高考文科数学押题卷(带答案)
高考押题试卷文科数学(含答案)
高考押题试卷文科数学（含答案）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{|23,Z}A x x x =-<<∈，{2,1,0,1,2,3}B =--，则集合AB 为（ ）A ．{2,1,0,1,2}--B ．{1,0,1,2}-C ．{1,0,1,2,3}-D ．{2,1,0,1,2,3}-- 2．若复数i z x y =+（x ，R y ∈）满足()1i 3i z +=-，则x y +的值为（ ） A ．3- B ．4- C ．5- D ．6- 3．若1cos()43πα+=，(0,)2πα∈，则sin α的值为（ ） A.426- B ．426+ C.718D ．23 4．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件{A =两次的点数均为偶数且点数之差的绝对值为2}，则()P A =（ ） A ．19 B ．13 C ．49 D ．595．定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过90︒的正角.已知双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，当其离心率[2,2]e ∈时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（ ） A ．[0,]6πB ．[,]63ππ C.[,]43ππ D ．[,]32ππ6.某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为32π+，则它的表面积是（ ）A.313(3)2222π+ B ．3133()22242π++C.13222π+ D ．13224π+ 7．函数sin ln ||y x x =+在区间[3,3]-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知函数()()1312,2,22,2R,0,2x x x f x a x a a x +-⎧+≤⎪⎪=⎨⎪->∈≠⎪-⎩若()()()635f f f =-，则a 为（ ）A ．1B ．3425C ．22D ．34 9．执行下图的程序框图，若输入的x ，y ，n 的值分别为0，1，1，则输出的p 的值为（ ）A.81 B ．812 C.814 D ．81810．已知数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，数列{}n b 满足关系312123a a ab b b +++12n n n a b +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，则5S 的值为（ ）A ．454-B ．450-C ．446-D ．442-11．若函数()2ln f x m x x mx =+-在区间()0,+∞内单调递增，则实数m 的取值范围为（ ）A ．[]0,8B ．(]0,8C ．(],0-∞[)8,+∞D ．(),0-∞()8,+∞12．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,||,R)2A x πωϕ>><∈的图象如图所示，令()()'()g x f x f x =+，则下列关于函数()g x 的说法中不正确的是（ ）A. 函数()g x 图象的对称轴方程为()12x k k Z ππ=-∈B ．函数()g x 的最大值为22C. 函数()g x 的图象上存在点P ，使得在P 点处的切线与直线:31l y x =-平行 D ．方程()2g x =的两个不同的解分别为1x ，2x ，则12||x x -的最小值为2π 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．向量(,)a m n =，(1,2)b =-，若向量a ，b 共线，且||2||a b =，则mn 的值为 ． 14．已知点()1,0A -，()1,0B ，若圆228x y x +--6250y m +-=上存在点P 使0PA PB ⋅=，则m 的最小值为 ．15．设x ，y 满足约束条件240,20,10,x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪-≥⎩则32x y +的最大值为 ．16．在平面五边形ABCDE 中，已知120A ∠=︒，90B ∠=︒，120C ∠=︒，90E ∠=︒，3AB =，3AE =，当五边形ABCDE 的面积[63,93)S ∈时，则BC 的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且22cos cos B C -=2sin 3sin A A B .（1）求角C ； （2）若6A π∠=，ABC 的面积为3M 为AB 的中点，求CM 的长.18．如图所示的几何体P ABCD -中，四边形ABCD 为菱形，120ABC ∠=︒，AB a =，3PB a =，PB AB ⊥，平面ABCD ⊥平面PAB ，AC BD O =，E 为PD 的中点，G 为平面PAB 内任一点.（1）在平面PAB 内，过G 点是否存在直线l 使OE l ∥？如果不存在，请说明理由，如果存在，请说明作法；（2）过A ，C ，E 三点的平面将几何体P ABCD -截去三棱锥D AEC -，求剩余几何体AECBP 的体积.19．某校为缓解高三学生的高考压力，经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级800名学生中随机抽取100名学生进行测试，并将其成绩分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级，统计数据如图所示（视频率为概率），根据图中抽样调查的数据，回答下列问题：（1）试估算该校高三年级学生获得成绩为B 的人数；（2）若等级A 、B 、C 、D 、E 分别对应100分、90分、80分、70分、60分，学校要求当学生获得的等级成绩的平均分大于90分时，高三学生的考前心理稳定，整体过关，请问该校高三年级目前学生的考前心理稳定情况是否整体过关？（3）以每个学生的心理都培养成为健康状态为目标，学校决定对成绩等级为E 的16名学生（其中男生4人，女生12人）进行特殊的一对一帮扶培训，从按分层抽样抽取的4人中任意抽取2名，求恰好抽到1名男生的概率..20．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为22，且过点23,22P ，动直线l ：y kx m =+交椭圆C 于不同的两点A ，B ，且0OA OB ⋅=（O 为坐标原点） （1）求椭圆C 的方程.（2）讨论2232m k -是否为定值.若为定值，求出该定值，若不是，请说明理由. 21．设函数22()ln f x a x x ax =-+-()a R ∈. （1）试讨论函数()f x 的单调性；（2）如果0a >且关于x 的方程()f x m =有两解1x ，2x （12x x <），证明122x x a +>.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线1C ：3cos ,2sin x t y tαα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0a >），在以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：4sin ρθ=.（1）试将曲线1C 与2C 化为直角坐标系xOy 中的普通方程，并指出两曲线有公共点时a 的取值范围； （2）当3a =时，两曲线相交于A ，B 两点，求||AB 的值. 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()|21||1|f x x x =-++.（1）在给出的直角坐标系中作出函数()y f x =的图象，并从图中找出满足不等式()3f x ≤的解集；（2）若函数()y f x =的最小值记为m ，设,R a b ∈，且有22a b m +=，试证明：221418117a b +≥++.试卷答案一、选择题1-5:BCAAD 6-10:AADCB 11、12：AC二、填空题13．8- 14．16 15．22316．三、解答题17．解：（1）由22cos cos B C -=2sin sin A A B ，得22sin sin C B -=2sin sin A A B -.由正弦定理，得222c b a -=，即222c a b =+.又由余弦定理，得222cos 2a b c C ab+-===. 因为0C π<∠<，所以6C π∠=.（2）因为6A C π∠=∠=，所以ABC 为等腰三角形，且顶角23B π∠=.故21sin 2ABCSa B ==2a =4a =. 在MBC 中，由余弦定理，得222CM MB BC =+-2cos MB BC B ⋅=4162++⨯124282⨯⨯=.解得CM =.18．解：（1）过G 点存在直线l 使OE l ∥，理由如下： 由题可知O 为BD 的中点，又E 为PD 的中点， 所以在PBD 中，有OE PB ∥.若点G 在直线PB 上，则直线PB 即为所求作直线l ， 所以有OE l ∥；若点G 不在直线PB 上，在平面PAB 内，过点G 作直线l ，使l PB ∥， 又OE PB ∥，所以OE l ∥， 即过G 点存在直线l 使OE l ∥.（2）连接EA ，EC ，则平面ACE 将几何体分成两部分： 三棱锥D AEC -与几何体AECBP （如图所示）.因为平面ABCD ⊥平面PAB ，且交线为AB ， 又PB AB ⊥，所以PB ⊥平面ABCD . 故PB 为几何体P ABCD -的高.又四边形ABCD 为菱形，120ABC ∠=︒，AB a =，3PB a =，所以2ABCD S =⨯四边形223342a a =， 所以13P ABCD ABCD V S PB -=⋅=四边形23131332a a =. 又12OE PB ∥，所以OE ⊥平面ACD ，所以D AEC E ACD V V --==三棱锥三棱锥13ACD S EO ⋅=31148P ABCD V a -=， 所以几何体AECBP 的体积P ABCD D EAC V V V --=-=三棱锥333113288a a a -=.19．解：（1）从条形图中可知这100人中，有56名学生成绩等级为B ，故可以估计该校学生获得成绩等级为B 的概率为561410025=， 则该校高三年级学生获得成绩等级为B 的人数约有1480044825⨯=.（2）这100名学生成绩的平均分为1(321005690780370260)100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯91.3=（分），因为91.390>，所以该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关.（3）按分层抽样抽取的4人中有1名男生，3名女生，记男生为a ，3名女生分别为1b ，2b ，3b .从中抽取2人的所有情况为1ab ，2ab ，3ab ，12b b ，13b b ，23b b ，共6种情况，其中恰好抽到1名男生的有1ab ，2ab ，3ab ，共3种情况，故所求概率12P =. 20．