2016长郡中学理科实验班招生考试数学试卷
湖南省长沙市长郡中学2016届高考模拟卷(一)数学(理)试题含答案
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.若复数174a i--（,a R i ∈是虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．-4 B ．-1 C ．1 D ．4 2.以下四个命题，正确的是（ ）①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在回归直线方程^0.212y x =+中，当变量x 每增加一个单位时，变量y 一定增加0.2单位； ④对于两分类变量X 与Y ，求出其统计量2K ，2K 越小，我们认为“X 与Y 有关系”的把握程度越小.A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④3.在如图所示的程序框图中，若输出i 的值是3，则输入的实数x 的取值范围是（ ） A ．(4,10] B ．(2,)+∞ C ．(2,4] D ．(4,)+∞4.某几何体的正（主）视图和侧（左）视图如图（1），它的俯视图的直观图是矩形1111O A B C 如图（2），其中11116,2O A O C ==，则该几何体的侧面积为（ ） A ．64 B ．80 C ．96 D ．1285.将函数()f x 的图象向左平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()sin 2g x x =的图象，若对满足12|()()|2f x g x -=的12,x x ，有12min ||3x x π-=，则ϕ=（ ）A ．512π B ．3π C ．4π D ．6π6.长郡中学早上8点开始上课，若学生小典与小方均在早上7:40至8:00之间到校，且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的，则小典比小方至少早5分钟到校的概率为（ ） A ．932 B ．12 C ．364 D ．5647.已知函数()ln 1()f x k x k R =+∈，函数2()(45)g x f x x =-+，若存在实数k 使得关于x 的方程()sin04g x x π+=有且只有6个实数根，则这6个根的和为（ ）A ．3πB ．6C ．12D ．12π8.在菱形ABCD 中，60A =，AB =ABD ∆折起到PBD ∆的位置，若三棱锥P BCD -，则二面角P BD C --的正弦值为（ ）A ．13 B ．12 C D 9.已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 作圆222x y a +=的切线分别交双曲线的左、右两支于点,B C ，且2||||B C C F =，则双曲线的离心率为（ ）ABCD10.已知点(1,1),(4,0),(2,2)A B C -，平面区域D 由所有满足(1,1)AP AB AC a b λμλμ=+<≤<≤的点(,)P x y 组成的区域，若区域D 的面积为8，则a b +的最小值为（ ） AB ．2C ．4D ．8 11.已知数列{}n a 满足(1)21(1)n n n n a a n +-+=-，n S 是其前n 项和，若20171007S b =--，且10a b >，则112a b+的最小值为（ ） A．3- B ．3 C． D．3+第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知集合2{|230}A x R x x =∈--<，{|1}B x R x m =∈-<<，若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为 .14.在等差数列{}n a 中，n S 为数列{}n a 的前n 项和，d 为数列{}n a 的公差，若对任意*n N ∈，都有0n S >，且249a a =，则d 的取值范围为 .15.设椭圆22:143x y C +=与函数tan 4x y =的图象相交于12,A A 两点，若点P 在椭圆C 上，且直线2PA 的斜率的取值范围是[2,1]--，那么直线1PA 斜率的取值范围是 .16.已知11k k n n kC nC --=（1k n ≤≤，且*,k n N ∈）可以得到几种重要的变式，如：1111k k n n C C k n--=，将1n +赋给n ，就得到11(1)k k n n kC n C -+=+，…，进一步能得到： 121101122111111111222222(12)3n n n n n n n n n n n n n C C nC nC nC nC nC n n ---------+∙++∙=+∙+∙++∙=+=∙.请根据以上材料所蕴含的数学思想方法与结论，计算：122311111111()()()3233313nn n n n n C C C C n +⨯+⨯+⨯++⨯=+ . 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分） 已知函数()sin(2)cos 26f x x x π=++.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边为,,a b c ，已知()f A =，2,3a B π==，求ABC∆的面积.18. （本小题满分12分）《环境空气质量指标（AQI ）技术规定（试行）》如表1： 表1：空气质量指标AQI 分组表表2是长沙市某气象观测点在某连续4天里的记录，AQI 指数M 与当天的空气水平可见度()y km 的情况.表2：表3是某气象观测点记录的长沙市2016年1月1日至1月30日AQI 指数频数统计表.表3：（1）设100Mx =，根据表2的数据，求出y 关于x 的回归方程； （2）小李在长沙市开了一家小洗车店，经小李统计：AQI 指数不高于200时，洗车店平均每天亏损约200元；AQI 指数在200至400时，洗车店平均每天收入约400元；AQI 指数大于400时，洗车店平均每天收入约700元.（ⅰ）计算小李的洗车店在当年1月份每天收入的数学期望.（ⅱ）若将频率看成概率，求小李在连续三天里洗车店的总收入不低于1200元的概率.（用最小二乘法求线性回归方程系数公式^1221()ni ii nii x y nx yb xn x ==-=-∑∑，^^^a yb x =-.）19. （本小题满分12分）如图所示，异面直线,AB CD互相垂直，AB =，BC =，1CD =，2BD =，3AC =，截面EFGH 分别与,,,BD AD AC BC 相交于点,,,E F G H ，且//AB 平面EFGH ，//CD 平面EFGH .（1）求证：BC ⊥平面EFGH ； （2）求二面角B AD C --的正弦值.20. （本小题满分12分）如图，抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为(0,1)F ，取垂直于y 轴的直线与抛物线交于不同的两点12,P P ，过12,P P 作圆心为Q 的圆，使抛物线上其余点均在圆外，且12PQ P Q ⊥. （1）求抛物线C 和圆Q 的方程； （2）过点F 作倾斜角为()64ππθθ≤≤的直线l ，且直线l 与抛物线C 和圆Q 依次交于,,,M A B N ，求||||MN AB 的最小值.21. （本小题满分12分） 已知函数2()(1)xf x x e-=+，3()12cos 2x g x ax x x =+++，当[0,1]x ∈时， （1）求证：11()1x f x x-≤≤+； （2）若()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是圆O 的直径，弦CE 交AB 于D ，CD =DE =2BD =. （1）求圆O 的半径R ； （2）求线段BE 的长.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 是参数）.（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，且||AB =，求直线的倾斜角α的值. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 关于x 的不等式lg(|3||7|)x x m +--<. （1）当1m =时，解此不等式；（2）设函数()lg(|3||7|)f x x x =+--，当m 为何值时，()f x m <恒成立？参考答案一、选择题 DDACD ACCCC DB可求22ab c x c -=，22a y c =，即2222(,)ab c a B c c-，代入双曲线可求1)b a =，则e =法二：由定义1||2BF a =，2||4BF a =，在12BF F ∆中，22212(2)(2)(4)cos 222a c a bBF F a c c+-∠==⨯⨯，化简求得1ba=，则e =法三：由双曲线定义得1||2BF a =，2||4BF a =，设切点为M ，在1R t F O M ∆中，1||MF b =，过2F 作2F H 垂直直线1CF 于点H ，则11||2||2F H MF b ==，2||2F H a =，∴||BH ==，∴11||||||22FH BF BH a b =+=+=，即1)b a =，则e =.10．【解析】由(1,1),(4,0),(2,2)A B C -，知(3,1),(1,3)AB AC ==， 设AB 与AC 的夹角为θ， 则3cos 5||||10AB AC AB AC θ∙===，所以4sin 5θ=，又由题意平面区域D 的面积4(1)||(1)||sin (1)(1)1085S a AB b AC a b θ=-∙-∙=--⨯⨯=， 解得0ab a b --=， ∴2()2a b a b ab ++=≤，∴4a b +≥. 选C. 11．【解析】由已知：(1)21(1)n n n n a a n +-+=-，则：233a a +=，455a a +=-，677a a +=，899a a +=-，…，201420152015a a +=，201620172017a a +=-，则：20171(1008)1007S a b =+-=--， 则：11a b +=，∴1111121212()()123ab a b a b a b a b+=++=+++≥+，选D. 12．