离散数学ch1讲义[2]命题演算
合集下载
离散数学第一章第一节
PQ PQ PQ PQ
0
0
1
1
0
1
1
0
0
1
0
0
1
111源自(1.B,2.AD,3.AD)
6、本讲小结
1、命题是客观上能判明真假的陈述句。当命题为真 时，称命题的真值为“真”；否则，说命题的真值为 “假”。命题一般用大写英文字母表示。表示命题的符 号叫命题标识符。当命题标识符表示不确定命题时称为 命题变元。
7、 练习
1、设P：天热。Q：我去游泳。R：我在家读书。则 命题“如天热，我去游泳，否则在家读书。”的符号化 结果是（ ）。
A.(PQ)(PR) C.(PQ)(PR) B.(PQ)(PR) D.(PQ)(PR)
2、设X：我上街。Y：我有空闲时间。则命题“我上 街，仅当我有空闲时间。”的符号化结果是( )。
A.XY B.YX C.XY D.YX
3、设X:我上街。Y:我有空闲时间。则命题“除非我 有空闲时间,否则我不上街。”的符号化结果是（ ）。
A.XY B.YX C.XY D.YX
练习答案
第一讲 作业
P8 3，4c，5bf，6bdgh
定义5 双条件联结词
设Ｐ,Ｑ为二命题，复合命题“Ｐ当且仅 当Ｑ”称为Ｐ与Ｑ的双条件命题，记作 ＰＱ。叫双条件联结词，也记作iff 。 ＰＱ为真当且仅当Ｐ,Ｑ真值相同。
例如，2+2＝5当且仅当雪是黑的。 设Ｐ： 2+2＝5 。Ｑ：雪是黑的。
则原命题表示为：ＰＱ。
例5 分析下列各命题的真值： (1) 如果2+2＝4，当且仅当3是奇数。 (2) 如果2+2＝4，当且仅当3不是奇数。 (3) 如果2+2≠4，当且仅当3是奇数。 (4) 如果2+2≠4，当且仅当3不是奇数。
离散数学(第四版)讲义1
引言Discrete Math.离散数学研究离散对象及其相互间关系的一门数学学科。
研究离散结构的数学分支。
（辞海）计算机科学、信息科学、数字化科学的数学基础离散数学的内容：数理逻辑(Mathematics Logic)集合论(Sets)代数结构(Algebra Structure)图论(Graph Theory)组合论(Combination)线性代数(Linear Algebra)概率论(Probability Theory)……与高等数学的区别教学内容：数理逻辑(Mathematics Logic)集合论(Sets)代数结构(Algebra Structure)图论(Graph Theory)离散数学的由来与发展：一、古老历史：计数：自然数发展：图论：Konigsberg七桥问题二、年青新生：计算机：二进制运算离散数学课程设置：计算机系核心课程信息类专业必修课程其它类专业的重要选修课程离散数学的后继课程：数据结构、编译技术、算法分析与设计、人工智能、数据库、……离散数学课程的学习方法：强调：逻辑性、抽象性；注重：概念、方法与应用参考教材：1、离散数学（耿素云，屈婉玲，北大版）2、离散数学（方世昌，西安电子科大版）3、离散数学结构（第三版、影印版）（Bernard Kolman、Robert C.Busby、Sharon Ross，清华版）4、离散数学提要与范例（阮传概、卢友清，北京广播学院版）第一章命题逻辑（Proposition Logic）1、命题符号化及联结词2、命题公式及分类3、等值演算4、联结词全功能集5、对偶与范式6、推理理论逻辑学：研究推理的一门学科数理逻辑：用数学方法研究推理的一门数学学科——一套符号体系+ 一组规则数理逻辑的内容：古典数理逻辑：命题逻辑、谓词逻辑现代数理逻辑：逻辑演算、公理化集合论、递归论、模型论、证明论1、命题符号化及联结词命题(Proposition)：一个有确定真或假意义的语句。
离散数学第1章 命题演算
所以这句话没有办法判断真假，所以不是命题！
8
命题符号化
为了能用数学方法来研究命题之间的逻辑关系和推理， 需要将命题符号化。
