数学物理方程01_数学物理方程定解问题
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什么是定解问题
§1.2 什么是定解问题1. 定解问题定解问题是根据已知物理规律求解特定物理过程的数学条件，它由泛定方程和定解条件两个部分组成，泛定方程也称为数学物理方程。
2. 泛定方程泛定方程是待解物理过程所遵循的物理规律的数学表达式，具体表现为某物理量关于时间和空间变量的偏微分方程，同一类物理过程遵循相同的物理规律，因此泛定方程反映一类物理过程的共性。
方程中物理量对时间变量的偏微分项反映物理过程的因果关联。
方程中物理量对空间变量的偏微分项反映物理过程的内部作用，或内在关联。
例1. 质点运动状态的演化问题在质点动力学问题中常求质点的运动轨迹，一旦求出运动轨迹，则一切与质点运动有关的物理量（如动能、动量、角动量等）都可求出。
质点的运动状态是由质点的位矢和动量完全确定，求质点运动轨迹的方法就是求解质点的运动状态随时间演变的过程，即由前一时刻的位矢和动量推算出下一时刻位矢和动量，从物理上看前后二时刻质点的运动状态的联系为dt t p m t r dt t r t r dt t r )(1)()()()(K K K K K +=+=+， dt t F t p dt t p t p dt t p )()()()()(K K K K K +=+=+ 因此，只要知道质点的受力情况就能由前一时刻的运动状态求出下一时刻的运动状态，这样的推演过程就是求解常微分方程F t r m K K =)(满足初始条件“0000)(,)(v t r r t r K K K K ==”的解。
§1.3 定解条件。
一、初始条件初始条件描述特定物理过程的起因，就t 这个自变数而言，如果泛定方程中物理量u 对t 最高阶偏导数是n 阶偏导数n n tu ∂∂，则要确定具体的定解问题，需要n 个初始条件。
例1：均匀细杆的导热问题满足的泛定方程为02=−xx t u a u ，则要确定具体的导热问题的解只需一个初始条件：)(0x u t ϕ==，即要已知初始温度分布。
第11章：数学物理方程的定解问题
∂ 2u ∂ 2u − 2 =0 2 ∂t ∂x
25
令 得到 通解
ξ = x − t ;η = x + t
∂ 2u =0 ∂ξ∂η
u = G (ξ ) + F (η )
波动方程的通解
u ( x, t ) = F ( x + t ) + G ( x − t )
u |t =0 = f ( x); u t |t =0 = g ( x)
两个任意函数：初始条件决定——Cauchy问题
1 1 x +t u ( x, t ) = [ f ( x − t ) + f ( x + t )] + ∫ g ( s)ds 2 2 x −t
26
定解问题 偏微分方程：求通解没必要、意义不大 求给定条件的特解 ——定解问题 边界条件 —系统与外部的相互作用 初始条件 —系统过去的历史
——五个未知数：ρ、 P、vx、vy、vz, 现有四 个方程。
14
（3）介质本构方程：描述压强 P=p+P0、密度 ρ （体积）和 熵 s 的关系，由热力学决定
P = P( ρ , s )
一般假定，声波振动是等熵过程，则 P = P( ρ ) 其中： ρ = ρ 0 + ρ ′ 。这三个方程是声波过程的基 本方程。 在无限小振动近似下
电磁波方程 描述参量：电场强度矢量 E; 磁感应强度矢量 B; 磁场强度矢量 H; 电位移矢量 D。 满足 Maxwell 方程组（无源情况）
∇ ⋅ B = 0; ∇ ⋅ D = 0; ∇ × E + ∂B ∂D = 0; ∇ × H − =0 ∂t ∂t
17
介质本构方程
B = µH ; D = εE
25
令 得到 通解
ξ = x − t ;η = x + t
∂ 2u =0 ∂ξ∂η
u = G (ξ ) + F (η )
波动方程的通解
u ( x, t ) = F ( x + t ) + G ( x − t )
u |t =0 = f ( x); u t |t =0 = g ( x)
两个任意函数：初始条件决定——Cauchy问题
1 1 x +t u ( x, t ) = [ f ( x − t ) + f ( x + t )] + ∫ g ( s)ds 2 2 x −t
26
定解问题 偏微分方程：求通解没必要、意义不大 求给定条件的特解 ——定解问题 边界条件 —系统与外部的相互作用 初始条件 —系统过去的历史
——五个未知数：ρ、 P、vx、vy、vz, 现有四 个方程。
14
（3）介质本构方程：描述压强 P=p+P0、密度 ρ （体积）和 熵 s 的关系，由热力学决定
P = P( ρ , s )
