2014新疆自治区一模数学文科(WORD)精品
2014高考全国2卷数学文科试题及答案详解解析
2014 年普通高等学校招生全国统一考试数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合A { 2,0,2} ，2B {x| x x 2 0}，则A B=2 0 2(A) （B）（C）(D)考点：交集及其运算．分析：先解出集合B，再求两集合的交集即可得出正确选项．解答：解：∵ A={﹣2，0，2}，B={x|x2 ﹣x﹣2=0}={﹣1，2}，∴A∩B={2}．故选： B点评：本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键．1 3i（2）1 i()（A）1 2i （B） 1 2i （C）1-2i (D) 1-2i考点：复数代数形式的乘除运算．分析：分子分母同乘以分母的共轭复数1+i 化简即可．解答：解：化简可得====﹣1+2i故选： B点评：本题考查复数代数形式的化简，分子分母同乘以分母的共轭复数是解决问题的关键，属基础题．f x在x x0 处导数存在，若（3）函数p: f (x ) 0;q : x x0 0是f x 的极值点，则()（A） p 是 q 的充分必要条件（B） p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件（C） p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件(D) p 既不是 q的充分条件，也不是q 的必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．菁优网版权所有分析：根据可导函数的极值和导数之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．解答：函数f（x）=x3 的导数为f'（x）=3x2，由 f′（x0）=0，得x0=0，但此时函数f（x）单调递增，无极值，充分性不成立．根据极值的定义和性质，若x=x0 是 f（x）的极值点，则f′（x0）=0 成立，即必要性成立，故p 是 q 的必要条件，但不是q 的充分条件，故选： C点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数单调性和极值之间的关系是解决本题的关键，比较基础．1（4）设向量a,b 满足|a+b|= 10 ，|a-b|= 6，则a·b= ()（A）1 （B）2 （C）3 (D) 5考点：平面向量数量积的运算．分析：将等式进行平方，相加即可得到结论．解答：∵| + |= ，| ﹣|= ，∴分别平方得，+2 ? + =10，﹣2 ? + =6，两式相减得4? ? =10﹣6=4，即? =1，故选： A点评：本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础．（5）等差数列a n 的公差为2，若a2 ，a4 ，a8成等比数列，则a n 的前n 项Sn =()n n 1 n n 1n n 1 n n 12 2 （A）（B）（C）(D)考点：等差数列的性质．分析：由题意可得a42=（a4﹣4）（a4+8），解得a4 可得 a1，代入求和公式可得．解答：由题意可得a42=a2?a8，即 a42=（a4﹣4）（a4+8），解得a4=8，∴a1=a4﹣3×2=2，∴Sn=na1+d，=2n+× 2=n（n+1），故选： A点评：本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示 1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为 6c m 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()17 5 10 1（A ）27 （B）9 （C） 27 (D)3考点：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有分析：由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可．解答：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为 3 高为 2，一个是底面半径为2，高为 4，组合体体积是：32π?2+22π?4=34π．底面半径为3cm，高为6cm 的圆柱体毛坯的体积为：32π× 6=54π切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：=．故选： C．点评：本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．2正三棱柱ABC A1 B1C1 的底面边长为2，侧棱长为3 ，D为B C中点，则三棱锥 A B1DC 的体积为()13 3（A）3 （B）2 （C）1 （D）2考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有分析：由题意求出底面B1DC1的面积，求出 A 到底面的距离，即可求解三棱锥的体积．解答：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为B C中点，∴底面B1DC1的面积：=，A 到底面的距离就是底面正三角形的高：．三棱锥A﹣B1DC1的体积为：=1．故选：C．点评：本题考查几何体的体积的求法，求解几何体的底面面积与高是解题的关键．（8）执行右面的程序框图，如果如果输入的x，t 均为2，则输出的S= ()（A）4 （B）5 （C）6 （D）7考点：程序框图．菁优网版权所有分析：根据条件，依次运行程序，即可得到结论．解答：若x=t=2，则第一次循环，1≤2 成立，则M=，S=2+3=5，k=2，第二次循环，2≤2 成立，则M=，S=2+5=7，k=3，此时3≤2 不成立，输出S=7，故选：D．点评：本题主要考查程序框图的识别和判断，比较基础．x y 1 0x y 1 0x 3y 3 0（9）设x，y 满足的约束条件，则z x 2y 的最大值为()（ A）8 （B）7 （ C）2 （D）1考点：简单线性规划．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．解答：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点 A 时，直线y=﹣的截距最大，此时z 最大．由，得，即A（3，2），此时z 的最大值为z=3+2×2=7，故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法3（10）设F为抛物线2C : y 3x的焦点，过 F 且倾斜角为30 的直线交于C于A,B 两点，则AB= ()°30（A）3 （B）6 （C）12 （D）73考点：抛物线的简单性质．分析：求出焦点坐标，利用点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，由弦长公式求得|AB| ．解答：由y2=3x 得其焦点F（，0），准线方程为x=﹣．则过抛物线y2=3x 的焦点F 且倾斜角为30°的直线方程为y=tan30°（ x﹣）= （x﹣）．代入抛物线方程，消去y，得16x2﹣168x+9=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2= ，所以 |AB|=x1+ +x2+ = + + =12故答案为：12．点评：本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，弦长公式的应用，运用弦长公式是解题的难点和关键．（11）若函数 f (x) kx ln x 在区间（1，+ ）单调递增，则k 的取值范围是(), 2 , 1 2, 1,（A）（B）（ C）（D）考点：函数单调性的性质．分析：由题意可得，当x＞1 时， f′（ x）=k﹣≥0，故k﹣1＞0，由此求得k 的范围．解答：函数f（x）=kx﹣lnx 在区间（1， +∞）单调递增，∴当x＞1 时， f′（ x）=k﹣≥0，∴ k﹣1≥0，∴ k≥1，故选：D．点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数的单调性的性质，属于基础题．4（12）设点M ( x0,1)，若在圆2 2O : x y 1上存在点N，使得°OMN 45 ,则x0 的取值范围是()1,1（A）（B）1 1，2 2 （C）2, 2（D）2 2，2 2考点：直线和圆的方程的应用．菁优网版权所有分析：根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论．解答：由题意画出图形如图：∵点 M（x0，1），∴若在圆O：x2+y2=1 上存在点N，使得∠ OMN=45°，∴圆上的点到MN 的距离的最大值为1，要使MN=1，才能使得∠OMN=45 °，图中 M′显然不满足题意，当MN 垂直 x 轴时，满足题意，∴x0 的取值范围是[﹣1，1]．故选： A点评：本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
新疆乌鲁木齐地区2014年高三年级第二次诊断性测验文科数学试卷及答案
乌鲁木齐地区2014年高三年级第二次诊断性测验文科数学（问卷）（卷面分值：150分考试时间：120分钟）注意事项：1.本卷分为问卷和答卷两部分，答案务必书写在答卷（或答题卡）的指定位置上.2.答卷前，先将答卷密封线内（或答题卡中的相关信息）的项目填写清楚.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x|x2<1}, B=[0, 1)，则A∩B=A. (0, 1)B. (0, 1]C. [0, 1)D. [0, 1]2.已知复数z1=a+bi与z2=c+di (a, b, c, d∈R, z2≠0)，则z1z2∈R的充要条件是A. ad+bc=0B. ac+bd=0C. ac-bd=0D. ad-bc=03.已知数列{a n}是各项均为正数的等比数列，若a2=2, 2a3+a4=16，则a5=A. 4B. 8C. 16D. 324.某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位: cm）可得这个几何体的体积是A. 13cm3 B. 23cm3C. 43cm3 D. 83cm35.已知函数y=f(x)+x是偶函数，且f(2)=1，则f(-2) =A. 2B. 3C. 4D. 56.阅读如右图所示的程序框图，若输入n的值为6，运行相应程序，则输出的n的值为A. 3B. 5C. 10D. 167.若平面向量,,a b c两两所成的角相等，且||1,||1,||3a b c===，则||a b c++等于A. 2B. 5C. 2或5D. 2或 58.已知⊙A1：(x+2)2 + y2=12和点A2(2, 0)，则过点A2且与⊙A1 相切的动圆圆心P的轨迹方程为A. x23- y2 = 1 B. x23+ y2 = 1C. x2 - y2 = 2D. x212+y28= 1正视图侧视图俯视图9.将函数f(x)=sin(2x+θ) (-π2 < θ < π2 )的图象向右平移φ（φ > 0）个单位长度后得到函数g(x)的图象，若f(x), g(x)的图象都经过点P(0, 32)，则φ的值可以是A. 5π3B. 5π6C. π2D. π610.已知△ABC 中，AB=1，AC=2，面积为32，则BC=A. 3B. 6C. 2D. 3或7 11.设a=log 0.10.2, b=log 0.20.4, c = log 0.30.6，则A. a > b > cB. a > c > bC. b > c > aD. c > b > a 12.若直线ax + by + c = 0与抛物线y 2=2x 交于P ，Q 两点，F 为抛物线的焦点，直线PF ，QF 分别交抛物线于点M ，N ，则直线MN 的方程为A. 4cx -2by + a=0B. ax -2by + 4c=0C. 4cx + 2by + a=0 C.ax + 2by + 4c=0 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题 ~ 第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题 ~ 第24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9=11，S 11=9，则S 20= ；14.已知关于x, y 的二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x+2y ≤4x-y ≤1x+2≥0，则3x -y 的最大值为 ；15.直线 x a + yb = 1 (a > 0, b > 0) 经过点(1, 1)，则a , b 的最小值为 ； 16.直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各个顶点都在同一个球面上. 若AB=AC=AA 1=2， ∠BAC=120°，则此球的表面积等于 .三、解答题第17~21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）如图，已知OPQ 是半径为3，圆心角为π3的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形，记∠COP 为x ，矩形ABCD 的面积为f(x)。
