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(整理)定积分 笔记.
第三节定积分一、定积分的定义设函数在上有界，在中任意插入若干个分点把区间分成个小区间，各小区间的长度依次为，，在各小区间上任取一点()，作乘积并作为，记，如果不论对怎样的分法，也不论在小区间上点怎样的取法，只要当时，和总趋于确定的极限我们称这个极限为函数在区间上的定积记为：二、定积分的性质性质1：性质2：(为常数)性质3：假设，性质4：性质5：在区间上，则性质6：设及分别是函数在区间上的最大值及最小值，则性质7(定积分中值定理)如果函数在闭区间上连续，则在积分区间上至少存在一个点，使积分中值公式的几何解释：在区间上至少存在一个点，使得以区间为底边，以曲线为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为的一个矩形的面积。
三、微积分的基本公式1．原函数存在定理：如果在上连续，则变上限积分的函数在可导，还是在上的一个原函数。
2．微积分基本公式（牛顿—莱布尼茨公式）如果是连续函数在区间上的一个原函数，则场。
微积分基本公式表明：一个连续函数在区间上的定积分等于它的任意一个原函数在区间上的增量。
求定积分问题转化为求原函数的问题。
第四节 定积分的积分方法与无穷区间上的广义积分 一、 定积分的积分方法1、定积分的换元积分法例1求4⎰.解一2d 1t tt +⎰12(1)d 1t t =-+⎰2(ln 1)t t C =-++=ln 1C++于是440ln(1=-+⎰= 42ln3- .解二 设t =，即2(0)x t t =>. 当0x =时,0t =;当 4x = 时，2t =.于是4222002d 12(1)d 2(ln 1)2(2ln 3)11t t t t t t t ==-=-+=-++⎰⎰⎰.一般地，定积分换元法可叙述如下，设()f x 在[,]a b 上连续,而()x x ϕ=满足下列条件：（1）()x x ϕ=在[,]αβ上有连续导数；（2）(),()a b ϕαϕβ==,且当 t 在[,]αβ上变化时,()x t ϕ=的值在[,]a b 上变化，则有换元公式：()d [()]()d b af x x f t t tβαϕϕ'=⎰⎰.例2求ln 0x⎰.解t =，即222ln(1),d d 1tx t x t t =+=+.换积分限：当 0x = 时，0t =, 当 ln2x =时，1t =,于是ln 11220021d 2(1)d 11t x t t t t t =⋅=-++⎰⎰⎰10π2(arctan )22t t =-=-.例3 求24d a ax x ⎰.解 设sec x a t =，则 d sec tan d x a t t t =. 换积分限:当x a =时，0t =; 2x a = 时，π3t =,于是π234440tan d sec tan d sec a aa t x a t t t x a t =⎰⎰ =π23201sin cos d t t t a ⎰π2321sin d(sin )t t a =⎰21a =.3π30sin 3t =.例4 求π20d 1sin x I x =+⎰.解一 （换元法）令2222d tan ,sin ,d 211x t t t x x t t ===++， 所以，当0x =时，0t =；当π2x =时，1t =，于是111220002d 2d 2112(1)1t I t t t t t ===-=++++⎰⎰. 解二 （凑微分法）ππ220222d d (sin cos )(tan 1)cos 2222x xI x x x x ==++⎰⎰ππ2202d tan12221(tan 1)tan 122x x x ==-=++⎰.注意:求定积分一定要注意定积分的存在性.2、定积分的分部积分法设()u x ,()v x 在[a,b]上有连续导数，则有d d b bb aaau v uv v u=-⎰⎰.[,]a b该公式称为定积分分部积分公式，使用该公式时要注意，把先积出来得那一部分代上下限求值，余下的部分继续积分.这样做比完全把原函数求出来再代上下限简便一些.例5 求π220cos d x x x⎰.解ππ22220cos d d(sin )x x x x x =⎰⎰ππ22200sin 2sin d x x x x x=-⎰ππ22222000ππ2d(cos )2cos 2cos d 44x x x x x x π=+=+-⎰⎰π2220ππ2sin 244x=-=-.例6 求e 1eln d x x⎰.解e 1e111eeln d ln d ln d x x x x x x=+⎰⎰⎰.