工程流体力学 第二章 流体静力学201012
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工程流体力学第2章流体静力学
① 沿任意方向 ② 沿外法线方向
有切向分力 流体受拉力
都将破坏流体平衡。
这与静止前提不符，故假设不成立，则原命题成立。
①
②
4
第2章 流体静力学
特性二、静止流体中任何一点上各个方向的静压力大小相等，与作用面方位无关。
证明：采用微元体分析法 ① 取微单元体
在静止流体中，在O点附近取出各边长分别 为dx、dy、dz的微小四面体OABC。相应坐标 轴为x、y、z。
第2章 流体静力学
流体静力学：研究流体在静止状态下的平衡规律及其应用。 静止：流体质点相对于参考系没有运动，质点之间也没有相对运动。 静止状态包括两种情况： 1、绝对静止：流体整体对地球没有相对运动。
2、相对静止：流体整体对地球有运动，但流体各质点之间没有相对运动。
举例：
绝对静止
等加速水平直线运动 等角速定轴转动
2
第2章 流体静力学
§2.1 流体静压力及其特性
1、静压力的概念
（1）静压力：静止流体作用在单位面积上的压力，称为静压力，或静压强。记作“p”
一点的静压力表示方法：
设静止流体中某一点m，围绕该点取一微小作用面积A，其上压力为P，则： 平均静压力： p P
A
m点的静压力：p lim P
单位：
A0 A
m
国际单位：Pa
物理单位：dyn/cm2
工程单位：kgf/m2
混合单位：1大气压（工程大气压） = 1kgf/cm2
（2）总压力：作用在某一面积上的总静压力，称为总压力。记作“P”
单位：N
3
第2章 流体静力学
2、静压力的两个重要特性
特性一、静压力方向永远沿着作用面内法线方向。
工程流体力学2流体静力学
1
重、难点
1.静压强及其静压强的特性。 2.静力学基本方程式的理解和应用；等压面。 3.静止流体对固体壁面的作用力：平面和曲面。
➢平衡有两种：
一种是流体对地球无相对运动，即重力场中 的流体的绝对平衡；
一种是流体对某物体（或参考坐标系）无相 对运动，亦称流体对该物体的相对平衡。
第一节 流体静压强及其特性 一. 流体静压强的定义
第1章 流体及其主要物理性质
第2章 流体静力学 第3章 流体动力学基础 第4章 流动阻力和水头损失 第5章 孔口、管嘴出流及有压管流 第6章 明渠均匀流 第7章 明渠水流的两种流态及其转换
第二章 流体静力学
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节
流体静压强及其特性 流体的平衡微分方程及其积分 重力作用下的流体平衡 流体压强的量测 作用在平面上的流体静压力 作用在曲面上的流体静压力
p A p B z B m h m ( z A h m )
流体的平衡规律 必须在连通的静 止流体区域（如 测压管中）应 用，不能用到管 道中去，因为管 道中的流体可能 是在流动的，测 压管不只是为测 量静压用的。
(zApA)(zBpB)h
液柱式测压仪表如下：
• 测压管
pApagh
❖ 大气压与大气压强
10mH2O 736mmHg
【例】 已知▽1＝9m，▽2＝8m，▽3＝7m，▽4＝10m， 大气压强为1at，求1、2、3、4各点的绝对压强、相对压 强（以液柱高表示）及M2、M4两个压强表的表 压强或真空读数。
【解】
三、测压仪器
测压仪器分三大类：
❖ 金属式 有压强表与真空表之分 金属式测压仪安装方便、易读数、量程较大， 但精度不高，工程当中常用。
工程流体力学第二章静力学
• 倾斜管微压计
pa
p
L
1
A Θ
h2
2
h1
0
0 ρ
s
• 双杯式微压计（测量压差）
p2 Δh p1
D
Δh
D
油 ρ1 h h0
N
N
ρ
2
水
d
微压计的放大效果为11mm→100mm，放大效果显著。
§2-5 液体的相对平衡
★ 研究特点：建立动坐标系
一、液体随容器作等加速直线运动 建立如图所示动坐标系，则 f x a f y 0 f z -g 1.压强分布 p pa ( ax gz ) 2.等压面方程 p pa ax gz c (斜平面)
