2019深中、华附、省实、广雅四校联考理科数学试题_含答案

绝密★启用前 试卷类型：A广东省2018届高三年级四校联考理科数学本试卷共6页，22小题，满分150分． 考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上． 用2B 铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案． 答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题组号的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效． 5．考生必须保持答题卡的整洁．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求． 1．集合2{|560}A x x x =-+≥ ，{|210}B x x =->，则A B =A ．(,2][3,)-∞+∞B ．1(,3)2 C ．1(,3]2 D ．1(,2][3,)2+∞ 2．i 为虚数单位，则复数2iiz -=在复平面上对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．若实数,x y 满足条件6,32,1,x y x y x +≤⎧⎪-≤-⎨⎪≥⎩，则23x y +的最大值为A ．21B ．17C ．14D ．5 4．已知两个单位向量a ，b 的夹角为120︒，k ∈R ，则|k -a b|的最小值为A ．34 BC ．1D ．325．秦九韶是我国南宋时期的数学家，在他所著的《数书九章》中提出的多项式求值的 “秦九韶算法”，至今仍是比较先进的算法． 如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法 求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的 值分别为4，2，则输出v 的值为 A ．32 B ．64 C ．65 D ．1306．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为 A ．23B ．1C ．43D ．837．已知函数3214()33f x x x x =+++， 若函数()y f x a b =++为奇函数，则a b +的值为 A ．5- B ．2- C ．0 D ．28．已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>）图象的一个对称中心为π(,0)2，且π1()42f =，则ω的最小值为A ．23 B ．1 C ．43D ．2 9．已知关于x 的方程πsin(π)sin()2x x m -++=在区间[0,2π)上有两个实根1x ，2x ，且12||πx x -≥，则实数m 的取值范围为正视图 侧视图俯视图A．( B．( C． D ．[0,1) 10．已知抛物线E ：22y px =（0p >）的焦点为F ，O 为坐标原点，点(,9)2pM -，(,1)2pN --，连结OM ，ON 分别交抛物线E 于点A ，B ，且A ，B ，F 三点共线，则p 的值为A ．1B ．2C ．3D ．411．e 为自然对数的底数，已知函数1,1()8ln 1,1xx f x x x ⎧+<⎪=⎨⎪-≥⎩,则函数()y f x ax =-有唯一零点的充要条件是A ．1a <-或21e a =或98a > B ．1a <-或2118e a ≤≤ C ．1a >-或219e 8a << D ．1a >-或98a >12．在三棱锥P ABC -中，2PA PB AC BC ====，AB =1PC =，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为A ．4π3 B ．4π C ．12π D ．52π3第II 卷（非选择题共90分）二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分． 13．如图是一组数据(,)x y 的散点图,经最小二乘法计算，y 与x 之间的线性回归方程为ˆˆ1y b x =+，则ˆb = ． 14． 41(1)(1)x x x-+-展开式中3x 的系数为 ．15．过双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）右顶点且斜率为2的直线，与该双曲线的右支交于两点，则此双曲线离心率的取值范围为 ．16．如图在平面四边形ABCD 中，45A ∠=︒，60B ∠=︒，150D ∠=︒， 24AB BC ==，则四边形ABCD 的面积为 ．A DBC三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分． 17．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1a =λ（0>λ），11n a +=()N n *∈． （I ）求λ的值； （II ）求数列11{}n n a a +的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）依据某地某条河流8月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图（甲）所示；依据当地的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图（乙）所示．试估计该河流在8月份水位的中位数；（I ）以此频率作为概率，试估计该河流在8月份发生1级灾害的概率；（Ⅱ）该河流域某企业，在8月份，若没受1、2级灾害影响，利润为500万元； 若受1级灾害影响，则亏损100万元；若受2级灾害影响则亏损1000万元． 现此企业有如下三种应对方案：乙甲级1级频率40试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案？说明理由． 19．