高考文科数学押题卷(带答案)
文科数学押题卷(二)
一、选择题：本大题共12小题， 每小题5分， 共60分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ＝{x |x ≤2}， B ＝{0， 1， 2， 3}， 则A ∩B ＝( )
A ．{0， 1}
B ．{0， 1， 2}
C ．{1， 2}
D ．{0， 1， 2， 3}
2．已知复数z ＝1－2i
（1＋i ）2
， 则z 的虚部为( )
A ．－12
B ．12
C ．－12i
D ．12i
3．某商家今年上半年各月的人均销售额(单位：千元)与利润率统计表如下：
A ．利润率与人均销售额成正相关关系
B ．利润率与人均销售额成负相关关系
C ．利润率与人均销售额成正比例函数关系
D ．利润率与人均销售额成反比例函数关系
4．已知a ＝????13π， b ＝????1312， c ＝π1
2， 则下列不等式正确的是( )
A ．a >b >c
B ．b >a >c
C ．c >a >b
D ．c >b >a
5．已知某空间几何体的三视图如图所示， 其中正视图和侧视图是边长为3的正三角形， 则该几何体的体积为( )
A ．π
B ．
π2 C ．3π8 D ．π4
6．已知△ABC 的内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ， 若cos A ＝－35， cos B ＝4
5
， a
＝20， 则c ＝( )
A ．10
B ．7
C ．6
D ．5 7．函数f (x )＝ln|x |·sin x 的图象大致为( )
A B C D 8．执行如图所示的程序框图， 则输出的k 值为( )
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10
9．已知F 1， F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左、右焦点， B 为C 的短轴的一个端点， 直线
BF 1与C 的另一个交点为A ， 若△BAF 2为等腰三角形， 则|AF 1|
|AF 2|
＝( )
A ．13
B ．12
C ．2
3
D ．3
10．数学中有很多公式都是数学家欧拉(Leonhard Euler)发现的， 它们都叫欧拉公式， 分散在各个数学分支之中， 任意一个凸多面体的顶点数V 、棱数E 、面数F 之间， 都满足关系式V －E ＋F ＝2， 这个等式就是立体几何中的“欧拉公式”。若一个凸二十面体的每个面均为三角形， 则由欧拉公式可得该多面体的顶点数为( )
A ．10
B ．12
C ．15
D ．20
11．三棱锥S －ABC 中， SA ， SB ， SC 两两垂直， 已知SA ＝a ， SB ＝b ， SC ＝2， 且2a ＋b ＝5
2
， 则此三棱锥的外接球的表面积的最小值为( )
A ．21π4
B ．17π4
C ．4π
D ．6π
12．已知函数f (x )＝2x ＋log 32＋x 2－x
， 若不等式f ????
1m >3成立， 则实数m 的取值范围是( )
A ．(1， ＋∞)
B ．(－∞， 1)
C ．????
0，12 D ．????1
2，1 二、填空题：本大题共4小题， 每小题5分， 共20分。
13．设x ， y 满足约束条件?????x >0
y >0
x －y ＋1>0x ＋y －3<0
， 则z ＝2x －y 的取值范围为________。
14．部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形。谢尔宾斯基三角形是一种分形， 由波兰数学家谢
尔宾斯基1915年提出。具体操作是取一个实心三角形， 沿三角形的三边中点连线， 将它分成4个小三角形， 去掉中间的那一个小三角形后， 对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形， 如图。
现在上述图③中随机选取一个点， 则此点取自阴影部分的概率为________。
15．已知数列{a n }满足a n ＝n n ＋1
， 则a 1＋a 222＋a 332＋…＋a 2 018
2 0182＝________。
16．已知函数f (x )＝sin x cos ????π
6－x ， 把函数f (x )的图象向右平移m (m >0)个单位长度， 得到函数y
＝g (x )的图象， 若函数y ＝g (x )的图象关于y 轴对称， 则m 的最小值为________。
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题， 考生根据要求作答。 (一)必考题：共60分。
17．(本小题满分12分)△ABC 的内角A ， B ， C 所对的边分别为a ， b ， c ， 已知△ABC 的面积为 3
2
ac cos B ， 且sin A ＝3sin C 。 (1)求角B 的大小；
(2)若c ＝2， AC 的中点为D ， 求BD 的长。
18．(本小题满分12分)如图， 四边形ABCD 为平行四边形， 沿BD 将△ABD 折起， 使点A 到达点P 。
(1)点M ， N 分别在线段PC ， PD 上， CD ∥平面BMN ， 试确定M ， N 的位置， 使得平面BMN 平分三棱锥P －BCD 的体积；