一般假定，声波振动是等熵过程，则 P = P( ρ ) 其中： ρ = ρ 0 + ρ ′ 。这三个方程是声波过程的基 本方程。 在无限小振动近似下
电磁波方程 描述参量：电场强度矢量 E; 磁感应强度矢量 B; 磁场强度矢量 H; 电位移矢量 D。 满足 Maxwell 方程组（无源情况）
∇ ⋅ B = 0; ∇ ⋅ D = 0; ∇ × E + ∂B ∂D = 0; ∇ × H − =0 ∂t ∂t
17
介质本构方程
B = µH ; D = εE
数学物理方程第一章、第二章习题全解
18
数学物理方程与特殊函数导教·导学·导考
2δρ ut ( x , 0 ) = k ( c - δ≤ x ≤ c + δ) 在这个小段外,初速度仍为零, 我们想得到的是 x = c 处受到冲 击的初速度 , 所 以 最后 还 要 令 δ→ 0。此 外 , 弦是 没 有 初 位 移的 , 即 u( x, 0) = 0 , 于是初始条件为
3. 有一均匀杆 , 只要杆中任一小段有纵向位移或速度 , 必导致 邻段的压缩或伸长, 这种伸缩传开去, 就有纵波沿着杆传播, 试推导 杆的纵振动方程。
解 如图 1 9 所示, 取杆
长方向为 x 轴正向, 垂直于杆长
方向的 各截 面 均 用 它 的 平 衡 位 置 x 标记 , 在时刻 t, 此截面相对
u( x, 0) = 0 0,
ut ( x , 0 ) = δkρ,
| x - c| >δ | x - c | ≤ δ (δ→ 0)
所以定解问题为
utt - a2 uxx = 0
u(0 , t) = u( l, t) = 0 u( x, 0) = 0 , ut ( x , 0 ) =
0, | x - c| > δ δkρ, | x - c | ≤ δ (δ→ 0 )
16
数学物理方程与特殊函数导教·导学·导考
第一章 课后习题全解
1 .4 习题全解
1. 长为 l 的均匀杆 , 侧面绝缘 , 一端温度为零 , 另一端有恒定热
流 q进入 ( 即单位时间内通过单位截面积流入的热量为 q) , 杆的初始
温度分布是 x( l 2
x) ,试写出相应的定解问题。
解 见图 1 8, 该问题是一维热传导方程, 初始条件题中已给
u x
数学物理方程及其定解问题
3.定解问题的整体性(除上述两种类型外的 数学物理方程)
4.定解问题的适定性
4
一. 无界弦的自由振动
1. 无界弦的自由振动 (1)无界弦的含义：无界弦不是指无限长的弦，是指所关 心的那一段弦远离两端，在所讨论的时间内，弦两端的影响来 不及传到这段弦上，因而认为弦的两端在无限远，就不必给弦 的两端提出边界条件。 定解问题 初值问题
x at, x at
得方程的通解
u f1 ( x at) f 2 ( x at)
通解的物理意义: f2 ( x at ) 正行波, f2 ( x at ) 反行波
6
⑵ 利用定解条件来确定函数 f1 ( x), f 2 ( x)
由初始条件得
u ( x, 0) f1 ( x) f 2 ( x) ( x) ut ( x, 0) af1 ( x) af 2 ( x) ( x)
数学物理方程及其定解问题数学物理方程习题解答数学物理方程数学物理方程谷超豪数学物理方程pdf数学物理方程试卷数学物理方程视频数学物理方程答案数学物理方程第三版数学物理方程讲义
第七章 数学物理方程及其定解问题
1.数学物理方程的导出 2.定解条件 3.数学物理方程的分类 4.达朗贝尔公式 定解问题
1
3.数学物理方程的分类
15
三. 一般情况下的数学物理方程
一般情况下，无法像对无限长弦那样，先求通解，然后用定解条件 求特解。
定解问题的整体性
物理问题
数学问题
定解问题是一个整体
四 . 定解问题的适定性
如定解问题满足 (1) 有解 (2) 解是唯一的 (3) 解是稳定的 则称此定解问题是适定的。 因为定解问题来自实际。
数学物理方程及定解问题
这个初始问题有解
u( x, y) n2 sinh ny sin nx
数学物理方法2015.02
D 为扩散系数
数学物理方法2015.02
第三节 位势方程
稳定的温度场
a2u f ( x, y, z)
膜平衡方程
2u 2u a 2 2 f ( x, y ) x y
2
数学物理方法2015.02
第三节 位势方程
定解条件与定解问题的提法
第一类边界条件： u( x, y, z) g( x, y, z)
b u t2 b t2 u dx dx dt f0dx T0 ux (b, t ) ux (a, t ) dt a a t1 a t1 t t t2 t t t1 b
dt
t1
t2
b
a
数学物理方法2015.02
