函数图像及应用
函数图像的特点和应用
函数图像的特点和应用函数图像是数学中重要的概念之一。
简单来说，函数图像是指通过一个函数所能形成的所有点的集合所构成的曲线或直线。
对于每一个输入值，函数都会输出一个输出值。
函数图像将这些输入输出点联系在一起，形成了一个几何图形。
函数图像的特点在创建函数图像时，需要考虑一些因素，如定义域，值域，奇偶性，单调性，周期等。
这些因素决定了函数图像的特点，其中一些特点是：1. 函数图像的对称性函数图像可以有对称以及不对称的形式，其中最常见的是关于x轴或y轴对称。
例如，函数y = x²在原点处对称，而函数y = sin(x)在原点处不对称。
2. 函数的单调性从某个点开始，如果函数值单调上升或下降，则称为单调递增或递减。
函数图像在递增或递减中形成了一个连续的曲线。
3. 函数的周期性周期性是指函数以固定间隔重复的性质。
例如，正弦函数是一个周期性函数，其周期为2π。
周期可以用来研究函数的性质。
4. 函数的局部极值表示函数的最大值或最小值。
在函数图像上，局部极值为函数图像上的转折点，是函数图像上的重要特点。
5. 函数的渐进线函数图像的渐进线是指函数趋近于某个值时在某一个方向的极限曲线。
例如，在函数y = 1/x中，当x趋近于0时，y趋近于无穷大。
这条线便是x轴的渐进线。
应用函数图像不仅仅是学习数学的基础，还在科学和工程中经常被使用。
其中一些应用包括：1. 统计学在统计学中，函数图像经常被用来显示数据的变化。
例如，在管理学中，函数图像被用来表示市场需求。
2. 物理学物理学中的很多概念和理论都可以用函数图像表示。
例如，自由落体物体的高度和时间之间的关系，可以用二次函数y = 1/2 gt²表示，其中g是重力加速度，t是时间。
3. 工程学工程学中的很多信息可以通过函数图像来表示，例如，用调和振动函数来表示钢桥的弹性行为，或者使用多项式函数来建模。
4. 经济学宏观经济学中的一些关键概念也可以用函数图像来表示。
五个重要的初等函数的图像和性质
五个重要的初等函数的图像和性质：一、羊角线：y=|x-a|（1）图像性质：单调性，对称性，（2）应用：①方程|x-2|=2a-1有两个不等实根，求a 的取值范围；②|x-2|=(1/2)x+a 有两个不等实根，求a 的取值范围；③若y=|x-2a+1|是偶函数，求a 的取值范围；二、槽形线：y=|x-a|+|x-b|（1）图像：值域，单调性，对称性（2）应用：①方程|x-2|+|x-3|=2a-1有2个不等实根，求a 的取值范围；②|x-2|+|x-3|> 2a+1恒成立，求a 的取值范围；③若y=|x-2a|+|x-3a+1|是偶函数，求a 的值；④若|x-2|+|x-3|> 3，求a 的取值范围.三、Z 形线：y=|x-a|-|x-b|（1）图像：值域，单调性，对称性（2）应用：①方程|x-2|+|x-3|=2a-1仅有一个实根，求a 的取值范围；②若|x-2|-|x-3|> 2a+1恒成立，求a 的取值范围；③若y=|x-2a|-|x-3a+1|是奇函数，求a 的值；④若|x+2|-|x-3|> 3，求a 的取值范围.引申：无解问题，有解问题 四、最简分式函数：bc)ad 0,(c dcx b ax y ≠≠++= （1）图像：定义域、值域、单调性、对称性、对称中心原式化为：dcx c a d cx b d cx y c ad bc c ad ca ++=++-+=-)(，移项整理则有：)(c d cad bc c ad bc x d cx c a y --=+=---故有： ⅰ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≠⎪⎩⎪⎨⎧=-=-≠≠++=;)2(),,()1(),0(的一切实数值域为渐近线为双曲线中心为c a y c a y c d x c a c d bc ad c d cx b ax y ； ⅱ当02>-cad bc 即ad bc >时，函数由反比例函数将对称中心按向量),(c a c d -=ξ平移，再经过横向的伸缩变换（102<-<c ad bc 时横向伸长，21cad bc -<时横向缩短）而得； ⅲ当20cad bc -<即ad bc <时，函数由反比例函数将对称中心按向量),(c a c d -=ξ平移，然后做关于X 轴的对称变换，再经过横向的伸缩变换而得（1||02<-<c ad bc 时横向伸长，||12cad bc -<时横向缩短）而得。
