2020上海虹口区高三一模数学试题及答案
上海市虹口区2023届高考一模数学试题(1)
一、单选题二、多选题1. 已知函数，其中，当时，；又函数在上单调递增，则实数的最大值是（ ）A ．2B．C ．1D．2.数列的前项和为A．B．C．D．3. 已知点P 在以，为左、右焦点的椭圆上，椭圆内存在一点Q 在的延长线上，且满足，若，则该椭圆离心率取值范围是（ ）A．B．C．D．4. 已如集合，则A ．或B ．或C ．或D ．或5. 函数的部分图象是（ ）A．B．C．D．6. 设且，若函数有三个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A．B．C．D．7. 已知，设函数，若关于x 的不等式在上恒成立，则a 的取值范围为（）A．B．C．D．8. 已知符号函数sgnx f （x ）是定义在R 上的减函数，g （x ）＝f （x ）﹣f （ax ）（a ＞1），则（ ）A ．sgn [g （x ）]＝sgn xB ．sgn [g （x ）]＝﹣sgnxC ．sgn [g （x ）]＝sgn [f （x ）]D ．sgn [g （x ）]＝﹣sgn [f （x ）]9. 已知正方体的棱长为1，点P为线段上的动点(不含端点)，则（ ）A ．线段AP的最小值为上海市虹口区2023届高考一模数学试题(1)上海市虹口区2023届高考一模数学试题(1)三、填空题四、解答题B ．在棱CD 上，存在点H，使得C ．存在点P 使得AP 与平面ABCD所成的角为D ．过点，P，的平面截正方体得到的截面形状始终是平行四边形10. 已知函数图像过点，且存在，当时，，则（ ）A．的周期为B．图像的一条对称轴方程为C．在区间上单调递减D．在区间上有且仅有4个极大值点11. 在 的展开式中，若第项与第项的二项式系数相等，则（ ）A．展开式中 的系数为B ．展开式中所有项的系数的和为C．展开式中系数的绝对值最大的项是第项D ．从展开式中任取2项，取到的项都是的整数次幂的概率为12.设为复数，则下列命题正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则或13. 已知是首项为32的等比数列，是其前项和，且，则数列的前10项和为__________．14.将函数的图象沿轴向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数的图象关于轴对称，则当取最小的值时，__________．15. 复数的虚部为___________（其中i 是虚数单位）．16. 已知函数.（1）求这个函数的导数；（2）求这个函数的图象在点处的切线方程.17. 2021年，中国新能源汽车销售火爆，A 省相关部门调查了该省2021年1月份至10月份的新能源汽车销量情况，得到一组样本数据（，）（i ＝1，2，…，10），其中表示第i 个月，表示第i 个月A 省新能源汽车的销量（单位：万辆），由样本数据的散点图可知，y 与x 具有线性相关关系，并将这10个月的数据作了初步处理，得到下面一些统计量的值：1.589.138515(1)建立y 关于x 的线性回归方程，并估计A 省12月份新能源汽车的销量；(2)为鼓励新能源汽车销售商积极参与调查，A 省汽车行业协会针对新能源汽车销售商开展抽奖活动，所有费用由某新能源汽车厂商赞助．奖项共设一、二、三等奖三个奖项，其中一等奖、二等奖、三等奖分别奖励2万元、1万元、5千元，抽中一等奖、二等奖、三等奖的概率分别为，，．现有甲、乙两家汽车销售商参加了抽奖活动，假设他们是否中奖相互独立，求这两家汽车销售商所获奖金总额X （单位：万元）的分布列及数学期望．附：对于一组数据（，），（，），…，（，），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为．18. 已知函数.(1)若，求的值；(2)当时，①求证：有唯一的极值点；②记的零点为，是否存在使得？说明理由.19. 在三棱柱中，G为的重心，E为棱上一点，且，过A，G，E三点的截面交于F．(1)求证：平面AEF；(2)若底面，，，，求二面角的余弦值大小．20. 椭圆方程，平面上有一点．定义直线方程是椭圆在点处的极线．已知椭圆方程．(1)若在椭圆上，求椭圆在点处的极线方程；(2)若在椭圆上，证明：椭圆在点处的极线就是过点的切线；(3)若过点分别作椭圆的两条切线和一条割线，切点为，，割线交椭圆于，两点，过点，分别作椭圆的两条切线，且相交于点．证明：，，三点共线．21. 自“双减”政策颁布实施以来，为了研究中小学各学科作业用时的平衡问题，某市教科研部门制定了该市各年级每个学科日均作业时间的判断标准．下表是初中八年级A学科的判断标准．日均作业时间（分钟）不低于16分钟判断标准过少较少适中较多过多之后教科研部门又随机抽取该市30所初中学校八年级A学科的作业时间作为样本，得到A学科日均作业时间的频数分布表见下表．日均作业时间（分钟）学校数2310105(1)请将同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，估计该市初中八年级学生完成A学科作业的日平均时间（结果精确到0.1）；(2)针对初期调查所反映的情况，该市进行了A学科教师全员培训，指导教师对作业设计进行优化，之后教科研部门又随机抽取30所初中学校进行了调查，获得了下表数据．日均作业时间（分钟）学校数510852若A学科日均作业时间不低于12分钟，称为“作业超量”，填写列联表，判断是否有99%的把握认为作业是否超量与培训有关．附：0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828列联表作业未超量作业超量未培训培训。
上海市虹口区2019-2020学年高考第一次大联考数学试卷含解析
上海市虹口区2019-2020学年高考第一次大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC 的面积是( )A 3B ．2C 3D 3【答案】A【解析】【分析】先根据已知求出原△ABC 的高为AO 3△ABC 的面积.【详解】由题图可知原△ABC 的高为AO 3∴S △ABC ＝12×BC×OA ＝12×2×33 A 【点睛】本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 2．在空间直角坐标系O xyz -中，四面体OABC 各顶点坐标分别为：22(0,0,0),(0,0,2),3,0,0,3,033O A B C ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎭⎝⎭．假设蚂蚁窝在O 点，一只蚂蚁从O 点出发，需要在AB ，AC 上分别任意选择一点留下信息，然后再返回O 点．那么完成这个工作所需要走的最短路径长度是（ ）A ．2B ．1121-C 521+D ．23【答案】C【解析】【分析】将四面体OABC 沿着OA 劈开，展开后最短路径就是AOO '△的边OO '，在AOO '△中，利用余弦定理即可求解.【详解】将四面体OABC 沿着OA 劈开，展开后如下图所示：最短路径就是AOO '△的边OO '．易求得30OAB O AC '∠=∠=︒，由2AO =，233OB =433AB = 433AC =，22263BC OB OC =+=222cos 2AB AC BC BAC AB AC+-⇒∠=⋅ 161683333444233+-== 由余弦定理知2222cos OO AO AO AO AO OAO ''''=+-⋅⋅∠其中2AO AO '==，()321cos cos 608OAO BAC -'∠=︒+∠=∴2521,521OO OO ''=⇒=+故选：C【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理的内容，考查了学生的空间想象能力，属于中档题. 3．已知平行于x 轴的直线分别交曲线2ln 21,21(0)y x y x y =+=-≥于,A B 两点，则4AB 的最小值为（ ）A ．5ln 2+B ．5ln 2-C ．3ln 2+D ．3ln 2-【答案】A【解析】【分析】设直线为1122(0),(,)(,)y a a A x y B x y =>，用a 表示出1x ，2x ，求出4||AB ，令2()2ln f a a a =+-，利用导数求出单调区间和极小值、最小值，即可求出4||AB 的最小值．【详解】解：设直线为1122(0),(,)(,)y a a A x y B x y =>，则1ln 21a x =+，11(ln 1)2x a ∴=-， 而2x 满足2221a x =-，2212a x +∴= 那么()()22211144()4ln 122ln 22a AB x x a a a ⎡⎤+=-=--=+-⎢⎥⎣⎦设2()2ln f a a a =+-，则221()a f a a -'=，函数()f a 在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，所以minmin 42()25ln 22AB f a f ⎛⎫===+ ⎪ ⎪⎝⎭ 故选：A ．【点睛】本题考查导数知识的运用：求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导确定函数的最小值是关键，属于中档题．4．()()()()()*121311x x x nx n N+++⋅⋅⋅+∈的展开式中x 的一次项系数为（ ） A ．3n CB ．21nC + C ．1n n C -D ．3112n C + 【答案】B【解析】【分析】根据多项式乘法法则得出x 的一次项系数，然后由等差数列的前n 项和公式和组合数公式得出结论．【详解】由题意展开式中x 的一次项系数为21(1)122n n n n C +++++==L ． 故选：B ．【点睛】本题考查二项式定理的应用，应用多项式乘法法则可得展开式中某项系数．同时本题考查了组合数公式．5．若复数21z m mi =-+（m R ∈）在复平面内的对应点在直线y x =-上，则z 等于( )A ．1+iB ．1i -C ．1133i --D ．1133i -+ 【答案】C【解析】【分析】由题意得210m m -+=，可求得13m =，再根据共轭复数的定义可得选项. 【详解】 由题意得210m m -+=，解得13m =，所以1133z i =-+，所以1133z i =--， 故选：C.【点睛】本题考查复数的几何表示和共轭复数的定义，属于基础题.6．已知抛物线2:4(0)C y px p =>的焦点为F ，过焦点的直线与抛物线分别交于A 、B 两点，与y 轴的正半轴交于点S ，与准线l 交于点T ，且||2||FA AS =，则||||FB TS =（ ） A ．25 B ．2 C ．72D ．3 【答案】B【解析】【分析】过点A 作准线的垂线，垂足为M ，与y 轴交于点N ，由2FA AS =和抛物线的定义可求得TS ，利用抛物线的性质1122AF BF p+=可构造方程求得BF ，进而求得结果. 【详解】 过点A 作准线的垂线，垂足为M ，AM 与y 轴交于点N ，由抛物线解析式知：(),0F p ，准线方程为x p =-.2FA AS =Q ，13SA SF ∴=，133p AN OF ∴==，43AM p ∴=， 由抛物线定义知：43AF AM p ==，1223AS AF p ∴==，2SF p ∴=， 2TS SF p ∴==.由抛物线性质11212AF BF p p +==得：3114p BF p+=，解得：4BF p =， 422FB p TS p∴==. 故选：B .【点睛】本题考查抛物线定义与几何性质的应用，关键是熟练掌握抛物线的定义和焦半径所满足的等式. 7．若a R ∈，则“3a =”是“()51x ax +的展开式中3x 项的系数为90”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】【分析】求得()51x ax +的二项展开式的通项为15C k k k a x +⨯⋅,令2k =时,可得3x 项的系数为90,即25290C =a ⨯,求得a ,即可得出结果.【详解】若3a =则()()55=113x ax x x ++二项展开式的通项为+15C 3k k k x ⨯⋅,令13k +=,即2k =,则3x 项的系数为252C 3=90⨯,充分性成立;当()51x ax +的展开式中3x 项的系数为90,则有25290C =a ⨯,从而3a =±,必要性不成立.故选:B.【点睛】本题考查二项式定理、充分条件、必要条件及充要条件的判断知识,考查考生的分析问题的能力和计算能力,难度较易.8．已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=（ ）A ．21B ．42C ．63D ．84【答案】B【解析】由a 1+a 3+a 5=21得242421(1)21172a q q q q q ++=∴++=∴=∴a 3+a 5+a 7=2135()22142q a a a ++=⨯=，选B.9．在平面直角坐标系中，经过点P ，渐近线方程为y =的双曲线的标准方程为（ ）A ．22142-=x y B ．221714x y -= C ．22136x y -= D ．221147y x -=【答案】B【解析】【分析】 根据所求双曲线的渐近线方程为y 2x =±，可设所求双曲线的标准方程为222x y-=k ．再把点()22,2-代入，求得 k 的值，可得要求的双曲线的方程． 