10年川大高等代数及答案

四川大学2010年攻读硕士学位研究生入学考试题一、A 为实数域R 上的n 阶实对称矩阵.解答下列各题，每小题满分10分. 1.证明：矩阵A E n +-1可逆，这里n E 是n 阶单位阵. 证明：A 为实数域R 上的n 阶实对称矩阵，则A 可对角化即存在可逆矩阵P ，使得Λ=-AP P 1，A 的特征值为n λλλ,,,21 （R k ∈λ）)())((1)1(12111i i i P E P P E P A E n n n n ±±±=Λ+-=Λ+-=+---λλλ由0)(≠±i k λ，则01≠+-A E n ，故A E n +-1可逆.2.设函数f ：R R R nn →⨯为：AY X Y X f '),(=，n R Y X ∈,.证明：f 不是零函数当且仅当存在nR X ∈0使得0),(00≠X X f证明：充分性：由存在nR X ∈0使得0),(00≠X X f ，则f 不是零函数必要性：由A 为实数域R 上的n 阶实对称矩阵，则A 可正交对角化 令r A r =)(，A 的非零特征值为i λ（r i ,,2,1 =）即存在正交矩阵),,,(21n Q ααα =，使得)0,,0,,,,('21个r n r diag AQ Q -=Λ=λλλ 取i X α=0，有0'),(00≠==i i i A X X f λαα3.设A xE x f n -=)(是A 的特征多项式，设)('x f 为)(x f 的导数且)()('x f x f .证明：A 是数量矩阵.证明：A 为实数域R 上的n 阶实对称矩阵，则A 可对角化即存在可逆矩阵P ，使得Λ=-AP P 1，A 的特征值为n λλλ,,,21 （R k ∈λ）)())(()()(2111n n n n x x x P xE P P xE P A xE x f λλλ---=Λ-=Λ-=-=-- ①)()('x f x f 的充分必要条件为n b x a x f )()(-= （0>n ） ②由①、②，得b n ====λλλ 21，则n bE AP P =-1，有n bE A =，即A 是数量矩阵. 注：关于)()('x f x f 的充分必要条件为nb x a x f )()(-= （0>n ）的证明证明：充分性：由n b x a x f )()(-=，有1)()('--=n b x na x f 有)(1)()()(')(1b x nb x na b x a x f x f n n -=--=-，则)()('x f x f 必要性：待定系数法，设0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- 有1211)1()('a x a n x na x f n n n n ++-+=---由)()('x f x f 及1))('())((+∂=∂x f x f ，有))((')(d cx x f x f += 比较)(x f 、)('x f 系数，有n c 1=，有))(('1)(b x x f nx f -= （其中nd b -=） 有)('1))('),((x f na x f x f n =，则)()('1))(('1))('),(()(b x a x f na b x x f n x f x f x f n n-=-= 由))('),(()(x f x f x f 包含了)(x f 的全部不可约因式，则)(x f 的不可约因式只能是b x -和它的非零常数倍，故)(x f 的形式为nb x a x f )()(-=.4.设A 的秩为r A r =)(，设}0'{=∈=AX X R X V n ，证明：V 包含nR 的一个维数为r n -的子空间. V 是nR 的子空间吗？说明你的理由.证明：令}{θ=∈=AX R X W n ，有nR W ⊂由方程θ=AX 的解一定是0'=AX X 的解，有V W ⊂且nR W ⊂ ①θ=AX 的基础解系由r n A r n -=-)(个线性无关的向量构成，则r n W -=dim ② 由①、②，得V 包含nR 的一个维数为r n -的子空间由}0'{=∈=AX X R X V n，得n R V ⊂，则V 是n R 的子空间 5.进一步假设A 正定，而B 是一个负定的n 阶矩阵.证明：如果CB AC =，那么必然有O C =.证明：把C 看作由列向量构成，即),,,(21n C ααα =),,,(),,,(2121n n A A A A AC αααααα ==)',,','(]')',,,('[)'''(')'(2121n n B B B B C B CB CB αααααα ====由CB AC =，得i i B A αα'= （n i ,,2,1 =）即θα=-i B A )'(由B 负定，得'B 负定，又A 正定，得0'≠-B A 那么关于i α的方程θα=-i B A )'(只有零解，则θα=i ，即O C =二、设A 为数域F 上的n 阶方阵，它的秩为r .解答下列各题，每小题满分10分.1.设r E 是r 阶单位阵.写出“存在可逆矩阵P 使得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=O OO E PA r ”的一个充分必要条件，并证明你的结论.证明：存在可逆矩阵P 使得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=O OO E PA r”的一个充分必要条件为r A r =)( 必要性：由⎥⎦⎤⎢⎣⎡=O OO E PA r，则r PA r =)(，又P 可逆，则r A r PA r ==)()( 充分性：由r A r =)(，则A 可通过有限次初等变换为⎥⎦⎤⎢⎣⎡O O O E r 则有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=O O O E A P P P r m 21，其中m P P P ,,,21 为初等矩阵 取m P P P P 21=，由m P P P ,,,21 可逆，则P 可逆故存在可逆矩阵P 使得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=O O O E PA r 2.设n ααα,,,21 是nF 的一个基.令A n n ),,,(),,,(2121αααβββ =.求向量组n βββ,,,21 的秩，并给出它的一个极大无关组.解：令n ααα,,,21 、n βββ,,,21 构成的矩阵分别为1A 、1B 由n ααα,,,21 是nF 的一个基，则n A r =)(1，则1A 可逆由r A r B r A A r ===)()()(11，则n βββ,,,21 的秩为r在n βββ,,,21 中取r 个线性无关的向量ir i i βββ,,,21 就构成了n βββ,,,21 的一个极大无关组3.设)(A P 是满足O A f =)(的F 上的所有多项式)(x f 组成的集合.