九年级数学上册第24章第二十四章_章末复习与小结(人教版)

专题选讲—— 切线证明的常用方法
类型五 无切点，作垂直，证半径
解：（1）如图所示.
（2）AC与⊙O相切.理由如下：
过点O作OD⊥AC于点D.
O
∵CO平分∠ACB，
∴OB=OD， 即d=r,
∴AC与⊙O相切.
专题选讲—— 切线证明的常用方法
方法指导
证明切线的两种方法： （1）“有点连半径证垂直”，证明垂直时可利用垂 直证垂直，利用勾股定理的逆定理证垂直等； （2）“无点作垂直，证半径”，往往题目中有角平 分线背景，或等腰三角形三线合一背景，过点O作已知 直线的垂线段，再利用角平分线上的点到角两边距离相 等证明d=r.
（ A）
A.π-1 B.2π-1 C.2π-2 D.π-2
专题选讲—— 求阴影部分的面积
类型三 等积法
例1 如图，在半径为4的⊙O中，CD是直径，AB是弦 ，且CD⊥AB，垂足为点E，∠AOB=90°，则阴影部
分的面积是（D ）
A.4π-4 B.2π-4 C.4π D.2π
专题选讲—— 求阴影部分的面积
专题选讲—— 利用切线的性质进行计算与证明
类型一 利用切线的性质进行计算
例 如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两 点，过点A作⊙O的切线交BE的延长线于点C. （1）若∠ADE=25°，求∠C的度数；
（2）若AB=AC，CE=2，求⊙O的半径.
专题选讲—— 利用切线的性质进行计算与证明
专题选讲—— 与圆的性质有关的计算
类型二 求长度
例 如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若
OA⊥BC，∠CDA=30°，则弦BC的长为（ D ）
A.4 B. 2 2 C. 3 D. 2 3
专题选讲—— 与圆的性质有关的计算
类型二 求长度
练一练： 如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦 AB于点D，连接BE，若AB= 2 7 ，CD=1，则BE的长是
类型二 利用切线的性质进行证明
例 如图，CA，CD是⊙O的两条切线，切点分别为A ，D，AB是⊙O的直径，AB=AC，过点A作AF⊥CD于
点F，交⊙O于点E. （1）求证：AE=CF； （2）若AB=2，求AE的长.
专题选讲—— 利用切线的性质进行计算与证明
类型二 利用，则∠AEB=90°， ∴∠EAB+∠EBA=90°. ∵AC是⊙O的切线， ∴∠CAB=90°，即∠CAF+∠FAB=90°，
专题选讲—— 求阴影部分的面积
方法指导
求阴影部分面积的常用方法： ①公式法：所求图形是规则图形，如扇形、特殊四边形 等，可直接利用公式计算； ②和差法：所求图形是不规则图形，可通过转化成规则 图形的面积的和或差； ③等积变换法：直接求面积较麻烦或根本求不出时，通 过对图形的平移、旋转、割补等，为公式法或和差法创 造条件.
连接AC交⊙O于点F，连接AE，DE，DF. （1）求证：∠E=∠C； （2）若∠E=58°，求∠BDF的度数.
重难突破
2 圆心角与圆周角
证明：（1）连接AD. ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∴AD⊥BC. ∵CD=BD， ∴AD垂直平分BC， ∴AB=AC，
∴∠B=∠C. 又∵∠B=∠E， ∴∠E=∠C.
第二十四章 圆
章末复习与小结
知识网络 专题选讲
重难突破 课后习题
知识网络
圆有关的 性质
圆的对称性 弧、弦、圆心角之间的关系 同弧上的圆周角和圆心角的关系
点和圆的位置关系
三角形的外接
点、直线和圆
圆
圆
的位置关系
直线和圆的位置关
系
切
三角形的
线
内接圆
正多边形和圆
等分圆周
弧长和扇形面 积
弧长 扇形面积
圆锥的侧面积和全面积
∴CD⊥OD， ∴CD是⊙O的切线.
专题选讲—— 切线证明的常用方法
类型四 利用垂径定理的推论证垂直
例 如图，AB是⊙O的直径，CD经过⊙O上一点D， 且CD⊥AC于点C，ED=DB. 求证：CD是⊙O的切线.
） ）
专题选讲—— 切线证明的常用方法
类型四 利用垂径定理的推论证垂直
证明：连接OD，OE，BE，OD与BE交于点H.
解： （2）∵AB=AC,
） ）
∴∠B=∠C.
∵AE=AE，
∴∠AOC=2∠B，
∴∠AOC=2∠C.
∵∠OAC=90°，
∴∠AOC+∠C=90°，
∴3∠C=90°，
∴∠C=30°，
∴OA=
1 2
OC.