函数的图像及其性质研究与应用
函数的图像及其性质研究与应用函数是数学中一个非常重要的概念，它描述了两个集合之间的一种对应关系。
在实际应用中，函数的图像是我们研究和分析函数性质的重要工具之一。
本文将从几个方面来探讨函数的图像及其性质的研究与应用。
一、函数的图像函数的图像是指函数在坐标系中的表示形式。
通常我们用平面直角坐标系来表示函数的图像，其中横轴表示自变量，纵轴表示因变量。
函数的图像可以通过绘制函数的关系式来得到。
例如，对于一元函数y=f(x)，我们可以通过给定自变量x的值，计算相应的因变量y的值，然后在坐标系中绘制这些点，最终得到函数的图像。
函数的图像可以帮助我们直观地理解函数的性质。
通过观察函数的图像，我们可以了解函数的增减性、奇偶性、周期性等特征。
例如，对于增函数来说，函数的图像随着自变量的增大而上升；对于周期函数来说，函数的图像在一个周期内重复出现。
二、函数的性质研究函数的性质研究是数学中的一个重要分支，它帮助我们深入理解函数的行为规律。
函数的性质包括但不限于增减性、奇偶性、周期性、单调性等。
1. 增减性函数的增减性描述了函数在定义域内的增减趋势。
对于一元函数来说，如果函数在某个区间内的导数大于零，则函数在该区间内是增函数；如果函数在某个区间内的导数小于零，则函数在该区间内是减函数。
通过研究函数的增减性，我们可以确定函数的极值点和拐点，进而帮助解决最优化问题。
2. 奇偶性函数的奇偶性描述了函数的对称性。
对于一元函数来说，如果函数满足f(-x)=-f(x)，则函数是奇函数；如果函数满足f(-x)=f(x)，则函数是偶函数。
奇函数的图像关于原点对称，而偶函数的图像关于纵轴对称。
奇偶性的研究有助于简化函数的运算和化简复杂的表达式。
3. 周期性周期函数是一类具有重复性质的函数。
对于周期函数来说，存在一个正数T，使得对于任意的x，函数满足f(x+T)=f(x)。
周期函数的图像在一个周期内重复出现，因此我们只需要研究一个周期内的行为即可。
函数及其图象函数的图像函数的图象
2023函数及其图象•函数的基本概念•函数的图像•不同类型函数的图像目录•函数图像的应用•函数图像的艺术01函数的基本概念设x和y是两个变量，D是一个给定的集合，在D上有唯一确定的y值与x对应，则称y是x的函数，记作y=f(x)。
集合D称为函数的定义域，x称为自变量，y称为因变量。
函数的定义函数的表示方法图象法用图象表示函数，如f(x)=x^2的图象为开口向上的抛物线。
表象法用表格表示函数，如t=sin(x)。
解析法用等式表示函数，如y=2x+1。
函数的分类•常数函数：f(x)=c(c为常数)•一次函数：f(x)=kx+b(k,b为常数，k≠0)•二次函数：f(x)=ax^2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)•反比例函数：f(x)=k/x(k为常数，k≠0)•幂函数：f(x)=x^a(a为常数)•指数函数：f(x)=a^x(a为常数，a>0且a≠1)•对数函数：f(x)=log_a x(a为常数，a>0且a≠1)•复合函数：f(x)=u(x)+g(x)，其中u和g都是简单函数。
02函数的图像1函数图像的概念23将函数表达式中自变量与因变量之间的关系用图形表示出来。
函数图像在平面直角坐标系中，以横轴表示自变量，纵轴表示因变量。
坐标系根据函数表达式的性质，图像呈现不同形状，如直线、曲线、折线等。
函数图像的形状描点法根据函数表达式，求出一些自变量对应的因变量值，然后在坐标系上描出对应的点，最后用平滑的曲线或直线将这些点连接起来。
图示法利用计算器或编程语言，直接在计算机上绘制出函数图像。
绘制函数图像的方法函数图像的变换伸缩将函数图像按比例进行缩放，可以是横向或纵向。
