数论的方法和技巧05整数的p进位制及其应用

整数的p 进位制及其应用基础知识给定一个m 位的正整数A ，其各位上的数字分别记为021,,,a a a m m --，则此数可以简记为：021a a a A m m --=（其中01≠-m a ）。

由于我们所研究的整数通常是十进制的，因此A 可以表示成10的1-m 次多项式，即12211101010a a a a A m m m m +⨯++⨯+⨯=---- ，其中1,,2,1},9,,2,1,0{-=∈m i a i 且01≠-m a ，像这种10的多项式表示的数常常简记为10021)(a a a A m m --=。

在我们的日常生活中，通常将下标10省略不写，并且连括号也不用，记作021a a a A m m --=，以后我们所讲述的数字，若没有指明记数式的基，我们都认为它是十进制的数字。

为了具备一般性，我们给出正整数A 的p 进制表示：012211a p a p a p a A m m m m +⨯++⨯+⨯=---- ，其中1,,2,1},1,,2,1,0{-=-∈m i p a i 且01≠-m a 。

而m 仍然为十进制数字，简记为p m m a a a A )(021 --=。

典例分析例1．(2007年中国数学奥林匹克协作体竞赛试题)假定正整数N 的8进制表示为8)43211234567765(=N ，那么下面四个判断中，正确的是（ ）A 、N 能被7整除而不能被9整除B 、N 能被9整除而不能被7整除C 、N 不能被7整除也不能被9整除D 、N 既能被7整除也能被9整除 答 D由于)7(mod 18≡，所以)7(m od 18≡i()∑∑==-≡==ki ki i ii k k a a a a a a N 08011)7(mod 8即N 能被7整除⇔N 的8进制表示下各位数字之和能被7整除。

类似的，N 能被9整除⇔N 的8进制表示下奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被9整除例2． 一个正整数，如果用7进制表示为abc ，如果用5进制表示为cba ，请用10进制表示这个数.解：由题意知：0＜a,c≤4,0≤b≤4,设这个正整数为n,则n ＝abc ＝a×72＋b×7＋c, n=cba =c×52＋b×5＋a ∴49a ＋7b ＋c ＝25c ＋5b ＋a48a ＋2b －24c ＝0， b ＝12(c －2a) ∴12｜b, 又∵0≤b≤4 ∴b ＝0, ∴c ＝2a ∴当a ＝1,c ＝2时，n ＝51 当a ＝2,c ＝4时，n ＝102例3．（第4届美国数学邀请赛试题）递增数列1,3，4,9，10,12,13，……是由一些正整数组成，它们或是3的幂，或是若个不同的3的幂之和，求该数列的第100项。

解：将已知数列写成3的方幂形式：,333,33,33,3,33,3,30127126025240131201++=+=+==+===a a a a a a a易发现其项数恰好是自然数列对应形式的二进制表示：即 ,2227,226,225,24,223,22,2101220220110++=+=+==+=== 由于100＝2562222)1100100(++=所以原数列的第100项为981333256=++。

例4．（1987年加拿大数学竞赛试题）1987可以在b 进制中写成三位数xyz ，如果7891+++=++z y x ，试确定所有可能的z y x ,,,和b 。

解：易知25,19872=++=z y x xb ，从而162)1()1(2=-+-b y b x ， 即109321962])1)[(1(2⨯⨯==++-y x b b ，由10>b 知91>-b 。

由119622-≥b 知451963<≤b 故4519<-<b ； 又因为1093219622⨯⨯=有12个正约数，分别为1,2，3,6，9,18,109,218,327,654,981,1962，所以181=-b ，从而19=b 。

又由1119919519872+⨯+⨯=知.11,9,5===z y x例5．（第3届加拿大数学竞赛试题）设n 是五位数（第一个数码不是零），m 是由n 取消它的中间一个数码后所成的四位数，试确定一切n 使得mn是整数。

解：设v u z y x xyzuv n +⋅+⋅+⋅+⋅==10101010234，其中}9,,2,1,0{,,,, ∈v u z y x 且1≥x ；v u y x xyuv m +⋅+⋅+⋅==10101023； 而mnk =是整数，可证n m <9，即<+⋅+⋅+⋅)101010(923v u y x v u z y x +⋅+⋅+⋅+⋅10101010234 即z y x v u 223101010880++<+，这显然是成立的；又可证m n 11<，即v u z y x +⋅+⋅+⋅+⋅10101010234＜)101010(1123v u y x +⋅+⋅+⋅ 即v u y x z 10101010102232+++<，这显然也是正确的。

于是m n m 119<<，即119<<k ，又因为k 是整数，从而10=k ； 于是m n 10=，即v u z y x +⋅+⋅+⋅+⋅10101010234＝)101010(1023v u y x +⋅+⋅+⋅ 即)10(9990102v v u z +=+=⋅，而z 210|9但3 102知t t z (9=为正整数） 从而v u t +=⋅10102，显然0===v u t ，因而推得31000⋅==N xyz n 其中9910≤≤N 。