【解析】因为,ηξ是方程()0f x =的根，且ξ是重根，则32()()()f x x bx c x x ηξ=++=--，即得22202b c ηξηξξηξ+=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩，由(1,1)x ηξ∈++，则(21,1)x ξξ∈-++，又由01ξη<-<，则103ξ<<，203η-<<， 则32'23(2)()3(2)c b x x b x c b g x x x b x xηη-+-+++-+=-+++=， 令3232232()3(2)3(23)232h x x x b x c b x x x ηξξξξ=-+++-+=-+-++-， 则'22()3(1)(31)h x x ξ=--+，当(21,1)x ξξ∈-++时，''()(21)(31)(31)0h x h ξξξ<-+=+-<，所以()h x 在(1,1)ηξ++上是减函数，而323(21)82(31)(22)0h ξξξξξξ-+=-+++-=，当(21,1)x ξξ∈-++时，()(21)0h x h ξ<-+=，所以()g x 在(21,1)ξξ-++上是减函数，选择B.二、填空题13. (3,)+∞ 14. 15. 33[,]8416. 114[()1]13n n +-+ 【解析】由11(1)k k n nkC n C -+=+，得11111k k n n C C k n -+=+，111111()()313k k k k n n C C k n -+=+， 所以0122311111111()()()3233313n n n n n n C C C C n +⨯+⨯+⨯+++ 0011221111111111111()()()()13131313n n n n n n C C C C n n n n +++++=⨯+⨯+⨯++++++ 111114[(1)1][()1]1313n n n n ++=+-=-++. 三、解答题 17. ()sin(2)cos 2sin 2coscos 2sincos 2666f x x x x x x πππ=++=++312cos 23(sin 22))22223x x x x x π=+=+=+ 令222232k x k πππππ-+≤+≤+5,1212k x k k Z ππππ⇒-+≤≤+∈， 所以()f x 的单调递增区间为5[,],1212k k k Z ππππ-++∈.（2）由()f A =，1sin(2)32A π+=，又203A π<<，52333A πππ<+<，因此5236A ππ+=，解得：4A π=.由正弦定理：sin sin a bA B=，得b =又由4A π=，3B π=可得sin C =故1sin 2ABC S ab C ∆==. 18．【解析】：（1）973154x +++==，0.5 3.5 6.59.554y +++==，4190.57 3.53 6.519.558j jj x y==⨯+⨯+⨯+⨯=∑，42222219731140j j x ==+++=∑，所以258455211404520b -⨯⨯==--⨯，21415()5204a =--⨯=，所以y 关于x 的回归方程是2141204y x =-+.（2）由表3知AQI 不高于200的频率为0.1，AQI 指数在200至400的频率为0.2，AQI 指数大于400的频率为0.7.设“洗车店每天亏损约200元”为事件A ，“洗车店每天收入约400元”为事件B ，“洗车店每天收入约700元”为事件C ，则()0.1P A =，()0.2P B =，()0.7P C =，（ⅰ）设洗车店每天收入为X 元，则X 的分布列为则X 的数学期望为2000.14000.27000.7550EX =-⨯+⨯+⨯=（元）.（ⅱ）由（ⅰ），“连续三天洗车店收入不低于1200元包含12,3,21,12,3A C B B C B C C 五种情况”，则“连续三天洗车店收入不低于1200元”的概率：322222233330.20.70.10.70.20.20.70.70.876P C C C =+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+=.19．【解析】（1）∵//AB 平面EFGH ，又∵AB ⊂平面ABD ，平面ABD平面EFGH EF =，∴//AB EF ，同理//CD HE ，∵3AB BC AC =，∴222AB BC AC +=，∴AB BC ⊥，同理BC DC ⊥，∴BC EF ⊥，同理BC EH ⊥，又∵,EF EH 是平面EFGH 内的两相交直线，∴BC ⊥平面EFGH .（2）由（1）及异面直线,AB CD 互相垂直知，直线,,AB BC CD 两两垂直，作//Cz BA ，建立空间直角坐标系C xyz -，如图所示，则(0,0,0),(1,0,0),C D B A ，∵x 轴⊂平面ACD ，∴平面ACD 的一个法向量可设为(0,,1)n y =，∵(1DA =-，∴00D A n ∙=++，得：y =即(0,2,1n =-，又∵z 轴//平面ABD ，∴平面ABD 的一个法向量可设为(,1,0)m x =，∴0DA m x ∙=-=，得x =(3,1,0)m =，设二面角B AD C --的大小为θ，那么||2|cos |6||||23n m n m θ∙===，∴sin 6θ=，∴二面角B AD C --的正弦值为620．【解析】（1）因为抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为(0,1)F ，所以12p=，解得2p =，所以抛物线C 的方程为24x y =.由抛物线和圆的对称性，可设圆222:()Q x y b r +-=，∵12PQ P Q ⊥，∴12PQP ∆是等腰直角三角形，则01245QPP ∠=，∴2(,)22P r b -，代入抛物线方程有242r b =-.由题可知在12,P P 处圆和抛物线相切，对抛物线24x y =求导得'2xy =，所以抛物线在点2P 处切线的斜率为4k =.由01245QPP ∠=，知14k ==，所以r =242r b =-，解得3b =. 所以圆Q 的方程为22(3)8x y +-=.（2）设直线l 的方程为1y kx =+，且tan [3k θ=∈， 圆心(0,3)Q 到直线l 的距离为d =，∴||AB == 由241x y y kx ⎧=⎨=+⎩，得22(24)10y k y -++=，设1122(,),(,)M x y N x y ，则21242y y k +=+，由抛物线定义知，212||24(1)MN y y k =++=+，所以2||||16(1MN AB k ∙=+设21t k =+1k ≤≤，所以423t ≤≤，所以4||||16(2)3MN AB t ∙===≤≤，所以当43t =时，即3k =||||MN AB 有最小值3. 21.要证[0,1]x ∈时，2(1)1x x ex -+≥-，只需证明(1)(1)x x x e x e -+≥-. 记()(1)(1)x x h x x e x e -=+--，则'()()x x h x x e e -=-，当(0,1)x ∈时，'()0h x >，因此()h x 在[0,1]上是增函数，故()(0)0h x h ≥=， 所以()1,[0,1]f x x x ≥-∈.要证[0,1]x ∈时，21(1)1x x ex -+≤+，只需证明1x e x ≥+， 记()1x K x e x =--，则'()1x K x e =-，当(0,1)x ∈时，'()0k x >，因此()K x 在[0,1]上是增函数，故()(0)0K x K ≥=，所以1()1f x x≤+，[0,1]x ∈. 综上，11()1x f x x -≤≤+，[0,1]x ∈. （2）（解法一）32()()(1)(12cos )2x x f x g x x e ax x x --=+-+++ 3112cos 2x x ax x x ≥----- 2(12cos )2x x a x =-+++. 设2()2cos 2x G x x =+，则'()2sin G x x x =-， 记()2sin H x x x =-，则'()12cos H x x =-，当(0,1)x ∈时，'()0H x <，于是'()G x 在[0,1]上是减函数，从而当(0,1)x ∈时，''()(0)0G x G <=，故()G x 在[0,1]上是减函数，于是()(0)2G x G ≤=，从而1()3a G x a ++≤+，所以，当3a ≤-时，()()f x g x ≥在[0,1]上恒成立.下面证明，当3a >-时，()()f x g x ≥在[0,1]上不恒成立，31()()12cos 12x f x g x ax x x x -≤----+ 32cos 12x x ax x x x -=---+ 21(2cos )12x x a x x =-++++. 记211()2cos ()121x I x a x a G x x x =+++=++++，则''21()()(1)I x G x x -=++，当(0,1)x ∈时，'()0I x <，故()I x 在[0,1]上是减函数.于是()I x 在[0,1]上的值域为[12cos1,3]a a +++.因为当3a >-时，30a +>，所以存在0(0,1)x ∈，使得0()0I x >此时00()()f x g x <，即()()f x g x ≥在[0,1]上不恒成立.综上，实数a 的取值范围是(,3]-∞-.（解法二）先证当[0,1]x ∈时，22111cos 124x x x -≤≤-. 记21()cos 12F x x x =-+，则'()sin F x x x =-+， 记()sinG x x x =-+，则'()c o s 1G x x =-+，当(0,1)x ∈时，'()0G x >，于是()G x 在[0,1]上是增函数，因此当(0,1)x ∈时，()(0)0G x G >=，从而()F x 在[0,1]上是增函数，因此()(0)0F x F ≥=.所以当[0,1]x ∈时，211cos 2x x -≤. 同理可证，当[0,1]x ∈时，21cos 14x x ≤-. 综上，当[0,1]x ∈时，22111cos 124x x x -≤≤-. 因为当[0,1]x ∈时， 22()()(1)(12cos )2x x f x g x x e ax x x --=+-+++ 221(1)12(1)24x x ax x x ≥------ (3)a x =-+，所以当3a ≤-时，()()f x g x ≥在[0,1]上恒成立.下面证明，当3a >-时，()()f x g x ≥在[0,1]上不恒成立，因为22()()(1)(12cos )2x x f x g x x e ax x x --=+-+++321112(1)122x ax x x x ≤-----+ 23(3)12x x a x x =+-++ 32[(3)]23x x a ≤-+. 所以存在0(0,1)x ∈（例如0x 取33a +和12中的较小值）满足00()()f x g x <. 即()()f x g x ≥在[0,1]上不恒成立.综上，实数a 的取值范围是(,3]-∞-.22．【解析】（1）由相交弦定理知2AD =∙， ∴18,52AD R AB ===. （2）设BE x =，连AE ，则AEB ∆为直角三角形，且知ABE ACE ∠=∠. 在ABE ∆中，cos 10x ABE ∠=， 在DBE ∆中，2222cos 22x DBE x+-∠=∙∙，由22221022x x x+-=∙∙， 得2203x =，即x =.∴BE =. 23．【解析】（1）由4cos ρθ=，得22(2)4x y -+=.（2）将1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入圆的方程得22(cos 1)(sin )4t t αα-+=， 化简得22cos 30t t α--=.设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，则12122cos 3t t t t α+=⎧⎨=-⎩，∴12||||AB t t =-===∴24cos 2α=，cos α=，4πα=或34π. 24．【解析】（1）当1m =时，原不等式可变为0|3||7|10x x <+--<， 可得其解集为{|27}x x <<.（2）设|3||7|t x x =+--，则由对数定义及绝对值的几何意义知010t <≤，因lg y x =在(0,)+∞上为增函数，则lg 1t ≤，当10t =，7x ≥时，lg 1t =，故只需1m >即可，即1m >时，()f x m <恒成立.。