平移将函数图像沿横轴或纵轴方向移动一定距离。
翻折将函数图像以某一条直线或点为对称中心进行翻折。
复合变换以上变换可以同时进行，也可以多次进行。
旋转将函数图像按一定角度顺时针或逆时针旋转一定角度。
03不同类型函数的图像线性函数一次函数的图像是直线，表达式为$y=kx+b$，其中$k$是斜率，$b$是截距。
高考数学中的函数图像变换及其应用
高考数学中的函数图像变换及其应用高考数学作为广大学生面临的一大挑战，其中数学分值占比不容忽视，其中函数图像变换的相关知识成为了考生备考重点之一。
本文将介绍这些知识，并探讨其相关应用。
一、函数图像的平移平移是函数图像变换中最基本的一种，它是通过改变函数图像与坐标轴的相对位置来实现的。
其中，平移的方向与距离是决定平移效果的两个重要因素。
对于一般的函数y=f(x)，将它的图像向右平移a个单位长度的方法如下：设新函数为y=f(x-a)，则各个点的实际位置为（x+a，y），根据平移的原理，需要将这些点在坐标系中向左平移a个单位长度即可实现。
类似地，将函数图像向左平移a个单位长度的方法就是y=f(x+a)，而将其上移或下移b个单位长度的方法分别为y=f(x)+b 和y=f(x)-b。
函数图像的平移主要应用于研究函数图像的周期性，以及改变其输出值区间、控制其渐进线等方面。
二、函数图像的伸缩伸缩也是函数图像变换中常用的一种方法，它是通过改变函数图像沿x、y轴的长度比例来实现的。
对于一般的函数y=f(x)，将其图像沿x轴方向压缩k倍的方法如下：设新函数为y=f(kx)，则每个点的实际位置为（x/k，y），因此只需将这些点在坐标系中沿x轴方向伸缩k倍即可。
类似地，函数图像沿y轴方向压缩k倍的方法为y=kf(x)，而沿x、y轴方向伸缩k倍的方法分别为y=f(x/k)和y=kf(kx)。
函数图像的伸缩主要应用于研究函数图像的单调性、极值、导数等性质，以及折线图、曲线图的绘制等方面。
三、函数图像的旋转旋转是函数图像变换中相对复杂的一种，它是通过改变函数图像与坐标轴的相对位置和形状来实现的。
对于一般的函数y=f(x)，将其图像沿原点逆时针旋转α角的方法如下：设新函数为y=f(xcosα+ysinα)，则原函数中每个点的坐标（x，y）将变为（xcosα+ysinα，-xsinα+ycosα），按照旋转的原理，需要将这些点在坐标系中沿逆时针方向旋转α角度即可实现。
函数图像的基本特征与应用
函数图像的基本特征与应用函数图像是数学中的重要内容之一，函数通常是指一个变量集合与另一个变量集合之间的映射关系。
在我们日常生活中，很多经济、科学和技术问题都可以用函数来描述。
通过观察函数图像的形态，我们可以发现很多特征，了解函数的性质，对于问题的解决有极大的帮助。
本文将介绍函数图像的基本特征与应用。
一、函数的基本特征函数图像的基本特征有：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性和渐近线等。
1. 定义域和值域函数的定义域和值域是该函数的两个基本元素。
其中，定义域是指函数所能取到的所有自变量的取值范围，值域是指函数在定义域内所能取到的所有因变量的取值范围。
在函数图像中，定义域通常是横轴上的一段区间，值域通常是纵轴上的一段区间。
2. 单调性函数的单调性是指当定义域内的自变量增大时，函数值是单调递增还是单调递减。
如果函数单调递增，其图像将呈现出从左向右逐渐上升的曲线形态，如果函数单调递减，则图像将呈现出从左向右逐渐下降的曲线形态。
3. 奇偶性函数的奇偶性是指，当自变量变为相反数时，函数值是否改变。
如果函数在变化后值不变，则称函数为偶函数，反之为奇函数。
偶函数的图像通常呈现出轴对称的形状，奇函数的图像通常呈现出中心对称的形状。
4. 周期性函数的周期性是指，如果存在一个正数T，使得对于所有自变量x，都有f(x+T) = f(x)，那么函数就具有周期T。
周期函数的图像通常呈现出一段重复出现的形态，可以用周期推断函数的性质。
5. 渐近线当函数的定义域趋于无穷时，函数图像可能会趋于一条直线，这个直线称为函数的渐近线。
函数的渐近线可以判断函数的增长趋势和极限值。
