A方E法F= ∠ C,连
α
B
E α C 结 当A∠AF.EF旋解转决到问题如图位置时，
找 上出 述图 关中 系的 还相 成似立三吗角？形
矩形abcd中把da沿af对折使d与cb边上的点e重合若ad10ab则ef善于在复杂图形中寻找基本型56或2或12注意分类讨论的数学思想15cedf60be6cd3cf4则af17思考题
1
试一试
E
D
M
N
H
过D作DH∥EC交BC延长线于点 H (1)试找出图中的相似三角形? ⊿ADE∽ ⊿ABC ∽ ⊿DBH
A
B
解： 角： ∠B= ∠ C或∠ A= ∠ D O
边：AB ∥ CD
AO：OD=BO：CO
C
D
【公开课教案】相似三角形专题复习—“一线三等角”型
相似三角形专题复习————“一线三等角”型【教学目标】1、会用“一线三等角”的基本图形解决相似中的相关问题2、通过抽象模型，图形变换，变式类比等方法提高综合解题能力【重点】运用“一线三等角”相似型的基本图形解题。
【难点】“一线三等角”的基本图形的提炼、变式和运用【教学方法】合作探究、分析讲授【教具准备】三角尺，多媒体．【教学过程】一．基本图形回顾：设计意图一、复习回顾,揭示目标情景，引入课题：三个基本图形呈现提供不同类型的相似三角形，让学生说出每一个图形中相似形的对应关系，使学生的“直观经验”由“量”变产生“质“变。
从模型引入本专题，使学生对产生模型有个感性的认识，为下一环节抽象模型打好铺垫引入课题：二、抽象模型，揭示实质：二、抽象模型，揭示实质抽象模型的目的是让学生的认识从“特殊“上升到“一般”，这是核心结论的生成阶段，时间上用多一点，要求学生写出证明过程，为后续的学习提供帮助，同时让学生对“一线三等角”基本图形的本质理解，在整节课的设计中起承上启下的作用，为下面的运用规律和知识有枢纽的效果。
三．运用新知，看图作三．运用新知，看图作答：四：从特殊到一般：答通过前面的学习，为了让学生学以致用，设置一个练习及变式训练注意：这里要求学生提炼“一线三等角的基本图形，说出两个相似三角形，要求对应的顶点写在对应的位置，并利用相似的性质求解四、从特殊到一般：从特殊的直角改变成一般的角，并让学生证明，明白从特殊到一般的原理，同时展示三种常见形态五、典例解析，综合运用：五、典例解析，综合运用六、深入探究：七、小结收获交流归纳（1）由“一线三等角”基本图形搭建桥梁可以得到识开始在具体题目中的实际运用，设计上承接了前面的图形，能结合动点问题，勾股定理等知识并运用“一线三等角”相似型解决问题。
学生重点分析解题方法和数学思想的渗透，提高学生综合应用能力。
六、深入探究：相似三角形，熟悉这类题经常是以等边三角形、等腰梯形、正方形、矩形为图形背景出现。
初中数学《相似三角形的性质》公开课课件
①平行得相似；
②两角相等；
③两边对应成比例，且夹角相等；
④三边对应成比例。
5
情境引入：
6
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△ABC~△′ ′ ′ ，根据相似三角形的定义，我们有哪些结论？
从对应边上看：（ 对应边成比例 ）
从对应角上看：（ 对应角相等
48
4
∵▲ =48，∴
解得 ▲ =
9
16
×48=27
链接中考：
16
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（2019·山东枣庄中考·3分）如图，将△ ABC沿BC边上的中线
AD平移到△′ ′ ′ 的位置，已知△ ABC的面积为16，阴影部分三
你知道 风筝是怎样制造的吗？
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1
相似三角形的性质
态度就是竞争力，积极的学习态度就是你脱颖而
出的砝码
学习目标：
3
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1.
掌
相似三
形的性
对应线
比、面
）
高
中线
角平分线
思考：
1.在三角形中，除了边，还有哪些特殊线段？
2.如果两个三角形相似，这些特殊线段又有怎样的关系呢？
情境引入：
7
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△ ABC~△ ′ ′ ′ ，相似比为k，AD,′ ′ 分别是BC,′ ′ 边上的高，
B）
②两角相等；
③两边对应成比例，且夹角相等；
④三边对应成比例。
5
情境引入：
6
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△ABC~△′ ′ ′ ，根据相似三角形的定义，我们有哪些结论？
从对应边上看：（ 对应边成比例 ）
从对应角上看：（ 对应角相等
48
4
∵▲ =48，∴
解得 ▲ =
9
16
×48=27
链接中考：
16
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（2019·山东枣庄中考·3分）如图，将△ ABC沿BC边上的中线
AD平移到△′ ′ ′ 的位置，已知△ ABC的面积为16，阴影部分三
你知道 风筝是怎样制造的吗？
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1
相似三角形的性质
态度就是竞争力，积极的学习态度就是你脱颖而
出的砝码
学习目标：
3
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1.
