2019年福建省质检理科数学试题
福建省福州市2019届高三质检数学(理)试题
试卷第1页，总21页2019年福州市普通高中毕业班质量检测数学（理科）试卷（完卷时间：120分钟；满分150分）第Ⅰ卷1.设复数z 满足i 1i z ，则z 的共轭复数为A.1iB. 1iC.1iD.1i2.已知集合2213,20A x x Bx xx ，则A B U =A.12x xB.11x x C.211x x x ，或 D.1x x3.中国传统文化是中化民族智慧的结晶，是中化民族的历史遗产在现实生活中的展现.为弘扬中华民族传统文化，某校学生会为了解本校高一1000名学生的课余时间参加传统文化活动的情况，随机抽取50名学生进行调查．将数据分组整理后，列表如下：参加场数0 1 2 3 4 5 6 7 参加人数占调查人数的百分比8%10%20%26%18%m%4%2%以下四个结论中正确的是A. 表中m 的数值为10B. 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不高于2场的学生约为180人C. 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不低于4场的学生约为360人D. 若采用系统抽样方法进行调查，从该校高一1000名学生中抽取容量为50 的样本，则分段间隔为25 4.等比数列na 的各项均为正实数，其前n 项和为n S .若3264,64a a a ，则5S A. 32 B. 31C. 64D.635. 已知sinπ162，且2θπ0,，则π3cos=A. 0B.12C. 1D.326.设抛物线24y x 的焦点为F ，准线为l ，P 为该抛物线上一点，PAl ，A 为垂足．若直线AF的斜率为3，则PAF △的面积为A. 23B. 43C.8D. 837.如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A.32 B.16C.323D.8038.已知函数()2sinf x x0,图象的相邻两条对称轴之间的距离为，将函数()f x 的图象向左平移3个单位长度后，得到函数()g x 的图象．若函数()g x 为偶函数，则函数()f x 在区间0,2上的值域是A. 1,12B.1,1 C.0,2D.1,29. 已知g x 为偶函数，h x 为奇函数，且满足2xg x h x．若存在11x，，使得不等式0m g x h x有解，则实数m 的最大值为A.－1B.35C. 1D.35第7题图。
2019年福州市质检理科试卷与解答
2019年福州市普通高中毕业班质量检测参考答案数学（理科）试卷 （完卷时间：120分钟；满分150分）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设复数z 满足i 1i z ⋅=-，则z 的共轭复数为 A.1i -+ B. 1i + C. 1i -- D. 1i -【简解】因为1i1i iz -==--，所以1+i z =-，故选A ． 2.已知集合{}{}2213,20A x x B x x x =+>=--<，则AB =A. {}12x x <<B. {}11x x -<< C. {}211x x x -<<>，或 D. {}1x x >- 【简解】因为{}{}1,12A x x B x x =>=-<<，所以{}1AB x x =>-，故选D ．3.中国传统文化是中化民族智慧的结晶，是中化民族的历史遗产在现实生活中的展现.为弘扬中华民族传统文化，某校学生会为了解本校高一1000名学生的课余时间参加传统文化活动以下四个结论中正确的是 A. 表中m 的数值为10B. 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不高于2场的学生约为180人C. 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不低于4场的学生约为360人D. 若采用系统抽样方法进行调查，从该校高一1000名学生中抽取容量为50 的样本，则分段间隔为25【简解】A 中的m 值应为12; B 中应为380人; C 是正确的; D 中的分段间隔应为20，故选C ． 4.等比数列{}n a 的各项均为正实数，其前n 项和为n S .若3264,64aa a ==，则5S =A. 32B. 31C. 64D.63【简解】解法一：设首项为1a ，公比为q ，因为0n a >，所以0q >，由条件得21511464a q a q a q ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩，所以531S =，故选B ．解法二：设首项为1a ，公比为q ，由226464a a a ==，又34a =，∴2q =，又因为214a q ⋅=所以11a =，所以531S =，故选B ．5. 已知sin π162θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且2θπ0,⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则π3cos θ⎛⎫- ⎪⎝⎭= A. 0 B.12 C. 1 D. 32【简解】解法一：由π1sin 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，π3θ=，代入πcos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭得， πcos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭=cos01=，故选C ．解法二：由π1sin 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，π3cos 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以πππππππcos cos cos cos sin sin 13666666θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选C ． 6.设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为该抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足．若直线 AF 的斜率为3-，则PAF △的面积为A. 23B. 43C.8D. 83【简解】解法一:设准线与x 轴交于点Q ,因为直线AF 的斜率为3-， 2FQ =，60AFQ ∴∠=， 4FA =，又因为PA PF =，所以PAF △是边长为4的等边三角形，所以PAF △的面积为22334=4344FA ⨯=⨯．故选B ． 解法二：设准线与x 轴交于点Q ,,)Pm n （,因为直线 AF 的斜率为3-， 2FQ =，60AFQ ∴∠=，所以23AQ =，所以23n =±，又因为24n m =，所以3m =，又因为4PA PF ==， 所以PAF △的面积为11423=4322PA n ⨯⨯=⨯⨯．故选B ． 7.如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A.32 B.16 C.323 D.803【简解】由三视图知,所求几何体的体积为直三棱柱的体积减去三第7题棱锥的体积321180442=323⨯-⨯⨯⨯12．故选D ． 8.已知函数()()2sin f x x ωϕ=+0,ωϕπ⎛⎫><⎪2⎝⎭图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后，得到函数()g x 的图象．若函数()g x 为偶函数，则函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的值域是 A. 1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦B. ()1,1-C. (]0,2D.(]1,2- 【简解】由图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，所以T =π，又因为0ω>，所以2ωπ=π，解得=2ω．0,ωϕ><π2，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后，得到函数2()2sin 23g x x ϕπ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．因为函数()g x 为偶函数，所以2,32k k ϕππ+=π+∈Z ，由ϕπ<2，解得 =6ϕπ- ，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．