2014届高三数学一模文科试卷(附答案)
2014届高三数学一模文科试卷（附答案）箴言中学2013年高三第一次学月考试（时量120分钟满分 150分）一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分，每小题只有一项符合题目要求． 1.已知全集，集合，，则 =__________. A. {1,2,4} B. {2,3,4} C. {0,2,4} D . {0,2,3,4} 2.复数为虚数单位)在复平面内所对应的点在__________. A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限 3.设 , 则“ ”是“ ”的__________. A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.四名同学根据各自的样本数据研究变量之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：① y与x负相关且；② y与x负相关且；③ y与x正相关且；④ y与x正相关且 . 其中一定不正确的结论的序号是__________. A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 5.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是__________. A. B. C. D. 6.已知向量，，若，则=__________. A. B. C. D. 7.已知点在圆外, 则直线与圆的位置关系是_______. A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 8.若 ,则的取值范围是__________. A． B． C． D． 9.形如的函数因其函数图象类似于汉字中的�遄郑�故生动地称为“�搴�数”。
则当时的“�搴�数”与函数的交点个数为__________. A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 10.直线（为参数）的倾斜角为__________. 11.某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4, 则命中环数的方差为 . (注：方差，其中为的平均数） 12. 某几何体的三视图如图1所示，它的体积为__________. 13. 阅读图2的程序框图, 该程序运行后输出的的值为 __. 14. 设F1，F2是椭圆C：的两个焦点，若在C上存在一点P, 使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，则C的离心率为_____________. 15.已知函数的定义域为，部分对应值如下表，的导函数，的图象如图所示．�1 0 2 4 5 1 2 0 2 1 （1）的极小值为_______；（2）若函数有4个零点，则实数的取值范围为_________．箴言中学2013年高三第一次学月考试文科数学答题卷一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分，序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 10.____________11.____________ 12..____________ 13.____________14.____________ 15.____________ _____________ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.(本小题12分) 若函数在R上的最大值为5. (1)求实数m的值； (2)求的单调递减区间。
2014年高考真题精校精析纯word可编辑·2014高考真题解析2014·全国新课标卷Ⅰ(文科数学)
2014·全国新课标卷Ⅰ(文科数学)1．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知集合M ＝{x |－1＜x ＜3}，N ＝{－2＜x ＜1}，则M ∩N ＝( )A ．(－2，1)B ．(－1，1)C ．(1，3)D ．(－2，3)1．B [解析]利用数轴可知M ∩N ＝{x |－1<x <1}． 2．、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 若tan α＞0，则( ) A ．sin α＞0B ．cos α＞0 C ．sin2α＞0D ．cos2α＞0 2．C [解析]因为sin2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α>0，所以选C.3．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设z ＝11＋i＋i ，则|z |＝( ) A.12B.22C.32D ．2 3．B [解析]z ＝11＋i＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，则|z |＝22.4．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a ＞0)的离心率为2，则a ＝( )A ．2B.62C.52D ．1 4．D [解析]因为c 2＝a 2＋3，所以e ＝ca＝a 2＋3a2＝2，得a 2＝1，所以a ＝1. 5．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数5．C [解析]因为f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，所以有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，于是f (－x )·g (－x )＝－f (x )g (x )，即f (x )g (x )为奇函数，A 错；|f (－x )|g (－x )＝|f (x )|g (x )，即|f (x )|g (x )为偶函数，B 错；f (－x )|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|，即f (x )|g (x )|为奇函数，C 正确； |f (－x )g (－x )|＝|f (x )g (x )|，即f (x )g (x )为偶函数，所以D 也错． 6．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )A.AD →B.12AD →C.12BC →D.BC → 6．A [解析] EB ＋FC ＝EC ＋CB ＋FB ＋BC ＝12AC ＋12AB ＝AD .7．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③7．A [解析]函数y ＝cos|2x |＝cos2x ，其最小正周期为π，①正确；将函数y ＝cos x 的图像中位于x 轴上方的图像不变，位于x 轴下方的图像对称地翻转至x 轴上方，即可得到y ＝|cos x |的图像，所以其最小天正周期也为π，②正确；函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的最小正周期为π，③正确；函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4的最小正周期为π2，④不正确．8．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 如图1-1，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A ．三棱锥B ．三棱柱C ．四棱锥D ．四棱柱8．B [解析]从俯视图为矩形可以看出，此几何体不可能是三棱锥或四棱锥，其直观图如图，是一个三棱柱．9．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 执行如图1-1的程序框图，若输入的a ，b ，k 分别为1，2，3，则输出的M ＝( )图1-1A.203B.72C.165D.1589．D [解析]第一次循环后，M ＝32，a ＝2，b ＝32，n ＝2；第二次循环后，M ＝83，a ＝32，b ＝83，n ＝3；第三次循环后，M ＝158，a ＝83，b ＝158，n ＝4，此时n >k (n ＝4，k ＝3)，结束循环，输出M ＝158.10．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝( )A ．1B ．2C ．4D ．810．A [解析]由抛物线方程y 2＝x ，知p ＝12，又因为|AF |＝x 0＋p 2＝x 0＋14＝54x 0，所以得x 0＝1.11．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－311．B [解析]当a <0时，作出相应的可行域，可知目标函数z ＝x ＋ay 不存在最小值．当a ≥0时，作出可行域如图，易知当－1a ＞－1，即a ＞1时，目标函数在A 点取得最小值．由A ⎝⎛⎭⎫a －12，a ＋12，知z min ＝a －12＋a 2＋a 2＝7，解得a ＝3或－5(舍去)．图2-2-512．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－1)12．C [解析]显然a ＝0时，函数有两个不同的零点，不符合．当a ≠0时，由f ′(x )＝3ax 2－6x ＝0，得x 1＝0，x 2＝2a .当a >0时，函数f (x )在(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫0，2a 上单调递减，又f (0)＝1，所以函数f (x )存在小于0的零点，不符合题意；当a <0时，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，2a ，(0，＋∞)上单调递减，在⎝⎛⎭⎫2a ，0上单调递增，所以只需f ⎝⎛⎭⎫2a >0，解得a <－2，所以选C. 13．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．13.23 [解析]2本数学书记为数1，数2，3本书共有(数1数2语)，(数1语数2)，(数2数1语)，(数2语数1)，(语数1数2)，(语数2数1)6种不同的排法，其中2本数学书相邻的排法有4种，对应的概率为P ＝46＝23.14．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市．乙说：我没去过C 城市．丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________．14．A [解析]由甲没去过B 城市，乙没去过C 城市，而三人去过同一城市，可知三人去过城市A ，又由甲最多去过两个城市，且去过的城市比乙多，故乙只去过A 城市．15．、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ＜1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．15．(－∞，8] [解析]当x <1时，由e x －1≤2，得x <1；当x ≥1时，由x 13≤2，解得1≤x ≤8，综合可知x 的取值范围为x ≤8.16．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 如图1-3，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°，以及∠MAC ＝75°，从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100m ，则山高MN ＝________m.图1-316．150 [解析]在Rt △ABC 中，BC ＝100，∠CAB ＝45°，所以AC ＝100 2.在△MAC中，∠MAC ＝75°，∠MCA ＝60°，所以∠AMC ＝45°，由正弦定理有AM sin ∠MCA ＝ACsin ∠AMC，即AM ＝sin60°sin45°×1002＝1003，于是在Rt △AMN 中，有MN ＝sin60°×1003＝150.17．