掌
相似三
形的性
对应线
比、面
）
高
中线
角平分线
思考：
1.在三角形中，除了边，还有哪些特殊线段？
2.如果两个三角形相似，这些特殊线段又有怎样的关系呢？
情境引入：
7
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△ ABC~△ ′ ′ ′ ，相似比为k，AD,′ ′ 分别是BC,′ ′ 边上的高，
B）
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A
4 8
18
A`
B
6
C
24
21
B`
12
C`
如何改变△A`B`C`的其中一条边使△ABC与△A`B`C`相似？
渐入佳境
1.找一找: (1) 如图1,已知:DE∥BC,EF ∥AB,则图中共有 _____对三角形相似. 3 (2)如图3，∠1= ∠2= ∠3,则图中相似三角形的组数为 4 ________. A
A
C
D
B
例2、如图，已知：AB⊥DB于点B ，CD⊥DB于 点D，AB=6，CD=4，BD=14. 问：在DB上是否存在P点，使以C、D、P为顶点 的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似？如 果存在，计算出点P的位置；如果不存在，请说 明理由。
A C
4
D
6
B
14
A C
4
D
6 x P 14―x
B
解（1）假设存在这样的点P，使△ABP∽△CDP 则有AB:CD=PB:PD 设PD=x，则PB=14―x， ∴6：4=（14―x）:x
∴x=5.6
A
C
6
B
4
D
x
p 14―x P
（2）假设存在这样的点P,使△ABP∽△PDC,则 则有AB:PD=PB:CD 设PD=x，则PB=14―x， ∴6： x =（14―x）: 4
A
• •
C
D
B
分析：（1）本题只有已知角和等边三角形的条件，要证∽，可以从找两个 角对应相等入手. AC CD （2）欲证AC DB CD，只须证 CD DB ，但图中找不到能直接得出这个比例式的 相似三角形.由于相比的两条线段处在同一直线上，故可考虑通过等量代换，
2
1.如图，已知△PAC∽△QCB ， △PCQ是等边三角形 (1)若AP=1，BQ=4，求PQ的长. (2)求∠ACB的度数. (3)求证:AC2=AP·AB. C
2 1 y x 2 2
2 时 当 x 2
y最小值
1 2
如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一 个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=45°
（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长
分类讨论 AD=AE AE=DE DE=AD
D
C
证明：∵AB=AC，∠BAC=90° ∴∠B=∠C=45° 又∵∠ADE=45° ∴∠ADE=∠B
B
E
C
∵∠ADC是△ABD的外角 ∴∠ADC=∠ADE+∠2=∠B+∠1 ∴∠1=∠2 ∴ △ABD∽△DCE
如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一 个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=45°
P从点B出发，沿着BC向点C以2cm/秒的速度移动; 点Q从点C出发，沿着CA向点A以1cm/秒的速度移 动。如果P、Q分别从B、C同时出发，问：
经过多少秒时以C、P、Q为顶点的三角形恰 好与⊿ABC相似？
A Q A Q
B
P
C
B
P
C
已知，D、E为△ABC中BC、AC上两点， CE=3，CA=8，CB=6， 若∠CDE=∠A， 4 则：CD=_____， 1：2 △CDE的周长:△CAB的周长 = _______, 1：4 △CDE的面积:△CAB的面积=______. E
1
D
4 3
E
2
· O
C
B
渐入佳境
2.在平面直角坐标系，B（1，0）, A（3，－3）, C（3，0）, 点P在y轴的正半轴上运动，若以O，B，P为顶点的三角形与 △ABC相似，则点P的坐标是__________________.