（本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PD PB =,H 为PC 上的点，过AH 的平面分别交PB ，PD 于点M ，N ，且//BD 平面AMHN ．（I ）证明：MN PC ⊥；（II ）当H 为PC 的中点，PA PC ==，PA 与平面ABCD 所成的角为60︒，求二面角P AM N --的余弦值．20．（本小题满分12分）已知椭圆E ：22221x y a b +=(0)a b >>的离心率为12，圆O ：222x y r +=(0)r >与x轴交于点M 、N ，P 为椭圆E 上的动点，||||2PM PN a +=，PMN ∆ （I ）求圆O 与椭圆E 的方程；（II ）圆O 的切线l 交椭圆E 于点A 、B ，求||AB 的取值范围．CA DBPHMN21．（本小题满分12分）已知函数()(1)e 16xa f x x =--+,其中 2.718e =⋅⋅⋅为自然对数的底数,常数0a >． （I ）求函数()f x 在区间(0,)+∞上的零点个数；（II ）函数()F x 的导数()(e )()x F x a f x '=-，是否存在无数个(1,4)a ∈，使得ln a 为函数()F x 的极大值点? 说明理由．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1:1C x y +=与曲线222cos ,:2sin .x C y ϕϕ=+⎧⎨=⎩(ϕ为参数，[0,2π)ϕ∈)．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （I ）写出曲线12,C C 的极坐标方程；（II ）在极坐标系中，已知点A 是射线():0l θαρ=≥与1C 的公共点, 点B 是l 与2C 的公共点，当α在区间π[0,]2上变化时，求OB OA的最大值．23．（本小题满分10分）[选修4-5：不等式选讲]已知函数()21f x x x a =-++，其中a ∈R ．（I ）当a =()6f x ≥的解集；（II ）若存在0R x ∈，使得()0f x a <4，求实数a 的取值范围．广东省2018届高三年级四校联考理科数学参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13． 0.8； 14．1； 15．； 16． 6三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：60分. 17．（本小题满分12分）［解析］（I ）因为11n n n a S S ++=-，代入11n a +=可得：11n n S S +-=，………………………………………………………………………………………2分整理可得211)n S +=，因为0n S >1=，……………………3分所以数列1的等差数列，……………………………………4分 (1)1n n =-=，2(1)n S n =，……………………………5分当2n ≥，123n n n a S S n -=-=+，…………………………………………………6分当1n =，1a λ=，……………………………………………………………………………7分 因为， 12n n a a +-=，所以，若数列{}n a 为等差数列，则有2112a a λ-=-=，解得1λ=．………………………………………………………………………………………8分（II ）由（I ）可得21n a n =+，所以111111()(21)(23)22123n n a a n n n n +==⨯-++++,…………………………………10分所以12231111n n n T a a a a a a +=++⋅⋅⋅+， 即111111111()235572123646n T n n n =⨯-+-+⋅⋅⋅+-=-+++． ………………………………………………………………………………………12分18．（本小题满分12分）［解析］（I ）依据甲图,记该河流8月份“水位小于40米”为事件1A , “水位在40米至50米之间” 为事件2A , “水位大于50米” 为事件3A ，它们发生的概率分别为：1()(0.020.050.06)50.65P A =++⨯=,2()(0.040.02)50.30P A =+⨯=, 3()0.0150.05P A =⨯=.………………………………………………………………………………………3分记该地8月份“水位小于40米且发生1级灾害”为事件1B ， “水位在40米至50米之间且发生1级灾害”为事件2B ，“水位大于50米且发生1级灾害”为事件3B ，所以1()0.1P B =,2()0.2P B =,3(B )0.6P =.……………………………………………4分 记“该河流在8月份发生1级灾害”为事件B .112233()()()()P B P A B P A B P A B =++112233()()()()()()P A P B P A P B P A P B =⋅+⋅+⋅0.650.100.300.200.050.600.155=⨯+⨯+⨯=.估计该河流在8月份发生1级灾害的概率为0.155，…………………………………6分 （Ⅱ）以企业利润为随机变量，选择方案一，则利润1X (万元)的取值为：500，100-，1000-，由（I ）知1(500)0.81P X ==，1(100)0.155P X =-=，1(1000)0.035P X =-=， 1X 的分布列为，则该企业在8月份的利润期望1()5000.811000.15510000.035E X =⨯-⨯-⨯=354.5 (万元) ……………………8分选择方案二, 则2X (万元)的取值为：460， 1040-，由（I ）知2(460)0.965P X ==，2(1040)0.035P X =-=， 2X 的分布列为，则该企业在8月份的平均利润期望2()4600.965(1040)0.035407.5E X =⨯+-⨯=(万元)………………………………………………………………………………………10分选择方案三, 则该企业在8月份的利润为：3()500100400E X =-=(万元).