指数函数及其性质1-副本
专题23指数函数的图像和性质
专题23指数函数的图像和性质指数函数是高中数学中一个重要的函数，它的图像和性质也是我们需要了解的。
在本篇文章中，我们将深入探讨指数函数的图像和性质，帮助大家更好地理解这一函数。
首先，让我们来回顾一下指数函数的定义。
指数函数是以常数e(自然对数的底数)为底的函数，形如f(x)=a^x。
其中，a称为底数，x称为指数。
1.底数a的取值范围根据指数函数的定义，我们可以得知底数a必须为正数且不等于1、这是因为若底数为负数，则指数函数的值将无法确定；若底数为1，则指数函数的值将始终为1，此时无法展现指数函数的特性。
2.指数函数的图像我们首先来看一下指数函数的图像。
为了简化问题，我们取底数a为2，即f(x)=2^x。
接下来，我们用数轴上的点来表示指数函数f(x)的值，其中横轴表示x，纵轴表示f(x)。
当x为0时，指数函数的值为f(0)=2^0=1、因此，图像上有一个点(0,1)。
当x为1时，指数函数的值为f(1)=2^1=2、因此，图像上有一个点(1,2)。
同样地，我们可以得到当x为2、3、4时的点(2,4)、(3,8)、(4,16)。
将这些点依次连接起来，我们就得到了指数函数y=2^x的图像，它像一个向上开口的曲线，经过点(0,1)，随着x的增加，函数值呈指数增长。
3.指数函数的性质接下来，我们来探讨指数函数的一些性质。
（1）增减性指数函数的增减性与底数a的大小有关。
当底数a大于1时，指数函数是增函数；当底数a介于0和1之间时，指数函数是减函数。
这是因为当底数a大于1时，随着x的增加，指数函数的值也随之增加；当底数a 介于0和1之间时，随着x的增加，指数函数的值反而减小。
（2）对称性指数函数具有关于y轴的对称性。
即对于任意一个点(x,y)，若点(-x,y')也在指数函数的图像上，那么有y=y'。
这是因为指数函数的底数是正数，所以底数的互为倒数的两个数的函数值是相等的。
（3）趋势当底数a大于1时，指数函数的图像逐渐增长；当底数a介于0和1之间时，指数函数的图像逐渐减小。
高中数学必修1指数函数的基本性质
高中数学必修1指数函数的基本性质指数函数是高中数学中的重要概念之一。
本文将介绍指数函数的基本性质，以帮助理解和应用该函数。
1. 指数函数的定义指数函数是以底数为 $a$ 的指数形式表示的函数，通常写作 $y = a^x$。
其中，底数 $a$ 是一个常数，称为底数；$x$ 是自变量，表示指数；$y$ 是因变量，表示函数值。
2. 指数函数的图像指数函数的图像特点如下：- 当底数 $a > 1$ 时，指数函数是递增函数。
图像在 $x$ 轴的右侧；当 $a < 1$ 时，指数函数是递减函数。
图像在 $x$ 轴的左侧。
- 当 $a > 1$ 时，图像的增长速度逐渐加快；当 $0 < a < 1$ 时，图像的增长速度逐渐减慢。
- 当 $a > 1$ 时，图像在 $y$ 轴上方向无界；当 $0 < a < 1$ 时，图像在 $y$ 轴下方向无界。
3. 指数函数的基本性质指数函数具有以下基本性质：- 任何实数 $x$ 的 $0$ 次方等于 $1$，即 $a^0 = 1$。
- 指数函数的定义域是所有实数，即 $(-\infty, \infty)$。
- 当底数 $a > 0$ 且不等于 $1$ 时，指数函数的值域是 $(0,+\infty)$；当底数 $a < 0$ 时，指数函数的值域是 $(-\infty, 0)$。
- 指数函数的零点不存在。
- 当底数 $a > 1$ 时，指数函数在 $x$ 轴的右侧具有水平渐近线$y = 0$；当 $0 < a < 1$ 时，指数函数在 $x$ 轴的右侧具有水平渐近线 $y = 0$。
4. 指数函数的特殊性质指数函数还具有以下特殊性质：- 当底数 $a > 1$ 时，指数函数在 $x = 0$ 处有一个特殊点 $(0, 1)$。
- 当底数 $a < 0$ 时，指数函数的图像不完整，因为指数函数只有在底数为正数的情况下定义。
指数函数的性质与变化规律
指数函数的性质与变化规律指数函数是高中数学中的一个重要概念，它在数学、工程学、经济学等领域有着广泛的应用。
本文将探讨指数函数的性质与变化规律，帮助读者更好地理解和应用指数函数。
一、定义与基本性质指数函数可以用如下的数学表达式来表示：f(x) = a^x，其中a为底数，x为指数。
其中，a为正实数并且不等于1。
指数函数的定义域是实数集，值域则取决于a的取值范围。
指数函数的基本性质如下：1. 当x为自然数时，指数函数的取值等于底数连乘自己x次的结果。
例如，f(3) = a^3 = a × a × a。
2. 当x为0时，指数函数的取值等于1。
即f(0) = a^0 = 1。
这是因为任何数的0次方都等于1。
3. 当x为负数时，指数函数的取值等于底数的倒数连乘自己x次的结果。
例如，f(-2) = a^(-2) = 1/(a × a)。
4. 当x为分数时，指数函数的取值等于底数开根号的分母次方。
例如，f(1/2) = a^(1/2) = √a。
二、增长与衰减指数函数在自变量x的取值不同时，其对应的函数值也会有所变化。
指数函数可以表现出增长或衰减的特性。
1. 当底数a大于1时，指数函数是增长的。
随着x的增加，函数值也随之增加。
这是因为底数大于1时，连乘的结果会越来越大。
2. 当底数a大于0且小于1时，指数函数是衰减的。
随着x的增加，函数值会逐渐减小。
这是因为底数大于0且小于1时，连乘的结果会越来越小。
三、对称性与奇偶性指数函数还具有对称性和奇偶性的特点。
1. 当底数a为正数且不等于1时，指数函数关于y轴对称。
即f(-x) = a^(-x) = 1/(a^x) = 1/f(x)。
这意味着函数的图像在y轴上是对称的。
2. 当底数a为负数时，指数函数具有奇偶性。
当指数x为偶数时，函数值为正；当指数x为奇数时，函数值为负。
例如，当a为-2时，f(2) = (-2)^2 = 4，而f(3) = (-2)^3 = -8。
指数函数性质总结
指数函数性质总结指数函数是数学中一种重要的函数类型，它的表达形式是$y=a^x$，其中$a$为底数，$x$为指数。
指数函数具有以下几个重要的性质，下面将对这些性质进行详细总结。
性质一：幂乘法则指数函数的幂乘法则是指，当底数相同时，指数相加的结果等于对应幂相乘的结果。