解：（1）由题意可知2c a =， 所以222222()a c a b ==-，整理，得222a b =，①又点,22P 在椭圆上，所以有2223144a b+=，② 由①②联立，解得21b =，22a =，故所求的椭圆方程为2212x y +=. （2）2232m k -为定值，理由如下： 设1122(,),(,)A x y B x y ，由0OA OB ⋅=， 可知12120x x y y +=.联立方程组22,1,2y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，化简得222(12)4220k x kmx m +++-=， 由2222168(1)(12)0k m m k ∆=--+>， 得2212k m +>， 由根与系数的关系，得122412kmx x k +=-+，21222212m x x k -=+，③ 由12120x x y y +=，y kx m =+， 得1212()()0x x kx m kx m +++=，整理，得221212(1)()0k x x km x x m ++++=.将③代入上式，得22222224(1)01212m km k km m k k-+-⋅+=++.化简整理，得222322012m k k--=+，即22322m k -=. 21．解：（1）由22()ln f x a x x ax =-+-，可知2'()2a f x x a x =-+-=222(2)()x ax a x a x a x x--+-=. 因为函数()f x 的定义域为(0,)+∞，所以，①若0a >，则当(0,)x a ∈时，'()0f x <，函数()f x 单调递减，当(,)x a ∈+∞时，'()0f x >，函数()f x 单调递增；②若0a =，则当'()20f x x =>在(0,)x ∈+∞内恒成立，函数()f x 单调递增； ③若0a <，则当(0,)2ax ∈-时，'()0f x <，函数()f x 单调递减，当(,)2ax ∈-+∞时，'()0f x >，函数()f x 单调递增.（2）要证122x x a +>，只需证122x x a +>. 设()()g x f x '==-22a x a x +-， 因为()2220a g x x'=+>，所以()()g x f x '=为单调递增函数. 所以只需证()1202x x f f a +⎛⎫''>=⎪⎝⎭， 即证2121220a x x a x x -++->+，只需证122x x -++()12210x x a a+->.（*）又22111ln a x x ax m -+-=，22222ln a x x ax m -+-=，所以两式相减，并整理，得1212ln ln x x x x --+-()12210x x a a+-=.把()1221x x a a+-=1212ln ln x x x x --代入（*）式，得只需证121212ln ln 20x x x x x x --+>+-，可化为12112221ln 01x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭-+<+.令12x t x =，得只需证()21ln 01t t t --+<+. 令()()21ln 1t t t t ϕ-=-++（01t <<）， 则()()2411t t t ϕ'=-++()()22101t t t-=>+， 所以()t ϕ在其定义域上为增函数， 所以()()10t ϕϕ<=. 综上得原不等式成立.22．解：（1）曲线1C ：3cos ,2sin ,x t y t αα=+⎧⎨=+⎩消去参数t 可得普通方程为222(3)(2)x y a -+-=.由4sin ρθ=，得24sin ρρθ=.故曲线2C ：4sin ρθ=化为平面直角坐标系中的普通方程为22(2)4x y +-=.当两曲线有公共点时a 的取值范围为[1,5].（2）当3a =时，曲线1C ：33cos ,23sin ,x t y t =+⎧⎨=+⎩即22(3)(2)9x y -+-=，联立方程()2222(3)(2)9,24,x y x y ⎧-+-=⎪⎨+-=⎪⎩消去y ，得两曲线的交点A ，B 所在直线方程为23x =. 曲线22(2)4x y +-=的圆心到直线23x =的距离为23d =，所以||AB ==23. 解：（1）因为()|21||1|f x x x =-++=3,1,12,1,213,.2x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩ 所以作出函数()f x 的图象如图所示.从图中可知满足不等式()3f x ≤的解集为[1,1]-.（2）证明：从图中可知函数()y f x =的最小值为32，即32m =. 所以2232a b +=，从而227112a b +++=， 故221411a b +=++2222214[(1)(1)]()71a b a a b ++++=++2222214(1)[5()]711b a a b ++++≥++2222214(1)18[52]7117b a a b +++⋅=++. 当且仅当222214(1)11b a a b ++=++时，等号成立， 即216a =，243b =时，原式有最小值， 所以221418117a b +≥++得证.。
河南省郑州市九师联盟2023届高三考前押题卷文科数学试题(含答案解析)
河南省郑州市九师联盟2023届高三考前押题卷文科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．3，6，9B ．6，7．如图，某景区为方便游客，计划在两个山头间的距离，施工单位测得以下数据：两个山头的海拔高度在BC 同一水平面上选一点A 45MAN ∠= ，则M ，N 间的距离为（A ．1002mB ．120m8．已知抛物线2:4E x y =，圆:C x 的最小值为（）A ．2B ．221-9．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长均相等，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（A ．66B ．1310．已知12,F F 分别为双曲线E ：a 与E 的左、右两支分别交于,A B 两点．若为（）A ．23B ．311．已知函数()sin cos sin cos 1x x f x x x +=+，将图像，则（）A ．π为()f x的一个周期B ．()f x 的值域为[-1，1]C ．()g x 的图像关于直线0x =对称D ．曲线()y f x =在点ππ,44f⎛⎛-- ⎝⎝12．设22e ,,2e ln 24ln 4a b c ===-A ．a b c>>B ．c b a>>二、填空题三、解答题17．无论是国际形势还是国内消费状况，经济形势，各地均出台了促进经济发展的各项政策，积极应对当前的经济形势，取得了较好的效果．某市零售行业为促进消费，开展了新一轮的让利促销的活动，活动之初，利用各种媒体进行大量的广告宣传．为了解大众传媒对本次促销活动的影响，随机抽取了6个大型零售卖场，得到其宣传费用的数据如下：卖场123456宣传费用2356812销售额303440455060(1)求y 关于x 的线性回归方程，并预测当宣传费用至少多少万元时额能突破100万元；(2)经济活动中，人们往往关注投入和产出比，传费用的比为λ，若9λ≥，则称这次宣传策划是高效的，否则为非高效的．从这卖场中随机抽取3家，求这3家卖场中至少有附：参考数据11752i i i nx y =∑=，回归直线方程分别为：122ˆˆˆn i i i n x y nx y b a y bx x nx=∑-⋅==-，．(1)求证：平面1A DE ⊥平面ABB (2)求点E 到平面11AC D 的距离．20．已知椭圆(2222:1x y E a a b +=A ，B 两点，当l 为双曲线22x a -(1)求E 的方程；(2)若过B 作x 轴的垂线，垂足为交E 于点P ，直线PB 的斜率为21．已知函数()2ln af x x x=+(1)若()f x 有两个不同的零点，求(2)若函数()()22xg x f x ax =-12ln 2ln 3x x +>.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线(1)求C 的直角坐标方程以及C (2)若直线l 与C 交于点A ，B ，与参考答案：8．B【分析】设()00,P x y ，二次函数的性质和圆的半径即可得到答案9．A【分析】先选一组基底，再利用向量加法和减法的三角形法则和平行四边形法则将两条异面直线的方向向量用基底表示，然后利用夹角公式求异面直线【详解】设1AA c = ，AB a=，AC 由题意，111cos 602a b ⋅=⨯⨯=，1a AB c =+ ，1BC b a c =-+ ，11()()AB BC b a c a c ∴⋅=+⋅-+= ()2212a c a a c c AB =+=+⋅+ ()21111BC b a c=-+=++- 1111116cos 6AB BC AB BC AB BC ⋅∴==，∴异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为故选：A.10．C【分析】由双曲线的定义可求出求出答案.【详解】由双曲线的定义，得AF故答案为：114．32【分析】由数量积的运算律求出2a b ⋅=，再由向量的模长公式即可得出答案【详解】由()()2222a b a b a a b b +⋅-=-⋅-又2AC BD AB ==,所以π2APC ∠=,设球O 与PA ,PC 的切点分别为E ,F ,连接OE ,OF ,因为OE OF =,所以OPE ∠=所以πsin24OE OP ==222⨯=.即球O 的半径2R =,所以球O 的表面积ABC 为等边三角形，O 为AB 1AA ⊥ 平面ABC ，CO ⊂平面又1AA AB A = ，1,AA AB ⊂平面,O F 分别为1,AB A D 中点，∴1111111111332D A B C A B C V S B D -=⋅=⨯ 1BD ∴=，3122OF +∴==，则∴四边形CEFO 为平行四边形，EF ⊂ 平面1A DE ，∴平面1A DE （2）取11A C 中点M ，连接1B M111A B C 为等边三角形，M 为1AA ⊥ 平面111A B C ，1B M ⊂平面1111AA A C A ⋂= ，111,AA A C ⊂11//B D CC ，1B D ⊄平面1ACC ∴点D 到平面11ACC A 的距离即为点22112222A D C D ==+= ，1112772A C D S ∴=⨯⨯= ；又1112112A C E S =⨯⨯= ，1B M =设点E 到平面11AC D 的距离为d 解得：217d =，即点E 到平面20．(1)22142x y +=(2)3【分析】（1）根据离心率、渐近线方程和点到直线距离公式即可得到相关方程，解出即可；（2）设()()1122,,,A x y P x y ,则B 与椭圆方程联立得到韦达定理式，计算【详解】（1）设E 的半焦距为【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是计算出直线到韦达定理式，再计算出1y+答案第15页，共15页。
2023年高考押题预测卷01卷-文科数学(全国乙卷)(原卷及解析版)
①年宣传费x＝49时,年销售量及年利润的预报值是多少？
②年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大？
附：对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ＝ , ＝ － .
