三角函数式化简

三角函数式化简

孙小龙

所谓三角函数化简，就是灵活运用公式，对复杂的三角函数式进行变形，从而得到较为简单的三角函数式以便于进行问题讨论，所以三角函数式的化简是研究复杂三角函数式的基础。下面我们一起深入探究如何进行三角函数式化简。

方法引导

三角函数式化简通常是最让人头疼的一类题型，因为化简没有明确的方向，很难继续进行。其实化简只要遵守“三看”原则，即能顺利化简。一是看角，二是看名，三是看式子的结构和特征。

（1） 看角的特点，充分利用角之间的关系，尽量向同角转化，利用已知角构建待求角；

如倍角关系、半角关系、互余关系、互补关系等；

（2） 看函数名的特点，向同名函数转化，弦切互化；

（3） 看式子的结构特点，从整体出发，正用、逆用、变形应用这些公式。另外，根据式

子的特点，还可以使用辅助角公式。

了解了化简原则之后，下面我们开始化简了。

例一 化简f(x)=2cosxsin(x+3

π

)－3sin 2x+sinxcosx

分析：首先先看角，式子中的角度不统一，所以首要任务是统一角度，根据式子的结构特点和π

3的特殊性，可以运用两角和的正弦公式将式子展开

f (x )=2cos x sin(x +3

π)-3sin

2

x +sin x cos x

−−−−−→用三角公式展开2cos x (sin x cos

3

π

+cos x sin 3

π)-3sin

2

x +sin x cos x

= 2sin x cos x +3cos

2

x -3sin 2

x

第一步化简完成后，再次观察式子的结构特点，每一个单项式都是二次的，所以再运用降幂公式把式子变为一次式

2sin x cos x +

3cos

2

x -3sin

2

x −−−−

→降幂公式

sin2x +3cos2x

继续运用辅助角公式进行彻底化简

sin2x +

3cos2x −−−−→辅助角公式

2sin(2x +

3

π

).

例二 化简：

42212cos 2cos 2.2tan()sin ()

44

x x x x ππ-+

-+ 分析：我们还是先从角度入手，分子上角度统一，分母角度不统一，但仔细观察发现分母中两个角

呈互余关系，再看函数名的特点，我们可以运用诱导公式进行化简;分子上仔细观察结构，提出1

2，

可以得到完全平方式

42212cos 2cos 2.2tan()sin ()44

x x x x ππ-+

-+诱导公式及完全平方式

→ 12(4cos x−4cos x+1)242cot(π4+x)sin （π4

+x ）2=（2cos x−12）24sin(π4+x)cos(π4+x) 统一角度后，分析式子的结构特点，运用降幂公式进行化简 （2cos x−12）

2

4sin(π4+x)cos(π

4+x)

降幂公式

→ 2cos 2x

22sin(π2

+2x)=

2cos 2x 22cos 2x

= 12

cos 2x 我们可以通过两个例题发现化简题目中透露出来的隐藏信息，这就是三角函数式化简要求 最终形式：正弦型函数（通常情况） 化简方法： 1、切割化弦； 2、降幂公式；

3、用三角公式转化出现特殊角；

4、 异角化同角；

5、异名化同名；

6、高次化低次；

7、辅助角公式；

8、分解因式。

任何三角函数式化简只要掌握了化简的原则和要求，遇到化简题就能轻而易举的攻破了，但首先有个前提：熟练掌握常见三角函数变换公式，如同角三角函数变换公式、诱导公式、两角和与差的余弦正弦正切公式、倍角与半角公式、辅助角公式等。同时还要了解其他三角函数变换公式，如三角函数积化和差和和差化积公式、三倍角公式和万能置换公式等。

小试牛刀

1. 化简βαβαβα2cos 2cos 2

1

cos cos sin sin 2222-+。

2. 化简x

x

x x x x f 2sin 2cos sin cos sin )(2244-++=

3. 已知t a n θ=2,求

⎪

⎭

⎫ ⎝⎛+--θπθθ

4sin 21

sin 2

cos 22

的值

4. 化简下列各式

(1)⎪⎭

⎫ ⎝⎛<<+-παπα2232cos 21212121;（利用升次公式,去掉开方符号） (2)

4

2sin 42cos tan 5312sin 2cos 2tan 31--+-

-++x x x

x x x ; （可使用换元化简，令t =t a n x ） (3)se c 2280°－3c s c 2280°.（化割为弦）

小试牛刀答案

1. 原式

βαβαβα2cos 2cos 2

1

)2cos 1)(2cos 1(41)2cos 1)(2cos 1(41-+++--=

)2cos 2cos 2cos 2cos 1(41

)2cos 2cos 2cos 2cos 1(41βαβαβαβα+++++--=

βα2cos 2cos 2

1- 212cos 2cos 21

)2cos 2cos 1(21=-+=

βαβα 2. x

x

x x x x f 2sin 2cos sin cos sin )(2244-++=

)

cos sin 1(2cos sin 122x x x

x --=

2

1

2sin 41+=

x 。 3. 原式=⎪

⎭

⎫ ⎝⎛+⎪

⎭⎫

⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-•=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-θπθπθπθππθπθθπθπθθ4sin 4cos 4sin 24sin 4cos 24sin 2sin 2sin 4sin 2sin cos .

=

2232

12

1tan 1tan 14tan 1+-=+-=+-=

⎪⎭

⎫

⎝⎛+θθθπ

4. (1)∵

αααπαπcos |cos |2cos 2

121,223==+∴<<, 又∵

2

sin ,2sin |2sin |cos 2121,243α

αααπαπ=∴==-∴<<原式. (2)令t =t a n x ,则原式=

41811531121)1(2312222

22-+-+-+--+++-+t t t t t

t

t

t t t

=x t

t t t t t t t t t 2sec 212

)1()1)(53()1)(51()1)(31()1()31(2

222=-+=+++++-++•+ (3)原式=csc 210°－3se c 210°=(csc10°+3sec10°)·(csc10°－3sec10°)

=

︒

︒-︒•︒+︒=︒︒︒-︒•︒•︒︒+︒20sin )

1030sin()1030sin(1610cos 10sin 10sin 310cos 10cos 10sin 10sin 310cos 2

=32cos20°

.