因为02x π<<，所以1sin 2126x π⎛⎫-<-≤ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的值域是(]1,2-，故选D ．9. 已知()g x 为偶函数，()h x 为奇函数，且满足()()2xg x h x -=．若存在[]11x ∈-，，使得不等式()()0m g x h x ⋅+≤有解，则实数m 的最大值为A.－1B.35 C. 1 D. 35- 【简解】由()()2xg x h x -=，及()g x 为偶函数，()h x 为奇函数，得()()2222,22x x x xg x h x --+==－．由()()0m g x h x ⋅+≤得224121224141x x x x x x x m ---≤==-+++－，∵2141xy =-+为增函数，∴max 231415x ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭，故选B ．10.如图，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 作线段2F P 与C 交于点Q ，且Q 为2PF 的中点．若等腰△12PF F 的底边2PF 的长等于C 的半焦距，则C 的离心率为A.22157-+ B. 23 C. 22157+ D.32【简解】连结1QF ，由条件知12QF PF ⊥，且22c QF =．由双曲线定义知122cQF a =+，在12Rt F QF △中，()2222222c c a c ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得C 的离心率22157e +=，故选C ．11.如图，以棱长为1的正方体的顶点A 为球心，以2为半径做一个球面，则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为 A. 34πB.2π C.32π D.94π【简解】正方体的表面被该球面被所截得的弧长有相等的三部分,例如，与上底面截得的弧长是以1A 为圆心,1为半径的圆周长的14,所以弧长之和为23342ππ⨯=．故选C. 12. 已知数列{}n a 满足11a =，()2122124n n n n n a a a na n ++=++，则8a =A.64892- B. 32892- C. 16892- D. 7892- 【简解】因为()2122124n n n n n a a a na n ++=++，所以()22212411n n n na na n a n a +++=+， 所以2222124142n n n n n n a na n n n na a a a +⎛⎫+++==+⋅+ ⎪⎝⎭， 第10第11题图所以21122n n n n a a +⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，令2n n n b a =+，则21n n b b +=，两边取对数得1lg 2lg n n b b +=，又111lg lg 2lg3b a ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，所以数列{}lg n b 是首项为lg 3，公比为2的等比数列. 所以112lg lg32lg3n n n b --=⋅=，所以123n n b -=，即1232n n n a -+=，从而1232n n na -=-，将8n =代入，选A.法二、因为()2122124n n n n n a a a na n ++=++，所以()22212411n n n n a na n a n a +++=+， 所以2222124142n n n n n n a na n n n na a a a +⎛⎫+++==+⋅+ ⎪⎝⎭， 所以21122n n n n a a +⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，令2n n n b a =+，则21n n b b +=，因为13b =，所以223b =，所以()224333b ==，所以()248433b ==，…，所以7264839b ==。
2019届福州市高中毕业质量检测2019年2月数学理科(含答案)
∴ a c sin A sin C sin A sin
2
1 2 2 ac a c 3 a c ，(当且仅当 a c 时，取等号)························ 9 分 4 2
因为 b
2
3 ， 2
2
∴ a c 3 ，即 a c 3 ，······················································································10 分
又三角形两边之和大于第三边，所以
3 a c 3 ，·············································11 分 2
所以 a c 的取值范围是 18. （本小题满分 12 分）
3 2 , 3 ．·············································································· 12 分
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13.
3
14.
2
15.3
16.
, 0 e
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分 12 分） （1）解：由角 A 、 B 、 C 成等差数列， 所以 2B A+C ，················································································································· 1 分 又因为 A+B +C = ， 所以 B
福建省2019届高三质量检查数学试卷(理)
准考证号 姓名（在此试卷上答题无效）保密★启用前普通高中毕业班质量检查理 科 数 学注意事项：1.本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷2至4页。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3.全部答案答在答题卡上，答在本试卷上无效。
4.考试结束或，将本试卷和答题卡一并收回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知复数z 满足z i z ,21-=为z 的共轭复数，则()2016z z -等于A.20162B.20162-C.i 20162D.i 20162-（2）已知全集为R ，集合{},086|121|2≤+-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x x B x A x，则=)(B C A RA.{}20|<≤x xB.{}42|≤≤x xC.{20|<≤x x 或}4>xD..{20|≤<x x 或}4≥x（3）《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何.”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布A.30尺B.90尺C.150尺D.180尺（4）已知抛物线()02:2>=p px y C 的焦点为F,P 为C 上一点，若，4=PF 点P 到y 轴的距离等于等于3，则点F 的坐标为A.(-1，0)B.(1，0)C.(2，0)D.(-2，0)（5）执行如图所示的程序框图，则输出的k 值为A.7B.9C.11D.13（6）现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票(其中3张为中奖票)的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为A.101 B.51 C.103 D.52（7）如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗线画出的是某几何体的三视图则该几何体的体积是A.π6B.π7C.π12D.π14（8）()622--x x 的展开式中2x 的系数等于 A.-48 B.48 C.234 D.432（9）设x ，y 满足,0223010⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤-+≥y x y ax y 若2210y x x z +-=的最小值为-12，则实数a 的取值范围是A.21-≤a B.23-<a C. 21≥a D.23<a （10）已知A,B,C 在球O 的球面上，AB=1,BC=2， 60=∠ABC ，直线OA 与截面ABC 所成的角为 30，则球O 的表面积为 A.π4 B.π16 C.π34D.π316 （11）已知函数()()()e e b ax x xf x -++-=2，当0>x 时，()0≤x f ，则实数a 的取值范围为 A.0>a B.10≤<a C.1≥a D.1≤a（12）已知数列}{n a 的前n 项和为，，，046,21>==n n S S S S 且22122,+-n n n S S S ，成等比数列，12221-2,++n n n S S S ，成等差数列，则2016a 等于A.1008-B.1009-C.21008D.21009第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2019年福州市质检理科数学试卷
