10年川大高等代数及答案
高等代数习题答案

《高等代数》习题答案一、1、存在多项式()()()()()()1,=+x v x g x u x f x v x u 使得与2、()()x f x f '和互质3、()()的重因式为x f x p4、05、1,-26、()k n n --121 7、3 8、- 48 9、相 10、相11、1或2(有非零解) 12、()()A r A r = 13、无 14、12 15、9816、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0001 17、E 18、()2222121,,r n Z Z Z x x x f ++= 19、()22122121,,r p p n Z Z Z Z x x x f --++=+ 20、大于零21、α为非零向量,α不能由β线性表出 22、无 23、关于V 的加法和数乘封闭 24、对于 V 中任意向量α、β和数域P 中任意数K 都有()()()βαβαA A A +=+和()()ααkA k A = 25、相似 26、线性无关的27、线性变量A 在数域P 中有个互异的特征的值 28、1 29、T A ,1 30、线性无关的 31、正交矩阵二、1、1)()()7422+--x x x 有理根22)()()333122+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x x 有理根31,2-2、()()()n mx x n mx x n mx x x ---++=++-2342211=b ax x x x +++-23463 由7,37,3-==⇒=-=b a n m3、1)0211211211=+++→cba2)31131031605510019182402113------→9532001235250019182402113-----→409201235250019182402113=-----→3)1103100321011111033100321011111993952032101111=→→→4)()()()xaan x a x an x a a an x111-+-+-+→()[]a n x 1-+=xaa x a a111→()[]a n x 1-+ax a x a a --001=()[]()11---+n a x a n x5)n n y x +6)nna a a a a1001010011110---→nn a a a a a a 211011⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=4、1)系数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---11178424633542 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→572527003542 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→000570005442通解为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-===-=24231221157522t x t x t x t t x 则基础解系[]⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==57,1,0,520,0,1,221x x2)系数矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----7931181332111511⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----→0000004720123018144472047201511通解为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=--=241321221122723t x t x t t x t t x 则基础解系为[]⎪⎩⎪⎨⎧--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1,0,2,10,1,27,2321x x5、1)扩展矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----112131111202121⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→00000151505205301151501515002121通解为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+===+=21423122151515352t t x t x t x t x 令21,t t 为0,则特解⎥⎦⎤⎢⎣⎡=51,0,0,520x通解⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=511053101051005221t t x , 21,t t 为任意常数2)扩展矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---787695754636323⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------→0000015100090232102001510036323通解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==+=24231221151332t x t x t x t t x 令21,t t 为0,则特解[]0,1,0,00=x通解⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=150300132010021t t x , 21,t t 为任意常数6、扩展矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------11111111112111111111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→00220020201220011111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→022********220011111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→02200020*******11111 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=--=-=+++022022141434244321x x x x x x x x x ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=-===⇒414141454321x x x x则432141414145ααααβ--+=5、因四元非齐次线性方程组的系数矩阵秩为3, 则通解形式为110x t x x +=则通解为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=432154321t x , 1t 为任意常数6、()()A A x A x A 122--=⇒=-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1111221124100111032100111011x ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡411010103⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-----=3222352257、1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-1012010411001210⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→1012001210010411⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→1283001210010411⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→2112311240101120011232001210011201则逆矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----21123124112 2)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--1243012210011101101201221000111110111010012001111 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→3132341032313201031313100112430323132010313131001,则逆矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----3132343231323131318、原式=()1123---AA A 3421322123111=⎪⎭⎫⎝⎛⋅=⋅-=--A9、⎥⎦⎤⎢⎣⎡22211211X X X X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡00CA ⎥⎦⎤⎢⎣⎡==A X CX A X CX E 21221112⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====⇒--112121221100C A AX X X 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡=---00111ACX10、1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----524212425,,011225,05>=>01524212425>=---- 正定 2)064320222210,02422210,010,3020222210<-=-<-=->⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡- 不正定11、0545212111,0111,01,521211122>--=-->-=>⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--t t t tt t t t t则054<<-t12、1)031610213510610213112311213≠-=---→---→----03321021112210211131021211≠=-→--→,故为3P 的两组基 2)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----173510101610211213131112021311211213⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→0721010161031280313、⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----00000110201000003306031155033033311341335512333则基为[][]3,3,1,34,5,2,3---与, 维数为214、1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-001010100,0010101001M M=-AM M 1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡131211232221333231a a a a a a a a a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111213212223313233a a a a a a a a a2) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-10010001,11000011k M k M=-AM M 1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333231232221131211111a a a a k a k a k a a a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10010001k ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=33323123222113121111a ka a a k a a k a ka a3)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-100011001,100110011M M=-AM M 1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+-+-333231231322122111131211a a a a a a a a a a a a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10011001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++-+-++--+=33323231231322122221121113121211a