长郡理科实验班招生 考试数学试卷(四)
长郡理科实验班招生 考试数学试卷（四）时量：60分钟 满分：100分一、选择题（每题5分，共30分）1.已知<COSA<Sin80°，则锐角A 的取值范围是（ ） A.6080A ︒<<︒ B.3080A ︒<<︒ C.1060A ︒<<︒D.1030A ︒<<︒2.设1x 、2x 是方程20x x k ++=的两个实根，若恰有22211222x x x x k ++=成立，则k 的值为（ ） A.1-B.12或1-C.12D.12-或13.一名考生步行前往考场，10分钟走了总路程的14，估计步行不能准时到达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如右图所示（假定总路程为1），则他到达考场所花的时间比一直步行提前了.（ ）A.20分钟B.22分钟C.24分钟D.26分钟4.内角的度数为整数的正n 边形的个数是（ ） A.24B.22C.20D.185.如图，已知E 、F 点分别是正方形ABCD 的边AB 、BC 的中点，BD 、DF 分别交EC 于点C 、H ，若正方形ABCD 的面积是240，则四边形BFHG 的面积等于（ ）A.26B.28C.24D.306.张阿姨准备在某商场购买一件衣服、一双鞋和一套化妆品，这三件物品的原价和优惠方式如下表所示：请帮张阿姨分析一下，选择一个最省钱的购买方案.此时，张阿姨购买这三件物品实际所付出的钱的总数为（ ） A.500元 B.600元 C.700元 D.800元二、填空题（每题5分，共30分）7.若14x x-=，则2421x x x =++ .8.如右图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周上一点，从4点出发绕侧面一周，再回到A 点的最短的路线长是 .9.若化简1x -25x -，则x 的取值范围是 .10.方程20x ax b ++=的两根为1x ，2x ，且3322121212x x x x x x +=+=+，则有序实数对(),a b 共有 对.11.如右图，直角坐标系中直线AB 交x 轴，y 轴于点()4,0A 与()0,3B -，现有一半径为1的动圆的圆心位于原点处，以每秒1个单位的速度向右作平移运动，则经过 秒后动圆与直线AB 相切.12.二次函数22y x ax a =++在12x -≤≤上有最小值4-，则a 的值为 .三、解答题（每题10分，共40分）13.已知,x y 均为实数，且满足17xy x y ++=，2266x y xy +=，求：代数式432234x x y x y xy xy ++++的值.14.在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，直角边BC 与直角坐标系中的x 轴重合，其内切圆的圆心坐标为()0,1P ，若抛物线221y kx kx =++的顶点为A .求： （1）求抛物线的对称轴、顶点坐标和开口方向； （2）用k 表示B 点的坐标； （3）当k 取何值时，60ABC ∠=︒.15.如图，在△ABC 中，AC BC =，CD 是AB 边上的高线，且有23CD AB =，又E ，F 为CD 的三等分点，求证：180ACB AEB AFB ∠+∠+∠=︒.16.已知二次函数2224y x mx m =-+-的图象与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左边），且与y 轴交于点D.（1）当点D 在y 轴正半轴时，是否存在实数m ，使得△BOD 为等腰三角形？若存.在，求出m 的值；若不存在，请说明理由；（2）当1m =-时，将函数2224y x mx m =-+-的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象Ω.当直线12y x b =+与图象Ω有两个公共点时，求实数b的取值范围.数学试卷（四）参考答案一、选择题（每题5分，共30分） 1.D 2.A 3.C 4.B. 5.B 6.B 二、填空题（每题5分，共30分）7.1198. 9.14x ≤≤ 10.311.73或17312.5三、解答题（每题10分，共40分）13.解：由已知条件可知xy 和()x y +是方程217660t t -+=的两个实数根， 16t =，261111xy t x y =⎧=⇒⎨+=⎩或116x y xy +=⎧⎨=⎩当11xy =，6x y +=时，x 、y 是方程26110y y -+=的两个根 ∵36440t ∆=-<，∴此方程没有实数根.当6xy =，11x y +=时，x ，y 是方程21160u u -+=的两个根 ∴2121240∆=->，∴此方程有实数根， 这时()2222109x y x y xy +=+-= ∴432224x x y x y xy y ++++()()44222222x y x y xy x y xy x y =+++++ ()()2222222x y x y xy x y =+-++12499=14.（1）∵221y kx kx =++，∴.对称轴1x =-，易见抛物线是以Rt △ABC 的直角边AC 所在直线为对称轴，由题易得()1,1A k --，又当0x =时，1y =，则抛物线过()0,1P ， 故开口向下.（2）如图，1AC k =-，1BC CO OB OB =+=+，AB AD BD AE OB AC CE OB OB k =+=+=-+=-， 由勾股定理得()()()22211111,0111k k k k OB OB k OB OB B k k k ---⎛⎫-++=-⇒=⇒=⇒ ⎪+++⎝⎭（3）∵60ABC ∠=︒，∴tan ABC ∠=又21tan 2k ABC k-∠==210k +-=.∴12k =，22k =-.又∵0k <，∴2k =.15.证明：∵23CD AB =，且,E F 为CD 三等分点，D 为AB 中点， ∴1132CD AB =，即AD DF =，∴45AFD ∠=︒ ∴22222AF AD DF DF FE FC =+==⋅. ∴AFE CFA ∆∆:，∴CAF AEF ∠=∠. 即∴45ACD AED AFD ∠+∠=∠=︒.∴90ACD AED AFD ∠+∠+∠=︒，所以得证.16.解：令0y =得22240x mx m -+-=，解得12x m =-，22x m =+， ∴()2,0A m -，()2,0B m +，()20,4D m -. （1）∵点D 在y 轴正半轴，∴240m ->，设存在实数m ，使得BOD ∆为等腰三角形，则BO OD =，则224m m +=-， ①当20m +>时，242m m -=+，解得3x =或2x =-（舍去）； ②当20m +<时，2420m m -++=，解得1x =或2x =-（都舍去）； ③当20m +=时，点,,O B D 重合，不合题意，舍去； 综上所述，3m =，（2）当1m =-时，223y x x =+-，则()3,0A -，()1,0B 顶点为()1,4--. 因为直线12y x b =+与图象Ω由两个公共点，则当直线12y x b =+过A 点准时32b =，当直线12y x b =+过()1,0B 时，12b =-，当直线12y x b =+与223y x x =--+只有一个公共点时，7316b =，根据图像，可得1322b -<<或7316b >.“最湖南的网课”，胡哥与他的朋友们，联合出品。
湖南省长沙市长郡中学2016年高考数学一模试卷(理科) 含解析
2016年湖南省长沙市长郡中学高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数a﹣(a∈R，i是虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为(）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．42．以下四个命题,正确的是（）①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在回归直线方程=0.2x+12中，当变量x每增加一个单位时，变量y一定增加0.2单位;④对于两分类变量X与Y，求出其统计量K2,K2越小，我们认为“X与Y有关系”的把握程度越小．A．①④B．②③C．①③D．②④3．在如图所示的程序框图中,若输出i的值是3，则输入x的取值范围是（）A．（4，10]B．（2，+∞) C．（2,4]D．（4，+∞)4．某几何体的主视图和左视图如图（1），它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1如图（2），其中O1A1=6,O1C1=2，则该几何体的侧面积为（）A．48 B．64 C．96 D．1285．将函数f（x)的图象向左平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g(x)=sin2x的图象,若对满足|f（x1）﹣g(x2)|=2的x1,x2,有｜x1﹣x2|min=,则φ=()A． B．C．D．6．长郡中学早上8点开始上课,若学生小典与小方匀在早上7:40至8：00之间到校,且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的,则小典比小方至少早5分钟到校的概率为(）A．