13--第十三章极限
机械零件的强度.
机械零件的强度.机械零件的强度.第⼀篇总论第三章机械零件的强度3-1 某材料的对称循环弯曲疲劳极限σ-1=180MPa，取循环基数N=5?106，m=9，试求循环次数N分别为7000，2500，620000次是时的有限寿命弯曲疲劳极限。
3-2 已知材料的⼒学性能为σS=260MPa，σ-1=170MPa，ψσ=0.2,试绘制此材料的简化极限应⼒线图（参看图3-3中的A’D’G’C）。
3-3 ⼀圆轴的轴肩尺⼨为：D=72mm，d=62mm，r=3mm。
材料为40CrNi，其强度极限σB =900MPa，屈服极限σS=750MPa，试计算轴肩的弯曲有效应⼒集中系数kσ。
3-4 圆轴轴肩处的尺⼨为：D=54mm，d=45mm，r=3mm。
如⽤题3-2中的材料，设其强度极限σB=420MPa，试绘制此零件的简化极限应⼒线图。
3-5 如题3-4中危险截⾯上的平均应⼒σm =20MPa，应⼒幅σa=900MPa，试分别按：a）r=C；b）σm=C，求出该截⾯的计算安全系数Sca。
第⼆篇联接第五章螺纹联接和螺旋传动5-1 分析⽐较普通螺纹、管螺纹、梯形螺纹和锯齿形螺纹的特点，各举⼀例说明它们的应⽤。
5-2 将承受轴向变载荷的联接螺栓的光杆部分做得细些有什么好处？5-3 分析活塞式空⽓压缩机⽓缸盖联接螺栓在⼯作时的受⼒变化情况，它的最⼤应⼒，最⼩应⼒如何得出？当⽓缸内的最⾼压⼒提⾼时，它的最⼤应⼒、最⼩应⼒将如何变化？5-4 图5-49所⽰的底板螺栓组联接受外⼒F∑的作⽤。
外⼒F∑作⽤在包含x轴并垂直于底板接合⾯的平⾯内。
试分析底板螺栓组的受⼒情况，并判断哪个螺栓受⼒最⼤？保证联接安全⼯作的必要条件有哪些？5-5 图5-50是由两块边板和⼀块承重板焊成的龙门起重机导轨托架。
两块边板各⽤4个螺栓与⽴柱相联接，托架所承受的最⼤载荷为20kN，载荷有较⼤的变动。
试问：此螺栓联接采⽤普通螺栓联接还是铰制孔⽤螺栓联接为宜？为什么？5-6 已知⼀个托架的边板⽤6个螺栓与相邻的机架相联接。
13第十三章 级数
数 1） 的 n项 之 记 级 （ ） 前 项 和 为Sn ， 即
Sn = u1 + u2 +L+ un +L．
称Sn 为 数 1） 前 n 项 分 ． n 依 取 ， ， ， 级 （） 的 部 和． 和 当 次 1， 3， 2， … ， 得 一 新 数 时 就 到 个 的 列
S1 = u1, S2 = u1 + u2 , L, Sn = u1 + u2 +L+ un , L，
a − aqn a aq − = ， 1− q 1− q 1− q
n
0， 当 q <1时， lim qn = 0，从而 lim Sn =
n→∞ n→∞
a 所以级数（ ） ，所以级数（2） 1− q
a 收敛，其和为 收敛， ； 1− q
没有极限，所以级数（ ） 当 q >1时，lim qn = ∞，从而 lim S 没有极限，所以级数（2）
u1, u2 , L, un , L，
则式子
u + u + L+ u + L
1 2 n
称为常数项无穷级数，简称数项级数或级数. 称为常数项无穷级数，简称数项级数或级数. 记为 ∑un ，即
∞
∑u =
n=1 n
∞
n=1
u1 + u2 + L+ un +L，
（1）
称为级数的一般项或通项. 其中un 称为级数的一般项或通项.
第13章 13章
13.1 13.2
级数
数项级数及其敛散性 幂级数
13.1
13.1.1 13.1.2 13.1.3 13.1.4 13.1.5
2011-2012年高考总复习一轮复习自测题：第13章《极限》(理)
第十三章 极限名师检测题时间：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.lim n →∞ ⎝⎛⎭⎫1＋13＋132＋…＋13n ＝( )A.53B.32C ．2D ．不存在解析：lim n →∞ ⎝⎛⎭⎫1＋13＋132＋…＋13n ＝11－13＝32.答案：B2．对于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |x (x ≠0)0 (x ＝0)给出下列命题其中正确的命题是( )A ．①②B ．③④C ．①②③④D ．③答案：A3.A ．1 B.12C.13 D ．0解析：据题意，不妨令a n ＝1n .答案：A4．已知函数y ＝f (x )是其定义域A 内的连续的奇函数，若x 0∈A 且f (x 0)＝M ，则lim x →－x 0f (x )等于() A ．0 B ．±MC ．MD ．－M解析：∵f (x )是奇函数，∴f (－x 0)＝－f (x 0)＝－M ，又∵f (x )是定义域内的连续函数，答案：D5．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0＜x ＜112，x ＝11，1＜x ＜2则f (x )的连续区间为( )A ．(0,2)B ．(0,1)答案：C6．设数列{a n }的前n 项和S n 满足a n ＝5S n －3(n ∈N ＋)，那么lim n →∞ (a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)的值为() A.15 B ．－15C.45D.34解析：a n ＝5S n －3，a n ＋1＝5S n ＋1－3，得a n ＋1＝－14a n ，∴{a n }为等比数列，公比为q ＝－14，∴a 1，a 3，a 5…，a 2n －1是公比为q 2＝116的等比数列．又a 1＝5S 1－3＝34，∴原式＝a 11－q 2＝341－116＝45.答案：C7．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x ≥0，－1，x ＜0，g (x )＝⎩⎨⎧ 12，x ≥0－12，x ＜0则f (x )·g (x )在x ＝0处( )A ．不连续B ．连续C ．无法确定连续与否D ．以上都不正确解析：∵f (x )·g (x )＝⎩⎨⎧ 12，x ≥012，x ＜0f (x )·g (x )＝12在x ＝0处连续．答案：B8．如下图所示，设n ∈N *则函数f (x )＝lim x →∞ ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2n－1x 2n ＋1 ·x 的图象大致是()解析：f (x )＝⎩⎨⎧ －x (|x |<1)0 (|x |＝1)，x (|x |>1)所以A 项正确．答案：A 9．设3π4<θ<5π4，则lim n →∞ sin n θ－cos n ＋1θsin n θ＋cos n θ 的值是( ) A ．－cos θB.1－cos θ1＋cos θ C ．1D ．－1解析：∵3π4<θ<5π4，∴|cos θ|>|sin θ|， ∴|sin θcos θ |<1. ∴lim n →∞ sin n θ－cos n ＋1θsin n θ＋cos n θ ＝lim x →∞ ⎝⎛⎭⎫sin θcos θn －cos θ⎝⎛⎭⎫sin θcos θn ＋1 ＝－cos θ. 答案：A10．当m <0，n >0时，limx →0 m 2＋x 2＋m n 2＋x 2＋n 的值为( ) A ．－m nB ．0C ．1 D.n m解析：limx →0 m 2＋x 2＋m n 2＋x 2＋n＝|m |＋m |n |＋n ＝－m ＋m n ＋n ＝0. 答案：B 11．已知f (3)＝2，f ′(3)＝－2，则lim x →3 2x －3f (x )x －3的值为( ) A ．