二阶系统的阶跃响应
二阶系统的阶跃响应(PPT课件)
三、二阶系统的其他输入响应
即，输入变为原来的积分时，输出也变为原来的积分。
结论
一、单位脉冲信号是单位阶跃信号的一阶导数，所以系 统的单位脉冲响应也为单位阶跃响应的一阶导数。 二、单位斜坡信号和单位加速度信号是单位阶跃信号的 一重二重积分，所以系统的单位斜坡响应好单位加速 度响应也为单位阶跃响应的一重积分和二重积分。
一、二阶系统的阶跃响应
当 1系统有两个正实根 单位阶跃响应为
e
( 2 1 )n t
h(t ) 1
2 2 1( 2 1)
e
( 2 1 )n t
2 2 1( 2 1)
式中看出，指数因子具有正幂指数，因此系统的动 态过程为发散的形式
解之得 td 似描述
1 0.6 0.2 2
n
欠阻尼下用 t d
1 0.7
n
近
二、二阶系统的动态过程分析
2、上升时间tr的计算 1 t c ( t ) 1 e sin( d t ) 中，令 c(t d ) 1 在 2
n
1
，得
1 1 2
2 n 1 1 n 1 C ( s) R( s)G ( s) 2 2 s ( s n ) s ( s n ) s n
c(t ) 1 e
n t
(1 nt )
相应的阶跃响应 非周期地 趋向于稳态输出，此时系统为 临界阻尼情况。
一、二阶系统的阶跃响应
二、二阶系统的动态过程分析
要求：能熟记以上动态性能指标在欠阻尼下的求取公式， 及求取方法（便于非欠阻尼下的计算） 例：设系统结构图如下，若要求系统具有性能指标 t p 1s ，试确定系统参数K和τ，并计算单 % 20% ， 位阶跃响应的特征量， t ， 和 t。 t d s r
二阶系统的阶跃响应实验报告
二阶系统的阶跃响应实验报告实验报告：二阶系统的阶跃响应实验目的：本次实验的目的是研究二阶系统的阶跃响应，并对实验结果进行分析与讨论，以理解二阶系统在控制工程领域中的应用。
实验原理：二阶系统是指具有二阶特性的系统，即在系统受到激励信号后，系统的响应随时间的变化呈现出一定的规律。
在此实验中，我们将研究二阶系统的阶跃响应，其中阶跃信号指输入信号由零值跳变到一个恒定的值（或者说幅度无限大），通常用单位阶跃函数u(t)表示，即u(t)=1（t≥0），而二阶系统响应的公式可表示为：y(t) = K(1- e^(-ξωnt)cos(ωdt+φ))其中，K为系统的增益，ξ为阻尼比，ωn为自然频率，ωd为阻尼振荡频率，φ为相位角。
实验步骤：1. 确定实验装置的参数，并将之记录下来，包括：二阶系统的增益K、阻尼比ξ、自然频率ωn，以及阶跃信号的幅值u0等。
2. 将二阶系统的输入信号设置为阶跃信号u(t)，并将输出信号y(t)记录下来，同时进行数据采集和记录。
3. 根据数据得出实验结果，并利用软件对实验数据进行处理和分析，包括波形比较、响应曲线分析和幅值与相位移测量等。
实验结果：在此次实验中，我们得到了如下的实验参数：增益K = 1.5V阻尼比ξ = 0.1自然频率ωn = 2π x 10Hz阶跃信号幅值u0 = 2V根据实验数据，我们得到了如下的响应曲线：图1 二阶系统的阶跃响应曲线通过对响应曲线的分析和处理，我们发现：1. 二阶系统的阶跃响应具有一定的超调和振荡特性，表明系统的稳定性较差，需要进行进一步的优化和调整。
2. 阻尼比ξ的大小与系统的响应有着密切的关系，通常应根据系统的具体情况进行合理的选择和调整，以达到最佳的控制效果。
3. 自然频率ωn的大小与系统的响应速度有关，通常应根据实际控制要求进行选择和调整，以达到最佳的控制效果。
结论：本次实验研究了二阶系统的阶跃响应，并对实验结果进行分析和讨论。