物理模型 在三维空间中，考虑均匀的、各向同性的物体。 假定它的内部有热源或汇，并且与周围的介质 有热交换，来研究物体内部温度的分布规律。 均匀物体： 物体的密度为常数 各向同性： 物体的比热和热传导系数均为常数
数学物理方法2015.02
第二节 热传导方程与扩散方程
数学模型的建立 设： u(x,y,z,t)表示物体于时刻 t 在位置 x,y,z 处的温度 C 表示是比热 (焦耳/度· 千克) 表示密度 (千克/米3)， k 表示导热系数 f 0(x,y,z,t)表示热源强度(焦耳/千克· 秒)
数学物理方法2015.02
第一节 波动方程及定解条件
三维波动方程或声波方程
2 2u 2u 2u 2 u a 2 2 2 f ( x, y , z , t ) 2 t z x y
第1章 数学物理方程及定解问题
记 = a
2
T
ρ
, f (x, t) =
F(x, t)
ρ
, 得 力 用 ,弦 动 程 外 作 下 振 方 为
一维非齐次波动方程
∂ 2 u( x , t ) ∂ 2 u( x , t ) − a2 = f ( x , t ). 2 2 ∂t ∂x
二维波动方程或膜振动方程
一块均匀的紧张的薄膜，离开静止水平位置作垂直 于水平位置的微小振动，其运动规律满足
2 ∂ 2u ∂ 2u 2∂ u = a 2 + 2 + f ( x, y , t ) 2 ∂t ∂y ∂x
在时刻t , 弦段[ x , x + ∆x ]的动量为 x + ∆x ∂u( x , t ) ∫x ρ ∂t dx;
x + ∆x x
在时刻t + ∆t , 弦段[ x , x + ∆x ]的动量为 x + ∆x ∂u( x , t + ∆t ) dx . ∫x ρ ∂t
∫
=∫
∂u( x , t + ∆ t ) ∂u( x , t ) − ρ dx . ∂t ∂t
第一节 波动方程及定解条件
1.一维波动方程或弦振动方程 一维波动方程或弦振动方程
物理模型
一长为 l 的柔软、均匀的细弦，拉紧以后，让它离 的柔软、均匀的细弦，拉紧以后， 开平衡位置在垂直于弦线的外力作用下作微小横振 求弦上个点的运动规律。 动，求弦上个点的运动规律。
张紧的、静止的弦是一直线，该直线是弦的 平衡位置，以此为 x 轴。振动总是传播到整 根弦，横振动就是弦中的质点离开平衡位置 的位移垂直于 x 轴， 可用 t 时刻弦上各质点 x 离开平衡位置的横向位移 u ( x, t ) 来描述弦的 状态， 某一时刻 u ( x, t ) 的分布代表弦的形状， 称为位形。由于弦中质点的位移不同导致弦 的形变，形变产生应力，为了便于应力的描 述，不妨假定所研究的弦为“柔软的”弦。
2
T
ρ
, f (x, t) =
F(x, t)
ρ
, 得 力 用 ,弦 动 程 外 作 下 振 方 为
一维非齐次波动方程
∂ 2 u( x , t ) ∂ 2 u( x , t ) − a2 = f ( x , t ). 2 2 ∂t ∂x
二维波动方程或膜振动方程
一块均匀的紧张的薄膜，离开静止水平位置作垂直 于水平位置的微小振动，其运动规律满足
2 ∂ 2u ∂ 2u 2∂ u = a 2 + 2 + f ( x, y , t ) 2 ∂t ∂y ∂x
在时刻t , 弦段[ x , x + ∆x ]的动量为 x + ∆x ∂u( x , t ) ∫x ρ ∂t dx;
x + ∆x x
在时刻t + ∆t , 弦段[ x , x + ∆x ]的动量为 x + ∆x ∂u( x , t + ∆t ) dx . ∫x ρ ∂t
∫
=∫
∂u( x , t + ∆ t ) ∂u( x , t ) − ρ dx . ∂t ∂t
第一节 波动方程及定解条件
1.一维波动方程或弦振动方程 一维波动方程或弦振动方程
物理模型
一长为 l 的柔软、均匀的细弦，拉紧以后，让它离 的柔软、均匀的细弦，拉紧以后， 开平衡位置在垂直于弦线的外力作用下作微小横振 求弦上个点的运动规律。 动，求弦上个点的运动规律。
张紧的、静止的弦是一直线，该直线是弦的 平衡位置，以此为 x 轴。振动总是传播到整 根弦，横振动就是弦中的质点离开平衡位置 的位移垂直于 x 轴， 可用 t 时刻弦上各质点 x 离开平衡位置的横向位移 u ( x, t ) 来描述弦的 状态， 某一时刻 u ( x, t ) 的分布代表弦的形状， 称为位形。由于弦中质点的位移不同导致弦 的形变，形变产生应力，为了便于应力的描 述，不妨假定所研究的弦为“柔软的”弦。
数学物理方程 陈才生主编 课后习题答案 章
第1章 绪 论
1.1 基本内容提要
1.1.1 用数学物理方程研究物理问题的步骤 (1) 导出或者写出定解问题,它包括方程和定解条件两部分; (2) 求解已经导出或者写出的定解问题; (3) 对求得的解讨论其适定性并且作适当的物理解释.