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
评卷人
得分
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，则A∪B=
A.（–1，1）B.（1，2）C.（–1，+∞）D.（1，+∞）
2.已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝ .若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为()
A.4 B.－4 C. D.－
3.设 ，则“ ”是“ ”的
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.若x1= ，x2= 是函数f(x)= ( >0)两个相邻的极值点，则 =
A. 2 B. C. 1 D.
5.设变量 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为
A. 2B. 3C. 5D. 6
绝密启用前|
2023年高考押题预测卷01（全国乙卷）
文科数学
（考试时间：150分钟试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
高考文科数学押题卷(带答案)
文科数学押题卷(二)一、选择题：本大题共12小题， 每小题5分， 共60分。
在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ＝{x |x ≤2}， B ＝{0， 1， 2， 3}， 则A ∩B ＝( )A ．{0， 1}B ．{0， 1， 2}C ．{1， 2}D ．{0， 1， 2， 3}2．已知复数z ＝1－2i（1＋i ）2， 则z 的虚部为( )A ．－12B ．12C ．－12iD ．12i3．某商家今年上半年各月的人均销售额(单位：千元)与利润率统计表如下：月份 1 2 3 4 5 6 人均销售额 6 5 8 3 4 7 利润率(%) 12.6 10.4 18.5 3.0 8.1 16.3根据表中数据， 下列说法正确的是( )A ．利润率与人均销售额成正相关关系B ．利润率与人均销售额成负相关关系C ．利润率与人均销售额成正比例函数关系D ．利润率与人均销售额成反比例函数关系4．已知a ＝⎝⎛⎭⎫13π， b ＝⎝⎛⎭⎫1312， c ＝π12， 则下列不等式正确的是( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >a >b D ．c >b >a5．已知某空间几何体的三视图如图所示， 其中正视图和侧视图是边长为3的正三角形，则该几何体的体积为( )A ．πB ．π2C ．3π8D ．π46．已知△ABC 的内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ， 若cos A ＝－35， cos B ＝45， a ＝20， 则c ＝( )A ．10B ．7C ．6D ．5 7．函数f (x )＝ln|x |·sin x 的图象大致为( )A B C D8．执行如图所示的程序框图， 则输出的k 值为( )A ．4B ．6C ．8D ．109．已知F 1， F 2为椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点， B 为C 的短轴的一个端点，直线BF 1与C 的另一个交点为A ， 若△BAF 2为等腰三角形， 则|AF1||AF2|＝( )A ．13B ．12C ．23 D ．310．数学中有很多公式都是数学家欧拉(Leonhard Euler)发现的， 它们都叫欧拉公式， 分散在各个数学分支之中， 任意一个凸多面体的顶点数V 、棱数E 、面数F 之间， 都满足关系式V －E ＋F ＝2，这个等式就是立体几何中的“欧拉公式”。
河南省部分学校2023届高三押题信息卷(一)文科数学试题含解析
2022～2023学年高三押题信息卷文科数学（一）（答案在最后）注意事项：1．本卷满分150分，考试时间120分钟．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑．答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．5．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{|3},{ln(1)}A x xB x y x =≤=∈=-Z ∣，则A B = （）A.{1,0}-B.{0,1}C.{2,3}D.{0,1,2}【答案】C 【解析】【分析】解绝对值不等式求得集合A ，求函数的定义域求得集合B ，由此求得A B ⋂.【详解】{|3}{33}A x x xx =≤=-≤≤∣，.{ln(1)}{1}B x y x x x =∈=-=∈>Z Z ∣∣，所以{2,3}A B = ．故选：C2.已知复数z 满足3i 2z z +=，则()1i z -=（）A.5B.5C.5D.35【答案】B 【解析】【分析】法一：根据复数运算求解可得()32i 5z +=，再代入计算()1i z -即可；法二：根据复数的模长性质可得2i 3z -=，进而可得5z =，从而求解()1i z -即可.【详解】法一：由已知得()2i 3z -=，()()()()32i 32i 32i 2i 2i 5z ++∴===--+3(2i)(1i)93(1i)i 555z +-∴-==-93|(1i)|i 555z ∴-=-=．法二：由已知得()2i 3z -=，故2i 3z -=35||3,||5z z =∴=．|(1i)||1i |||55z z -=-==.故选：B ．3.三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥面ABC ，.AB BC ⊥则下列两条直线中，不互相垂直的是（）A.1AA 和BCB.1AB 和1BCC.1A B 和BCD.AB 和1B C【答案】B 【解析】【分析】根据线面垂直的性质以及判定即可得到线线垂直，由选项即可逐一求解.【详解】对于A ，因为1AA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1AA BC ⊥；对于B ，1AB 与1BC 不一定垂直；对于C ，因为1AA BC ⊥，AB BC ⊥，且1AA AB A = ，1,AA AB ⊂平面11ABB A ,所以BC ⊥平面11ABB A ，1AB ⊂平面11ABB A ,所以1AB BC ⊥；对于D ，因为1AA ⊥平面ABC ，11//CC AA ，所以1CC ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ,所以1CC AB ⊥，又AB BC ⊥，且1BC CC C ⋂=，1,BC CC ⊂平面11BCC B ,所以AB ⊥平面11BCC B ，又1B C ⊂平面11BCC B ，所以1AB B ⊥C .故选：B ．4.抛掷一枚骰子两次，第一次得到的点数记为x ，第二次得到的点数记为y ，则平面直角坐标系xOy 中，点(),x y 到原点O 的距离不大于4的概率为（）A.16B.736C.29D.14【答案】C 【解析】【分析】根据古典概型公式计算可得.【详解】基本事件共有36个，而满足点(,)x y 到原点O 的距离不大于4的基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2)共8个，所求概率为82369=．故选:C ．5.已知tan(),tan()αβαβ+-是方程2560x x ++=的两个根，则tan 2α=（）A.1- B.1C.2- D.2【答案】B 【解析】【分析】利用两角和的正切公式计算．【详解】由于tan(),tan()αβαβ+-是方程2560x x ++=的两个根，所以tan()tan()5αβαβ++-=-，tan()tan()6αβαβ+⋅-=，所以tan()tan()5tan 211tan()tan()16αβαβααβαβ++--===-+⋅--．故选：B ．6.执行下边的程序框图，输出的n =（）A.3B.4C.5D.6【答案】B 【解析】【分析】根据框图循环计算即可.【详解】执行第一次循环，2123b b a =+=+=，312,12a b a n n =-=-==+=，222231220.0124b a -=-=>；执行第二次循环，2347b b a =+=+=，725,13a b a n n =-=-==+=，222271220.01525b a -=-=>；执行第三次循环，271017b b a =+=+=，17512,14a b a n n =-=-==+=，2222171220.0112144b a -=-=<，此时输出4n =.故选：B7.如图，在平行四边形ABCD 中，,M N 分别为,AB AD 上的点，且42,53AM AB AN AD ==，连接,AC MN 交于P 点，若AP AC λ=，则λ的值为（）A.35B.57C.411D.815【答案】C 【解析】【分析】选,AB AD 为基底分别把,AP AC 表示出来，然后代入AP AC λ=中，,AB AD 的系数对应相等即可；本题也可以用排除法，显然12AP AC <，故12λ<，只有C 选项满足，故选C.【详解】设MP kMN=则45AP AM MP AB k MN=+=+显然2435MN AN AM AD AB=-=-得()42424153535k AP AB k AD AB AD k AB ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭显然AC AD AB=+因为AP ACλ=所以有()()24135k AD k AB AD AB λ+-=+ 即()24135k AD k AB AD AB λλ+-=+ 根据向量的性质可知()23415kk λλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得611411k λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故选：C8.