通过对实验数据的处理和比较，我们发现阻尼比ξ和自然频率ωn是影响系统响应特性的关键因素，应根据实际控制要求进行合理的选择和调整。
二阶系统的阶跃响应
二阶系统的阶跃响应一．实验目的1、学习实验系统的使用方法。
2、学习构成一阶系统（惯性环节）、二阶系统的模拟电路，分别推导其传递函数。
了解电路参数对环节特性的影响。
3、研究一阶系统的时间常数T对系统动态性能的影响。
4、研究二阶系统的特征参数，阻尼比ξ和无阻尼自然频率nω对系统动态性能的影响。
二．实验内容1．搭建各种典型环节的模拟电路，观测并记录各种典型环节的阶跃响应曲线。
2．调节模拟电路参数，研究参数变化对典型环节阶跃响应的影响。
3．运行Matlab软件中的simulink仿真功能，完成各典型环节阶跃特性的软件仿真研究，并与理论计算的结果作比较。
三．实验步骤1. 典型环节的simulink仿真分析在实验中观测实验结果时，只要运行Matlab，利用Matlab软件中的simulink仿真功能，以及Matlab编程功能，可以完成常见的控制系统典型环节动态响应。
研究特征参量ζ和nω对二阶系统性能的影响标准二阶系统的闭环传递函数为：2222)()(n n n s s s R s C ωζωω++=二阶系统的单位阶跃响应在不同的特征参量下有不同的响应曲线。
典型二阶系统的结构图如图所示。
不难求得其闭环传递函数为2222)()()(n n n B s s R s Y s G ωζωω++==其特征根方程为222n n s ωζω++=0 方程的特征根: 222n n s ωζω++=0))(()1)(1(2121=--=++s s s s T s T s 式中, ζ称为阻尼比; n ω称为无阻尼自然振荡角频率(一般为固有的)。
当ζ为不同值时，所对应的单位阶跃响应有不同的形式。
当ζ=0.1时的仿真结果当ζ=0.3真结果当ζ=1时的结果当ζ=2时的仿真结果三．实验总结结论：二阶系统的阻尼比ξ决定了其振荡特性ζ< 0 时，阶跃响应发散，系统不稳定；ζ≥ 1 时，无振荡、无超调，过渡过程长；0<ζ<1时，有振荡，ξ愈小，振荡愈严重,但响应愈快；ζ= 0时，出现等幅振荡。
自动控制原理实验二阶系统的阶跃响应
自动控制原理实验二阶系统的阶跃响应一、实验目的通过实验观察和分析阶跃响应曲线，了解二阶系统的动态特性，掌握用MATLAB仿真二阶系统阶跃响应曲线的绘制方法，提高对二阶系统动态性能指标的计算与分析能力。
二、实验原理1.二阶系统的传递函数形式为：G(s)=K/[(s+a)(s+b)]其中，K为系统增益，a、b为系统的两个特征根。
特征根的实部决定了系统的稳定性，实部小于零时系统稳定。
2.阶跃响应的拉氏变换表达式为：Y(s)=G(s)/s3.阶跃响应的逆拉氏变换表达式为：y(t)=L^-1{Y(s)}其中，L^-1表示拉氏逆变换。
三、实验内容1.搭建二阶系统，调整增益和特征根，使系统稳定，并记录实际的参数数值。
2.使用MATLAB绘制二阶系统的阶跃响应曲线，并与实际曲线进行对比分析。
四、实验步骤1.搭建二阶系统，调整增益和特征根，使系统稳定。
根据实验要求，选择适当的数字电路元件组合，如电容、电感、电阻等，在实际电路中搭建二阶系统。
2.连接模拟输入信号。
在搭建的二阶系统的输入端接入一个阶跃信号发生器。
3.连接模拟输出信号。
在搭建的二阶系统的输出端接入一个示波器，用于实时观察系统的输出信号。
4.调整增益和特征根。
通过适当调整二阶系统的增益和特征根，使系统达到稳定状态。
记录实际调整参数的数值。
5.使用MATLAB进行仿真绘制。
根据实际搭建的二阶系统参数，利用MATLAB软件进行仿真，绘制出二阶系统的阶跃响应曲线。
6.对比分析实际曲线与仿真曲线。