即对于任意实数$a$和指数$x_1$、$x_2$，有$a^{x_1} \cdot a^{x_2} = a^{x_1 + x_2}$。
这个性质可以通过指数函数的定义和乘法法则推导得出。
性质二：指数为0和1的特殊情况当指数等于0时，指数函数的结果总是等于1。
即$a^0 = 1$，其中$a$为任意非零实数。
这是因为任何非零实数的0次方都是1。
当指数等于1时，指数函数的结果总是等于底数本身。
即$a^1 = a$，其中$a$为任意实数。
这是因为任何实数的1次方都等于它本身。
性质三：指数为负数的情况当指数为负数时，指数函数的结果等于底数的倒数的绝对值。
即当$x<0$时，$a^x=\frac{1}{|a^x|}$。
这是因为指数函数的值随着指数的增减而变化，当指数为负数时，结果是正数的倒数。
性质四：指数为分数的情况当指数为分数时，指数函数的结果等于底数的对应幂的开方。
即当$x=\frac{m}{n}$时，$a^x = \sqrt[n]{a^m}$，其中$a$为任意正实数，$m$和$n$为正整数。
这是因为指数为分数等于一个数的多次方根。
性质五：指数函数的图像特点指数函数的图像是一种特殊的曲线，其特点如下：1. 当底数$a>1$时，指数函数随着$x$的增大而迅速增大，曲线趋近于正无穷大。
当$a<1$时，指数函数随着$x$的增大而逐渐趋近于0，曲线接近于$x$轴。
这种特点称为“爆炸增长”和“衰减到零”。
2. 指数函数在$x=0$处取得函数值为1的极值点，称为“基准点”。
当底数$a>1$时，函数在基准点的右侧逐渐增大；当$a<1$时，函数在基准点的右侧逐渐减小。
指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质
指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质（一）指数与指数函数1．根式（1）根式的概念（2）．两个重要公式①⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a aa nn ；②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。
2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m na a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)mnm naa m n N n a-*==>∈>、且③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。
（2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );. 3．指数函数的图象与性质n 为奇数 n 为偶数注：如图所示，是指数函数（1）y=a x ,（2）y=b x,（3）,y=c x （4）,y=d x 的图象，如何确定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c 1>d 1>1>a 1>b 1,∴c>d>1>a>b 。
即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。
（二）对数与对数函数 1、对数的概念 （1）对数的定义如果(01)x a N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作log N a x =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
（2）几种常见对数2、对数的性质与运算法则（1）对数的性质（0,1a a >≠且）：①1log 0a =，②lo g 1aa =，③lo g Na a N =，④lo g N a aN =。
高一数学指数函数的概念、图象与性质(解析版)
专题32 指数函数的概念、图象与性质1．指数函数的定义一般地，函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R. 温馨提示：指数函数解析式的3个特征： (1)底数a 为大于0且不等于1的常数． (2)自变量x 的位置在指数上，且x 的系数是1. (3)a x 的系数是1.2．指数函数的图象和性质a 的范围a ＞10＜a ＜1图象性质定义域 R 值域(0，＋∞)过定点 (0,1)，即当x ＝0时，y ＝1单调性 在R 上是增函数在R 上是减函数奇偶性 非奇非偶函数对称性函数y ＝a x 与y ＝a －x 的图象关于y 轴对称(1)底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a >1，还是0<a <1，在第一象限内底数越大，函数图象越靠近y 轴．当a >b >1时，①若x >0，则a x >b x >1；②若x <0，则1>b x >a x >0. 当1>a >b >0时，①若x >0，则1>a x >b x >0；②若x <0，则b x >a x >1. (2)指数函数的图象都经过点(0,1)，且图象都在x 轴上方．(3)当a >1时，x →－∞，y →0；当0<a <1时，x →＋∞，y →0.(其中“x →＋∞”的意义是“x 趋近于正无穷大”)题型一 指数函数的概念1．下列各函数中，是指数函数的是( )A ．y ＝(－3)xB ．y ＝－3xC ． y ＝3x －1 D ．y ＝⎝⎛⎭⎫13x [解析]由指数函数的定义知a >0且a ≠1，故选D. 2．下列函数一定是指数函数的是( )A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝x 3 C ．y ＝3·2xD ．y ＝3－x[解析]由指数函数的定义可知D 正确． 3．下列函数中，指数函数的个数为( )①y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1；②y ＝a x (a >0，且a ≠1)；③y ＝1x；④y ＝⎝⎛⎭⎫122x －1. A ．0个 B ．1个 C ．3个D ．4个[解析]由指数函数的定义可判定，只有②正确．[答案] B 4．下列函数：①y ＝2·3x ；②y ＝3x ＋1；③y ＝3x ；④y ＝x 3. 