【详解】∵双曲线的渐近线方程为y 2x,=±∴设所求双曲线的标准方程为222x y -=k ．又()22,2-在双曲线上，则k=16-2=14,即双曲线的方程为222x y 14-=，∴双曲线的标准方程为22x y 1714-= 故选：B【点睛】本题主要考查用待定系数法求双曲线的方程，双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题．10．若x 、y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为（ ）A ．5B ．9C ．6D ．12【答案】C【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线32z x y =+，找出直线在y 轴上的截距最大时对应的最优解，代入目标函数计算即可.【详解】 作出满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩的可行域如图阴影部分（包括边界）所示．由32z x y =+，得322z y x =-+，平移直线322z y x =-+，当直线322z y x =-+经过点()2,0时，该直线在y 轴上的截距最大，此时z 取最大值，即max 32206z =⨯+⨯=.故选：C.【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值，一般利用平移直线的方法找到最优解，考查数形结合思想的应用，属于基础题.11．音乐，是用声音来展现美，给人以听觉上的享受，熔铸人们的美学趣味．著名数学家傅立叶研究了乐声的本质，他证明了所有的乐声都能用数学表达式来描述，它们是一些形如sin a bx 的简单正弦函数的和，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．由乐声的数学表达式可知，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波．下列函数中不能与函数0.06sin180000y t =构成乐音的是（ ） A ．0.02sin 360000y t =B ．0.03sin180000y t =C ．0.02sin181800y t =D ．0.05sin 540000y t = 【答案】C【解析】【分析】由基本音的谐波的定义可得12()f nf n *=∈N ,利用12f T ωπ==可得12()n n ωω*=∈N ,即可判断选项. 【详解】由题,所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍,称为基本音的谐波, 由12f T ωπ==,可知若12()f nf n *=∈N ,则必有12()n n ωω*=∈N , 故选:C【点睛】本题考查三角函数的周期与频率,考查理解分析能力.12．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若33a =-，77S =-，则n S 的最小值为（ ）A ．12-B ．15-C ．16-D ．18-【答案】C【解析】【分析】根据已知条件求得等差数列{}n a 的通项公式，判断出n S 最小时n 的值，由此求得n S 的最小值.【详解】依题意11237217a d a d +=-⎧⎨+=-⎩，解得17,2a d =-=，所以29n a n =-.由290n a n =-≤解得92n ≤，所以前n 项和中，前4项的和最小，且4146281216S a d =+=-+=-.故选：C【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式和前n 项和公式的基本量计算，考查等差数列前n 项和最值的求法，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市虹口区2019-2020学年高三第一学期数学一模考试卷
虹口区2019学年度第一学期期终学生学习能力诊断测试高三数学 试卷 2019年12月考生注意：1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.一、填空题（本大题满分54分）本大题共12题，第1-6题，每空填对得4分;第7-12题，每空填对得5分. 请直接将结果填写在答题纸相应题号的空格内.1. 设全集21,1,x U R A x x -⎧⎫==>⎨⎬⎩⎭若则U A =ð_______． 2．若复数31iz i-=+（i 为虚数单位），则z =_________. 3. 设,x R +∈则21x x ++的最小值为________. 4．若sin2cos 0,2cos 1x x x= 则锐角x =_________.5. 设等差数列{}n a 的前n 项和为274,12,8,n S a a S +==若则n a =_______.6. 抛物线26x y =的焦点到直线3410x y +-=的距离为________.7. 设6270127(21)(1),x x a a x a x a x --=++++L 则5________.a =8. 设1()f x -为函数2()log (41)x f x =-的反函数，则当1()2()f x f x -=时，x 的值为_______. 9. 已知,m n α是平面外的两条不同直线. 给出三个论断：①;m n ⊥②//;n α③.m α⊥以其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题（论断用序号表示）：________________.10. 的直角三角板拼在一起，则OD AB ⋅=u u u r u u u r _________.（第16题图）B11.如图，12,F F 分别是双曲线222:1x C y a-=的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别交于,A B 两点，若212,0,F A AB FB F B =⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r则双曲线C 的焦距12F F 为________. 12. 已知函数()f x 的定义域为(],0,2,()(2),R x f x x x ∈=-当时且对任意的,x R ∈均有 (2)2().f x f x += 若不等式15()2f x ≤在(],x a ∈-∞上恒成立，则实数a 的最大值为________.二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得 5分，否则一律零分.13.设,x R ∈则“11x -<”是“24x <”的 （ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件14．已知函数())cos(2)f x x x θθ=+++为偶函数，且在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，则θ的一个值可以是 （ ）（A ）6π （B ）3π （C ）23π （D ）23π- 15．已知函数()2,(),f x x g x x t =+=+定义函数(),()g(),()g(),()g().f x f x x F x x f x x ≤⎧=⎨>⎩当当若对任意的,x R ∈都有()(2)F x F x =-成立，则t 的取值为 （ ）（A ）4- （B ）2- （C ）0 （D ）216．正四面体ABCD 的体积为1，O 为其中心， 正四面体EFGH 与正四面体ABCD 关于点O 对称， 则这两个正四面体的公共部分的体积为 （ ） （A ）13（B ）12（C ）23 （D ）341（第18题图）三、解答题（本大题共5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤.17．(本题满分14分) 本题共2小题，每小题7分. 在ABC ∆中，18,6,cos .3a b A ===- 求 （1）角B ； （2）BC 边上的高.18．(本题满分14分) 本题共3小题，第1小题4分，第2小题5分,第3小题5分. 如图，在圆柱1OO 中，它的轴截面11ABB A 是一个边长为2的正方形，点C 为棱1BB 的中点，点111C A B 为弧的中点. 求（1）异面直线11OC AC 与所成角的大小； （2）直线1CC 与圆柱1OO 底面所成角的大小； （3）三棱锥11C OAC -的体积.19．（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.某企业接到生产3000台某产品的甲、乙、丙3种部件的订单，每台产品需要这3种部件的数量分别为2，2，1（单位：件）.已知每个工人每天可生产甲部件6件，或乙部件3件，或丙部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这3种部件，生产乙部件的人数与生产甲部件的人数成正比例，比例系数为k （k 2≥为正整数）.（1）设生产甲部件的人数为x ，分别写出完成甲、乙、丙3种部件生产需要的时间； （2）假设这3种部件的生产同时开工，试确定正整数k 的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案.20．（本题满分16分）本题共3小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题6分. 已知两点12(0),0),F F 设圆O ：224x y +=与x 轴交于,A B 两点，且动点P 满足：以线段2F P 为直径的圆与圆O 相内切，如图所示.记动点P 的轨迹为Γ，过点2F 与x 轴不重合 的直线l 与轨迹Γ交于,M N 两点.(1) 求轨迹Γ的方程；(2) 设线段MN 的中点为Q ，直线OQ 与直线x =,R 求证：2F R l ⊥u u u u r ； （3）记,ABM ABN ∆∆的面积分别为12,,S S 求12S S -的最大值及此时直线l 的方程.21.(本题满分18分) 本题共3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.在数列{}n a 中，1212210,,,,2m m m a m N a a a m *-+=∈且对任意的构成以为公差的等差数列.（1）求证：456,,a a a 成等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式；（3）设2222323,2n n nn S S n a a a =+++-L 试问是否存在极限？若存在，求出其值；若不存在，请说明理由.A虹口区2019学年度第一学期期终学生学习能力诊断测试高三数学 参考答案和评分标准 2019年12月一、填空题（本大题满分54分）本大题共12题，第1-6题，每题填对得4分;第7-12题，每题填对得5分.1．[]0,1 21 4．4π 5．23()n n N *-∈ 6.17. 36 8． 1 9.若①③，则② （或：若②③，则①） 10．1- 11 12.274二、选择题（本大题共 4题，每题5分，满分20分）13. A 14. D 15.A 16. B 三、解答题（本大题共5题，满分76分）17．（本题满分14分）本题共2小题，每小题7分． 解：（1）在ABC ∆中，由1cos ,sin 3A A =-=得…… 2分 由正弦定理，得6sin 3sin 8b AB a=== …… 5分 于是由角A 为钝角，知.4B π=…… 7分sinC sin()cosA)2A B =+=+=（） 因…… 10分设ABC ∆的BC 边上的高为h,则由11sin ,22ABC S ah ab C ∆==得sin 64h b C === 即ABC ∆的BC 边上的高等于4 …… 14分 18．(本题满分14分) 本题共3小题，第1小题4分，第2小题5分,第3小题5分.解：（1）以点O 为原点，直线1,OB OO 分别为,y z轴,建立空间直角坐标系，如图所示.则相关点的坐标为(0,0,0),(0,1,0),O B 1(0,1,2),B(0,1,1),C 111(0,1,2),(0,0,2),(1,0,2).A O C - 于是11(0,1,1),(1,1,0).OC AC ==u u u r u u u u r ……2分从而1111111cos ,,2OC A C OC A C OC A C ⋅<>===⋅u u u r u u u u ru u u r u u u u r u u u r u u u u r 因此，异面直线11OC AC 与所成角的大小为.3π……4分 （2）由于1(0,0,2)OO =u u u u r是圆柱1OO 底面的一个法向量,又1(1,1,1)CC =-u u u u r,……6分 设直线1CC 与圆柱1OO 底面所成角的大小为,θ 则111111sin cos ,=CC OO CC OO CC OO θ⋅=<>==⋅u u u u r u u u u ru u u u r u u u u r u u u u r u u u u r于是，直线1CC 与圆柱1OO底面所成角的大小为 …… 9分 （3）由于三棱锥11C OAC -的顶点11111,C OA C C O =到面的距离为 …… 11分 而 111111111322121121.2222OA C OAA OBC A B C ABB A S S S S S ∆∆∆∆=---=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=正方形故 1111111311.3322C OA C OA C V S O C -∆=⋅=⨯⨯= …… 14分 19．