通过对比分析实际曲线与仿真曲线的差异，分析二阶系统的动态特性。
五、实验结果与分析1.实际曲线的绘制结果。
根据实际参数的输入，记录实际曲线的绘制结果，并描述其特点。
2.仿真曲线的绘制结果。
利用MATLAB软件进行仿真，绘制出仿真曲线，并与实际曲线进行对比分析。
3.实际曲线与仿真曲线的对比分析。
通过对比实际曲线与仿真曲线的差异，分析二阶系统的动态特性，并讨论影响因素。
六、实验讨论与结论1.实验过程中遇到的问题。
二阶系统阶跃响应实验报告
实验一 二阶系统阶跃响应一、 实验目的（1）研究二阶系统的两个重要参数：阻尼比ξ和无阻尼自振角频率ωn 对系统动 态性能的影响。
（2）学会根据模拟电路，确定系统传递函数。
二、实验内容二阶系统模拟电路图如图2-1 所示。
系统特征方程为T 2s 2+KTs+1=0，其中T=RC ，K=R0/R1。
根据二阶系统的标准 形式可知，ξ=K/2，通过调整K 可使ξ获得期望值。
三、 预习要求（1） 分别计算出T=0.5,ξ= 0.25，0.5，0.75 时，系统阶跃响应的超调量σP 和过渡过程时间tS 。
)1(p 2e ζζπσ--=， ζT3t s ≈代入公式得：T=0.5,ξ= 0.25，σp =44.43% ， t s =6s ； T=0.5,ξ= 0.5，σp =16.3% ， t s =3s ； T=0.5,ξ= 0.75，σp =2.84% ， t s =2s ；（2） 分别计算出ξ= 0.25，T=0.2,0.5，1.0 时，系统阶跃响应的超调量σP 和过渡过程时间tS 。
ξ= 0.25，T=0.2，σp =44.43% ， t s =2.4s ； ξ= 0.25，T=0.5，σp =44.43% ， t s =6s ； ξ= 0.25，T=1.0，σp =44.43% ， t s =12s ；四、 实验步骤（1） 通过改变K ，使ξ获得0，0.25，0.5，0.75，1.0 等值，在输入端加同样幅值的阶跃信号，观察过渡过程曲线，记下超调量σP 和过渡过程时间tS，将实验值和理论值进行比较。
（2）当ξ=0.25 时，令T=0.2 秒，0.5 秒，1.0 秒（T=RC,改变两个C），分别测出超调量σP 和过渡过程tS，比较三条阶跃响应曲线的异同。
五、实验数据记录与处理：阶跃响应曲线图见后面附图。
原始数据记录：（2）ξ=0.25，改变C的大小改变T值理论值与实际值比较：对误差比较大，比如T=0.5，ξ=0.75时，超调量的相对误差为30%左右。
二阶系统的阶跃响应实验报告
二阶系统的阶跃响应实验报告实验名称：二阶系统的阶跃响应实验报告实验目的：1. 了解二阶系统的阶跃响应特性，掌握二阶系统的调节方法。
2. 学习使用计算机实验仿真软件，分析控制系统的特性和设计计算机系统的参数。
3. 进一步了解数字控制的基本原理和实现方法。
实验原理：二阶系统指的是包含两个振动元件的控制系统，例如质量弹簧阻尼系统、旋转系统等。
通过向系统输入一个单位阶跃信号，可以使系统达到稳态。
在达到稳态后，可以观察到系统的响应特性，例如响应时间、超调量等。
二阶系统的阶跃响应有三种情况，分别为欠阻尼、临界阻尼和过阻尼。
欠阻尼的二阶系统的响应曲线会出现振荡，超调量较大；临界阻尼的二阶系统响应曲线的超调量最小，但响应时间较长；过阻尼的二阶系统响应曲线是退化的，没有振荡。
在实验中，我们使用计算机模拟二阶系统，并通过输入一个单位阶跃信号，观察系统的响应特性。
具体操作步骤如下：1. 在仿真软件中建立一个二阶系统，可以让仿真软件自动生成一个简单的二阶系统。
2. 将系统设置为单位阶跃信号输入，运行仿真，观察系统的响应特性。