………11分 由于231()()()E X E X E X >>，因此企业应选方案二.……………………………12分 19．（本小题满分12分）（I ）证明：连结AC 交BD 于点O ，连结PO ．因为ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，且O 为AC 、BD 的中点， 因为PD PB =，所以PO BD ⊥，因为AC PO O = 且AC 、PO ⊂平面PAC ， 所以BD ⊥平面PAC ，因为PC ⊂平面PAC ，所以BD PC ⊥， 因为//BD 平面AMHN ，且平面AMHN 平面PBD MN =，所以//BD MN ，所以MN PC ⊥．………………………………………………………………5分CADBPHM N O（II ）由（I ）知BD AC ⊥且PO BD ⊥，因为PA PC =，且O 为AC 的中点， 所以PO AC ⊥，所以PO ⊥平面ABCD ,所以PA 与平面ABCD 所成的角为PAO ∠， 所以60PAO ∠=︒，所以12AO PA =，PO PA =，因为PA =，所以BO PA =．..……………………………8分 以OA ，OB ，OP分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系. 记2PA =，所以(0,0,0)O ，(1,0,0)A ，B ，(1,0,0)C -，(0,D ，P，1(2H -，所以(0,3DB =，3(,0,22AH =-(1,3AB =- ，(AP =- ． 记平面AMHN 的法向量为1111(,,)n x y z = ，所以1100n DB n AH ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即11103302y x z ⎧=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩， 令11x =，解得10y =，1z =1n =，记平面PAB 的法向量为2222(,,)n x y z = ，所以2200n AB n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即222200x y x ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩， 令21x =，解得2y =2z =2n = ，..………………………11分 记二面角P AM N --的大小为θ，所以，121212cos |cos ,|||13||||n n n n n n θ⋅=<>==．C所以二面角P AM N --的余弦值为13．………………………………………12分20．（本小题满分12分） ［解析］（I）由题意12a =，解得，2b a =，①，……………………1分 因为，||||2PM PN a +=，所以，点M 、N 为椭圆的焦点，所以，222214r a b a =-=， ……………………………………………………………………………………2分设00(,)P x y ，所以0b y b -≤≤，因为，001||||2PMN S r y a y ∆=⋅=， 当0||y b =时，max 1()2PMN S ab ∆==………………………………………………3分 代入①解得2a =，所以，b =1r =，…………………………………………4分所以，圆O 的方程为221x y +=，椭圆E 的方程为22143x y +=．……………………5分 （II ）（1）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，11(,)A x k x m +，22(,)B x k x m +，因为，直线l 与圆O 相切，1=，即221m k =+，②……………………………………………6分 联立221,43,x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y 可得： 222(43)84120k x kmx m +++-=， 因为1x ，2x 为此方程的根，22248(43)48(32)0k m k ∆=+-=+>， 所以，122843km x x k +=-+，212241243m x x k -=+③，因为，12|||AB x x =-=，代入③式可得：2||43ABk=+，………………………………8分代入②式可得：2||4ABk==+，所以，||AB=令2134tk=+，所以，214334tk<=≤+，所以，||AB=，43t<≤，因为，||AB=3||AB<≤……………………11分（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为1x=±，解得：3(1,)2A±，3(1,)2B ，或3(1,)2A-±，3(1,)2B- ，所以，||3AB=.综上，||AB的取值范围为[3,]3.………………………………12分21．（本小题满分12分）［解析］（I）()()e6xaf x x'=-，……………………………………………………1分当06ax<<时，()0f x'<，()f x单调递减；当6ax>时，()0f x'>，()f x单调递增；…………………………………………………………………………………2分因为()(0)066a af f<=-<,(1)106af+=>，所以存在(,1)66a ax∈+,使()0f x=；且当0x x<<时，()0f x<,当x x>时,()0f x>.故函数()f x的有1个零点,即x．………………………………………………………4分（II）（法一）当1a>时,ln0a>.因为当(0,ln)x a∈，e0x a-<；当(ln,)x a∈+∞，e0x a->．由（I）知，当(0,)x x∈，()0f x<；当(,)x x∈+∞，()0f x>．