(本题满分14分) 本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.解：（1）设完成甲、乙、丙3种部件生产需要的时间（单位：天）分别为123(),(),(),T x T x T x 则由题意，得[]12323000100023000200030001500(),(),(),63()2200(1)200(1)T x T x T x x x k x kx k x k x⨯⨯======-+-+即123100020001500(),(),(),200(1)T x T x T x x kx k x===-+ ……4分 其中,,200(1)x kx k x -+均为1到200的正整数，且.k N *∈ ……6分（2）完成订单所用的时间为{}123()max (),(),(),f x T x T x T x =其定义域为2001,,,2.1x x x k N k k *⎧⎫≤<∈≥⎨⎬+⎩⎭且 由于1210002000(),()T x T x x kx ==均为减函数，31500()200(1)T x k x=-+为增函数，并注意到212()().T x T x k=……8分 （i ）当2k =时，12()(),T x T x =此时{}12310001500()max (),(),()max ,,2003f x T x T x T x x x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭其中{}166,.x x x N *≤≤∈且由13(),()T x T x 的单调性知，当100015002003x x =-时，()f x 取得最小值，解得400.9x =由于134002503004445,(44)T (44),(45)T (45),(44)(45).91113f f f f <<====<而故 当44x =时，完成订单任务所用的时间最短，最短时间为25011天. ……11分（ii ）当2k >时，12()(),T x T x > 由于,3,k N k *∈≥故此时3375()(),()50T x T x T x x≥=-且为增函数.于是 {}{}1311000375()max (),()max (),() = g()max ,.50f x T x T x T x T x x x x ⎧⎫=≥=⎨⎬-⎩⎭由1(),()T x T x 的单调性知，当100037550x x=-时，()g x 取得最小值，解得400.11x =由于134002502503752503637,(36)T (36),(37)T (37),119111311g g <<==>==>而此时完成订单任务的最短时间大于25011天.综上所述，当2k =时，完成订单任务所用时间最短，最短时间为25011天；此时生产甲、乙、丙3种部件的人数分别为44，88，68人. ……14分20．（本题满分16分）本题共3小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题6分. 解：（1）连结1,PF 设2PF 的中点为,C 则12.PF CO = 由圆C 与圆O 相内切，得 22,CO CF +=于是 1222()4,PF PF CO CF +=+= ……3分 因此，动点P 的轨迹是：以12,F F 为焦点，4为长轴长的椭圆；其方程为 22 1.4x y +=……5分证：（2）设直线l的方程为x my =并设1122(,),(,),M x yN x y 则由2244,x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 22(m 4)10,y ++-=得 故121221.4y y y y m +==-+从而1212()x x m y y+=++=于是Q……7分所以),OQ m=-u u u r于是直线40.OQ mx y+=的方程为由40,mx yx+=⎧⎪⎨=⎪⎩解得),R从而2)).F R m==-u u u u r由于直线l的法向量2(1,m)//,F R-u u u u r故2.F R l⊥u u u u r……10分解：（3）由（2）知121221.4y y y ym+==-+故111222112,2,22S AB y y S AB y y=⋅==⋅=……12分而120,y y<故12121222S S y y y y-=+=-=……14分由于12S S-最大时0,m≠故12mmS S-=≤=+当且仅当2m=时，等号成立.因此12maxS S-=此时直线l的方程为20,20.x y x y+=-或……16分21. (本题满分18分)本题共3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.证：（1）因为1212210,,,,2m m ma m N a a a m*-+=∈且对任意的构成以为公差的等差数列.所以，当121321,0,22,24;m a a a a a===+==+=时当343542,4,48,412;m a a a a a===+==+=时……2分当565763,12,618,624.m a a a a a===+==+=时于是65543,2a aa a==故456,,a a a成等比数列. ……4分解：（2）由题意，对2121,4,m mm N a a m*+-∈-=任意的有于是2121212123311()()()(1)44(1)41042(1),2m m m m m a a a a a a a a m m m m m m ++---=-+-++-++=+-++⨯+=⋅=+L L结合10,a =得212(1)().m a m m m N +=+∈令121,,2n m n m -+==则得21112().222n n n n a n -+-=⋅⋅=为奇数 ……7分由题意，对2221,22(1)22,m m m N a a m m m m m *+∈=-=+-=任意的有 故对正偶数,n 有 222().22n n n a ==因此，数列{}n a 的通项公式为2221,(1)12().24,2n n n n n n a a n N n n *⎧-⎪--⎪==+∈⎨⎪⎪⎩为奇数,或为偶数,……10分 解：（3）对于任意的,k N *∈有22222221(2)4(21)44111112,22().22(1)2(1)21k k k k k k k a k a k k k k k k ++++====+=+-+++ ……12分下面分n 为偶数与奇数两种情况讨论：（i ）当n 为偶数时，设2(),n k k N *=∈22222,S a ==则当2k ≥时，222222242352124(2)35(21)111111()()22(1)(1)()()22231113142(1)2.22n k k k k S k k a a a a a a k k k n k n--⎡⎤=+++++++=+-+-+-++-⎢⎥-⎣⎦=-+-=--L L L 于是312.2nS n n-=-- ……15分（ii ）当n 为奇数时，设21(),n k k N *=+∈则当2k ≥时，222222242352124(2)35(21)111111()()22(1)()()2223111314(1)2.2121n k k k k S k k a a a a a a k k k n k n ++⎡⎤=+++++++=++-+-++-⎢⎥+⎣⎦=+-=--++L L L 于是312.21nS n n -=--+综上，得31,3,21231.2n n n S n n n ⎧--≥⎪⎪+-=⎨⎪--⎪⎩为奇数，为正偶数于是2n S n -存在极限，且3lim (2).2nn S n →+∞-=-……18分。
2020年上海市虹口区高三一模数学试卷(含答案)(精校Word版)
（第10题图）2020年上海市虹口区高三一模数学试卷（含答案）（精校Word 版）考生注意：1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.一、填空题（本大题满分54分）本大题共12题，第1-6题，每空填对得4分;第7-12题，每空填对得5分. 请直接将结果填写在答题纸相应题号的空格内.1. 设全集21,1,x U R A x x -⎧⎫==>⎨⎬⎩⎭若则U A =ð_______． 2．若复数31iz i-=+（i 为虚数单位），则z =_________. 3. 设,x R +∈则21x x ++的最小值为________. 4．若sin2cos 0,2cos 1x x x= 则锐角x =_________.5. 设等差数列{}n a 的前n 项和为274,12,8,n S a a S +==若则n a =_______.6. 抛物线26x y =的焦点到直线3410x y +-=的距离为________.7. 设6270127(21)(1),x x a a x a x a x --=++++则5________.a =8. 设1()fx -为函数2()log (41)x f x =-的反函数，则当1()2()f x f x -=时，x 的值为_______. 9. 已知,m n α是平面外的两条不同直线. 给出三个论断：①;m n ⊥②//;n α③.m α⊥以其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题（论断用序号表示）：________________.10. 的直角三角 板拼在一起，则OD AB ⋅=_________.（第16题图）B11.如图，12,F F 分别是双曲线222:1x C y a-=的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别交于,A B 两点，若212,0,F A AB FB F B =⋅=则双曲线C 的焦距12F F 为________. 12. 已知函数()f x 的定义域为(],0,2,()(2),R x f x x x ∈=-当时且对任意的,x R ∈均有 (2)2().f x f x += 若不等式15()2f x ≤在(],x a ∈-∞上恒成立，则实数a 的最大值为________.二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得 5分，否则一律零分.13.设,x R ∈则“11x -<”是“24x <”的 （ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件14．已知函数())cos(2)f x x x θθ=+++为偶函数，且在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，则θ的一个值可以是 （ ）（A ）6π （B ）3π （C ）23π （D ）23π- 15．已知函数()2,(),f x x g x x t =+=+定义函数(),()g(),()g(),()g().f x f x x F x x f x x ≤⎧=⎨>⎩当当若对任意的,x R ∈都有()(2)F x F x =-成立，则t 的取值为 （ ）（A ）4- （B ）2- （C ）0 （D ）216．正四面体ABCD 的体积为1，O 为其中心， 正四面体EFGH 与正四面体ABCD 关于点O 对称， 则这两个正四面体的公共部分的体积为 （ ） （A ）13（B ）12（C ）23 （D ）341（第18题图）三、解答题（本大题共5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤.17．(本题满分14分) 本题共2小题，每小题7分. 在ABC ∆中，18,6,cos .3a b A ===- 求 （1）角B ； （2）BC 边上的高.18．(本题满分14分) 本题共3小题，第1小题4分，第2小题5分,第3小题5分. 如图，在圆柱1OO 中，它的轴截面11ABB A 是一个边长为2的正方形，点C 为棱1BB 的中点，点111C A B 为弧的中点. 求（1）异面直线11OC AC 与所成角的大小； （2）直线1CC 与圆柱1OO 底面所成角的大小； （3）三棱锥11C OAC -的体积.19．（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.某企业接到生产3000台某产品的甲、乙、丙3种部件的订单，每台产品需要这3种部件的数量分别为2，2，1（单位：件）.已知每个工人每天可生产甲部件6件，或乙部件3件，或丙部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这3种部件，生产乙部件的人数与生产甲部件的人数成正比例，比例系数为k （k 2≥为正整数）.（1）设生产甲部件的人数为x ，分别写出完成甲、乙、丙3种部件生产需要的时间； （2）假设这3种部件的生产同时开工，试确定正整数k 的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案.20．（本题满分16分）本题共3小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题6分. 