3. 记录系统的超调量、响应时间以及稳态误差等参数。
4. 在仿真软件中改变系统的参数，例如增加阻尼系数，观察系统的响应变化。
实验器材：1. 计算机2. 仿真软件实验步骤：1. 打开计算机，并运行仿真软件。
2. 在仿真软件中建立一个二阶系统，并设置其为单位阶跃信号输入。
3. 运行仿真，并记录系统的响应特性，包括超调量、响应时间以及稳态误差等参数。
4. 在仿真软件中改变系统的参数，例如增加阻尼系数，观察系统的响应变化，并记录变化后的参数。
5. 分析实验结果，并总结出二阶系统的阶跃响应特性。
实验结果：在实验中，我们使用了仿真软件模拟了一个简单的二阶系统，并进行了阶跃响应实验。
通过实验，我们观察到了系统的响应特性，并记录了系统的超调量、响应时间以及稳态误差等参数。
我们对比了欠阻尼、临界阻尼和过阻尼三种情况下的响应特性，发现欠阻尼时会出现较大的超调量，临界阻尼时超调量最小，但响应时间较长，过阻尼时响应曲线是退化的，没有振荡。
二阶阶跃响应动态性能指标求取
二阶阶跃响应动态性能指标求取二阶系统是控制系统中常见的一种模型，其阶跃响应动态性能指标是评估系统的性能好坏的重要指标。
本文将从二阶系统的阶跃响应的定义、特点和性能指标的求取方法等方面进行阐述。
首先，二阶系统的阶跃响应是指系统在输入为单位阶跃信号时的响应。
假设二阶系统的传递函数为：G(s)=K/(s^2+2ξω_ns+ω_n^2)其中，K为增益，ξ为阻尼比，ω_n为自然频率。
二阶系统的阶跃响应具有以下特点：1.超调量：超调量是指阶跃响应中峰值与系统最终稳定值之间的差值，用百分数表示。
超调量越小，表示系统对阶跃输入的响应越快速、平稳。
2.响应时间：响应时间是指系统从单位阶跃响应开始到稳定的时间。
响应时间越短，表示系统对阶跃输入的响应越迅速。
3.调整时间：调整时间是指系统从初始状态到达超调量指定范围内的时间，一般取超调量为5%。
调整时间越短，表示系统对阶跃输入的响应越快速、平稳。
4.峰值时间：峰值时间是指系统对阶跃输入的响应达到其最大值的时间。
5.匀稳态误差：系统在稳态下的输出与输入的差值，反映系统的控制准确性。
若单位阶跃输入的稳态输出为1，则对于系统的阶跃响应不应有静态误差。
有了以上的定义和特点之后，下面将介绍二阶系统阶跃响应动态性能指标的求取方法。
首先，根据传递函数可求得系统的特征方程：s^2+2ξω_ns+ω_n^2=0然后，通过特征方程可以求得系统的根：s_1=-ξω_n+ω_n√(ξ^2-1)s_2=-ξω_n-ω_n√(ξ^2-1)根据系统根的位置可以对系统的动态性能进行评估。
1.超调量的计算：超调量的计算公式为：MP=e^(-πξ/√(1-ξ^2))其中，MP为超调量，ξ为阻尼比。
2.响应时间的计算：响应时间的计算公式为：t_r=π/ω_d其中，t_r为响应时间，ω_d为峰值时的角频率，可通过特征方程得到：ω_d=ω_n√(1-ξ^2)3.调整时间的计算：调整时间的计算公式为：t_s=4/(ξω_n)其中，t_s为调整时间。
二阶系统的阶跃响应
一、二阶系统的阶跃响应
当 1系统有两个正实根 单位阶跃响应为
e
( 2 1 )n t
h(t ) 1
2 2 1( 2 1)
e
( 2 1 )n t
2 2 1( 2 1)
式中看出，指数因子具有正幂指数，因此系统的动 态过程为发散的形式
二阶系统的阶跃响应
经过实验知，
过阻尼和临界阻尼响应曲线中，临界阻尼响应速度最 快；
欠阻尼响应曲线中，阻尼比越小，超调量越大，上升 时间越小，通常取阻尼比在0.4-0.8之间，此时超调量 合适，调节时间短； 若系统有相同的阻尼比，而振荡频率不同，则振荡特 性相同，但响应速度不同，振荡频率大的，响应速度 快.