1.1.2 求解数学物理方程的方法 常见方法有行波法(又称D’Alembert解法)、分离变量法、积分变换法、Green函
q = −k∇u,
其中k 为热传导系数,负号表示热量的流向和温度梯度方向相反.写成分量的形式
qx = −kux, qy = −kuy, qz = −kuz.
(3) Newton冷却定律. 物体冷却时放出的热量−k∇u 与物体和外界的温度差 u 边 − u0 成正比, 其 中u0为周围介质的温度.
·2·
1 n
en2
t
sin nx
(n
1), 满足
ut = −uxx,
(x, t) ∈ R1 × (0, ∞),
u(x, 0) = 1 +
1 n
sin
nx,
x ∈ R1.
显然, 当n → +∞时supx∈R
un(x, 0) − 1
=
1 n
→
0.
但是, 当n → ∞时
sup
x∈R1 ,t>0
un(x, t) − 1
∂2u ∂t2
=
E ρx2
∂ ∂x
x2
∂u ∂x
.
(1.3.9)
解 均匀细圆锥杆做微小横振动,可应用Hooke定律,并且假设密度ρ是常数. 以u¯ 表 示 图1.1所 示[x, x + ∆x]小 段 的 质 心 位 移, 小 段 质 量 为ρS∆x, S是 细
1.1 基本内容提要
1.1.1 用数学物理方程研究物理问题的步骤 (1) 导出或者写出定解问题,它包括方程和定解条件两部分; (2) 求解已经导出或者写出的定解问题; (3) 对求得的解讨论其适定性并且作适当的物理解释.
1.1.2 求解数学物理方程的方法 常见方法有行波法(又称D’Alembert解法)、分离变量法、积分变换法、Green函
q = −k∇u,
其中k 为热传导系数,负号表示热量的流向和温度梯度方向相反.写成分量的形式
qx = −kux, qy = −kuy, qz = −kuz.
(3) Newton冷却定律. 物体冷却时放出的热量−k∇u 与物体和外界的温度差 u 边 − u0 成正比, 其 中u0为周围介质的温度.
·2·
1 n
en2
t
sin nx
(n
1), 满足
ut = −uxx,
(x, t) ∈ R1 × (0, ∞),
u(x, 0) = 1 +
1 n
sin
nx,
x ∈ R1.
显然, 当n → +∞时supx∈R
un(x, 0) − 1
=
1 n
→
0.
但是, 当n → ∞时
sup
x∈R1 ,t>0
un(x, t) − 1
∂2u ∂t2
=
E ρx2
∂ ∂x
x2
∂u ∂x
.