已知两点12(0),0),F F 设圆O ：224x y +=与x 轴交于,A B 两点，且动点P 满足：以线段2F P 为直径的圆与圆O 相内切，如图所示.记动点P 的轨迹为Γ，过点2F 与x 轴不重合 的直线l与轨迹Γ交于,M N 两点.(1) 求轨迹Γ的方程；(2) 设线段MN 的中点为Q ，直线OQ 与直线x =,R 求证：2F R l ⊥； （3）记,ABM ABN ∆∆的面积分别为12,,S S 求12S S -的最大值及此时直线l 的方程.21.(本题满分18分) 本题共3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.在数列{}n a 中，1212210,,,,2m m m a m N a a a m *-+=∈且对任意的构成以为公差的等差数列.（1）求证：456,,a a a 成等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式；（3）设2222323,2n n nn S S n a a a =+++-试问是否存在极限？若存在，求出其值；若不存在，请说明理由.AA参考答案和评分标准 2019年12月一、填空题（本大题满分54分）本大题共12题，第1-6题，每题填对得4分;第7-12题，每题填对得5分.1．[]0,1 21 4．4π 5．23()n n N *-∈ 6.17. 36 8． 1 9.若①③，则② （或：若②③，则①） 10．1- 11 12.274二、选择题（本大题共 4题，每题5分，满分20分）13. A 14. D 15.A 16. B 三、解答题（本大题共5题，满分76分）17．（本题满分14分）本题共2小题，每小题7分． 解：（1）在ABC ∆中，由1cos ,sin 33AA =-=得…… 2分 由正弦定理，得6sin 3sin 8b AB a=== …… 5分 于是由角A 为钝角，知.4B π=…… 7分sinC sin()cosA)2A B =+=+=（） 因 (10)分设ABC ∆的BC 边上的高为h,则由11sin ,22ABC S ah ab C ∆==得sin 64h b C === 即ABC ∆的BC 边上的高等于4 …… 14分 18．(本题满分14分) 本题共3小题，第1小题4分，第2小题5分,第3小题5分.解：（1）以点O 为原点，直线1,OB OO 分别为,y z轴,建立空间直角坐标系，如图所示.则相关点的坐标为(0,0,0),(0,1,0),O B 1(0,1,2),B(0,1,1),C 111(0,1,2),(0,0,2),(1,0,2).A O C - 于是11(0,1,1),(1,1,0).OC AC == ……2分从而1111111cos ,,2OC A C OC A C OC A C ⋅<>===⋅因此，异面直线11OC AC 与所成角的大小为.3π......4分 （2）由于1(0,0,2)OO =是圆柱1OO 底面的一个法向量,又1(1,1,1)CC =-, (6)分 设直线1CC 与圆柱1OO 底面所成角的大小为,θ 则111111(1,sin cos ,=CC OO CC OO CC OO θ⋅=<>==⋅ 于是，直线1CC 与圆柱1OO 底面所成角的大小为arcsin…… 9分 （3）由于三棱锥11C OAC -的顶点11111,C OA C C O =到面的距离为 …… 11分 而 111111111322121121.2222OA C OAA OBC A B C ABB A S S S S S ∆∆∆∆=---=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=正方形故 1111111311.3322C OA C OA C V S O C -∆=⋅=⨯⨯= …… 14分 19．(本题满分14分) 本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.解：（1）设完成甲、乙、丙3种部件生产需要的时间（单位：天）分别为123(),(),(),T x T x T x 则由题意，得[]12323000100023000200030001500(),(),(),63()2200(1)200(1)T x T x T x x x k x kx k x k x⨯⨯======-+-+即123100020001500(),(),(),200(1)T x T x T x x kx k x===-+ ……4分 其中,,200(1)x kx k x -+均为1到200的正整数，且.k N *∈ ……6分（2）完成订单所用的时间为{}123()max (),(),(),f x T x T x T x =其定义域为2001,,,2.1x x x k N k k *⎧⎫≤<∈≥⎨⎬+⎩⎭且 由于1210002000(),()T x T x x kx ==均为减函数，31500()200(1)T x k x=-+为增函数，并注意到212()().T x T x k=……8分 （i ）当2k =时，12()(),T x T x =此时{}12310001500()max (),(),()max ,,2003f x T x T x T x x x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭其中{}166,.x x x N *≤≤∈且由13(),()T x T x 的单调性知，当100015002003x x =-时，()f x 取得最小值，解得400.9x =由于134002503004445,(44)T (44),(45)T (45),(44)(45).91113f f f f <<====<而故 当44x =时，完成订单任务所用的时间最短，最短时间为25011天. ……11分（ii ）当2k >时，12()(),T x T x > 由于,3,k N k *∈≥故此时3375()(),()50T x T x T x x≥=-且为增函数.于是 {}{}1311000375()max (),()max (),() = g()max ,.50f x T x T x T x T x x x x ⎧⎫=≥=⎨⎬-⎩⎭由1(),()T x T x 的单调性知，当100037550x x=-时，()g x 取得最小值，解得400.11x =由于134002502503752503637,(36)T (36),(37)T (37),119111311g g <<==>==>而此时完成订单任务的最短时间大于25011天.综上所述，当2k =时，完成订单任务所用时间最短，最短时间为25011天；此时生产甲、乙、丙3种部件的人数分别为44，88，68人. ……14分20．（本题满分16分）本题共3小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题6分. 解：（1）连结1,PF 设2PF 的中点为,C 则12.PF CO = 由圆C 与圆O 相内切，得 22,CO CF +=于是 1222()4,PF PF CO CF +=+= ……3分 因此，动点P 的轨迹是：以12,F F 为焦点，4为长轴长的椭圆；其方程为 22 1.4x y +=……5分证：（2）设直线l的方程为x my =并设1122(,),(,),M x yN x y 则由2244,x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 22(m 4)10,y ++-=得 故1212221,.44y y y y m m +=-=-++从而1212()x x m y y+=++=于是Q……7分所以3),OQ m=-于是直线40.OQ mx y+=的方程为由40,mx yx+=⎧⎪⎨=⎪⎩解得),R从而23()).F R m==-由于直线l的法向量2(1,m)//,F R-故2.F R l⊥……10分解：（3）由（2）知121221.4y y y ym+==-+故111222112,2,22S AB y y S AB y y=⋅==⋅= (12)分而120,y y<故12121222S S y y y y-=+=-=……14分由于12S S-最大时0,m≠故12mmS S-=≤=+当且仅当2m=时，等号成立.因此12maxS S-=此时直线l的方程为20,20.x y x y+=-=或……16分21. (本题满分18分)本题共3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.证：（1）因为1212210,,,,2m m ma m N a a a m*-+=∈且对任意的构成以为公差的等差数列.所以，当121321,0,22,24;m a a a a a===+==+=时当343542,4,48,412;m a a a a a===+==+=时……2分当565763,12,618,624.m a a a a a===+==+=时于是65543,2a aa a==故456,,a a a成等比数列. ……4分解：（2）由题意，对2121,4,m mm N a a m*+-∈-=任意的有于是2121212123311()()()(1)44(1)41042(1),2m m m m m a a a a a a a a m m m m m m ++---=-+-++-++=+-++⨯+=⋅=+结合10,a =得212(1)().m a m m m N +=+∈令121,,2n m n m -+==则得21112().222n n n n a n -+-=⋅⋅=为奇数 ……7分由题意，对2221,22(1)22,m m m N a a m m m m m *+∈=-=+-=任意的有 故对正偶数,n 有 222().22n n n a ==因此，数列{}n a 的通项公式为2221,(1)12().24,2n n n n n n a a n N n n *⎧-⎪--⎪==+∈⎨⎪⎪⎩为奇数,或为偶数,……10分 解：（3）对于任意的,k N *∈有22222221(2)4(21)44111112,22().22(1)2(1)21k k k k k k k a k a k k k k k k ++++====+=+-+++ ……12分下面分n 为偶数与奇数两种情况讨论：（i ）当n 为偶数时，设2(),n k k N *=∈22222,S a ==则当2k ≥时，222222242352124(2)35(21)111111()()22(1)(1)()()22231113142(1)2.22n k k k k S k k a a a a a a k k k n k n--⎡⎤=+++++++=+-+-+-++-⎢⎥-⎣⎦=-+-=-- 于是312.2nS n n-=-- ……15分（ii ）当n 为奇数时，设21(),n k k N *=+∈则当2k ≥时，222222242352124(2)35(21)111111()()22(1)()()2223111314(1)2.2121n k k k k S k k a a a a a a k k k n k n ++⎡⎤=+++++++=++-+-++-⎢⎥+⎣⎦=+-=--++ 于是312.21nS n n -=--+综上，得31,3,21231.2n n n S n n n ⎧--≥⎪⎪+-=⎨⎪--⎪⎩为奇数，为正偶数于是2n S n -存在极限，且3lim (2).2nn S n →+∞-=-……18分。
2020年上海市虹口区高考数学一模试卷试题及答案