下证:当(1,e)a ∈时,0ln a x <, , 即证(ln )0.f a <2(ln )(ln 1)1ln 166a a f a a a a a a =--+=--+， 记2()ln 16x g x x x x =--+，[1,e]x ∈……………………………………………………………6分 ()ln 3x g x x '=-,3()03x g x x-''=>，所以()g x '在(1,e)单调递增， 由1(1)03g '=-<，e (e)103g '=->，……………………………………………………………7分 所以存在唯一零点0(1,e)t ∈，使得0()0g t '=，且0(1,)x t ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；0(,e)x t ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增. ……………………………………………………………8分 当(1,e)x ∈时, {}()max (1),(e).g x g g <……………………………………………………………9分 由1(1)06g =-<,26e (e)06g -=<,得当(1,e)x ∈时, ()0.g x < 故0(ln )0,0ln .f a a x <<<……………………………………………………………11分当0ln x a <<时,e 0x a -<,()0f x <,()(e )()0x F x a f x '=->，()F x 单调递增； 当0ln a x x <<时,e 0x a ->,()0f x <,()(e )()0x F x a f x '=-<，()F x 单调递减.所以存在(1,e)(1,4)a ∈⊂时,ln a 为()F x 的极大值点．………………………………12分 （II ）（法二） 因为当(,ln )x a ∈-∞，e 0x a -<；因为当(ln ,)x a ∈+∞，e 0x a ->．由（I ）知，当0(,)x x ∈-∞，()0f x <；因为当0(,)x x ∈+∞，()0f x >．（0x 的意义同（I ））存在无数个(1,4)a ∈，使得ln a 为函数()F x 的极大值点，即存在无数个(1,4)a ∈，使得0ln a x <成立，①………………………………………………………………6分 由（I ），问题①等价于，存在无数个(1,4)a ∈，使得(ln )0f a <成立， 因为，2(ln )(ln 1)1ln 166a a f a a a a a a =--+=--+， 记2()ln 16x g x x x x =--+，(1,4)x ∈………………………………………………………………………7分()ln 3xg x x '=-，(1,4)x ∈， 因为，3()03xg x x -''=>，所以()g x '在3(,2)2单调递增， 由331()ln 0222g '=-<，2(2)ln 203g '=->， 所以存在唯一零点03(,2)2t ∈，使得0()0g t '=，且03(,)2x t ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；且0(,2)x t ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增； 所以，3[,2]2x ∈，2min 0000(())()ln 16t g x g t t t t ==--+，②…………………………………9分由0()0g t '=，可得00ln 3t t =， 代入②式可得2min 00(())()16tg x g t t ==-+，， 当03(,2)2t ∈，220000(3)11()106628t t g t t -=-+=-≤-<，…………………………………11分 所以，必存在3(,2)2x ∈，使得()0g x <，即对任意3(,2)2a ∈，(ln )0f a <有解， 所以，对任意3(,2)2a ∈，函数 ()F x 存在极大值点为ln a ．…………………………………12分（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）［解析］（I ）曲线1C 的极坐标方程为(cos sin )1ρθθ+=，……………………………3分即πsin()42ρθ+=…………………………………………………………3分曲线2C 的普通方程为22(2)4x y -+=，即2240.x y x +-=曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=.…………………………………………6分（II ）由（I ）知1cos sin A OA ρθθ==+,4cos B OB ρθ==,…………8分π4cos (cos sin )2(1cos 2sin 2)2)4OBOA αααααα=+=++=++………………………………………………………………………………10分由π02α≤≤知ππ5π2444α≤+≤,当ππ242α+=,即π8α=时, OBOA有最大值2+………………………………………………………12分23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）［解析］（I）当a =,()21,2,123,21,21, 1.x x f x x x x x x ⎧--≤-⎪⎪=-++=-<≤⎨⎪+≥⎪⎩()26216x f x x ≤-⎧≥⇔⎨--≥⎩或2136x -≤<⎧⎨≥⎩或1216x x ≥⎧⎨+≥⎩72x ⇔≤-或52x ≥.…………4分 因此不等式()6f x ≥的解集为72x x ⎧≤-⎨⎩或52x ⎫≥⎬⎭.………………………6分 （II ）()22221(1)()11f x x x a x x a a a =-++≥--+=+=+, 且()211f a =+,所以()2min 1.f x a =+……………………………………10分 存在0R x ∈，使得()04f x a <等价于224141022a a a a a >+⇔-+<⇔<<所以实数a的取值范围是(2…………………………………12分。