证明：)(A P 是F 上的无穷维线性空间；并且，如果)()(A P x g ∈的次数大于n ，那么)(x g 是在F 上是可约的. 证明：令A 的特征多项式为)(x h ，有O A h =)(根据题意)(A P 中的任意多项式含有因式)(x h取k x x x ,,,,12 （n k ≥），由kx x x ,,,,12 线性无关，又k 为大于n 的任意整数故)(A P 是F 上的无穷维线性空间取)()(A P x g ∈且n x g >∂))((，总有)()()(x h x q x g =（1))((≥∂x q ） 故)(x g 是在F 上是可约的4.设n λλλ,,,21 是A 的全部复特征值.证明：对任意非负整数k ，数∑==ni ki k S 1λ属于F .证明：A 的特征多项式为02211)(a x a x a x x f n n n n n ++++=----由A 是F 上的矩阵，有)(x f 为F 上的多项式，则F a k ∈（1,,1,0-=n k ） 由根与系数的关系有∑=-=-ni i n a 11)1(λ、∑∑==-=-ni ji nj n a 1122)1(λλ（j i ≠）、……、∏==-ni i na 10)1(λk S 为对阵多项式，则k S 可由110,,,-n a a a 表示，则F S k ∈三、设β=AX 是数域F 上的一个n 元线性方程组，其系数矩阵A 的秩r A r =)(.设S 为它的解集.1.（5分）给出“S 是nF 的子空间”的充分必要条件，并证明你的结论.2.（10分）假设S 不是空集且不是nF 的子空间。

求S 的秩，并给出它的一个极大无关组. 1.证明：当θβ≠时，β=AX 为非齐次线性方程组 β=AX 无解时，有∅=Sβ=AX 有解时，则有n r A r A r ≤==)()(当n r A r A r ===)()(时，β=AX 有唯一解，S 只含有一个元素，不能构成空间 当n r A r A r <==)()(时，β=AX 有无穷解在S 中取两个不同的解1X 、2X ，有ββ≠=+221AX AX 故S 不能构成空间当θβ=时，θβ==AX 为齐次线性方程组 基础解系由r n A r n -=-)(个线性无关的向量构成令这r n -个线性无关的向量为r n -γγγ,,,21有}{2211r n n k k k X X S -+++==γγγ故S 是nF 的子空间的充分必要条件为θβ=2.解：由上题结论，是β=AX 为非齐次线性方程组且有无穷解得情况 令方程的一个特解为α，有}{2211r n r n k k k k X X S --++++==γγγα 假设α可由r n -γγγ,,,21 线性表出，即r n r n l l l --+++=γγγα 2211则r n r n r n l k l k l k X ---++++++=γγγ)()()(222111 ，带入方程有θ=AX ，矛盾 则α不能由r n -γγγ,,,21 线性表出，即r n -γγγα,,,,21 线性无关 故S 的秩为1+-r n ，r n -γγγα,,,,21 为它的一个极大无关组四.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=210121012A ，设)(A C 是所有与A 可交换的实矩阵组成的集合. 1.（5分）证明：)(A C 是实数域R 上的线性空间. 2.（10分）求)(dim A C R 和它的一个基. 1.证明：取)(,,A C D C B ∈，有)(A C O ∈ 有B C C B +=+、D C B D C B ++=++)()(B kl lB k )()(=、lB kB B l k +=+)(、kC kB C B k +=+)( （R l k ∈,）则)(A C 是实数域R 上的线性空间2.解：令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211b b b b b b b b b B ，)(A C B ∈，由BA AB =，得方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧+-=+--+-=+--=+-+-=-+--+-=-+--=-+-+-=--+-=--=-333233233332313222323131212322332313232221322212222131211113122313131211221212112111222222222222222222b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b ，有⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+==+==+==+==32233331223221331322322331112223121311222112b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b ，则B 对称矩阵有⎩⎨⎧=-==231213223311b b b b b b ，自由未知量有12b 、13b 、22b取112=b 其余为0，有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=010*******A 取113=b 其余为0，有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=1010001012A 取122=b 其余为0，有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1000100013A ，则332211A k A k A k B ++= 1A 、2A 、3A 线性无关，故为)(A C 的一个基，3)(dim =A C五、（20分）设V 是n 维欧氏空间，其内积为)(,.设向量组V m ∈ααα,,,21 满足如下条件：如果非负实数m λλλ,,,21 使得θαλαλαλ=+++m m 2211，那么必有021====m λλλ .证明：必然存在向量V ∈α使得0),(>i αα，m i ,,2,1 =. 证明：取V 得一个标准正交基n γγγ,,,21取m n n m X ⨯=),,,(),,,(2121γγγααα ，有n ni i i i x x x γγγα+++= 2211 再取m m αμαμαμα+++= 2211 （0>i μ）)(),(),(),(22221111ni i i mi i i i mi i i mi i i i x x x +++===∑∑∑=== μααμααμαα当021====ni i i x x x 时，有θα=i有题设，则i λ为任意实数，矛盾故022221>+++ni i i x x x ，又0>i μ，则0),(>i αα。