B．C．D．7．已知函数f（x）=klnx+1（k∈R），函数g（x)=f(x2﹣4x+5），若存在实数k使得关于x的方程g（x）+sin x=0有且只有6个实数根,则这6个根的和为（）A．3πB．6 C．12 D．12π8．在菱形ABCD中，A=60°，AB=,将△ABD折起到△PBD的位置，若三棱锥P﹣BCD的外接球的体积为，则二面角P﹣BD﹣C的正弦值为（）A．B．C．D．9．已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1,F2，过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2｜,则双曲线的离心率为（)A． B．C． D．10．已知点A（1，﹣1）,B（4，0），C（2,2），平面区域D由所有满足（1＜λ≤a，1＜μ≤b）的点P(x,y）组成．若区域D的面积为8，则a+b的最小值为（)A．B．2 C．4 D．8=n（﹣1），S n是其前n项和,若S2017=﹣1007﹣b，11．已知数列{a n｝满足a n+a n﹣1且a1b＞0,则+的最小值为（）A．3﹣2B．3 C．2D．312．设函数f（x）=x3+bx+c，η，ξ是方程f（x）=0的根，且f′(ξ)=0，当0＜ξ﹣η＜1时，关于函数g(x)=x3﹣x2+（b+2）x+（c﹣b+η）lnx+d在区间（η+1，ξ+1)内的零点个数的说法中，正确的是（)A．至少有一个零点B．至多有一个零点C．可能存在2个零点 D．可能存在3个零点二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知集合A={x∈R|x2﹣2x﹣3＜0}，B=｛x∈R|﹣1＜x＜m}，若x∈A是x∈B的充分不必要条件,则实数m的取值范围为．14．在等差数列{a n｝中，S n为数列{a n｝的前n项和，d为数列｛a n｝的公差，若对任意n ∈N*，都有S n＞0，且a2a4=9,则d的取值范围为．15．设椭圆C： +=1与函数y=tan的图象相交于A1，A2两点，若点P在椭圆C上，且直线PA2的斜率的取值范围［﹣2,﹣1］，那么直线PA1斜率的取值范围是．16．已知kC n k=nC n﹣1k﹣1（1≤k≤n，且k，n∈N*）可以得到几种重要的变式，如:C n k，将n+1赋给n，就得到kC n+1k=(n+1）C n k﹣1，…，进一步能得到：1C n1+2C n2•21+…+nC n n•2n﹣1=nC n﹣10+nCn﹣11•21+nC n﹣12•22+…+nC n﹣1n﹣1•2n﹣1=n(1+2）n﹣1=n•3n﹣1．请根据以上材料所蕴含的数学思想方法与结论，计算:C n0×+C n1×（)2+C n2×（）3+…+Cnn×（）n+1=．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数．(Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；(Ⅱ)在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知,a=2，，求△ABC的面积．18．《环境空气质量指标（AQI）技术规定（试行）》如表1：表1:空气质量指标AQI分组表AQI 0～50 51～100 101～150 151～200 201～300 ＞300级别Ⅰ级Ⅱ级Ⅲ级Ⅳ级Ⅴ级Ⅵ级类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染表2是长沙市某气象观测点在某连续4天里的记录，AQI指数M与当天的空气水平可见度y（km)的情况．表2:AQI指数900 700 300 100空气可见度(千米）0。
长郡理科实验班招生 考试数学试卷(三)
长郡理科实验班招生 考试数学试卷（三）时量：60分钟 满分：100分一、选择题（每题5分，共30分）1.下列图中阴影部分面积与算式2131242-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的结果相同的是（ ）2.对于两个数，200820092009M =⨯，200920082008N =⨯.则（ ） A.M N = B.M N > C.M N < D.无法确定3.已知1sin cos 8αα⋅=，且4590α︒<<︒，则cos sin αα-的值为（ ）B. C.34D. 4.如果关于x 的方程2230x ax a -+-=至少有一个正根，则实数a 的取值范围是（ ）A.22a -<< 2a <≤ C.2a ≤D.2a ≤≤5.向高为H 的永瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如左图所示，那么水瓶的形状是（ ）6.如图，张三同学把一个直角边长分别为3cm ，4cm 的直角三角形硬纸板，在桌面上翻滚（顺时针方向），顶点A 的位置变化为12A A A →→，其中第二次翻滚时被桌面上一小木块挡住，使纸板一边21A C 与桌面所成的角恰好等于BAC ∠，则A 翻滚到2A 位置时共走过的路程为（ ）A.B.8πcmC.D.4πcm二、填空题（每题5分，共30分）7.若1x =，则((3221x x x -++的值是 .8.已知⊙O 的半径1OA =，弦AB 、AC 的长分别是、，则BAC ∠的度数是 .9.如图，在Rt ABC ∆中，90BCA ∠=︒，30BAC ∠=︒，6AB =，将ABC ∆以点B 为中心逆时针旋转，使点C 旋转至AB 边延长线上的点C '处，那么AC 边转过的图形（图中阴影部分）的面积是 .10.如图，两个反比例函数1k y x =和2ky x=在第一象限内的图象依次是1C 和2C ，设点P 在1C 上，PC x ⊥轴于点C ，交2C 于点A ，PD y ⊥轴于点D ，交2C 于点B ，则四边形PAOB 的面积为 .11.已知,,a b c 为实数且13ab a b =+，14bc b c =+，15ac a c =+，则abcab bc ca=++ . 12.设1C ，2C ，3C ……为一群圆，其作法如下：1C 是半径为a 的圆，在1C 的圆内作四个相等的圆2C （如图），每个圆2C 和圆1C 都内切，且相邻的两个圆2C 均外切，再在每一个圆2C 中，用同样的方法作四个相等的圆3C ，依此类推作出4C ，5C ，6C …….则（1）圆2C 的半径长等于 （用a 表示）；（2）圆k C 的半径为 （k 为正整数，用a 表示，不必证明）.三、解答题（13题12分、14题14分、15题14分，共40分）13.设m 是不小于1-的实数，关于x 的方程()2222330x m x m m +-+-+=有两个不相等的实数根1x 、2x ，（1）若22126x x +=，求m 值； （2）求22121211mx mx x x +--的最大值.14.某商场将进价为2600元的彩电以3000元售出，平均每天能销售出6台。
长郡中学高二入学考试理科数学考试试题及参考答案
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长郡中学2016年高一新生分班考试-数学试卷 (2)
15.（10 分）阅读理解： 我们知道，四边形具有不稳定性，容易变形. 如图 1，一个矩形发生变形后 成为一个平行四边形. 设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α， 我们把 sin 的值叫做这个平行四边形的变形度. (1) 若矩形发生变形后的平行四边形有一个内角是 120°， 则这个平行四边 形的变形度是________________； 猜想证明： （2）若矩形的面积为 S1，其变形后的平行四边形面积为 S2，试猜想 S1， S2，
1
x
交于 A（－2，m）、B（1，n）两点，连接 OA、OB. 给出下列结论： ①k1k2<0；②m+ 1 ③S△AOP= S△BOQ；④不等式 k1x+b＞ kx2 的解集是 x<－2 2 n=0； 或 0<x<1，其中正确的结论的序号是__________. 11.如图，AB＝6，O 是 AB 的中点，直线 l 经过点 O，∠1＝120°，P 是直线 l 上 一点。当△APB 为直角三角形时，AP＝__________. 12.如图，直线 l：y=－ 4 3 x，点 A1 坐标为（－3，0）. 过点 A1 作 x 轴的垂线交直
三、解答题：（共 52 分）
第 12 题图
13.（8 分）某市某学校 2015 年在某商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足 球共花费 2000 元，购买乙种足球共花费 1400 元，购买甲种足球数量是购买乙 种足球数量的 2 倍．且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花 20 元． (1)求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元； (2)2016 年为响应习总书记“足球进校园”的号召，这所学校决定再次购买甲、 乙两种足球共 50 个．恰逢该商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比 第一次购买时提高了 10%，乙种足球售价比第一次购买时降低了 10%．如果此
湖南省长沙市长郡中学2016届高三上学期第一次月考数学试卷(理科) 含解析