其中，指数函数的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3[解析]形如“y ＝a x (a >0，且a ≠1)”的函数为指数函数，只有③符合，选B. 5．下列函数中，是指数函数的个数是( )①y ＝(－8)x；②y ＝2x 2－1；③y ＝a x ；④y ＝2·3x .A ．1B ．2C ．3D ．0[解析] (1)①中底数－8<0，所以不是指数函数；②中指数不是自变量x ，而是x 的函数，所以不是指数函数； ③中底数a ，只有规定a >0且a ≠1时，才是指数函数； ④中3x 前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数，故选D. 6．指出下列哪些是指数函数．(1)y ＝4x ；(2)y ＝x 4；(3)y ＝－4x ；(4)y ＝(－4)x ；(5)y ＝πx ；(6)y ＝4x 2；(7)y ＝x x ；(8)y ＝(2a －1)x ⎝⎛⎭⎫a ＞12，且a ≠1. [解析] (2)是四次函数；(3)是－1与4x 的乘积；(4)中底数－4＜0；(6)是二次函数；(7)中底数x 不是常数． 它们都不符合指数函数的定义，故不是指数函数．综上可知，(1)(5)(8)是指数函数． 7．已知函数f (x )＝(2a －1)x 是指数函数，则实数a 的取值范围是________．[解析]由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧2a －1>0，2a －1≠1，解得a >12，且a ≠1，所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，＋∞)． 8．函数y ＝(a －2)2a x 是指数函数，则( )A ．a ＝1或a ＝3B ．a ＝1C ．a ＝3D ．a >0且a ≠1[解析]由指数函数的概念可知，⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)2＝1，a >0，a ≠1，得a ＝3.9．函数f (x )＝(m 2－m ＋1)a x (a >0，且a ≠1)是指数函数，则m ＝________. [解析]∵函数f (x )＝(m 2－m ＋1)a x 是指数函数，∴m 2－m ＋1＝1，解得m ＝0或1. 10．若函数y ＝(a 2－4a ＋4)a x 是指数函数，则a 的值是( )A ．4B ．1或3C ．3D ．1[解析]由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a ≠1，a 2－4a ＋4＝1，解得a ＝3，故选C.11．若函数f (x )＝(a 2－2a ＋2)(a ＋1)x 是指数函数，则a ＝________. [解析]由指数函数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ＋2＝1，a ＋1>0，a ＋1≠1，解得a ＝1.12．指数函数f (x )＝a x 的图象经过点(2,4)，则f (－3)的值是________． [解析]由题意知4＝a 2，所以a ＝2，因此f (x )＝2x ，故f (－3)＝2－3＝18.13．已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，且a ≠1)，经过点(－1,5)，(0,4)，则f (－2)的值为________．[解析]由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝5，a 0＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝3，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x＋3，所以f (－2)＝⎝⎛⎭⎫12－2＋3＝4＋3＝7. 14．已知函数f (x )为指数函数，且f ⎝⎛⎭⎫－32＝39，则f (－2)＝________. [解析]设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，由f ⎝⎛⎭⎫－32＝39得a －32＝39，所以a ＝3，又f (－2)＝a －2， 所以f (－2)＝3－2＝19.15．若函数f (x )是指数函数，且f (2)＝9，则f (－2)＝________，f (1)＝________. [解析]设f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)，∵f (2)＝9，∴a 2＝9，a ＝3，即f (x )＝3x . ∴f (－2)＝3－2＝19，f (1)＝3.16．若点(a,27)在函数y ＝(3)x 的图象上，则a 的值为( )A. 6 B ．1 C ．2 2D ．0[解析]选A 点(a,27)在函数y ＝(3)x 的图象上，∴27＝(3)a ， 即33＝3a 2，∴a2＝3，解得a ＝6，∴a ＝ 6.故选A.17．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12ax ，a 为常数，且函数的图象过点(－1,2)，则a ＝________，若g (x )＝4－x－2， 且g (x )＝f (x )，则x ＝________.[解析]因为函数的图象过点(－1,2)，所以⎝⎛⎭⎫12－a＝2，所以a ＝1，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ， g (x )＝f (x )可变形为4－x －2－x －2＝0，解得2－x ＝2，所以x ＝－1. 18．已知f (x )＝2x ＋12x ，若f (a )＝5，则f (2a )＝________.[解析]因为f (x )＝2x ＋12x ，f (a )＝5，则f (a )＝2a ＋12a ＝5.所以f (2a )＝22a ＋122a ＝(2a )2＋⎝⎛⎭⎫12a 2＝⎝⎛⎭⎫2a ＋12a 2－2＝23. 19．