－4B ．8C ．0D ．不存在 解析：lim x →3 2x －3f (x )x －3＝lim x →3f (3)x －3f (3)－3f (x )＋3f (3)x －3 ＝lim x →3 f (3)(x －3)－3[f (x )－f (3)]x －3＝lim x →3[f (3)－3·f (x )－f (3)x －3] ＝f (3)－3lim x →3 f (x )－f (3)x －3＝f (3)－3f ′(3)＝2－3×(－2)＝8.答案：B12．已知{a n }是首项为1，公比为q 的等比数列，p n ＝a 1＋a 2C n 1＋a 3C n 2＋…＋a n ＋1C n n (n ∈N *，n >2)，Q n ＝C n 0＋C n 2＋C n 4＋…＋C n m (其中m ＝2[n 2 ]，[t ]表示t 的最大整数，例如[2.5]＝2)．如果数列{P n Q n}有极限，那么公比q 的取值范围是( )A ．－1＜q ≤1且q ≠0B ．－1＜q ＜1且q ≠0C ．－3＜q ≤1且q ≠0D ．－3＜q ＜1且q ≠0解析：∵P n ＝1＋C n 1q 1＋C n 2q 2＋…＋C n n q n ＝(1＋q )n .当n 为偶数时，Q n ＝C n 0＋C n 2＋C n 4＋…＋C n n ＝2n －1.当n 为奇数时，Q n ＝C n 0＋C n 2＋…＋C n n －1＝2n －1.∴Q n ＝2n －1，∴P n Q n ＝(1＋q )n 2n －1 ＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋q 2n . ∵P n Q n 有极限，∴－1<1＋q 2≤1，－3＜q ≤1.又∵q ≠0，∴－3＜q ≤1且q ≠0.答案：C第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上．)13.lim n →∞ (1＋a )n ＋1n ＋a＝2，则a ＝________. 解析：lim n →∞ (1＋a )n ＋1n ＋a ＝lim n →∞ 1＋a ＋1n 1＋a n＝1＋a ＝2， ∴a ＝1.答案：114.解析：原式＝ x 3(2x ＋1)－x 2·2x 22x 2(2x ＋1)＝ x 34x 3＋2x 2＝14＋2x ＝14. 答案：1415．已知 x f (3x )＝2，则 f (2x )x ＝________. 解析：∵ x f (3x )＝2，∴ 3x f (3x )＝6， ∴ 2x f (2x )＝6，即 f (2x )2x ＝16， ∴ f (2x )x ＝ 2f (2x )2x ＝13. 答案：1316．以下五个命题：①f (x )＝1x在[0,1]连续； ②若f (x )是(a ，b )内的连续函数，则f (x )在(a ，b )内有最大值和最小值；③lim x →∞ x 1＋x 2 ＝lim x →∞ 11x 2＋1 ＝1；⑤若f (x )＝⎩⎨⎧ x (x ≥0)x ＋1 (x <0)则lim x →0f (x )＝0. 其中，正确命题的序号是______(请把你认为正确的命题的序号都填上)．解析：①f (x )在x ＝0处不连续．②f (x )在[a ，b ]上连续，f (x )在[a ，b ]上有最值，而在(a ，b )内不一定有最值．③lim x →＋∞ x 1＋x 2＝lim x →＋∞ 11x 2＋1 ＝1. 而lim x →－∞ x1＋x 2＝lim x→－∞ －11x 2＋1＝－1 故极限不存在．⑤因为lim x →0－f (x )＝1，而lim x →0＋f (x )＝0，故lim x →0f (x )不存在，故正确的为④. 答案：④三、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)求lim x →0 31＋mx －1x的值． 解析：原式＝lim x →0 (31＋mx －1)[3(1＋mx )2＋31＋mx ＋1]x [3(1＋mx )2＋31＋mx ＋1] ＝lim x →0 (1＋mx )－1x [3(1＋mx )2＋31＋mx ＋1] ＝lim x →0m3(1＋mx )2＋31＋mx ＋1＝m1＋1＋1＝m 3. 18．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，且有lim n →∞ ⎝⎛⎭⎫a 12＋q －q n ＝14，求首项a 1的取值范围．解析：∵lim n →∞ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 12＋q －q n ＝14，∴0<|q |<1或q ＝1. 当0<|q |<1时，即有0<|4a 1－2|<1.解之得14<a 1<34且a 1≠12； 当q ＝1时，lim n →∞ ⎝⎛⎭⎫a 13－1＝14，即a 13－1＝14，得a 1＝154. 故a 1的取值范围为14<a 1<34且a 1≠12或a 1＝154. 19．(本小题满分12分)已知等差数列前三项是a 、4、3a ，前n 项和为S n ，S k ＝2 550.(1)求a 及k 的值；(2)求lim n →∞ ⎝⎛⎭⎫1S 1＋1S 2＋…＋1S n. 解析：(1)设该数列为{a n }，则a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ，S k ＝2 550，由已知a ＋3a ＝2×4，∴a 1＝a ＝2，公差d ＝a 2－a 1＝4－2＝2，由S k ＝ka 1＋k (k －1)d 2， 得k 2＋k －2 550＝0，得k ＝50或k ＝－51(舍)．∴a ＝2，k ＝50.(2)由S n ＝na 1＋12n (n －1)d ，得S n ＝n (n ＋1)． ∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1. ∴lim n →∞ ⎝⎛⎭⎫1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝lim n →∞ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝1. 20．(本小题满分12分)已知函数f (x )在区间[－2,0]上的部分区域上的解析式为f (x )＝1x ＋1－3x 3＋1，欲使该函数在这一区间上处处连续，应给出该函数在该区间上某些点处的补充定义，请你给出这一定义．解析：显然除x ＝－1处，已知函数在区间[－2,0]上处处有意义，且每一点x 0(－2≤x 0<－1或－1<x 0≤0)处的极限值都与该点处的函数值相等，此即表明除x ＝－1处以外，函数f (x )处处连续，故只需给出在x ＝－1处的函数的定义，并使得在该点处的函数也连续，则该函数在这一区间上处处连续．∵当x ≠－1时，f (x )＝1x ＋1－3x 3＋1＝x 2－x ＋1－3x 3＋1 ＝(x ＋1)(x －2)(x ＋1)(x 2－x ＋1)＝x －2x 2－x ＋1， ∴lim x →－1f (x )＝lim x →－1 x －2x 2－x ＋1＝－1－21－(－1)＋1＝－1 故只需补充定义f (－1)＝－1，即f (x )＝⎩⎨⎧ 1x ＋1－3x 3＋1，(x ∈[－2，0]且x ≠－1)，－1，(x ＝－1).21．(本小题满分12分)设数列{a n }满足a 1＋a 22＋a 33＋…＋a n n ＝a 2n －1，{a n }的前n 项和为S n (a >0且a ≠1，n ∈N *)．