因为11e x <<时, ln 0x <,这时ln ln x x =-;x ≥1时,ln x ≥0,这时ln ln x x=.于是e 1e111eeln d ln d ln d x x x x x x=-+⎰⎰⎰分别用分部积分求右端两个积分得11111111e e e e1112ln d ln d ln 1e e e x x x x x x x x -=-+=+=-⎰⎰,e e e111ln d ln 1x x x x x =-=⎰,最后得e 1e2ln d 2e x x =-⎰.二、 无穷区间上的广义积分设函数f (x) 在区间[a , )+∞上连续，取b >a ，如果极限lim()bab f x dx→+∞⎰存在，则称此极限为函数f (x) 在无穷区间[ a, )+∞上的广义积分，记作()a f x dx+∞⎰即()af x dx+∞⎰=lim ()ba b f x dx→+∞⎰这时也称广义积分()af x dx+∞⎰收敛。
定积分知识点总结
定积分知识点总结什么是定积分？定积分是微积分中的重要概念之一，用于求解曲线下面的面积或曲线与坐标轴所围成的图形的面积。
定积分的基本思想是将区间划分成无限小的小区间，然后对每个小区间内的函数值进行求和，最终得到曲线下的面积或图形的面积。
定积分的符号表示定积分的符号表示为∫f(x)dx，其中∫ 表示积分符号，f(x)表示被积函数，dx表示积分变量。
∫ f(x)dx的结果是一个数值，表示积分区间上的面积。
定积分的计算步骤计算定积分的一般步骤如下：1.确定积分区间：确定被积函数的积分区间，一般用[a, b] 表示。
其中，a 表示下限，b 表示上限。
2.对被积函数进行积分：根据被积函数的形式，进行积分运算。
如果被积函数是简单函数，可以直接对其进行积分。
如果被积函数比较复杂，可以利用积分的基本公式或积分的性质来进行换元、分部积分等操作。
3.计算积分结果：对积分结果进行计算，得到最终的数值结果。
定积分的性质定积分具有以下几个重要的性质：1.线性性质：定积分具有线性性质，即对于任意的常数 a 和 b，有∫(af(x) + bf(y))dx = a∫f(x)dx+ b∫f(y)dy。
2.区间可加性：如果有一个函数在区间 [a, b] 上可积分，而在 [b, c] 上也可积分，则在整个区间 [a, c] 上也可积分，并且有∫[a,c]f(x)dx = ∫[a,b]f(x)dx + ∫[b,c]f(x)dx。
3.积分与求导的关系：定积分与原函数之间存在着积分与求导的关系。
如果函数 F(x) 在区间 [a, b] 上可导，并且导函数 f(x) 连续，则有∫[a,b]f(x)dx = F(b) - F(a)。
定积分的应用定积分在科学和工程领域有着广泛的应用，下面介绍一些常见的应用场景：1.几何应用：定积分可以用于计算平面图形的面积和曲线的弧长。
例如，可以通过计算曲线所围成的面积来求解不规则图形的面积。
2.物理学应用：定积分在物理学中的应用非常广泛。
定积分的知识点总结
定积分的知识点总结一、定积分的基本概念定积分是微积分学中的重要概念，可以用来计算曲线下的面积，曲线的弧长，质心等物理量。
定积分的基本思想是将曲线下的面积划分为无穷多个微小的矩形，然后求和得到整体的面积。
定积分的符号表示为∫。
对于一个函数f(x)，在区间[a, b]上的定积分表示为：∫[a, b]f(x)dx其中，a和b为区间的端点，f(x)为函数在该区间上的取值。
定积分表示在区间[a, b]上的函数f(x)所确定的曲线下的面积。
二、定积分的计算方法1. 黎曼和定积分的计算基本思想是将曲线下的面积划分为很多个小矩形，然后对这些小矩形的面积求和。
这就是定积分的计算方法。
在实际计算中，根据黎曼和的定义，我们可以将区间[a, b]等分为n个小区间，每个小区间长度为Δx=(b-a)/n，然后在每个小区间上取一个样本点xi，计算f(xi)Δx的和：∑[i=1,n]f(xi)Δx当n趋近于无穷大时，这个和就可以逼近定积分的值。
这就是黎曼和的基本思想。
2. 定积分的几何意义定积分可以用来计算曲线下的面积，也可以用来计算曲线的弧长。
对于一个函数f(x)，其在区间[a, b]上的定积分表示的是曲线y=f(x)和x轴之间的面积。
这个面积就是曲线下的面积。
如果函数f(x)在区间[a, b]上非负且连续，那么函数y=f(x)、直线x=a、x=b以及x轴所围成的区域的面积就是∫[a, b]f(x)dx。
3. 定积分的物理意义定积分还可以用来计算物理量，比如质量、质心等。
在物理学中，可以用定积分来计算物体的质量、质心等物理量。