、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知{a n }是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2－5x ＋6＝0的根．(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和．17．解：(1)方程x 2－5x ＋6＝0的两根为2，3. 由题意得a 2＝2，a 4＝3.设数列{a n }的公差为d ，则a 4－a 2＝2d ， 故d ＝12，从而得a 1＝32.所以{a n }的通项公式为a n ＝12n ＋1.(2)设⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和为S n ，由(1)知a n 2n ＝n ＋22n ＋1，则S n ＝322＋423＋…＋n ＋12n ＋n ＋22n ＋1，12S n ＝323＋424＋…＋n ＋12n ＋1＋n ＋22n ＋2， 两式相减得12S n ＝34＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋12n ＋1－n ＋22n ＋2＝34＋14⎝⎛⎭⎫1－12n －1－n ＋22n ＋2，所以S n ＝2－n ＋42n ＋1. 18．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：(1)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图；(2)估计这种产品质量指标值的平均值及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？18．解：(1)频率分布直方图如下：(2)质量指标值的样本平均数为x ＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100. 质量指标值的样本方差为s 2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38＋0.22＋0.8＝0.68. 由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定．19．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 如图1-4，三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，B 1C 的中点为O ，且AO ⊥平面BB 1C 1C .图1-4(1)证明：B 1C ⊥AB ；(2)若AC ⊥AB 1，∠CBB 1＝60°，BC ＝1，求三棱柱ABC -A 1B 1C 1的高．19．解：(1)证明：连接BC 1，则O 为B 1C 与BC 1的交点． 因为侧面BB 1C 1C 为菱形，所以B 1C ⊥BC 1. 又AO ⊥平面BB 1C 1C ，所以B 1C ⊥AO ， 由于BC 1∩AO ＝O ，故B 1C ⊥平面ABO . 由于AB ⊂平面ABO ，故B 1C ⊥AB .(2)作OD ⊥BC ，垂足为D ，连接AD .作OH ⊥AD ，垂足为H . 由于BC ⊥AO ，BC ⊥OD ，且AO ∩OD ＝O ， 故BC ⊥平面AOD ，所以OH ⊥BC . 又OH ⊥AD ，且AD ∩BC ＝D ， 所以OH ⊥平面ABC .因为∠CBB 1＝60°，所以△CBB 1为等边三角形，又BC ＝1，可得OD ＝34. 因为AC ⊥AB 1，所以OA ＝12B 1C ＝12.由OH ·AD ＝OD ·OA ，且AD ＝OD 2＋OA 2＝74，得OH ＝2114. 又O 为B 1C 的中点，所以点B 1到平面ABC 的距离为217.故三棱柱ABC -A 1B 1C 1的高为217.20．、、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知点P (2，2)，圆C ：x ＋y －8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积． 20．解：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16， 所以圆心为C (0，4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM ＝(x ，y －4)，MP ＝(2－x ，2－y )． 由题设知CM ·MP ＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2. 由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1，3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM . 因为ON 的斜率为3，所以直线l 的斜率为－13，故l 的方程为y ＝－13x ＋83.又|OM |＝|OP |＝22，O 到直线l 的距离为4105，故|PM |＝4105，所以△POM 的面积为165.21．、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－bx (a ≠1)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为0. (1)求b ；(2)若存在x 0≥1，使得f (x 0)＜aa －1，求a 的取值范围． 21．解：(1)f ′(x )＝ax ＋(1－a )x －b .由题设知f ′(1)＝0，解得b ＝1， (2)f (x )的定义域为(0，＋∞)， 由(1)知，f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－x ，f ′(x )＝ax ＋(1－a )x －1＝1－a x ⎝⎛⎭⎫x －a 1－a (x －1)．(i)若a ≤12，则a1－a ≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(1，＋∞)上单调递增．所以，存在x 0≥1，使得f (x 0)<a 1－a 的充要条件为f (1)<a a －1，即1－a 2－1<aa －1，解得－2－1<a <2－1.(ii)若12<a <1，则a 1－a>1，故当x ∈⎝⎛⎭⎫1，a1－a 时，f ′(x )<0；当x ∈⎝⎛⎭⎫a1－a ，＋∞时，f ′(x )>0.f (x )在⎝⎛⎭⎫1，a 1－a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫a1－a ，＋∞上单调递增．所以，存在x 0≥1，使得f (x 0)<a a －1的充要条件为f ⎝⎛⎭⎫a 1－a <aa －1. 而f ⎝⎛⎭⎫a 1－a ＝a ln a 1－a ＋a 22（1－a ）＋a a －1>aa －1，所以不合题意．(iii)若a >1, 则f (1)＝1－a 2－1＝－a －12<a a －1，符合题意．综上，a 的取值范围是(－2－1，2－1)∪(1，＋∞)．22．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 选修4－1：几何证明选讲 如图1-5，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB ＝CE .图1-5(1)证明：∠D ＝∠E ；(2)设AD 不是⊙O 的直径，AD 的中点为M ，且MB ＝MC ，证明：△ADE 为等边三角形． 22．证明：(1)由题设知A ，B ，C ，D 四点共圆， 所以∠D ＝∠CBE .由已知得∠CBE ＝∠E ，故∠D ＝∠E .(2)设BC 的中点为N ，连接MN ，则由MB ＝MC 知MN ⊥BC ，故点O 在直线MN 上． 又AD 不是⊙O 的直径，M 为AD 的中点， 故OM ⊥AD ，即MN ⊥AD ， 所以AD ∥BC ，故∠A ＝∠CBE . 又∠CBE ＝∠E ，故∠A ＝∠E .由(1)知，∠D ＝∠E ，所以△ADE 为等边三角形．23．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程、直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．23．解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到直线l 的距离d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|， 则|P A |＝d sin30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值， 最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值， 最小值为255.24．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 选修4－5：不等式选讲 若a ＞0，b ＞0，且1a ＋1b＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？请说明理由．24．解：(1)由ab ＝1a ＋1b ≥2ab ，得ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立．故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立． 所以a 3＋b 3的最小值为4 2.(2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3.由于43>6，从而不存在a ，b ，使2a ＋3b ＝6.。
2014年高考文科数学全国卷1(含详细答案)
数学试卷 第1页（共39页） 数学试卷 第2页（共39页） 数学试卷 第3页（共39页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷1）文科数学使用地区：河南、山西、河北注意事项：1.本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|13}M x x =-<<，{|21}N x x =-<<，则M N = ( ) A .(2,1)- B .(1,1)- C .(1,3) D .(2,3)-2.若tan 0α>，则( )A . sin 0α>B .cos 0α>C . sin20α>D .cos20α> 3.设1i 1iz =++，则|z |=( )A .12B .22 C .32D .24.已知双曲线2221(0)3x y a a -=>的离心率为2，则a = ( )A .2B .62C .52D .1 5.设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论中正确的是( )A .()f x ()g x 是偶函数B .|()|f x ()g x 是奇函数C .()f x |()|g x 是奇函数D .|()()|f x g x 是奇函数6.设D ，E ，F 分别为ABC △的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB FC += ( )A .ADB .12AD C .BCD .12BC 7.在函数①cos |2|y x =，②|cos |y x =，③πcos(2)6y x =+，④πtan(2)4y x =-中，最小正周期为π的所有函数为( )A .①②③B .①③④C .②④D .①③8.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A .三棱锥B .三棱柱C .四棱锥D .四棱柱 9.执行如图的程序框图，若输入的a ，b ，k 分别为1，2，3.则输出的M =( )A .203B .72C .165D .15810.已知抛物线C ：2y x =的焦点为F ，00(,)A x y 是C 上一点，05||4AF x =，则0x = ( )A .1B .2C .4D .811.设x ，y 满足约束条件,1,x y a x y +⎧⎨--⎩≥≤且z x ay =+的最小值为7，则a =( )A .5-B .3C .5-或3D .5或3-12.已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是( )A .(2,)+∞B .(1,)+∞C .(,2)-∞-D .(,1)-∞-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为 .14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为 .15.