2020年上海市虹口区高三高考数学一模试卷一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1．设全集U R =，若21{|1}x A x x-=>，则U A =ð ． 2．设复数3(1ii i-+为虚数单位），则||z = ． 3．设x R +∈，则21x x ++最小值为 ． 4．若sin 2cos 02cos 1x xx =，则锐角x = ．5．设等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若2712a a +=，48S =，则n a = ． 6．抛物线26x y =的焦点到直线3410x y +-=的距离为 ． 7．设6270127(21)(1)x x a a x a x a x --=+++⋯+，则5a = ．8．设1()f x -为函数2()log (41)x f x =-的反函数，则当1()2()f x f x -=时，x 的值为 ． 9．已知m 、n 是平面α外的两条不同直线，给出三个论断：①m n ⊥；②//n α；③m α⊥；以其中两个论断作为条件，写出一个正确的命题（论断用序号表示）: ．10的直角三角板拼在一起，则OD AB = ．11．如图，1F 、2F 分别是双曲线222:1x C y a -=的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别交于A 、B 两点，若2F A AB =，120F B F B =，则双曲线C 的焦距12||F F 为 ．12．已知函数()f x 的定义域为R ，当(0x ∈，2]时，()(2)f x x x =-，且对任意的x R ∈，均有(2)2()f x f x +=，若不等式15()2f x …在(x ∈-∞，]a 上恒成立，则实数a 的最大值为 ． 二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．设x R ∈，则“|1|1x -<”是“24x <”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．已知函数())cos(2)f x x x θθ=+++为偶函数，且在[0，]2π上为增函数，则θ的一个值可以是( ) A ．6πB ．3πC ．23π D ．23π-15．已知函数()|2|f x x =+，()||g x x t =+，定义函数()()()()()()()f x f xg x F x g x f x g x ⎧=⎨>⎩…，若对任意的x R ∈，都有()(2)F x F x =-成立，则t 的取值为( ) A ．4-B ．2-C ．0D ．216．正四面体ABCD 的体积为1，O 为其中心，正四面体EFGH 与正四面体ABCD 关于点O 对称，则这两个正四面体的公共部分的体积为( )A ．13B ．12C ．23D ．34三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分） 17．在ABC ∆中，8a =，6b =，1cos 3A =-，求：（1）角B ； （2）BC 边上的高．18．如图，在圆柱1OO 中，它的轴截面11ABB A 是一个边长为2的正方形，点C 为棱1BB 的中点，点1C 为弧11A B 的中点，求：（1）异面直线OC 与11A C 所成角的大小； （2）直线1CC 与圆柱1OO 底面所成角的大小； （3）三棱锥11C OA C -的体积．19．某企业接到生产3000台某产品的甲、乙、丙三种部件的订单，每台产品需要这3种部件的数量分别为2、2、1（单位：件），已知每个工人可生产甲部件6件，或乙部件3件，或丙部件2件，该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这3种部件，生产乙部件的人数与生产甲部件的人数成正比例，比例系数为(2k k …为正整数）． （1）设生产甲部件的人数为x ，分别写出完成甲、乙、丙3种部件生产需要的时间； （2）假设这3种部件的生产同时开工，试确定正整数的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案．20．（16分）已知两点1(F ，0)、2F ，0)，设圆22:4O x y +=与x 轴交于A 、B 两点，且动点P 满足：以线段2F P 为直径的圆与圆O 相内切，如图所示，记动点P 的轨迹为Γ，过点2F 与x 轴不重合的直线l 与轨迹Γ交于M 、N 两点． （1）求轨迹Γ的方程；（2）设线段MN 的中点为Q ，直线OQ 与直线x =相交于点R ，求证：2F R l ⊥； （3）记ABM ∆、ABN ∆面积分别为1S 、2S ，求12||S S -的最大值及此时直线l 的方程．21．（18分）在数列{}n a 中，10a =，且对任意的*m N ∈，21m a -、2m a 、21m a +构成以2m 为公差的等差数列．（1）求证：4a 、5a 、6a 成等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式；（3）设2222323n n n S a a a =++⋯⋯+，试问2n S n -是否存在极限？若存在，求出其值，若不存在，请说明理由．参考答案一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1．设全集U R =，若21{|1}x A x x-=>，则U A =ð {|01}x x 剟． 解：全集U R =，若21{|1}x A x x-=>， 所以211x x ->，整理得10x x->，解得1x >或0x <， 所以{|01}U A x x =剟ð． 故答案为：{|01}x x 剟．2．设复数3(1ii i-+为虚数单位），则||z ．解：复数3(1iz i i-=+为虚数单位），则|3||||1|i z i -===+．．3．设x R +∈，则21x x ++最小值为 1- ．解：设x R +∈，则22111)1111(1)x x x x x +=++--=-+++…，当且仅当2(1)2x +=，即1x =时，等号成立．故答案为：1． 4．若sin 2cos 02cos 1x x x =，则锐角x4． 解：由于sin 2cos 02cos 1x xx =，所以22cos sin 20x x -=，由于x 为锐角，所以sin cos x x =，解得4x π=．故答案为：4π5．设等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若2712a a +=，48S =，则n a = 23n - ． 解：设首项为1a ，公差为d 等差数列{}n a 的前n 项和n S ， 若2712a a +=，48S =， 则27141271234482a a a d S a d +=+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩，解得112a d =-⎧⎨=⎩，所以12(1)23n a n n =-+-=-， 故答案为：23n -6．抛物线26x y =的焦点到直线3410x y +-=的距离为 1 ．解：抛物线26x y =的焦点为3(0,)2，所以点3(0,)2到直线3410x y +-=的距离515d ===． 故答案为：1．7．设6270127(21)(1)x x a a x a x a x --=+++⋯+，则5a = 36 ． 解：利用6(1)x -二项式的展开式：616(1)r r r r T C x -+=-， 令2r =时，得6(1)x -展开式中含4x 的系数，即2615C =，令1r =时，得6(1)x -展开式含5x 的系数，即16(1)6C -=-． 所以621)(1)x x --=展开式中5x 的系数为215(1(6)36⨯+-⨯-=． 故答案为：36．8．设1()f x -为函数2()log (41)x f x =-的反函数，则当1()2()f x f x -=时，x 的值为 1 ． 解：1()f x -为函数2()log (41)x f x =-的反函数， 设1()2()y f x f x -==，函数过(,)x y ，反函数过(,)2yx ，所以()f x 同时过(,)x y ，(2y，)x ，代入2122(41)(4)x yy log x log -⎧=-⎪⎨⎪=⎩，得241221y x x y ⎧=-⎨=-⎩，所以1x =， 故答案为：19．已知m、n是平面α外的两条不同直线，给出三个论断：①m n⊥；②//nα；③mα⊥；以其中两个论断作为条件，写出一个正确的命题（论断用序号表示）:若②③则①．解：已知m、n是平面α外的两条不同直线，给出三个论断：①m n⊥；②//nα；③mα⊥；当mα⊥时，m必垂直于平面α内的任意一条直线，由于//nα，所以m n⊥，如图所示故答案为：若②③则①．10的直角三角板拼在一起，则OD AB=1-．解：以O为原点，OA、OB分别为x、y轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：(0,0)O，(1,0)A，(0,1)B，D点横坐标的求法：11Dx==，纵坐标：Dy==，∴33(1,)(1,1)1 OD AB=+-=-．故答案为：1-．11．如图，1F 、2F 分别是双曲线222:1x C y a -=的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别交于A 、B 两点，若2F A AB =，120F B F B =，则双曲线C 的焦距12||F F 为解：设(A m ，)(0)mm a>，2(,0)F c ， 由中点坐标公式可得，2(2,)mB m c a-， 代入渐近线方程x y a =-，得21(2)m m c a a =--，得4c m =． 由120F B F B =，得22221(2,)(2,)(1)0m m m m c m mc a a a-=+-=， 将4c m =代入，得2221(1)0164c c a +-=，得213a =，∴212||221F F c a ==+=．12．已知函数()f x 的定义域为R ，当(0x ∈，2]时，()(2)f x x x =-，且对任意的x R ∈，均有(2)2()f x f x +=，若不等式15()2f x …在(x ∈-∞，]a 上恒成立，则实数a 的最大值为 4． 解：利用转点法，设015(,)2A x ，在[6x ∈，8]上，则015(2,)4x -在[4x ∈，6]上， 015(4,)8x -在[2x ∈，4]上，015(6,)16x -在[0x ∈，2]上，即()(2)f x x x =-过015(6,)16x -， 所以0015(6)(8)16x x --=，解得0274x =． 故答案为：274． 二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．设x R ∈，则“|1|1x -<”是“24x <”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：|1|102x x -<⇔<<， 2422x x <⇔-<<， (0，2)(2-Ü，2)，∴ “|1|1x -<”是“24x <”的充分不必要条件，故选：A ．14．已知函数())cos(2)f x x x θθ=+++为偶函数，且在[0，]2π上为增函数，则θ的一个值可以是( ) A ．6πB ．3πC ．23π D ．23π-解：根据题意，())cos(2)f x x x ϕϕ=+++，1)cos(2)]2x x ϕϕ=+++， 2sin(2)6x πϕ=++，若()f x 为偶函数，则有162k πϕππ+=+，即13k ϕππ=+，k Z ∈， 结合选项可知，当1k =-时，23πϕ=-，1()2sin(2)2cos 22f x x x π=-=-满足偶函数且在[0，]2π上为增函数，满足题意．故选：D ．15．已知函数()|2|f x x =+，()||g x x t =+，定义函数()()()()()()()f x f xg x F x g x f x g x ⎧=⎨>⎩…，若对任意的x R ∈，都有()(2)F x F x =-成立，则t 的取值为( ) A ．4-B ．2-C ．0D ．2解：若对任意的x R ∈，都有()(2)F x F x =-成立， 则函数()F x 关于1x =对称，作出函数()f x 的图象， 则()f x 关于2x =-对称，由()F x 的对应值则()g x 关于x t =-对称， 即212t--=，得22t --=， 得4t =-， 即t 的值为4-， 故选：A ．16．正四面体ABCD 的体积为1，O 为其中心，正四面体EFGH 与正四面体ABCD 关于点O 对称，则这两个正四面体的公共部分的体积为( )A ．13B ．12C ．23D ．34解：正四面体ABCD 的体积为1，O 为其中心，正四面体EFGH 与正四面体ABCD 关于点O 对称，根据几何体的对称性，重叠部分的体积为，大正四面体的体积减去4个尖端的小棱锥的体积(4个体积相等）， 其中每个小锥体积为18．所以公共部分的体积为11482⨯=．故选：B ．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分） 17．在ABC ∆中，8a =，6b =，1cos 3A =-，求：（1）角B ； （2）BC 边上的高．解：（1）在ABC ∆中，8a =，6b =，1cos 3A =-，所以角A 为钝角，由22sin cos 1A A +=，解得sin A =利用正弦定理的应用sin sin a b A B =，解得sin B =，所以4B π=． （2）根据（1）的结论，1sin sin()sin cos cos sin ()3C A B A B A B =+=+=-=．所以11sin 861622ABC S ab C ∆==⨯⨯=-，由于1116822ah h =-=⨯⨯，解得4h =-，故BC 边上的高为4．18．如图，在圆柱1OO 中，它的轴截面11ABB A 是一个边长为2的正方形，点C 为棱1BB 的中点，点1C 为弧11A B 的中点，求： （1）异面直线OC 与11A C 所成角的大小； （2）直线1CC 与圆柱1OO 底面所成角的大小； （3）三棱锥11C OA C -的体积．解：（1）作11//OD O C ，以O 为原点，OD 为x 轴，OB 为y 轴，1OO 为z 轴， 如图所示：所以求出各点的坐标为(0O ，0，0)，(0C ，1，1)，1(0A ，1-，2)，1(1C ，0，2)． 则(0,1,1)OC =，11(1,1,0)A C =．异面直线OC 和11A C 的夹角为11111cos 2||||2OC A C OC A C θ===． 所以异面直线OC 与11A C 所成角的大小为3π．（2）根据图形1(1,1,1)CC =-，底面的法向量为(0,0,1)n =． 所以线面的夹角为111sin cos ,||||31CC nCC n CC n θ=<>===⨯． 所以直线1CC 与底面的夹角为 （3）锥体的体积11113COA C OA CV Sh -=⨯⨯，在△1OA C中，OC =，1OA =1A C = 所以等腰三角形的面积为11322OA CS==．棱锥的高即为1C 到底面1OA C 的距离1h =， 所以三棱锥11C OA C -的体积为1311322⨯⨯=．19．