p --- 压强势能，简称压能 g p z --- 总势能 g
y
A Z
x
z
p C g
流体静力学基本方程的能量意义是：在重力作用 下平衡流体中各点的单位重量流体所具有的总势 能（包括位能和压能）是相等的，即势能守恒。
几何意义 z --- 流体距基准面的位置高度，称为位置水头
p --- 流体在压强p 作用下沿测压管上升的高度， g 称为压强水头 p z --- 静压水头（或静力水头） g
流体力学电子教案
第2章 流体静力学
★特点：τ=0 ★重点掌握：
p（压强）
概念及特性 p p0 gh 的意义 p p0 gh 的应用
P（压力）的计算
平衡有两种：
一种是流体对地球无相对运动，即重力场中 的流体的绝对平衡；如盛装在固定不动容器 中的液体。 一种是流体对某物体（或参考坐标系）无相 对运动，亦称流体对该物体的相对平衡。例 如盛装在作等加速直线运动和作等角速度旋 转运动的容器内的液体。
工程流体力学第二章 流体静力学
只有重力作用下的等压面应满足的条件：
1.静止； 2.连通； 3.连通的介质为同一均质流体； 4.质量力仅有重力； 5.同一水平面。
提问:如图所示，哪个断面为等压面? 您的答案是: C-C 断面 B-B 断面
第三节 重力作用下的流体平衡
在自然界和实际工程中，经常 遇到并要研究的流体是不可压缩的 重力液体，也就是作用在液体上的 质量力只有重力的液体。
f ds f x dx f y dy f z dz 0
f
图2-4 两个矢量的数量积
两个矢量的数量积等于零，必 须f和ds互相垂直，其夹角φ等于900。 也就是说，通过静止流体中的任一点 的等压面都垂直于该点处的质量力。 例如，当质量力只有重力时，等压面 处处与重力方向正交，是一个与地球 同心的近似球面。但是，通常我们所 研究的仅是这个球面上非常小的一部 分，所以可以看成是水平面 。
一、重力作用下的静力学基本方程 在一盛有静止液体的容器上取 直角坐标系（只画出OYZ平面，Z轴 垂直向上），如图2-5所示。
P0 P2 P1 Z1 Z2
图2-5 推导静力学基本方程式用图
这时，作用在液体上的质量力 只有重力 G=mg ，其单位质量力在各 坐 标 轴 上 的 分 力 为 fx=0 ， fy=0 ， fz=-g， 代入式（2-4），得 dp gdz dp 写成 dz g 0 （2-8）
或
1 p x p n f x dx 0 3
由于等式左侧第三项为无穷小， 可以略去，故得：
（2-1）
因为n的方向完全可以任意选择， 从而证明了在静止流体中任一点上来 自各个方向的流体静压强都相等。但 是，静止流体中深度不同的点处流体 的静压强是不一样的，而流体又是连 续介质，所以流体静压强仅是空间点 坐标的连续函数，即
工程流体力学第二章
（1）液体静止的基本方程
压强分布
D （x ，y ，z 0） C （x ，y ，z ） pD = p0 pC = p p = p 0 + ρ g （ z0 - z） = p0 + ρ g h
（2）绝对压强、相对压强和真空压强
绝对压强 p ： 以绝对真空为起点计算的压强 相对压强p’ ： 以大气压为起点计算的压强 真空压强pV： 在一封闭体系中， 压强比大气压低的部 p = pa +ρ gh p = pa + p’ p’ = ρ gh
dA· cos（n,x）= dy· dz/2
px · dy · dz/2 - pn · dy· dz/2+ρ · dx · dy · dz·fx/6 = 0
px · dy · dz/2 - pn · dy· dz/2 = 0 p x = pn
dPy + dPn · cos（n,y）+ Fy = 0 dPz + dPn · cos（n,z）+ Fz = 0
标决定，与压强的作用方向无关。即： p = f(x,y,z)
F、Fx、Fy 、Fz 、 f、 fx 、fy 、 fz V = dx · dy · dz/6 px、py、pz 、pn