设函数113e ,1,(),1,x x f x x x -⎧⎪=⎨⎪⎩＜≥则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是 .16.如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得M 点的仰角60MAN ∠=，C 点的仰角45CAB ∠=以及75MAC ∠=；从C 点测得60MCA ∠=.已知山高100BC = m ，则山高MN = m .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}2nn a 的前n 项和.姓名________________ 准考证号_____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第4页（共39页） 数学试卷 第5页（共39页） 数学试卷 第6页（共39页）18.（本小题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结（Ⅰ）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：（Ⅱ）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅲ）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？19.（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1B C 的中点为O ，且AO ⊥平面11BB C C .（Ⅰ）证明：1B C AB ⊥；（Ⅱ）若1AC AB ⊥，160CBB ∠=，1BC =，求三棱柱111ABC A B C -的高.20.（本小题满分12分）已知点(2,2)P ，圆C ：2280x y y +-=，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点. （Ⅰ）求M 的轨迹方程；（Ⅱ）当||||OP OM =时，求l 的方程及POM △的面积.21.（本小题满分12分）设函数21()ln (1)2a f x a x x bx a -=+-≠，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为0.（Ⅰ）求b ；（Ⅱ）若存在01x ≥，使得0()1af x a <-，求a 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB CE =.（Ⅰ）证明：D E ∠=∠；（Ⅱ）设AD 不是O 的直径，AD 的中点为M ，且MB MC =，证明：ADE △为等边三角形.23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：2,22,x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数). （Ⅰ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（Ⅱ）过曲线C上任意一点P 作与l 夹角为30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值.24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲若0a >，0b >，且11a b+=（Ⅰ）求33a b +的最小值；（Ⅱ）是否存在a ，b ，使得236a b +=？并说明理由.3 / 132014年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷1）文科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】B【解析】根据集合的运算法则可得：{|11}MN x x =-<<，即选B ．【提示】集合的运算用数轴或者Venn 图可直接计算。
2014年新疆高考一模数学试卷(文科)【解析版】
2014年新疆高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集I＝{1，2，3，4，5}，M＝{1，2，5}，N＝{2，3，5}，那么∁I（M∪N）＝（）A．∅B．4C．{1，3}D．{4}2．（5分）若实数x，y满足不等式组，则z＝2x+3y的最大值是（）A．13B．12C．11D．103．（5分）在复数范围内，i为虚数单位，若实数x，y满足（1+i）x+（1﹣i）y ＝2 则x﹣y的值是（）A．1B．0C．﹣2D．﹣34．（5分）若a＝sin，b＝tan，c＝cos，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a 5．（5分）已知椭圆（a＞0）与双曲线有相同的焦点，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．6．（5分）设一次函数y＝f（x）（x∈R）为奇函数，且f（1）＝，f（5）＝（）A．B．1C．3D．57．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝﹣5，a3+a7＝6，则当S n取最小值时，n等于（）A．9B．6C．3D．18．（5分）已知函数f（x）＝4a x﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过一个定点P，且点P在直线mx+ny﹣1＝0上，则2m×16n的值是（）A．1B．2C．8D．49．（5分）半径为1的球的内接正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）的侧面积为3，则正三棱柱的高为（）A．2B．C．2D．10．（5分）下列命题是假命题的是（）A．∃α，β∈R，使tan（α+β）＝tanα+tanβ成立B．∀x＞0，有lg2x+lgx+1＞0成立C．△ABC中，“A＜B”是“sin A＜sin B”成立的充要条件D．∃x∈R，使sin x+cos x＝成立11．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的n为（）A．3B．6C．5D．412．（5分）已知函数f（x）＝在区间[，]上恒有f（x）＞0，则实数a的取值范围是（）A．（，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是．14．（5分）直线l的倾斜角α满足3sinα＝4cosα，且它在x轴上的截距为2，则直线l的方程是．15．（5分）在区间[﹣9，9]上随机取一实数x，函数y＝的定义域为D，则x∈D的概率为．16．（5分）若定义域为R的奇函数f（x）满足f（1+x）＝﹣f（x），则下列结论：①f（x）的图象过点（1，0）；②f（x）的图象关于直线x＝1对称；③f（x）是周期函数，且2是它的一个周期；④f（x）在区间（﹣1，1）上是单调函数；其中正确结论的序号是（填上你认为所有正确结论的序号）三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知f（x）＝2sin（x+）cos（x+）+2cos2（x+）﹣（x∈R，0≤θ≤π）是偶函数．（Ⅰ）求θ和f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a，b，c，a＝5，b＝3，f（C）＝﹣1，求c．18．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝BB1＝1，D是A1C的中点．（Ⅰ）求BD的长；（Ⅱ）求证：平面ABB1⊥平面BDC．19．（12分）某校共有400名高一学生，期中考试之后，为了解学生学习情况，用分层抽样方法从中抽出c名学生的数学期中成绩，按成绩分组，制成如下的频率分布表：（低于20分0人）（Ⅰ）求a，b，c的值，并估计该校本次考试的数学平均分；（Ⅱ）教导处为了解数学成绩在60分以下的学生在学习数学时存在的问题，现决定从前四组中，利用分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取两人谈话，求这两人都来自同一组的概率．20．（12分）已知点P（2，0）及椭圆C：x2+16y2＝16．（Ⅰ）过点P的直线l1与椭圆交于M、N两点，且|MN|＝，求以线段MN为直径的圆Q的方程；（Ⅱ）设直线kx﹣y+1＝0与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k，使得过点P的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数k的值；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝x﹣2x2+alnx（a是常数）．（Ⅰ）当a＝1时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）证若函数f（x）在区间[，3]上为单调函数，求a的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，圆O的半径OC垂直于直径AB，弦CD交半径OA于E，过D的切线与BA的延长线于M．（Ⅰ）已知∠BMD＝40°，求∠MED：；（Ⅱ）设圆O的半径为1，MD＝，求MA及CD的长．选修4--4：坐标系与参数方程23．（10分）在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为C1：（t 为参数）；以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2．（1）求曲线C2的直角坐标方程，说明它表示什么曲线，并写出其参数方程；（2）过直线C1上的点向曲线ρ＝1作切线，求切线长的最小值．选修4一5：不等式选讲24．（10分）已知函数f（x）＝|x﹣2|﹣a．（1）当a＝1时，求f（x）≤1的解集；（2）若f（x）≥|x+3|恒成立，求a的取值范围．2014年新疆高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集I＝{1，2，3，4，5}，M＝{1，2，5}，N＝{2，3，5}，那么∁I（M∪N）＝（）A．∅B．4C．{1，3}D．{4}【解答】解：因为M＝{1，2，5}，N＝{2，3，5}，所以M∪N＝{1，2，3，5}，因为全集I＝{1，2，3，4，5}，所以∁I（M∪N）＝{4}故选：D．2．（5分）若实数x，y满足不等式组，则z＝2x+3y的最大值是（）A．13B．12C．11D．10【解答】解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），由z＝2x+3y，得y＝，平移直线y＝，由图象可知当直线y＝经过点A时，直线y＝的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（2，3）．此时z的最大值为z＝2×2+3×3＝13，故选：A．3．（5分）在复数范围内，i为虚数单位，若实数x，y满足（1+i）x+（1﹣i）y ＝2 则x﹣y的值是（）A．1B．0C．﹣2D．﹣3【解答】解：实数x，y满足（1+i）x+（1﹣i）y＝2，∴，可得x﹣y＝0．故选：B．4．（5分）若a＝sin，b＝tan，c＝cos，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a【解答】解：∵0＜＜，＜＜π，∴a＝sin＞0，tan＜cos＜0，∴b＜c＜a，故选：C．5．（5分）已知椭圆（a＞0）与双曲线有相同的焦点，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵双曲线的焦点F（，0），∴由题意知椭圆（a＞0）的焦点也是F（，0），∴在椭圆中，b＝3，c＝，a＝，∴e＝．故选：C．6．（5分）设一次函数y＝f（x）（x∈R）为奇函数，且f（1）＝，f（5）＝（）A．B．1C．3D．5【解答】解：∵一次函数y＝f（x）（x∈R）为奇函数，∴设f（x）＝kx，∵f（1）＝，∴，∴f（x）＝x，f（5）＝＝．故选：A．7．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝﹣5，a3+a7＝6，则当S n取最小值时，n等于（）A．9B．6C．3D．1【解答】解：在等差数列中，由a1＝﹣5，a3+a7＝6，则2a1+7d＝6，解得d＝＞0，则a n＝＝，由a n≤0得n，即当n≤3时，a n＜0，当n≥4时，a n＞0，即当S n取最小值时，n等于3，故选：C．8．（5分）已知函数f（x）＝4a x﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过一个定点P，且点P在直线mx+ny﹣1＝0上，则2m×16n的值是（）A．1B．2C．8D．