a a a a a a a a a a a a a a a15、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10010001 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=111101011B ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-121011101则=B 110010001-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--111101011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-121011101⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=21122011016、1)()()215122212221+-=---------=-λλλλλλA E 特征值1,521-==λλ(二重)51=λ代入()01=-X A E λ得基础解系[],1,1,11=X 特征向量为321εεε++12-=λ代入()02=-X A E λ得基础解系[][]1,1,0,1,0,132-=-=X X特征向量为3231εεεε--和由3dim dim dim 21P w w =+λλ知可对角化。
川大线性代数习题册答案4

二次型的基本概念一.如果不要求二次型的矩阵是对称的,那么它的矩阵表示唯一吗?解:不唯一二.是,其矩阵为n 阶单位阵 三.写出下列二次型的矩阵1.121242121⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭秩为一 2.0004001401014410⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭秩为四 四.写出下列矩阵对应的二次型:1.2212311213223(,,)2236f x x x x x x x x x x x =-+--2.1234121314232434(,,,)f x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++五.填空题. 1.22212344y y y -++ 2.r 化二次型为标准形一.分别用配方法和初等变换化下列二次型为标准形,并写出所用的可逆线性变换.1.2222123112*********(,,)434443f x x x x x x x x x x x x x x x =+-=++--2222122233322212233399(2)4()4641639(2)4()816x x x x x x x x x x x x =+-+++=+-++令11222333238y x x y x x y x =+⎧⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎩ ,则11232233332438x y y y x y y x y ⎧=-+⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩为可逆线性变换使:2221231239(,,)416f x x x y y y =-+ 2.222123123121323(,,)254484f x x x x x x x x x x x x =+++--()()()2221121323232221121323232222211232323232324854422454422(2)(2)(2)544x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+-++-=+-++-=+-+---++-22221232323232(2)2(2)544x x x x x x x x x =+---++-22222123223323232(2)2(44)544x x x x x x x x x x x =+---+++- 22212323232(2)334x x x x x x x =+-+-+2221232332132(2)3()39x x x x x x =+-++- 令:112322333223y x x x y x x y x =+-⎧⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎩ ,所以可逆变换为:1123223334323x y y y x y y x y ⎧=--⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩22212312313(,,)239f x x x y y y =+- 3.令:11221233x y y x y y x y =+⎧⎪=-⎨⎪=⎩ ,写成矩阵形式为X CY =,其中:110110001C ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭则:22123121323(,,)24f x x x y y y y y y =--+ 22213233()(2)3y y y y y =---+令:113223332z y y z y y z y =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩,变换为:113223332y z z y z z y z=+⎧⎪=+⎨⎪=⎩,写成矩阵形式为:Y PZ =,其中:101012001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则:2221233f z z z =-+ 变换为:X CY CPZ ==,其中:113111001CP ⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭二.用正交变换化下列二次型为标准形,并写出所用的正交变换.1.解:120222023A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭,其特征值为:-1,2,51λ=-时,对应特征向量为:()221T,2λ=时,对应特征向量为:()212T-,5λ=时,对应特征向量为:()122T-作正交变换为:221333212333122333X Y ⎛⎫-⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,22212325f y y y =-++ 2.解:0041001441001400A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,特征值为:-3,-5,3,5 3λ=-时,对应特征向量为:()1111T--, 5λ=-时,对应特征向量为:()1111T--, 3λ=时,对应特征向量为:()1111T --, 5λ=时,对应特征向量为:()1111T. 作正交变换:11112222111122221111222211112222X Y ⎛⎫--⎪ ⎪ ⎪--⎪= ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,222212343535f y y y y =--++ 三.解:2000303A a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2003(2)(3)(3)03E A a a a aλλλλλλλ--=--=--+---- 特征值为:2,3,3a a λλλ==-=+有A 的特征值分别为:1,2,5和0a >知:2a =1λ=时,对应特征向量为:()011T-, 2λ=时,对应特征向量为:()100T,5λ=时,对应特征向量为:()011T。