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 过点F 与C 交于,A B 两点，若25||||4AF BF ⋅=，则直线l 的斜率为（）A.2B.54±C.32±D.43±【答案】D 【解析】【分析】根据题意设直线:(1)l y k x =-，()()1122,,,A x y B x y ，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理即可求解.【详解】抛物线的焦点(1,0)F ，准线方程为 1x =-，设直线:(1)l y k x =-，()()1122,,,A x y B x y ，联立2(1),4,y k x y x =-⎧⎨=⎩得()2222220k x k x k -++=．则()21212222,1k x x x xk++==，()()()()21212122222425||||1111144k AF BF x x x x x x k k +⋅=++=+++=++=+=，解得43k =±．故选：D ．9.设()f x 是定义在R 上的周期为5的奇函数，(3)0f =，则()f x 在[0,10]内的零点个数最少是（）A.4B.6C.7D.9【答案】D 【解析】【分析】利用函数的周期性、奇偶性求区间零点的个数.【详解】因为()f x 是定义在R 上的周期为5的奇函数，所以(0)(5)(10)0f f f ===，又(3)0f =，所以(3)(8)f f =，则55(3)(2)(7)0,22f f f f f ⎛⎫⎛⎫-===-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则5555222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．所以5515550,5022222f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-===+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故零点至少有5150,2,,3,5,7,8,,1022，则()f x 在[0,10]内的零点个数最少是9．故选：D10.日常生活中，我们定义一个食堂的菜品受欢迎程度为菜品新鲜度．其表达式为R Nσ=，其中R 的取值与在本窗口就餐人数有关，其函数关系式我们可简化为 5.7547018.6xy -=+，其中y 为就餐人数（本窗口），x 为餐品新鲜度()R ，则当2N =，2000σ=时，y 近似等于（）（已知.75658.6 4.2310--≈⨯）A.470B.471C.423D.432【答案】A 【解析】【分析】根据题目将数据代入公式，结合指数函数单调性求解即可.【详解】当2N =，2000σ=时，200010002x R N σ====，因为.75658.6 4.2310--≈⨯，且 5.758.6x -单调递减，所以 5.7510008.60-⨯→，所以当1000x =时47047010y ≈=+，故选：A11.若关于x 的方程sin 22cos 22x x +=-在[0,π)内有两个不同的解,αβ，则cos()αβ-的值为（）A.5-B.5C. D.5【答案】D 【解析】【分析】利用辅助角公式化简已知方程，求得αβ-，进而求得cos()αβ-.【详解】关于x 的方程sin 22cos 22x x +=-在[0,π)内有两个不同的解,αβ，即sin(2)12x θ+=-（cos ,sin 55θθ==，取θ为锐角）在[0,π)内有两个不同的解,αβ，即方程sin(2)5x θ+=-在[0,π)内有两个不同的解,αβ．不妨令0παβ≤<<，由[0,π)x ∈，则2[,2π)x θθθ+∈+，所以sin(2),sin(2)55αθβθ+=-+=-，所以sin sin(2)sin(2)θαθβθ=-+=-+．则2π,22παθθβθθ+=++=-，即22π2αβθ-=-+，所以ππ,cos()cos sin 225αβθαβθθ⎛⎫-=-+-=-==⎪⎝⎭．故选：D ．12.已知菱形ABCD 的边长为2，60BAD ∠= ，将BCD △沿对角线BD 翻折，使点C 到点P 处，且二面角A BD P --的平面角的余弦值为13-，则此时三棱锥P ABD -的外接球的体积与该三棱锥的体积比值为（）A.223 B.82π3C.4πD.【答案】C 【解析】【分析】根据菱形性质和二面角平面角定义可知1cos 3AOP ∠=-，利用余弦定理求得PA 后，结合勾股定理可知PD DA ⊥，PB BA ⊥，由此可确定三棱锥的外接球半径为12PA =，代入球的体积公式可求得外接球体积；根据BD ⊥平面AOP ，结合棱锥体积公式可求得P ABD V -，作比即可得到结果.【详解】连接BD AC ，交于O ，连接PO ，易得O 为BD 与AC 的中点，四边形ABCD 为菱形，AC BD ∴⊥，即AO BD ⊥，PO BD ⊥，∴二面角A BD P --的平面角为AOP ∠，1cos 3AOP ∴∠=-；又2AB AD ==，60BAD ∠=，AO PO ∴==，2BD =；在AOP中，由余弦定理得：PA =；2PD AD == ，2PB AB ==，22222PD AD PB AB PA ∴+=+=，PD DA ∴⊥，PB BA ⊥，∴三棱锥P ABD -的外接球球心为PA中点，半径为12PA =∴三棱锥P ABD -的外接球体积3482ππ33V =⨯=；AO BD ⊥ ，PO BD ⊥，AO PO O = ，,AO PO ⊂平面AOP ，BD ∴⊥平面AOP ，1cos ,0180,3AOP AOP ∠=-︒<∠<︒ 22sin 3AOP ∴∠=，1sin 2AOP S AO PO AOP ∴=⋅∠= 12233P ABD AOP V S BD -∴=⋅=，∴三棱锥P ABD -的外接球的体积与该三棱锥的体积之比为82π34π3P ABDV V -==.故选：C .【点睛】关键点点睛：本题考查多面体的外接球问题的求解，解题关键是能够结合二面角的大小和勾股定理确定三棱锥的侧面PDA 和PBA 为直角三角形，并且有公共斜边PA ，结合直角三角形的性质确定三棱锥外接球球心即为PA 的中点.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.椭圆2214924y x +=与双曲线22124x y -=有公共点P ，则P 与双曲线两焦点连线构成三角形的周长为_________．【答案】24【解析】【分析】根据椭圆与双曲线方程得到椭圆与双曲线具有共同的焦点()10,5F ，()20,5F -，从而得到P 与双曲线两焦点的距离之和1214PF PF +=，再根据1210F F =，求出周长.【详解】由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点()10,5F ，()20,5F -，由椭圆定义可知：1214PF PF +=，故P 与双曲线两焦点的距离之和为14，又1210F F =，因此P 与双曲线两焦点连线构成三角形的周长为141024+=.故答案为：2414.在ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，满足cos cos sin A B C a b c +=，则sin sin sin CA B=_______．【答案】1【解析】【分析】解法1，先用正弦定理边角互化，再用和差和诱导公式求解即可；解法2：先用射影定理化简，用正弦定理边角互化即可求解.【详解】解法1：cos cos sin cos cos sin 1sin sin sin A B C A B Ca b c A B C+=⇒+==，而()()sin sin cos cos cos sin cos sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin A B C A B A B B A CA B A B A B A B A B π+-++====，∴sin 1sin sin CA B=．解法2：由射影定理，cos cos cos cos A B b A a B ca b ab ab++==，又由题意，cos cos sin A B C a b c +=，∴sin c C ab c =，故2sin c C ab =，∴2sin sin sin sin CC A B=，∵0C π<<，∴sin 0C >，故sin 1sin sin CA B=．故答案为：115.已知2()(,)f x x ax b a b =++∈R 在(0,1)和(1,2)上各有一个零点，则(1)f -的取值范围是________．【答案】(2,6)【解析】【分析】根据函数零点的定义，结合可行域进行求解即可.【详解】2()f x x ax b =++ 在(0,1)和在(1,2)上各有1个零点，()()()00,110,2420,f b f a b f a b ⎧=>⎪∴=++<⎨⎪=++>⎩画出它的可行域，如图所示：ABC 的内部．令(1)1z f a b =-=-+，则1b a z =-+，如图，当1b a z =-+过(1,0)B -时，2z =；当1b a z =-+过(3,2)A -时，6z =，故(1)f -的取值范围是(2,6)．故答案为：(2,6)16.若0a >，0b >，且(2e )ln (2e )ln at b a b b a a +-≥-，则实数t 的取值范围是________．【答案】[)e,+∞【解析】【分析】由已知等式可得2e ln b bt a a⎛⎫-≥-⎪⎝⎭，令0b x a =>，令()()2e ln f x x x =-，其中0x >，利用导数求出函数()f x 的最小值，可得出关于t 的不等式，即可解得实数t 的取值范围.