4【解答】解：函数f（x）＝4a x﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过一个定点P（1，4），∵点P在直线mx+ny﹣1＝0上，∴m+4n＝1，2m×16n＝2m⋅24n＝2m+4n＝21＝2，故选：B．9．（5分）半径为1的球的内接正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）的侧面积为3，则正三棱柱的高为（）A．2B．C．2D．【解答】解：如图所示，设球心为O，正三棱柱的上下底面的中心分别为O1，O2，球心为O，底面正三角形的边长为a，高为h，则AO2＝a＝．棱柱的侧面积3ah＝3，h＝．由已知得O1O2⊥底面，在Rt△OAO2中，∠AO2O＝90°，由勾股定理得OO2＝，，解答a＝．h＝＝＝故选：D．10．（5分）下列命题是假命题的是（）A．∃α，β∈R，使tan（α+β）＝tanα+tanβ成立B．∀x＞0，有lg2x+lgx+1＞0成立C．△ABC中，“A＜B”是“sin A＜sin B”成立的充要条件D．∃x∈R，使sin x+cos x＝成立【解答】解：A．∃α＝β＝0，使tan（α+β）＝tanα+tanβ成立，∴A正确．B．lg2x+lgx+1＝（lgx+）2+＞0，∴B正确．C．在△中，A＜B等价为a＜b，根据正弦定理可知sin A＜sin B，即“A＜B”是“sin A＜sin B”成立的充要条件，∴C正确．D．∵sin x+cos x＝，∴D错误．故选：D．11．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的n为（）A．3B．6C．5D．4【解答】解：由程序框图知：程序第一次运行S＝0+3×1＝3，n＝1+1＝2；第二次运行S＝3+3×2＝9，n＝2+1＝3；第三次运行S＝9+3×3＝18，n＝3+1＝4；第四次运行S＝18+3×4＝30，n＝4+1＝5；第五次运行S＝30+3×5＝45，n＝5+1＝6．此时不满足条件S＜40，程序运行终止，输出n＝6．故选：B．12．（5分）已知函数f（x）＝在区间[，]上恒有f（x）＞0，则实数a的取值范围是（）A．（，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）【解答】解：由复合函数的单调性可得函数f（x）在区间[，]上单调递减，又f（x）＞0，∴0＜2×﹣a＜1，且0＜2×﹣a＜1．解得：＜a＜1，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是30．【解答】解：根据已知中的三视图可知该几何体由一个正方体和一个正四棱锥组成＝3×3×3＝27其中正方体的棱长为3，故V正方体下四棱锥的底面棱长为3，高为1，故V＝×3×3×1＝3正四棱锥故这个几何体的体积V＝27+3＝30故答案为：30．14．（5分）直线l的倾斜角α满足3sinα＝4cosα，且它在x轴上的截距为2，则直线l的方程是4x﹣3y﹣8＝0．【解答】解：∵直线l的倾斜角α满足3sinα＝4cosα，∴tanα＝，即直线的斜率k＝tanα＝，∵在x轴上的截距为2，∴直线过点（2，0），则直线的方程为y﹣0＝，即4x﹣3y﹣8＝0，故答案为：4x﹣3y﹣8＝0．15．（5分）在区间[﹣9，9]上随机取一实数x，函数y＝的定义域为D，则x∈D的概率为．【解答】解：由于试验的全部结果构成的区域长度为9﹣（﹣9）＝18，由于函数y＝的定义域为D＝[﹣2，1）∪（1，2]，构成事件x∈D的区域长度为2﹣（﹣2）＝4，所以在区间[﹣9，9]上随机取一实数x，函数y＝的定义域为D，则x∈D 的概率为．故答案为：．16．（5分）若定义域为R的奇函数f（x）满足f（1+x）＝﹣f（x），则下列结论：①f（x）的图象过点（1，0）；②f（x）的图象关于直线x＝1对称；③f（x）是周期函数，且2是它的一个周期；④f（x）在区间（﹣1，1）上是单调函数；其中正确结论的序号是①③（填上你认为所有正确结论的序号）【解答】解：∵定义域为R的奇函数f（x）满足f（1+x）＝﹣f（x），∴f（1）＝﹣f（0）＝0，则f（x）的图象过点（1，0），①正确；由f（1+x）＝﹣f（x）＝f（﹣x）得，f（x）的图象关于直线x＝对称，②不正确；令x取x+1代入f（1+x）＝﹣f（x）得，f（x+2）＝﹣f（x+1）＝f（x），则f（x）是周期函数，且2是它的一个周期，③正确；∵f（x）的图象关于直线x＝对称，∴f（x）在区间（﹣1，1）上不是单调函数，则④不正确；故答案为；①③．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知f（x）＝2sin（x+）cos（x+）+2cos2（x+）﹣（x∈R，0≤θ≤π）是偶函数．（Ⅰ）求θ和f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a，b，c，a＝5，b＝3，f（C）＝﹣1，求c．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝2sin（x+）cos（x+）+2cos2（x+）﹣＝sin（2x+θ）+cos（2x+θ）＝2sin（2x+θ+），∵f（x）是偶函数，∴θ+，k∈Z即θ＝，∵0≤θ≤π，∴当k＝0时，θ＝，即f（x）＝2cos2x，∴f（x）的最小正周期T＝；（Ⅱ）∵f（C）＝﹣1，∴f（C）＝2cos2C＝﹣1，即cos2C＝﹣，∴2C＝，即C＝，∵a＝5，b＝3，∴c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝25+9﹣2×＝19，即c＝．18．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝BB1＝1，D是A1C的中点．（Ⅰ）求BD的长；（Ⅱ）求证：平面ABB1⊥平面BDC．【解答】（Ⅰ）解：取AC的中点O，连接DO，BO，则DO⊥平面ABC，在Rt△BDO中，BO＝，DO＝，∴BD＝＝；（Ⅱ）证明：∵∠ABC＝90°，∴BC⊥AB，∵BB1⊥BC，BB1∩AB＝B，∴BC⊥平面ABB1，∵BC⊂平面BDC，∴平面ABB1⊥平面BDC．19．（12分）某校共有400名高一学生，期中考试之后，为了解学生学习情况，用分层抽样方法从中抽出c名学生的数学期中成绩，按成绩分组，制成如下的频率分布表：（低于20分0人）（Ⅰ）求a，b，c的值，并估计该校本次考试的数学平均分；（Ⅱ）教导处为了解数学成绩在60分以下的学生在学习数学时存在的问题，现决定从前四组中，利用分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取两人谈话，求这两人都来自同一组的概率．【解答】解：（Ⅰ）设样本容量为n，则由题意可得＝0.04，解得n＝50．由＝0.08，解得a＝4；b＝＝0.12；c即样本容量，为50．估计该校本次考试的数学平均分为25×0.04+35×0.04+45×0.08+55×0.12+65×0.3+75×0.08+85×0.28+95×0.06＝70.6．（Ⅱ）前4组共有14人，利用分层抽样抽取7人，显然第一组抽取1人，第二组抽取1人，第三组抽取2人，第四组抽取3人．从这7人中在任意抽取2人，所有的抽法共有＝21种，而抽取的这2人来自同一个组的抽法有+＝4种，故这两人都来自同一组的概率为．20．（12分）已知点P（2，0）及椭圆C：x2+16y2＝16．（Ⅰ）过点P的直线l1与椭圆交于M、N两点，且|MN|＝，求以线段MN为直径的圆Q的方程；（Ⅱ）设直线kx﹣y+1＝0与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k，使得过点P的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数k的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）椭圆方程化为，∵P（2，0）在椭圆内部，∴过P的直线与椭圆总是交于两点M，N，当|MN|＝时，直线垂直于x轴，此时MN的中点为P，圆Q的中心为P（2，0），半径为r＝，∴所求圆的方程为（x﹣2）2+y2＝．（Ⅱ）联立，消去y，并整理，得（16k2+1）x2+32kx＝0，解得，或，∴A（0，1），B（），∴AB的中点M（，），∴，＝（，），∵，∴k＝0，或32k2+15k+2＝0，∴k＝0，当k＝0时，A，B两点重合，这矛盾，∴不存在实数k，使得过点P的直线l2垂直平分弦AB．21．（12分）已知函数f（x）＝x﹣2x2+alnx（a是常数）．（Ⅰ）当a＝1时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）证若函数f（x）在区间[，3]上为单调函数，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝x﹣2x2+lnx，f'（x）＝1﹣4x+，当x＝1时，f（1）＝﹣1，f'（1）＝﹣2．∴当x＝1时，f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y+1＝﹣2（x﹣1）．即切线方程为：2x+y﹣1＝0．（Ⅱ）∵f（x）＝x﹣2x2+alnx，∴f'（x）＝1﹣4x+＝（x＞0）．∵函数f（x）在区间[，3]上为单调函数，∴f'（x）在区间[，3]上的值恒为正，或者值恒为负．记g（x）＝﹣4x2+x﹣a，则g（x）在区间[，3]上的值恒为正，或者值恒为负．∵g（x）＝﹣4x2+x﹣a的图象开口向下，对称轴为：，∴，故有：．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，圆O的半径OC垂直于直径AB，弦CD交半径OA于E，过D的切线与BA的延长线于M．（Ⅰ）已知∠BMD＝40°，求∠MED：；（Ⅱ）设圆O的半径为1，MD＝，求MA及CD的长．【解答】解：（Ⅰ）连接OD，∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC，∵MD切圆O于D，∴∠ODM＝∠ODC+∠MDE＝90°，∵OC⊥AB，∴∠OCD+∠OEC＝90°，∴∠OEC＝∠MDE，∵∠OEC＝∠MED，∴∠MDE＝∠MED，∵∠BMD＝40°，∴∠MED＝＝70°．（Ⅱ）∵∠ODM＝90°，OD＝1，MD＝，∴OM＝2，∵OA＝1，∴MA＝OM﹣OA＝1，∵ME＝MD＝，∴OE＝OM﹣ME＝2﹣，∵OC⊥OE，OC＝1，∴CE2＝1+（2﹣）2＝8﹣4＝（﹣）2，∴CE＝，∵DE＝＝2，∴CD＝CE+DE＝．选修4--4：坐标系与参数方程23．（10分）在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为C1：（t 为参数）；以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2．（1）求曲线C2的直角坐标方程，说明它表示什么曲线，并写出其参数方程；（2）过直线C1上的点向曲线ρ＝1作切线，求切线长的最小值．【解答】解：（1）∵曲线C2的极坐标方程为ρ＝2，∴C2的直角坐标方程为x2+y2＝4，它表示圆心在原点，半径为2的圆；它的参数方程为，θ为参数；（2）∵直线C1的参数方程为（t为参数），化为普通方程是x﹣y﹣2＝0；曲线ρ＝1的普通方程是x2+y2＝1，如图；圆心（0，0）到直线的距离是d＝＝，则过直线上的点作圆的切线，切线长的最小值是l，∴l2＝d2﹣r2＝﹣12＝2，∴l＝．选修4一5：不等式选讲24．（10分）已知函数f（x）＝|x﹣2|﹣a．（1）当a＝1时，求f（x）≤1的解集；（2）若f（x）≥|x+3|恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）≤1⇔|x﹣2|﹣1≤1，∴|x﹣2|≤2，解得：0≤x≤4．∴当a＝1时，f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤4}；（2）∵|x﹣2|﹣a≥|x+3|恒成立，∴a≤|x﹣2|﹣|x+3|恒成立，令g（x）＝|x﹣2|﹣|x+3|，则a≤g（x）min，当x＜﹣3时，g（x）＝5；当﹣3≤x≤2时，g（x）＝﹣2x﹣1∈[﹣5，5]；当x＞3时，g（x）＝﹣5；∴g（x）min＝﹣5．∴a≤﹣5，即a的取值范围为（﹣∞，﹣5]．。