(完整)10年川大高等代数及答案

四川大学2010年攻读硕士学位研究生入学考试题一、A 为实数域R 上的n 阶实对称矩阵.解答下列各题,每小题满分10分. 1.证明:矩阵A E n +-1可逆,这里n E 是n 阶单位阵. 证明:A 为实数域R 上的n 阶实对称矩阵,则A 可对角化即存在可逆矩阵P ,使得Λ=-AP P 1,A 的特征值为n λλλ,,,21Λ(R k ∈λ))())((1)1(12111i i i P E P P E P A E n n n n ±±±=Λ+-=Λ+-=+---λλλΛ由0)(≠±i k λ,则01≠+-A E n ,故A E n +-1可逆.2.设函数f :R R R nn →⨯为:AY X Y X f '),(=,n R Y X ∈,.证明:f 不是零函数当且仅当存在nR X ∈0使得0),(00≠X X f证明:充分性:由存在nR X ∈0使得0),(00≠X X f ,则f 不是零函数必要性:由A 为实数域R 上的n 阶实对称矩阵,则A 可正交对角化 令r A r =)(,A 的非零特征值为i λ(r i ,,2,1Λ=)即存在正交矩阵),,,(21n Q αααΛ=,使得)0,,0,,,,('21321ΛΛ个r n r diag AQ Q -=Λ=λλλ 取i X α=0,有0'),(00≠==i i i A X X f λαα3.设A xE x f n -=)(是A 的特征多项式,设)('x f 为)(x f 的导数且)()('x f x f .证明:A 是数量矩阵.证明:A 为实数域R 上的n 阶实对称矩阵,则A 可对角化即存在可逆矩阵P ,使得Λ=-AP P 1,A 的特征值为n λλλ,,,21Λ(R k ∈λ))())(()()(2111n n n n x x x P xE P P xE P A xE x f λλλ---=Λ-=Λ-=-=--Λ ①)()('x f x f 的充分必要条件为n b x a x f )()(-= (0>n ) ②由①、②,得b n ====λλλΛ21,则n bE AP P =-1,有n bE A =,即A 是数量矩阵. n证明:充分性:由n b x a x f )()(-=,有1)()('--=n b x na x f有)(1)()()(')(1b x nb x na b x a x f x f n n -=--=-,则)()('x f x f 必要性:待定系数法,设0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=--Λ 有1211)1()('a x a n x na x f n n n n ++-+=---Λ由)()('x f x f 及1))('())((+∂=∂x f x f ,有))((')(d cx x f x f +=比较)(x f 、)('x f 系数,有n c 1=,有))(('1)(b x x f nx f -= (其中nd b -=) 有)('1))('),((x f na x f x f n =,则)()('1))(('1))('),(()(b x a x f na b x x f n x f x f x f n n-=-= 由))('),(()(x f x f x f 包含了)(x f 的全部不可约因式,则)(x f 的不可约因式只能是b x -和它的非零常数倍,故)(x f 的形式为nb x a x f )()(-=.4.设A 的秩为r A r =)(,设}0'{=∈=AX X R X V n,证明:V 包含n R 的一个维数为r n -的子空间. V 是n R 的子空间吗?说明你的理由.证明:令}{θ=∈=AX R X W n ,有nR W ⊂由方程θ=AX 的解一定是0'=AX X 的解,有V W ⊂且nR W ⊂ ①θ=AX 的基础解系由r n A r n -=-)(个线性无关的向量构成,则r n W -=dim ②由①、②,得V 包含n R 的一个维数为r n -的子空间由}0'{=∈=AX X R X V n ,得nR V ⊂,则V 是n R 的子空间5.进一步假设A 正定,而B 是一个负定的n 阶矩阵.证明:如果CB AC =,那么必然有O C =.证明:把C 看作由列向量构成,即),,,(21n C αααΛ=),,,(),,,(2121n n A A A A AC ααααααΛΛ==)',,','(]')',,,('[)'''(')'(2121n n B B B B C B CB CB ααααααΛΛ==== 由CB AC =,得i i B A αα'= (n i ,,2,1Λ=)即θα=-i B A )'(由B 负定,得'B 负定,又A 正定,得0'≠-B A那么关于i α的方程θα=-i B A )'(只有零解,则θα=i ,即O C =二、设A 为数域F 上的n 阶方阵,它的秩为r .解答下列各题,每小题满分10分.1.设r E 是r 阶单位阵.写出“存在可逆矩阵P 使得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=O OO E PA r”的一个充分必要条件,并证明你的结论.证明:存在可逆矩阵P 使得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=O OO E PA r”的一个充分必要条件为r A r =)( 必要性:由⎥⎦⎤⎢⎣⎡=O OO E PA r,则r PA r =)(,又P 可逆,则r A r PA r ==)()( 充分性:由r A r =)(,则A 可通过有限次初等变换为⎥⎦⎤⎢⎣⎡O O O E r 则有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=O O O E A P P P r m Λ21,其中m P P P ,,,21Λ为初等矩阵 取m P P P P Λ21=,由m P P P ,,,21Λ可逆,则P 可逆故存在可逆矩阵P 使得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=O O O E PA r 2.设n ααα,,,21Λ是n F 的一个基.令A n n ),,,(),,,(2121αααβββΛΛ=.