2007年高考数学(理科)试卷及答案(宁夏卷)

2007年普通高等学校招生全国统一考试（宁夏卷）数学（理科）试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

第II 卷第22题为选考题，其他题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。

参考公式： 样本数据1x ，2x ，，n x 的标准差锥体体积公式(n s x x =++-13V Sh =其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积、h 为高 柱体体积公式球的表面积、体积公式V=Sh24πS R =，34π3V R =其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知命题:p x∀∈R，sin x≤1，则（）A．:p x⌝∃∈R，sin x≥1B．:p x⌝∀∈R，sin x≥1C．:p x⌝∃∈R，sin x>1D．:p x⌝∀∈R，sin x>12．已知平面向量a=（1，1），b（1，－1），则向量1322-=a b（）A．（－2，－1）B．（－2，1）C．（－1，0）D．（－1，2）3．函数πsin23y x⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的简图是（）4．已知{a n }是等差数列，a 10=10，其前10项和S 10=70，则其公差d =（ ）A ．23-B ．13-C ．13 D ．235．如果执行右面的程序框图，那么输出的S=（ ）A ．2450B ．2500C ．2550D ．26526．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），P 3（x 3，y 3）在抛物线上，且2x 2=x 1+x 3， 则有（ ）A ．123FP FP FP +=B ．222123FP FP FP +=C ．2132FP FP FP =+D ．2213FP FP FP =·7．已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则2()a b cd+的最小值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．48．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ）A ．34000cm 3 B ．38000cm 3C ．2000cm 3D ．4000cm 39．若cos 22π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos sin αα+的值为（ ） A ．7-B ．12-C ．12D 7 10．曲线12ex y =在点（4，e 2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）A ．29e 2B ．4e 2C ．2e 2D ．e 211．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表s 1，s 2，s 3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）A ．s 3>s 1>s 2B ．s 2>s 1>s 3C ．s 1>s 2>s 3D ．s 2>s 3>s 112．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等。

设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为1h ，2h ，h ，则12::h h h =（ ）AB2:2 C2:D2第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 。

14．设函数(1)()()x x a f x x++=为奇函数，则a = 。

15．i 是虚数单位，51034ii-+=+ 。

（用a +b i 的形式表示，a b ∈R ，）16．某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有 种。

（用数字作答）三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D 。

现测得BCD BDC αβ∠=∠=，，CD=s ，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB 。

18．（本小题满分12分）如图，在三棱锥S —ABC 中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形，90BAC ∠=°，O 为BC 中点。

（Ⅰ）证明：SO ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求二面角A —SC —B 的余弦值。

19．（本小题满分12分）在平面直角坐标系x O y 中，经过点(02)，且斜率为k 的直线l 与椭圆2212x y +=有两个不同的交点P 和Q 。

（Ⅰ）求k 的取值范围；（Ⅱ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A 、B ，是否存在常数k ，使得向量OP OQ +与AB 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由。

20．（本小题满分12分）如图，面积为S 的正方形ABCD 中有一个不规则的图形M ，可按下面方法估计M 的面积：在正方形ABCD 中随机投掷n 个点，若n 个点中有m 个点落入M 中，则M 的面积的估计值为mS n，假设正方形ABCD 的边长为2，M 的面积为1，并向正方形ABCD 中随机投掷10000个点，以X 表示落入M 中的点的数目。

（Ⅰ）求X 的均值EX ；（Ⅱ）求用以上方法估计M 的面积时，M 的面积的估计值与实际值之差在区间（－0.03，，0.03）内的概率。

附表：1000010000()0.250.75ktt t t P k C-==⨯⨯∑K 2424 2425 2574 2575 P （k ） 0.04030.04230.95700.959021．（本小题满分12分）设函数2()ln()f x x a x =++（Ⅰ）若当x =－1时，f （x ）取得极值，求a 的值，并讨论f （x ）的单调性； （Ⅱ）若f （x ）存在极值，求a 的取值范围，并证明所有极值之和大于eln 2。

22．请考生在A 、B 、C 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。

A （本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，已知AP 是⊙O 的切线，P 为切点，AC 是⊙O 的割线，与⊙O 交于B 、C 两点，圆心O 在PAC ∠的内部，点M 是BC 的中点。

（Ⅰ）证明A ，P ，O ，M 四点共圆； （Ⅱ）求OAM APM ∠+∠的大小。

B （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为4cos 4sin ρθρθ==-，。

（Ⅰ）把⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）求经过⊙O 1，⊙O 2交点的直线的直角坐标方程。