二、二阶系统的动态过程分析
控制工程中，一般选取适度的阻尼比，较快的响应速 度和较短的调节时间。 1、延迟时间td的计算 1 c ( t ) 1 e sin( t ) 中，令 c(t ) 0.5 ，得 在 d 1
n t 2 d
n t d
1
ln
2 sin( 1 2 nt d arcsin ) 1 2
一、二阶系统的阶跃响应
上式中
T1 T2
1
n ( 2 1)
1
n ( 2 1)
由此可见 阻尼比的值决定了系统的阻尼程度。
一、二阶系统的阶跃响应
具体讨论 欠阻尼情况下的阶跃响应 当 0 1 系统有一对具有负实部的共轭复数根
s1, 2 n jn 1
一、二阶系统的阶跃响应
当
系统有一对纯虚根 0 s1, 2 jn
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阶跃响应函数为：
C(s)
1 s
s2
n2 2ns
n2
n2 s(s n)2
1 s
s
1 n
(s
n n )2
c(t) 1 ent (1 nt)
C(t)
2
1
0
nt
0 2 4 6 8 10 12
10
33..33.2 典二型阶二阶系系统统的的单位阶阶跃跃响响应 应
输入阶跃信号和阶跃响应之间的误差 ：
e(t) r(t) y(t) 1 y(t) ent (1 nt)，t 0
开环传递函数为: 闭环传递函数为:
G(s)
s2
2 n
2
ns
(s)
G(s) 1 G(s)
s2
2 n
2 ns
n2
(s) 称为典型二阶系统的传递函数， 称为阻尼系数，n 称为 无阻尼振荡频率或自然频率。这两个参数称为二阶系统特征参
数。
2
3.3 二阶系统的阶跃响应
特征方程为：
s2
2
ns
2 n
0
特征根为： s1,2 n n 2 1
⒋当 1 时，极点为： s1,2 n n 2 1
即特征方程为
两阶系统的瞬态响应
s2
2
n
s
2 n
[s n (
2 1)][s n (
2 1)]
C(s)
2 n
R(s) [s n ( 2 1)][s n ( 2 1)]
C(s)
2 n
1
[s n ( 2 1)][s n ( 2 1)] s
Step Response 1
0.9
0.8 0.7 0.6
Amplitude
0.5 0.4 0.3 0.2
0.1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Time (sec)
随着时间的增加，误差越来越小，到稳态时误差变为零。
通常，在临界阻尼情况下，二阶系统的单位阶跃响应称为临
界阻尼响应。
11
3.3 二阶系统的阶跃响应
3.3 二阶系统的阶跃响应
第三节 二阶系统的阶跃响应
1
3.3 二阶系统的阶跃响应
一、典型二阶系统的数学模型
由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。它在控制工程
中的应用极为广泛。许多高阶系统在一定的条件下，也可简化
为二阶系统来研究。
R(s)
2 n
C(s)
典型结构的二阶系统如图所示。
- s(s 2 n )
0 02
4
6
nt
8 10 12
4
3.3 二阶系统的阶跃响应
输入阶跃信号和阶跃响应之间的误差 ：
e(t) r(t) y(t) 1 y(t) cosnt，t 0
Step Response曲线呈现等
0.6
幅振荡形式。即
0.4
系统在无阻尼情
0.2
况下，不能跟踪
0
输入的单位阶跃
1 s
s2
2
ns
s 2 ( n )2
n
(
n
)2
2 n
1
s n n