某企业接到生产3000台某产品的甲、乙、丙三种部件的订单，每台产品需要这3种部件的数量分别为2、2、1（单位：件），已知每个工人可生产甲部件6件，或乙部件3件，或丙部件2件，该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这3种部件，生产乙部件的人数与生产甲部件的人数成正比例，比例系数为(2k k …为正整数）． （1）设生产甲部件的人数为x ，分别写出完成甲、乙、丙3种部件生产需要的时间； （2）假设这3种部件的生产同时开工，试确定正整数的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案．解：（1）依题意：生产乙部件的人数为kx ，生产丙部件的人数为(200)x kx ---，甲部件的数量为300026000⨯=．． 所以生产时间为6000010006x x=，同理生产乙部件的数量为300026000⨯=，生产时间为600020003kx kx=-， 丙部件数量为300013000⨯=，生产时间为300015002(200)200x kx x kx=-----．（2）依题意，在（1）的基础上同时开工，求最短时间，由于2k …，所以比较甲、乙的时间得：10002000x kx…（甲部件的生产时间长）， 所以完成订单任务时间由甲和丙部件中较长的决定． ①当10001500200x x kx --…时，得到40025x k +…， 此时，完成订单时间为1000x ，当40025x k =+时，取最小值． ②当10001500200x x kx --…，得到40025x k +…．此时，完成订单时间为1500200x kx --，当40025x k =+时，取最小值．当2k =时，4009x …，当45x =时，此时的订单时间为150030023.08200459013==--．由于22073230.8<，所以①中计算结果耗时最短． 综上所述，当2k =时，44x =时完成订单时间最短． 此时，生产甲、乙、丙部件的人数为44，88，68人．20．（16分）已知两点1(F ，0)、2F ，0)，设圆22:4O x y +=与x 轴交于A 、B 两点，且动点P 满足：以线段2F P 为直径的圆与圆O 相内切，如图所示，记动点P 的轨迹为Γ，过点2F 与x 轴不重合的直线l 与轨迹Γ交于M 、N 两点． （1）求轨迹Γ的方程；（2）设线段MN 的中点为Q ，直线OQ与直线x =相交于点R ，求证：2F R l ⊥； （3）记ABM ∆、ABN ∆面积分别为1S 、2S ，求12||S S -的最大值及此时直线l 的方程．解：（1）依题意：设2||PF 的中点为C ，切点为T ，由图可知OC 为△12F PF 的中位线，所以122||||2||2||224PF PF OC CF +=+=⨯=>， 所以点P 的轨迹为椭圆，所以2a =，c =，1b =．所以方程为2214x y +=．证明：（2）设直线(0)y k x k =≠，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ．所以2214(x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，整理得2224(4x k x +-=，变形为2222(14)1240k x x k +-+-=，所以12x x +=212212414k x x k-=+．点Q 的横坐标1202x xx +==． 点Q的纵坐标00(y k x k ===． 直线OQ 为14y x k=-与直线x=R ，所以R． 由23(F R =，直线l 的方向向量(1,)k ， 所以20F R l =，即：2F R l ⊥；（3）在（2）的基础上设点M 和N 在x 轴的上下两侧， 所以11||2M S AB y =，211||||||22N N S AB y AB y ==-． 121||||||2M N SS AB y y -=+． 由1122((y k x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，所以1212(y y k x x +=+-，代入12x x +=所以122111||4||||||121444k S S k k k k-=⨯⨯-===++…当且仅当14k k =，即12k =±时，12||S S - 直线方程为1(2y x =±．21．（18分）在数列{}n a 中，10a =，且对任意的*m N ∈，21m a -、2m a 、21m a +构成以2m 为公差的等差数列．（1）求证：4a 、5a 、6a 成等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式；（3）设2222323n n n S a a a =++⋯⋯+，试问2n S n -是否存在极限？若存在，求出其值，若不存在，请说明理由．【解答】证明：（1）令1m =时，1a ，2a ，3a 构成以2为公差的等差数列，所以22a =，34a =． 令2m =时3a ，4a ，5a 构成以4为公差的等差数列，所以48a =，512a =．令3m =时5a ，6a ，7a 构成以6为公差的等差数列，所以618a =，724a =． 由2546144a a a ==，得到4a ，5a ，6a 成等比数列．解：（2）由（1）得数列{}n a 的前几项为：0，2，4，8，12，18，24． 所以22121222mm m m a a m a a m-+=+⎧⎨=+⎩，所以21214m m a a m +--=．由累加法得到211(1)4[121]42(1)2m m m a a m m m ---=⨯++⋯+-=⨯=-． 当n 为奇数时令21m n -=，所以12n m +=，所以211(1)22n n n a n --=+=． 当n 为偶数时，2m n =，所以2nm =，所以22242n n n a =⨯=．解：（3）当n 为奇数时，22222211221111n n n a n n n n ==+=+----+． 当n 为偶数时，22222n n n a n==．所以1111111lim(2)lim[2()()()2]2448112n n n S n n n n n →∞→∞-=+-+-+⋯+--=-+．。
上海市虹口区2020届高三一模数学试卷及详细解析(Word版)
上海市虹口区2020届高三一模数学试卷及详细解析2019.12一、填空题(本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分)1. 设全集U =R ，若A ={1|21x x x ->}，则U A =______2. 若复数3i 1iz -=+(i 为虚数单位)，则|z |=______ 3. 设x ∈R +，则21x x ++的最小值为______ 4. 若sin2cos 0cos 1x xx =，则锐角x =______5. 设等差数列{n a }的前n 项和n S ，若2712a a +=，48S =，则n a =______6. 抛物线26x y =的焦点到直线3410x y +-=的距离为______7. 设()()6270127211...x x a a x a x a x --=++++，则5a =______8. 设()1f x -为函数()()2log 41x f x =-的反函数，则当()()12f x f x -=时，x 的值为______9. 已知m 、n 是平面α外的两条不同直线，给出三个论断：① m ⊥n ；② n //α；③ m ⊥a ；以其中两个论断作为条件，写出一个正确的命题（论断用序号表示）：______10. 如图所示，两块斜边长均等于2的直角三角板拼在一起，则OD AB ⋅=______11. 如图，1F 、2F 分别是双曲线C ：2221x y a -=的左、右焦点，过2F ，的直线与双曲线C 的两条渐近线分别交于A 、B 两点，若F A AB =2，20F A F B ⋅=1，则双曲线C 的焦距|12F F |为______12. 已知函数()f x 的定义域为R ，当x ∈(0,2]时，()()2f x x x =-，且对任意的x ∈R ，均有()()22f x f x +=，若不等式()152f x ≤在x ∈(-∞,a ]上恒成立，则实数a 的最大值为______二、选择题(本大题共4题，每题5分，共20分)13. 设x ∈R ，则“11x -<”是“24x <”的( )A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件14. 已知函数()()()3sin 2cos 2f x x x θθ=+++为偶函数，且在[0,2π]. 上为增函数，则θ的一个值可以是( )A . 6πB . 3πC 23πD . 23π- 15. 已知函数()2f x x =+，()g x x t =+，定义函数()()()()()()()f x f x g x g g x F x x f x ≤>⎧⎪=⎨⎪⎩，若对任意的x ∈R ，都有()()2F x F x =-成立，则t 的取值为( )A . 4-B . 2-C . 0D . 216. 正四面体ABCD 的体积为1，O 为其中心，正四面体EFGH 与正四面体ABCD 关于点O 对称，则这两个正四面体的公共部分的体积为( )A . 13B . 12 C. 23 D . 34三、解答题(本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分) 17. 在△ABC 中，a =8，b =6，1cos 3A =-求： (1) 角B ；(2) BC 边上的高.18. 如图，在圆柱1OO 中，它的轴截面11ABB A 是一个边长为2的正方形，点C 为棱1BB ，的中点，点1C 为弧11A B 的中点，求：(1)异面直线O C 与11A C 所成角的大小；(2)直线1CC 与圆柱1OO 底面所成角的大小；(3)三棱锥11C OA C -的体积.19. 某企业接到生产3000台某产品的甲、乙、丙三种部件的订单，每台产品需要这3种部件的数量分别为2、2、1(单位：件)，已知每个工人可生产甲部件6件，或乙部件3件，或丙部件2件，该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这3种部件，生产乙部件的人数与生产甲部件的人数成正比例，比例系数为k (2k ≥为正整数).(1) 设生产甲部件的人数为x ，分别写出完成甲、乙、丙3种部件生产需要的时间；(2) 假设这3种部件额生产同时开工，试确定正整数的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案.20. 已知两点F (、F ，设圆O ：224x y +=与x 轴交于A 、B 两点，且动点P 满足：以线段2F P 为直径的圆与圆O 相内切，如图所示，记动点P 的轨迹为Γ，过点2F ，与x 轴不重合的直线l 与轨迹Γ交于M 、N 两点.(1) 求轨迹Γ的方程；(2) 设线段MN 的中点为Q ，直线O Q 与直线433x =相交于点R ，求证：2F R ⊥l ； (3) 记△ABM 、△ABN 面积分别为1S 、2S ，求|12S S -|的最大值及此时直线l 的方程.21. 在数列{n a }中，10a =，且对任意的m ∈N *，21m a -、2m a 、21m a +构成以2m 为公差的等差数列.(1) 求证：4a 、5a 、6a 成等比数列；(2) 求数列{n a }的通项公式；(3) 设2222323n n n S a a a =+++试问2n S n -是否存在极限? 若存在，求出其值，若不存在，请说明理由.上海市虹口区2020届高三一模数学试卷及详细解析。
2024届上海市虹口区高三一模数学试题及答案