dPx、dPy、dPz 、dPn
ΣNx = 0 ΣNy = 0 ΣNz = 0
dPx + dPn · cos（n,x）+ Fx = px· dy · dz/2 - pn · dA· cos（n,x） +ρ · dx· dy· dz· fx/6 = 0
fx 、fy 和 fz满足：
有势力场 有势质量力简
称有势力
在有势力场中，静止流体的等压面也是等势面。
工程流体力学 第二章 流体静力学201012
Y = ω 2 r sin α = ω 2 y Z = −g
z ω
1.等压面方程 1.等压面方程
dp = ω 2 xdx + ω 2 ydy − gdz = 0
⇓ 积分
ω 2 x2
2 +
p0
o
m
h z
zs y
ω 2 y2
2
− gz = C
ω 2r 2
2
− gz = C
等压面是一簇绕z轴的旋转抛物面。 等压面是一簇绕z轴的旋转抛物面。 自由液面： 自由液面： x=0 z=0 C=0
z g p0
2
⇒
dp = ρ(Xdx +Ydy + Zdz)
dp = −ρgdz
p2
p1
1
⇒
dp dz + =0 ρg
z1
z2
积分得： 积分得：
p z+ =C ρg
o
p p z1 + 1 = z2 + 2 ρg ρg
基准面
x
2.物理意义 2.物理意义
z+ p =C ρg
总 势 能
3.几何意义 3.几何意义
o y
αr
y x ω2y ω2r
⇓
zs =
ω 2r 2
2g
x
ω2x
二、等角速旋转容器中液体的相对平衡
2. 静压强分布规律
dp = ρ (ω 2 xdx + ω 2 ydy − gdz )
z ω
⇓ 积分
p = ρ(
ω 2x2
2
+
ω 2 y2
2
− gz ) + C
p = ρg (
ω 2r 2
z ω
1.等压面方程 1.等压面方程
dp = ω 2 xdx + ω 2 ydy − gdz = 0
⇓ 积分
ω 2 x2
2 +
p0
o
m
h z
zs y
ω 2 y2
2
− gz = C
ω 2r 2
2
− gz = C
等压面是一簇绕z轴的旋转抛物面。 等压面是一簇绕z轴的旋转抛物面。 自由液面： 自由液面： x=0 z=0 C=0
z g p0
2
⇒
dp = ρ(Xdx +Ydy + Zdz)
dp = −ρgdz
p2
p1
1
⇒
dp dz + =0 ρg
z1
z2
积分得： 积分得：
p z+ =C ρg
o
p p z1 + 1 = z2 + 2 ρg ρg
基准面
x
2.物理意义 2.物理意义
z+ p =C ρg
总 势 能
3.几何意义 3.几何意义
o y
αr
y x ω2y ω2r
⇓
zs =
ω 2r 2
2g
x
ω2x
二、等角速旋转容器中液体的相对平衡
2. 静压强分布规律
dp = ρ (ω 2 xdx + ω 2 ydy − gdz )
z ω
⇓ 积分
p = ρ(
ω 2x2
2
+
ω 2 y2
2
− gz ) + C
p = ρg (
ω 2r 2
工程流体力学第二章
1 p X x 0 1 p 0 Y y 1 p 0 Z z
2.2 流体平衡微分方程
物理意义： • 处于平衡状态的流体，单位质量流体所受的表面力分量与 质量力分量彼此相等。 • 压强沿轴向的变化率（ ）等于轴向单位体积上的 质量力的分量（ρX，ρY，ρZ）。
pa 101300 10.33mH 2O 水柱高mH20：1atm相当于 g 9800 pa 98000 h 10 mH 2O 1at相当于 g 9800 汞柱高mmHg：1 atm相当于 h 101300 760 mmHg 3 13.6 10 9.8 98000 1at相当于 h 736 mmHg 3 13.6 10 9.8 h
p1 p A A g (h1 h)
p 2 p B B gh2 gh
因p1=p2 ，故
p A A g (h1 h) p B B gh2 gh
p A p B B gh2 gh A g (h1 h)
1 Fx X（ dxdydz ） 6 1 Fy Y（ dxdydz ） 6 1 Fz Z（ dxdydz） 6