(2)若AD ＝2AB ， ∠A ＝60°， 平面PBD ⊥平面BCD ， 求证：平面PCD ⊥平面PBD 。
19．(本小题满分12分)近年来，以马拉松为龙头的群众体育运动蓬勃发展，引领了全民健身新时尚。某城市举办城市马拉松比赛，比赛结束后采用分层抽样的方式随机抽取了100名选手，对选手的
(2)为了调查跑全程马拉松比赛是否需要志愿志提供帮助，现对100名选手进行调查，调查结果如下，
据此调查，能否有99%
附：K2＝n（ad－bc）2
（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）
(n＝a＋b＋c＋d)。
20．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左， 右焦点分别为F 1， F 2， 椭圆上存
在一点P 满足PF 1⊥F 1F 2， 且sin ∠F 2PF 1＝4
5
， △F 2PF 1的周长为6。
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)过椭圆C 的右焦点F 2作斜率存在且不为零的直线交椭圆于A ， B 两点， 如图， 已知直线l ：x ＝4， 过点A 作l 的垂线交l 于点M ， 连接F 2M ， MB ， 设直线F 2M ， MB 的斜率分别为k 1， k 2， 求证：k 2＝2k 1。
21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2ln x －x ＋1
x
。
(1)讨论f (x )的单调性；
(2)若a >0， b >0， 证明：ab 2 。 (二)选考题：共10分， 请考生在22、23两题中任选一题作答， 如果多做， 则按所做的第一题计分。 22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中， 直线l 的参数方程为?????x ＝1＋t cos α， y ＝t sin α (t 为参数)， 以坐标原点为极点、x 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线C 的极坐标方程为ρ＝8cos θ 1－cos2θ 。 (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)直线l 与曲线C 交于A ， B 两点， 过点(1， 0)且与l 垂直的直线l ′与曲线C 交于C ， D 两点， 求|AB |＋|CD |的最小值。 23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋2|。 (1)求不等式f (x )≤5的解集； (2)设f (x )的最小值m ， 若a ， b 为正实数， 且2a ＋3b ＝m ， 求证：1a ＋b ＋4 a ＋2b >m 。 参考答案与试题解析 1．B A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈B }＝{0， 1， 2}。故选B 。 2．A z ＝1－2i （1＋i ）2＝1－2i 2i ＝（1－2i ）·i －2＝i ＋2－2 ＝－1－12i ， 所以虚部为－1 2。故选A 。 3．A 画出利润率与人均销售额的散点图， 如图。由图可知利润率与人均销售额成正相关关系。故选A 。 4．D 函数y ＝????13x 在定义域内是减函数， 所以????13π ?130 ＝1<π12 ， 即a 2 ， 所以圆锥的 体积V ＝13π????322×32＝3π 8 。故选C 。 6．B 由cos A ＝－35， cos B ＝45， 得sin A ＝45， sin B ＝3 5 ， 所以sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋ cos A sin B ＝45×45－35×35＝725。根据正弦定理， 得a sin A ＝c sin C ， 即2045＝c 7 25 ， 解得c ＝7。故选B 。 7．A 由于f (－x )＝ln|－x |·sin(－x )＝－f (x )， 所以f (x )是奇函数， 图象关于原点对称， 又当0 8．C 初始值S ＝100， k ＝0， 第一次循环， S ＝99， k ＝2；第二次循环， S ＝95， k ＝4；第三次循环， S ＝79， k ＝6；第四次循环， S ＝15， k ＝8；第五次循环， S ＝－241， 此时满足S ≤－100， 输出k ＝8。故选C 。 9．A 如图， 不妨设点B 在y 轴的正半轴上， 根据椭圆的定义， 得|BF 1|＋|BF 2|＝2a ， |AF 1| ＋|AF 2|＝2a ， 由题意知|AB |＝|AF 2|， 所以|BF 1|＝|BF 2|＝a ， |AF 1|＝a 2， |AF 2|＝3a 2。所以|AF 1||AF 2|＝1 3 。故 选A 。 10．B 二十面体的每个面均为三角形， 每条棱都是两个面共用， 所以棱数E ＝20×3×1 2 ＝30， 面数F ＝20， 顶点数V ＝E －F ＋2＝12。故选B 。 11．