2014年高考新课标I卷数学(文)试题解析(精编版)(解析版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}{}|13,|21M x x N x x =-<<=-<<，则M N =I （ ） A. )1,2(- B. )1,1(- C. )3,1( D. )3,2(-22112||()()222z =+-=.考点：复数的运算4.已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则=a A. 2 B.26 C. 25D. 16.设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+FC EB A.AD B. 21 C. 21D. 【答案】A 【解析】试题分析：根据平面向量基本定理和向量的加减运算可得：在BEF ∆中，12EB EF FB EF AB =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，同理12FC FE EC FE AC =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则11111()()()()22222EB FC EF AB FE AC AB AC AB AC AD+=+++=+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r ． 考点：向量的运算7.在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π+=x y ,④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为A.①②③B. ①③④C. ②④D. ①③8.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱考点：三视图的考查9.执行右面的程序框图，若输入的,,a b k分别为1,2,3，则输出的M ( )A.203B.72C.165D.15810.已知抛物线C ：x y =2的焦点为F ,()y x A 0,是C 上一点，x F A 045=，则=x 0（ ）A. 1B. 2C. 4D. 8考点：线性规划的应用12.已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是()2,+∞ （B ）()1,+∞ （C ）(),2-∞- （D ）(),1-∞-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）13.将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________. 【答案】23【解析】试题分析：根据题意显然这是一个古典概型，其基本事件有：数1，数2，语; 数1，语，数2;数2，数1，语; 数2，语，数1;语，数2，数1; 语，数1，数2共有6种，其中2本数学书相邻的有4种，则其概率为：42P 63==． 考点：古典概率的计算14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A 、B 、C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市； 由此可判断乙去过的城市为________. 【答案】A 【解析】试题分析：根据题意可将三人可能去过哪些城市的情况列表如下：可以得出结论乙去过的城市为：A ． 考点：命题的逻辑分析15.设函数()113,1,,1,x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是________.【答案】(,8]-∞ 【解析】试题分析：由于题中所给是一个分段函数，则当1x <时，由12x e -≤，可解得：1ln 2x ≤+，则此时：1x <;当1x ≥时，由132x ≤，可解得：328x ≤=，则此时：18x ≤≤，综合上述两种情况可得：(,8]x ∈-∞考点：1.分段函数;2.解不等式16.如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得 M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒.已知山高100BC m =，则山高MN =________m.【答案】150 【解析】试题分析：根据题意，在ABC ∆中，已知0045,90,100CAB ABC BC ∠=∠==，易得：1002AC =;在AMC ∆中，已知0075,60,1002MAC MCA AC ∠=∠==易得：045AMC ∠=，由正弦定理可解得：sin sin AC AM AMC ACM =∠∠，即：10023100322AM ==;在AMN ∆中，已知0060,90,1003MAN MNA AM ∠=∠==150MN m =.考点：1.空间几何体;2.仰角的理解;3.解三角形的运用三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根。
2014年考研数学一试题及完全解析(Word版)
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）下列曲线中有渐近线的是（ ）（A ）sin y x x =+ （B ）2sin y x x =+ （C ）1sin y x x =+ （D ）21sin y x x=+ 【答案】C【考点】函数图形的渐近线【解析】对于选项A ， lim(sin )x x x →∞+ 不存在，因此没有水平渐近线，同理可知，选项A 没有铅直渐近线， 而sinxlimlim x x y x x x→∞→∞+=不存在，因此选项A 中的函数没有斜渐近线； 对于选项B 和D ，我们同理可知，对应的函数没有渐近线；对于C 选项，1siny x x=+.由于1sin lim lim1x x x yx x x→∞→∞+==，又()1lim 1lim sin0x x y x x →∞→∞-⋅==.所以1sin y x x=+存在斜渐近线y x =.故选C. （2）设函数()f x 具有2阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]内（ ） （A ）当()0f x '≥时，()()f x g x ≥ （B ）当()0f x '≥时，()()f x g x ≤ （C ）当()0f x ''≥时，()()f x g x ≥ （D ）当()0f x ''≥时，()()f x g x ≤ 【答案】D【考点】函数图形的凹凸性 【解析】令()()()()(0)(1)(1)F x f x g x f x f x f x =-=---有(0)(1)0F F ==，()()(0)(1)F x f x f f ''=+-，()()F x f x ''''=当()0f x ''≥时，()F x 在[0,1]上是凹的，所以()0F x ≤，从而()()f x g x ≤.选D. （3）设(,)f x y 是连续函数，则21101(,)yy dy f x y dx ---=⎰⎰（ ）（A ）21110010(,)(,)x x dx f x y dy dx f x y dy ---+⎰⎰⎰⎰（B ）211011(,)(,)xx dx f x y dy dx f x y dy ----+⎰⎰⎰⎰（C ）112cos sin 02(cos ,sin )(cos ,sin )d f r r dr d f r r dr ππθθπθθθθθθ++⎰⎰⎰⎰（D ）112cos sin 02(cos ,sin )(cos ,sin )d f r r rdr d f r r rdr ππθθπθθθθθθ++⎰⎰⎰⎰【答案】D【考点】交换累次积分的次序与坐标系的变换 【解析】画出积分区域.21101(,)yy dy f x y dx ---=⎰⎰21111(,)+(,)x xdx f x y dy dx f x y dy ---⎰⎰⎰⎰或112cos sin 02(cos ,sin )(cos ,sin )d f r r rdr d f r r rdr ππθθπθθθθθθ++⎰⎰⎰⎰.故选D.（4）若{}2211,(cos sin )min (cos sin )a b Rx a x b x dx x a x b x dx ππππ--∈--=--⎰⎰，则11cos sin a x b x +=（ ）（A ）2sin x （B ）2cos x （C ）2sin x π （D ）2cos x π 【答案】A【考点】定积分的基本性质 【解析】222(cos sin )[2(cos sin )(cos sin )]x a x b x dx x x a x b x a x b x dx ππππ----=-+++⎰⎰22222[2cos 2sin cos 2sin cos sin ]x ax x bx x a x ab x x b x dx ππ-=--+++⎰22222[2sin cos sin ]x bx x a x b x dx ππ-=-++⎰2222202[2sin cos sin ]x bx x a x b x dx π=-++⎰333222222222(2)(4)[(2)4]32233b a b a b b a b ππππππππ=-++=+-+=+--+故当0,2a b ==时，积分最小.故选A.（5）行列式0000000a b abc d c d=（ ）（A ）2()ad bc - （B ）2()ad bc -- （C ）2222a dbc - （D ）2222b c a d - 【答案】B【考点】行列式展开定理 【解析】2141000000(1)0(1)000000000a b a b a b a ba c d cbcd d c d c d++=⨯-+⨯- 3323(1)(1)a b a b a d c b c d c d ++=-⨯⨯--⨯⨯-a b a bad bcc d c d=-+ 2()()a bbc ad ad bc c d=-=--.故选B. （6）设123,,ααα均为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的（ ）（A ）必要非充分条件 （B ）充分非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分也非必要条件 【答案】A【考点】向量组的线性无关的充要条件【解析】132312310(,)(,,)01k l k l ααααααα⎛⎫ ⎪++= ⎪ ⎪⎝⎭记132312310(,),(,,),01A k l B C k l ααααααα⎛⎫⎪=++== ⎪ ⎪⎝⎭若123,,ααα线性无关，则1323()()()2,r A r BC r C k l αααα===⇒++线性无关. 由1323,k l αααα++线性无关不一定能推出123,,ααα线性无关.如：123100=0=1=0000ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，1323,k l αααα++线性无关，但此时123,,ααα线性相关.故选A.（7）设随机事件A 与B 相互独立，且3.0)(,5.0)(=-=B A P B P ，则=-)(A B P （ ） （A ）0.1 (B)0.2 (C)0.3 (D)0.4 【答案】B【考点】概率的基本公式 【解析】()()()()()()P A B P A P AB P A P A P B -=-=- ()0.5()0.5()0.3()0.6P A P A P A P A =-==⇒=.()()()()()()0.50.50.60.2P B A P B P AB P B P A P B -=-=-=-⨯=.故选B.（8）设连续型随机变量21,X X 相互独立，且方差均存在，21,X X 的概率密度分别为)(),(21x f x f ，随机变量1Y 的概率密度为)]()([21)(211y f y f y f Y +=，随机变量)(21212X X Y +=，则（A ）2121,DY DY EY EY >> （B ）2121,DY DY EY EY == （C ）2121,DY DY EY EY <= （D ）2121,DY DY EY EY >= 【答案】D【考点】统计量的数学期望【解析】2121()2Y X X =+，2121211[()]()22EY E X X EX EX =+=+， 2121211[()]()24DY D X X DX DX =+=+.1121()[()()]2Y f y f y f y =+，1121221[()()]()22y EY f y f y dy EX EX EY +∞-∞=+=+=⎰.2222112121[()()]()22y EY f y f y dy EX EX +∞-∞=+=+⎰， 22222111121211()()()24DY EY EY EX EX EX EX =-=+-+ 2222121212122()()24EX EX EX EX EX EX ⎡⎤=+---⋅⎣⎦ 22121212124DX DX EX EX EX EX ⎡⎤=+++-⋅⎣⎦ 221212121()()24DX DX EX EX EX EX ⎡⎤≥+++-⋅⎣⎦ 2121221()4DX DX EX EX DY ⎡⎤=++-≥⎣⎦ 1212,EY EY DY DY ∴=>二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）曲面)sin 1()sin 1(22x y y x z -+-=在点)1,0,1(处的切平面方程为【答案】210x y z ---= 【考点】曲面的切平面【解析】22(,,)(1sin )(1sin )F x y z x y y x z =-+--22(1sin )cos x F x y x y '=--⋅，2cos 2(1sin )y F y x y x '=-⋅+-，1z F '=-∴(1,0,1)2x F '=，(1,0,1)1y F '=-，(1,0,1)1z F '=-曲面在点)1,0,1(处的切平面方程为2(1)(1)(0)(1)(1)0x y z -+--+--=，即210x y z ---=（10）设)(x f 是周期为4的可导奇函数，且]2,0[),1(2)(∈-='x x x f ，则=)7(f【答案】1【考点】函数的周期性 【解析】由于]2,0[),1(2)(∈-='x x x f ，所以2()(1),[0,2]f x x C x =-+∈ 又)(x f 是奇函数，(0)0f =，解得1C =-2()(1)1,[0,2]f x x x ∴=--∈)(x f 是以4为周期的奇函数，故2(7)(3)(1)(1)[(11)1]1f f f f ==-=-=---=（11）微分方程0)ln (ln =-+'y x y y x 满足条件3)1(e y =的解为=y【答案】21x y xe +=【考点】变量可分离的微分方程 【解析】(ln ln )0ln 0y xxy y x y y x y''+-=⇒+= ① 令yu x=，则y ux =，y u u x ''=+ 代入①，得ln 0u u x u u '+-=即(ln 1)u u u x-'=分离变量，得(ln 1)(ln 1)ln 1du d u dxu u u x-==--两边积分得1ln ln 1ln u x C -=+，即ln 1u Cx -=即ln1yCx x-= 代入初值条件3)1(e y =，可得2C =，即ln12yx x-= 整理可得21x y xe+=.