二、函数图像的应用函数图像的应用非常广泛，既可以用于科学和工程领域中的建模，也可以用于纯数学研究。
以下是几个常见的应用。
1. 数值计算我们可以用函数图像的形态来计算函数在某些特定点的值。
当自变量x取某一具体值时，函数图像的纵坐标即是函数的值。
同时，我们还可以用函数图像的单调性、奇偶性等特征来进行加速计算，这对于数据密集的计算任务有很大的优化效果。
函数图像的画法
04 利用计算器或软件绘制函 数图像
使用计算器绘制函数图像
确定函数表达式
首先需要确定要绘制的函数表达式， 例如 y = x^2。
选择计算器功能
在计算器上找到绘制函数图像的功能， 通常在科学计算器上会有专门的图形 功能键。
输入函数表达式
将函数表达式输入到计算器的相应位 置。
开始绘图
按下绘图功能键，计算器会自动绘制 出该函数的图像。
函数图像的画法
contents
目录
• 函数图像的基本概念 • 常见函数的图像画法 • 函数图像的变换 • 利用计算器或软件绘制函数图像 • 函数图像的应用
01 函数图像的基本概念
函数图像的定义
函数图像
函数图像是将函数的每一个自变 量x值与对应的因变量y值，用点 表示出来，并将这些点用线连接 起来形成的图形。
二次函数的图像
总结词
抛物线形状
详细描述
二次函数图像是抛物线。根据抛物线的开口方向和顶点位置，二次函数可以分为开口向上、向下、向左和向右四 种类型。在直角坐标系中，二次函数的标准形式为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数，a 不等于 0。
三角函数的图像
总结词
周期性波形
详细描述
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
缺点
需要一定的编程基础，对于初学者来说可能需要一定的学习 成本。另外，软件绘图可能需要较长时间才能掌握其各种功 能和操作技巧。
05 函数图像的应用
在数学中的应用
解析几何
函数图像可以用来表示解析几何中的曲线、曲面等，帮助理解几 何概念和性质。
微积分
函数图像在微积分中用于描述函数的单调性、极值、拐点等，有助 于理解函数的性质和变化规律。
函数、方程、不等式以及它们图像_课件
2019/11/28
29
解： 由于x的任意性，则只有当 T1的时候可能恒成立 ①当 T1时，sik ( n x 1 ) sik n x k () sik nx 恒成立 k2m ，mZ
②当T1时，
sik (n x 1 ) sik n x k () sikn 恒x 成立
20
解：（2）
已知f(x)图像关于x=1对称（ xR，都有 2x x 1 ）
2 xR有 f(2x)f(x)
2019/11/28
21
解： 又f(x)是R上的偶函数 f(x)f(x) f[2(x) ]f(x) f(2x)f(x)
f(2x)f(x) 即f(x)是以2为周期的周期函数
abc2c，且 ab1c
2019/11/28
11
解： 即a,b是一元二次方程 x2(1c)xc2c0的两个不相等 的根，且两根都大于c，令 f(x)x2(1c)xc2c，则图像与 x轴有两个交点且都在 (c,) 内， 又图像开口向上
2019/11/28
12
解：
函数、方程、不等式 以及它们的图像
2019/11/28
1
函数是中学数学的一个重要概念。函数 的思想，就是用运动变化的观点，分析和 研究具体问题中的数量关系，建立函数关 系，运用函数的知识，使问题得到解决。
2019/11/28
2
和函数有必然联系的是方程，方程
f(x) 0的解就是函数 yf(x) 的图像 与x轴的交点的横坐标，函数 yf(x)
2
f(x)f(y)f1xxyy 。（1）证明： f ( x ) 在 (1,1) 上是奇函数；
2019/11/28
32
（2）对于数列 {x n } ，若
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函数图像及应用
一、图像变换：
1、平移变换：y=f(x) y=f(x+h)（h>0） y=f(x) y=f(ωx)（ω>0）