求向量组n βββ,,,21Λ的秩,并给出它的一个极大无关组.解:令n ααα,,,21Λ、n βββ,,,21Λ构成的矩阵分别为1A 、1B 由n ααα,,,21Λ是n F 的一个基,则n A r =)(1,则1A 可逆 由r A r B r A A r ===)()()(11,则n βββ,,,21Λ的秩为r在n βββ,,,21Λ中取r 个线性无关的向量ir i i βββ,,,21Λ就构成了n βββ,,,21Λ的一个极大无关组3.设)(A P 是满足O A f =)(的F 上的所有多项式)(x f 组成的集合.证明:)(A P 是F 上的无穷维线性空间;并且,如果)()(A P x g ∈的次数大于n ,那么)(x g 是在F 上是可约的. 证明:令A 的特征多项式为)(x h ,有O A h =)(根据题意)(A P 中的任意多项式含有因式)(x h取k x x x ,,,,12Λ(n k ≥),由kx x x ,,,,12Λ线性无关,又k 为大于n 的任意整数故)(A P 是F 上的无穷维线性空间取)()(A P x g ∈且n x g >∂))((,总有)()()(x h x q x g =(1))((≥∂x q ) 故)(x g 是在F 上是可约的4.设n λλλ,,,21Λ是A 的全部复特征值.证明:对任意非负整数k ,数∑==ni ki k S 1λ属于F .证明:A 的特征多项式为02211)(a x a x a x x f n n n n n ++++=----Λ 由A 是F 上的矩阵,有)(x f 为F 上的多项式,则F a k ∈(1,,1,0-=n k Λ) 由根与系数的关系有∑=-=-n i i n a 11)1(λ、∑∑==-=-ni ji nj n a 1122)1(λλ(j i ≠)、……、∏==-ni i na 10)1(λk S 为对阵多项式,则k S 可由110,,,-n a a a Λ表示,则F S k ∈三、设β=AX 是数域F 上的一个n 元线性方程组,其系数矩阵A 的秩r A r =)(.设S 为它的解集.1.(5分)给出“S 是n F 的子空间”的充分必要条件,并证明你的结论.2.(10分)假设S 不是空集且不是n F 的子空间。
川大版高等数学(第一册)部分课后题答案

高数第一册 第一章习题1.13.(1)(,1)(1,)(2){|1,}1(1,1)(1,)(3)(1,1)x x x R -∞-⋃-+∞≠±∈∞-⋃-⋃+∞-或(-,) (4)22903[3,1)(1,3]10x x x x x ⎧⎫-≥⇒-⎪⎪⇒--⋃⎨⎬-⇒⎪⎪⎩⎭≤ ≤3>>1或<-1 2222(5)(,3)(6)sin 0,,()241(7)114(1),11(1)3x x k x k k z x x x x x x πππ-∞≠≠≠∈⎡⎤≤⇒≤⇒≤+⇒-⎢⎥++⎣⎦(8)0ln 0x x x x x ⎧⎫⇒⇒⎨⎬⇒⎩⎭> >0>1>>1(9)[1,2]-(10)21()x x x f x x x x x x x x ⎧⎫⇒⎪⎪⎪⎪=⇒⇒≠⇒∴⎨⎬⎪⎪⎪⎪⇒⎩⎭-1 <00≤≤10即0<<1 < 0和0<≤2e 1≤≤27.(1)(2)(3)(4)(5)奇函数偶函数偶函数偶函数非奇非偶 (6)2()()f x f x -==偶函数 (7)11()lnln ()11x xf x f x x x+--==-=--+奇函数) (8)2112()()2112x xxxf x f x -----===-++奇函数 (9)()sin cos f x x x -=--非奇非偶 13.(1)22(())(2)24,(())2,xxxx f x f f x x R ϕϕ====∈(2)11(())(0,1)111x f f x x xx-==≠-- (3)32221,()(1)3(1)256()56(1)(1)5(1)6x t f t t t t t f x x x f x x x +==---+=-+∴=-++=+-++则x=t-1,或:14.[]22(1)(0)0.(2)0,111111(3)01(4)1lg ,lg 1,lg 1,.1(5)11()(6)1log (16)y x x y x y y x y x x y y y xx y x y y x xy xx x y x x x =≤≤+∞=≥=-++===≠-+==-=--=≠-+∞⎧=≤≤∞反函数反函数x=,x-1=,x=1+反函数y ,定义域反函数定义域x >0反函数,定义域(x )-<<1反函数16)<<+⎫⎪⎬⎪⎩⎭习题1.22。
四川大学2010年高等代数考研试题整理版

二、设A是数域F上n阶方阵,它的秩为r。 E 0 1、设E r 是r阶单位矩阵,写出“存在可逆矩阵P使得PA= r ”的一个充分 0 0 必要条件,并证明你的结论。 2、设α1,α 2, ⋯ , α n 是Fn的一个基,令(β1 ,β 2 , ⋯,β n)=(α1,α 2, ⋯ , α n )A,求 向量组β1 ,β 2 , ⋯,β n的秩并给出它的一个极大线性无关组。
3、设P(A)是满足f(A)=0的F上所有多项式f(x)组成的集合,证明:P(A)是 F上的无穷线性空间,并且如果g(x) ∈ P(A)的次数大于n,那么,g(x) 在F上是可约的。 4、设λ1 , λ2 , ⋯ λn是A的全部复特征值,证明:对任何非负整数k,数s k = ∑ λi k
i=1 n
属于F。 5、设V是F上的线性空间,ε1 , ε 2 ,⋯ , ε n 是V的一个基,设V上的一个线性变换A 满足A(ε1 , ε 2 , ⋯ , ε n)( = ε1 , ε 2 ,⋯ , ε n)A且A 2 =A。证明:kerA+ImA是直和。 这里,kerA和ImA分别是A的核和像。
四川大学 2010 年高等代数考研试题
一、A为实数域R上的n阶是对称矩阵。 1、证明矩阵 -1E n +A是可逆的,这里E n 是n阶单位矩阵。 2、设函数f:R n × R n → R为f(X,Y) =X'AY.X,Y ∈ R n。证明f不是零函数 当且仅当存在X 0 ∈ R n 使得f(X 0 ,X 0) ≠0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
三、设AX=B是数域F上的一个n元线性方程组,其系数矩阵A的秩为r(A)=r, 设S是它的解集。 1、给出“S是F的子空间”的充分必要条件,并证明你的结论。 2、假设S不是空集且不是F n的子空间,求S的秩,并给出它的一个极大无关组。
2010年高代期末考试题

1. (24 points). Solve the following problems. (1) (8 points). Let f (x) = x4 − 15x3 +75x2 − 135x +45, g (x) = x4 − 15x3 +60x2 − 90x +45. Compute (f (x), g (x)). (2) (8 points). Let α1 , . . . , αn be complex roots of f (x) =
本题2页, 本页为第1页