（12）设L 是柱面122=+y x 与平面0=+z y 的交线，从z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分⎰=+Lydz zdx【答案】π【考点】斯托克斯公式 【解析】由斯托克斯公式，得0xyLD dydz dzdx dxdy zdx ydz dydz dzdx dydz dzdx x y z z yπ∑∑∂∂∂+==+=+=∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中{}22(,)1xy D x y x y =+≤（13）设二次型3231222132142),,(x x x ax x x x x x f ++-=的负惯性指数为1，则a 的取值范围是【答案】]2,2[-【考点】惯性指数、矩阵的特征值、配方法化二次型为标准形 【详解】 【解法一】二次型对应的系数矩阵为：O a a ≠⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0221001，记特征值为321,,λλλ则0011)(321=+-==++A tr λλλ，即特征值必有正有负，共3种情况； 故二次型的负惯性指数为⇔1特征值1负2正或1负1正1零；0402210012≤+-=-⇔a a a，即]2,2[-∈a【解法二】2222222212312132311332233(,,)2424f x x x x x ax x x x x ax x a x x x x a x =-++=++-+- 2222222213233123()(2)(4)(4)x ax x x a x y y a y =+--+-=-+-若负惯性指数为1，则240[2,2]a a -≥⇒∈-（14）设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他,02,32),(2θθθθx xx f ，其中θ是未知参数，n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本，若∑=ni i X c 12是2θ的无偏估计，则=c【答案】n52 【考点】统计量的数字特征 【解析】根据题意，有322222112()()()3n ni i i i x E c X c E X ncE X nc dx θθθ=====∑∑⎰4222221523425nc nc x c nθθθθθ=⋅==∴= 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）求极限)11ln(])1([lim2112xx dtt e t xtx +--⎰+∞→【考点】函数求极限、变限积分函数求导、等价无穷小、洛必达法则 【详解】11221122((1))((1))limlim11ln(1)xxttx x t e t dt t e t dtx x xx→+∞→+∞----=+⋅⎰⎰1122(1)1lim lim (1)1xx x x x e x x e x→+∞→+∞--==-- 2001111lim lim 22t t t t e t e t x t t ++→→---===令 （16）（本题满分10分）设函数)(x f y =由方程322+60y xy x y ++=确定，求)(x f 的极值【考点】极值的必要条件【解析】对方程两边直接求导：2223220y y x y xy y xyy '''++++= ① 令0y '=，得2y x =-，或0y =（舍去）将2y x =-代入原方程得 3660x -+= 解得1x =，此时2y =-. 对①式两端再求导，得222(32)2(3)()4()20y xy x y y x y y x y y ''''+++++++=将1x =，2y =-，0y '=代入上式，得 409y ''=>，即4(1)09f ''=> ()y f x ∴=在1x =处取极小值，极小值为(1)2f =-.（17）（本题满分10分）设函数)(u f 具有2阶连续导数，)cos (y e f z x =满足22222(4cos )x x z zz e y e x y∂∂+=+∂∂，若0)0(,0)0(='=f f ，求)(u f 的表达式. 【考点】多元函数求偏导、二阶常系数非齐次线性微分方程 【解析】由)cos (y e f z x=，知(cos )cos x x z f e y e y x ∂'=⋅∂，(cos )(sin )x x zf e y e y y∂'=⋅-∂ 22(cos )cos cos (cos )cos x x x x x zf e y e y e y f e y e y x∂'''=⋅⋅+⋅∂， 22(cos )(sin )(sin )(cos )(cos )x x x x x zf e y e y e y f e y e y y∂'''=⋅-⋅-+⋅-∂ 由22222(4cos )x xz z z e y e x y∂∂+=+∂∂，代入得 22(cos )[4(cos )cos ]x x x x x f e y e f e y e y e ''⋅=+即(cos )4(cos )cos x x x f e y f e y e y ''-= 令cos x u e y =，则()4()f u f u u ''-= 特征方程212402,2r r r -=⇒==- 齐次方程通解为2212uu y C eC e -=+设特解*y au b =+，代入方程得1,04a b =-=，特解*14y u =-原方程的通解为221214uu y C eC e u -=+-由(0)0,(0)0f f '==，得 1211,1616C C ==- 22111()16164u u y f u e e u -∴==--（18）（本题满分10分）设∑为曲面)1(22≤+=z y x z 的上侧，计算曲面积分dxdy z dzdx y dydz x I )1()1()1(33-+-+-=⎰⎰∑【考点】高斯公式【解析】因∑不封闭，添加辅助面2211:1x y z ⎧+≤∑⎨=⎩，方向向上．133(x 1)(y 1)(z 1)dydz dzdx dxdy ∑+∑-+-+-⎰⎰22(3(1)3(1)1)x y dxdydz Ω=-+-+⎰⎰⎰22(3633631)x x y y dxdydz Ω=++++++⎰⎰⎰22(337)x y dxdydz Ω=++⎰⎰⎰1220(z)(337)D dz x y dxdy =++⎰⎰⎰1220(37)4zdz d r rdr πθπ=+=⎰⎰⎰（其中(66)0x y dxdydz Ω+=⎰⎰⎰，因为积分区域关于,xoz yoz对称，积分函数(,)66f x y x y =+分别是,y x 的奇函数．）在曲面1∑上，133(1)(1)(1)0x dydz y dzdx z dxdy ∑-+-+-=⎰⎰ 故33(1)(1)(1)4x dydz y dzdx z dxdy π∑-+-+-=-⎰⎰． （19）（本题满分10分） 设数列}{},{n n b a 满足n n n n n b a a b a cos cos ,20,20=-<<<<ππ，且级数1n n b ∞=∑收敛.（I ）证明：;0lim =∞→n n a（II ）证明：级数∑∞=1n nnb a 收敛. 【考点】级数敛散性的判别【解析】证明：（I ）cos cos cos cos n n n n n n a a b a a b -=⇒=-0,022n n a b ππ<<<<，cos cos 00n n n n a b a b ∴->⇒<<级数1nn b∞=∑收敛，∴级数1nn a∞=∑收敛，lim 0n n a →∞=.（II ）解法1：2sinsin cos cos 22n n n nn n nn nna b a ba ab b b b +---==02n a π<<，02n b π<<，sin ,sin 2222n n n n n n n n a b a b a b a b ++--∴≤≤222222n n n nn nn nn n a b a b a b a b b b +--⋅-∴≤=222n n n b b b ≤=02n a π<<，02n b π<<，且级数1nn b∞=∑收敛，∴级数∑∞=1n nnb a 收敛. 解法2：cos cos 1cos n n n nn n na ab b b b b --=≤21cos 1cos 1lim lim 2n n n n n n n b b b b b →∞→∞--== ∵同阶无穷小有相同的敛散性，∴由1n n b ∞=∑⇒ 11cos n n n b b ∞=-∑收敛⇒∑∞=1n n n b a收敛（20）（本题满分11分）设E A ,302111104321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=为3阶单位矩阵.（I ）求方程组0=Ax 的一个基础解系； （II ）求满足E AB =的所有矩阵B .【考点】齐次线性方程组的基础解系、非齐次线性方程组的通解 【详解】对矩阵()A E 施以初等行变换1234100()0111010*******A E --⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭ 1205412301021310013141--⎛⎫⎪→--- ⎪ ⎪--⎝⎭ 100126101021310013141-⎛⎫⎪→--- ⎪ ⎪---⎝⎭ （I ） 方程组0=Ax 的同解方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===-=4443424132x x x x xx x x ，即基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1321（II ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001Ax 的同解方程组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=-=+-=01312244434241x x x x x x x x ，即通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-011213211k⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010Ax 的同解方程组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=-=+-=04332644434241x x x x x x x x ，即通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-043613212k ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100Ax 的同解方程组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=--=01312144434241x x x x x x x x ，即通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-011113213k ，123123123123261212321313431k k k k k k B k k k k k k -+-+--⎛⎫⎪--+ ⎪∴= ⎪--+ ⎪⎝⎭，321,,k k k 为任意常数（21）（本题满分11分）证明：n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00200100 相似 【考点】矩阵的特征值、相似对角化 【详解】设111111111A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，00100200B n ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭因为()1r A =，()1r B =所以A 的特征值为：n A tr n n ======-)(,0121λλλλB 的特征值为：n B tr n n =='='=='='-)(,0121λλλλ 关于A 的0特征值，因为1)()()0(==-=-A r A r A E r ，故有1-n 个线性无关的特征向量，即A 必可相似对角化于⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00 同理，关于B 的0特征值，因为1)()()0(==-=-B r B r B E r ，故有1-n 个线性无关的特征向量，即B 必可相似对角化于⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n 00 由相似矩阵的传递性可知，A 与B 相似. （22）（本题满分11分）设随机变量X 的概率分布为21}2{}1{====X P X P ，在给定i X =的条件下，随机变量Y 服从均匀分布)2,1)(,0(=i i U ，（I ）求Y 的分布函数)(y F Y ； （II ）求EY【考点】一维随机变量函数的分布、随机变量的数字特征（期望） 【详解】（I ）()()y F y P Y y =≤(1)(1)(2)(2)P X P Y y X P X P Y y X ==≤=+=≤=11(1)(2)22P Y y X P Y y X =≤=+≤= ① 当0y < 时，(y)0Y F =② 当01y ≤<时，1113(y)2224Y F y y y =+⨯= ③ 当12y ≤<时，1111(y)22224Y yF y =+⨯=+④ 当2y ≥时，11(y)122Y F =+=综上：003y 014(y)1122412Y y y F y y y <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪+≤<⎪⎪≥⎩（II ）随机变量Y 的概率密度为'30141(y)(y)1240Y Y y f F y ⎧<<⎪⎪⎪==≤<⎨⎪⎪⎪⎩其他12-013131133()4442424Y EY yf y dy ydy ydy +∞∞==+=⨯+⨯=⎰⎰⎰ （23）（本题满分11分）设总体X 的分布函数21,0(;)00x e x F x x θθ-⎧⎪-≥=⎨⎪<⎩，，其中θ是未知参数且大于零，12,,,n X X X 为来自总体X 的简单随机样本.（Ⅰ）求EX 与2EX ；（Ⅱ）求θ的最大似然估计量ˆnθ；（Ⅲ）是否存在实数a ，使得对任何0ε>，都有{}ˆlim 0nn P a θε→∞-≥=？ 【考点】统计量的数字特征、最大似然估计、估计量的评选标准（无偏性） 【解析】（Ⅰ）X 的概率密度为22,0(;)(;)0,0xx e x f x F x x θθθθ-⎧⎪≥'==⎨⎪<⎩222()(;)()x x xE X xf x dx x edx xd eθθθθ--+∞+∞+∞-∞==⋅=-⎰⎰⎰22200012222x x x xeedx edx θθθθπθπ+∞---+∞+∞=-+==⋅=⎰⎰ 22222202()(;)()x x x E X x f x dx x edx x d eθθθθ--+∞+∞+∞-∞==⋅=-⎰⎰⎰222220222x x x x xx ex edx x edx edx θθθθθθθ+∞----+∞+∞+∞=-+⋅=⋅=⋅=⎰⎰⎰（Ⅱ）设12,,,n x x x 为样本的观测值，似然函数为2112(),0(1,2,,),()(;)0,0ix n n ni i i i i x e x i n L f x x θθθθ-==⎧≥=⎪==⎨⎪<⎩∏∏当0(1,2,,)i x i n ≥=时，22111122()()()ni i i x nn x nni i i i L x ex eθθθθθ=--==∑==∏∏两边取对数，得2211112121ln ()lnln lnln nnnni ii ii i i i L n x x n x x θθθθθ=====+-=+-∑∑∑∏两边求导，得221ln ()1nii d L n xd θθθθ==-+∑令ln ()0d L d θθ=，得211n i i x n θ==∑ 所以，θ的最大似然估计量为211ˆn i i X n θ==∑.（Ⅲ）存在a θ=.因为{}2n X 是独立同分布的随机变量序列，且21EX θ=<+∞，所以根据辛钦大数定律，当n →∞时，211ˆnn i i X n θ==∑依概率收敛于21EX ，即θ. 所以对于任何0ε>都有{}ˆlim 0nn Pθθε→∞-≥=.。
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A．
6. 设一次函数 y = f ( x ) (x∈R)为奇函数，且 f (1) A. 5 2 B. 1
1 , f (5) 2
C. 3 D. 5
7．设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn，若 a1 5, a3 a7 6, 则当 Sn 取最小值时，n 等于 A. 9 B. 6 C. 3 D. 1
16．若定义域为 R 的奇函数 f ( x ) 满足 f (1 x) f ( x) ,则下列结论： ① f ( x ) 的图像过点（1,0） ； ③ f ( x ) 是周期函数，且 2 是它的一个周期； ② f ( x ) 的图像关于直线 x=1 对称； ④ f ( x ) 在区间（-1,1）上是单调函数；
2
D.
2
C. ABC 中， “A＜B”是“sinA＜sinB”成立的充要条件 3 D. x∈R，使 sin x + cos x = 成立 2 11．执行如图所示的程序框图，则输出的 n 为
1
A. 3
B. 6
C. 5
D.
4
1 2 x a) 12．已知函数 f ( x) log (2 在区间[ , ]上恒有 f ( x ) ＞0，则实数 a 的取值范围是 1 2 3 2 1 4 A. （ , ） 3 3 1 B. ( ,1) 2 C．(0, 1 ) 2 ． 1 D．( ,1) 3
a
0.08
(Ⅰ)求 a, b, c 的值，并估计该校本次考试的数学平均分； （Ⅱ）教导处为了解数学成绩在 60 分以下的学生在学习数学时存在的问题，现决定从第四组中，利用分 层抽样抽取 7 人，再从这 7 人中随机抽取两人谈话，求这两人都来自同一组的概率.
20． （本小题满分 12 分） 已知点 P(2,0)及椭圆 C: x 16 y 16 ．
新疆维吾尔自治区 2014 年普通高考第一次适应性检测数学（文）试题
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集 I= {1,2,3,4,5} ，M= {1, 2,5} ，N= {2,3,5} ，那么 CI (M∪N)= A． B．4 C． {1,3} D． {4}
23． （本小题满分 10 分）选修 4——4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，直线 C1 的参数方程为 C1 :
x 1 t (t为参数） ； 以 O 为极点， x 轴正 y 3 3t
半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 2 的极坐标方程为=2． （1）求曲线 C 2 的直角坐标方程，说明它表示什么曲线，并写出其参数方程； （2）过直线 C1 上的点向曲线=1 作切线，求切线长的最小值.
24． （本小题满分 10 分）选修 4 一 5:不等式选讲 已知函数 f ( x) x 2 a. （1）当 a =1 时，求 f ( x) 1 的解集； （2）若 f ( x) x 3 恒成立，求 a 的取
8
9
10
3
21． （本小题满分 12 分） 已知函数 f ( x) x 2x 2 a ln x(a是常数). （Ⅰ）当 a =1 时，求 f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程； 1 （Ⅱ）证若函数 f ( x ) 在区间[ ，3]上为单调函数，求 a 的取值范围. 2
请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的 第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22． （本小题满分 10 分）选修 4—1：几何证明选讲 如图，圆 O 的半径 OC 垂直于直径 AB，弦 CD 交半径 OA 于 E，过 D 的切线与 BA 的延长线于 M． （Ⅰ）已知∠BMD=40°,求∠MED： ； （Ⅱ）设圆 O 的半径为 1，MD= 3，求 MA 及 CD 的长．
19． （本小题满分 12 分） 某校共有 400 名高一学生，期中考试之后，为了解学生学习情况，用分层抽样方法从中抽出 c 名学生 的数学期中成绩，按成绩分组，制成如下的频率分布表： （低于 20 分 0 人） 组号 分组 频数 频率 第一组 [20,30) 2 0.04 第二组 [30,40) 2 0.04 第三组 [40,50) 4 0.08 第四组 [50,60) 6 b 第五组 [60,70) 15 0.3 第六组 [70,80) 第七组 [80,90) 14 0.28 第八组 [90,100) 3 0.06 合计 c 1
3 x y 3 2 若实数 x ， y 满足不等式组 x y 1 ，则 z 2 x 3 y 的最大值是 x y 1
A．13 B. 12 C．11 D．10 3．在复数范围内， i 为虚数单位，若实数 x ， y 满足 (1 i) x (1 i) y 2, 则 x- y 的值是 A．1 4．若 a sin B. 0 C. -2 D. -3
8. 已知函数 f ( x) 4a x1 (a 0且a 1) 的图像恒过一个定点 P，且过点 P 在直线 mx ny 1 0 上，则
2m 16n 的值是
A. 1 B. 2 C. 8 D. 4 9. 半径为 1 的球的内接正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱） 的侧面积为 3 3,则正三棱柱的高为 A. 2 2 B. 3 C. 2 3 10．下列命题是假命题的是 A．，∈R，使 tan(+)=tan+tan成立 B. x 0, 有 lg x lg x 1 0 成立
其中正确结论的序号是 （填上你认为所有正确结论的序号） 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17． （本小题满分 12 分） 已知 f ( x) 2sin( x
) cos( x ) 2 3 cos 2 ( x ) 3 (x∈R，0≤≤)是偶函数 . 2 2 2
2 5 5 , b tan , c cos ，则 7 7 7 A． a b c B． a c b
C． b c a
D． c b a
5．已知椭圆 2 2
x2 y 2 x2 y 2 1( a 0) 1 有相同的焦点，则椭圆的离心率为 与双曲线 a2 9 4 3
2 2
（Ⅰ）过点 P 的直线 l1 与椭圆交于 M、N 两点，且|MN|= 3，求以线段 MN 为直径的圆 Q 的方程； （Ⅱ）设直线 kx y 1 0 与椭圆 C 交于 A，B 两点，是否存在实数 k，使得过点 P 的直线 l2 垂直平分 弦 AB？若存在，求出实数 k 的值；若不存在，请说明理由.
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是
14．直线 l 的倾斜角满足 3sin=4cos,且它在 x 轴上的截距为 2，则直线 l 的方程是 15．在区间[-9,9]上随机取一实数 x ,函数 y
． ．
4 x2 的定义域为 D，则 x ∈D 的概率为 x 1
（I）求和 f ( x ) 的最小正周期； （II）在ABC 中，角 A、B、C 所对的边长分别为 a, b, c , a =5,b=3, f (C ) 1 ,求 c.
2
18． （本小题满分 12 分） 如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，∠ABC=90°，AB=BC=BB1=1，D 是 A1C 的中点. (Ⅰ)求 BD 的长； （Ⅱ）求证：平面 ABB1⊥平面 BDC.