一个任意的没有赋予具体内容的命题是一个命题变元。
定义：以“真” 、“假”为其变域的变元称为命题
变元。
常用大写的英文字母A，B，C，…P，Q，R，…等来表 示一个命题或命题变元。
定义 对于命题公式中各命题变元（分量）指派所有可能 的真值，以及由此而确定的命题公式的真值汇列成表，称 为真值表。
38
例1:命题公式P∧﹁ Q的真值表如下所示。
Ｐ F F T T
这组命题变 元的确定值 称为该公式 的一个指派
Ｑ F T F T
﹁Ｑ T F T F
P∧﹁ Q F F T F
整个表即为该公式 的真值表
34
§1-2
命题公式
将由命题变元和联结词组成的复杂的命题 变元称为命题公式。各个命题变元称为命题公 式的分量。
35
§1-2
命题公式
定义:命题逻辑公式(公式)可按如下法则生成: (1)命题是公式;
(2)如果P是公式,则(﹁ P)是公式;
(3)如果P,Q是公式,则(P ∧ Q),(P∨Q),(P→Q),
26
例如：
因为2<3，所以1+1=2。 在通常意义下2<3与1+1=2没有存在任 何联系，我们一般不会做如此推理。 但在数理逻辑下，设P:2<3; Q:1+1=2 这句话可以形式化为P→Q; 并且真值为T
27
联结词
5.双条件 定义 设P，Q是命题，P和Q的等价命题记
作 P Q ，读作“P当且仅当Q”，或 “P等 价 PQ Q”，当P和Q的真值都为T和F时， 的真 PQ
离散数学第二章 命题演算的推理理论-假设推理系统
则称A是由 A1，A2，…，An实施规则R而得。 设Γ=A1，A2，…，An，则上述规则R可以记为 Γ├ A
其中Γ为形式前提，A为形式结论。
肯定前提律
A1，A2，A3，…，An ├ Ai (i=1，2，…，n)， 即前提中的任何命题均可作为结论。
二、假设推理过程
1， 2， …，k├ B
定义: 如果能够作出一系列合式公式序列 A1，A2, A3, …，An， 它们(诸Ai)满足下列性质： (1) 或为公理之一； (2) 或为公式1, 2, …,k之一，每个i称为假设； (3) 或由前面的若干个Ag、Ah利用分离规则而得； (4) An=B。 称这个公式序列A1，A2, …，An为由公式 1， 2， …，k证明B的证明过程.
例 ((PQ)((PR)(QS)))(SR)
解: (1) (P∧Q) ∧((PR) ∧(QS)) (2) P∧Q →P (3) P∧Q→Q (4) (P∧Q) ∧((PR) ∧(QS)) →(P∧Q) (5) (P∧Q) ∧((PR) ∧(QS)) → (PR) ∧(QS) (6) P∧Q (7) (PR) ∧(QS) (8) ((PR) ∧(QS)) →(P→R) (9) ((PR) ∧(QS)) →(Q→S) (10) P→R (11) Q→S (12) P (13) Q (14) R (15) S (16) S→(R→(S∧R)) (17) R→(S∧R) (18) S∧R 假设 公理8 公理9 代入(2) 代入(3) (1)(4)分离 (1)(5)分离 代入(2) 代入(3) (7)(8)分离 (7)(9)分离 (2)(6)分离 (3)(6)分离 (10)(12)分离 (11)(13)分离 公理10 (15)(16)分离 (14)(17)分离
例 QQ心情谜语
其中Γ为形式前提，A为形式结论。
肯定前提律
A1，A2，A3，…，An ├ Ai (i=1，2，…，n)， 即前提中的任何命题均可作为结论。
二、假设推理过程
1， 2， …，k├ B
定义: 如果能够作出一系列合式公式序列 A1，A2, A3, …，An， 它们(诸Ai)满足下列性质： (1) 或为公理之一； (2) 或为公式1, 2, …,k之一，每个i称为假设； (3) 或由前面的若干个Ag、Ah利用分离规则而得； (4) An=B。 称这个公式序列A1，A2, …，An为由公式 1， 2， …，k证明B的证明过程.