设⊙O的半径为r. ∵CE=2， ∴r= 12（r+2），
解得r=2，
∴⊙O的半径为2.
专题选讲—— 利用切线的性质进行计算与证明
（B）
A.5 B.6 C.7 D.8
专题选讲—— 切线证明的常用方法
切线证明的 常用方法
类型一 利用角度转换证垂直
有切点， 连半径， 证垂直
类型二 利用勾股定理的逆定理证垂直 类型三 利用全等证垂直
类型四 利用垂径定理的推论证垂直
无切点，作垂直，证半径
专题选讲—— 切线证明的常用方法
类型一 利用角度转换证垂直
重难突破
1 垂径定理及其推论
例1 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，
BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，
则AD的长为（ C ）
9
A. 5 B. 21
5
C.18
5
D. 5
2
重难突破 1 垂径定理及其推论
【变式训练】如图，在⊙O内有折线OABC，其中OA=8 ，AB=12，∠A=∠B=60°，则BC的长为__2_0______.
专题选讲 本章专题索引
方法专题10 与圆的性质有关的计算 P80 方法专题11 切线证明的常用方法 P88
方法专题12 利用切线的性质进行计算与证明 P89 方法专题13 求阴影部分的面积 P96
专题选讲—— 与圆的性质有关的计算
类型一 求角度
例 如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠AOC=140°，
类型一 利用切线的性质进行计算
解：（1）连接OA. ∵AC是⊙O的切线，OA是⊙O的半径， ∴OA⊥AC，
∴∠OAC=90°. ∵AE=AE,∠ADE=25°，
∴∠AOE=2∠ADE=50°， ∴∠C=90°-∠AOE=90°-50°=40°.
） ）
专题选讲—— 利用切线的性质进行计算与证明
类型一 利用切线的性质进行计算
∴∠CAF=∠EBA.
∵AF⊥CD， ∴∠CFA=90°=∠AEB. 在△ABE和△CAF中，
∠AEB=∠CFA， ∠EBA=∠FAC， AB=CA，
∴△ABE≌△CAF， ∴AE=CF.
专题选讲—— 利用切线的性质进行计算与证明
类型二 利用切线的性质进行证明
解：（2）连接OD，交BE于点G.
由（1）可知△ABE≌△CAF，∴BE=AF.
重难突破 3 圆心角与圆周角
解：（1）连接CD. ∵BC是直径，
重难突破 2 圆心角与圆周角
例2 如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上 的点，D是AC上的点，若∠BOC=40°，则∠D的度数
为（ B ）
A.100° B.110° C.120° D.130°
重难突破 2 圆心角与圆周角
【变式训练】如图，AB是⊙O的直径，D，E为⊙O上位
于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD，
则∠B的度数是（ C ）
A.70° B.80° C.110° D.140°
专题选讲—— 与圆的性质有关的计算
类型一 求角度
练一练：如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，D在⊙O
上，顶点C在⊙O的直径BE上，连接AE，若∠E=36°，
则∠ADC的度数是（ B ）
A.44° B.54° C.72° D.53°
专题选讲—— 切线证明的常用方法
类型三 利用全等证垂直
证明：连接OD.
∵AD∥OC， ∴∠COB=∠A,∠DOC=∠ODA.
∵AO=DO,
∴∠A=∠ADO， ∴∠DOC=∠BOC.
在△CDO与△CBO中，
OD=OB， ∠DOC=∠BOC， OC=OC，
∴△CDO≌△CBO, ∴∠CDO=∠CBO=90°，
专题选讲—— 切线证明的常用方法
类型二 利用勾股定理的逆定理证垂直
例 如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于
点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME=1，AM=2，
AE= 3 . 求证：BC是⊙O的切线.
专题选讲—— 切线证明的常用方法
类型二 利用勾股定理的逆定理证垂直
证明：∵ME=1，AM=2，AE= 3 ， ∴ME2+AE2=AM2，
∵CD是⊙O的切线，
∴OD⊥CD. 又∵AF⊥CD，
∴AE∥OD，∴OD⊥BE，
G
∴DF=EG，EG=BG，∴BE=2DF.
设AE=CF=x.
∵CA，CD是⊙O的切线，AB=AC，AB=2，
∴CD=CA=AB=2，∴DF=2-x，∴BE=4-2x.
在△ABE中，AE2+BE2=AB2，
即x2+(4-2x)2=22，
∴x1=
6 5
,x2=2（舍去），∴AE=
6 5
.
专题选讲—— 求阴影部分的面积
类型一 直接利用规则图形的和差求面积
例 如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=2，以点A为
圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，图中阴影部分 的面积是______6_-π___________.（结果保留π）
专题选讲—— 求阴影部分的面积