若f (x )满足对任意的实数a ，b 都有f (a ＋b )＝f (a )·f (b )且f (1)＝2，则f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋f (6)f (5)＋…＋f (2020)f (2019)＝( )A ．1010B ．2020C ．2019D ．1009[解析]不妨设f (x )＝2x ，则f (2)f (1)＝f (4)f (3)＝…＝f (2020)f (2019)＝2，所以原式＝1010×2＝2020.题型二 指数函数的图象及其应用1．y ＝⎝⎛⎭⎫34x的图象可能是( )[解析]0<34<1且过点(0,1)，故选C.2．函数y ＝3－x 的图象是( )A B C D[解析]∵y ＝3－x＝⎝⎛⎭⎫13x，∴B 选项正确．3．函数y ＝2－|x |的大致图象是( )[解析]y ＝2－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≥0.2x ，x <0，画出图象，可知选C. 4．函数y ＝a －|x |(0<a <1)的图象是( )A B C D[解析]y ＝a－|x |＝⎝⎛⎭⎫1a |x|，易知函数为偶函数，∵0<a <1，∴1a>1，故当x >0时，函数为增函数，当x <0时，函数为减函数，当x ＝0时，函数有最小值，最小值为1，且指数函数为凹函数，故选A. 5．函数y ＝－2－x 的图象一定过第________象限．[解析]y ＝－2－x ＝－⎝⎛⎭⎫12x 与y ＝⎝⎛⎭⎫12x 关于x 轴对称，一定过第三、四象限． 6．函数f (x )＝a x－b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0[解析]从曲线的变化趋势，可以得到函数f (x )为减函数，从而有0<a <1；从曲线位置看， 是由函数y ＝a x (0<a <1)的图象向左平移|－b |个单位长度得到，所以－b >0，即b <0. 7．已知0<m <n <1，则指数函数①y ＝m x ，②y ＝n x 的图象为( )[解析]由于0<m <n <1，所以y ＝m x 与y ＝n x 都是减函数，故排除A 、B ，作直线x ＝1与两个曲线相交， 交点在下面的是函数y ＝m x 的图象，故选C.8．若a >1，－1<b <0，则函数y ＝a x ＋b 的图象一定在( )A ．第一、二、三象限B ．第一、三、四象限C ．第二、三、四象限D ．第一、二、四象限[解析]A,∵a >1，且－1<b <0，故其图象如图所示．]9．若函数y ＝a x ＋b －1(a >0，且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有( )A ．0<a <1，且b >0B ．a >1，且b >0C ．0<a <1，且b <0D ．a >1，且b <0[解析]函数y ＝a x ＋b －1(a >0，且a ≠1)的图象是由函数y ＝a x 的图象经过向上或向下平移而得到的，因其图象不经过第一象限，所以a ∈(0,1)．若经过第二、三、四象限，则需将函数y ＝a x (0<a <1)的图象向下平移至少大于1个单位长度，即b －1<－1⇒b <0.故选C.10．若函数y ＝a x ＋m －1(a ＞0)的图象经过第一、第三和第四象限，则( )A ．a ＞1B ．a ＞1，且m ＜0C ．0＜a ＜1，且m ＞0D ．0＜a ＜1[解析]选B,y ＝a x (a ＞0)的图象在第一、二象限内，欲使y ＝a x ＋m －1的图象经过第一、三、四象限，必须将y ＝a x 向下移动．当0＜a ＜1时，图象向下移动，只能经过第一、二、四象限或第二、三、四象限，故只有当a ＞1时，图象向下移动才可能经过第一、三、四象限．当a ＞1时，图象向下移动不超过一个单位时，图象经过第一、二、三象限，向下移动一个单位时，图象恰好经过原点和第一、三象限，欲使图象经过第一、三、四象限，则必须向下平移超过一个单位，故m －1＜－1，所以m ＜0，故选B. 11．函数f (x )＝a x 与g (x )＝－x ＋a 的图象大致是( )[解析]当a >1时，函数f (x )＝a x 单调递增，当x ＝0时，g (0)＝a >1，此时两函数的图象大致为选项A. 12．二次函数y ＝ax 2＋bx 与指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫b a x的图象可能是( )[解析]二次函数y ＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋b 2a 2－b 24a ，其图象的顶点坐标为⎝⎛⎭⎫－b 2a ，－b 24a ，由指数函数的图象知0<ba<1， 所以－12<－b 2a <0，再观察四个选项，只有A 中的抛物线的顶点的横坐标在－12和0之间．13．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝a x＋b的图象是()[解析]由函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象可知0<a<1，b<－1，所以函数g(x)＝a x＋b是减函数，排除选项C、D；又因为函数图象过点(0,1＋b)(1＋b<0)，故选A.14．如图是指数函数①y＝a x，②y＝b x，③y＝c x，④y＝d x的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为()A．a<b<1<c<d B．b<a<1<d<c C．1<a<b<c<d D．a<b<1<d<c[解析](1)解法一：由图象可知③④的底数必大于1，①②的底数必小于1.作直线x＝1，在第一象限内直线x＝1与各曲线的交点的纵坐标即各指数函数的底数，则1<d<c，b<a<1，从而可知a，b，c，d与1的大小关系为b<a<1<d<c.解法二：根据图象可以先分两类：③④的底数大于1，①②的底数小于1，再由③④比较c，d的大小，由①②比较a，b的大小．当指数函数的底数大于1时，图象上升，且底数越大时图象向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近x轴．15．方程|2x－1|＝a有唯一实数解，则a的取值范围是________．[解析]作出y＝|2x－1|的图象，如图，要使直线y＝a与图象的交点只有一个，∴a≥1或a＝0.16．