2019年福州市普通高中毕业班质量检测数学（理科）试卷 （完卷时间：120分钟；满分150分）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设复数z 满足i 1i z ⋅=-，则z 的共轭复数为 A. 1i -+ B. 1i + C. 1i -- D. 1i -2.已知集合{}{}2213,20A x x B x x x =+>=--<，则A B U = A. {}12x x << B. {}11x x -<< C. {}211x x x -<<>，或 D. {}1x x >-3.中国传统文化是中化民族智慧的结晶，是中化民族的历史遗产在现实生活中的展现.为弘扬中华民族传统文化，某校学生会为了解本校高一1000名学生的课余时间参加传统文化活动的情况，随机抽取50名学生进行调查．将数据分组整理后，列表如下：参加场数1234567参加人数占调查人数的百分比 8% 10% 20% 26% 18% m% 4% 2% 以下四个结论中正确的是 A. 表中m 的数值为10B. 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不高于2场的学生约为180人C. 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不低于4场的学生约为360人D. 若采用系统抽样方法进行调查，从该校高一1000名学生中抽取容量为50 的样本，则分段间隔为25 4.等比数列{}n a 的各项均为正实数，其前n 项和为n S .若3264,64a a a ==，则5S =A. 32B. 31C. 64D.63 5. 已知sin π162θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且2θπ0,⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则π3cos θ⎛⎫- ⎪⎝⎭= A. 0 B.12 C. 1 D. 326.设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为该抛物线上一点，PA l ⊥错误！未找到引用源。
2019年福建省高三毕业班质量检查测试数学(理)试题 含答案
是唐代金银细工的典范之作.该杯型几何体的主体部分可近似看作是由双曲线 C : x2 − y2 = 1的右支与直线 39
x = 0 ， y = 4 ， y = −2 围成的曲边四边形 MABQ 绕 y 轴旋转一周得到的几何体，如图（2）. N , P 分别为
C 的渐近线与 y = 4 ，y = −2 的交点，曲边五边形 MNOPQ 绕 y 同旋转一周得到的几何体的体积可由祖暅
y
满足约束条件
x
+
y
−1
0,
则
z
=
x
+
2
y
的最小值是（
）
y +1 0,
A． −5
B． −4
C． 0
D． 2
5．某简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的所有顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的体积是（ ）
A． 8 2 3
B． 4 3
C．12
D．32 3
6．将函数
y
=
sin
2x
+
6
的图象向右平移
6
个单位长度后，所得图象的一个对称中心为（
）
A．
12
,
0
B．
4
,
0
C．
3
,
0
D．
2
,
0
7．已知 a = 2 ， b = 5 5 ， c = 7 7 ，则（ ）
2019年福建省质检模拟试题数学(理科)试卷及答案
2019年福建省高考模拟试题（1）数学（理科）试卷（考试时间：120分钟；满分：150分）第Ⅰ卷（选择题共60分）考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
共21道题。
满分值：150分，考试时间：120分钟。
考生只交第Ⅰ卷答题卡和第Ⅱ卷.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．设U =R ，集合{}|1A y y x =≥，}{240B x Z x =∈-≤，则下列结论正确的是（ ）A ．}{2,1AB =--B ． ()(,0)U A B =-∞ðC ．[0,)AB =+∞D ． }{()2,1U A B =--ð2．已知向量(1,3)a =，(1,0)b =-，则|2|a b +=（ ）A ．1 B. C. 2 D. 43．如图：正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 、K 、L 分别为AB 、BB 1、B 1C 1、C 1D 1、D 1D 、DA 的中点，则六边形EFGHKL 在正方体面上的射影可能是（ ）4．已知i 是虚数单位，使(1)ni +为实数的最小正整数n为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．85．已知sin()sin 0,32ππααα++=-<<则2cos()3πα+等于（ ）A ．45-B ．35-C ．35D ．456．下列说法中,不正确．．．的是（ ） A ．“x y =”是“x y =”的必要不充分条件；B ．命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则:p x ⌝∃∈R ，sin 1x >；C ．命题“若,x y 都是偶数，则x y +是偶数”的否命题是“若,x y 不是偶数，则x y +不是偶数”；D ．命题:p 所有有理数都是实数,:q 正数的对数都是负数，则()()p q ⌝∨⌝为真命题. 7．已知实数,m n 满足01n m <<<,给出下列关系式①23m n = ②23log log m n = ③23m n =A ．0个B ．1个C ．2个8．福建泉州市2008年的生产总值约为 3151亿元人民币，如果从此泉州市生产 总值的年增长率为10.5%，求泉州市最早 哪一年的生产总值超过8000亿元人民币？B C D A B C D A 1B 1C 1D 1 H G KLE某同学为解答这个问题设计了一个程序框图， 但不慎将此框图的一个处理框中的内容污染 而看不到了，则此框图中因被污染而看不到的 内容应是 （ ）A ．a a b =+B ．a a b =⨯C ．()na ab =+ D ．na ab =⨯9．设函数()x f y =的定义域为R +，若对于给定的正数K ，定义函数()()()()⎩⎨⎧>≤=,,,,K x f x f K x f K x f K 则当函数()x x f 1=,1=K 时，()dx x f K ⎰241的值为（ ） A ．22ln 2+ B ．12ln 2- C ．2ln 2D ．12ln 2+10．若在直线l 上存在不同的三个点C B A ，，，使得关于实数x 的方程20x OA xOB BC ++=有解（点O 不在l 上），则此方程的解集为（ ）(A) {}1- (B) ∅(C)⎪⎪⎩⎭(D){}1,0-第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题:本大共5小题,每小题4分，满分20分.11. 某体育赛事志愿者组织有1000名志愿者，其中参加过2008年北京奥运会志愿服务的有250名，新招募的2010年广州亚运会志愿者750名.现用分层抽样的方法从中选出100名志愿者调查他们 的服务能力，则选出新招募的广州亚运会志愿者的人数是 ． 12. 如图，在矩形ABCD 中，O AC AB ,2,1==为AC 中点，抛物线 的一部分在矩形内，点O 为抛物线顶点，点D B ,在抛物线上，在矩形内随机地放一点，则此点落在阴影部分的概率为 .13. 上海世博园中的世博轴是一条1000m 长的直线型通道，中国馆位于世博轴的一侧（如下图所示）. 现测得中国馆到世博轴两端的距离相等，并且从中国馆看世博轴两端的视角为120. 据此数据计算，中国馆到世博轴其中一端的距离是 m .14. 若实数x 、y 满足20,,,x y y x y x b -≥⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩且2z x y =+的最小值为3，则实数b 的值为_____.CB世博轴·A 中国馆120º15．