(1)求{a n }的通项；(2)求lim n →∞ S n (a 2n－1)n . 解析：(1)∵a 1＋a 22＋…＋a n n＝a 2n －1① 当n ≥2时，a 1＋a 22＋…＋a n －1n －1＝a 2(n －1)－1② 由①－②得a n n＝a 2n －2(a 2－1)， ∴a n ＝na 2n －2(a 2－1)(n ≥2)，当n ＝1时，由题意得a 1＝a 2－1，∴a n ＝na 2n －2(a 2－1)(n ∈N *)．(2)∵S n ＝(a 2－1)[1＋2a 2＋3(a 2)2＋4(a 2)3＋…＋(n －1)·(a 2)n －2＋n (a 2)n －1]③∴a 2S n ＝(a 2－1)[a 2＋2(a 2)2＋3(a 2)3＋…＋(n －1)·(a 2)n －1＋n (a 2)n ]④③－④得(1－a 2)S n ＝(a 2－1)[1＋a 2＋(a 2)2＋…＋(a 2)n －1－n (a 2)n ]， ∵a >0且a ≠1，∴a 2－1≠0，∴S n ＝－[1＋a 2＋(a 2)2＋…＋(a 2)n －1－n (a 2)n ]＝－1－a 2n1－a 2＋na 2n ∴lim n →∞ S n (a 2n－1)n ＝lim n →∞[1n (1－a 2)＋a 2n a 2n －1] ＝⎩⎪⎨⎪⎧0 (a 2<1)1 (a 2>1). 22．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，其中a n ＝S n n (2n －1)，且a 1＝13. (1)求a 2，a 3；(2)猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法加以证明；(3)求lim n→∞S n . 解析：(1)由a 2＝13＋a 22·3，得a 2＝13·5，由a 1＝13， a 2＝13·5＝115，a 3＝13＋13·5＋a 33·5，得a 3＝15·7＝135. (2)猜想a n ＝1(2n －1)(2n ＋1)， 下面用数学归纳法证明①显然n ＝1时，猜想成立．②若n ＝k 时猜想成立，即a k ＝1(2k －1)(2k ＋1)， 当n ＝k ＋1时由a k ＋1＝S k ＋1(k ＋1)(2k ＋1)， 即S k ＋1＝(k ＋1)(2k ＋1)a k ＋1同时，S k ＝k (2k －1)a k ＝k 2k ＋1， 两式相减：a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝(k ＋1)(2k ＋1)a k ＋1－k 2k ＋1∴[(k ＋1)(2k ＋1)－1]a k ＋1＝k 2k ＋1即k (2k ＋3)a k ＋1＝k 2k ＋1∴a k ＋1＝1[2(k ＋1)－1][2(k ＋1)＋1] 即当n ＝k ＋1时猜想也成立，由①②知对一切自然数n 猜想成立．(3)lim n →∞S n ＝lim n →∞[11·3＋13·5＋15·7＋…＋1(2n －1)·(2n ＋1)] ＝lim n →∞ 12⎣⎡ ⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋⎝⎛⎭⎫15－17＋⎦⎥⎤…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝lim n →∞ 12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝12.。
过程装备(化工原理)习题参考答案.doc
习题参考答案第一章1-1. 略。
1-2. 杆BC 为二力杆，N BC =8.64kN ，BC 杆受压。
梁AB 在铰链A 处所受约束反力：N A X =-6.11kN ，N A Y =2.89Kn 。
1-3. 1.575kN （压力）。
1-4. N A X =G/2，N A Y =G ；N BX =G/2，N B Y =0；N C X =G/2，N C Y =G 。
1-5. 11.25kN 。
1-6. 杆EF 和CG 均为二力杆，N EF =0.943kN ，N CG =-0.167kN ；A 处约束反力：N A Y =0.667kN ，N A Y =0.5kN 。
1-7. γGbl 2=。
1-8. 51.76N 。
1-9. 22kN 。
1-10. 固定铰链给予轮子一个大小为P 方向向上的约束反力，与轮边缘作用的向下的力P 形成一个力偶，这样才能与轮子所受的力偶相平衡。
1-11. (1)塔底约束反力：N A x =17.4kN ，N A y =243.5kN ，M =202.2kN ·m ；(2)N A x =6.39kN ，N A y =23.5kN ；N B x =6.39kN ，N B y =0。
第二章2-1. 两边200mm 段中的应力为100MPa ，应变为0.0005，伸长量为0.1mm ；中段应力为60MPa ，应变为0.0003，伸长量为0.06mm ；总伸长为0.26mm 。
2-2. 略。
2-3. 细段应力127.4 MPa ，粗段应力38.2 MPa ，总伸长量为0.733mm 。
2-4. AB 杆中的应力110.3 MPa ，BC 杆中的应力31.8 MPa ，均小于许用应力，故支架是安全的。
2-5.（1）x=1.08m ；（2）杆1中的应力44 MPa ，杆2中的应力33 MPa 。
2-6. 活塞杆直径d ≥62mm ，可取d =62mm ，螺栓个数n ≥14.8，取n=16（偶数）。
数学分析ch13-1有界闭区域上的重积分
f (i ,i ) i ， 这里 i 表示 Di 的面积。于是，原曲顶柱体的体积近似地等于
n
f (i ,i ) i 。
i 1
当所有的小区域 Di 的最大直径（记为 ）趋于零时，这个近似值趋 于原曲顶柱体的体积，即
n
V
lim 0
i 1
f (i ,i ) i
。
Hale Waihona Puke 这就是二重积分的概念。定义 13.1.1 设 D 为 R2 上的零边界闭区域，函数 z f (x, y) 在 D 上
利用上确界与下确界的定义，通过取加细的方法可以证明 D 是
可求面积的充分必要条件是：对于任意给定的 0，存在 U 的一个
划分，使得
所以有
mB mA（= mBD ） 。
定理 1.1.1 有界点集 D 是可求面积的充分必要条件是它的边界
D 的面积为 0。
同样可以考虑 D 的边界 D 的面积。记与 D 的交集非空的那些
n
i i
i 1
n
i
i 1
，
n
所以 lim 0
i i
i 1
0 ，即
f
(x, y)
在 D 上可积。
多重积分 同 R2 中定义面积一样，可以在 Rn ( n 3)中定义体积的概念。定 义 Rn 中的 n 维闭矩形[a1,b1][a2 ,b2 ][an ,bn ] 的体积为
(b1 a1) (b2 a2 ) (bn an ) ， 那么就可以将 R2 上定义面积的叙述完全平移到 Rn ( n 3)上来定义体 积，并同样称边界体积为零的的有界区域为零边界区域，而且可以证 明光滑曲面片的体积为零。
i 1
i 1
当 n 时，它的极限是零。所以 L 的面积为 0。
结构力学-13-结构的极限荷载(1)(1)
得极限荷载
FPu
3 2l
(M
u
3M
u
)
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10:21:21
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第 13章 结构的极限荷载