s (s n )2 ( 1 2n )2
1
s n
n
s (s n )2 ( 1 2n )2 (s n )2 ( 1 2n )2
6
3.3 二阶系统的阶跃响应
sa (s a)2 b2
eat
cos(bt)
1 2
),
t0
7
3.3 二阶系统的阶跃响应
两阶系统的瞬态响应
c(t) 1
e nt sin(
1 2
1 2nt tg1
1 2
),
t0
系统极点为：
s1,2 n jn 1 2
极点的负实部 n 决定了指数 衰减的快慢，虚部d n 1 2 是振荡频率。称d 为阻尼振荡 圆频率。注意：d n 。
C(t)
b
eat sin(bt)
(s a)2 b2
1
s n
1 2n
s (s n )2 ( 1 2n )2 1 2 (s n )2 ( 1 2n )2
y(t) 1 ent[cos( 1 2nt)
sin(
1 2
1 2nt)],
t0
y(t) 1
e nt sin(
1 2
1 2nt tg 1
2
1
0 02
46
nt
8 10 12
8
3.3 二阶系统的阶跃响应
输入阶跃信号和阶跃响应之间的误差 ：
1
e(t) r(t) y(t) 1 y(t) 0.8
e n t
1 2
sin(n
1 2t
0.6 0.4
0.2
Step Response
=0.3,n=10
Amplitude
tg 1 1 2 )，t 0
-0.2
信号。
Amplitude
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
Time (sec)
5
3.3 二阶系统的阶跃响应
⒉ 当0 1时，系统极点为：p1,2 n jn 1 2 d n 1 2 称为阻尼振荡频率。
Y(s) 1
n2
1 s 2n
s s2 2ns n2 s s2 2ns n2
c(t) 1
1
e e ( 2 1)nt
( 2 1)nt
2 2 1 ( 2 1) ( 2 1)
特征方程还可为
12
s2
2
ns
2 n
(s
1 )( s
T1
1 T2
)
注意：当不同时，特征根有不同的形式，系统的阶跃响应形式 也不同。它的阶跃响应主要有振荡和非振荡两种情况。
⒈ 当 0 时，特征方程有一对共轭的虚根，称为零(无)阻尼系 统，系统的阶跃响应为持续的等幅振荡。
⒉ 当 0 1 时，特征方程有一对实部为负的共轭复根，称
为欠阻尼系统，系统的阶跃响应为衰减的振荡过程。
⒊ 当 1 时，特征方程有一对相等的实根，称为临界阻尼系
统，系统的阶跃响应为非振荡过程。
⒋ 当 1时，特征方程有一对不等的实根，称为过阻尼系统，
系统的阶跃响应为非振荡过程。
3
3.3 二阶系统的阶跃响应
二、典型二阶系统的阶跃响应
当输入为单位阶跃函数时，R(s) 1 ，有：
C(s)
(s)
1 s
0
-0.2
-0.4
0
0.2 0.4 0.6 0.8
1
1.2 1.4 1.6 1.8
2
Time (sec)
误差也呈阻尼正弦振荡。当稳态时，即当时 t ，
有lim e(t) 0，表示欠阻尼二阶系统能够完全跟踪输入单位 阶跃t信号，没有稳态误差。
9
3.3 二阶系统的阶跃响应
两阶系统的瞬态响应
⒊当 1 时，极点为： s1,2 n
s2
n2 2 n s
n2
s
1 s
c(t)
L1[(s)
1] s
L1[ s2
n2 2 n s
n2
1] s
⒈当 0 时，极点为：s jn
C(t)
2
C(s)
n2 s(s2 n2 )
1 s
s2
s
n2
1
c(t) 1 cosnt t 0
此时输出将以频率 n 做等幅振荡，
所以, 称为n无阻尼振荡频率。