若等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，前n 项的和为n S ，则数列{}nS n为等差数列，且通项为1(1)2n S da n n =+-⋅．类似地，若各项均为正数的等比数列{}nb 的首项为1b ，公比为q ，前n 项的积为n T ，则数列为等比数列,通项为____________________.三、解答题:本大题共6小题,16—19各13分，20—21各14分，满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本题满分13分）泉州市为鼓励企业发展“低碳经济”，真正实现“低消耗、高产出”，施行奖惩制度.通过制定评 分标准，每年对本市50%的企业抽查评估，评出优秀、良好、合格和不合格四个等次， 并根据等级给予相应的奖惩（如下表）.某企业投入100万元改造，由于自身技术原因，能达到以上四个等次的概率分别为111123824，，，，且由此增加的产值分别为60万元、40万元、20万元、5-万元.设该企业当年因改造而增加利润为ξ.(Ⅰ)在抽查评估中，该企业能被抽到且被评为合格以上等次的概率是多少？ （Ⅱ）求的数学期望.17．（本题满分13分）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1AD 上的点，且满足1(0)D P PA λλ=>.（Ⅰ）当1λ=时，求证：平面11ABC D ⊥平面PDB ； （Ⅱ）试证无论λ为何值，三棱锥1D PBC -的体积恒为定值；（Ⅲ）求异面直线1C P 与1CB 所成的角的余弦值. 18．（本题满分13分）第17题图E如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池)(ABCD 的池底水平铺设污水净化管道FHE Rt ∆(，H 是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.设计要求管道的接口H 是AB 的中点，F E ,分别落在线段AD BC ,上.已知20=AB 米，310=AD 米，记θ=∠BHE .（1）试将污水净化管道的长度L 表示为θ的函数，并写出定义域；（2）若2cos sin =+θθ，求此时管道的长度L ；（3）当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度.19．（本题满分13分）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>），其焦距为2c ，若c a =0.618≈），则称椭圆C 为“黄金椭圆”．（1）求证：在黄金椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）中，a 、b 、c 成等比数列．（2）黄金椭圆C ：22221x ya b +=（0a b >>）的右焦点为2(,0)F c ，P 为椭圆C 上的任意一点．是否存在过点2F 、P 的直线l ，使l 与y 轴的交点R 满足23RP PF =-？若存在，求直线l 的斜率k ；若不存在，请说明理由．（3）在黄金椭圆中有真命题：已知黄金椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别是1(,0)F c -、2(,0)F c ，以(,0)A a -、(,0)B a 、(0,)D b -、(0,)E b 为顶点的菱形ADBE 的内切圆过焦点1F 、2F ．试写出“黄金双曲线”的定义；对于上述命题，在黄金双曲线中写出相关的真命题，并加以证明．20．（本题满分14分）已知二次函数()2f x ax bx c =++和“伪二次函数”()2g x ax =+ ln bx c x +（a 、b 、,c R ∈0abc ≠），（I ）证明：只要0a <，无论b 取何值，函数()g x 在定义域内不可能总为增函数；（II ）在二次函数()2f x ax bx c =++图象上任意取不同两点1122(,),(,)A x y B x y ，线段AB 中点的横坐标为0x ，记直线AB 的斜率为k ， （i ）求证：0()k f x '=；（ii ）对于“伪二次函数”()2ln g x ax bx c x =++，是否有（i ）同样的性质?证明你的结论.21．本题有(1)、(2)、(3)三个选答题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分.如果多作,则按所做的前两题计分.作答时,先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将选题号填入括号中. (1)(本小题满分7分) 选修4一2:矩阵与变换若点A （2，2）在矩阵cos sin sin cos αααα-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 对应变换的作用下得到的点为B （－2，2），求矩阵M 的逆矩阵．(2)(本小题满分7分) 选修4一4:坐标系与参数方程已知极坐标系的极点O 与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，曲线C 1：cos()4ρθπ+=与曲线C 2：24,4x t y t ⎧=⎨=⎩（t ∈R ）交于A 、B 两点．求证：OA ⊥OB ．(3)(本小题满分7分) 选修4一5:不等式选讲求证:*N n ∈∀,132212111+≥+++++n nn n n .第18题图2019年福建省高考模拟试题（1）数学（理科）试卷一、选择题：本题主要考查基础知识和基本运算． 1．B 2．C 3．D 4．D 5．B 6．C 7．C 8．B 9．D 10．A 二、本大题共4个小题；每小题5分，共20分.本题主要考查基础知识和基本运算． 11．75 12．311314．94 1511n b -= 三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.解：（Ⅰ）设该企业能被抽中的概率且评为合格以上等次的概率为P ，则111123238248P ⎛⎫=++⨯=⎪⎝⎭…………………4分 （Ⅱ）依题意，ξ的可能取值为185,105,80,60,50,40,0,60,------则1612181)50(,612131)0(,412121)60(=⨯=-==⨯===⨯==ξξξP P P412121)40(,48121241)185(=⨯=-==⨯=-=ξξP P ，111111111(60),(80),(105)326821624248P P P ξξξ=-=⨯==-=⨯==-=⨯=则其分布列为10分∴1111115(60406050801851054616486E ξ=-⨯+-⨯+--⨯+--⨯=-）（）（）（）（万元） ………………………………13分18．解：方法一、证明：（Ⅰ）∵正方体1111ABCD A B C D -中，AB ⊥面11AA D D ， 又11AB ABC D ⊂∴平面11ABC D ⊥平面11AA D D ， ………………2分 ∵1λ=时，P 为1AD 的中点，∴1DP AD⊥， 又∵平面11ABC D 平面11AA D D 1AD =，∴DP ⊥平面11ABC D ，又DP ⊂平面PDB ，∴平面11ABC D ⊥平面PDB ．………4分 （Ⅱ）∵11//AD BC ， P 为线段1AD 上的点， ∴三角形1PBC 的面积为定值，即11122PBC S ∆==， ………………6分又∵//CD 平面11ABC D ，∴点D 到平面1PBC 的距离为定值，即h =， ………………8分 ∴三棱锥1D BPC -的体积为定值，即11111336D PBC PBC V S h -∆=⋅⋅==． 也即无论λ为何值，三棱锥1D PBC -的体积恒为定值16；………………………10分（Ⅲ）∵由（Ⅰ）易知1B C ⊥平面11ABC D ，又1C P ⊂平面11ABC D ，∴11B C C P ⊥， …………………………12分 即异面直线1C P 与1CB 所成的角为定值90，从而其余弦值为0．…………………13分 方法二、如图，以点D 为坐标原点，建立如图所示的坐标系．