(4) (8 points). Assume that A = (aij )n×n is a square matrix over F. Prove that A is invertible if and only if, for any column vector β = (b1 , · · · , bn )T in Fn , the determinant bi b1 ··· bn is zero for each 1 ≤ i ≤ n. 3. (32 points). Solve the following problems. 1 3 1 . Compute the determinant det((A∗ )∗ ). Here X ∗ (1) (10 points). Let A = 1 0 1 11 9 8 stands for the associated matrix of a square matrix X . (2) (10 points). Assume that each column vector of a nonzero (n + 1) × (n + 1) matrix x1 + x2 + · · · + xn + xn+1 = 0 x + 2x + · · · + nx + λx = 0 1 2 n n+1 . Find the A is a solution to the system ········· x1 + 2n x2 + · · · + nn xn + λn xn+1 = 0 value(s) of λ and prove that |A| = 0. (3) (6 points). Assume that A is an n × n matrix over F and f (A) = 0 for a nonzero polynomial f (x) in F[x]. Assume that g (x) ∈ F[x] and (g (x), f (x)) = 1. Prove that g (A) is invertible and (g (A))−1 is also a polynomial of A. (3) (6 points). Assume that A = (aij )m×n , B = (bij )n×m are matrices over F and m > n. Prove that there exist nonzero m × s matrix C such that ABC = 0. 4. (10 points). Assume that a 2n × 2n matrix A over F satisfies that ( ) ( ) 0 En 0 E n A AT = , −En 0 −En 0 where En is the identity matrix of order n. Let E2n be the identity matrix of order 2n. (1) (3 points). Assume that |aE2n − A| = 0. Prove that a ̸= 0. (2) (7 points). Prove that |aE2n − A| = 0 if and only if
川大版高等数学(第一册)部分课后题答案

高数第一册 第一章习题1.13.(1)(,1)(1,)(2){|1,}1(1,1)(1,)(3)(1,1)x x x R -∞-⋃-+∞≠±∈∞-⋃-⋃+∞-或(-,) (4)22903[3,1)(1,3]10x x x x x ⎧⎫-≥⇒-⎪⎪⇒--⋃⎨⎬-⇒⎪⎪⎩⎭≤ ≤3>>1或<-12222(5)(,3)(6)sin 0,,()241(7)114(1),11(1)3x x k x k k z x x x x x x πππ-∞≠≠≠∈⎡⎤≤⇒≤⇒≤+⇒-⎢⎥++⎣⎦(8)0ln 0x x x x x ⎧⎫⇒⇒⎨⎬⇒⎩⎭> >0>1>>1(9)[1,2]-(10)21()x x x f x x x x x x x x ⎧⎫⇒⎪⎪⎪⎪=⇒⇒≠⇒∴⎨⎬⎪⎪⎪⎪⇒⎩⎭-1 <00≤≤10即0<<1 < 0和0<≤2e 1≤≤27.(1)(2)(3)(4)(5)奇函数偶函数偶函数偶函数非奇非偶 (6)2()()f x f x -==偶函数 (7)11()lnln ()11x xf x f x x x+--==-=--+奇函数) (8)2112()()2112x xxxf x f x -----===-++奇函数 (9)()sin cos f x x x -=--非奇非偶 13.(1)22(())(2)24,(())2,xxxx f x f f x x R ϕϕ====∈(2)11(())(0,1)111x f f x x xx-==≠-- (3)32221,()(1)3(1)256()56(1)(1)5(1)6x t f t t t t t f x x x f x x x +==---+=-+∴=-++=+-++则x=t-1,或:14.[]22(1)(0)0.(2)0,111111(3)01(4)1lg ,lg 1,lg 1,.1(5)11()(6)1log (16)y x x y x y y x y x x y y y xx y x y y x xy xx x y x x x =≤≤+∞=≥=-++===≠-+==-=--=≠-+∞⎧=≤≤∞反函数反函数x=,x-1=,x=1+反函数y ,定义域反函数定义域x >0反函数,定义域(x )-<<1反函数16)<<+⎫⎪⎬⎪⎩⎭习题1.22。
2010年中科院高等代数真题及答案解析[1]
![2010年中科院高等代数真题及答案解析[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/0aa774bb1b37f111f18583d049649b6648d7099c.png)
∴ξ T (H − xIn )ξ = ξ T (−K + iyIn )ξ = 0
设 H = (hij ), K = (kij ) ∈ ℂn×n ,则由上式可得
hk1ε12
+
hk
2ε
2 2
+⋯ + (hkk
−
x)ε
2 k
+⋯ +
hknε
2 n
=
0
kk1ε12
+
kk
2ε
2 2
+⋯ + (kkk
−
iy)ε
+
hk 2
⋅
ε
2 2
+⋯ + hkn
⋅
ε
2 n
≤
hk1
⋅
ε
2 k
+
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⋅
ε
2 k
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⋅
ε
2 k
≤
nh
ε
2 k
y ⋅ εk
2=
iyε
2 k
=
kk1ε12
+
kk
2ε
2 2
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2 n
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hk1ε12
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2ε