【详解】因为()()2e ln 2e ln at b a b b a a +-≥-，所以()()2e ln ln 0at b a b a +--≥，因为0a >，所以2e ln b bt a a⎛⎫-≥-⎪⎝⎭，令0bx a=>，令()()2e ln f x x x =-，其中0x >，则()2e ln 1f x x x '=+-，其中0x >，因为函数ln 1y x =+、2ey x=-在()0,∞+上为增函数，所以，函数()f x '在()0,∞+上为增函数，又()2ee ln e 10ef '=+-=，由()0f x '<可得0e x <<，由()0f x ¢>可得e x >，所以，函数()f x 的单调递减区间()0,e ，单调递增区间为()e,+∞，所以，()()()min e e 2e ln e e f x f ==-=-，所以，e t -≤-，即e t ≥.故t 的取值范围为[)e,+∞．故答案为：[)e,+∞．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.某手机商家为了更好地制定手机销售策略，随机对顾客进行了一次更换手机时间间隔的调查．从更换手机的时间间隔不少于3个月且不超过24个月的顾客中选取350名作为调查对象，其中男性顾客和女性顾客的比值为32，商家认为一年以内（含一年）更换手机为频繁更换手机，否则视为未频繁更换手机．现按照性别采用分层抽样的方法随机抽取105人，并按性别分为两组，得到如下表所示的频数分布表：时间间隔（月）[]3,6(]6,9(]9,12(]12,15(]15,18(]18,21(]21,24男性x89191284女性y25121172（1）计算表格中,x y 的值；（2）请根据频率分布表填写22⨯列联表，并判断是否有99%以上的把握认为“频繁更换手机与性别有关”？频繁更换手机未频繁更换手机合计男性顾客女性顾客合计附表及公式：()20P K k ≥0.1000.0500.0100.0010k 2.7063.8416.63510.82822()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．【答案】（1）3,3x y ==（2）表格见解析，没有【解析】【分析】（1）根据男性顾客和女性顾客的比值、分层抽样的知识求得,x y .（2）根据已知条件填写22⨯列联表，计算2K 的值，由此作出判断.【小问1详解】由题知男性顾客共有33502105⨯=人，女性顾客共有23501405⨯=人，按分层抽样抽取105人，则应该抽取男性顾客21010563350⨯=人，女性顾客14010542350⨯=人；所以63(89191284)3,42(25121172)3x y =-+++++==-+++++=．【小问2详解】由频率分布表可知，在抽取的105人中，男性顾客中频繁更换手机的有20人，女性顾客中频繁更换手机的有10人，据此可得22⨯列联表：频繁更换手机未频繁更换手机合计男性顾客204363女性顾客103242合计3075105所以22()0.778()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=≈++++．因为0.778 6.635<，所以没有99%以上的把握认为“频繁更换手机与性别有关”.18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()221,30log 1n n n n S a b S =-=-+．（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）定义,*,a a ba b b a b>⎧=⎨≤⎩，记*n n n c a b =，求数列{}n c 的前20项和20T ．【答案】（1）12n n a -=，30n b n=-（2）1048679【解析】【分析】（1）根据,n n S a 的关系可得{}n a ，再代入求解{}n b 即可；（2）由（1）可得12n n a -=，30n b n =-，再逐项列举分析可得当6n ≥时，n n a b >，当5n ≤时，n n a b <，进而求解20T 即可.【小问1详解】因为21n n S a =-，当1n =时，1121S a =-，解得11a =；当2n ≥时，1121n n S a --=-，所以()112121n n n n S S a a --=----，即122n n n a a a -=-，所以12n n a a -=，即{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，所以12n n a -=，2121n n n S a =-=-，则()230log 130n n b S n =-+=-．【小问2详解】因为12n n a -=，即数列{}n a 为递增数列，30n b n =-，即数列{}n b 单调递减．12345629,28,27,26,25,24,b b b b b b ====== ，1234561,2,4,8,16,32,a a a a a a ====== ，所以当6n ≥时，n n a b >，当5n ≤时，n n a b <，所以,5,*, 6.n n n nn b n c a b a n ≤⎧==⎨≥⎩所以2012345620T b b b b b a a =+++++++ ()()151532125212b b -+=+-201352321048679=+-=．19.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为2，圆224x y +=与椭圆C 恰有两个公共点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知结论：若点()00,x y 为椭圆22221x y a b+=上一点，则椭圆在该点处的切线方程为00221x x y y a b +=．若椭圆C 的短轴长小于4，过点(8,)T t 作椭圆C 的两条切线，切点分别为,A B ，求证：直线AB 过定点．【答案】（1）22154x y +=或22143x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设椭圆C 的半焦距为c ，再分圆224x y +=在椭圆C 的内部和外部两种情况分别求解即可；（2）由题意椭圆C 的方程为22143x y +=，再设()()1122,,,A x y B x y ，得出切线,AT BT 的方程，将(8,)T t 代入,AT BT 可得,A B 的坐标都满足方程630x ty +-=即可得定点.【小问1详解】设椭圆C 的半焦距为c ．当圆224x y +=在椭圆C 的内部时，2222,1,5b c a b c ===+=，椭圆C 的方程为22154x y +=．当圆224x y +=在椭圆C 的外部时，2222,1,3a c b a c ===-=，椭圆C 的方程为22143x y +=．【小问2详解】证明：设()()1122,,,A x y B x y ．因为椭圆C 的短轴长小于4，所以C 的方程为22143x y +=．则由已知可得，切线AT 的方程为111,43x x y y BT +=的方程为22143x x y y+=，将(8,)T t 代入,AT BT 的方程整理可得，1122630,630x ty x ty +-=+-=．显然,A B 的坐标都满足方程630x ty +-=，故直线AB 的方程为630x ty +-=，令0y =，可得12x =，即直线AB 过定点1,02⎛⎫⎪⎝⎭．20.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PBC ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，,O E 分别是,BC PA 的中点，平面α经过点,,O D E ，且与棱PB 交于点F ．（1）试用所学知识确定F 在棱PB 上的位置；（2）若2PB PC CD ===，求多面体POCDEF 的体积．【答案】（1）F 在棱PB 的靠近B 的三等分点处（2）9．【解析】【分析】（1）过P 作直线l 与BC 平行，延长DE 与l 交于点G ，连接OG ，根据线面相交于平行的性质判断即可；（2）多面体POCDEF 的体积P OCD E POD E POF V V V V ---=++，再根据锥体体积公式，结合线面垂直的判定与性质求解即可.【小问1详解】过P 作直线l 与BC 平行，则//l AD ，故,l AD 共面，延长DE 与l 交于点G ，连接,OG OG 与PB 的交点即为点F ．因为底面ABCD 是正方形，O 是BC 的中点，所以AD BC ∥，且2AD OB =．又l BC ∥，所以l AD ∥，因为E 是PA 的中点，可得PG AD =，则2PG OB =，由平行线间交叉线的性质可得，PGF BOF ，所以2PF BF =．故F 在棱PB 的靠近B 的三等分点处．【小问2详解】连接,OP OE ，多面体POCDEF 的体积P OCD E POD E POF V V V V ---=++．因为2,PB PC O ==为BC 中点，所以22,3PO BC PO PC OC ⊥=-．又平面PBC⊥平面ABCD ，平面PBC ⋂平面,ABCD BC PO =⊂平面PBC ，PO ⊥平面BC ，所以PO ⊥平面ABCD ，而OD ⊂平面ABCD ，所以PO OD ⊥，所以11131233323P OCD OCD V S PO -=⨯⨯=⨯⨯⨯=△．因为E 为PA 中点，所以111113223222323E POD A POD P OAD V V V ---===⨯⨯⨯⨯=．因为F 为PB 的靠近B 的三等分点，所以22111131323323329E POF E POB A POB V V V ---==⨯=⨯⨯⨯=，所以33333399V =++=．故多面体POCDEF 的体积为739．【点睛】21.