2015-2016学年湖南省长沙市长郡中学高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知i是虚数单位,若=1﹣i，则z的共轭复数为（）A．1﹣2i B．2﹣4i C．﹣2i D．1+2i2．已知狆：p：≥1，q：｜x﹣a|＜1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（) A．（﹣∞，3]B．[2，3]C．（2，3］ D．（2，3)3．已知||=1，｜|=2，,点C在∠AOB内，且∠AOC=45°,设=m+n（m,n∈R)则等于（）A．1 B．2 C．D．4．已知O是坐标原点，点A（﹣1，1)，若点M(x，y）为平面区域，上的一个动点,则•的取值范围是（)A．［﹣1，0］B．［0，1］ C．[0，2］D．［﹣1,2]5．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：m2）分别为x，y,z，且x＜y＜z，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/m2）分别为a，b，c，且a＜b＜c．在不同的方案中，最低的总费用(单位:元）是（）A．ax+by+cz B．az+by+cx C．ay+bz+cx D．ay+bx+cz6．使奇函数f（x）=sin（2x+θ）+cos（2x+θ）在［﹣，0]上为减函数的θ值为（)A．﹣B．﹣C．D．7．设x∈R，若函数f（x）为单调递增函数，且对任意实数x，都有f[f（x）﹣e x］=e+1（e是自然对数的底数）,则f（ln2)的值等于（）A．1 B．e+l C．3 D．e+38．设θ为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数t，｜+t|的最小值为1．（）A．若θ确定,则|｜唯一确定B．若θ确定，则｜|唯一确定C．若｜｜确定,则θ唯一确定 D．若|｜确定，则θ唯一确定9．已知函数f（x)=sinπx的图象的一部分如左图,则右图的函数图象所对应的函数解析式为(）A．B．y=f（2x﹣1）C．D．10．在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中,一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2,0），（1，2,1）,（2，2,2），给出的编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为(）A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．11．(理）．12．如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8,AD=5，=3，•=2，则•的值是．13．过椭圆+=1（a＞b＞0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为．14．已知数列｛a n}满足a1=1，a n=log n（n+1）（n≥2，n∈N*）．定义：使乘积a1•a2…a k为正整数的k （k∈N＊)叫做“易整数”．则在[1，2015]内所有“易整数”的和为．15．已知函数f（x）=cosx（x∈（0,2π）)有两个不同的零点x1,x2，且方程f（x）=m有两个不同的实根x3，x4,若把这个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m的值为．三、解答题：本大题共8小题,共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．本小题设有16、17/18三个选做题，请考生任选二题作答，如果全做,则按所做前二题计分．16．如图：⊙O的直径AB的延长线于弦CD的延长线相交于点P,E为⊙O上一点，=,DE交AB于点F．（1）求证:O，C,D，F四点共圆；（2）求证：PF•PO=PA•PB．17．在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ）求C1,C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=(ρ∈R），设C2与C3的交点为M,N，求△C2MN的面积．18．（2015•铜川模拟）已知a2+b2=1，c2+d2=1．（Ⅰ）求证：ab+cd≤1．（Ⅱ）求a+b的取值范围．19．如图，在△ABC中，∠ABC=90°,，BC=1，P为△ABC内一点,∠BPC=90°（Ⅰ)若，求PA；(Ⅱ）若∠APB=150°，求tan∠PBA．20．已知函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0，b∈R，c∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）的最小值是f（﹣1）=0，且c=1，又，求F(2）+F（﹣2）的值；（Ⅱ）若a=1，c=0，且|f（x）|≤1在区间（0，1]上恒成立，求实数b的取值范围．21．已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点．（1）求异面直线AC与PB所成的角的余弦值;（2）求直线BC与平面ACM所成角的正弦值．22．已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）和椭圆C2:=1,离心率相同，且点（，1）在椭圆C1上．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；(Ⅱ）设P为椭圆C2上一点,过点P作直线交椭圆C1于A、C两点，且P恰为弦AC的中点．求证：无论点P怎样变化，△AOC的面积为常数，并求出此常数．23．已知函数．（I）若f（x）为定义域上的单调函数，求实数m的取值范围;（II）当m=1，且1≥a＞b≥0时,证明：．2015—2016学年湖南省长沙市长郡中学高三（上)第一次月考数学试卷(理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知i是虚数单位，若=1﹣i,则z的共轭复数为(）A．1﹣2i B．2﹣4i C．﹣2i D．1+2i【考点】复数的基本概念．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则及其共轭复数的意义即可得出．【解答】解：∵=1﹣i，∴===1+2i．∴=1﹣2i．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则及其共轭复数的意义，属于基础题．2．已知狆：p：≥1,q：|x﹣a|＜1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，3］B．［2,3]C．（2，3]D．(2，3）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】求出p，q的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：由≥1，即≥0，解得2＜x≤3，由｜x﹣a｜＜1得a﹣1＜x＜a+1，若p是q的充分不必要条件，则，解得2＜a≤3．实数a的取值范围为（2，3]．故选：C．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，比较基础．3．已知｜|=1，||=2,,点C在∠AOB内,且∠AOC=45°，设=m+n（m，n∈R）则等于(）A．1 B．2 C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】通过建立直角坐标系,利用向量的坐标运算和数量积运算及其夹角公式即可得出．【解答】解:如图所示，则A（1，0），B(0，2）．设C（x,y)．∵=m+n（m，n∈R），∴（x，y)=m（1，0)+n（0，2）=（m，2n)．∴x=m，y=2n．∵∠AOC=45°，∴==，解得．故选B．【点评】熟练掌握向量的坐标运算和数量积运算及其夹角公式是解题的关键．4．已知O是坐标原点，点A（﹣1，1）,若点M（x，y）为平面区域,上的一个动点,则•的取值范围是（）A．［﹣1，0］B．［0，1］ C．[0，2］D．[﹣1，2］【考点】简单线性规划的应用；平面向量数量积的运算．【专题】数形结合．【分析】先画出满足约束条件的平面区域，求出平面区域的角点后,逐一代入•分析比较后，即可得到•的取值范围．【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式当x=1，y=1时,•=﹣1×1+1×1=0当x=1，y=2时，•=﹣1×1+1×2=1当x=0,y=2时，•=﹣1×0+1×2=2故•和取值范围为[0，2］解法二:z=•=﹣x+y,即y=x+z当经过P点（0，2)时在y轴上的截距最大,从而z最大，为2．当经过S点（1，1）时在y轴上的截距最小,从而z最小,为0．故•和取值范围为[0，2］故选:C【点评】本题考查的知识点是线性规划的简单应用，其中画出满足条件的平面区域，并将三个角点的坐标分别代入平面向量数量积公式，进而判断出结果是解答本题的关键．5．有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：m2）分别为x,y，z，且x＜y＜z,三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/m2）分别为a，b，c，且a＜b＜c．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（)A．ax+by+cz B．az+by+cx C．ay+bz+cx D．ay+bx+cz【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】函数的性质及应用．【分析】作差法逐个选项比较大小可得．【解答】解：∵x＜y＜z且a＜b＜c，∴ax+by+cz﹣（az+by+cx)=a(x﹣z）+c（z﹣x）=（x﹣z）（a﹣c）＞0,∴ax+by+cz＞az+by+cx；同理ay+bz+cx﹣（ay+bx+cz)=b（z﹣x)+c(x﹣z）=（z﹣x）(b﹣c）＜0，∴ay+bz+cx＜ay+bx+cz；同理az+by+cx﹣（ay+bz+cx）=a(z﹣y）+b（y﹣z）=（z﹣y）（a﹣b）＜0，∴az+by+cx＜ay+bz+cx,∴最低费用为az+by+cx故选:B【点评】本题考查函数的最值,涉及作差法比较不等式的大小，属中档题．6．使奇函数f（x）=sin(2x+θ)+cos（2x+θ）在［﹣，0］上为减函数的θ值为（)A．﹣B．﹣C．D．【考点】正弦函数的奇偶性；正弦函数的单调性．【专题】计算题．【分析】首先根据已知将函数f(x)化简为f（x)=2sin(2x+θ+），然后根据函数的奇偶性确定θ的取值,将选项分别代入验证再根据单调性即可排除选项．【解答】解：由已知得:f（x）=2sin（2x+θ+），由于函数为奇函数，故有θ+=kπ即：θ=kπ﹣（k∈Z），可淘汰B、C选项然后分别将A和D选项代入检验，易知当θ=时,f（x)=﹣2sin2x其在区间[﹣,0］上递减，故选D、故答案为：D【点评】本题考查正弦函数的奇偶性和单调性，通过对已知函数的化简，判断奇偶性以及单调性,通过对选项的分析得出结果．考查了对三角函数图象问题的熟练掌握和运用，属于基础题．7．设x∈R，若函数f（x）为单调递增函数，且对任意实数x,都有f[f（x)﹣e x]=e+1(e是自然对数的底数），则f（ln2)的值等于（)A．1 B．e+l C．3 D．e+3【考点】函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用换元法将函数转化为f（t）=e+1，根据函数的对应关系求出t的值，即可求出函数f （x）的表达式，即可得到结论．