11(,0,)22P ，又（Ⅰ）当1λ=时，即点P 为线段1AD 的中点，则(0,0,0)D 、(1,1,0)B∴11(,0,)22PD =--，11(,1,)22PB =-，设平面PDB 的法向量为(,n x y z =， (1)分 则00PD n PB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11002211022x z x y z ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩，令1y =，解得(1,1,1)n =-， …2分又∵点P 为线段1AD 的中点，∴1DP AD ⊥，∴DP ⊥平面11ABC D ，∴平面11ABC D 的法向量为11(,0,)22PD =--， ……………3分∵110022PD n ⋅=+-=，∴平面11ABC D ⊥平面PDB ， ………………………4分（Ⅱ）略；（Ⅲ）∵1(0)D P PA λλ=>，∴1(,0,)11P λλλ++， …………………10分 又1(0,1,1)C 、(0,1,0)C 、1(1,1,1)B ，∴1(,1,)11C P λλλλ-=-++，1(1,0,1)CB =， ……………………………11分∵110011C P CB λλλλ-⋅=++=++ …………………………………12分∴不管λ取值多少，都有11C P CB ⊥，即异面直线1C P 与1CB 所成的角的余弦值为0.……13分18．（1）解：10cos EH θ=，10sin FH θ=，10(0)sin cos 2EF πθθθ==<<.由于10tan BE θ=≤10tan AF θ=≤tan 3θ≤≤[,]63ππθ∈. 所以101010cos sin sin cos L θθθθ=++，[,]63ππθ∈.…………4分 （2）解：当sin cos θθ+=1sin cos 2θθ=，10(sin cos 1)1)sin cos L θθθθ++==（米）. ……7分（3）解：10(sin cos 1)sin cos L θθθθ++=，设s i n c o s t θθ+=，则21s i n c o s 2t θθ-=，所以201L t =-.由于[,]63ππθ∈，所以sin cos )4t πθθθ=+=+∈.由于201L t =-在上单调递减，所以当t =即6πθ=或3πθ=时，L取得最大值1)米.答：当6πθ=或3πθ=时，污水净化效果最好，此时管道的长度为1)米. ……13分19．（1）证明：由c a =222b a c =-，得222222)b a c a =-=-=ac =，故a 、b 、c 成等比数列．（3分）（2）解：由题设，显然直线l 垂直于x 轴时不合题意，设直线l 的方程为()y k x c =-， 得(0,)R kc -，又2(,0)F c ，及23RP PF =-，得点P 的坐标为3(,)22c kc，（5分） 因为点P 在椭圆上，所以22223221c kc a b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，又2b ac =，得229144c k c a a ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，20k >，故存在满足题意的直线l，其斜率k =（6分） （3）黄金双曲线的定义：已知双曲线C ：22221x y a b-=，其焦距为2c ，若c a =a c =0.618≈），则称双曲线C 为“黄金双曲线”．（8分）在黄金双曲线中有真命题：已知黄金双曲线C ：22221x y a b-=的左、右焦点分别是1(,0)F c -、2(,0)F c ，以1(,0)F c -、2(,0)F c 、(0,)D b -、(0,)E b 为顶点的菱形12F DF E 的内切圆过顶点(,0)A a -、(,0)B a ．（10分） 证明：直线2EF 的方程为0bx cy bc +-=，原点到该直线的距离为d =，将2b ac =代入，得d ==，又将c =代入，化简得d a =， 故直线2EF 与圆222x y a +=相切，同理可证直线1EF 、1DF 、2DF 均与圆222x y a +=相切，即以(,0)A a -、(,0)B a 为直径的圆222x y a +=为菱形12F DF E 的内切圆，命题得证．（13分） 20．解：（I ）如果0,()x g x >为增函数,则22()20c ax bx cg x ax b x x++'=++=>(1)恒成立, --------1分 当0x >时恒成立, 220ax bx c ++>(2)0,a <由二次函数的性质, (2)不可能恒成立.则函数()g x 不可能总为增函数. --------4分（II ）（i ）()()()222121212121()f x f x a x x b x x k x x x x --+-==--=02ax b +. --------6分由()2,f x ax b '=+00()2f x ax b '∴=+,……..7分 则0()k f x '=--------7分 （ii ）不妨设21x x >,对于“伪二次函数”:法一:()2ln ()ln g x ax bx c x f x c x c =++=+-.()()2212112121()()ln x f x f x c g x g x x k x x x x -+-==--21021ln(),x c x f x x x '=+- (3)--------9分又()000()cg x f x x ''=+, 法二:()()()22221212112121()lnx a x x b x x c g x g x x k x x x x -+-+-==--=21021ln2x c x ax b x x ++-, (3) --------9分由(ⅰ)中(1)()0002c g x ax b x '=++, 如果有(ⅰ)的性质，则()0g x k '= , (4)比较(3)( 4)两式得21210lnx c x cx x x =-，0,c ≠即：212112ln2x x x x x x =-+，(4) --------12分不妨令21, 1, x t t x =>ln 211t t t =-+， (5) 设22()ln 1t s t t t -=-+，则22212(1)2(1)(1)()0(1)(1)t t t s t t t t t +---'=-=>++， ∴()s t 在(1,)+∞上递增， ∴()(1)0s t s >=.∴ (5)式不可能成立,（4）式不可能成立,()0g x k '≠. --------13分 ∴“伪二次函数”()2ln g x ax bx c x =++不具有(ⅰ)的性质. --------14分21．.解（1）．解：2222-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦M ，即2cos 2sin 22sin 2cos 2αααα--⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦，……………………2分所以cos sin 1,sin cos 1.αααα-=-⎧⎨+=⎩ 解得cos 0,sin 1.αα=⎧⎨=⎩……………………5分所以0110M -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．由1M M -=1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦，得10110M -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦．……………7分 另解：01=M 10-＝10≠， 10110-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M ． 另解：01c o s 90s i n 910s i n 90c o s 90-︒-︒⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥︒︒⎣⎦⎣⎦M ，看作绕原点O 逆时针旋转90°旋转变换矩阵，于是1c o s (90)s i n (90)s i n (90)c o s (90)--︒--︒⎡⎤=⎢⎥-︒-︒⎣⎦M 0110⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦． （2）．曲线1C 的直角坐标方程4x y -=，曲线2C 的直角坐标方程是抛物线24y x =， 4分设11(,)A x y ，22(,)B x y ，将这两个方程联立，消去x ，得212416016y y y y --=⇒=-，421=+y y ．………………3分016)(42)4)(4(212121212121=+++=+++=+∴y y y y y y y y y y x x ．……5分∴0OA OB ⋅=，∴OB OA ⊥．………………………………………7分 （3）．[]22)2()1(212111n n n n n n n ≥+++++⎪⎭⎫⎝⎛+++++ ,所以 132232)1(2121112222+=+=++≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++n n n n n n n n n n n n ………………………… 7分。
福建省福州市2019届高三毕业班3月质检数学理