例 ((PQ)((PR)(QS)))(SR)
解: (1) (P∧Q) ∧((PR) ∧(QS)) (2) P∧Q →P (3) P∧Q→Q (4) (P∧Q) ∧((PR) ∧(QS)) →(P∧Q) (5) (P∧Q) ∧((PR) ∧(QS)) → (PR) ∧(QS) (6) P∧Q (7) (PR) ∧(QS) (8) ((PR) ∧(QS)) →(P→R) (9) ((PR) ∧(QS)) →(Q→S) (10) P→R (11) Q→S (12) P (13) Q (14) R (15) S (16) S→(R→(S∧R)) (17) R→(S∧R) (18) S∧R 假设 公理8 公理9 代入(2) 代入(3) (1)(4)分离 (1)(5)分离 代入(2) 代入(3) (7)(8)分离 (7)(9)分离 (2)(6)分离 (3)(6)分离 (10)(12)分离 (11)(13)分离 公理10 (15)(16)分离 (14)(17)分离
例 QQ心情谜语
《离散数学》讲义 - 2
离散数学 22
注意：
①括号的约定，与命题逻辑合式公式对括号的约定 类似，但量词后的括号不能省略。 ②谓词合式公式简称为谓词公式。
离散数学
23
小结
谓词函数
谓词和客体变元 谓词函数、命题 客体变元取值范围及真值
个体域和全总个体域 量词
存在量词和全称量词（表示及判定）
谓词公式 谓词表达式表示命题或句子（带有量词）
32
小结
谓词公式翻译
量词 谓词函数 联结词
离散数学
33
2－3习题作业
P62 (3)a),c);(5);(7)
离散数学
34
2－4 变元的约束
离散数学
35
1、概念
（1）指导变元（作用变元）和作用域（辖域） 给定a为一个谓词公式，其中有一部分公式形 式为(x)P(x)或(x)P(x)。其中、后面跟的x 叫做量词的指导变元或作用变元；P(x)叫做相应量 词的作用域或辖域。 注意：括号有决定性的作用。
离散数学 28
附3：一些人对某种食物过敏。 解：设：M(x)：x是人。 R(y)：y是食物。 Q(x,y)：x对y过敏。 (x)(M(x)(y)(R(y)Q(x,y)))
离散数学
29
附4：有且仅有一个偶数是质数。 分析：命题（有一个偶数是质数）（只有一个偶数是质 数） 解：设：P(x)：x是偶数。 Q(x)：x是质数。 E(x,y)：x等于y。 (x)((P(x)Q(x))(y)( (P(y)Q(y))E(x,y))) 或 (x)((P(x)Q(x))(y)( (P(y)E(x,y))Q(y)))
离散数学
38
2、n元谓词的确定－约束变元的概念
根据约束变元的概念，P(x1,x2,…,xn)是n元 谓词，它有n个相互独立的自由变元。若对其中的 k个变元进行约束则成为n－k元谓词。即根据谓词 公式中所包含的自由变元的个数。 谓词公式中如果没有自由变元出现，则该公式 就成为一个命题。
注意：
①括号的约定，与命题逻辑合式公式对括号的约定 类似，但量词后的括号不能省略。 ②谓词合式公式简称为谓词公式。
离散数学
23
小结
谓词函数
谓词和客体变元 谓词函数、命题 客体变元取值范围及真值
个体域和全总个体域 量词
存在量词和全称量词（表示及判定）
谓词公式 谓词表达式表示命题或句子（带有量词）
32
小结
谓词公式翻译
量词 谓词函数 联结词
离散数学
33
2－3习题作业
P62 (3)a),c);(5);(7)
离散数学
34
2－4 变元的约束
离散数学
35
1、概念
（1）指导变元（作用变元）和作用域（辖域） 给定a为一个谓词公式，其中有一部分公式形 式为(x)P(x)或(x)P(x)。其中、后面跟的x 叫做量词的指导变元或作用变元；P(x)叫做相应量 词的作用域或辖域。 注意：括号有决定性的作用。
离散数学 28
附3：一些人对某种食物过敏。 解：设：M(x)：x是人。 R(y)：y是食物。 Q(x,y)：x对y过敏。 (x)(M(x)(y)(R(y)Q(x,y)))
离散数学
29
附4：有且仅有一个偶数是质数。 分析：命题（有一个偶数是质数）（只有一个偶数是质 数） 解：设：P(x)：x是偶数。 Q(x)：x是质数。 E(x,y)：x等于y。 (x)((P(x)Q(x))(y)( (P(y)Q(y))E(x,y))) 或 (x)((P(x)Q(x))(y)( (P(y)E(x,y))Q(y)))
离散数学
38
2、n元谓词的确定－约束变元的概念
根据约束变元的概念，P(x1,x2,…,xn)是n元 谓词，它有n个相互独立的自由变元。若对其中的 k个变元进行约束则成为n－k元谓词。即根据谓词 公式中所包含的自由变元的个数。 谓词公式中如果没有自由变元出现，则该公式 就成为一个命题。