（2）受力平衡： ∑Fi=0
△px
dy B y
研究x方向：∑Fx=0
A
x
△pz
px pn cos n, x） Fx 0 （
SOBC cos n，x） （ S ABC
Px=pn
同理： Py=pn ，Pz=pn
Px=py=pz=pn
2.2 流体平衡微分方程
一、流体平衡微分方程——欧拉平衡方程 在平衡流体中取一微元六面体，边长分别为dx，dy，dz，设 中心点的压强为p(x,y,z)=p，对其进行受力分析：
2.2 流体平衡微分方程
物理意义： • 处于平衡状态的流体，单位质量流体所受的表面力分量与 质量力分量彼此相等。 • 压强沿轴向的变化率（ ）等于轴向单位体积上的 质量力的分量（ρX，ρY，ρZ）。
pa 101300 10.33mH 2O 水柱高mH20：1atm相当于 g 9800 pa 98000 h 10 mH 2O 1at相当于 g 9800 汞柱高mmHg：1 atm相当于 h 101300 760 mmHg 3 13.6 10 9.8 98000 1at相当于 h 736 mmHg 3 13.6 10 9.8 h
p1 p A A g (h1 h)
p 2 p B B gh2 gh
因p1=p2 ，故
p A A g (h1 h) p B B gh2 gh
p A p B B gh2 gh A g (h1 h)
1 Fx X（ dxdydz ） 6 1 Fy Y（ dxdydz ） 6 1 Fz Z（ dxdydz） 6
（2）受力平衡： ∑Fi=0
△px
dy B y
研究x方向：∑Fx=0
A
x
△pz
px pn cos n, x） Fx 0 （
SOBC cos n，x） （ S ABC
Px=pn
同理： Py=pn ，Pz=pn
Px=py=pz=pn
2.2 流体平衡微分方程
一、流体平衡微分方程——欧拉平衡方程 在平衡流体中取一微元六面体，边长分别为dx，dy，dz，设 中心点的压强为p(x,y,z)=p，对其进行受力分析：
工程流体力学第二章
适用范围：可压缩、不可压缩流体
静止、相对静止状态流体
欧拉平衡微分方程 等压面 力函数
◆
等压面
dp p p p dx dy dz f x dx f y dy f z dz x y z
上式中(1)×dx +(2)×dy +(3)×dz得 压强差公式
等压面
在流体中压强相等的点组成的面
欧拉平衡微分方程 等压面 力函数
◆
流体的平衡微分方程式
p x p x f x xyz p yz p yz 0 x 2 x 2
p xyz 0 x
x方向的平衡方程式 化简得 同除以
f x xyz
p 15 15 15590 Pa 2 d 0.0352 4 4
列等压面方程
p 1gh 2 gh
由上式可解得
h p 1h 2 g 2
15590 920 0 .7 13600 9.806 13600 16.4cm
重力场中流体的平衡
例２-4 如图所示，已知 h2 250mm，h3 200mm，h
重力场中流体的平衡
例2 3如图，一压强测试装置，活塞直径d 35mm，重15 N，油的密度1 920 kg m3 ， 水银的密度2 13600 kg m3 ，若不计活塞的摩擦和泄漏，试计算活塞底面和U形管中 水银液面的高度差h 0.7m时，U 形管中两水银液面的高度差。
解
活塞重量使其底面产生的压强为
ln
或者
g z z1 RT1
去掉对数符号
p p1e
重力场中流体的平衡
◆
可压缩流体中压强的变化
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y p- ∂p/∂x•dx/2 dy b o
f,p,ρ
a dx y z c dz
p+ ∂p/∂x•dx/2
上式即为流体平衡微分方程(欧拉平衡微分方程) 上式即为流体平衡微分方程(欧拉平衡微分方程) 流体平衡微分方程 z
x
y