3. 讨论
如果 M u 3M u
图(a)、图(b)所示的破坏机构都 能实现。此时，A、B、D三个截面 都出现塑性铰。
2020/4/3
可得极限荷载
10:21:21
FPu
9
Mu l
19
第 13章 结构的极限荷载
2020/4/3
10:21:21
24
第 13章 结构的极限荷载
16.5 多跨连续梁的极限荷载计算
条件：梁在每一跨度内为等截面； 荷载的作用方向相同，并按比例增加。
结论：连续梁只可能在各跨独立形成破坏机构；如图(a)、(b) 不可能由相邻几跨联合形成一个破坏机构。如图(c)
连续梁极限荷载的计算方法： 1）对每一单跨破坏机构分别求
增大、承载力无法再增大时结构所承受的荷载。
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第 13章 结构的极限荷载
16.3 单跨梁的极限荷载计算
静定梁：只要一个截面出现塑性铰，梁就成为机构，丧 失承载力以至破坏。
超静定梁：具有多余约束，必须出现足够多的塑性铰，才 能使其成为机构，丧失承载力以至破坏。
例1. 计算图(a)所示等截面梁的极 限荷载。
图(b)为弹性阶段(FP≤ FPs)
的M图，Ａ截面弯矩最大。
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第 13章 结构的极限荷载
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FP＞FPs后，塑性区在A附近形 成并扩大，在A截面形成第一个塑 性
机械制图电子课件第十三章尺寸的标注方法 第十四章表面粗糙和公差配合
3、当零件所有表面具有相同的表面粗糙度要求 时，其代（符）号可在图样的右上角统一标注。 4、当零件的大部分表面具有相同的表面粗糙度 要求时，对其中使用最多的一种代（符）号可 以统一注在图样的右上角，并加“其余”两字。 5、为了简化标注方法，或者标注位置受到限制 时，可以标注简化代号，也可以采用省略的注 法，但必须在标题栏附近说明简化代号的意义。 6、对不连续的同一表面，可用细实线连接，只 注一次表面粗糙度符号。对连续表面及重复要 素（孔、槽、齿、……等）的表面，其表面粗 糙度代（符）号只标注一次。
2、当组合体具有交线时，要注意：不要直 接标注交线的尺寸，而应该标注产生交 线的形体或截面的定形及定位尺寸。
§13-2 尺寸的清晰布置
为了看图方便，在标注尺寸时，应当考虑使尺寸 的布置整齐清晰。一般有以下几种处理方法： 1、为了使图面清晰，应当将多数尺寸注在视图 外面，与两视图有关的尺寸注在两视图之间。
三、退刀槽及越程槽 切削过程中，为了不致使刀具损坏，并易退出刀具，同 时与相关零件装配时易于靠紧，所以被加工零件预先要 加工出退刀槽或越程槽，这样被加工的表面的根部就不 会有残留部分，一般叫“清根”。 退刀槽一般可按“槽宽*直径”或“槽宽*槽深”的形式 标注。 四、各种形式的孔 螺孔、沉孔及圆锥销孔等可采用旁注的方法标注。
二.简单物体的尺寸标注 方法： 先将简单物体分解为基本体 再注出各基本体所需要的尺寸 然后再分别注出变化部分的尺寸
简单物体的尺寸可分为两类： 1、定形尺寸——决定组成简单物体的各基本体 的形状及大小的尺寸。 2、定位尺寸——决定各基本体在简单物体上的 相互位置的尺寸。
三、组合体的尺寸标注
1、形体分析法是标注组合体尺寸的基本方法
第十三章 尺寸的标注方法
13章能力测试2
第十三章 极限综合能力测试(Ⅱ)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分。
考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(每小题只有一个选项是正确的，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1．(2011·福建省四地六校联考试题)下列各图所表示的函数在x ＝x 0处连续的是( )解析：根据函数在x ＝x 0处连续的定义，可知C 图所表示的函数在点x ＝x 0处连续，故选C .答案：C2．(2011·湖南省雅充中学月考试题)li m n →∞ n 2－1n (3n ＋2)等于( )A ．3 B.13 C.16D ．6解析：li m n →∞ n 2－1n (3n ＋2)＝li m n →∞ n 2－13n 2＋2n ＝li m n →∞ 1－(1n )23＋(1n )2×2＝13，故选B.答案：B3．(2011·黄石调研)lim x →∞ (x －x 2－2x ＋7x ＋1)的值为( ) A ．0 B.43 C ．3D ．不存在解析：lim x →∞ (x －x 2－2x ＋7x ＋1)＝lim x →∞ 3x －7x ＋1＝lim x →∞ 3－7x1＋1x3.答案：C4．(2011·东北三省四市第一次联合考试)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，x ≤1，2x －1－4x 2－1x >1，在x ＝1处连续，则a 等于( )A ．0B ．1C ．－1D ．2解析：lim x →1＋ (2x －1－4x 2－1)＝lim x →1＋ 2(x －1)x 2－1＝lim x →1＋ 2x ＋1＝1. ∵函数f (x )在x ＝1处连续， ∴lim x →1－f (x )＝lim x →1＋f (x )＝a ＝1. 答案：B5．(成都市2011届高中毕业班第一次诊断性检测)“函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1(x <0)x 2＋a 2(x ≥0)在点x ＝0处连续”是“a ＝1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：lim x →0－f (x )＝lim x →0－ (x ＋1)＝1，lim x →0＋f (x )＝lim x →0＋(x 2＋a 2)＝a 2，若函数f (x )在点x ＝0处连续，则f (0)＝lim x →0＋f (x )＝lim x →0－f (x )，故a ＝±1；若a ＝1，则有f (0)＝lim x →0＋f (x )＝lim x →0－f (x )，即函数f (x )在点x ＝0处连续，故选B.答案：B6．(2011年上海市普通高等学校春季招生考试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋1(x ≥0)(a －2)e x(x <0)为R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(2,3]B ．(2，＋∞)C ．(－∞，3]D ．(2,3)解析：若f (x )在R 上单调递增，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0a －2>0，a －2≤1解得2<a ≤3；若f (x )在R 上单调递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧a <0a －2<0，a －2≥1无解，综上所述，实数a 的取值范围是(2,3]．答案：A点评：本题考查分段函数、函数的单调性以及分类讨论思想，这些都是高考的重要考点．解决此类问题时要特别注意：分段函数在R 上单调递增(减)，不仅要求函数在每一段上都要单调递增(减)，还应满足函数在分段点左侧的函数值不大于(不少于)分段点右侧的函数值．