(1.3.9)
解 均匀细圆锥杆做微小横振动,可应用Hooke定律,并且假设密度ρ是常数. 以u¯ 表 示 图1.1所 示[x, x + ∆x]小 段 的 质 心 位 移, 小 段 质 量 为ρS∆x, S是 细
数学物理方程：第1章 数学物理方程的定解问题
第1章 数学物理方程的定解问题§1.1 数学物理方程的一般概念本节讨论：①数学物理方程的基本概念，②三类基本方程的数学表示，③一些简单解法▲数学物理方程的任务与特点 数学物理方程（亦称数理方程）在数学上为二阶偏微分方程。
它的任务有两个方面：①寻找数学定解问题的求解方法，给出解的表达式和计算方法；②通过理论分析得出问题的通解或某些特解的一般性质。
数学物理方程有如下特点：①它紧密地、直接地联系物理学、力学与工程技术中的许多问题。
②它广泛地运用数学物理中许多的技术成果。
如：数学中的复变函数、积分变换、常微分方程、泛函分析、广义函数等等，物理学中的力学、电学、磁学、热力学、原子物理学、振动与波、空气动力学等等。
⒈ 一些基本概念数学物理方程是物理过程中的一些偏微分方程。
由于物理过程是十分复杂的，故它们的数学表达式也是十分广泛的。
本书不能将众多的数学物理方程一一讨论，仅讨论一些常用的二阶线性微分方程。
一般而言，二阶线性偏微分方程可写为2,11nn ij i i j i i j i u u Lu a b cu f x x x ==∂∂=++=∂∂∂∑∑ （1.1.1） 式中：自变量),,(1n x x x ⋅⋅⋅=，系数ij a 、i b 、c 为x 的函数或为常数，并且ji ij a a =。
由于式中关于未知函数u 的导数最高为二阶导数，故方程称为二阶微分方程；同样，由于x 为n 维向量，方程也称为n 维方程；由于方程中对u 的各阶偏导数为线性的，故称为线性方程，否则就称为非线性方程。
若系数ij a 、i b 、c 均为常数，则称为常系数方程，否则称为变系数方程；若0≡f ，则称为齐次方程，反之称为非齐次方程。
▲方程的数学形式 在所有的自变量i x 中，时间变量t 常常被使用，由于它的独特性，人们常常直接用t 表示而不置于i x 之中，关于t 的导数式为：22u u L u a b t t t∂∂=+∂∂ (1.1.2) 故上述方程可改写为：f Lu u L t += (1.1.3)上述方程习惯上也称为n 维方程。
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u ( x, t)
t0
u ( x , 0 ) ( x ),
ut ( x, t)
t0
u t ( x ,0 ) ( x )
（1.1.14）
20
例1.1.1
数学物理方程 一根长为 l 的弦，两端固定于 x 0 和 x l ,在距离坐标原点为 b 的位置将弦沿着横向拉开距离
18
( x, t)
应是杆的单位质量上所
数学物理方程
讨论（续）：
(3) 如果我们考虑的是膜的振动或者声波在空气中的传播，
用来描述这些二维和三维波动现象的微分方程仍然具有和 方程（1.1.9）相似的形式：
u tt a u f ( x , y , z , t )
2 2
（1.1.13）
其中，
其中
f
是时间 t 的已知函数， H 为常系数．
23
1.2 数学建模－热传导方程类型的建立 1.2.1 热传导类型方程的建立
数学物理方程
1.热传导方程
推导固体的热传导方程时， 需要利用能量守恒定律和关于热传导的傅里叶定律： 热传导的傅里叶定律：
dt
dQ
时间内，通过面积元 d S 流入小体积元的热量
u n
其中，a
2
k
C0
， 2 u 为三维Laplace算子。
（2）若物体存在热源，其热源强度为: F ( x , y , z , t )( J k g s )
u t a u f ( x, y, z, t)
2 2
(1.2.5)
。
27
其中， f ( x , y , z , t )
2
数学物理方程
数学物理思想
数学物理方程（简称数理方程）是指从物理学 及其它各门自然科学、技术科学中所导出的函数 方程，主要指偏微分方程和积分方程。 数学物理方程所研究的内容和所涉及的领域 十分广泛，它深刻地描绘了自然界中的许多物理 现象和普遍规律。
3
数学物理方程
从物理规律角度来分析，数学物理定解问题表征的 是场和产生这种场的源之间的关系．
y
B
C
G
F
d Q |x ( k
n
u n
) |x d td y d z ( k
u x
) |x d td y d z
n
D
A E
dx
H
在 dt 时间内通过EFGH面流入的热量为
x
o
z
x
x + dx
dQ
x dx
(k
u x
)
x dx
d td y d z
图1.4
图 9.2
同样，在 d t 时间内沿y方向和z方向流入立方体的热量分别为
可得
u tt Yu
图1-2
xx
（1.1.10）
0
（1.1.11）
这就是杆的纵振动方程．
为体密度，S为横截面， 为杨氏模量 Y
17
数学物理方程
讨论：
(1) 对于均匀杆，Y 和 是常数，(1.1.11）可以改写成
u tt a u x x
2
（1.1.12）
其中
a
2
Y
这与弦振动方程（1.１.8）具有完全相同的形式． （2）杆的受迫振动方程跟弦的受迫振动方程（1.１.9） 只是其中 f 完全一样， 受的纵向外力。
声振动是研究声源与声波 场之间的关系
定解 问题
热传导是研究热源与温度 场之间的关系
泊松（S. D. Poisson 1781～1840，法国数学家） 方程表示的是电势（或电场） 和电荷分布之间的关系
4
数学物理方程
根据分析问题的不同出发点，把数学物理问题分为 正向问题和逆向问题.