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kknε
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kk1
⋅ ε12
+
kk 2
⋅
ε
2 2
+⋯ +
n
n
n
n
= ai ⋅ xi + ai + xi − n ai xi +1 .
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四川大学2010年攻读硕士学位研究生入学考试题一、A 为实数域R 上的n 阶实对称矩阵.解答下列各题,每小题满分10分. 1.证明:矩阵A E n +-1可逆,这里n E 是n 阶单位阵. 证明:A 为实数域R 上的n 阶实对称矩阵,则A 可对角化即存在可逆矩阵P ,使得Λ=-AP P 1,A 的特征值为n λλλ,,,21 (R k ∈λ))())((1)1(12111i i i P E P P E P A E n n n n ±±±=Λ+-=Λ+-=+---λλλ由0)(≠±i k λ,则01≠+-A E n ,故A E n +-1可逆.2.设函数f :R R R nn →⨯为:AY X Y X f '),(=,n R Y X ∈,.证明:f 不是零函数当且仅当存在nR X ∈0使得0),(00≠X X f证明:充分性:由存在nR X ∈0使得0),(00≠X X f ,则f 不是零函数必要性:由A 为实数域R 上的n 阶实对称矩阵,则A 可正交对角化 令r A r =)(,A 的非零特征值为i λ(r i ,,2,1 =)即存在正交矩阵),,,(21n Q ααα =,使得)0,,0,,,,('21个r n r diag AQ Q -=Λ=λλλ 取i X α=0,有0'),(00≠==i i i A X X f λαα3.设A xE x f n -=)(是A 的特征多项式,设)('x f 为)(x f 的导数且)()('x f x f .证明:A 是数量矩阵.证明:A 为实数域R 上的n 阶实对称矩阵,则A 可对角化即存在可逆矩阵P ,使得Λ=-AP P 1,A 的特征值为n λλλ,,,21 (R k ∈λ))())(()()(2111n n n n x x x P xE P P xE P A xE x f λλλ---=Λ-=Λ-=-=-- ①)()('x f x f 的充分必要条件为n b x a x f )()(-= (0>n ) ②由①、②,得b n ====λλλ 21,则n bE AP P =-1,有n bE A =,即A 是数量矩阵. 注:关于)()('x f x f 的充分必要条件为nb x a x f )()(-= (0>n )的证明证明:充分性:由n b x a x f )()(-=,有1)()('--=n b x na x f 有)(1)()()(')(1b x nb x na b x a x f x f n n -=--=-,则)()('x f x f 必要性:待定系数法,设0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- 有1211)1()('a x a n x na x f n n n n ++-+=---由)()('x f x f 及1))('())((+∂=∂x f x f ,有))((')(d cx x f x f += 比较)(x f 、)('x f 系数,有n c 1=,有))(('1)(b x x f nx f -= (其中nd b -=) 有)('1))('),((x f na x f x f n =,则)()('1))(('1))('),(()(b x a x f na b x x f n x f x f x f n n-=-= 由))('),(()(x f x f x f 包含了)(x f 的全部不可约因式,则)(x f 的不可约因式只能是b x -和它的非零常数倍,故)(x f 的形式为nb x a x f )()(-=.4.设A 的秩为r A r =)(,设}0'{=∈=AX X R X V n ,证明:V 包含nR 的一个维数为r n -的子空间. V 是nR 的子空间吗?说明你的理由.证明:令}{θ=∈=AX R X W n ,有nR W ⊂由方程θ=AX 的解一定是0'=AX X 的解,有V W ⊂且nR W ⊂ ①θ=AX 的基础解系由r n A r n -=-)(个线性无关的向量构成,则r n W -=dim ② 由①、②,得V 包含nR 的一个维数为r n -的子空间由}0'{=∈=AX X R X V n,得n R V ⊂,则V 是n R 的子空间 5.进一步假设A 正定,而B 是一个负定的n 阶矩阵.证明:如果CB AC =,那么必然有O C =.证明:把C 看作由列向量构成,即),,,(21n C ααα =),,,(),,,(2121n n A A A A AC αααααα ==)',,','(]')',,,('[)'''(')'(2121n n B B B B C B CB CB αααααα ====由CB AC =,得i i B A αα'= (n i ,,2,1 =)即θα=-i B A )'(由B 负定,得'B 负定,又A 正定,得0'≠-B A 那么关于i α的方程θα=-i B A )'(只有零解,则θα=i ,即O C =二、设A 为数域F 上的n 阶方阵,它的秩为r .解答下列各题,每小题满分10分.1.设r E 是r 阶单位阵.写出“存在可逆矩阵P 使得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=O OO E PA r ”的一个充分必要条件,并证明你的结论.证明:存在可逆矩阵P 使得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=O OO E PA r”的一个充分必要条件为r A r =)( 必要性:由⎥⎦⎤⎢⎣⎡=O OO E PA r,则r PA r =)(,又P 可逆,则r A r PA r ==)()( 充分性:由r A r =)(,则A 可通过有限次初等变换为⎥⎦⎤⎢⎣⎡O O O E r 则有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=O O O E A P P P r m 21,其中m P P P ,,,21 为初等矩阵 取m P P P P 21=,由m P P P ,,,21 可逆,则P 可逆故存在可逆矩阵P 使得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=O O O E PA r 2.设n ααα,,,21 是nF 的一个基.令A n n ),,,(),,,(2121αααβββ =.求向量组n βββ,,,21 的秩,并给出它的一个极大无关组.解:令n ααα,,,21 、n βββ,,,21 构成的矩阵分别为1A 、1B 由n ααα,,,21 是nF 的一个基,则n A r =)(1,则1A 可逆由r A r B r A A r ===)()()(11,则n βββ,,,21 的秩为r在n βββ,,,21 中取r 个线性无关的向量ir i i βββ,,,21 就构成了n βββ,,,21 的一个极大无关组3.