7．(成都市2011届高中毕业班第一次诊断性检测)已知R 上的连续函数g (x )满足：①当x >0时，g ′(x )>0恒成立(g ′(x )为函数g (x )的导函数)；②对任意的x ∈R 都有g (x )＝g (－x )．又函数f (x )满足：对任意的x ∈R 都有f (3＋x )＝－f (x )成立，当x ∈[－3，3]时，f (x )＝x 3－3x .若关于x 的不等式g [f (x )]≤g (a 2－a ＋2)对x ∈[－32－23，32－23]上恒成立，则a 的取值范围是( )A ．a ≥1或a ≤0B ．0≤a ≤1C ．－12－334≤a ≤－12＋334D ．a ∈R解析：函数g (x )为偶函数，且当x >0时，g (x )为增函数；f (x )是以T ＝23为周期的周期函数，且当x ∈[－3，3]时，f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0，得x ＝±1，f (±3)＝0，f (1)＝－2，f (－1)＝2，所以－2≤f (x )≤2.∵a 2－a ＋2＝(a －122＋74>0，又x ∈[－32－23，32－23]时，f (x )＝f (x ＋23)．∴当x ∈[－32－23，32－23]时，g [f (x )]≤g (a 2－a ＋2)⇔x ∈[－32，32]时，|f (x )|≤a 2－a ＋2恒成立，所以－(a 2－a ＋2)≤f (x )≤a 2－a ＋2对x ∈[－32，32]恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧2≤a 2－a ＋2－(a 2－a ＋2)≤－2恒成立，所以a ≥1或a ≤0，故选A. 答案：A8．(2011·湖北省部分重点中学高三第二次联考)等比数列{a n }的公比为q (0＜|q |＜1)，S n为其前n 项和，若S ＝li m n →∞S n ，且S ＝S n ＋2a n ，则q ＝( ) A ．－23B.23C.13D ．－13解析：∵{a n }是等比数列，∴其前n 项和为 S n ＝a 1(1－q n )1－q，(q ≠1)又∵0＜|q |＜1，∴S ＝li m n →∞S n＝li m n →∞ a 1(1－q n )1－q ＝a 11－q ， 而S ＝S n ＋2a n ＝a 1(1－q n )1－q ＋2a 1q n －1＝a11－q (1＋2q n －1－3q n )，∴a 11－q (1＋2q n －1－3q n)＝a 11－q， 即1＋2qn －1－3q n＝1，解得：q ＝23；故选B.答案：B9．(武汉市2011届高三年级2月调研考试)已知数列{x n }满足x 2＝x 12，x n ＝12(x n －1＋x n －2)，n ＝3,4，….若lim n →∞x n ＝2，则x 1＝( )A.32 B ．3 C ．4D ．5解析：依题意得x n ＝12x n －1＝x n －1＋12x n －2(n ≥3)，因此数列{x n ＋12x n －1}是一个常数数列，x n ＋12x n －1＝x 2＋12x 1＝x 1，则x n －23x 1＝－12(x n －1－23x 1)，故x n －23x 1＝(－12)n －1(x 1－23x 1)＝x 13(－12)n－1，即x n ＝23x 1＋x 13(－12n －1，又lim n →∞x n ＝lim n →∞[23x 1＋x 13(－12)n －1]＝23x 1＝2，所以x 1＝3，选B. 答案：B10．(2011·浙江省杭州宏开高复学校月考试题)已知f (3)＝2，f ′(3)＝－2，则li m x →32x －3f (x )x －3的值为( ) A ．－4 B ．8 C ．0 D ．不存在解析：li m x →3 2x －3f (x )x －3＝li m x →3 f (3)x －3f (3)－3f (x )＋3f (3)x －3＝li m x →3f (3)(x －3)－3(f (x )－f (3))x －3＝li m x →3[f (3)－3·f (x )－f (3)x －3]＝f (3)－3li m x →3f (x )－f (3)x －3＝f (3)－3f ′(3)＝2－3×(－2)＝8. 答案：B11．(2011·山东滨州模拟)下列四个命题中，不正确．．．的是( ) A ．若函数f (x )在x ＝x 0处连续，则lim x →x 0＋f (x )＝lim x →x 0－f (x ) B ．函数f (x )＝x ＋2x 2－4的不连续点是x ＝2和x ＝－2C ．若函数f (x )、g (x )满足lim x →∞[f (x )－g (x )]＝0，则lim x →∞f (x )＝lim x →∞g (x ) D.lim x →1x －1x －1＝12解析：令f (x )＝x 2＋1x g (x )＝x 2，虽lim x →∞[f (x )－g (x )]＝lim x →∞ 1x ＝0. 但lim x →∞f (x )、 lim x →∞g (x )都不存在． 答案：C12．(2011·湖北联考)设(22＋x )2n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n －1x 2n －1＋a 2n x 2n ，则lim n →∞[(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n )2－(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)2]＝( )A ．－1B ．0C ．1D.22解析：令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2n －1＋a 2n ＝(22＋1)2n .① 令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 2n －1＋a 2n ＝(22－1)2n .② ①＋②得a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝ (2＋2)2n ＋(2－2)2n22n ＋1，①－②得a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1＝ (2＋2)2n －(2－2)2n22n ＋1∴lim n →∞[(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n )2－(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n－1)2] ＝lim n →∞{[(2＋2)2n ＋(2－2)2n 22n ＋1]2－[(2＋2)2n －(2－2)2n 22n ＋1]2} ＝lim n →∞ 4×(2＋2)2n(2－2)2n42n ＋1＝lim n →∞ 4×(－2)2n42n ＋1＝lim n →∞ (14)n ＝0，故选B. 答案：B第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在题中的横线上．) 13．(2011·广西梧州高三第二次测试)已知lim x →mx (x －1)(x －2)x －m＝2，则实数m 的值为____________．解析：由题意可知：x －m 是x (x －1)(x －2)中的一个因式．故此m ＝0,1,2，逐一检验可知：m ＝1不符合题意，故此实数m 的值为0或2.答案：0或214．