A 由题意， 设三棱锥的外接球的半径为R ， 因为SA ， SB ， SC 两两垂直， 所以以SA ， SB ， SC 为棱构造长方体， 其体对角线即三棱锥的外接球的直径， 因为SA ＝a ， SB ＝b ， SC ＝2， 所以4R 2＝a 2＋b 2＋4＝a 2 ＋????52－2a 2 ＋4＝5(a －1)2＋214， 所以a ＝1时， (4R 2)min ＝214 ， 所 以三棱锥的外接球的表面积的最小值为21π 4 。故选A 。 12．D 由2＋x 2－x >0得x ∈(－2， 2)， 又y ＝2x 在(－2， 2)上单调递增， y ＝log 32＋x 2－x ＝ log 3x －2＋4 2－x ＝log 3????－1－4x －2在(－2， 2)上单调递增， 所以函数f (x )为增函数， 又f (1)＝3， 所以 不等式??? ??m f 1>3成立等价于不等式??? ??m f 1>f (1)成立， 所以? ??－2<1m <2 1m >1 ， 解得12 13．(－1， 6) 画出约束条件所表示的平面区域， 如图中阴影部分所示(不包括边界)， 画出直线2x －y ＝0, 平移该直线， 且直线与阴影部分有公共点时， 直线越靠近点A ， 目标函数z ＝2x －y 的取值越小， 直线越靠近点B ， 目标函数z ＝2x －y 的取值越大， 且过点A (0， 1)时， z ＝2×0－1＝－1， 过点B (3， 0)时， z ＝2×3－0＝6， 因为A ， B 两点不在约束条件表示的平面区域内， 所以目标函数z ＝2x －y 的取值范围是 (－1， 6)。 14.916 由题意可知每次挖去等边三角形的1 4 ， 设题图①中三角形的面积为1， 则题图②中阴影部分的面积为1－14＝34， 题图③中阴影部分的面积为????1－14????1－14＝????342＝916 ， 故在题图③中随机选取 一点， 此点来自阴影部分的概率为9 16 。 15.2 0182 019 由题意， 因为数列{a n }满足a n ＝n n ＋1， 所以数列??????a n n 2的通项公式为a n n 2＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1 ， 所以a 1＋a 222＋a 332＋…＋a 2 0182 0182＝1－12＋12－13＋…＋12 018－12 019＝1－12 019＝2 0182 019。 16.π6 f (x )＝sin x cos ????π6－x ＝sin x ????32cos x ＋1 2sin x ＝32 sin x cos x ＋12sin 2x ＝34sin2x ＋12·1－cos2x 2＝ 12????32sin2x －12cos2x ＋14＝12sin ? ???2x －π6＋14。将函数f (x )的图象向右平移m (m >0)个单位长度后， 得到函数 g (x )＝1 2sin ????2x －2m －π6＋14 ， 因为函数g (x )的图象关于y 轴对称， 所以－2m －π6＝k π＋π2(k ∈Z )， 解得m ＝－k π2－π3(k ∈Z )， 因为m >0， 所以取k ＝－1， 得m 的最小值为π 6 。 17．解：(1)因为S △ABC ＝12ac sin B ＝3 2ac cos B ， 所以tan B ＝3。 又0 3 。 (2)sin A ＝3sin C ， 由正弦定理得， a ＝3c ， 所以a ＝6。 由余弦定理得， b 2＝62＋22－2×2×6×cos60°＝28， 所以b ＝27。 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝（27）2＋22－622×2×27 ＝－7 14。 因为D 是AC 的中点， 所以AD ＝7。 所以 BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ＝22＋( 7)2－2×2× 7×??? ? ??-147＝13。 所以BD ＝13。 18．解：(1)因为CD ∥平面BMN ， 平面BMN ∩平面PCD ＝MN ， 所以CD ∥MN 。 要使平面BMN 平分三棱锥P －BCD 的体积， 则只需MN 平分△PCD 的面积， 则PM 2PC 2＝1 2 ， 即PM ＝22PC ， 同理PN ＝2 2 PD ， 所以当PM ＝ 22PC ， PN ＝2 2 PD 时， 平面BMN 平分三棱锥P －BCD 的体积。 (2)证明：设AB ＝1， 则AD ＝2， 在△ABD 中， 由余弦定理， 得BD ＝3， 所以AD 2＝AB 2＋BD 2， 所以AB ⊥BD ， 则PB ⊥BD 。 因为平面PBD ⊥平面BCD ， 平面PBD ∩平面BCD ＝BD ， 所以PB ⊥平面BCD ， 又CD ?平面BCD ， 所以PB ⊥CD 。 因为CD ∥AB ， 所以CD ⊥BD ， 因为PB ∩BD ＝B ， 所以CD ⊥平面PBD 。 因为CD ?平面PCD ， 所以平面PCD ⊥平面PBD 。 19．解：(1)作出如图所示的频率分布直方图。 由直方图可估计参加比赛的选手们的平均年龄是25×0.3＋35×0.36＋45×0.24＋55×0.06＋65×0.04＝36.8(岁)。 (2)由2×2列联表可得K 2 ＝100×（15×20－25×40）260×40×45×55 ≈8.249>6.635， 所以有99%的把握认为选手是否需要志愿者提供帮助与性别有关。 20．解：(1)在Rt △PF 1F 2中， sin ∠F 2PF 1＝45， 则|F 1F 2||PF 2|＝4 5 ， 因为|F 1F 2|＝2c ， 所以|PF 2|＝5 2 c ， 又|PF 1|＝32c ， 所以△PF 1F 2的周长为52c ＋3 2 c ＋2c ＝6c ＝6， 则c ＝1， 所以|PF 1|＋|PF 2|＝32c ＋5 2 c ＝4， 即2a ＝4， a ＝2， b 2＝a 2－c 2＝3， 故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2 3 ＝1。 (2)证明：设直线AB ：y ＝k (x －1)(k ≠0)， A (x 1， y 1)， B (x 2， y 2)， 由题易知M (4， y 1)， F 2(1， 0)， 联立?????x 24＋y 23＝1，y ＝k （x －1）， 得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， 由根与系数的关系可得?????x 1＋x 2＝8k 2 4k 2＋3 ， x 1x 2 ＝4k 2 －12 4k 2 ＋3， 因为点F 2(1， 0)在椭圆内， 所以Δ>0恒成立， k 1＝k MF 2＝y 13＝k （x 1－1） 3， k 2＝k MB ＝y 2－y 1x 2－4＝k （x 2－x 1）x 2－4 ， k 2－2k 1＝k （x 2－x 1）x 2－4－2k （x 1－1）3＝k ·－2x 1x 2＋5（x 1＋x 2）－8 3（x 2－4）＝k ·－2·4k 2－124k 2＋3＋5·8k 2 4k 2＋3－8 3（x 2－4） ＝ k ·－8k 2＋24＋40k 2－32k 2－243（x 2－4）（4k 2＋3）＝0。 所以k 2＝2k 1。 22．解：(1)消掉参数t ， 得直线l 的普通方程为x sin α－y cos α＝sin α。 由ρ＝8cos θ1－cos2θ， 得ρ＝4cos θ sin 2θ ， 即ρsin 2θ＝4cos θ， 两端乘ρ， 得ρ2sin 2θ＝4ρcos θ， 由极坐标与直角坐标的互化公式， 得y 2＝4x ， 即曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x ， (2)把? ????x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α代入y 2＝4x ， 得t 2sin 2α－4t cos α－4＝0， 设点A ， B 对应的参数分别为t 1， t 2， 则t 1＋t 2＝4cos αsin 2α， t 1t 2＝－4 sin 2α ， 所以|AB |＝|t 1－t 2|＝ （t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝ 16cos 2αsin 4α＋16sin 2α＝4sin 2α 。 用a ±π2代换α， 得|CD |＝4 cos 2α。 所以| AB |+|CD |= α 2sin 16 αcos 4αsin 42 22=+≥16,所以|AB |+|CD |的最小值为16。 23．解：(1)当x ≤－2时， 1－x －x －2≤5， 解得－3≤x ≤－2， 当－2 所以1a ＋b ＋4a ＋2b ＝1 3(2a ＋3b )????1a ＋b ＋4a ＋2b ＝1 3[(a ＋b )＋(a ＋2b )]????1a ＋b ＋4a ＋2b ＝13???? ?? 5＋a ＋2b a ＋b ＋4（a ＋b ）a ＋2b ≥13? ????5＋2a ＋2b a ＋b ·4（a ＋b ）a ＋2b ＝1 3 (5＋4)＝3＝m ， 又当且仅当a ＋2b a ＋b ＝4（a ＋b ） a ＋2b 时等号成立， 化简上式得3a ＝－4b 或a ＝0， 显然与a ， b 均为正 实数矛盾， 故等式不成立， 即1a ＋b ＋4 a ＋2b >m ， 不等式得证。 21．解：(1)由题意得， 函数f (x )的定义域为(0， ＋∞)， f ′(x )＝2x －1－1x 2＝－x 2＋2x －1x 2＝－（x －1）2 x 2 ≤0。 所以函数f (x )在(0， ＋∞)上单调递减。 (2)由题意得a ≠b ， 不妨设a >b >0， 则 ab ?ln a b < a b －1a b ?2ln a b －a b ＋1a b <0。 由(1)知f (x )是(0， ＋∞)上的减函数， 又a b >1， 所以f ??? ? a b 即f ???? a b ＝2ln a b －a b ＋1a b <0， 所以ab a － b ln a －ln b 2（a －b ）a ＋b ?ln a b >2??? ?a b －1a b ＋1。 令g (x )＝ln x －2（x －1）x ＋1， 则g ′(x )＝（x －1）2 x （x ＋1）2 ， 当x ∈(0， ＋∞)时， g ′(x )≥0， 即g (x )是 (0， ＋∞)上的增函数。 因为a b >1， 所以g ????a b >g (1)＝0， 所以ln a b >2??? ?a b －1a b