已知函数()ln (,,0)f x a x bx a b a =-∈≠R ．（1）求证：曲线()y f x =仅有一条过原点的切线；（2）若20a b =>时，关于x 的方程2()f x m x =-有唯一解，求实数m 的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）当016b <≤时，R m ∈；当16b >时，64ln 248m ≥-.【解析】【分析】（1）求导后得出切线方程，再代入原点求解即可；（2）化简可得22ln x m x x b b +-=有唯一解，再构造函数()22ln x g x x x b =+-，求导可得()222x bx b g x bx-+'=，再讨论根的情况，数形结合分析()g x 的极值与m b 的大小关系，结合恒成立问题求解即可.【小问1详解】()f x 的定义域为()0,∞+，()af x b x'=-，设切点()000,ln x a x bx -，则切线方程为()()0000ln a y a x bx b x x x ⎛⎫--=--⎪⎝⎭，当切线过原点时有()()00000ln 0a a x bx b x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭，即000ln a x bx a bx -=-，故()0ln 10a x -=，因为0a ≠，所以0e x =，即切点有且只有一个，则曲线()y f x =仅有一条过原点的切线，即得证.【小问2详解】关于x 的方程()2f x m x =-有唯一解，即方程22ln b x bx m x -=-，22ln x mx x b b+-=有唯一解，令()22ln x g x x x b =+-，则()222221x x bx bg x b x bx-+'=+-=.因为0b >，故当2160b b -≤，即016b <≤时，()0g x '≥，函数()y g x =单调递增，且当0x →时，()g x →-∞，当x →+∞时，()g x ∞→+.易知()g x 的图象与直线my b=有且仅有一个交点，满足题意，此时R m ∈；当2160b b ->，即16b >时，设2220x bx b -+=有两个根12,x x ，12x x <，则1282bx x +=>，1216x x b =>，故120x x <<.①若1204x x <<<，则当120,x x x x <<>时()0g x '>，()g x 单调递增；当12x x x <<时()0g x '<，()g x 单调递减，且当0x →时，()g x →-∞，当x →+∞时，()g x ∞→+.故要使得22ln x mx x b b +-=有唯一解，则()1m g x b >或()2m g x b <恒成立.此时211220x bx b -+=，即()21122x b x =-，21122x b x =-，1204x x <<<.则极大值()()2111111111112ln 22ln 2ln 122x g x x x x x x x b =+-=--+=--，令()12ln 12h x x x =--，则()21422x h x x x-'=-=，故当()0,4x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增；当()4,x ∞∈+时，()0h x '<，()h x 单调递减.所以()()()1142ln 4214ln 23g x h x h =<=--=-，又()1m g x b >恒成立，故4ln 23mb≥-，()()4ln 23164ln 2364ln 248m b ≥->⨯-=-；同理，极小值()22212ln 12g x x x =--，当24x >时无最小值，此时无实数m 使得()2mg x b<恒成立.②若14x =，则224420b b ⨯-+=，16b =，不满足2160b b ->；③若124<<x x ，由①可得64ln 248m ≥-；故当16b >时，64ln 248m ≥-.综上所述：当016b <≤时，R m ∈；当16b >时，64ln 248m ≥-.【点睛】方法点睛：本题利用导数解决函数零点问题的方法：（1）参变分离构造函数；（2）求导分析函数的单调性与极值，导数中有二次函数注意讨论无根与有根的情况；（3）导函数中二次函数有根时讨论极值点与特殊点的大小关系并讨论；（4）数形结合列不等式求解.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22.已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为2x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为1ρθρ=+．（1）求直线l 的极坐标方程以及曲线C 的参数方程；（2）若直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求2211OMON+的值．【答案】（1）3πθ=（R ρ∈），2cos 2sin x y θθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）（2）5【解析】【分析】（1）以直角坐标方程为桥梁分别求得极坐标方程和参数方程.（2）将极坐标方程联立即可得到OM 与ON 可得2211OMON+.【小问1详解】由已知2x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩，消去参数t得，y =，将sin y ρθ=，cos x ρθ=，代入上式化简整理得：3πθ=故直线l 的极坐标方程为3πθ=（R ρ∈）由1ρθρ=+得：21cos ρθ=+所以221x y -+=，故(224x y +=曲线C的参数方程为2cos 2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）【小问2详解】将直线l 的极坐标方程代入曲线C的极坐标方程得：210ρ-=解得：2ρ=，不妨设2OM =，2ON =所以22115OMON+==选修4-5：不等式选讲23.已知正实数满足4a b ab +=．（1）求a b +的最小值；（2）当a b +取得最小值时，,a b 的值满足不等式22x a x b t t -+-≥-对任意的x ∈R 恒成立，求实数t 的取值范围．【答案】（1）9（2）[]1,3-【解析】【分析】（1）化简4a b ab +=，由基本不等式即可求得a b +的最小值（2）利用绝对值三角不等式即可化简22x a x b t t -+-≥-，进而求出实数t 的取值范围【小问1详解】由题意∵4a b ab +=，∴411b a+=，∴()4145549a b a b a b b a b a ⎛⎫+=++=++≥+=⎪⎝⎭，当且仅当4a b b a=，即b ＝2a 时，a ＋b 有最小值9，由4a ＋b ＝ab ，可求得此时a ＝3，b ＝6．【小问2详解】由题意及（1）得3x a x b x a b x b a -+-=-+-≥-=．∵满足不等式22x a x b t t -+-≥-对任意的x ∈R 恒成立，所以232t t ≥-，解得13t -≤≤∴实数t 的取值范围为[]1,3-．。
押题预测卷7丨决胜2024届高考数学押题预测7模拟试卷及答案
决胜2024年高考数学押题预测卷07数学（新高考九省联考题型）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．抛物线24x y =-的准线方程是（）A.1y =B.1y =- C.2y = D.=2y -2．已知集合{}2R 230A x x x =∈--<，集合(){}2R log 21B x x =∈+<，则A B ⋂＝（）A.()3,2- B.()2,3- C.()2,0- D.()1,0-3．已知向量a ，b 满足3a = ，b = ()a ab ⊥+ ，则b 在a方向上的投影向量为（）A.3B.3-C.3a -D.a-r4．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A.若//,//,m n αα则//m n B.若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C.若m α⊥，m n ⊥，则//n α D.若//m α，m n ⊥，则n α⊥5．设0x >，0y >，122y x+=，则1x y +的最小值为（）A.32B. C.32+ D.36．阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年），古希腊著名数学家﹐主要著作有《圆锥曲线论》、《论切触》等.尤其《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高水平，此书集前人之大成，进一步提出了许多新的性质.其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，其离心率e =，从2F 发出的光线经过双曲线C 的右支上一点E 的反射，反射光线为EP ，若反射光线与入射光线垂直，则21sin F F E ∠=（）A.56B.55C.45D.2557．若3sin cos θθ+=，则π1tan π8tan 8θθ⎛⎫+-⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭的值为（）A.7- B.14- C.17D.278．已知函数()()e 2,ln 2x f x x g x x x =+-=+-，若12,0x x ∃∈>R ，使得()()12f x g x =，则12x x 的最小值为（）A.e- B.1- C.1e- D.21e-二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知复数z z-，下列说法正确的是（）A.若0z z -=，则z 为实数B.若220z z +=，则0z z ==C.