(湖北省部分重点中学2011届高三第二次联考)等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若S n T n ＝2n 3n ＋1lim x →∞ a nb n 等于____________．解析：在等差数列{a n }中，有a n ＝S 2n －12n －1，在等差数列{b n }中，有b n ＝T 2n －12n －1，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1＝2(2n －1)3(2n －1)＋1＝2n －13n －1，故lim x →∞ a n b n ＝23. 答案：2315．(河北省衡水市2011届高三上学期教学质量检测)若q 为二项式(x 2－13x )8的展开式中的常数项，则lim n →∞ q n ＋1q n －1＋1＝____________.解析：注意到(x 2－13x )8的展开式的通项是T r ＋1＝C 8r ·(x 2)8－r ·(－13x )r ＝C 8r ·2r －8·(－1)rx 8－4r 3.令8－4r 3＝0得r ＝6，即(x 2－13x )8的展开式中的常数项q ＝C 86·26－8·(－1)6＝7，lim n →∞ q n ＋1q n －1＋1＝lim n →∞ 7n＋17n －1＋1＝lim n →∞ 1＋(17)n17＋(17)n7. 答案：716．(2011年湖北省鄂南高中、黄冈中学、黄石二中、华师一附中、荆州中学、孝感高中、襄攀四中、襄樊五中八校高三第一次联考)对于连续函数f (x )和g (x )，函数|f (x )－g (x )|在闭区间[a ，b ]上的最大值称为f (x )与g (x )在闭区间[a ，b ]上的“绝对差”，记为Δa ≤x ≤b (f (x )，g (x ))．则Δ1≤x ≤4 (1x ＋1，29x 2－x )＝____________.解析：设F (x )＝1x ＋1－(29x 2－x )，其中x ∈[1,4]．则F ′(x )＝－1(x ＋1)2－49x ＋1＝－x (4x ＋7)(x －2)9(x ＋1)2，当1<x <2时，F ′(x )>0；当2<x <4时，F ′(x )<0.因此函数F (x )在[1,2)上是增函数，在(2,4]上是减函数．又F (1)＝2318，F (2)＝139，F (4)＝2945，因此函数F (x )的值域是[2945，139]，所以|F (x )|的最大值是139，即Δ1≤x ≤4 (1x ＋1，29x 2－x )＝139.答案：139三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．) 17．(本小题满分10分)(河北省保定市2011届高三年级第一次调研考试)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋c (c 为常数，n ∈N *)，且a 1，a 2，a 5成等比数列．(1)求c 的值；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，且数列{b n }的前n 项和为T n .求lim n →∞T n .解析：(1)∵a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋c ，c 为常数， ∴a n ＝1＋(n －1)c .∴a 2＝1＋c ，a 5＝1＋4c . 又a 1，a 2，a 5成等比数列，∴(1＋c )2＝1＋4c ，解得c ＝0或c ＝2. (2)由(1)知，当c ＝0时，a n ＝1(n ∈N *)， 此时b n ＝1a n a n ＋1＝1(n ∈N *)，T n ＝n ，lim n →∞T n 不存在． 当c ＝2时，a n ＝2n －1， ∴b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)， ∴T n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝12(1－12n ＋1)＝n 2n ＋1， ∴lim n →∞T n ＝lim n →∞n 2n ＋1＝1218．(本小题满分12分)(2011·湖北省南樟县月考试题)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x －13x －1(x ＜1)b (x ＝1)ax 2＋2 (x ＞1)，(1)求li m x →0f (x )；(2)若li m x →1f (x )存在，求a ，b 的值；(3)若函数f (x )在x ＝1处连续，求a ，b 所满足的条件． 解析：(1)∵x →0时，x －13x －1的分子、分母都有极限－1，∴li m x →0f (x )＝1.(2)若li m x →1f (x )存在，则li m x →1－f (x )＝li m x →1＋f (x )， 而li m x →1＋f (x )＝li m x →1＋(ax 2＋2)＝a ＋2. li m x →1－f (x )＝li m x →1－x －1(3x －1)(x ＋1)＝li m x →1－3x 2＋3x ＋1x ＋1＝32. ∴a ＋2＝32，∴a ＝－12b 可为任意实数．(3)若f (x )在x ＝1处连续， 则li m x →1＋f (x )＝li m x →1－f (x )＝f (1)， 则a ＝－12，b ＝32.19．(本小题满分12分)(2011·江西省会昌中学月考)对于任意的自然数n ，求使等式121×3＋223×5＋……＋n2(2n －1)(2n ＋1)＝n (n ＋a )2(2n ＋b )恒成立的正数a ，b 的值． 解析：当n ＝1，n ＝2时可得 ⎩⎪⎨⎪⎧13＝a ＋12(2＋b )13＋415＝a ＋24＋b，即⎩⎪⎨⎪⎧3a －2b ＝15a －3b ＝2，解得a ＝1，b ＝1，∴121×3＋223×5＋……＋n2(2n －1)(2n ＋1)＝n (n ＋1)2(2n ＋1). 下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，左边＝13，右边＝22×3＝13，∴等式成立．②假设当n ＝k (k ≥1)时，等式成立．即：121×3＋223×5＋……＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＝k (k ＋1)2(2k ＋1)成立．当n ＝k ＋1时，左式＝121×3＋223×5＋……＋k2(2k －1)(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝k (k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝k ＋12k ＋1(k 2＋k ＋12k ＋3) ＝(k ＋1)(2k ＋1)(k ＋2)(2k ＋1)·2·(2k ＋3)＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1]2[2(k ＋1)＋1]，∴当n ＝k ＋1时，等式成立．综合①②可知121×3＋223×5＋……＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝n (n ＋1)2(2n ＋1)对任意n ∈N 均成立，即a＝1，b ＝1.20．