对于一个连续的物体，将其质量密度函数表示为ρ(x)，则物体的质量可以表示为定积分：M=∫[a, b]ρ(x)dx三、定积分的性质1. 线性性定积分具有线性性质，即∫[a, b](c1f1(x)+c2f2(x))dx=c1∫[a, b]f1(x)dx+c2∫[a, b]f2(x)dx。
其中c1、c2为常数，f1(x)、f2(x)为函数。
定积分的计算知识点总结
定积分的计算知识点总结一、定积分的定义。
1. 概念。
- 设函数y = f(x)在区间[a,b]上连续，用分点a=x_0将区间[a,b]等分成n个小区间，每个小区间长度为Δ x=(b - a)/(n)。
在每个小区间[x_i - 1,x_i]上取一点ξ_i(i =1,2,·s,n)，作和式S_n=∑_i = 1^nf(ξ_i)Δ x。
当nto∞时，如果S_n的极限存在，则称这个极限为函数y = f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作∫_a^bf(x)dx，即∫_a^bf(x)dx=limlimits_n→∞∑_i = 1^nf(ξ_i)Δ x。
- 这里a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a,b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积表达式。
2. 几何意义。
- 当f(x)≥slant0时，∫_a^bf(x)dx表示由曲线y = f(x)，直线x = a，x = b以及x 轴所围成的曲边梯形的面积。
- 当f(x)≤slant0时，∫_a^bf(x)dx表示由曲线y = f(x)，直线x = a，x = b以及x 轴所围成的曲边梯形面积的相反数。
- 当f(x)在[a,b]上有正有负时，∫_a^bf(x)dx表示位于x轴上方的曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积。
二、定积分的基本性质。
1. 线性性质。
- ∫_a^b[k_1f(x)+k_2g(x)]dx = k_1∫_a^bf(x)dx + k_2∫_a^bg(x)dx，其中k_1,k_2为常数。
2. 区间可加性。
- ∫_a^bf(x)dx=∫_a^cf(x)dx+∫_c^bf(x)dx，其中a < c < b。
3. 比较性质。
- 如果在区间[a,b]上f(x)≥slant g(x)，那么∫_a^bf(x)dx≥slant∫_a^bg(x)dx。
- 特别地，<=ft∫_a^bf(x)dxright≤slant∫_a^b<=ftf(x)rightdx。
定积分知识点总结专科
定积分知识点总结专科一、定积分的基本概念1. 定积分的引入定积分是对曲线下面积的求解方法。
在平面直角坐标系中，给定曲线的函数关系y=f(x)，我们希望计算在区间[a, b]上曲线与x轴之间的面积。
为了简化计算，我们将区间[a, b]分成无穷小的小区间，然后计算每个小区间中与x轴之间的面积，再把所有小区间的面积相加起来，就得到了曲线在区间[a, b]上的面积。
这种方法就是定积分的基本思想。
2. 定积分的定义设函数y=f(x)在区间[a, b]上有定义，且区间[a, b]上的分割为[a=x0, x1, x2, ..., xn-1, xn=b]，则对应的小区间为[x0, x1], [x1, x2], ..., [xn-1, xn]，每个小区间的长度为Δxi=xi-xi-1。
在每个小区间上取任意点ξi，用函数值f(ξi)乘以小区间长度Δxi，再把所有小区间的面积相加，得到Σf(ξi)Δxi。
当Δxi→0时，如果极限存在，就称曲线在区间[a, b]上的面积为定积分，用符号∫abf(x)dx表示，即∫abf(x)dx=lim(Δxi→0)Σf(ξi)Δxi。
其中f(x)是被积函数，x是积分变量，a、b是积分上下限，ξi是小区间[i-1, i]上的任意点。
3. 定积分的几何意义定积分的几何意义是曲线与x轴之间的面积，例如，对于非负函数y=f(x)在区间[a, b]上的定积分∫abf(x)dx表示曲线y=f(x)与x轴以及直线x=a、x=b所包围的平面图形的面积。
4. 定积分的物理意义定积分的物理意义通常是表示物体的质量、体积或者其它物理量，例如，对于密度为ρ(x)的连续介质在区间[a, b]上的定积分∫abρ(x)dx表示介质在区间[a, b]上的质量。
5. 定积分的符号定积分的符号是∫，这个符号来源于拉丁字母"summa"的缩写，表示对函数在一定区间内的求和。
6. 定积分的性质- 定积分的存在性只有当函数y=f(x)在区间[a, b]上是有界的（即不是无穷大）时，定积分才有意义。
(完整版)定积分知识点汇总
(完整版)定积分知识点汇总定积分是高中数学教学的重点难点之一，也是高数的基础知识。