正向问题，即 为已知源求场. 逆向问题，即 为已知场求源.
(1.1.6)
14
数学物理方程
即为
u tt a u xx g
2
（1.1.7）
上式即为弦作微小横振动的运动方程，简称为弦振动方程． 其中 a 2 T /
讨论：
（1）若设弦的重量远小于弦的张力，则上式(1.1.7)右端的 重力加速度项可以忽略．由此得到下列齐次偏微分方程：
u tt a u x x
n 2
u
i 1
u
2
xi
2
பைடு நூலகம்
为Laplace算子，n为维数。
f ( x , y , z , t ) 为单位质量上所受到的横向力……
19
1.1.2 波动方程的定解条件
定解条件：初始条件和边界条件
数学物理方程
1.初始条件 波动方程含有对时间的二阶偏导数，它给出振动过程中每点的 加速度．要确定振动状态，需知道初始时刻每点的位移和速度． 波动方程的初始条件通常是
弦沿垂直方向的位移 u ( x , t )
（2）被研究的物理量遵循哪些物理 定理？牛顿第二定律. （3）按物理定理写出数学物理方程 （即建立泛定方程）
10
数学物理方程
注意：
物理问题涉及的因素较多，往往还需要引入适当假设才能 使方程简化． 数学物理方程必须反映弦上任一位置上的垂直位移所遵 循的普遍规律，所以考察点不能取在端点上，但可以取除端 点之外的任何位置作为考察点．
h ，如图1.3所示，然后放手任其振动，试写出初始条件。
u
【解】 初始时刻就是放手的那一瞬间， 按题意初始速度为零，即有
h x l
u t ( x , t ) |t 0 u t ( x , 0 ) 0
o
b
初始位移如图所示
h x (0 x b ) u ( x ,0 ) b h (l x ) (b x l ) l b
21
图1.3
数学物理方程
2.边界条件 常见的线性边界条件分为三类： 第一类边界条件 直接规定了所研究的物理量在边界上的数值
u ( x , y , z , t ) |x
0
, y0 , z0
f ( x0 , y0 , z0 , t )
（1.1.15）
第二类边界条件 规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数的数值
不同出发点 ? 前者是经典数学物理所讨论的主要 内容. 后者是高等数学物理（或称为现 代数学物理）所讨论的主要内容。
5
数学物理方程
数学物理方程的类型和所描述的物理规律
振动与波（振动波，电磁波）传播 满足波动方程
多数为二 阶线性偏 微分方程
热传导问题和扩散问题满足热传导方程
静电场和引力势满足拉普拉斯方程或 泊松方程
2 2
sin 2 2 tan 2
12
ds
(d x ) (d u )
2
1 (u x ) d x d x
数学物理方程
注意到:
ux u x tan sin
故由图1.1得
ux
x dx
ux
x
tan 1 sin 1 ,
tan 2 sin 2
y (k u y
) d td x d y d z
z
(k
u z
) d td x d y d z
25
数学物理方程
u t
在t 到
t dt
时间内，小体积元的温度变化是 分别表示物体的密度和比热。
dt
如果用 和
C0
则根据能量守恒定律得到热平衡方程
[ x (k u x ) y (k u y ) z (k u z )]d t d x d y d z C 0 u t d td x d y d z
2
（1.1.8）
15
称式（1.1.8）为弦的自由振动方程
也可理解为：振动的平衡位置为重力作用后的位置。
数学物理方程
讨论（续）：
（2）如果在弦的单位长度上还有横向均布外力 F ( x , t )
作用，则式(1.1.8)应该改写为
u tt a u x x f ( x , t )
2
(1.1.9)
第一章 数学建模---数学物理定解问题
1.1 数学建模----波动方程类型的建立
弦的横振动
具有波动方 程的数理方 程的建立
讨 论
定解条件
杆的纵振动
9
数学物理方程
1.1.1 波动方程的建立 1. 弦的微小横振动
考察一根长为 l 且两端固定、水平拉紧的弦． 讨论如何将这一物理问题转化为数学上的定解问题．要 确定弦的运动方程，需要明确： （1）要研究的物理量是什么？ 确定 弦的 运动 方程
这样，(1.1.1)和(1.1.2)简化为
T2 u x T1 u x x dx T2 T1 0
x
g dx u tt dx
(1.1.3) (9.1.3)
(9.1.4) (1.1.4)
13
数学物理方程
因此在微小横振动条件下，可得出 可记为 T T T ，弦中张力不随 x 而变，
x
dx
H
o
z
x
x + dx
图 9.2 图1.5
其中： q D
u x
D为扩散系数
u t dt
dt时间内浓度的变化可表示为
u t u
2
由质量守恒定律可得：
a
2
x
2
0
(t 0 )
(1.2.6)
28
其中
a
2
D.