函数y＝a x－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________．[解析]因为指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y＝a x－3＋3中，令x－3＝0，得x＝3，此时y＝1＋3＝4，即函数y＝a x－3＋3的图象过定点(3,4)．17．函数y＝2a x＋3＋2(a>0，且a≠1)的图象过定点________．[解析]令x＋3＝0得x＝－3，此时y＝2a0＋2＝2＋2＝4.即函数y＝2a x＋3＋2(a>0，且a≠1)的图象过定点(－3,4)．18．当a>0，且a≠1时，函数f(x)＝a x＋1－1的图象一定过点()A．(0,1) B．(0，－1)C ．(－1,0)D ．(1,0)[解析] 当x ＝－1时，显然f (x )＝0，因此图象必过点(－1,0)．19．已知函数y ＝2a x －1＋1(a >0且a ≠1)恒过定点A (m ，n )，则m ＋n ＝( )A ．1B ．3C ．4D ．2[解析]选C,由题意知，当x ＝1时，y ＝3，故A (1,3)，m ＋n ＝4. 20．函数y ＝a 2x ＋1＋1(a >0，且a ≠1)的图象过定点________． [解析]令2x ＋1＝0得x ＝－12，y ＝2，所以函数图象恒过点⎝⎛⎭⎫－12，2. 21．若函数y ＝2－|x |－m 的图象与x 轴有交点，则( )A ．－1≤m ＜0B ．0≤m ≤1C ．0＜m ≤1D ．m ≥0[解析]易知y ＝2－|x |－m ＝⎝⎛⎭⎫12|x |－m .若函数y ＝2－|x |－m 的图象与x 轴有交点，则方程⎝⎛⎭⎫12|x |－m ＝0有解， 即m ＝⎝⎛⎭⎫12|x |有解．∵0＜⎝⎛⎭⎫12|x |≤1，∴0＜m ≤1. 22．已知f (x )＝2x 的图象，指出下列函数的图象是由y ＝f (x )的图象通过怎样的变化得到：(1)y ＝2x ＋1；(2)y ＝2x －1；(3)y ＝2x ＋1；(4)y ＝2－x ；(5)y ＝2|x |. [解析] (1)y ＝2x ＋1的图象是由y ＝2x 的图象向左平移1个单位得到．(2)y ＝2x－1的图象是由y ＝2x 的图象向右平移1个单位得到．(3)y ＝2x ＋1的图象是由y ＝2x 的图象向上平移1个单位得到．(4)∵y ＝2－x 与y ＝2x 的图象关于y 轴对称，∴作y ＝2x 的图象关于y 轴的对称图形便可得到y ＝2－x的图象．(5)∵y ＝2|x |为偶函数，故其图象关于y 轴对称，故先作出当x ≥0时，y ＝2x 的图象，再作关于y 轴的对称图形，即可得到y ＝2|x |的图象．23．已知函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0，且a ≠1)．(1)若f (x )的图象如图①所示，求a ，b 的值； (2)若f (x )的图象如图②所示，求a ，b 的取值范围；(3)在(1)中，若|f (x )|＝m 有且仅有一个实数根，求m 的取值范围．[解析] (1)f (x )的图象过点(2,0)，(0，－2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b ＝0，a 0＋b ＝－2，又因为a ＞0，且a ≠1，所以a ＝3，b ＝－3.(2)f (x )单调递减，所以0＜a ＜1，又f (0)＜0.即a 0＋b ＜0，所以b ＜－1. 故a 的取值范围为(0,1)，b 的取值范围为(－∞，－1)．(3)画出|f (x )|＝|(3)x －3|的图象如图所示，要使|f (x )|＝m 有且仅有一个实数根， 则m ＝0或m ≥3.故m 的取值范围为[3，＋∞)∪{0}．题型三 指数函数的定义域与值域1．求下列函数的定义域和值域：(1)y ＝1－3x ；(2)y ＝21x －4 ; (3)y ＝⎝⎛⎭⎫23－|x | ; (4)y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3；(5)y ＝4x ＋2x ＋1＋2. [解析] (1)要使函数式有意义，则1－3x ≥0，即3x ≤1＝30，因为函数y ＝3x 在R 上是增函数，所以x ≤0， 故函数y ＝1－3x 的定义域为(－∞，0]．因为x ≤0，所以0<3x ≤1，所以0≤1－3x <1， 所以1－3x ∈[0,1)，即函数y ＝1－3x 的值域为[0,1)． (2)要使函数式有意义，则x －4≠0，解得x ≠4. 所以函数y ＝21x －4的定义域为{x |x ≠4}．因为1x －4≠0，所以21x －4 ≠1，即函数y ＝21x －4 的值域为{y |y >0，且y ≠1}．(3)要使函数式有意义，则－|x |≥0，解得x ＝0.所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫23－|x |的定义域为{x |x ＝0}．因为x ＝0，所以⎝⎛⎭⎫23－|x | ＝⎝⎛⎭⎫230＝1，即函数y ＝⎝⎛⎭⎫23－|x |的值域为{y |y ＝1}． (4)定义域为R.∵x 2－2x －3＝(x －1)2－4≥－4，∴⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3≤⎝⎛⎭⎫12－4＝16. 又∵⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3>0，∴函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3的值域为(0,16]． (5)因为对于任意的x ∈R ，函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2都有意义，所以函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2的定义域为R. 因为2x >0，所以4x ＋2x ＋1＋2＝(2x )2＋2×2x ＋2＝(2x ＋1)2＋1>1＋1＝2， 即函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2的值域为(2，＋∞)． 