y
O
· B
C
·
x
· A
渐入佳境
3. 如图：在⊿ABC中， ∠C= 90°,BC=8,AC=6.点
C
D
A B
如图，已知平行四边形ABCD, 1 CE= 2 BC S△ADF =16,则S△CEF= 平行四边形ABCD的面积为
， ？
A
D F
D
E
E
C B
B
C
A
F
如图，在□ABCD中，E为CD上一点， DE：CE=2：3，连结AE、BE、BD，且 AE、BD交于点F，则S△DEF：S△EBF ：S△ABF=
E D A B
F
H G
2.如图，在△ABC中， CA=6，CB=4，AB=8， 当DE∥AB，D点在BC上（与B、C不重合）， E点在AC上. (1)当△CED的面积与四边形EABD的面积相等时， 求CD的长. (2)当△CED的周长与四边形EABD的周长相等 时，求CD的长. C C E A D B A E D B
A
P
Q
B
板书设计
相似三角形性质与判定
一、判定方法 平行线法、两角 两角一夹边、三边 二、性质 应用1 应用2
对应边、对应角 周长比、面积比、 对应线段的比
已知：如图，D在△ABC的边AC上，且DE∥BC， 交AB于E，F在AE上，且AE2=AF×AB， 求证： △AFD∽ △AEC. A F E B
如图，每个小正方形边长均为1，则下 列图中的三角形（阴影部分）与左图 中△ABC相似的是（ B ）
A
B
C
A．
B．
C．
D．
相似三角形的判定方法
3、两边对应成比例,且夹角相等的两三角形相似
4、三边对应成比例的两三角形相似
1、根据下列条件能否判定△ABC与△A′B′C′相似？ 为什么？ (1) ∠A=40°,∠B=80°, ∠A′=40°, ∠C′=60°
（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式及自变量
x的取值范围，并求出当BD为何值时AE取得最小值
解：∵△ABD∽△DCE
AB BD ∴ CD CE
即
∴ ∴
A 1 B
y
E
1 y
C
1 x 2 x 1 y
x
2
D
2x
1 y x
2x
y x2 2x 1
0 x 2
渐入佳境
例1、如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB=AC.
求证:AB2=AE·AD 证明：连接BD ∵AB=AC ∴ AB = AC ∴∠ADB=∠ABE 又∵∠BAD=∠EAB ∴△ABE∽△ADB AB AD AC
∴ B A O· C
D
E
AE
∴AB2=AE·AD
AB
挑战自我
如图，三角形ABC中，BE,CD是两边上的高， 问题1、图中有相似三角形吗？并说明理由 问题2、说明∠AED=∠ABC
B 1
A
y
E
1 y
C
x
D
2x
(3)如图，在△ABC中，DE∥AB，自D、C、E分 别向AB作垂线，垂足分别为G、H、F， CH交 DE于P，已知 CH=6，AB=8. ①若EF=x ,DE=y，写出y与x的函数关系式. ②设EF为x，S矩形DEFG=S,写出S与x的函数关系式， 以及自变量x的取值范围？ C ③当x为何值时，矩形DEFG的面积 最大，最大面积为多少？ P
∴x=2或x=12
∴x=2或x=12或x=5.6时，以C、D、P为顶点的三 角形与以P、B、A为顶点的三角形相似
已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5， AB＝DC＝2． （1）如图，P为AD上的一点，满足∠BPC＝∠A． ①求证；△ABP∽△DPC ②求AP的长． （2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重 合），且满足∠BPE＝∠A，PE交直线BC于点E， 同时交直线DC于点Q，那么 ①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP＝x，CQ ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函 数的定义域； ②当CE＝1时，写出AP的长
如图，在△ABC中，AB＞AC，D为AC边上异于A、C 的一点，过D点作一直线与AB相交于点E，使所得 到的新三角形与原△ABC相似. 问：你能画出符合条件的直线吗？ A
E
相似三角形的判定方法
B
E
D
C
1、平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成 的三角形与原三角形相似 2、有两角对应相等的两个三角形相似
A′ A
40° 40°
B
80°
C
B′
60 °
C′
1、根据下列条件能否判定△ABC与△A′B′C′相似？ 为什么？ (2) ∠A=40°，AB=3 ，AC=6 ∠A′=40°，A′B′=7 ，A′C′=14