【解答】解：设t=f（x）﹣e x，则f（x）=e x+t,则条件等价为f（t）=e+1，令x=t，则f（t）=e t+t=e+1，∵函数f（x）为单调递增函数,∴函数为一对一函数，解得t=1，∴f（x）=e x+1,即f（ln2）=e ln2+1=2+1=3，故选：C．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用换元法求出函数的解析式是解决本题的关键．8．设θ为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数t，|+t｜的最小值为1．（）A．若θ确定，则｜｜唯一确定B．若θ确定，则||唯一确定C．若｜｜确定，则θ唯一确定D．若||确定，则θ唯一确定【考点】平面向量数量积的运算；零向量；数量积表示两个向量的夹角．【专题】平面向量及应用．【分析】由题意可得（+t）2=+2t+，令g（t）=+2t+，由二次函数可知当t=﹣=﹣cosθ时，g（t）取最小值1．变形可得sin2θ=1，综合选项可得结论．【解答】解：由题意可得（+t）2=+2t+令g（t）=+2t+可得△=4﹣4=4cos2θ﹣4≤0由二次函数的性质可知g（t）≥0恒成立∴当t=﹣=﹣cosθ时，g（t)取最小值1．即g（﹣cosθ)=﹣+=sin2θ=1故当θ唯一确定时，||唯一确定，故选：B【点评】本题考查平面向量数量积的运算，涉及二次函数的最值，属中档题．9．已知函数f（x）=sinπx的图象的一部分如左图，则右图的函数图象所对应的函数解析式为(）A．B．y=f（2x﹣1）C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ)的图象变换．【专题】作图题．【分析】先由图象的周期进行排除不符合的选项，再结合函数的图象所过的特殊点进行排除错误的选项,从而找出正确的选项即可．【解答】解:由已知图象可知,右图的周期是左图函数周期的,从而可排除选项C，D对于选项A：，当x=0时函数值为﹣1，从而排除选项A故选:B【点评】本题主要考查了三角函数的图象的性质的应用，考查了识别图象的能力，还要注意排除法在解得选择题中的应用．10．在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），(2,2，0），（1，2,1）,（2，2，2）,给出的编号为①，②,③,④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②【考点】简单空间图形的三视图．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则,可得结论．【解答】解：在坐标系中,标出已知的四个点，根据三视图的画图规则,可得三棱锥的正视图和俯视图分别为④②，故选：D．【点评】本题考查三视图的画法,做到心中有图形，考查空间想象能力，是基础题．二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．11．（理)π+2．【考点】定积分．【专题】计算题．【分析】根据定积分的定义，找出三角函数的原函数然后代入计算即可．【解答】解：（x+sinx）=+1﹣(﹣1)=π+2，故答案为π+2．【点评】此题考查定积分的性质及其计算，是高中新增的内容，要掌握定积分基本的定义和性质,解题的关键是找出原函数．12．如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，•=2，则•的值是22．【考点】向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】由=3，可得=+，=﹣,进而由AB=8，AD=5,=3，•=2，构造方程,进而可得答案．【解答】解：∵=3，∴=+，=﹣，又∵AB=8，AD=5，∴•=（+)•（﹣）=｜|2﹣•﹣｜｜2=25﹣•﹣12=2，故•=22，故答案为：22．【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，平面向量数量积的运算，其中根据已知得到=+，=﹣，是解答的关键．13．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】把x=﹣c代入椭圆方程求得P的坐标，进而根据∠F1PF2=60°推断出=整理得e2+2e ﹣=0，进而求得椭圆的离心率e．【解答】解：由题意知点P的坐标为（﹣c，)或（﹣c，﹣），∵∠F1PF2=60°，∴=，即2ac=b2=（a2﹣c2）．∴e2+2e﹣=0，∴e=或e=﹣（舍去）．故答案为：．【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质，考查了考生综合运用椭圆的基础知识和分析推理的能力,属基础题．14．已知数列｛a n｝满足a1=1,a n=log n(n+1）（n≥2,n∈N*)．定义：使乘积a1•a2…a k为正整数的k(k∈N*)叫做“易整数"．则在[1，2015]内所有“易整数”的和为2036．【考点】数列的函数特性．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意，及对数的换底公式知，a1•a2•a3…a k=log2（k+1），结合等比数列的前n项和进行求解即可．【解答】解：∵a n=log n（n+1），∴由a1•a2…a k为整数得1•log23•log34…log k(k+1)=log2（k+1)为整数,设log2（k+1）=m,则k+1=2m,∴k=2m﹣1；∵211=2048＞2015，∴区间［1，2015］内所有“易整数”为：21﹣1，22﹣1,23﹣1，24﹣1,…，210﹣1，其和M=21﹣1+22﹣1+23﹣1+24﹣1+…+210﹣1=﹣10=211﹣2﹣10=2036．故答案为：2036．【点评】本题以新定义“易整数"为切入点,主要考查了对数的换底公式及对数的运算性质的应用．15．已知函数f(x)=cosx（x∈（0，2π））有两个不同的零点x1,x2，且方程f(x）=m有两个不同的实根x3，x4，若把这个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m的值为﹣．【考点】函数的零点．【专题】计算题．【分析】函数f(x)=cosx（x∈（0,2π））有两个不同的零点x1,x2，可知x1=，x2=π，因为方程f （x)=m有两个不同的实根x3，x4,若把这个数按从小到大排列构成等差数列，需要分两种情况进行讨论：m＞0和m＜0,再利用等差数列的性质进行求解;【解答】解:函数f(x）=cosx(x∈(0，2π））有两个不同的零点x1，x2，∴x1=，x2=π，∵方程f(x)=m有两个不同的实根x3，x4，若把这个数按从小到大排列构成等差数列，若m＞0则，x3,，π，x4,构成等差数列，可得公差d=﹣=π，则x1=﹣π=﹣＜0，显然不可能；若m＜0则，，x3,x4，π,构成等差数列，可得公差3d=﹣，解得d=，∴x3=+，m=cosx3==﹣，故答案为：﹣;【点评】此题主要考查三角函数的性质及三角函数值的求解问题,涉及函数的零点构成等差数列，解题过程中用到了分类讨论的思想，是一道基础题；三、解答题：本大题共8小题,共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．本小题设有16、17/18三个选做题，请考生任选二题作答，如果全做，则按所做前二题计分．16．如图：⊙O的直径AB的延长线于弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，=，DE 交AB于点F．（1)求证：O,C，D，F四点共圆；（2）求证：PF•PO=PA•PB．【考点】相似三角形的判定．【专题】选作题；推理和证明．【分析】（1）连接OC,OE,证明∠AOC=∠CDE，可得O，C，D，F四点共圆;（2)利用割线定理,结合△PDF∽△POC，即可证明PF•PO=PA•PB．【解答】证明:（1）连接OC，OE，因为=，所以∠AOC=∠AOE=∠COE，…又因为∠CDE=∠COE,则∠AOC=∠CDE，所以O，C，D，F四点共圆．…（2）因为PBA和PDC是⊙O的两条割线，所以PD•DC=PA•PB,…因为O，C，D，F四点共圆，所以∠PDF=∠POC，又因为∠DPF=∠OPC，则△PDF∽△POC，所以,即PF•PO=PD•PC，则PF•PO=PA•PB．…【点评】本题考查四点共圆,考查割线定理，三角形相似的性质，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．17．在直角坐标系xOy中,直线C1：x=﹣2,圆C2:（x﹣1）2+（y﹣2)2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ)求C1,C2的极坐标方程；(Ⅱ)若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R)，设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积．【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）由条件根据x=ρcosθ,y=ρsinθ求得C1,C2的极坐标方程．（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程代入ρ2﹣3ρ+4=0，求得ρ1和ρ2的值，结合圆的半径可得C2M⊥C2N，从而求得△C2MN的面积•C2M•C2N的值．【解答】解：(Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ,∴C1:x=﹣2 的极坐标方程为ρcosθ=﹣2，故C2:（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的极坐标方程为：（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ﹣2）2=1，化简可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0．（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程θ=（ρ∈R）代入圆C2：(x﹣1）2+（y﹣2）2=1，可得ρ2﹣(2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0，求得ρ1=2，ρ2=，∴｜MN|=｜ρ1﹣ρ2|=，由于圆C2的半径为1，∴C2M⊥C2N，△C2MN的面积为•C2M•C2N=•1•1=．ρ【点评】本题主要考查简单曲线的极坐标方程，点的极坐标的定义,属于基础题．18．（2015•铜川模拟)已知a2+b2=1，c2+d2=1．（Ⅰ）求证：ab+cd≤1．