y=f(x) y=f(x)+k （k>0）
2、对称变换：y=f(-x) 与y=f(x)图像关于 对称 y=-f(x) 与y=f(x)图像关于 对称 y=-f(-x) 与y=f(x)图像关于 对称 y=f(a-x) 与y=f(b+x)图像关于 对称
3、翻折变换：y=f(x) y=f(｜x ｜) y=f(x) y=｜f(x)｜ 典型例题
1、 作出下列函数的图像：
1)22+-=x
y 2)()23log 31+=x y 3)()x y -=2
1log
4)222+-=x x y 5)()2
41log -=x y 6)x lg y =
2、 说明下列函数图像与函数y=sin2x 与图像函数关系：
1)y=cos2x
2)y=sin2x+cos2x
3)y=sinx-cosx
3、 若函数y=f(2x)是偶函数，则函数y=f(2x+3)的对称轴方程为
4.命题甲：已知函数f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，则f (x )的图象关于直线x ＝1对称．命题乙：函数f (1＋x )与函数f (1－x )的图象关于直线x ＝1对称．则甲、乙命题正确的是__________．
二、图像运用：
1、函数y=f(x)的零点： （“零点”不是点，而是数！）
即为方程 的根。
2、方程f(x)=g(x)的根： （函数 的零点）
几何意义：
练习
1、 方程根的个数 1)010x -
lgx = 2)x a a x log = ，（0<a<1） 3)x x lg sin = 4)22x x =
2、方程()13x lg +=+x 的根的情况：( )
A 只有一根
B 有两根，一正一负 ；
C 有两负根
3.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x (x ＋4)，x <0，x (x －4)，x ≥0.则函数f (x )的零点个数为________． 4.已知函数f (x )＝(15
)x －log 3x ，若x 0是方程f (x )＝0的解，且0<x 1<x 0，则f (x 1)的值为__________(正负情况)．
5.(原创题)已知当x ≥0时，函数y ＝x 2与函数y ＝2x 的图象如图所示，
则当x ≤0时，不等式2x ·x 2≥1的解集是__________．
6.已知函数f (x )＝x ＋log 2x ，则f (x )在[12
，2]内的零点的个数是______．
7、f(x)表示6422
1++-=x x y 和 62+-=x y 中的较小者，求f(x)的最大值
8.讨论下列方程的解的个数： 1)()R a a x x ∈=, 2)()()()x a x x -=-+-lg 3lg 1lg
9.不等式2log x x a > 对x ∈(0, 2
1)恒成立，求a 的取值范围
10.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧．(2,5]
∈，3－，
1,2]－[∈，－32x x x x (1)画出f (x )的图象；(2)写出f (x )的单调递增区间．
11.已知函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈(－1,1]时，f (x )＝|x |，则y ＝f (x )与y ＝log 7x 的交点的个数为__________．
12、R 上奇函数f(x),满足f(1)=0，在(0,+ ∞)上为增，求不等式 xf(x) ≤0的解集
13、若f(x)，g(x)均为R 上的奇函数，F （x ）=()43sin 2)(3
+++⋅+⋅x x x g b x f a 在R 上的最大值为10，求F （x ）的最小值。
14. 设函数f (x )＝x ＋b ax －1
(x ∈R ，且a ≠0，x ≠1a )． (1)若a ＝12，b ＝－32，指出f (x )与g (x )＝1x
的图象变换关系以及函数f (x )的图象的对称中心； (2)证明：若ab ＋1≠0，则f (x )的图象必关于直线y ＝x 对称．。