2．(1)求函数y ＝⎝⎛⎭⎫132x -的定义域与值域；(2)求函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x －1－4·⎝⎛⎭⎫12x ＋2，x ∈[0,2]的最大值和最小值及相应的x 的值． [解析] (1)由x －2≥0，得x ≥2，所以定义域为{x |x ≥2}．当x ≥2时，x －2≥0， 又因为0＜13＜1，所以y ＝⎝⎛⎭⎫13x －2的值域为{y |0＜y ≤1}．(2)∵y ＝⎝⎛⎭⎫14x －1－4·⎝⎛⎭⎫12x ＋2，∴y ＝4·⎝⎛⎭⎫14x －4·⎝⎛⎭⎫12x ＋2.令m ＝⎝⎛⎭⎫12x ，则⎝⎛⎭⎫14x ＝m 2. 由0≤x ≤2，知14≤m ≤1.∴f (m )＝4m 2－4m ＋2＝4⎝⎛⎭⎫m －122＋1. ∴当m ＝12，即当x ＝1时，f (m )有最小值1；当m ＝1，即x ＝0时，f (m )有最大值2.故函数的最大值是2，此时x ＝0，函数的最小值为1，此时x ＝1. 3．函数y ＝2x －1的定义域是( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，0]C ．[0，＋∞)D ．(0，＋∞)[解析]由2x －1≥0，得2x ≥20，∴x ≥0.[答案] C 4．函数y ＝1－⎝⎛⎭⎫12x的定义域是________．[解析]由1－⎝⎛⎭⎫12x≥0得⎝⎛⎭⎫12x ≤1＝⎝⎛⎭⎫120，∴x ≥0，∴函数y ＝1－⎝⎛⎭⎫12x的定义域为[0，＋∞)．5．若函数y ＝a x －1的定义域是(－∞，0]，则a 的取值范围为( )A ．a >0B ．a <1C ．0<a <1D ．a ≠1[解析]由a x －1≥0，得a x ≥a 0.∵函数的定义域为(－∞，0]，∴0<a <1.6．若函数f (x )＝a x －a 的定义域是[1，＋∞)，则a 的取值范围是( ) A ．[0,1)∪(1，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(0,1)D ．(2，＋∞)[解析]∵a x －a ≥0，∴a x ≥a ，∴当a ＞1时，x ≥1.故函数定义域为[1，＋∞)时，a ＞1. 7．y ＝2x ，x ∈[1，＋∞)的值域是( )A ．[1，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．(0，＋∞)[解析]y ＝2x 在R 上是增函数，且21＝2，故选B. 8．函数y ＝16－4x 的值域是( )A ．[0，＋∞)B ．[0,4]C ．[0,4)D ．(0,4)[解析]要使函数有意义，须满足16－4x ≥0.又因为4x ＞0，所以0≤16－4x ＜16， 即函数y ＝16－4x 的值域为[0,4)．9．函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x(x ≥8)的值域是( )A ．R B.⎝⎛⎦⎤0，1256 C.⎝⎛⎦⎤－∞，1256 D.⎣⎡⎭⎫1256，＋∞[解析]因为y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在[8，＋∞)上单调递减，所以0<⎝⎛⎭⎫12x≤⎝⎛⎭⎫128＝1256. 10．函数y ＝1－2x ，x ∈[0,1]的值域是( )A ．[0,1]B ．[－1,0] C.⎣⎡⎦⎤0，12 D.⎣⎡⎦⎤－12，0 [解析]∵0≤x ≤1，∴1≤2x ≤2，∴－1≤1－2x ≤0，选B.11．已知函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在[－2，－1]上的最小值是m ，最大值是n ，则m ＋n 的值为________．[解析]∵y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在R 上为减函数，∴m ＝⎝⎛⎭⎫13－1＝3，n ＝⎝⎛⎭⎫13－2＝9，故m ＋n ＝12. 12．函数y ＝⎝⎛⎭⎫1222x x －＋的值域是________． [解析]设t ＝－x 2＋2x ＝－(x 2－2x )＝－(x －1)2＋1≤1，∴t ≤1.∵⎝⎛⎭⎫12t ≥⎝⎛⎭⎫121＝12，∴函数值域为⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 13．函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－1的值域是________．[解析]∵x 2－1≥－1，∴y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－1≤⎝⎛⎭⎫12－1＝2，又y >0，∴函数值域为(0,2]．14．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <0，－2－x ，x >0，则函数f (x )的值域是________． [解析]由x <0，得0<2x <1；由x >0，∴－x <0,0<2－x <1，∴－1<－2－x <0，∴函数f (x )的值域为(－1,0)∪(0,1)．15．已知函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，12，其中a >0且a ≠1. (1)求a 的值；(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域．[解析](1)∵f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫2，12，∴a 2－1＝12，则a ＝12. (2)由(1)知，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －1，x ≥0.由x ≥0，得x －1≥－1，于是0<⎝⎛⎭⎫12x －1≤⎝⎛⎭⎫12－1＝2， 所以函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域为(0,2]．16．