若i 1z -=，则||z 的最大值为2D.若|i |||1z z -=+，则z z -为纯虚数10．已知,A B 分别为随机事件,A B 的对立事件，满足()()01,01P A P B <<<<，则下列叙述可以说明事件A ，B 为相互独立事件的是（）A.()()P B P B A =∣B.()()P B A P B A=∣∣C.()()()P A P B P A B += D.()()()P AB P AB P B A +=∣11．已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，()f x 的图象关于点(2，0)对称，(0)(2)1g g ==，()()()()++-=g x y g x y g x f y ，则（）A.()f x 为偶函数B.()g x 为偶函数C.(1)(1)--=--+g x g x D.(1)(1)g x g x -=+三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．一组数据为3，5，1，6，8，2，记这组数据的上四分位数为n，则二项式2nx ⎛- ⎝展开式的常数项为__________．13.已知ABC 的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，CD =是ACB ∠的角平分线,满足sin sin 1sin sin sin sin A b B B C b A c B +=++,若3CD =，ABC的面积为，则c 的值为__________．14.若正四棱锥的棱长均为2，则以所有棱的中点为顶点的十面体的体积为________，该十面体的外接球的表面积为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．为考察药物M对预防疾病A以及药物N对治疗疾病A的效果，科研团队进行了大量动物对照试验．根据100个简单随机样本的数据，得到如下列联表：（单位：只）药物M疾病A未患病患病合计未服用301545服用451055合计7525100（1）依据0.1α=的独立性检验，分析药物M对预防疾病A的有效性；（2）用频率估计概率，现从患病的动物中用随机抽样的方法每次选取1只，用药物N进行治疗．已知药物N的治愈率如下：对未服用过药物M的动物治愈率为12，对服用过药物M的动物治愈率为34．若共选取3次，每次选取的结果是相互独立的．记选取的3只动物中被治愈的动物个数为X，求X的分布列和数学期望．附：()()()()()22n ad bca b c d a c b dχ-=++++，n a b c d=+++.α0.1000.0500.0100.001 xα2.7063.841 6.63510.82816．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是菱形，平面ABCD ⊥平面PAD ，点M 在DP 上，且2,,120DM MP AD AP PAD ==∠=︒．（1）求证：BD ⊥平面ACM ；（2）若60ADC ∠=︒，求平面ACM 与平面ABP 夹角的余弦值．17．已知函数()21e 2xf x ax x x =--.（1）当1a =时，讨论函数()f x 的单调性；（2）若不等式2321()ln 2f x x x x x x ≤-+-在1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭上恒成立，求实数a 的取值范围.18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n ，总存在正数,,p q r ，使得1,n n n n a p S q r -==-恒成立；数列{}n b 的前n 项和为n T ，且对任意正整数,2n n n T nb =恒成立．(1)求常数,,p q r 的值；(2)证明数列{}n b 为等差数列；(3)若22b =，记311221222222422n n n n n n n n n nn b n b n b n b n b P a a a a a ---+++++=+++⋯++，是否存在正整数k ，使得对任意正整数,n n P k ≤恒成立，若存在，求正整数k 的最小值；若不存在，请说明理由．19．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3，直线l 与Γ相切，与圆O ：2223+=x y a 相交于A ，B 两点.当l 垂直于x 轴时，||AB =.（1）求Γ的方程；（2）对于给定的点集M ，N ，若M 中的每个点在N 中都存在距离最小的点，且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为,()d M N .（ⅰ）若M ，N 分别为线段AB 与圆O 上任意一点，P 为圆O 上一点，当PAB 的面积最大时，求,()d M N ；（ⅱ）若,()d M N ，(,)d N M 均存在，记两者中的较大者为(,)H M N .已知(,)H X Y ，(,)H Y Z ，(,)H X Z 均存在，证明：(,)(,)(,)≥+H X Z H Y Z H X Y .决胜2024年高考数学押题预测卷07数学（新高考九省联考题型）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
2023年高考押题预测卷01(全国甲卷文)-数学(全解全析)
3
n4 m
，
故夹钟和南吕的波长之积为 3 m2n 3 n4 3 mn5 n 3 mn2 . m
故选：B.
8．在正四面体 ABCD 中， M , N 分别为 AC, AD 的中点，则异面直线 BM ,CN 所成角的余弦值为（ ）
1 A．
3
1 B．
4
1 C．
5
1 D．
6
【答案】D
【分析】方法一：取 AN 中点 E ，连接 ME, BE ，利用余弦定理求 BE ，再利用余弦定理可得求 cosBME ，
3．在某次演讲比赛中，由两个评委小组（分别为专业人士（记为小组 A）和观众代表（记为小组 B））给参 赛选手打分，根据两个评委小组给同一名选手打分的分值绘制成如图所示的折线图，则下列结论错误的是 （）
A．小组 A 打分的分值的平均数为 48
B．小组 B 打分的分值的中位数为 66
C．小组 A 打分的分值的极差大于小组 B 打分的分值的极差
，因为函数
y
log2
x
、
y
1 x 3
在 0,
上均为增函数，
所以，函数 f x 为 0, 上的增函数，且 f 1 1 0 ， f 2 8 0 ，
3
9
因为 f a 0 ，由零点存在定理可知1 a 2 ；
构造函数 g x 2x log1 x ，因为函数 y 2x 、 y log1 x 在 0, 上均为增函数，
2 故选：B
【点睛】本题考查多面体的外接球，属于中档题.
12．已知函数
y
f
x 1 2 是奇函数，函数 g x
2x 1 的图象与
f
x 的图象有
4
个公共点
x 1
2021年全国高考数学(文)押题试卷含答案解析(10套).doc
OA1 OA5 (1,0) (1,1) 1
OA2 OA3 (1, 1) (0, 1) 1
OA2 OA4 (1, 1) (0,1) 1
OA2 OA5 (1, 1) (1,1) 2
OA3 OA4 (0, 1) (0,1) 1
OA3 OA5 (0, 1) (1,1) 1
OA4 OA5 (0,1) (1,1) 1
（Ⅱ） bn an
2n1, bn
an 2n1
(2n 1) 2n1 ………………7 分
Tn 3 20 5 21 7 22 (2n 1) 2n1 ①
2Tn 3 21 5 22 7 23 (2n 1) 2n1 (2n 1) 2n
②…………9 分
两式相减得： Tn
3
优质资料
15．两千多年前，古希腊毕达哥
拉斯学派的数学家曾经在沙滩
上研究数学问题，他们在沙滩上
画点或用小石子来表示数，按照
点或小石子能排列的形状对数
第 15 题图
进行分类，如下图中的实心点个 数 1，5，12，22，…， 被称
为五角形数，其中第 1 个五角形数记作 a1 1，第 2 个五角形数记作 a2 5 ，第 3 个五
(Ⅱ)设 A x1, y1 ,则 Bx1, y1
（i）当直线 AB 的斜率为 0 时， AB 的垂直平分线就是 y 轴，
y 轴与直线 l : x y 3 0 的交点为 P(0,3) ,
又 AO 3, PO 3 | AB || PA || PB | 2 3 ， 所以 PAB 是等边三角形,所以 k 0 满足条件；………………6 分 (ii)当直线 AB 的斜率存在且不为 0 时，设 AB 的方程为 y kx
则 PO
9k 2 9 ……………… 10 分 (k 1)2
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文科数学押题卷(二)一、选择题：本大题共12小题， 每小题5分， 共60分。
在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ＝{x |x ≤2}， B ＝{0， 1， 2， 3}， 则A ∩B ＝( )A ．{0， 1}B ．{0， 1， 2}C ．{1， 2}D ．{0， 1， 2， 3}2．已知复数z ＝1－2i（1＋i ）2， 则z 的虚部为( )A ．－12B ．12C ．－12iD ．12i3．某商家今年上半年各月的人均销售额(单位：千元)与利润率统计表如下：A ．利润率与人均销售额成正相关关系B ．利润率与人均销售额成负相关关系C ．利润率与人均销售额成正比例函数关系D ．利润率与人均销售额成反比例函数关系4．已知a ＝⎝⎛⎭⎫13π， b ＝⎝⎛⎭⎫1312， c ＝π12， 则下列不等式正确的是( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．c >b >a5．已知某空间几何体的三视图如图所示， 其中正视图和侧视图是边长为3的正三角形， 则该几何体的体积为( )A ．πB ．π2 C ．3π8 D ．π46．已知△ABC 的内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ， 若cos A ＝－35， cos B ＝45， a＝20， 则c ＝( )A ．10B ．7C ．6D ．5 7．函数f (x )＝ln|x |·sin x 的图象大致为( )A B C D 8．执行如图所示的程序框图， 则输出的k 值为( )A ．4B ．6C ．8D ．109．已知F 1， F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点， B 为C 的短轴的一个端点， 直线BF 1与C 的另一个交点为A ， 若△BAF 2为等腰三角形， 则|AF 1||AF 2|＝( )A ．13B ．12C ．23D ．310．数学中有很多公式都是数学家欧拉(Leonhard Euler)发现的， 它们都叫欧拉公式， 分散在各个数学分支之中， 任意一个凸多面体的顶点数V 、棱数E 、面数F 之间， 都满足关系式V －E ＋F ＝2， 这个等式就是立体几何中的“欧拉公式”。