设)(A P 是满足O A f =)(的F 上的所有多项式)(x f 组成的集合.证明:)(A P 是F 上的无穷维线性空间;并且,如果)()(A P x g ∈的次数大于n ,那么)(x g 是在F 上是可约的. 证明:令A 的特征多项式为)(x h ,有O A h =)(根据题意)(A P 中的任意多项式含有因式)(x h取k x x x ,,,,12 (n k ≥),由kx x x ,,,,12 线性无关,又k 为大于n 的任意整数故)(A P 是F 上的无穷维线性空间取)()(A P x g ∈且n x g >∂))((,总有)()()(x h x q x g =(1))((≥∂x q ) 故)(x g 是在F 上是可约的4.设n λλλ,,,21 是A 的全部复特征值.证明:对任意非负整数k ,数∑==ni ki k S 1λ属于F .证明:A 的特征多项式为02211)(a x a x a x x f n n n n n ++++=----由A 是F 上的矩阵,有)(x f 为F 上的多项式,则F a k ∈(1,,1,0-=n k ) 由根与系数的关系有∑=-=-ni i n a 11)1(λ、∑∑==-=-ni ji nj n a 1122)1(λλ(j i ≠)、……、∏==-ni i na 10)1(λk S 为对阵多项式,则k S 可由110,,,-n a a a 表示,则F S k ∈三、设β=AX 是数域F 上的一个n 元线性方程组,其系数矩阵A 的秩r A r =)(.设S 为它的解集.1.(5分)给出“S 是nF 的子空间”的充分必要条件,并证明你的结论.2.(10分)假设S 不是空集且不是nF 的子空间。
求S 的秩,并给出它的一个极大无关组. 1.证明:当θβ≠时,β=AX 为非齐次线性方程组 β=AX 无解时,有∅=Sβ=AX 有解时,则有n r A r A r ≤==)()(当n r A r A r ===)()(时,β=AX 有唯一解,S 只含有一个元素,不能构成空间 当n r A r A r <==)()(时,β=AX 有无穷解在S 中取两个不同的解1X 、2X ,有ββ≠=+221AX AX 故S 不能构成空间当θβ=时,θβ==AX 为齐次线性方程组 基础解系由r n A r n -=-)(个线性无关的向量构成令这r n -个线性无关的向量为r n -γγγ,,,21有}{2211r n n k k k X X S -+++==γγγ故S 是nF 的子空间的充分必要条件为θβ=2.解:由上题结论,是β=AX 为非齐次线性方程组且有无穷解得情况 令方程的一个特解为α,有}{2211r n r n k k k k X X S --++++==γγγα 假设α可由r n -γγγ,,,21 线性表出,即r n r n l l l --+++=γγγα 2211则r n r n r n l k l k l k X ---++++++=γγγ)()()(222111 ,带入方程有θ=AX ,矛盾 则α不能由r n -γγγ,,,21 线性表出,即r n -γγγα,,,,21 线性无关 故S 的秩为1+-r n ,r n -γγγα,,,,21 为它的一个极大无关组四.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=210121012A ,设)(A C 是所有与A 可交换的实矩阵组成的集合. 1.(5分)证明:)(A C 是实数域R 上的线性空间. 2.(10分)求)(dim A C R 和它的一个基. 1.证明:取)(,,A C D C B ∈,有)(A C O ∈ 有B C C B +=+、D C B D C B ++=++)()(B kl lB k )()(=、lB kB B l k +=+)(、kC kB C B k +=+)( (R l k ∈,)则)(A C 是实数域R 上的线性空间2.解:令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211b b b b b b b b b B ,)(A C B ∈,由BA AB =,得方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧+-=+--+-=+--=+-+-=-+--+-=-+--=-+-+-=--+-=--=-333233233332313222323131212322332313232221322212222131211113122313131211221212112111222222222222222222b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b ,有⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+==+==+==+==32233331223221331322322331112223121311222112b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b ,则B 对称矩阵有⎩⎨⎧=-==231213223311b b b b b b ,自由未知量有12b 、13b 、22b取112=b 其余为0,有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=010*******A 取113=b 其余为0,有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=1010001012A 取122=b 其余为0,有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1000100013A ,则332211A k A k A k B ++= 1A 、2A 、3A 线性无关,故为)(A C 的一个基,3)(dim =A C五、(20分)设V 是n 维欧氏空间,其内积为)(,.设向量组V m ∈ααα,,,21 满足如下条件:如果非负实数m λλλ,,,21 使得θαλαλαλ=+++m m 2211,那么必有021====m λλλ .证明:必然存在向量V ∈α使得0),(>i αα,m i ,,2,1 =. 证明:取V 得一个标准正交基n γγγ,,,21取m n n m X ⨯=),,,(),,,(2121γγγααα ,有n ni i i i x x x γγγα+++= 2211 再取m m αμαμαμα+++= 2211 (0>i μ))(),(),(),(22221111ni i i mi i i i mi i i mi i i i x x x +++===∑∑∑=== μααμααμαα当021====ni i i x x x 时,有θα=i有题设,则i λ为任意实数,矛盾故022221>+++ni i i x x x ,又0>i μ,则0),(>i αα。