CH1命题逻辑 02
判断命题公式类型的方法：
①真值表可用于判别公式的类型: 将公式的真值表求出； 若真值表的最后一列全为1，公式为重言式； 若真值表的最后一列全为0，公式为矛盾式； 若真值表的最后一列有0也有1，公式为非重 言式的可满足式。
(p → q) ∧ q
永假式
（p ∧ (p → q) ) → q
永真式
(p∨q) → r
(若A是单个命题(常项、变项或真值)，则称A是0层公 式；
2.若A是n层公式，则A是n+1层公式； 3.若A和B分别是n 层和m层公式，则A∧B，A∨B， A→B及A B是max(n,m)+1层公式。 例：p∨q: 2层 p∧q∧r：2层 （p∧q）→（r∨s）：4层公式。 公式的层次从一个侧面刻画了公式的复杂程度， 可用于研究公式的性质及公式的演算。
真值表例子：
1. p ∧ q 的真值表： p q q p∧q 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0
课堂练习：1. (p∨q) → r的真值表：
p 0 0 0 0 1 1 1 1
q 0 0 1 1 0 0 1 1
r 0 1 0 1 0 1 0 1
2. (p∨q) → r的真值表： p q r p∨q 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 r
例：公式A=（p∧q）→r 110是A的一个赋值 (p=1，q=1，r=0) 当p=1，q=1，r=0，A的值为假 因此110是A的一个成假赋值 111 是A 的成真赋值 类似的，011、010等是A 的成真赋值
公式A=p ∧ q
p q 0 0 0 1 1 0 1 1
p∧q 0 0 0 1
离散数学第一章第二节
2
2、命题符号化
将一个命题表示成符合规定的命题公式叫命题符
号化。步骤如下： (1) 找出各简单命题，分别用命题标识符表示； (2) 使用合适的联结词，把简单命题逐个联结起 来，便得到复合命题的符号化表示。
五种联结词又叫逻辑运算符。联结词运算的优先
级顺序为：,∧,∨,,
例2 将下列命题符号化： (1) 如果我下班早，就去商店看看，除非我很累。 (2) 只有一个角是直角的三角形才是直角三角形。 解：(1) Ｐ→(Ｑ→Ｒ)。 其中 Ｐ：我很累。Ｑ：我下班早。Ｒ：我去商店看看。 (2) Ｐ→Ｑ或Ｑ→Ｐ。 其中P：三角形有一个角是直角。Ｑ：三角形是直角三角形。
P 0 0 1 1 Q 0 1 0 1 P∨Q 0 1 1 1 （P∨Q） 1 0 0 0 P 1 1 0 0 Q 1 0 1 0 P∧Q 1 0 0 0
例4 构造命题公式（P∨Q）和P∧Q的真值表。
对于Ｐ、Ｑ的任一种真值指派，（P∨Q）与P∧Q 都有相同的真值，所以这两个命题公式是等价的。 6
常用的等价公式：
E1对合律 PP E2幂等律 PPP PPP E3结合律 (PQ)RP(QR) (PQ)RP(QR) E4交换律 PQQP PQQP E5分配律 P(QR)(PQ)(PR) P(QR)(PQ)(PR) E6吸收律 P(PQ) P P(PQ) P E7德.摩根律 (PQ) PQ (PQ) PQ E8同一律 PFP PTP E9零 律 PTT PFF E10否定律 PPT PPF E11 P→QP∨Q E12 P→QQ→P E13 PQ (P→Q)∧(Q→P) E14 PQPQ E15 (P→Q)∧(P→Q)P
证明：Ａ与Ｂ除替换部分外均相同，又由于替换部分Ｘ Ｙ，即是说对任一指派，Ｘ与Ｙ真值相同，那么Ａ与 Ｂ对任一真值指派也应有相同的真值。故ＡＢ。
2、命题符号化
将一个命题表示成符合规定的命题公式叫命题符
号化。步骤如下： (1) 找出各简单命题，分别用命题标识符表示； (2) 使用合适的联结词，把简单命题逐个联结起 来，便得到复合命题的符号化表示。
五种联结词又叫逻辑运算符。联结词运算的优先
级顺序为：,∧,∨,,
例2 将下列命题符号化： (1) 如果我下班早，就去商店看看，除非我很累。 (2) 只有一个角是直角的三角形才是直角三角形。 解：(1) Ｐ→(Ｑ→Ｒ)。 其中 Ｐ：我很累。Ｑ：我下班早。Ｒ：我去商店看看。 (2) Ｐ→Ｑ或Ｑ→Ｐ。 其中P：三角形有一个角是直角。Ｑ：三角形是直角三角形。
P 0 0 1 1 Q 0 1 0 1 P∨Q 0 1 1 1 （P∨Q） 1 0 0 0 P 1 1 0 0 Q 1 0 1 0 P∧Q 1 0 0 0