（Ⅱ）求a+b的取值范围．【考点】不等式的证明．【专题】综合题；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ)利用综合法，结合基本不等式，即可得出结论；（Ⅱ)设=（a，b），=(1，），利用｜⋅｜≤|｜⋅||，可求a+b的取值范围．【解答】（I）证明：∵a2+b2≥2ab，c2+d2≥2cd，∴a2+b2+c2+d2≥2（ab+cd），当且仅当a=b=c=d=时取“=”…又∵a2+b2=1,c2+d2=1∴2(ab+cd）≤2 …∴ab+cd≤1 …（Ⅱ）解：设=（a，b），=（1,）,∵｜⋅|≤｜|⋅｜｜，…∴|a+b｜≤2=2，∴﹣2≤a+b≤2∴a+b的取值范围为［﹣2，2]．…【点评】本题考查不等式的证明,考查求a+b的取值范围，正确运用基本不等式,合理构造向量是关键．19．如图,在△ABC中，∠ABC=90°，，BC=1，P为△ABC内一点,∠BPC=90°（Ⅰ）若,求PA；（Ⅱ）若∠APB=150°,求tan∠PBA．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】解三角形．【分析】(I)在Rt△PBC，利用边角关系即可得到∠PBC=60°，得到∠PBA=30°．在△PBA中，利用余弦定理即可求得PA．（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，可得PB=sinα．在△PBA中,由正弦定理得，即,化简即可求出．【解答】解：(I)在Rt△PBC中，=,∴∠PBC=60°，∴∠PBA=30°．在△PBA中，由余弦定理得PA2=PB2+AB2﹣2PB•ABcos30°==．∴PA=．(II）设∠PBA=α,在Rt△PBC中，PB=BCcos（90°﹣α)=sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化为．∴．【点评】熟练掌握直角三角形的边角关系、正弦定理和余弦定理是解题的关键．20．已知函数f（x）=ax2+bx+c(a＞0，b∈R，c∈R）．（Ⅰ)若函数f（x）的最小值是f（﹣1）=0,且c=1，又，求F（2）+F(﹣2)的值；(Ⅱ）若a=1，c=0，且|f(x）｜≤1在区间（0，1］上恒成立，求实数b的取值范围．【考点】函数恒成立问题．【专题】函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ)根据函数f(x）的最小值是f（﹣1）=0，且c=1，建立方程关系,即可求F（2)+F（﹣2）的值；(Ⅱ)将不等式｜f（x）|≤1在区间（0，1]上恒成立转化为求函数的最值即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）据题意，，得，∴f（x）=x2+2x+1=(x+1)2，于是，∴F（2)+F（﹣2）=（2+1）2﹣（﹣2+1）2=8．（Ⅱ）a=1，c=0时，f（x）=x2+bx，｜x2+bx|≤1在区间（0，1］上恒成立,等价于﹣1≤x2+bx≤1对0＜x≤1恒成立，即，即，在0＜x≤1时，在x=1时取最大值﹣2，而在x=1时取最小值0，故b≥﹣2且b≤0,于是﹣2≤b≤0．【点评】本题主要考查函数值的计算以及不等式恒成立问题，将不等式恒成立转化为求函数的最值是解决本题的关键．21．已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为直角梯形，AB∥CD,∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点．（1）求异面直线AC与PB所成的角的余弦值；（2）求直线BC与平面ACM所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．【专题】空间位置关系与距离；空间向量及应用．【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积，求AC与PB所成的角的余弦值，（2）设=（x，y，z）为平面的ACM的一个法向量，求出法向量，利用空间向量的数量积，直线BC与平面ACM所成角的正弦值．【解答】解：（1)以A为坐标原点，分别以AD、AB、AP为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0,0）,P（0，0，1），C（1，1,0）,B（0,2,0），M（0，1,）,所以=(1，1,0)，=（0，2，﹣1）,|｜=，||=，=2，cos（，）==，（2）=(1，﹣1，0），=（1，1，0）,=（0，1，）,设=（x,y，z）为平面的ACM的一个法向量，则，即,令x=1,则y=﹣1，z=2，所以=（1，﹣1,2）,则cos＜，＞===，设直线BC与平面ACM所成的角为α,则sinα=sin[﹣＜,＞]=cos＜,＞=．【点评】本小题考查空间中的异面直线所成的角、线面角、解三角形等基础知识考查空间想象能力和思维能力．22．已知椭圆C1:+=1（a＞b＞0)和椭圆C2：=1,离心率相同，且点（，1)在椭圆C1上．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ)设P为椭圆C2上一点,过点P作直线交椭圆C1于A、C两点，且P恰为弦AC的中点．求证：无论点P怎样变化，△AOC的面积为常数，并求出此常数．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）利用离心率相同，且点（，1）在椭圆C1上，建立方程，求出几何量，即可求椭圆C1的方程；(Ⅱ）分类讨论，AC：y﹣y0=k（x﹣x0）与椭圆C1联立,再表示出△AOC的面积，代入化简，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ)由题知，且即a2=4，b2=2,∴椭圆C1的方程为;…（Ⅱ）当直线AC的斜率不存在时,必有，此时｜AC|=2,…当直线AC的斜率存在时,设其斜率为k、点P（x0，y0），则AC：y﹣y0=k（x﹣x0）与椭圆C1联立，得,设A（x1，y1），C（x2，y2),则,即x0=﹣2ky0…又,∴…==综上，无论P怎样变化，△AOC的面积为常数．…【点评】本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，确定△AOC的面积,正确代入计算是难点．23．已知函数．（I)若f（x）为定义域上的单调函数，求实数m的取值范围；（II)当m=1，且1≥a＞b≥0时，证明:．【考点】函数的单调性与导数的关系．【专题】计算题；证明题．【分析】（I）整理函数求出函数的定义域，对函数求导,根据定义域得到函数的导函数小于0不能恒成立，所以只能整理导函数大于0恒成立，分离参数得到结论．（II）当m=1时,构造新函数g（x），对新函数求导，得到新函数在［0，1]上递增，利用递增函数的定义，写出递增所满足的条件，在构造新函数h（x)，同理得到函数在［0，1]上递减，得到递减的条件,得到结论．【解答】解:（I)，∴．对，,故不存在实数m，使对恒成立，由对恒成立得，m≥对恒成立而＜0，故m≥0经检验，当m≥0时，对恒成立∴当m≥0时，f(x)为定义域上的单调递增函数．(II）证明:当m=1时，令，在［0，1]上总有g′（x）≥0，即g（x）在[0,1］上递增∴当1≥a＞b≥0时，g（a）＞g（b)，即．令，由（2）知它在［0，1］上递减，∴h（a）＜h（b）即综上所述，当m=1，且1≥a＞b≥0时，＜．【点评】本题考查函数的单调性与导数的关系，考查根据需要构造新函数，考查递增函数的定义，考查函数的恒成立问题，考查解决问题的能力和分析问题的能力,是一个中档题．。
长郡理科实验班招生 考试数学试卷(一)
最全长郡理科实验班招生考试数学试卷（一）时量：60分钟满分：100分一选择题（每题5分，共30分）l.已知α为实数，则代数式27−12α＋2a2的最小值为（）A.0B.3C.33D.92.若n为整数，则能使n+1n−1也为整数的n的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个·3.已知α，b为实数，且αb=1，设M=a a+1+b b+1,N=1a+1+1b+1,则M、N的大小关系是A..M>NB.M=NC.M<N.D.无法确定4.一张圆桌旁有四个座位如图，A,B,C,D四人随机坐在四个座位上，则A与D相邻的概率是（）A.23B12C14 D.295.如图，∠ACB=60°，半径为2的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（）A.2πB.πC.23D.46.如图，平面中两条直线l1，和l2相交子点0，对于平面上任意一点M，若P,q分别是M到直线l1和l2的距离，则称有序非负实数对（p1,q）是点M的“距离坐标”，根据上述定义，有以下几个结论：①“距离坐标”是（0,1)的点有1个；②“距离坐标”是（5，的的点有4个；③“距离坐标”是（α，α），（α为非负实数）的点有4个．其中正确的有其中正确的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个二、填空题（每题5分，共30分）7.已知α，b,C是实数，且α2+6b＝-17,b2+8c=-23,c2+2α＝14，则α＋b+c=.8.已知关于 的不等式（2α-b）＞b的解集是 棨−12，则a b b+-36a3=.9.对正实数α，b作定义a∗b=ab−a+b，若4*x=44，则x的值是.10.在△ABC中，AB=4C,∠A=45°，AC的垂直平分线分别交AB、AC于D、E 两点，连结CD，如果AD=l，则tan∠BCD的值为.11.已知：如图，在直角△ABC中，AD=DE=EB，且CD2+CE2=1，则斜边AB的长为12.小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的是基叫做中裆题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多道．三、解答题（每题10分，共40分）13.某商场将进价为2600元的彩电以3000元售出，平均每天能销售出6台．为丁配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种彩电的售价每降低50元，平均每天就能多售出3台．(1）商场要想在这种彩电销售中每天盈利3600元，同时又要使百姓得到最卢大实惠，每台彩电应降价多少元？(2）每告彩电降价多少元时，商场每天销售这种彩电的利润最高？最高利润是多少？14.已知点M,N的坐标分别为（0,1),(0,-1），点P是抛物线y=14x2上的一个动点．