我们通过汇总定积分的相关知识点，帮助同学们更好地掌握定积分的相关知识，以便在考试中取得好的成绩。
一、定积分的定义定积分是对函数在一定区间上的积分，也就是函数在此区间上的面积。
1. 定积分与区间的选取无关，即如果函数在 $[a,b]$ 上是可积的，则定积分$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x$ 的值是唯一的。
2. 定积分具有可加性，即对于任意的 $c \in [a,b]$，有 $\int_a^b f(x)\mathrm{d}x = \int_a^c f(x) \mathrm{d}x + \int_c^b f(x) \mathrm{d}x$。
三、定积分的求解方法1. 函数曲线与坐标轴相交的情况：对于函数曲线与 $x$ 轴相交的区间，可以根据定义式直接求出该区间内的面积。
对于函数曲线与 $y$ 轴相交的区间，则要将积分区间平移后，再根据定义式计算面积。
2. 利用基本积分法和牛顿-莱布尼茨公式：可以利用基本积分法求出一个函数的原函数，然后利用牛顿-莱布尼茨公式，即$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = F(b) - F(a)$，其中 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数。
3. 利用换元积分法：换元积分法是利用一些特殊的代换，将积分式转化为某些基本形式的积分。
常见的代换包括：$u=g(x), x=h(u)$ 和 $\mathrm{d}u = f(x) \mathrm{d}x$。
分部积分法是将原积分式做一个变形，转化成两个积分乘积的形式，从而更容易求解。
5. 利用定积分的对称性：如积分区间对于 $0$ 对称，或者函数具有四象限对称性等，可以根据对称性减少计算量。
1. 几何应用：用定积分可以求解函数曲线与坐标轴围成的图形的面积、体积和质心等几何特征。
利用定积分可以求解质点运动的速度、加速度、位移和质量等物理量。
定积分知识点汇总
定积分知识点汇总关键信息项：1、定积分的定义2、定积分的几何意义3、定积分的基本性质4、定积分的计算方法5、定积分的应用1、定积分的定义11 定积分的概念定积分是微积分的重要概念之一。
如果函数 f(x) 在区间 a, b 上连续，用分点 a ＝ x₀＜ x₁＜ x₂＜＜ xₙ ＝ b 将区间 a, b 分成 n 个小区间，在每个小区间 xᵢ₋₁, xᵢ上任取一点ξᵢ（i ＝ 1, 2,， n），作和式∑f(ξᵢ)Δxᵢ，当 n 无限增大且Δxᵢ的最大值趋于零时，如果和式的极限存在，这个极限就叫做函数 f(x) 在区间 a, b 上的定积分，记作∫ₐᵇf(x)dx 。
12 定积分的几何定义如果在区间 a, b 上函数 f(x) 连续且非负，那么定积分∫ₐᵇf(x)dx 表示由曲线 y ＝ f(x) 、直线 x ＝ a 、 x ＝ b 和 x 轴所围成的曲边梯形的面积。
如果函数 f(x) 在区间 a, b 上连续且有正有负，那么定积分∫ₐᵇf(x)dx 表示介于 x 轴上方和下方的面积的代数和。
2、定积分的几何意义21 以 x 轴上方的面积为正，x 轴下方的面积为负当函数图像在 x 轴上方时，对应的定积分值为正，表示该部分区域的面积；当函数图像在 x 轴下方时，对应的定积分值为负，表示该部分区域面积的相反数。
22 定积分表示曲线围成的面积对于一般的连续函数，定积分的值等于曲线与 x 轴之间所围成的有向面积。
3、定积分的基本性质31 线性性质若函数 f(x) 和 g(x) 在区间 a, b 上可积，k 为常数，则∫ₐᵇkf(x)dx ＝k∫ₐᵇf(x)dx ，∫ₐᵇf(x) ± g(x)dx ＝∫ₐᵇf(x)dx ±∫ₐᵇg(x)dx 。
32 区间可加性若函数 f(x) 在区间 a, c 和 c, b 上都可积，其中 a ＜ c ＜ b ，则∫ₐᵇf(x)dx ＝∫ₐᶜf(x)dx ＋∫ᶜᵇf(x)dx 。
定积分知识总结(总9页)
定积分知识总结(总9页)1. 定积分的定义定积分是数学中的一个概念，它表示将一个函数沿着一条给定的路径积累起来的总和。
在数学上，定积分是描述函数在一定区间上的面积、体积、虚功等概念的一种工具。
（1）可加性：若f(x)在[a,b]、[b,c]上可积，则：∫(a,c)f(x)dx=∫(a,b)f(x)dx+∫(b,c)f(x)dx∫(a,b)f(x)dx≥03. 函数可积的充分条件Riemann可积的充分条件有：（1）区间[a,b]上f(x)存在上下积分，且上下积分相等；（2）对任意ϵ>0，可找到划分P及加细之后的划分P1，使得S(P1,f)-s(P1,f)<ϵ，其中S(P1,f)表示P1的上和式，s(P1,f)表示P1的下和式。