2019年福州市高中毕业班质量检测理科数学试卷(完卷时间：120分钟；满分：150分)第I卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题•每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的•1•已知集合A={( x,y)|y=lgx}, B={(x,y)|x=a},若A A B= 一，则实数a的取值范围是( ).A. a<1B. a< 1C. a<0D. a< 02•“实数a=1 ”是“复数(1 ai)i ( a€ R ,i为虚数单位)的模为2 ”的().A.充分非必要条件B.必要非充分条件3.4.5. C.充要条件执行如图所示的程序框图D.既不是充分条件又不是必要条件，输出的M的值是( )开始J 」—►M=2―►i=1A . 2B. -11c.—命题” x R,使得f (x )二xA. _X R，都有f (x)二XC. —x R,都有f (x) = x是i<5?否”的否定是B.不存在x -D. x R,使输出MR,使f (x) x已知等比数列{a n}的前n项积为二n,若a3 d a8A.512B.256C.81i=i+1M 二结束).D.166.如图,设向量OA = (3,1),OB =(13)，若OC =入OA +卩OB,且入》卩> 1,则用阴影表示C点所9.若定义在R 上的函数f(x)满足f(-x)=f(x), f(2- x)=f(x), 且当x € ［0,1］时,其图象是四分之一圆(如图所示),则函数A. f(x)=x+sinxB. f (x ) =cos x xC.f(x)=xcosx兀3兀D.f (x )= x(--)(-云)8.已知F i 、22x yF 2是双曲线—22 " (a>0,b>0)的左、右焦点a b，若双曲线左支上存在一点 P 与点F 2关于直线y =■ bx对称”则该双曲线的离心为().a、5A.-2B. 5C.2D.2H(x)= |xej —f(x)在区间［—3,1］上的零点个数为()3210.已知函数f （x ）=x +bx+cx+d （b 、c 、d 为常数），当x € （0,1）时取得极大值，当x € （1,2）时取极小值，则1 2 2（b -） （c- 3）的取值范围是（）.2nH x(-1) sin 2n,x [2n,2n 1)9f(x)二-2,(n N)n ' ：1z x(-1)n 1sin 2n 2,x [2 n 1,2 n 2)I. 2若数列｛a m ｝满足 a m = f (m )(m N )，且的前 m 项和为 S m ,则 S 2014 - S 2006 = _____________2三、解答题：本大题共六个小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.A •(旦,5)B. .5,5)2C. (37,25)4D.(5,25)第H 卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 11.5名同学排成一列，某个同学不排排头的排法种数为（用数字作答）12.如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点 M ，则点M 恰好取自 阴影部分的概率为 ____________ .2 213.若直线 x - y • 2 =0 与圆 C: (x -3) • (y -3) =4 相交于 A 、两点，则CA CB 的值14.已知某几何体的三视图（单位:cm ）如图所示，则该几何体的表面积为15.已知函数A.5B.4C.3D.216. （本小题满分13分）在对某渔业产品的质量调研中，从甲、乙两地出产的该产品中各随机抽取10件，测量该产品中某种元素的含量（单位:毫克）.下表是测量数据的茎叶图：甲地乙地8 01 2 4 7 8 8 92 0 0 1 2(优质品件数/总件数)；规定：当产品中的此种元素含量羽5毫克时为优质品(I )试用上述样本数据估计甲、乙两地该产品的优质品率(n )从乙地抽出的上述10件产品中，随机抽取3件,求抽到的3件产品中优质品数■的分布列及数学期望E().17. (本小题满分13分)已知函数f (x) = 2cos2x 2、3sin xcosx(x R)..(I)当［0,—］时，求函数f(x)的单调递增区间；2(n)设ABC的内角A,B,C的对应边分别为a,b,c，且c = 3, f(C)=2,若向量m=(1,sinA)与向量n = (2,sinB)共线，求a,b 的值.18. (本小题满分13分)如图，直角梯形ABCD中，.ABC =90°AB = BC二2AD=4，点E、F分别是AB、CD的中点，点G在EF上，沿EF将梯形AEFD翻折，使平面AEFD丄平面EBCF .(I)当AG+ GC最小时，求证：BD丄CG ;(n)当2V B- ADGE = V D-GBCF时，求二面角D- BG- C平面角的余弦值.19. (本小题满分13分)已知动圆C过定点(1,0),且与直线x= —1相切.(I)求动圆圆心C的轨迹方程；(H)设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点,直线OA和OB的倾斜角分别为:-和一：，①当：；亠= _时，求证直线AB恒过一定点M;2②若很亠卩为定值v(0 ：：: v :::二)，直线AB是否仍恒过一定点若存在,试求出定点的坐标；若不存在请说明理由•20. (本小题满分14分)1已知函数f (x) = In (x+ ) -ax，其中a R且a = 0a(I)讨论f (x)的单调区间；(n)若直线y二ax的图像恒在函数f (x)图像的上方，求a的取值范围1(川)若存在为：：：0 , x2• 0 ,使得f (x1) = f (x2) = 0 ,求证：x1 x2 0.a21. 本题设有(1 )、(2)、( 3)三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做, 则按所做的前两题计分•作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中•(1) (本小题满分7分)选修4-2:矩阵与变换.3 3^一£已知矩阵A= 若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为S = ，属于特征值1的一个特征JC d丿<1丿曰一*3 \向量a = .1-2丿(I)求矩阵A的逆矩阵；(n)计算A3的值•<4丿(2) (本小题满分7分)选修4-4:坐标系与参数方程.在平面直角坐标系xoy 中，以O 为极点,x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为(I)写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 I 的普通方程 (n)若 P( - 2,-4),求 |PM|+|PN| 的值.(3) (本小题满分7分)选修4-5:不等式选讲 设函数 f(x)=|x — 4|+|x - 3|,(I)求f(x)的最小值 m(n)当 a+2b+3c=m(a,b,c € R)时,求 a 2+ b 2+c 2的最小值.2019年福州市高中毕业班质量检测 数学(理科)试卷参考答案及评分标准1 —10 DABCA DCBBD16.解:(1)甲厂抽取的样本中优等品有乙厂抽取的样本中优等品有(II) 的取值为1, 2, 3. .......................... 5分v -4cosr ，直线I 的参数方程为(t 为参数),两曲线相交于M,N 两点.11.9612.1/313.014.18+ 2.3 cm 2 15.80427件,优等品率为—.10 左848件,优等品率为10 51 21 7 7 12故 的数学期望为(E ') 1 — 2 — 3 —二一 ........................... 13分15 15 15 517.解:(l) f (x) = 2cos 2 x . 3sin 2xA JIJ[ JI令-2k ?x z 2x2k 二，k Z ,26 22兀 n 兀 兀解得 2k … _2 x 岂 2k 二-即 k 二-一 一 x 一 k 二■一 ......... 4 分3 3 3 6JIJI■/[0,-]< f(x)的递增区间为[0,6】........... 6分 二二 1(n )由 f (C ) =2sin(2C —)1=2，得 sin(2C —)二—6 6 213二二 5二，’而C 0,二，所以2C,亘，所以2C 得C8分616 6 丿6P( =1)C8C2Cwi15P(C 1015 P ( =3)C83 10715= cos2x 、、3si n2x 1 =2sin2xsin A sin B1 26 3因为向量 m =(1,sinA)与向量n=(2,sinB)共线，所以a 1由正弦定理得：一=—① ................ 10分b 2由余弦定理得：c 2 = a 2 - b -2abcos —，即 a 2+b 2— ab=9 ② ........ 