上海市虹口区2024届高三一模数学试卷（满分150分，时间120分钟）2023.12.12一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）1.已知集合 0,1,2,3,4,5A ，21B x x ，则A B ．2.函数lg 2y x的定义域为．3.4.5.在x6.已知7.双曲线8.9.已知y 且21(1)0f a f a ，则实数a 的10.天值班，若每天安排两人，则甲、乙两人安排在同一天的概率为11.设a ．12.设312231,,,,,a a a b b b是平面上两两不相等的向量，若1223312a a a a a a ，且对任意的,i j1,2,3，均有 j i a b ，则122331b b b b b b．二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13.设i 为虚数单位，若2521iz i i，则z （）.A 12i ；.B 12i ；.C 2i ；.D 2i ．第8题图14.空气质量指数AQI 是反映空气质量状况的指数，其对应关系如下表：为监测某化工厂排放废气对周边空气质量指数的影响，某科学兴趣小组在工厂附近某处测得10月1日—20日AQI 的数据并绘成折线图如下：.A .B .C .D 15..A .C 316.已知曲线 的对称中心为O ，若对于 上的任意一点A ，都存在 上两点B 、C ，使得O 为ABC 的重心，则称曲线 为“自稳定曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“自稳定曲线”；②存在双曲线是“自稳定曲线”．则（）.A ①是假命题，②是真命题；.B ①是真命题，②是假命题；.C ①②都是假命题；.D ①②都是真命题．第18题图三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须写出必要的步骤】17.（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）设ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若 sin sin sin ,sin m A B C A，,n c b c a ，//m n ．（1）求角B 的大小；（2）若ABC 为锐角三角形，求sin sin y A C 的取值范围．18.1CC 的中点，满足11AM A B （1）（2）所成角的大小．19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）2022年12月底，某厂的废水池已储存废水800吨，以后每月新产生的2吨废水也存入废水池．该厂2023年开始对废水处理后进行排放，1月底排放10吨处理后的废水，计划以后每月月底排放一次，每月排放处理后的废水比上月增加2吨．（1）若按计划排放，该厂在哪一年的几月份排放后，第一次将废水池中的废水排放完毕？（2）该厂加强科研攻关，提升废水处理技术，经过深度净化的废水可以再次利用．该厂从2023年7月开始对该月计划排放的废水进行深度净化，首次净化废水5吨，以后每月比上月提高20%的净化能力．试问：哪一年的几月份开始，当月排放的废水能被全部净化？已知点 ,4M m 在抛物线2:2x py （0p ）上，点F 为 的焦点，且5MF ．过点F 的直线l 与及圆 2211x y 依次相交于点A 、B 、C 、D ，如图．（1）求抛物线 的方程及点M 的坐标；（2）求证：AC BD 为定值；（3）过A 、B 两点分别作 的切线1l 、2l ，且1l 与2l 相交于点P ，求ACP 与BDP 的面积之和的最小值．第20题图已知 y f x 与 y g x 都是定义在 0, 上的函数，若对任意 12,0,x x ，当12x x 时，都有121212f x f xg x g x x x，则称 y g x 是 y f x 的一个“控制函数”．（1）判断2y x 是否为函数2y x （0x ）的一个控制函数，并说明理由；（2）设 ln f x x 的导数为 'f x ，0a b ，求证：关于x 的方程'f b f a f x b a在区间,a b 上有实数解（3）设 ln f x x x ，函数 y f x 是否存在控制函数？若存在，请求出 y f x 的所有控制函数；若不存在，请说明理由．1M 1( 第18题图1 )B 虹口区2023学年度第一学期期终学生学习能力诊断测试高三数学 参考答案和评分标准 2023年12月一、填空题（本大题共12题，满分54分；第1-6题每题4分;第7-12题每题5分 ） 1．{}1,2,3 2．(2,5) 3. 924． 12π 5．560 6.7. 35 8．cos(2)6x π− 9. (1, 10．1711．()9,+∞ 12.3二、选择题（本大题共4题，满分18分；第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. A 14. C 15. D 16. B 三、解答题（本大题共5题，满分78分）17．(本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分)解：(1) 因为m //n ，所以 ()()sin sin sin sin A B C b c a c A +−⋅+−=⋅， …… 2分由正弦定理，可得 ()()a b c b c a ac +−⋅+−=，即 222ac a c b =+−. …… 4分于是，由余弦定理得 2221cos 22a cb B ac +−==，又()0,B π∈，所以3B π=．…… 7分（2）由（1）可知2,3A C π+=所以23sin sin sin sin()sin )326y A C A A A A A ππ=+=+−==+ …… 11分 由△ABC 为锐角△,得20,0,232A A πππ<<<−<且所以,62A ππ<<从而362.3A πππ<+<所以sin sin )6y A C A π=+=+的取值范围为32,.⎛ ⎝ …… 14分 18．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分) 证：(1) 取AC 中点D ，连接DN ，A 1D .因AA 1＝AC ，AD ＝CM ，∠A 1AD ＝∠ACM 90=︒， 故△A 1AD ≌△ACM . …… 2分从而∠AA 1D ＝∠CAM ，又因∠AA 1D ＋∠A 1DA 90=︒， 故∠CAM ＋∠A 1DA 90=︒.所以AM ⊥A 1D .由于AM ⊥A 1B 1及A 1B 111,A D A ⋂=因此( 第18题图2 )AM ⊥平面A 1B 1D. …… 4分因D , N 分别为AC , BC 的中点，故D N // AB ，从而D N // A 1B 1，于是A 1，P ，B 1，N ，D 在同一平面内，故AM ⊥面A1PN. …… 6分 解：(2) 因为AB ＝AC ＝4，BC ＝AB 2＋AC 2＝BC 故AB ⊥AC.因AM ⊥A 1B 1，A 1B 1∥AB ，故AM ⊥AB ； 又因AM ∩AC ＝A ，所以AB ⊥面ACC 1A 1 ， 从而AB ⊥AA 1；因此AB ，AC ，AA 1两两垂直.以A 为原点，以AB ，AC ，AA 1分别为x ，y ，z 轴， 建立空间直角坐标系，如图. ……8分则由条件，相关点的坐标为M (0，4，2)，N (2，2，0)，P ( 1，0，4)，B 1(4，0，4). 设平面MNP 的一个法向量为(,,),n x y z =则(,,)(2,2,2)2220,,2,(,,)(1,4,2)420,n MN x y z x y z y z x z n MP x y z x y z ⎧⋅=⋅−−=−−==⎧⎪⎨⎨=⋅=⋅−=−+=⎩⎪⎩即取1,(2,1,1).z n ==得 ……11分因1AB = (4，0，4)，设直线1AB 与平面PMN 所成的角为θ，则111(4,0,4)(2,1,1)123sin cos ,.(4,0,4)(2,1,1)2426AB n AB n AB nθ⋅⋅=<>====⋅⋅⋅故直线1AB 与平面PMN 所成角的大小为.3π ……14分 19．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)解：（1）设从2023年1月起第n 个月处理后的废水排放量为n a 吨，则由已知条件知： 数列{}n a 是首项为10，公差为2的等差数列，故28n a n =+. ……2分当18002nni an =≥+∑时，即[]10(28)80022n n n ++≥+， ……4分化简得278000n n +−≥，解得25,32;n n ≥≤−或 由n 是正整数，则25n ≥.故该厂在2025年1月底第一次将废水池中的废水排放完毕. ……6分 （2）设从2023年1月起第n 个月深度净化的废水量为n b 吨. 由已知条件，1260b b b ====，当7n ≥时， 数列{}n b 是首项为5，公比为1.2的等比数列，故70,16,5 1.2,7,n n n b n −≤≤⎧=⎨⨯≥⎩ （n 为正整数）. ……8分 显然，当16n ≤≤时，n n a b >. 当7n n n a b ≥≤时,由得 7285 1.2n n −+≤⨯. （*） ……10分设7285 1.2n n c n −=+−⨯，则812 1.2n n n c c −−−=−，所以当711n ≤≤时，数列{}n c 是严格增数列，且0;n c > 当12n ≥时，数列{}n c 是严格减数列. ……12分由于19 1.420c ≈>，20 5.500c ≈−<.所以不等式（*）的解为20n ≥（n 为正整数）. 故该厂在2024年8月开始计划排放的废水能被全部净化. ……14分20．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 解：（1）易知抛物线Γ的焦点F 的坐标为(0,),2p 准线为2py =−，由抛物线的定义，得 452pMF +==，故2p =.所以，抛物线Γ的方程为24.x y = ………2分将 (,4)M m 代入Γ的方程，得4x =±，所以点M 的坐标为：(4,4),或(4,4).− ………4分 （2）由（1）知F (0,1),又由条件知直线l 的斜率 存在，设直线l 的方程为1y k x =+，并设A 11(,),x yB 22(,),x y 则由21,4,y k x x y =+⎧⎨=⎩得2440,x kx −−=故216(1)0,k ∆=+>且12124, 4.x x k x x +==−………7分由抛物线的定义，可知11,AF y =+2 1.BF y =+又因圆22(1)1x y +−=的圆心为F （0,1），半径为1，于是 11,AC AF y =−= 21.BD FB y =−=所以 AC BD ⋅222121212()14416x x x x y y ==⋅==. ………10分（3）由24x y =得24x y =，而12y x '=.故过点A 211(,)4x x 的抛物线 Γ的切线1l 的方程为2111(),42x x y x x −=−即 21120.2x x x y −−= ①………12分同理，过点B 222(,)4x x 的抛物线Γ的切线2l 的方程为 22220.2x x x y −−= ②由①，②可得：2212121212112,() 1.2424P P P x x x x x k y x x x x x ⎡⎤++===+−==−⎢⎥⎣⎦即(2,1).P k − ……15分 所以点P 到直线l : 10k x y −+=的距离为d ==于是 111()222ACP BDP S S AC d BD d AC BD d ∆∆+=⋅+⋅=+⋅ ()()()()22212121212221112224811682218x x y y d d x x x x d k k ⎛⎫+⎡⎤=+⋅=⋅=+−⋅ ⎪⎣⎦⎝⎭=+⋅+ 故当k =0，即直线l 为y =1 时，ACP BDP S S ∆∆+有最小值2. ……18分 21. (本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分)解：（1）由于对任意()12,0x x ∈+∞，，当12x x <时，都有112222x x x x ≤+≤； ……2分 即有2212121222,x x x x x x −≤≤−故由控制函数的定义，22y x y x ==是函数的控制函数. ……4分证：（2）关于x 的方程ln ln 1b a b a x −=−在区间(),a b 上有实数解1ln ln 1b a b b a a−⇔<<−()()ln ln ln ln a b a b a b b a ⇔−<−<−ln ln ln 10ln ln ln 10b a b b b a a a a a b a a a b b b b−⎧⎧−<−+<⎪⎪⎪⎪⇔⇔⎨⎨−⎪⎪−<−+<⎪⎪⎩⎩. ……7分 记()ln 1F x x x =−+，则()11'1x F x x x−=−=，当()0,1x ∈时()'0F x >，()F x 在()0,1上严格增；当()1,x ∈+∞时()'0F x <，()F x 在()1,+∞上严格减. 而01a b b a <<<，故()()10,10a b F F F F b a ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，于是所要证的结论成立.……10分 另证：关于x 的方程ln ln 1b a b a x −=−在区间(),a b 上有实数解1ln ln 1b a b b a a −⇔<<− ()()ln ln ln ln a b a b a b b a ⇔−<−<−ln ln 0ln ln 0a b b a a a b a a b b b −+−<⎧⇔⎨−+−<⎩. ……7分 记()ln ln F x a x x a a a =−+−，则()'1a F x x =−，当[],x a b ∈时()'0F x ≤，故()F x 在[],a b 上严格减，()()0F b F a <=.记()ln ln G x b x x b b b =−+−，则()G'1b x x=−，当[],x a b ∈时()'0G x ≥，故()G x 在[],a b 上严格增，()()0G a G b <=. 于是所要证的结论成立. ……10分解：（3）①先证引理：对任意0a b <<，关于x 的方程()()()'f b f a f x b a −=−在区间(),a b 上恒有实数解. 这等价于()()()()ln ln ln 1ln 1ln 1ln ln ln 1b b a a a b a b a b b a a b b a b a −+<<+⇔+−<−<+−− 1ln ln 1b a b b a a−⇔<<−，由（2）知结论成立. ……12分 ②（证控制函数的唯一性）假设()y f x =存在“控制函数”()y g x =，由上述引理知，对任意()12,0x x ∈+∞，，当12x x <时，都存在()12,c x x ∈使得()12()'()g x f c g x ≤≤.……（*） 下证：()()()',0,g x f x x =∈+∞.若存在()10,t ∈+∞使得()()11'g t f t >，考虑到()'ln 1f x x =+是值域为R 的严格增函数，故存在21t t >使得()()21'f t g t =.由（*）知存在()012,c t t ∈使得()102()'()g t f c g t ≤≤，于是有()()()012''f c g t f t ≥=，由()'f x 的单调性知02c t ≥，矛盾.故对任意()0,x ∈+∞都有()()'g x f x ≤.同理可证，对任意()0,x ∈+∞都有()()'g x f x ≥，从而()()'g x f x =. ……15分 ③（证控制函数的存在性）最后验证，()()'g x f x =是()y f x =的一个“控制函数”. 对任意()12,0x x ∈+∞，，当12x x <时，都存在()12,c x x ∈使得()1212()()'f x f x f c x x −=−，而由()'f x 的单调性知()12'()''()f x f c f x ≤≤，即121212()()()()f x f x g x g x x x −≤≤−. 综上，函数()y f x =存在唯一的控制函数ln 1y x =+. ……18分。