C （本小题满分10分）选修4－5；不等式选讲设函数()214f x x x =+--。

（Ⅰ）解不等式f （x ）>2； （Ⅱ）求函数y = f （x ）的最小值。

2007年普通高等学校招生全国统一考试（宁夏卷）数 学（理科）参考答案一、选择题1．C 2．D 3．A 4．D 5．C 6．C7．D 8．B 9．C 10．D 11．B 12．B二、填空题13．3 14．1- 15．12i + 16．240三、解答题17．解：在BCD △中，πCBD αβ∠=-- 由正弦定理得sin sin BC CDBDC CBD=∠∠ 所以sin sin sin sin()CD BDC s BC CBD βαβ∠⋅==∠+在ABC Rt △中，tan sin tan sin()s AB BC ACB θβαβ⋅=∠=+18．证明：（Ⅰ）由题设AB AC SB SC ====SA ，连结OA ，ABC △为等腰直角三角形，所以22OA OB OC SA ===，且AO BC ⊥，又SBC △为等腰三角形，故SO BC ⊥， 且22SO SA =，从而222OA SO SA +- 所以SOA △为直角三角形，SO AO ⊥又AO BO O =．所以SO ⊥平面ABC （Ⅱ） 解法一：取SC 中点M ，连结AM OM ，，由（Ⅰ）知SO OC SA AC ==，，得OM SC AM SC ⊥⊥，OMA ∠∴为二面角A SC B --的平面角．由AO BC AO SO SOBC O ⊥⊥=，，得AO ⊥平面SBC所以AO OM ⊥，又2AM SA =，故sin AO AMO AM ∠===所以二面角A SC B --解法二：以O 为坐标原点，射线OB OA ，分别为x 轴、y 轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系O xyz -．设(100)B ，，，则(100)(010)(001)C A S -，，，，，，，，SC 的中点11022M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，， 111101(101)2222MO MA SC ⎛⎫⎛⎫=-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，00MO SC MA SC ==，∴··故,MO SC MA SC MO MA ⊥⊥>，，<等于二面角A SCB --的平面角．3cos MO MA MO MA MO MA<>==，··，所以二面角A SC B -- 19．解：（Ⅰ）由已知条件，直线l 的方程为y kx =+代入椭圆方程得22(12x kx +=整理得 221102k x ⎛⎫+++=⎪⎝⎭① 直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于2221844202k k k ⎛⎫∆=-+=-> ⎪⎝⎭，解得k <k >k 的取值范围为222⎛⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，∞∞ （Ⅱ）设1122()()P x y Q x y ，，，，则1212()OP OQ x x y y +=++，，由方程①，12212x x k +=-+ ②又 1212()y y k x x +=++ ③而(01)(A B AB =-，，所以OP OQ +与AB 共线等价于1212)x x y y +=+，将②③代入上式，解得2k =由（Ⅰ）知k <k >，故没有符合题意的常数k 20．解：每个点落入M 中的概率均为14p =依题意知1~100004X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，（Ⅰ）11000025004EX =⨯= （Ⅱ）依题意所求概率为0.03410.0310000X P ⎛⎫-<⨯-< ⎪⎝⎭，0.03410.03(24252575)10000X P P X ⎛⎫-<⨯-<=<< ⎪⎝⎭2574100001000024260.250.75tt t t C-==⨯⨯∑2574242510000100001100001000024260.250.750.250.75tt ttt t t CC --===⨯⨯-⨯⨯∑∑ =0.9570-0.0423 =0.914721．解：（Ⅰ）1()2f x x x a'=++， 依题意有(1)0f '-=，故32a =从而2231(21)(1)()3322x x x x f x x x ++++'==++ ()f x 的定义域为32⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∞，当312x -<<-时，()0f x '>； 当112x -<<-时，()0f x '<； 当12x >-时，()0f x '> 从而，()f x 分别在区间31122⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，∞单调增加，在区间112⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调减少 （Ⅱ）()f x 的定义域为()a -+，∞，2221()x ax f x x a++'=+ 方程22210x ax ++=的判别式248a ∆=- （ⅰ）若0∆<，即a <，在()f x 的定义域内()0f x '>，故()f x 的极值（ⅱ）若0∆=，则a -a =若a =()x ∈+∞，2()f x '=当2x =-时，()0f x '=，当222x ⎛⎛⎫∈--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∞时，()0f x '>，所以()f x 无极值若a =)x ∈+∞，2()0f x '=>，()f x 也无极值（ⅲ）若0∆>，即a>或a <，则22210xax ++=有两个不同的实根12a x -=，22a x -=当a <12x a x a <-<-，，从而()f x '有()f x 的定义域内没有零点，故()f x 无极值当a >1x a >-，2x a >-，()f x '在()f x 的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知()f x 在12x x x x ==，取得极值．综上，()f x 存在极值时，a的取值范围为)+∞ ()f x 的极值之和为22121122()()ln()ln()f x f x x a x x a x +=+++++21ln 11ln 2ln 22ea =+->-=22． A 解：（Ⅰ）证明：连结OP OM ， 因为AP 与⊙O 相切于点P ，所以OP AP ⊥因为M 是⊙O 的弦BC 的中点，所以OM BC ⊥于是180OPA OMA ∠+∠=°，由圆心O 在PAC ∠的内部，可知四边形APOM 的对角互补，所以AP O M ，，，四点共圆 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得AP O M ，，，四点共圆，所以OAM OPM ∠=∠． 由（Ⅰ）得OP AP ⊥由圆心O 在PAC ∠的内部，可知90OPM APM ∠+∠=° 所以90OAM APM ∠+∠=° B 解：解：以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位。