例4 构造命题公式（P∨Q）和P∧Q的真值表。
对于Ｐ、Ｑ的任一种真值指派，（P∨Q）与P∧Q 都有相同的真值，所以这两个命题公式是等价的。 6
常用的等价公式：
E1对合律 PP E2幂等律 PPP PPP E3结合律 (PQ)RP(QR) (PQ)RP(QR) E4交换律 PQQP PQQP E5分配律 P(QR)(PQ)(PR) P(QR)(PQ)(PR) E6吸收律 P(PQ) P P(PQ) P E7德.摩根律 (PQ) PQ (PQ) PQ E8同一律 PFP PTP E9零 律 PTT PFF E10否定律 PPT PPF E11 P→QP∨Q E12 P→QQ→P E13 PQ (P→Q)∧(Q→P) E14 PQPQ E15 (P→Q)∧(P→Q)P
证明：Ａ与Ｂ除替换部分外均相同，又由于替换部分Ｘ Ｙ，即是说对任一指派，Ｘ与Ｙ真值相同，那么Ａ与 Ｂ对任一真值指派也应有相同的真值。故ＡＢ。
《离散数学》总复习上课讲义
不是闭式的公式在某些解释下也可能是命题. 公式类型. 换名规则与代替规则
第3章 集合的基本概念和运算
3.1 集合的基本概念 3.2 集合的基本运算（重点） 3.3 集合中元素的计数（容斥原理是重点）
3.1 集合的基本概念
元素x与集合A的关系：属于xA，不属于xA 集合A与集合B的关系：习题3.2, 3.8, 3.12, 3.16
构造性二难
(AB)(AB)(AA) B 构造性二难(特殊形式)
(AB)(CD)( BD) (AC) 破坏性二难
习题1.18, 1.21, 1.17(2)。六1
注意事项1：命题
只有能确定真假(但不能可真可假)的陈述句才是 命题. 不管是正确的观点, 还是错误的观点, 都 是命题. 猜想和预言是命题, 如哥德巴赫猜想.
pq为假当且仅当 p 为真 q 为假，即 当p为假时，pq为真(不管q为真, 还是为假); 当q为真时，pq为真(不管p为真, 还是为假). 习题1.5(6)(7)
了解概念、掌握方法
真值表、命题公式类型 所有等值的含n个命题变项的公式对应同一
个n元真值函数F:{0,1}n{0,1}；哑元 最小联结词组 对偶式与对偶原理 简单析取式、简单合取式 析取范式与合取范式 附加前提证明法、反证法
x(A(x)B)xA(x)B x(A(x)B)xA(x)B x(BA(x))BxA(x)
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
注意事项1：前束范式（重点）
设A为一个一阶逻辑公式, 若A具有如下形式 Q(11xi1Qk2)x为2…或Qkx，kBB, 则为称不A含为量前词束的范公式式, 其. 中Qi
重要的推理定律 第一组 命题逻辑推理定律代换实例 第二组 由基本等值式生成（置换规则） 第三组 xA(x)xB(x)x(A(x)B(x))
第3章 集合的基本概念和运算
3.1 集合的基本概念 3.2 集合的基本运算（重点） 3.3 集合中元素的计数（容斥原理是重点）
3.1 集合的基本概念
元素x与集合A的关系：属于xA，不属于xA 集合A与集合B的关系：习题3.2, 3.8, 3.12, 3.16
构造性二难
(AB)(AB)(AA) B 构造性二难(特殊形式)
(AB)(CD)( BD) (AC) 破坏性二难
习题1.18, 1.21, 1.17(2)。六1
注意事项1：命题
只有能确定真假(但不能可真可假)的陈述句才是 命题. 不管是正确的观点, 还是错误的观点, 都 是命题. 猜想和预言是命题, 如哥德巴赫猜想.
pq为假当且仅当 p 为真 q 为假，即 当p为假时，pq为真(不管q为真, 还是为假); 当q为真时，pq为真(不管p为真, 还是为假). 习题1.5(6)(7)
了解概念、掌握方法
真值表、命题公式类型 所有等值的含n个命题变项的公式对应同一
个n元真值函数F:{0,1}n{0,1}；哑元 最小联结词组 对偶式与对偶原理 简单析取式、简单合取式 析取范式与合取范式 附加前提证明法、反证法
x(A(x)B)xA(x)B x(A(x)B)xA(x)B x(BA(x))BxA(x)
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
注意事项1：前束范式（重点）
设A为一个一阶逻辑公式, 若A具有如下形式 Q(11xi1Qk2)x为2…或Qkx，kBB, 则为称不A含为量前词束的范公式式, 其. 中Qi
重要的推理定律 第一组 命题逻辑推理定律代换实例 第二组 由基本等值式生成（置换规则） 第三组 xA(x)xB(x)x(A(x)B(x))