(本小题满分12分)(成都市2011届高中毕业班第一次诊断性检测)设数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和为S n ，且na n －S n ＝2n (n －1)，n ∈N *.(1)求a 2的值及数列{a n }的通项公式a n ；(2)若数列{b n }满足：4b n ＝S n ＋n －1＋(－1)n，当n ≥2时，记E n ＝22b 2＋32b 3＋42b 4＋…＋n 2b n.①计算E 9的值； ②求lim n→∞(2n －E n )的值． 解析：(1)∵na n －S n ＝2n (n －1)，a 1＝1，∴n ＝2时，a 2＝5. 当n ≥2时，(n －1)a n －1－S n －1＝2(n －1)(n －2)，∴na n －(n －1)a n －1－S n ＋S n －1＝2n (n －1)－2(n －1)(n －2)， 即(n －1)(a n －a n －1)＝4(n －1)(n ≥2)． ∴a n －a n －1＝4(n ≥2)．∴数列{a n }是公差为4的等差数列， 故a n ＝4n －3(n ∈N *)．(2)①∵4b n ＝S n ＋n －1＋(－1)n (n ∈N *)， ∴4b n ＝2n 2－1＋(－1)n (n ∈N *)， ∴b n ＝2n 2－1＋(－1)n4，故b 1＝0，n 2b n ＝4n 22n 2－1＋(－1)n (n ≥2，n ∈N *)．当n 为大于0的偶数时，n 2b n ＝4n 22n 2＝2.当n 为大于1的奇数时，n 2b n ＝4n 22n 2－2＝2n 2n 2－1＝2＋2n 2－1＝2＋1n －1－1n ＋1. ∴E 9＝(32b 3＋52b 5＋72b 7＋92b 9)＋(22b 2＋42b 4＋62b 6＋82b 8)＝8＋8＋13－1－19＋1＝825.②当n >1，且n ∈N *时，若n 为偶数，则2n －E n ＝2n －[2×n 2＋2(n 2－1)＋12－1n ]＝32＋1n，若n 为奇数，则2n －E n ＝2n －[2×(n －12)＋2(n －12)＋12－1n ＋1]＝32＋1n ＋1，∴2n －E n ＝32＋22n ＋1－(－1)n，∴lim n →∞ (2n －E n )＝lim n →∞[32＋22n ＋1－(－1)n]＝32. 21．(本小题满分12分)(2011·河南安阳中学月考试题)已知函数f (x )＝(ax 2＋bx ＋c )·e x ，其中e 为自然对数的底，a ，b ，c 为常数，若函数f (x )在x ＝－2处取得极值，且li m x →0 f (x )－c x＝4.(1)求实数b ，c 的值；(2)若函数f (x )在区间[1,2]上是增函数，求实数a 的取值范围．解析：(1)∵f ′(x )＝(2ax ＋b )e x ＋(ax 2＋bx ＋c )e x ＝[ax 2＋(b ＋2a )x ＋b ＋c ]e x .由f ′(－2)＝0⇒f ′(－2)＝[4a －2(b ＋2a )＋b ＋c ]e －2＝0⇒4a －2(b ＋2a )＋b ＋c ＝0⇒b ＝c .由li m x →0f (x )－cx＝4得到：f ′(0)＝4，所以b ＋c ＝4，即b ＝2，c ＝2. (2)由题意知ax 2＋2(a ＋1)x ＋4≥0在x ∈[1,2]时恒成立，即a ≥－2x ＋4x 2＋2x 在x ∈[1,2]时恒成立，设g (x )＝－2x ＋4x 2＋2x ，x ∈[1,2]，则g (x )＝－2x 在区间[1,2]上单调递增，所以g (x )的最大值为f (2)＝－1，所以a ≥－1.22．(本小题满分12分)(2011年湖北省鄂南高中、黄冈中学、黄石二中、华师一附中、荆州中学、孝感高中、襄攀四中、襄樊五中八校高三第一次联考)已知数列{a n }满足a 1＝7，a n ＋1＝3a n ＋2n －1－8n (n ∈N *)．(1)李四同学欲求{a n }的通项公式，他想，如能找到一个函数f (n )＝A ·2n －1＋B ·n ＋C (A 、B 、C 是常数)，把递推关系变成a n ＋1－f (n ＋1)＝3[a n －f (n )]后，就容易求出{a n }的通项了．请问：他设想的f (n )存在吗？{a n }的通项公式是什么？(2)S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，若不等式S n －2n 2>p ·3n 对任意n ∈N *都成立，求实数p 的取值范围．解析：(1)∵a n ＋1－f (n ＋1)＝3[a n －f (n )]，∴a n ＋1＝3a n ＋f (n ＋1)－3f (n )，∴只需f (n ＋1)－3f (n )＝2n －1－8n . ∵f (n ＋1)－3f (n )＝－A ·2n －1－2B n ＋B －2C ，∴－A ＝1，－2B ＝－8，B －2C ＝0，∴A ＝－1，B ＝4，C ＝2.故李四设想的f (n )存在，即f (n )＝－2n －1＋4n ＋2. ∴a n －f (n )＝3n －1[a 1－f (1)]＝3n －1(7－5)＝2×3n －1，∴a n ＝2×3n －1＋f (n )＝2×3n －1－2n －1＋2(2n ＋1)．(2)S n ＝2(1＋3＋32＋…＋3n －1)－(1＋2＋…＋2n －1)＋2[3＋5＋…＋(2n ＋1)]＝3n －2n ＋2n 2＋4n .∴S n －2n 2＝3n －2n＋4n ，由S n －2n 2>p ·3n ，得p <3n －2n ＋4n 3n ＝1－2n －4n 3n . 设b ＝1－2n －4n 3n ，则b n ＋1－b n ＝1－2n ＋1－4(n ＋1)3n ＋1－1＋2n －4n 3n ＝2n－8n ＋43n ＋1＝2n －4(2n －1)3n ＋1， 当n ≥6时，2n －2＝(1＋1)n －2＝1＋C n －21＋C n －22＋…＋C n －2n －3＋C n －2n －2≥2(1＋n －2)＋(n －2)(n －3)2≥2n －2＋2(n －3)＝4n －8>2n －1， ∴当n ≥6时，b n ＋1>b n .容易验证，当1≤n ≤5时，b n ＋1<b n ，∴p <(b n )min ＝b 6＝689729p 的取值范围为(－∞，689729．。
材料力学 第十三章压杆稳定
（4）若压杆在两个形心主惯性平面内的杆端约束不相
同时，该杆的临界力应按两个方向的(I/ μl)min值计算。 y z x
轴销
（5）假设压杆是均质的直杆，且只有在压杆的微弯 曲状态下仍然处于弹性状态时才是成立的;实际压杆 的临界力均小于理论值。
9l 5l
2l
稳定性
丧失原有平衡形式的现象称为失稳 失稳也是一种失效形式 理想中心受压细长压杆的临界力
§13-2
一﹑Euler公式
细长压杆的临界力
x Fcr
1.两端铰支的临界压力
M（x）=Fcrw （a）
l
E I w″= -M（x）（b） 得 E I w″= - Fcrw
w
x O y
令 k2=Fcr / EI
M(x) Fcr=F
2 0.8 160 p 0.04 i 4
l
l
2 EI 2 210 109 0.044 / 64 Fcr 102kN 2 2 (2 0.8) l
Fcr F Fst 34kN nst
例4：厂房钢柱长7m，由两根16b号Q235槽钢组成。截
稳定的。
F ≥ Fcr
F ≥ Fcr
F≥Fcr
（2）当F≥Fcr时，
在干扰力除去后，杆
干扰力
件不能恢复到原直线 位置，在曲线状态下 保持平衡。 原有的直线平衡状态是
(a)
(b)
(c)
不稳定的。
这种丧失原有平衡形式的现象称为丧失稳定性，简称失稳.