4. 定积分的计算方法定积分可以通过换元法、分部积分法、牛顿-莱布尼茨公式等数学方法进行计算。
（1）求曲线下面的面积；（2）求曲线绕x轴或y轴旋转的体积；（3）求物理问题中的虚功；（4）求平均值、方差等统计量。
6. 常用定积分公式$\int x^ndx={x^{n+1}}/{n+1}+C$$\int\sin xdx=-\cos x+C$7. 例题（1）计算定积分: $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin xdx$解：$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin xdx=\left . -\cos x \right |\begin{matrix} 0\\\frac{\pi}{2} \end{matrix} =1$8. 求导与积分的对应关系如果函数f(x)在区间[a,b]上可导，则：$\int_{a}^{b}f'(x)dx = f(b)-f(a)$微积分是数学的一个分支，其中包括微分和积分两个部分。
微积分对象是函数的导数和原函数。
定积分是微积分中的积分部分，用于计算函数在一定区间内的积累量。
因此，微积分中的求导和积分是密不可分的，两者相辅相成，是微积分学中的核心概念。
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定积分
一．定积分的几何意义
①
b
f ( x) 0 时， f (x)dx S
a
b
f ( x) 0 时， f (x)dx S
a
f(x) 有正有负时，
b c d
a f ( x)dx S1, f ( x)dx S2 , f ( x)dx S3
b c
d b c d
f ( x)dx
a
面积和 S1
二．定积分基本性质
①当 a b 时，b
f ( x)dx 0. a
b b
② kf ( x) dx k f (x)dx
a a
b b
f (x)dx f ( x)dx f (x)dx S1 S2 S3.
a b c
b c d
S2 S3
a
f (x)dx f (x)dx f (x)dx
b c
b
[ f ( x) g(x)] dx S
a
b b
③[ f1 ( x) f 2 ( x) f n (x)]dx f1 ( x)dx f 2 (x)dx f n (x)dx
a a a a
b c1 c2 b f ( x)dx
④ f (x)dx f ( x)dx f (x)dx
a a c1 c n
a
⑤若奇函数
⑥若偶函数y f ( x) 在 [a, a]
y f ( x) 在 [a, a]
上连续不断，则 f (x)dx 0
a
a
f (x)dx a
上连续不断，则 2 f ( x)dx
a 0
微分基本定理： 如果 f ( x) 是区间 [ a, b] 上的连续函数，且 F '( x)
f ( x) ，则
b a
b
F (b) F (a) （牛顿—莱布尼兹公式）
f ( x)dx F ( x)
a
1. 直线 x 0, x , y 0 与曲线 y sin x 所围成图形的面积用定积分表示为
2. 用定积分表示抛物线
y x 2 2x 3 与直线 y
x 3 所围成图形的面积为
3. 曲线 y
x 2 1, x 2, x 0, y
0 围成的阴影部分的面积用定积分表示为
4. 由曲线 y x 2
4, x
4, x 0, y 0 和 x 轴围成的封闭图形的面积是（ ）
4
4) dx
4
(x
2
4)dx |
A. ( x 2
B.| 0
4
4 | dx
2
4
4) dx
C. | x 2
D . (x 2
4) dx( x 2 0
2
5. 计算下列定积分
3
1
2
dx
（1）9 x 2
dx
（ 2）4 4x
3
1
2
1 dx 1
（3）（ 4）(2 x e x)dx
1 x( x 1) 0
（5）cos2x
dx 9 （ 6）x(1 x) dx
0 2 1
6. 正方形的四个顶点A( 1, 1), B(1, 1),C (1,1),D ( 1,1)分别在抛物线 y
2 2 x 和 y x
上，如图，若将一质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是7. 已知函数y x2与 y kx 的图象所围成的阴影部分的面积是 4 , 则k
3
8. 求曲线y24x 与直线 y 2x 4 围成的图形面积
9. 已知函数f ( x) x3 ax 2 bx 的图象如图所示，它与直线y 0 在原点处相切，此切线
与函数图象所围区域的面积是27
, 求 a . 4。