物理意义： 物理意义： 在静止流体中，单位质量流体上的质量力与静压强的合力相平衡。 在静止流体中，单位质量流体上的质量力与静压强的合力相平衡。 适用范围： 适用范围： 所有静止流体或相对静止的流体。 所有静止流体或相对静止的流体。
z
容器以等角速度ω 容器以等角速度ω旋转
ω
质量力
X = ω r cos α = ω x Y = ω 2 r sin α = ω 2 y Z = − g
2 2
p0 o
m
h z
zs y
o y
αr
y x ω2y ω2r
x
ω2x
二、等角速旋转容器中液体的相对平衡
质量力 X = ω 2 r cos α = ω 2 x
∂U ∂U ∂U X＝ ， = Y Z ， = ∂z ∂x ∂y
∂U ∂U ∂U X＝ ，Y = ，Z = ∂x ∂y ∂z
→
f = Xi + Yj + Zk
dp = ρ(Xdx +Ydy + Zdz) = 0
dU ∂U dx + ∂U dy + ∂U dz = 0 ＝ ∂x ∂y ∂z
ds = dxi + dyj + dzk
h
z+
p
γ
= z0 +
p0
γ
1
h=Z0-Z
p = p0 +γ (z0 − z)
水静力学基本方程
p = p0 +γh
4、相对压强、真空压强 相对压强、
（1）绝对压强 以绝对真空为基准计量的压强。 以绝对真空为基准计量的压强。 相对压强+ =相对压强+大气压强 （2）相对压强 以当地大气压强为基准计量的压强。 以当地大气压强为基准计量的压强。 绝对压强=绝对压强-大气压强 大气压强-绝对压强 （3）真空度=大气压强 绝对压强 标准大气压：海平面上大气压强， 标准大气压：海平面上大气压强，atm=101325Pa 工程大气压： =9.80665× 工程大气压：at=1kgf/cm2=9.80665×104Pa g与万有引力有关。国际上将在纬度45°的海平面精确测得物 与万有引力有关。国际上将在纬度45° 45 体的重力加速度g=9.80665 g=9.80665米 ^2;作为重力加速度的标准值 作为重力加速度的标准值。 体的重力加速度g=9.80665米／秒^2;作为重力加速度的标准值。 水银ρ 水银ρ=13.5951kg/l
缺点： 缺点：只能测量较小的压强
2）U形管测压计
pa
p1 = p + ρgh 1
p2 = pa + ρ2 gh2
h2
ρ
p
A
h1
1 ρ2
2
⇓
p1 = p2
p = pa + ρ2 gh2 − ρgh 1 pe = ρ2 gh2 − ρgh 1
优点： 优点：可以测量较大的压强
原理：对于不可压缩的静止流体， 等压面为平面 要求：容器连通、不可压缩、静止 流体、互不相混的同一种液体。
Y = ω 2 r sin α = ω 2 y Z = −g
z ω
1.等压面方程 1.等压面方程
dp = ω 2 xdx + ω 2 ydy − gdz = 0
⇓ 积分
ω 2 x2
2 +
p0
o
m
h z
zs y
ω 2 y2
2
− gz = C
ω 2r 2
2
− gz = C
等压面是一簇绕z轴的旋转抛物面。 等压面是一簇绕z轴的旋转抛物面。 自由液面： 自由液面： x=0 z=0 C=0
ρ
h
△z
ρ
计
三、压力传感器 压电式压力传感器 压阻式压力传感器 应变式压力传感器
15:51
§2.4 液体的相对平衡
一、等加速水平运动容器中液体的相对平衡
容器以等加速度a 容器以等加速度a向右作水平直线运动
§2.4 液体的相对平衡
一、等加速水平运动容器中液体的相对平衡
容器以等加速度a 容器以等加速度a向右作水平直线运动
工程流体力学
第二章 流体静力学
§2.1 流体静压强及其特性
一、流体的静压强
流体处于绝对静止或相对静止时的压强
p = lim
∆A
∆P dP = ∆A dA
二、流体静压强的两个特性
1. 方向性
流体静压力的方向总是沿着作用面的内法线方向； 流体静压力的方向总是沿着作用面的内法线方向；
原因:(1)静止流体不能承受剪力，即τ=0，故p垂直受压面； :(1)静止流体不能承受剪力 静止流体不能承受剪力， τ=0， 垂直受压面； (2)因流体几乎不能承受拉力， (2)因流体几乎不能承受拉力，故p指向受压面。 因流体几乎不能承受拉力 指向受压面。