A′ A
3 40°
7
40°
14
6
B
C
B′
C′
1、根据下列条件能否判定△ABC与△A`B`C`相似？ 为什么？ (3) AB=4 ，BC=6 ，AC=8 A`B`=18 ，B`C`=12 ，A`C`= 24 21
提示:
Ｍ Ａ
Ｎ Ｄ
Ｍ Ａ
Ｂ
Ｑ
Ｎ
Ｄ
1、PQ是折痕与AD、CE垂直吗，∠ABE是什么角？ 2、要证△PBE和△BAE相似能用AA吗，有成比例线段吗？ 3、沿直线EB折叠纸片，点A要在EC上，只要什么成立？
1.如图，△PCD是等边三角形，A、C、D、B在同 一直线上，且∠APB=120°. 求证：⑴△PAC∽△BPD；⑵AC·BD=CD2. P
的取值范围，并求出当BD为何值时AE取得最小值 （3）当△ADE是等腰三角形时， A y 求AE的长
1
E
C
B
x
D
如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一
4 8
18
A`
B
6
C
24
21
B`
12
C`
如何改变△A`B`C`的其中一条边使△ABC与△A`B`C`相似？
渐入佳境
1.找一找: (1) 如图1,已知:DE∥BC,EF ∥AB,则图中共有 _____对三角形相似. 3 (2)如图3，∠1= ∠2= ∠3,则图中相似三角形的组数为 4 ________. A
A
C
D
B
例2、如图，已知：AB⊥DB于点B ，CD⊥DB于 点D，AB=6，CD=4，BD=14. 问：在DB上是否存在P点，使以C、D、P为顶点 的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似？如 果存在，计算出点P的位置；如果不存在，请说 明理由。
A C
4
D
6
B
14
A C
4
D
6 x P 14―x
B
解（1）假设存在这样的点P，使△ABP∽△CDP 则有AB:CD=PB:PD 设PD=x，则PB=14―x， ∴6：4=（14―x）:x
∴x=5.6
A
C
6
B
4
D
x
p 14―x P
（2）假设存在这样的点P,使△ABP∽△PDC,则 则有AB:PD=PB:CD 设PD=x，则PB=14―x， ∴6： x =（14―x）: 4
A
• •
C
D
B
分析：（1）本题只有已知角和等边三角形的条件，要证∽，可以从找两个 角对应相等入手. AC CD （2）欲证AC DB CD，只须证 CD DB ，但图中找不到能直接得出这个比例式的 相似三角形.由于相比的两条线段处在同一直线上，故可考虑通过等量代换，
2
1.如图，已知△PAC∽△QCB ， △PCQ是等边三角形 (1)若AP=1，BQ=4，求PQ的长. (2)求∠ACB的度数. (3)求证:AC2=AP·AB. C
2 1 y x 2 2
2 时 当 x 2
y最小值
1 2
如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一 个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=45°
（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长
分类讨论 AD=AE AE=DE DE=AD
D
C
证明：∵AB=AC，∠BAC=90° ∴∠B=∠C=45° 又∵∠ADE=45° ∴∠ADE=∠B
B
E
C
∵∠ADC是△ABD的外角 ∴∠ADC=∠ADE+∠2=∠B+∠1 ∴∠1=∠2 ∴ △ABD∽△DCE
如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一 个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=45°
P从点B出发，沿着BC向点C以2cm/秒的速度移动; 点Q从点C出发，沿着CA向点A以1cm/秒的速度移 动。如果P、Q分别从B、C同时出发，问：
经过多少秒时以C、P、Q为顶点的三角形恰 好与⊿ABC相似？
A Q A Q
B
P
C
B
P
C
已知，D、E为△ABC中BC、AC上两点， CE=3，CA=8，CB=6， 若∠CDE=∠A， 4 则：CD=_____， 1：2 △CDE的周长:△CAB的周长 = _______, 1：4 △CDE的面积:△CAB的面积=______. E
1
D
4 3
E
2
· O
C
B
渐入佳境
2.在平面直角坐标系，B（1，0）, A（3，－3）, C（3，0）, 点P在y轴的正半轴上运动，若以O，B，P为顶点的三角形与 △ABC相似，则点P的坐标是__________________.