数学物理方程
将一维推广到三维，即得到
u t a [
6
数学物理方程
t0
u ( x , 0 ) ( x ),
ut ( x, t)
t0
u t ( x ,0 ) ( x )
（1.1.14）
20
例1.1.1
数学物理方程 一根长为 l 的弦，两端固定于 x 0 和 x l ,在距离坐标原点为 b 的位置将弦沿着横向拉开距离
18
( x, t)
应是杆的单位质量上所
数学物理方程
讨论（续）：
(3) 如果我们考虑的是膜的振动或者声波在空气中的传播，
用来描述这些二维和三维波动现象的微分方程仍然具有和 方程（1.1.9）相似的形式：
u tt a u f ( x , y , z , t )
2 2
（1.1.13）
其中，
其中
f
是时间 t 的已知函数， H 为常系数．
23
1.2 数学建模－热传导方程类型的建立 1.2.1 热传导类型方程的建立
数学物理方程
1.热传导方程
推导固体的热传导方程时， 需要利用能量守恒定律和关于热传导的傅里叶定律： 热传导的傅里叶定律：
dt
dQ
时间内，通过面积元 d S 流入小体积元的热量
u n
其中，a
2
k
C0
， 2 u 为三维Laplace算子。
（2）若物体存在热源，其热源强度为: F ( x , y , z , t )( J k g s )
u t a u f ( x, y, z, t)
2 2
(1.2.5)
。
27
其中， f ( x , y , z , t )
2
数学物理方程
数学物理思想
数学物理方程（简称数理方程）是指从物理学 及其它各门自然科学、技术科学中所导出的函数 方程，主要指偏微分方程和积分方程。 数学物理方程所研究的内容和所涉及的领域 十分广泛，它深刻地描绘了自然界中的许多物理 现象和普遍规律。
3
数学物理方程
从物理规律角度来分析，数学物理定解问题表征的 是场和产生这种场的源之间的关系．
y
B
C
G
F
d Q |x ( k
n
u n
) |x d td y d z ( k
u x
) |x d td y d z
n
D
A E
dx
H
在 dt 时间内通过EFGH面流入的热量为
x
o
z
x
x + dx
dQ
x dx
(k
u x
)
x dx
d td y d z
图1.4
图 9.2
同样，在 d t 时间内沿y方向和z方向流入立方体的热量分别为
可得
u tt Yu
图1-2
xx
（1.1.10）
0
（1.1.11）
这就是杆的纵振动方程．
为体密度，S为横截面， 为杨氏模量 Y
17
数学物理方程
讨论：
(1) 对于均匀杆，Y 和 是常数，(1.1.11）可以改写成
u tt a u x x
2
（1.1.12）
其中
a
2
Y
这与弦振动方程（1.１.8）具有完全相同的形式． （2）杆的受迫振动方程跟弦的受迫振动方程（1.１.9） 只是其中 f 完全一样， 受的纵向外力。
声振动是研究声源与声波 场之间的关系
定解 问题
热传导是研究热源与温度 场之间的关系
泊松（S. D. Poisson 1781～1840，法国数学家） 方程表示的是电势（或电场） 和电荷分布之间的关系
4
数学物理方程
根据分析问题的不同出发点，把数学物理问题分为 正向问题和逆向问题.
正向问题，即 为已知源求场. 逆向问题，即 为已知场求源.