（1）求证：以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y=-1的相切；（2）设直线PM与抛物线y=14x2的另一个交点为点Q，连接NP、NQ，求证：∠PNM=∠QNM.15、已知关于x的方程（m2−1）x2−33m−1+18=0有两个正整数根（m是整数），△ABC的三边a、b、c满足c=23，m2+a2m−8a=0，m2+b2m−8b=0，求：（1）m的值；（2）△ABC的面积；16.直线y=x−10与x轴交于A点，点B在第一象限，且AB=35，以cos∠OAB=25 (1）若点C是点B关于x轴的对称点，求过0、C、A三点的抛物线的表达式(2）在(1）中的抛物线上是否存在点P(P点在第一象限），使得以点P、0、C、A为顶点的囚边形是梯形？若存在，求出点O的坐标；若不存在，请说明理由．(3）若将点O、A分别变换为点Q(-4m,0),R(6m,0）（m 0且为常数）），设过Q、R两点且以QR的垂直平分线为对称轴的抛物线（开口向上）与y轴的交点为N，其顶点为M，记△QNM的面积为S∆QNM，△QNR的面积为S∆QNR，求S∆QNM:S∆QNR的数学试卷（一）参考答案一、选择题（每题5分，共30分）1.B2.D3.B4.A5.C6.B二、填空题（每题5分，共30分）7.-88.-39.3610.12 11.55312.20三、解答题（每题10分，共40分）13.解：设每台彩电降价x 元（0<x<400），商场销售这种彩电平均每天的利润为y 元，则有y =3000−2600−x 6+=350（x 2−−4000）……………………4分(1）因为要每天盈利3600元，则y=36002−300x −4000=3600所以x 2−300x +2000=0，解得x=100或俨200,又因为要使百姓得到最大实惠，则每台要降价200元．…………………………7分(2)∵y =350x 2−300x −4000=350（x −150）2+3750∴当x=150时，y 取得最大值为3750,所以每台彩电降价150元时，商场的利润最高为3750元．………………10分14.解：（1）设点P 的坐标为（x 0，14x 02），则PM===14x02+1；……………………4分（2）如图，分别过点P，Q作直线y=-1的垂线，垂足分别为H、R，由（1）知PH=PM,MN、QR都垂直于直线y=-1，所以PH//MH//QR，于是QM EN=MP NH,所以QR RN=PH HN,因此，Rt∆PHN∽Rt∆QNM.………………………………9分于是∠HNP=∠RNQ，从而∠PNM=∠QNM。
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长郡中学2016理科实验班招生考试数学试卷
满分：100 时量：70min
一、选择题（本题有8小题，每小题4分，共32分） 1．函数y ＝1
x -
图象的大致形状是 （ ）
A B C D
2．小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内
切圆(阴影)区域的概率为 （ ）
A 、21
B 、π63
C 、π93
D 、π3
3 3．满足不等式300200
5<n
的最大整数n 等于 （ ）
（A ）8 （B ）9 （C ）10 （D ）11 4．甲、乙两车分别从A ，B 两车站同时开出相向而行，相遇 后甲驶1小时到达B 站，乙再驶4小时到达A 站. 那么， 甲车速是乙车速的 （
（A ）4倍 （B ）3倍 （C ）2倍 （D ）1.5倍 5．图中的矩形被分成四部分，其中三部分面积分别为2，
3，4，那么，阴影三角形的面积为 （ ）
（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8
6．如图，AB ，CD 分别是⊙O 的直径和弦，AD ，BC 相交于点E ，∠AEC=α，则△CDE 与△ABE 的面积比为 （ ）
（A ）cos α （B ）sin α （C ）cos 2α （D ）sin 2
α 7．两杯等量的液体，一杯是咖啡，一杯是奶油. 舀一勺奶油到咖啡杯里，搅匀后舀一勺混合液注入到奶油杯里. 这时，设咖啡杯里的奶油量为a ，奶油杯里的咖啡量为b ，那么a 和 b 的大小为 （ ） （A ）b a > （B ）b a < （C ）b a = （D ）与勺子大小有关
y
x
O
y
x O
y
x
O
y
x
O
学校 姓名_______________ 联系电话______________________
……………..………….密………………..…………….封……………………………..线…………………….
8．设A ，B ，C 是三角形的三个内角，满足B C B A 23,53<>，这个三角形是 （ ） （A ）锐角三角形 （B ）钝角三角形 （C ）直角三角形 （D ）都有可能 二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
9． 用数字1，2，3，4，5，6，7，8不重复地填写在下面连等式的方框中，使这个连等式成立：
1＋□＋□=9＋□＋□=8＋□＋□=6＋□＋□
10．如图，正三角形与正六边形的边长分别为2和1，正六边
形的顶点O 是正三角形的中心，则四边形OABC 的面积等于 ______ . 11．计算：
6
22633++++= ________ .
12．五支篮球队举行单循坏赛（就是每两队必须比赛1场，并且只比赛一场），当赛程进行到某天时，A 队已赛了4场，B 队已赛了3场，C 队已赛了2场，D 队已赛了1场，那么到这天为止一共已经赛了 __ 场，E 队比赛了 ___ 场. 13．已知∠AOB=30°,C 是射线OB 上的一点，且OC=4，若以C 为圆心，半径为r 的圆与射线OA 有两个不同的交点，则r 的取值范围是_____________ 14．如图，△ABC 为等腰直角三角形，若
AD=
31AC ，CE=3
1
BC ，则∠1 __ ∠2 （填“>”、“<”或“=”）
三．解答题（共38分） 15. （１２分）今年长沙市筹备60周年国庆，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A B ，两种园艺造型共50个摆放在五一大道两侧，已知搭配一个A 种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B 种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆． （1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来． （2）若搭配一个A 种造型的成本是800元，搭配一个B 种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？
（第14题）
１６．（１２分）如图，ABC △是O 的内接三角形，AC BC =，D 为O
中AB 上一点，延长DA 至点E ，使CE CD =． （1）求证：AE BD =；
（2）若AC BC ⊥
，求证：AD BD +=．
１７．（１４分）如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC=50，AD=75，BC=135．点P 从点B 出发沿折线段BA -AD -DC 以每秒5个单位长的速度向点C 匀速运动；点Q 从点C 出发沿线段CB 方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点Q 向上作射线QK ⊥BC ，交折线段CD -DA -AB 于点E ．点P 、Q 同时开始运动，当点P 与点C 重合时停止运动，点Q 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．
（1）当点P 到达终点C 时，求t 的值，并指出此时BQ 的长； （2）当点P 运动到AD 上时，t 为何值能使PQ ∥DC ？
（3）设射线QK 扫过梯形ABCD 的面积为S ，分别求出点E 运动到CD 、DA 上时，S 与t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）
（4）△PQE 能否成为直角三角形？若能，写出t 的取值范围；若不能，
请说明理由．
Ｅ
长郡中学2016理科实验班招生考试数学试卷参考答案
选择题 DCDCCCCB
9． 1
10．
33 11． 2
6 12． 6场，2场 13．2r <≤ 14．＝
1５．（１）解：设搭配A 种造型x 个，则B 种造型为(50)x -个，依题意，得：
8050(50)3490
4090(50)2950x x x x +-⎧⎨
+-⎩≤≤ ，解这个不等式组，得：33
31
x x ⎧⎨
⎩≤≥，3133x ∴≤≤
x 是整数，x ∴可取313233，，，∴可设计三种搭配方案： ①A 种园艺造型31个 B 种园艺造型19个 ②A 种园艺造型32个 B 种园艺造型18个 ③A 种园艺造型33个 B 种园艺造型17个．
（2）应选择方案③，成本最低，最低成本为42720元 １６．证明：（1）在ABC △中，CAB CBA ∠=∠．
在ECD △中，CAB CBA ∠=∠．
CBA CDE ∠=
∠，
（同弧上的圆周角相等），ACB ECD ∴∠=∠． ACB ACD ECD ADE ∴∠-∠=∠-∠．ACE
BCD ∴∠=∠． 在ACE △和BCD △中，
ACE BCD CE CD AC BC ∠=∠==；； ACE BCD ∴△≌△．AE BD ∴=． （2）若AC BC ACB ECD ∠=∠⊥，．
9045
ECD CED CDE ∴∠=∴∠=∠=，． DE ∴=，又AD BD AD EA ED +=+=
AD BD ∴+=
１７．解：（1）t =（50＋75＋50）÷5=35（秒）时，点P 到达终点C ． 此时，QC=35×3=105，∴BQ 的长为135－105=30．
（2）如图8，若PQ∥DC，又AD∥BC，则四边形PQCD
为平行四边形，从而PD=QC，由QC=3t，BA+AP=5t
．
得50＋75－5t=3t，解得t=125
8
时，有PQ∥DC．
经检验，当t=125
8
（3）①当点E在CD上运动时，如图9．分别过点A、D
作AF⊥BC于点F，DH⊥BC于点H，则四边形
ADHF为矩形，且△ABF≌△DCH，从而
FH= AD=75，于是BF=CH=30．∴DH=AF=40．
DH=4t．
又QC=3t，从而QE=QC·tanC=3t·
CH
（注：用相似三角形求解亦可）
QE·QC=6t2；
∴S=S⊿QCE =1
2
②当点E在DA上运动时，如图8．过点D作DH⊥BC于点H，由①知DH=40，CH=30，又QC=3t，从而ED=QH=QC－CH=3t－30．
(ED＋QC)DH =120 t－600．
∴S= S梯形QCDE =1
2
（4）△PQE能成为直角三角形．。