1 2分 3k =1即 EG=1 .............................. 8 分 T设平面DBG 的法向量为m =(X, y, Z ), •/ G(0,1,0),由①②解得a = ... 3, b = 2』313分18•解:(I )证明：•••点E 、F 分别是AB 、CD 的中点J EF//BC 又/ABC=90 °J AE 丄 EF , ：•平面 AEFD 丄平面 EBCF ,J AE 丄平面 EBCF , AE 丄EF , AE 丄BE , 又 BE 丄 EF ,如图建立空间坐标系E - xyz. ........................... 2分 翻折前，连结AC 交EF 于点G ，此时点G 使得AG+GC 最小.1EG= — BC=2,又•/ EA=EB =2 .2则 A(0,0,2),B(2,0,0),C(2,4,0), D(0,2,2),E(0,0,0),G(0,2,0),J =( -2,2,2),CG=(-2,-2,BD 丄 CG ...................... 5 分(n )解法一：设 EG=k,:AD //平面EFCB ，.点D 到平面EFCB 的距离为即为点 A 到平面EFCBC1=1 一2 V=AE — (7 k )又V ADGES四形ADGE3?B E=3(2' 2V B- ADGE = V D- GBCF ,'4 23(2 k)=3(7 -k),的距离..BG =(—2,1,0), BD =(—2,2,2),…h BD =0 2x+2y + 2z = 0 则： ，即n 1 BG =0 -2x y =04取 x = 1,则 y = 2,z = — 1,A n =(1,2, -1)...................... 10 分由于所求二面角 D-BF-C 的平面角为锐角(n )解法二：由解法一得 EG=1,过点D 作DH _ EF,垂足H,过点H 作BG 延长线的垂线垂足 O ,连接 OD. T 平面 AEFD 丄平面 EBCF,. DH _平面EBCF , OD _ OB,所以三DOH 就是所求 的二面角D- BG- C 的平面角 ..... ........ 9分2由于HG=1,在也OHG 中OH =三匸5 ，DH 又 DH=2，在：DOH 中 tan . DOH 511分OH所以此二面角平面角的余弦值为 丄6. .................. 1：分619. 解：(I )设动圆圆心 M(x,y),依题意点M 的轨迹是以(1,0)为焦点,直线x=— 1为准线的抛物线 ........ 2分 其方程为y 2=4x.- ................ 3分(n )设 A(X 1,y 1),B(X 2,y 2).2 2由题意得X 1枚2(否则■-二二)且X 1X 2丰(则X 1二丫1, X 2二匹44所以直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y=kx+b , 则将 y=kx+b 与 y 2=4x 联立消去 x,得 ky 2— 4y+4 b=0面BCG 的一个"(0,0,1)则 cos<I m II r )2| 所以此二面角平面角的余弦值为13分mm >=4 4b由韦达定理得 Yi 亠y 2 =—, y 1 y 2 = ------------- ................ 6分k k① 当= _时,tan ： tan 1： =1所以上上二1,也 - ym = 0 , .................................. 7分2X i x 2—b 所以y i y 2=16,又由※知：y i y 2=—-所以b=4k;因此直线AB 的方程可表示为y=kx+ 4k,所以直线AB 恒 k过定点(一4,0)............ 8分■J T② 当.：：■ 为定值”0 ：：: V :::二)时若二=—，由①知,2直线AB 恒过定点 M (— 4,0) ............... 9分 当'；_ 时，由「• - _ J ,得 tan J - tan (芒-1：,)=24所以直线AB 恒过定点(-4,) ............ 12分tan 6所以当二-2时，直线AB 恒过定点(—4,0).,「"兀4当时直线AB 恒过定点(-4,) . ........... 13分2tan 日120. 解:(I)f(x)的定义域为(-一，；).a1其导数f (x) = —- a =1 x +a1① 当a ：：： 0时，f '(x) • 0 ,函数在(-丄，；)上是增函数； 2分atan”：亠 tan : 1 - tan ： tan :4( % y 2) y i y 2 -16将※式代入上式整理化简可得此时，直线AB 的方程可表示为4b- 4 ky=kx + 4 k ，所以b= 4k11分2a xax+ 11②当a 0时,在区间(-,0) 上, f'(x) 0;在区间(0,+ m)上，f'(x)：：：0 .a1所以f(x)在(-一，0)是增函数，在(0,+ m )是减函数. ....... 4分a1(II)当a ：：：0时，取x = e -a1 1 1则f (e ) = 1 -a(e ) = 2 -ae 0 ae -1 = a(e ),不合题意.a a a2」1当 a . 0时令 h(x) = ax 一 f (x),则 h(x)=2ax_ln(x ) ...................... 6 分a问题化为求h(x) 0恒成立时a 的取值范围•1 .2a(x+p 由于h(x) =2a牛 ......... 7分1 1 xx -aa1 1 i.在区间(-，-)上，h '(x) 0 ;在区间(-一，•：：)上，h '(x ) 0 .a 2a 2a1 1-h(x)的最小值为h( )，所以只需h( ) 02a 2a1 1 1 1 e即 2a () -ln()0, ln1, a .................... 9 分2a2a a 2a21 (川)由于当a :: 0时函数在(-一，；)上是增函数，不满足题意，所以a 0a1 构造函数：g(x)二 f (-X )- f(x)( x ：： 0) a1 1.g (x)二 ln( x)「ln(x ) 2ax ........................... 11 分a a，/、1 1小2ax小则g(x ^^-^2^v^:：0贝 y x xx 2a aa、 11所以函数g(x)在区间(一一，0)上为减函数.T 一一 £捲£0,则g(xj > g(0) = 0，a a于是 f (- xj- f (x )> 0,又 f (xj = 0，f (- xj> 0= f(X 2)，由 f (x)在(0,址)上为减函数可知21. (1)(本小题满分7分)选修4-2 :矩阵与变换2 3 一 ~ 3-(3 d ) • 3d - 3c = 0的两个根为6和1,c+d = 6 1 = 2 3 3" ，.A =、3c — 2d = -2 d = 42 4解:(I )法一:依题意, x 2 -x 1.即 x x 2 014分所以A 4「3■'■■■ -'d丄3 3)故 d=4,c=2.- A =............. 2 分<2 4丿(2)(本小题满分7分)选修4-4 :坐标系与参数方程.解:(I )(曲线C 的直角坐标方程为y 2=4x,直线I 的普通方程x — y — 2=0. (4)x = _2+空 t| +42y _ _4 I. 2代入y 2=4x,得到t 2 -12J2t + 48 =0，设M,N 对应的参数分别为t i ,t 2则 11 ' 12 =12 \2,11t 2 - 48所以 |PM|+|PN|= |t i +t 2|= 12.2 ............. 7 分 (3))(本小题满分7分)选修4-5 :不等式选讲解:(I )法 1: f(x)=|x — 4|+|x — 3|> |(x — 4)— (x — 3)|=1, 故函数f(x)的最小值为1. m =1.4分A 3-1法二：A 2 -14=2 X633 A分*3、 |429〕.严丿= 1434丿152r— J 4 22」A3—13伦7 129 丫-1电6 130^4巾5 21 丫3 3) 〔87 129、14 22 人2 4 丿(86 130 y7分(n )直线I 的参数方程为(t 为参数),2x - 7, x _ 4法2: f (x ) = * 1,3 兰x< 4 . ----------------- 1分1-2 x, x v 3x> 4 时,f(x) > 1;x<3 时,f(x)>1,3 < x<4 时,f(x)=1, ----------------- 3 分故函数f(x)的最小值为1. m=1. ............. 4分2 2 2 2 2 2 2(n )由柯西不等式(a +b +c )(1 +2 +3 )泊+2b+3c) =1 ------------------ 5 分1故a2+b2+c2> - ............... 6 分14113当且仅当a二一,b二-,c —时取等号........7分14 7 14。
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1