例6. (1999年，保加利亚数学奥林匹克试题)．求所有的自然数n 的个救，4≤n≤ 1023．使得n 在二进制表示下，没有连续的三个数码相同．例7. （l995年．南斯拉夫数学奥林匹克试题）设n是正整数，n的二进制表示中恰有1995个l，求证：2n-1995整除n!例8. (1982年英国数学奥林匹克试题)设自然数n为17的倍数，且在二进制写法中恰有三个数码为1.证明n的二进制写法中至少有六个数码为0，且若恰有7个数码为0，则n是偶数。

例9. （第12届IM O 试题）设a ，b ，n 均大于1．在a 进制中，.,010211x x x A x x x A n n n n n n ----==在b 进制中，.,010211x x x B x x x B n n n n n n ----==其中 .0,01=/=/-n n x x证明：当且仅当a>b 时，n n nn B B A A 11--<例10．已知利用的砝码可以使重量是连续自然数的63个重物平衡，求这组砝码．例11.（2005年中国奥林匹克协作体夏令营试题）如果一个正整数n 在三进制下表示的各数字之和可以被3整除，那么我们称n 为“好的”，则前2005个“好的”正整数之和是多少？解：首先考虑“好的”非负整数，考察如下两个引理：引理1.在3个连续非负整数23,13,3++n n n （n 是非负整数）中，有且仅有1个是“好的”。

证明：在这三个非负整数的三进制表示中，0,1，2各在最后一位出现一次，其作各位数字相同，于是三个数各位数字之和是三个连续的正整数，其中有且仅有一个能被3整除（即“好的”），引理1得证。

引理2.在9个连续非负整数89,19,9++n n n （n 是非负整数）中，有且仅有3个是“好的”。

把这3个“好的”非负整数化成三进制，0,1，2恰好在这三个三进制数的最后一位各出现一次。

证明：由引理1不难得知在9个连续非负整数89,19,9++n n n （n 是非负整数）中，有且仅有3个是“好的”。

另一方面，在这三个“好的”非负整数的三进制表示中，最高位与倒数第三位完全相同，倒数第二位分别取0,1，2。

若它使它们成为“好的”非负整数，则最后一位不相同，引理2得证。

将所有“好的”非负整数按从小到大的顺序排成一列，设第2004个“好的”非负整数为m ，根据引理1，得3200432003⨯<≤⨯m ，即60126009<≤m 。

设前m 个“好的”正整数之和为m S ，由于前2003个“好的”正整数之和等于前2004个“好的”非负整数之和。

因此602302220043)2003210(2003=+⨯+++= S ； 又因为310)22020201()6013(=和310)22020210()6015(=都是“好的”正整数。

因此前2005年“好的”正整数之和是：60350506015601320032005=++=S S 。

例12. 把所有3的方幂及互不相等的3的方幂的和排列成一个递增数列：10,12，13，… 求这个数列的第100项．例13. （第12届IM O 试题）设a ，b ，n 均大于1．在a 进制中，.,010211x x x A x x x A n n n n n n ----== 在b 进制中，.,010211x x x B x x x B n n n n n n ----== 其中 .0,01=/=/-n n x x 证明：当且仅当a>b 时，n n nn B B A A 11--<课外练习题1.（2005年全国高中数学联赛试题）记集合}6,5,4,3,2,1,0{=T ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∈+++=4,3,2,1,77774433221i T a a a a a M i，将M 中的元素按从大到小顺序排列，则第2005个数是A.43273767575+++ B. 43272767575+++ C. 43274707171+++ D.43273707171+++ 2. 证明：对任何k k z k ,6,≥∈进制数k )123454321(是完全平方数．3. 设V ，W ，X ，Y ，Z 为5个五进制数码．五进制下的三个三位(VYZ)5，(VYX)5，（VVW ）5以公差为1依次递增．问在十进制中,三位数(XYZ)5等于多少？4. 设,222199721n a a a +++= 其中n a a a ,,,21 是互不相等的非负整数，求n a a a +++ 21的值．5. 设1987可以写在b 进制三位数,)(b xyz 且+=++1z y x ,789++试确定所有可能的x,y,z 及b 值．6. 求使12-n 能被7整除的所有正整数n ．7. 若二进制数2011)(a a a a n m m -=满足=-2011)(a a a a m m ,)(2110m m a a a a - 则称n 为“二进制回文数”，问在不超过1988的正整数中有多少个“二进制回文数”？8. 对每个正整数,,n k 令)(n s k 为n 在k 进制中的数字和，求证：对于小于20000的素数p ，)(31P s 中至多有两个值为合数．9. 设00,b a 是正整数，定义数列 ,,,210a a a 和 ,,,210b b b 如下：.,2,1,0,2],2[11 ===++k b b a a k k kk 若p 是使得1=P a 的数，求证：对所有使得j a 是奇数的j b 的和等于⋅00b a10. 设集合,2,1},8,,2,1,0{|9999{4433221=∈+++=i a a a a a A i ),4,3把A 中各数按照从大到小的顺序排列，求第1997个数．m为正整数，定义f(m)为m! 中因数2的个数（即满足2k|m!的最大整数k）。