∂p ρXdxdydz − dxdydz = 0 ∂x
1 ∂p X− =0 ρ ∂x
z
f,p,ρ
a dx y z c dz
p+ ∂p/∂x•dx/2
x
x
同理，考虑y 同理，考虑y，z方向，可得: 方向，可得:
X − Y − Z − ∂ p = 0 ρ ∂ x 1 ∂ p = 0 ρ ∂ y 1 ∂ p = 0 ρ ∂ z 1
dy o z x
a dz dx y z y
§2.2 流体平衡微分方程式
以x方向为例,列力平衡方程式 方向为例, 表面力： 表面力： 质量力: 质量力:
据∑ Fx = 0,
∂p pb dydz − pc dydz = − dxdydz ∂x
X ⋅ ρdxdydz
y p- ∂p/∂x•dx/2 dy b o
五、测压计
1、液柱式测压计
1）测压管
测压管是一根直径均匀的玻璃管， 测压管是一根直径均匀的玻璃管，直接连在需要测量压强的 容器上，以流体静力学基本方程式为理论依据。 容器上，以流体静力学基本方程式为理论依据。 表压 真空 优点： 优点：结构简单
A
pe = ρgh
pv = ρgh
p0
pa
pv
h
h pa
1 p x − p n + X ⋅ ρ dx = 0 3 1 p y − p n + Y ⋅ ρ dy = 0 3 1 p z − p n + Z ⋅ ρ dz = 0 3
略去无穷小项
y D
pz
pn
px
dz
B z
dy o dx
⇒
C x
py
p x = p y = p z = pn
3）U形管差压计
测量同一容器两个不同位置的压差或不同容器的压强差。 测量同一容器两个不同位置的压差或不同容器的压强差。
p1 = pA + ρg(h + h2 ) p2 = pB + ρg(h + ∆z) + ρ2 gh2
B
⇓
p1 = p2
A
h2
pA + ρg(h + h2 ) = pB + ρg(h + ∆z) + ρ2 gh2 pA − pB = ρg(∆z − h2 ) + ρ2 gh2
p0 o
m
h z
zs y
利用边界条件： 利用边界条件：
x=0 z=0
得： C = p 0
p = p0 + ρg (
p = p0
ω 2r 2
2g − z)
ω r
2 2
o y
αr
y x ω2y ω2r
⇓
zs =
2g
p = p0 + ρg ( z s − z ) = p0 + ρgh
x
ω2x
二、等角速旋转容器中液体的相对平衡
二、流体静压强的两个特性
2. 大小
流体静压力与作用面在空间的方位无关，仅是该点坐标的函数。 流体静压力与作用面在空间的方位无关，仅是该点坐标的函数。
1 1 px ⋅ dydz − pn ⋅ dA cos(n, x) + X ⋅ ρ dxdydz = 0 2 6 ⇓
1 p x − p n + X ⋅ ρ dx = 0 3
p z+ =C ρg
位 置 水 头 压 强 水 头 静 水 头
z
位 压 势 强 能 势 能
p0
h
hp p
a
在重力作用 下的连续均质不 可压缩静止流体 中，各点的单位 重力流体的总势 能保持不变。 能保持不变。
在重力作用 下的连续均质不 可压缩静止流体 中，静水头线为 水平线。 水平线。
z o x
自 液 的 程 z0, 强 p0 由 面 高 为 压 为
z=− a x+c g
z
等压面是一簇平行的斜面。 等压面是一簇平行的斜面。
自由液面： 自由液面： x=0 z=0 C=0
h a m α f g
zs z
a o p α
0
x
⇓
zs = − a x g
2. 静压强分布规律
dp = ρ ( Xdx + Zdz ) = ρ (−adx − gdz)
p = − ρ (ax + gz ) + C
z
h a m α f g
zs z
a o p α
0
f,p,ρ
a dx y z c dz
p+ ∂p/∂x•dx/2
上式即为流体平衡微分方程(欧拉平衡微分方程) 上式即为流体平衡微分方程(欧拉平衡微分方程) 流体平衡微分方程 z