y
O
· B
C
·
x
· A
渐入佳境
3. 如图：在⊿ABC中， ∠C= 90°,BC=8,AC=6.点
C
D
A B
如图，已知平行四边形ABCD, 1 CE= 2 BC S△ADF =16,则S△CEF= 平行四边形ABCD的面积为
， ？
A
D F
D
E
E
C B
B
C
A
F
如图，在□ABCD中，E为CD上一点， DE：CE=2：3，连结AE、BE、BD，且 AE、BD交于点F，则S△DEF：S△EBF ：S△ABF=
E D A B
F
H G
2.如图，在△ABC中， CA=6，CB=4，AB=8， 当DE∥AB，D点在BC上（与B、C不重合）， E点在AC上. (1)当△CED的面积与四边形EABD的面积相等时， 求CD的长. (2)当△CED的周长与四边形EABD的周长相等 时，求CD的长. C C E A D B A E D B
A
P
Q
B
板书设计
相似三角形性质与判定
一、判定方法 平行线法、两角 两角一夹边、三边 二、性质 应用1 应用2
对应边、对应角 周长比、面积比、 对应线段的比
已知：如图，D在△ABC的边AC上，且DE∥BC， 交AB于E，F在AE上，且AE2=AF×AB， 求证： △AFD∽ △AEC. A F E B
如图，每个小正方形边长均为1，则下 列图中的三角形（阴影部分）与左图 中△ABC相似的是（ B ）
A
B
C
A．
B．
C．
D．
相似三角形的判定方法
3、两边对应成比例,且夹角相等的两三角形相似
4、三边对应成比例的两三角形相似
1、根据下列条件能否判定△ABC与△A′B′C′相似？ 为什么？ (1) ∠A=40°,∠B=80°, ∠A′=40°, ∠C′=60°
（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式及自变量
x的取值范围，并求出当BD为何值时AE取得最小值
解：∵△ABD∽△DCE
AB BD ∴ CD CE
即
∴ ∴
A 1 B
y
E
1 y
C
1 x 2 x 1 y
x
2
D
2x
1 y x
2x
y x2 2x 1
0 x 2
渐入佳境
例1、如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB=AC.
求证:AB2=AE·AD 证明：连接BD ∵AB=AC ∴ AB = AC ∴∠ADB=∠ABE 又∵∠BAD=∠EAB ∴△ABE∽△ADB AB AD AC
∴ B A O· C
D
E
AE
∴AB2=AE·AD
AB
挑战自我
如图，三角形ABC中，BE,CD是两边上的高， 问题1、图中有相似三角形吗？并说明理由 问题2、说明∠AED=∠ABC
B 1
A
y
E
1 y
C
x
D
2x
(3)如图，在△ABC中，DE∥AB，自D、C、E分 别向AB作垂线，垂足分别为G、H、F， CH交 DE于P，已知 CH=6，AB=8. ①若EF=x ,DE=y，写出y与x的函数关系式. ②设EF为x，S矩形DEFG=S,写出S与x的函数关系式， 以及自变量x的取值范围？ C ③当x为何值时，矩形DEFG的面积 最大，最大面积为多少？ P
∴x=2或x=12
∴x=2或x=12或x=5.6时，以C、D、P为顶点的三 角形与以P、B、A为顶点的三角形相似
已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5， AB＝DC＝2． （1）如图，P为AD上的一点，满足∠BPC＝∠A． ①求证；△ABP∽△DPC ②求AP的长． （2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重 合），且满足∠BPE＝∠A，PE交直线BC于点E， 同时交直线DC于点Q，那么 ①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP＝x，CQ ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函 数的定义域； ②当CE＝1时，写出AP的长
如图，在△ABC中，AB＞AC，D为AC边上异于A、C 的一点，过D点作一直线与AB相交于点E，使所得 到的新三角形与原△ABC相似. 问：你能画出符合条件的直线吗？ A
E
相似三角形的判定方法
B
E
D
C
1、平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成 的三角形与原三角形相似 2、有两角对应相等的两个三角形相似
A′ A
40° 40°
B
80°
C
B′
60 °
C′
1、根据下列条件能否判定△ABC与△A′B′C′相似？ 为什么？ (2) ∠A=40°，AB=3 ，AC=6 ∠A′=40°，A′B′=7 ，A′C′=14
A′ A
3 40°
7
40°
14
6
B
C
B′
C′
1、根据下列条件能否判定△ABC与△A`B`C`相似？ 为什么？ (3) AB=4 ，BC=6 ，AC=8 A`B`=18 ，B`C`=12 ，A`C`= 24 21
提示:
Ｍ Ａ
Ｎ Ｄ
Ｍ Ａ
Ｂ
Ｑ
Ｎ
Ｄ
1、PQ是折痕与AD、CE垂直吗，∠ABE是什么角？ 2、要证△PBE和△BAE相似能用AA吗，有成比例线段吗？ 3、沿直线EB折叠纸片，点A要在EC上，只要什么成立？
1.如图，△PCD是等边三角形，A、C、D、B在同 一直线上，且∠APB=120°. 求证：⑴△PAC∽△BPD；⑵AC·BD=CD2. P
的取值范围，并求出当BD为何值时AE取得最小值 （3）当△ADE是等腰三角形时， A y 求AE的长
1
E
C
B
x
D
如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一