若一个凸二十面体的每个面均为三角形， 则由欧拉公式可得该多面体的顶点数为( )A ．10B ．12C ．15D ．2011．三棱锥S －ABC 中， SA ， SB ， SC 两两垂直， 已知SA ＝a ， SB ＝b ， SC ＝2， 且2a ＋b ＝52， 则此三棱锥的外接球的表面积的最小值为( )A ．21π4B ．17π4C ．4πD ．6π12．已知函数f (x )＝2x ＋log 32＋x 2－x， 若不等式f ⎝⎛⎭⎫1m >3成立， 则实数m 的取值范围是( )A ．(1， ＋∞)B ．(－∞， 1)C ．⎝⎛⎭⎫0，12 D ．⎝⎛⎭⎫12，1 二、填空题：本大题共4小题， 每小题5分， 共20分。
13．设x ， y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x >0y >0x －y ＋1>0x ＋y －3<0， 则z ＝2x －y 的取值范围为________。
14．部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形。
谢尔宾斯基三角形是一种分形， 由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出。
具体操作是取一个实心三角形， 沿三角形的三边中点连线， 将它分成4个小三角形， 去掉中间的那一个小三角形后， 对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形， 如图。
现在上述图③中随机选取一个点， 则此点取自阴影部分的概率为________。
15．已知数列{a n }满足a n ＝n n ＋1， 则a 1＋a 222＋a 332＋…＋a 2 0182 0182＝________。
16．已知函数f (x )＝sin x cos ⎝⎛⎭⎫π6－x ， 把函数f (x )的图象向右平移m (m >0)个单位长度， 得到函数y＝g (x )的图象， 若函数y ＝g (x )的图象关于y 轴对称， 则m 的最小值为________。
三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题， 每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题， 考生根据要求作答。
(一)必考题：共60分。
17．(本小题满分12分)△ABC 的内角A ， B ， C 所对的边分别为a ， b ， c ， 已知△ABC 的面积为 32ac cos B ， 且sin A ＝3sin C 。
(1)求角B 的大小；(2)若c ＝2， AC 的中点为D ， 求BD 的长。
18．(本小题满分12分)如图， 四边形ABCD 为平行四边形， 沿BD 将△ABD 折起， 使点A 到达点P 。
(1)点M ， N 分别在线段PC ， PD 上， CD ∥平面BMN ， 试确定M ， N 的位置， 使得平面BMN 平分三棱锥P －BCD 的体积；(2)若AD ＝2AB ， ∠A ＝60°， 平面PBD ⊥平面BCD ， 求证：平面PCD ⊥平面PBD 。
19．(本小题满分12分)近年来，以马拉松为龙头的群众体育运动蓬勃发展，引领了全民健身新时尚。
某城市举办城市马拉松比赛，比赛结束后采用分层抽样的方式随机抽取了100名选手，对选手的(2)为了调查跑全程马拉松比赛是否需要志愿志提供帮助，现对100名选手进行调查，调查结果如下，据此调查，能否有99%附：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）(n＝a＋b＋c＋d)。
20．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左， 右焦点分别为F 1， F 2， 椭圆上存在一点P 满足PF 1⊥F 1F 2， 且sin ∠F 2PF 1＝45， △F 2PF 1的周长为6。
(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆C 的右焦点F 2作斜率存在且不为零的直线交椭圆于A ， B 两点， 如图， 已知直线l ：x ＝4， 过点A 作l 的垂线交l 于点M ， 连接F 2M ， MB ， 设直线F 2M ， MB 的斜率分别为k 1， k 2， 求证：k 2＝2k 1。
21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2ln x －x ＋1x。
(1)讨论f (x )的单调性；(2)若a >0， b >0， 证明：ab <a －b ln a －ln b <a ＋b2。
(二)选考题：共10分， 请考生在22、23两题中任选一题作答， 如果多做， 则按所做的第一题计分。
22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中， 直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)， 以坐标原点为极点、x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线C 的极坐标方程为ρ＝8cos θ1－cos2θ。
(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)直线l 与曲线C 交于A ， B 两点， 过点(1， 0)且与l 垂直的直线l ′与曲线C 交于C ， D 两点， 求|AB |＋|CD |的最小值。
23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋2|。
(1)求不等式f (x )≤5的解集；(2)设f (x )的最小值m ， 若a ， b 为正实数， 且2a ＋3b ＝m ， 求证：1a ＋b ＋4a ＋2b>m 。
参考答案与试题解析1．B A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈B }＝{0， 1， 2}。
故选B 。
2．A z ＝1－2i （1＋i ）2＝1－2i 2i ＝（1－2i ）·i －2＝i ＋2－2＝－1－12i ， 所以虚部为－12。
故选A 。
3．A 画出利润率与人均销售额的散点图， 如图。
由图可知利润率与人均销售额成正相关关系。
故选A 。
4．D 函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在定义域内是减函数， 所以⎝⎛⎭⎫13π<⎝⎛⎭⎫1312<⎝⎛⎭⎫130＝1<π12， 即a <b <c 。
故选D 。
5．C 由三视图可知该几何体是一个圆锥， 其底面半径为32， 高为3×32＝32， 所以圆锥的体积V ＝13π⎝⎛⎭⎫322×32＝3π8。
故选C 。
6．B 由cos A ＝－35， cos B ＝45， 得sin A ＝45， sin B ＝35， 所以sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45×45－35×35＝725。
根据正弦定理， 得a sin A ＝c sin C ， 即2045＝c725， 解得c ＝7。
故选B 。
7．A 由于f (－x )＝ln|－x |·sin(－x )＝－f (x )， 所以f (x )是奇函数， 图象关于原点对称， 又当0<x <1时， f (x )＝ln x ·sin x <0。
故选A 。
8．C 初始值S ＝100， k ＝0， 第一次循环， S ＝99， k ＝2；第二次循环， S ＝95， k ＝4；第三次循环， S ＝79， k ＝6；第四次循环， S ＝15， k ＝8；第五次循环， S ＝－241， 此时满足S ≤－100， 输出k ＝8。
故选C 。
9．A 如图， 不妨设点B 在y 轴的正半轴上， 根据椭圆的定义， 得|BF 1|＋|BF 2|＝2a ， |AF 1|＋|AF 2|＝2a ， 由题意知|AB |＝|AF 2|， 所以|BF 1|＝|BF 2|＝a ， |AF 1|＝a 2， |AF 2|＝3a 2。
所以|AF 1||AF 2|＝13。
故选A 。
10．B 二十面体的每个面均为三角形， 每条棱都是两个面共用， 所以棱数E ＝20×3×12＝30，面数F ＝20， 顶点数V ＝E －F ＋2＝12。
故选B 。
11．A 由题意， 设三棱锥的外接球的半径为R ， 因为SA ， SB ， SC 两两垂直， 所以以SA ， SB ， SC 为棱构造长方体， 其体对角线即三棱锥的外接球的直径， 因为SA ＝a ， SB ＝b ，SC ＝2， 所以4R 2＝a 2＋b 2＋4＝a 2＋⎝⎛⎭⎫52－2a 2＋4＝5(a －1)2＋214， 所以a ＝1时， (4R 2)min ＝214， 所以三棱锥的外接球的表面积的最小值为21π4。