A．
2
,
1
B．
1,
2
1
C．
2
,
0
1
D．
2
,1
12．在△ABC 中， B 30 ， BC 3， AB 2 3 ， D 是边 BC 上的点， B ，C 关于直线 AD
的对称点分别为 B ， C ，则△BBC 的面积的最大值为
新旧个税政策下每月应纳税所得额（含税）计算方法及其对应的税率表如下：
旧个税税率表（起征点 3500 元）
新个税税率表（起征点 5000 元）
缴税 每月应纳税所得额（含税） 税率 每月应纳税所得额（含税） 税率
级数 收入 起征点
（%） 收入 起征点 专项附加扣除 （%）
1 不超过 1500 元的部分
理科数学试题 第 4 页（共 5 页）
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
3
x 1 5 t,
在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为
( t 为参数) ．以坐标原点为极点， x
y 1 4t
5
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2 2 ，点 P 的极坐标为 1 sin2
赡养老人 2000 元/月等．
假设该市该收入层级的 IT 从业者都独自享受专项附加扣除，将预估的该市该收入层级的 IT
从业者的人均月收入视为其个人月收入．根据样本估计总体的思想，解决如下问题：
（1）设该市该收入层级的 IT 从业者 2019 年月缴个税为 X 元，求 X 的分布列和期望；
（2）根据新旧个税方案，估计从 2019 年 1 月开始，经过多少个月，该市该收入层级的 IT 从
3 不超过 3000 元的部分
3
2 超过 1500 元至 4500 元的部分
10 超过 3000 元至 12000 元的部分
10
3 超过 4500 元至 9000 元的部分
20 超过 12000 元至 25000 元的部分 20
4 超过 9000 元至 35000 元的部分 25 超过 25000 元至 35000 元的部分 25
业者各月少缴交的个税之和就超过其 2019 年的月收入？
21．（12 分）
已知函数 f (x) x e2x a ．
（1）若 y 2x 是曲线 y f (x) 的切线，求 a 的值；
（2）若 f (x)≥1 x ln x ，求 a 的取值范围．
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题 计分。
上的点的最小距离等于它到 y 轴的距离．记 P 的轨迹为 E ． （1）求 E 的方程；
（2）过点 F 的直线交 E 于 A, B 两点，以 AB 为直径的圆 D 与平行于 y 轴的直线相切于点
M ，线段 DM 交 E 于点 N ，证明：△AMB 的面积是△AMN 的面积的四倍．
20．（12 分） “工资条里显红利，个税新政入民心”．随着 2019 年新年钟声的敲响，我国自 1980 年以来，
B．x 1 x 2 C．x 1 x≤2 D．x x≥2
2．若复数 z 满足 z 1i 1 i ，则 z
A． i
B．1 i
C． 2
D．1
3．经统计，某市高三学生期末数学成绩 X ~N 85, 2 ，且 P 80 X 90 0.3 ，则从该市
93 3
A．
2
63
B．
7
93
C．
7
33
D．
2
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
π
13．已知向量 a 与 b 的夹角为 ， a b 1 ，且 a a b ，则实数 =3Biblioteka n14．若
2x2
1
展开式的二项式系数之和为 64，则展开式中的常数项是
只有一个符合子女教育扣除的孩子，并且他们之中既不符合子女教育扣除又不符合赡养老人扣
除、只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除、只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除、
既符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人数之比是 2:1:1:1；此外，他们均不符合其他专项附
加扣除．新个税政策下该市的专项附加扣除标准为：住房 1000 元/月，子女教育每孩 1000 元/月，
A． a b c
B． a c b
C． b a c
D． c b a
8．某商场通过转动如图所示的质地均匀的 6 等分的圆盘进行抽奖活动，当指针指
向阴影区域时为中奖．规定每位顾客有 3 次抽奖机会，但中奖 1 次就停止抽
奖．假设每次抽奖相互独立，则顾客中奖的概率是
4
A．
27
理科数学试题 第 3 页（共 5 页）
力度最大的一次个人所得税（简称个税）改革迎来了全面实施的阶段．2019 年 1 月 1 日起实施
的个税新政主要内容包括：（1）个税起征点为 5000 元；（2）每月应纳税所得额（含税） 收入 个税起征点 专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括住房、子女教育和赡养老人等．
以 AO 为直径的圆与 AD 的另一个交点为 C ， P 为 SD 的中点．现给出以下结
论：
P
①△SAC 为直角三角形； ②平面 SAD 平面 SBD ； ③平面 PAB 必与圆锥 SO 的某条母线平行.
其中正确结论的个数是
D C
A
O
B
A．0
B．1
C．2
D．3
11．已知函数 f x ln 1 x x 1，且 f a f a 1 2 ，则实数 a 的取值范围是
N 是 B1C 的中点， M 是棱 AA1 上的一点，且 AA1 CM ． （1）证明： MN∥平面 ABC ；
C B
C1 N
B1
（2）若 AB A1B ，求二面角 A CM N 的余弦值． A
M
A1
19．（12 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，圆 F : x 12 y2 1外的点 P 在 y 轴的右侧运动，且 P 到圆 F
y= 4
y
A
NM
是唐代金银细工的典范之作．该杯型几何体的主体 理科数学试题 第 2 页（共 5 页） 图（1）
O
x
y = -2
BP Q
图（2）
x2 y2 部分可近似看作是由双曲线 C : 1的右支与直线 x 0 ， y 4 ， y 2 围成的曲
39
边四边形 MABQ 绕 y 轴旋转一周得到的几何体，如图（2）． N ， P 分别为 C 的渐近线与
2
的体积是
82 A． π
3
B． 4 3π
C． 12 π
D． 32 3π
2
π
π
6．将函数 y sin(2x ) 的图象向右平移 个单位长度后，所得图象的一个对称中心
6
6
为
A． ( , 0)
12
B． ( , 0)
4
C． ( , 0)
3
D． ( , 0)
2
7．已知 a 2 ， b 5 5 ， c 7 7 ，则
理科数学试题 第 5 页（共 5 页）
1
B．
3
5
C．
9
19
D．
27
9．设椭圆 E 的两焦点分别为 F1 ， F2 ，以 F1 为圆心， F1F2 为半径的圆与 E 交于 P ， Q 两点．
理科数学试题 第 1 页（共 5 页）
若 △PF1F2 为直角三角形，则 E 的离心率是
A． 2 1
5 1
B．
2
2
C．
2
D． 2 1
S
10．如图， AB 是圆锥 SO 的底面圆 O 的直径， D 是圆 O 上异于 A ， B 的任意一点，
y 4 ， y 2 的交点，曲边五边形 MNOPQ 绕 y 轴旋转一周得到的几何体的体积可由祖
暅原理（祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：两等高的几何体在同高处被截得的
两截面面积均相等，那么这两个几何体的体积相等）求得．据此，可求得该金杯的容积 是 ．（杯壁厚度忽略不计） 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．（12 分）
任选一名高三学生，其成绩不低于 90 分的概率是
A． 0.35
B． 0.65
C． 0.7
x y 1≥0,
4．若 x, y 满足约束条件 x y 1≤0, 则 z x 2 y 的最小值是
y
1≥0,
D． 0.85
A． 5
B． 4
C． 0
D． 2
2
5．某简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的所有顶点都在球 O 的球面上，则球 O
5 超过 35000 元至 55000 元的部分 30 超过 35000 元至 55000 元的部分 30
…
…
…
…
…
随机抽取某市 1000 名同一收入层级的 IT 从业者的相关资料，经统计分析，预估他们 2019
年的人均月收入为 24000 元．统计资料还表明，他们均符合住房专项扣除；同时，他们每人至多
2
,
4
．
（1）求 C 的直角坐标方程和 P 的直角坐标；