若定义运算a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a <b ，b ，a ≥b ，则函数f (x )＝3x ⊙3－x 的值域是________． [解析]当x >0时，3x >3－x, f (x )＝3－x ，f (x )∈(0,1)；当x ＝0时，f (x )＝3x ＝3－x ＝1； 当x <0时，3x <3－x ，f (x )＝3x ，f (x )∈(0,1)．综上， f (x )的值域是(0,1]．17．函数f (x )＝3x 3x ＋1的值域是________．[解析]数y ＝f (x )＝3x 3x ＋1，即有3x ＝－y y －1，由于3x ＞0，则－y y －1＞0，解得0＜y ＜1，值域为(0,1)． 18．若函数f (x )＝a x －1(a ＞0，且a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a 的值．[解析]当0＜a ＜1时，函数f (x )＝a x －1(a ＞0，且a ≠1)为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 0－1＝2，a 2－1＝0无解． 当a ＞1时，函数f (x )＝a x －1(a ＞0，且a ≠1)为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 0－1＝0，a 2－1＝2，解得a ＝ 3. 综上，a 的值为 3.19．已知f (x )＝9x －2×3x ＋4，x ∈[－1,2]．(1)设t ＝3x ，x ∈[－1,2]，求t 的最大值与最小值；(2)求f (x )的最大值与最小值．[解析](1)设t ＝3x ，∵x ∈[－1,2]，函数t ＝3x 在[－1,2]上是增函数，故有13≤t ≤9， 故t 的最大值为9，t 的最小值为13. (2)由f (x )＝9x －2×3x ＋4＝t 2－2t ＋4＝(t －1)2＋3，可得此二次函数的对称轴为t ＝1，且13≤t ≤9， 故当t ＝1时，函数f (x )有最小值为3，当t ＝9时，函数f (x )有最大值为67.。
指数函数的图像和性质
指数函数的图像和性质指数函数是一类重要的数学函数，在数学和其他学科的研究中具有广泛的应用。
本文将介绍指数函数的图像和性质，帮助读者更好地理解和应用这一函数。
1. 定义指数函数是以指数为自变量，底数大于0且不等于1的函数。
一般形式为f(x) = a^x，其中a为底数，x为指数。
指数可以是实数，函数值则可以是正数、负数或零。
2. 指数函数的图像由于底数大于0且不等于1，指数函数的图像不会通过原点(0,0)。
当指数x为0时，函数值为1，因此图像会经过点(0,1)。
当指数x为正值时，函数值逐渐增大；当指数x为负值时，函数值逐渐减小。
图像可以根据底数的不同呈现不同的特点。
3. 底数大于1的指数函数当底数a大于1时，指数函数的图像呈现上升趋势，即从左至右逐渐增大。
随着指数x的增大，函数值也会变得越来越大。
当a越接近1时，曲线的增长速度会变得越来越缓慢。
例如，y = 2^x的图像在x轴的右侧逐渐升高，但增长速度逐渐减慢。
4. 底数介于0和1之间的指数函数当底数a介于0和1之间时，指数函数的图像呈现下降趋势，即从左至右逐渐减小。
随着指数x的增大，函数值会越来越接近于0。
当a越接近0时，曲线的下降速度会越来越慢。
例如，y = (1/2)^x的图像在x轴的右侧逐渐下降，但下降速度逐渐变缓。
5. 指数函数的水平位移指数函数的图像可以通过水平位移产生变化。
将指数函数右移h个单位，可以得到f(x-h)。
这样做会使整个图像向右平移h个单位。
同样，向左移动h个单位可以得到f(x+h)，将整个图像向左平移h个单位。
6. 指数函数的垂直位移指数函数的图像也可以通过垂直位移产生变化。
将指数函数上移k个单位，可以得到f(x)+k。
这样做会使整个图像上移k个单位。
同样，向下移动k个单位可以得到f(x)-k)，整个图像下移k个单位。
7. 指数函数的对称性对于底数a大于1的指数函数，以y轴为对称轴，具有对称性。
即f(x) = a^x的图像关于y轴对称。
4.2 第1课时 指数函数及其图象、性质(一)
答案: C
3.已知函数f(x)=4+ax+1(a>0,且a≠1)的图象经过定点P,则点P的
坐标是(
)
A.(-1,5) B.(-1,4)
C.(0,4)
D.(4,0)
解析:当x+1=0,即x=-1时,ax+1=a0=1,此时f(x)=4+1=5,故点P的
坐标为(-1,5).
设f(x)=0.8x, 因为0<0.8<1,所以f(x)在R上单调递减.
又因为0.9>0.8,所以0.80.9<0.80.8.
再比较0.80.8与0.90.8的大小,设g(x)=x0.8,
因为0.8>0,所以g(x)在区间(0,+∞)内单调递增.
又因为0.8<0.9,所以0.80.8<0.90.8.
第1课时
4.2 指数函数
指数函数及其图象、性质(一)
学习目标
1.通过具体实例,了解指数函数的实际意义.
2.理解指数函数的概念.
3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函
数的图象.
4.探索并理解指数函数的单调性.
5.感悟数学抽象的过程,提升直观想象和逻辑推
理素养.
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
(-5,-1),即点P的坐标为(-5,-1).
答案:(1)D (2)(-5,-1)
反思感悟
1.指数函数图象问题的处理技巧
(1)抓住图象上的特殊点,如指数函数的图象必过的定点;
(2)利用图象变换,如函数图象的左右平移、上下平移;
(3)利用函数的奇偶性与单调性,奇偶性确定函数的对称情况,
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课
前
解 象．(难点)
课
自
时
主 导
读 3 .初步掌握指数函数的有关性质．(重点、难点)
作 业
学
课
教
堂
师
互
备
动
课
探
资
究
源
菜单
新课标 ·数学 必修1
教
易
学
错
教
易
法
指数函数的定义
误
分
辨
析
析
教 学 方 案 设 计
【问题导思】
当 堂
双
细胞分裂时，由一个分裂成两个，两个分裂成四个，….
基 达
标
课 设 1 个细胞分裂 x 次后得到的细胞个数为 y.