上海市虹口区2019-2020学年高考第一次模拟数学试题含解析
上海市虹口区2019-2020学年高考第一次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()sinx 12sinxf x =+的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（ ）①绕着x 轴上一点旋转180︒;②沿x 轴正方向平移;③以x 轴为轴作轴对称;④以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称.A ．①③B ．③④C ．②③D ．②④ 【答案】D【解析】【分析】 计算得到()()2f x k f x π+=，22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数是周期函数，轴对称图形，故②④正确，根据图像知①③错误，得到答案.【详解】 ()sin 12sin x f x x=+，()()()()sin 2sin 212sin 212sin x k x f x k f x x k x πππ++===+++，k Z ∈， 当沿x 轴正方向平移2,k k Z π∈个单位时，重合，故②正确；co sin 2212co s s s 12in 2x f x x x x πππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-== ⎪+⎛⎫⎝⎭+- ⎪⎝⎭，co sin 2212co s s s 12in 2x f x x x x πππ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭+== ⎪+⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭， 故22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数关于2x π=对称，故④正确； 根据图像知：①③不正确；故选：D .本题考查了根据函数图像判断函数性质，意在考查学生对于三角函数知识和图像的综合应用.2．小王因上班繁忙，来不及做午饭，所以叫了外卖.假设小王和外卖小哥都在12：00~12：10之间随机到达小王所居住的楼下，则小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率是（ ）A ．12B ．45C ．38D ．34【答案】C【解析】【分析】设出两人到达小王的时间，根据题意列出不等式组，利用几何概型计算公式进行求解即可.【详解】设小王和外卖小哥到达小王所居住的楼下的时间分别为,x y ，以12：00点为开始算起，则有5x y y x ≤⎧⎨-≤⎩，在平面直角坐标系内，如图所示：图中阴影部分表示该不等式组的所表示的平面区域，所以小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率为：11101010105532210108P ?创-创==´. 故选：C本题考查了几何概型中的面积型公式，考查了不等式组表示的平面区域，考查了数学运算能力. 3．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()3f x x x=+-．若0x ≤，则()0f x ≤的解集是（ ）A ．[2,1]--B ．(,2][1,0]-∞-⋃-C ．(,2][1,0)-∞-⋃-D ．(,2)(1,0]-∞-⋃- 【答案】B【解析】【分析】利用函数奇偶性可求得()f x 在0x <时的解析式和()0f ，进而构造出不等式求得结果.【详解】 ()f x Q 为定义在R 上的奇函数，()00f ∴=.当0x <时，0x ->，()23f x x x∴-=---， ()f x Q 为奇函数，()()()230f x f x x x x ∴=--=++<， 由0230x x x <⎧⎪⎨++≤⎪⎩得：2x -≤或10x -≤<； 综上所述：若0x ≤，则()0f x ≤的解集为(][],21,0-∞--U .故选：B .【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，涉及到利用函数奇偶性求解对称区间的解析式；易错点是忽略奇函数在0x =处有意义时，()00f =的情况.4．已知3ln 3,log ,log a b e c e π===，则下列关系正确的是（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】A【解析】【分析】首先判断,,a b c 和1的大小关系，再由换底公式和对数函数ln y x =的单调性判断,b c 的大小即可.【详解】因为ln3ln 1a e =>>，311log ,log ln 3ln b e c e ππ====，1ln3ln π<<，所以1c b <<，综上可得c b a <<.故选：A【点睛】本题考查了换底公式和对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．如图，平面四边形ACBD 中，AB BC ⊥，AB DA ⊥，1AB AD ==，2BC =，现将ABD △沿AB 翻折，使点D 移动至点P ，且PA AC ⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．8πB ．6πC ．4πD ．823π 【答案】C【解析】【分析】 由题意可得PA ⊥面ABC ，可知PA BC ⊥，因为AB BC ⊥，则BC ⊥面PAB ，于是BC PB ⊥.由此推出三棱锥P ABC -外接球球心是PC 的中点，进而算出2CP =，外接球半径为1，得出结果.【详解】解：由DA AB ⊥，翻折后得到PA AB ⊥，又PA AC ⊥，则PA ⊥面ABC ，可知PA BC ⊥．又因为AB BC ⊥，则BC ⊥面PAB ，于是BC PB ⊥，因此三棱锥P ABC -外接球球心是PC 的中点．计算可知2CP =，则外接球半径为1，从而外接球表面积为4π．故选：C.【点睛】本题主要考查简单的几何体、球的表面积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力及创新意识，属于中档题．6．圆心为()2,1且和x 轴相切的圆的方程是（ ）A ．()()22211x y -+-=B ．()()22211x y +++=C ．()()22215x y -+-=D ．()()22215x y +++= 【答案】A【解析】【分析】求出所求圆的半径，可得出所求圆的标准方程.【详解】圆心为()2,1且和x 轴相切的圆的半径为1，因此，所求圆的方程为()()22211x y -+-=. 故选：A.【点睛】本题考查圆的方程的求解，一般求出圆的圆心和半径，考查计算能力，属于基础题.7．若函数32()39f x x ax x =++-在3x =-时取得极值，则a =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】【分析】对函数求导，根据函数在3x =-时取得极值，得到()30f '-=，即可求出结果.【详解】因为()3239f x x ax x =++-，所以()2323f x x ax =++'， 又函数()3239f x x ax x =++-在3x =-时取得极值， 所以()327630f a -=-+='，解得5a =.故选D【点睛】本题主要考查导数的应用，根据函数的极值求参数的问题，属于常考题型.8．某三棱锥的三视图如图所示，那么该三棱锥的表面中直角三角形的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．0【答案】C【解析】【分析】 由三视图还原原几何体，借助于正方体可得三棱锥的表面中直角三角形的个数.【详解】由三视图还原原几何体如图，其中ABC ∆，BCD ∆，ADC ∆为直角三角形.∴该三棱锥的表面中直角三角形的个数为3.故选：C.【点睛】本小题主要考查由三视图还原为原图，属于基础题.9．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ）A ．12y x =B ．2x y =C ．12log y = xD ．1y x =- 【答案】C【解析】【分析】由每个函数的单调区间，即可得到本题答案.【详解】 因为函数12,2x y x y ==和1y x=-在(0,)+∞递增，而12log y x =在(0,)+∞递减. 故选：C【点睛】本题主要考查常见简单函数的单调区间，属基础题.10．下列函数中，既是奇函数，又在(0,1)上是增函数的是（ ）．A ．()ln f x x x =B ．()x x f x e e -=-C ．()sin 2f x x =D ．3()f x x x =- 【答案】B【解析】【分析】奇函数满足定义域关于原点对称且()()0f x f x +-=，在(0,1)上()'0f x ≥即可.【详解】A ：因为()ln f x x x =定义域为0x >，所以不可能时奇函数，错误；B ：()x x f x e e -=-定义域关于原点对称，且()()0x x x x f x f x e e e e --+-=-+-=满足奇函数，又()'0x x f x e e -=+>，所以在(0,1)上()'0f x ≥，正确；C ：()sin 2f x x =定义域关于原点对称，且()()sin 2sin 20f x f x x x +-=+-=满足奇函数，()'2cos2f x x =，在(0,1)上，因为()()'0'122cos20f f =⨯<，所以在(0,1)上不是增函数，错误；D ：3()f x x x =-定义域关于原点对称，且()()33()0f x f x x x x x +-=-+-+=， 满足奇函数，()2'31f x x =-在(0,1)上很明显存在变号零点，所以在(0,1)上不是增函数，错误； 故选：B【点睛】此题考查判断函数奇偶性和单调性，注意奇偶性的前提定义域关于原点对称，属于简单题目.11．复数z 满足()11i z i +=-，则z =（ ）A ．1i -B ．1i +C -D + 【答案】C【解析】【分析】 利用复数模与除法运算即可得到结果.【详解】解: )()())1111111222ii i z i i i i ---=====-+++-， 故选：C【点睛】本题考查复数除法运算，考查复数的模，考查计算能力，属于基础题.12．定义在R 上的函数()()f x x g x =+，()22(2)g x x g x =--+--，若()f x 在区间[)1,-+∞上为增函数，且存在20t -<<，使得(0)()0f f t ⋅<.则下列不等式不一定成立的是（ ）A ．()2112f t t f ⎛⎫++> ⎪⎝⎭B ．(2)0()f f t ->>C ．(2)(1)f t f t +>+D ．(1)()f t f t +>【答案】D【解析】【分析】 根据题意判断出函数的单调性，从而根据单调性对选项逐个判断即可．【详解】由条件可得(2)2(2)2()22()()f x x g x x g x x g x x f x --=--+--=--+++=+=∴函数()f x 关于直线1x =-对称；()f x Q 在[1-，)+∞上单调递增，且在20t -<<时使得(0)()0f f t <g ；又(2)(0)f f -=Q()0f t ∴<，(2)(0)0f f -=>，所以选项B 成立；223112()0224t t t ++-=++>Q ，21t t ∴++比12离对称轴远， ∴可得21(1)()2f t t f ++>，∴选项A 成立； 22(3)(2)250t t t +-+=+>Q ，|3||2|t t ∴+>+，∴可知2t +比1t +离对称轴远 (2)(1)f t f t ∴+>+，选项C 成立；20t -<<Q ，22(2)(1)23t t t ∴+-+=+符号不定，|2|t ∴+，|1|t +无法比较大小， (1)()f t f t ∴+>不一定成立．故选：D ．【点睛】本题考查了函数的基本性质及其应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。