x
y
物理意义： 物理意义： 在静止流体中，单位质量流体上的质量力与静压强的合力相平衡。 在静止流体中，单位质量流体上的质量力与静压强的合力相平衡。 适用范围： 适用范围： 所有静止流体或相对静止的流体。 所有静止流体或相对静止的流体。
z
容器以等角速度ω 容器以等角速度ω旋转
ω
质量力
X = ω r cos α = ω x Y = ω 2 r sin α = ω 2 y Z = − g
2 2
p0 o
m
h z
zs y
o y
αr
y x ω2y ω2r
x
ω2x
二、等角速旋转容器中液体的相对平衡
质量力 X = ω 2 r cos α = ω 2 x
∂U ∂U ∂U X＝ ， = Y Z ， = ∂z ∂x ∂y
∂U ∂U ∂U X＝ ，Y = ，Z = ∂x ∂y ∂z
→
f = Xi + Yj + Zk
dp = ρ(Xdx +Ydy + Zdz) = 0
dU ∂U dx + ∂U dy + ∂U dz = 0 ＝ ∂x ∂y ∂z
ds = dxi + dyj + dzk
h
z+
p
γ
= z0 +
p0
γ
1
h=Z0-Z
p = p0 +γ (z0 − z)
水静力学基本方程
p = p0 +γh
4、相对压强、真空压强 相对压强、
（1）绝对压强 以绝对真空为基准计量的压强。 以绝对真空为基准计量的压强。 相对压强+ =相对压强+大气压强 （2）相对压强 以当地大气压强为基准计量的压强。 以当地大气压强为基准计量的压强。 绝对压强=绝对压强-大气压强 大气压强-绝对压强 （3）真空度=大气压强 绝对压强 标准大气压：海平面上大气压强， 标准大气压：海平面上大气压强，atm=101325Pa 工程大气压： =9.80665× 工程大气压：at=1kgf/cm2=9.80665×104Pa g与万有引力有关。国际上将在纬度45°的海平面精确测得物 与万有引力有关。国际上将在纬度45° 45 体的重力加速度g=9.80665 g=9.80665米 ^2;作为重力加速度的标准值 作为重力加速度的标准值。 体的重力加速度g=9.80665米／秒^2;作为重力加速度的标准值。 水银ρ 水银ρ=13.5951kg/l
缺点： 缺点：只能测量较小的压强
2）U形管测压计
pa
p1 = p + ρgh 1
p2 = pa + ρ2 gh2
h2
ρ
p
A
h1
1 ρ2
2
⇓
p1 = p2
p = pa + ρ2 gh2 − ρgh 1 pe = ρ2 gh2 − ρgh 1
优点： 优点：可以测量较大的压强
原理：对于不可压缩的静止流体， 等压面为平面 要求：容器连通、不可压缩、静止 流体、互不相混的同一种液体。
Y = ω 2 r sin α = ω 2 y Z = −g
z ω
1.等压面方程 1.等压面方程
dp = ω 2 xdx + ω 2 ydy − gdz = 0
⇓ 积分
ω 2 x2
2 +
p0
o
m
h z
zs y
ω 2 y2
2
− gz = C
ω 2r 2
2
− gz = C
等压面是一簇绕z轴的旋转抛物面。 等压面是一簇绕z轴的旋转抛物面。 自由液面： 自由液面： x=0 z=0 C=0
ρ
h
△z
ρ
计
三、压力传感器 压电式压力传感器 压阻式压力传感器 应变式压力传感器
15:51
§2.4 液体的相对平衡
一、等加速水平运动容器中液体的相对平衡
容器以等加速度a 容器以等加速度a向右作水平直线运动
§2.4 液体的相对平衡
一、等加速水平运动容器中液体的相对平衡
容器以等加速度a 容器以等加速度a向右作水平直线运动
工程流体力学
第二章 流体静力学
§2.1 流体静压强及其特性
一、流体的静压强
流体处于绝对静止或相对静止时的压强
p = lim
∆A
∆P dP = ∆A dA
二、流体静压强的两个特性
1. 方向性
流体静压力的方向总是沿着作用面的内法线方向； 流体静压力的方向总是沿着作用面的内法线方向；