(1.1.6)
14
数学物理方程
即为
u tt a u xx g
2
（1.1.7）
上式即为弦作微小横振动的运动方程，简称为弦振动方程． 其中 a 2 T /
讨论：
（1）若设弦的重量远小于弦的张力，则上式(1.1.7)右端的 重力加速度项可以忽略．由此得到下列齐次偏微分方程：
u tt a u x x
n 2
u
i 1
u
2
xi
2
பைடு நூலகம்
为Laplace算子，n为维数。
f ( x , y , z , t ) 为单位质量上所受到的横向力……
19
1.1.2 波动方程的定解条件
定解条件：初始条件和边界条件
数学物理方程
1.初始条件 波动方程含有对时间的二阶偏导数，它给出振动过程中每点的 加速度．要确定振动状态，需知道初始时刻每点的位移和速度． 波动方程的初始条件通常是
弦沿垂直方向的位移 u ( x , t )
（2）被研究的物理量遵循哪些物理 定理？牛顿第二定律. （3）按物理定理写出数学物理方程 （即建立泛定方程）
10
数学物理方程
注意：
物理问题涉及的因素较多，往往还需要引入适当假设才能 使方程简化． 数学物理方程必须反映弦上任一位置上的垂直位移所遵 循的普遍规律，所以考察点不能取在端点上，但可以取除端 点之外的任何位置作为考察点．
h ，如图1.3所示，然后放手任其振动，试写出初始条件。
u
【解】 初始时刻就是放手的那一瞬间， 按题意初始速度为零，即有
h x l
u t ( x , t ) |t 0 u t ( x , 0 ) 0
o
b
初始位移如图所示
h x (0 x b ) u ( x ,0 ) b h (l x ) (b x l ) l b
21
图1.3
数学物理方程
2.边界条件 常见的线性边界条件分为三类： 第一类边界条件 直接规定了所研究的物理量在边界上的数值
u ( x , y , z , t ) |x
0
, y0 , z0
f ( x0 , y0 , z0 , t )
（1.1.15）
第二类边界条件 规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数的数值
不同出发点 ? 前者是经典数学物理所讨论的主要 内容. 后者是高等数学物理（或称为现 代数学物理）所讨论的主要内容。
5
数学物理方程
数学物理方程的类型和所描述的物理规律
振动与波（振动波，电磁波）传播 满足波动方程
多数为二 阶线性偏 微分方程
热传导问题和扩散问题满足热传导方程
静电场和引力势满足拉普拉斯方程或 泊松方程
2 2
sin 2 2 tan 2
12
ds
(d x ) (d u )
2
1 (u x ) d x d x
数学物理方程
注意到:
ux u x tan sin
故由图1.1得
ux
x dx
ux
x
tan 1 sin 1 ,
tan 2 sin 2
y (k u y
) d td x d y d z
z
(k
u z
) d td x d y d z
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数学物理方程
u t
在t 到
t dt
时间内，小体积元的温度变化是 分别表示物体的密度和比热。
dt
如果用 和
C0
则根据能量守恒定律得到热平衡方程
[ x (k u x ) y (k u y ) z (k u z )]d t d x d y d z C 0 u t d td x d y d z
2
（1.1.8）
15
称式（1.1.8）为弦的自由振动方程
也可理解为：振动的平衡位置为重力作用后的位置。
数学物理方程
讨论（续）：
（2）如果在弦的单位长度上还有横向均布外力 F ( x , t )
作用，则式(1.1.8)应该改写为
u tt a u x x f ( x , t )
2
(1.1.9)
第一章 数学建模---数学物理定解问题
1.1 数学建模----波动方程类型的建立
弦的横振动
具有波动方 程的数理方 程的建立
讨 论
定解条件
杆的纵振动
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数学物理方程
1.1.1 波动方程的建立 1. 弦的微小横振动
考察一根长为 l 且两端固定、水平拉紧的弦． 讨论如何将这一物理问题转化为数学上的定解问题．要 确定弦的运动方程，需要明确： （1）要研究的物理量是什么？ 确定 弦的 运动 方程
这样，(1.1.1)和(1.1.2)简化为
T2 u x T1 u x x dx T2 T1 0
x
g dx u tt dx
(1.1.3) (9.1.3)
(9.1.4) (1.1.4)
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数学物理方程
因此在微小横振动条件下，可得出 可记为 T T T ，弦中张力不随 x 而变，
x
dx
H
o
z
x
x + dx
图 9.2 图1.5
其中： q D
u x
D为扩散系数
u t dt
dt时间内浓度的变化可表示为
u t u
2
由质量守恒定律可得：
a
2
x
2
0
(t 0 )
(1.2.6)
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其中
a
2
D.
数学物理方程
将一维推广到三维，即得到
u t a [
6
数学物理方程