自
时
主 确数学概念的严谨性和科学性，做一个具备严谨科学态度的 作
导
业
学
人．
课
教
堂
师
互
备
动
课
探
资
究
源
菜单
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教
易
学
错
教
易
法
误
分
辨
析
3．情感、态度与价值观
析
教 学 方 案 设 计
当
(1)通过实例引入指数函数，激发学生学习指数函数的兴 堂 双
趣，体会指数函数是一类重要的函数模型，并且有广泛的用
基 达
标
课 途，逐步培养学生的应用意识．
前
课
自 主
(2)在教学过程中，通过现代信息技术的合理应用，让学
时 作
导
业
学 生体会到现代信息技术是认识世界的有效手段．
课
教
堂
师
互
备
动
课
探
资
究
源
菜单
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教
易
学
错
教
易
法
误
分
辨
析
析
教
学 方
●重点难点
案
设 计
重点：指数函数的概念、图象和性质．
当 堂 双 基 达 标
达 标
课 前
增函数，不具有奇偶性．
课
自
时
主 导 学
函数 y＝(13)x 的性质：定义域 R，值域(0，＋∞)，减函数，
作 业
课 不具有奇偶性．
教
堂
师
互
备
动
课
探
资
究
源
菜单
新课标 ·数学 必修1
教
易
学
错
教
易
法
误
分
辨
析
析
教 学 方 案 设 计
当 堂
3．指数函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)的单调性与哪个量有关？ 双 基 达 标
课
自
时
主 变化，展示图象变化的动画过程，引导学生分析图象特征， 作
导
业
学
帮助学生总结函数性质，培养学生数形结合的能力．
课
教
堂
师
互
备
动
课
探
资
究
源
菜单
教
学 教
●教学流程
法
分
析
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
课 堂 互 动 探 究
菜单
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必修1
易 错 易 误 辨 析
当 堂 双 基 达 标
达 标
课 前
坐标是(
)
课
自
时
主 导
A．(1，－3)
B．(1，－2)
作 业
学
C．(2，－3)
课
【提示】 底数 a 的取值．当 a>1 时，函数 y＝ax 在 R
前
课
自 主
上为增函数，
时 作
导
业
学
当 0<a<1 时，函数 y＝ax 在 R 上为减函数．
课
教
堂
师
互
备
动
课
探
资
究
源
菜单
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教
易
学
错
教
易
法
误
分
辨
析
指数函数的图象和性质
析
教 学 方 案 设 计
当
a＞1
0＜a＜1
堂 双
当 堂 双 基 达 标
课
前 自
中④、⑤的底数不符合要求，不是指数函数；②中 y＝3x＋1 指
课 时
主
作
导 学
数是 x＋1 而非 x，不是指数函数；①中 y＝2×3x 中系数为 2 业
课 而非 1，不是指数函数．
教
堂
师
互
备
动
课
探
资
究
源
菜单
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教
易
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错
教
易
法
误
分
辨
析
析
教 学 方 案 设 计
当 堂 双 基 达 标
课 前
【提示】
课
自
时
主
作
导
业
学
课
教
堂
师
互
备
动
课
探
资
究
源
菜单
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教
易
学
错
教
易
法
误
分 析
2．你能结合上述图象分析一下两函数各自的性质吗？
辨 析
教 学 方 案 设 计
(如定义域、值域、单调性、奇偶性)．
当 堂
双
基
【提示】
函数 y＝3x 的性质：定义域 R，值域(0，＋∞)，
课
前 自
作好准备．为了较好的突出重点化解难点，本节课宜采用启
课 时
主
导 发发现法及课堂讨论法给予教学．即由实例入手，采用情景
作 业
学
教学法，自然导出指数函数的形式，在概念理解上，用步步
课
教
堂 设问、课堂讨论等方式，引导学生结合指数的有关概念来归 师
互
备
动 探
纳出指数函数的定义，并向学生指出指数函数的形式特点.
课 资
究
源
菜单
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教
易
学
错
教
易
ห้องสมุดไป่ตู้
法
误
分
辨
析
析
教 学 方 案 设 计
在研究指数函数的图象时(总分 a>1 和 0<a<1 两种情况)，遵 循由特殊到一般的研究规律，通过对图象的观察、探索、交 流、抽象、概括，认识指数函数性质的本质．为了加深学生
当 堂 双 基 达 标
课 前
对性质的理解，建议利用多媒体辅助教学，通过对 a 取值的
菜单
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易 错 易 误 辨 析
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
课 堂 互 动 探 究
菜单
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易 错 易 误 辨 析
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
教 学 教 法 分 析
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
课 堂 互 动 探 究
菜单
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当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
课 堂 互 动 探 究
作 业
学
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师
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教
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教
易
法
误
分
辨
析
指数函数的概念
析
教
学
方
(1)下列函数：
案
设 计
①y＝2×3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；
当 堂 双 基 达 标
课 前
④y＝x3；⑤y＝(－4)x.
课
自
主 导
其中，指数函数的个数是( )
时 作 业
学
A．1
B．2
C．3
D．4
备 课
探
资
究
源
菜单
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教
易
学
错
教
易
法 分
●教学建议
误 辨
析
析
本节课是在学习指数与指数幂的运算基础上，学习指数
教 学 方 案 设 计
当
函数的概念和性质，通过学习指数函数的定义、图象及性质， 堂
双
可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到
基 达
标
较系统的函数知识和研究函数的方法，并且为学习对数函数
当 堂 双 基 达 标
课 当 a 变化时，图象变化的动画过程，重现指数函数的特征与
前 自
性质；接着演示当 a 是固定的常数，从左到右发展，图象变
课 时
主
作
导 学
化的动画过程，从而得出是增函数或减函数的性质．借助几
业