原因:(1)静止流体不能承受剪力，即τ=0，故p垂直受压面； :(1)静止流体不能承受剪力 静止流体不能承受剪力， τ=0， 垂直受压面； (2)因流体几乎不能承受拉力， (2)因流体几乎不能承受拉力，故p指向受压面。 因流体几乎不能承受拉力 指向受压面。
∂p ρXdxdydz − dxdydz = 0 ∂x
1 ∂p X− =0 ρ ∂x
z
f,p,ρ
a dx y z c dz
p+ ∂p/∂x•dx/2
x
x
同理，考虑y 同理，考虑y，z方向，可得: 方向，可得:
X − Y − Z − ∂ p = 0 ρ ∂ x 1 ∂ p = 0 ρ ∂ y 1 ∂ p = 0 ρ ∂ z 1
dy o z x
a dz dx y z y
§2.2 流体平衡微分方程式
以x方向为例,列力平衡方程式 方向为例, 表面力： 表面力： 质量力: 质量力:
据∑ Fx = 0,
∂p pb dydz − pc dydz = − dxdydz ∂x
X ⋅ ρdxdydz
y p- ∂p/∂x•dx/2 dy b o
五、测压计
1、液柱式测压计
1）测压管
测压管是一根直径均匀的玻璃管， 测压管是一根直径均匀的玻璃管，直接连在需要测量压强的 容器上，以流体静力学基本方程式为理论依据。 容器上，以流体静力学基本方程式为理论依据。 表压 真空 优点： 优点：结构简单
A
pe = ρgh
pv = ρgh
p0
pa
pv
h
h pa
1 p x − p n + X ⋅ ρ dx = 0 3 1 p y − p n + Y ⋅ ρ dy = 0 3 1 p z − p n + Z ⋅ ρ dz = 0 3
略去无穷小项
y D
pz
pn
px
dz
B z
dy o dx
⇒
C x
py
p x = p y = p z = pn
3）U形管差压计
测量同一容器两个不同位置的压差或不同容器的压强差。 测量同一容器两个不同位置的压差或不同容器的压强差。
p1 = pA + ρg(h + h2 ) p2 = pB + ρg(h + ∆z) + ρ2 gh2
B
⇓
p1 = p2
A
h2
pA + ρg(h + h2 ) = pB + ρg(h + ∆z) + ρ2 gh2 pA − pB = ρg(∆z − h2 ) + ρ2 gh2
p0 o
m
h z
zs y
利用边界条件： 利用边界条件：
x=0 z=0
得： C = p 0
p = p0 + ρg (
p = p0
ω 2r 2
2g − z)
ω r
2 2
o y
αr
y x ω2y ω2r
⇓
zs =
2g
p = p0 + ρg ( z s − z ) = p0 + ρgh
x
ω2x
二、等角速旋转容器中液体的相对平衡
二、流体静压强的两个特性
2. 大小
流体静压力与作用面在空间的方位无关，仅是该点坐标的函数。 流体静压力与作用面在空间的方位无关，仅是该点坐标的函数。
1 1 px ⋅ dydz − pn ⋅ dA cos(n, x) + X ⋅ ρ dxdydz = 0 2 6 ⇓
1 p x − p n + X ⋅ ρ dx = 0 3
p z+ =C ρg
位 置 水 头 压 强 水 头 静 水 头
z
位 压 势 强 能 势 能
p0
h
hp p
a
在重力作用 下的连续均质不 可压缩静止流体 中，各点的单位 重力流体的总势 能保持不变。 能保持不变。
在重力作用 下的连续均质不 可压缩静止流体 中，静水头线为 水平线。 水平线。
z o x
自 液 的 程 z0, 强 p0 由 面 高 为 压 为
z=− a x+c g
z
等压面是一簇平行的斜面。 等压面是一簇平行的斜面。
自由液面： 自由液面： x=0 z=0 C=0
h a m α f g
zs z
a o p α
0
x
⇓
zs = − a x g
2. 静压强分布规律
dp = ρ ( Xdx + Zdz ) = ρ (−adx − gdz)
p = − ρ (ax + gz ) + C
z
h a m α f g
zs z
a o p α
0