Fcr——压杆保持稳定平衡所能承受的极限压力， 即临界压力（临界荷载）。 压杆在外力作用下保持原有平衡形式的能力
高中数学知识点第十三章-极 限
高中数学第十三章-极 限考试内容：教学归纳法．数学归纳法应用．数列的极限．函数的极限．根限的四则运算．函数的连续性．考试要求：（1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．（2）了解数列极限和函数极限的概念．（3）掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限．（4）了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质．§13. 极 限 知识要点1. ⑴第一数学归纳法：①证明当n 取第一个0n 时结论正确；②假设当k n =（0,n k N k ≥∈+）时，结论正确，证明当1+=k n 时，结论成立.⑵第二数学归纳法：设)(n P 是一个与正整数n 有关的命题，如果①当0n n =（+∈N n 0）时，)(n P 成立；②假设当k n ≤（0,n k N k ≥∈+）时，)(n P 成立，推得1+=k n 时，)(n P 也成立. 那么，根据①②对一切自然数0n n ≥时，)(n P 都成立.2. ⑴数列极限的表示方法：①a a n n =∞→lim ②当∞→n 时，a a n →.⑵几个常用极限：①C C n =∞→lim （C 为常数） ②),(01lim 是常数k N k nk n ∈=∞→ ③对于任意实常数， 当1|| a 时，0lim =∞→n n a 当1=a 时，若a = 1，则1lim =∞→n n a ；若1-=a ，则n n n n a )1(lim lim -=∞→∞→不存在 当1 a 时，n n a ∞→lim 不存在 ⑶数列极限的四则运算法则：如果b b a a b n n n ==∞→∞→lim ,lim ，那么 ①b a b a n n n ±=±∞→)(lim ②b a b a n n n ⋅=⋅∞→)(lim③)0(lim ≠=∞→b ba b a n n n 特别地，如果C 是常数，那么Ca a C a C n n n n n =⋅=⋅∞→∞→∞→lim lim )(lim . ⑷数列极限的应用： 求无穷数列的各项和，特别地，当1 q 时，无穷等比数列的各项和为)1(11 q q a S -=. （化循环小数为分数方法同上式）注：并不是每一个无穷数列都有极限.3. 函数极限；⑴当自变量x 无限趋近于常数0x （但不等于0x ）时，如果函数)(x f 无限趋进于一个常数a ，就是说当x 趋近于0x 时，函数)(x f 的极限为a .记作a x f x x =→)(lim 0或当0x x →时，a x f →)(. 注：当0x x →时，)(x f 是否存在极限与)(x f 在0x 处是否定义无关，因为0x x →并不要求0x x =.（当然，)(x f 在0x 是否有定义也与)(x f 在0x 处是否存在极限无关.⇒函数)(x f 在0x 有定义是)(lim 0x f x x →存在的既不充分又不必要条件.） 如⎩⎨⎧+--=1111)( x x x x x P 在1=x 处无定义，但)(lim 1x P x →存在，因为在1=x 处左右极限均等于零.⑵函数极限的四则运算法则：如果b x g a x f x x x x ==→→)(lim ,)(lim 00，那么 ①b a x g x f x x ±=±→))()((lim 0②b a x g x f x x ⋅=⋅→))()((lim 0③)0()()(lim 0≠=→b ba x g x f x x 特别地，如果C 是常数，那么)(lim ))((lim 00x f C x f C x x x x →→=⋅. n x x n x x x f x f )](lim [)]([lim 00→→=（+∈N n ） 注：①各个函数的极限都应存在.②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况. ⑶几个常用极限： ①01lim =∞→xn ②0lim =+∞→x x a （0＜a ＜1）；0li m =-∞→x x a （a ＞1） ③1sin lim 0=→x x x 1sin lim 0=⇒→x x x④e x x x =+∞→)11(lim ，e x x x =+→10)1(lim （71828183.2=e ） 4. 函数的连续性：⑴如果函数f （x ），g （x ）在某一点0x x =连续，那么函数)0)(()()(),()(),()(≠⋅±x g x g x f x g x f x g x f 在点0x x =处都连续.⑵函数f （x ）在点0x x =处连续必须满足三个条件： ①函数f （x ）在点0x x =处有定义；②)(lim 0x f x x →存在；③函数f （x ）在点0x x =处的极限值等于该点的函数值，即)()(lim 00x f x f x x =→. ⑶函数f （x ）在点0x x =处不连续（间断）的判定： 如果函数f （x ）在点0x x =处有下列三种情况之一时，则称0x 为函数f （x ）的不连续点. ①f （x ）在点0x x =处没有定义，即)(0x f 不存在；②)(lim 0x f x x →不存在；③)(lim 0x f x x →存在，但)()(lim 00x f x f x x ≠→. 5. 零点定理，介值定理，夹逼定理：⑴零点定理：设函数）（x f 在闭区间],[b a 上连续，且0)()( b f a f ⋅.那么在开区间),(b a 内至少有函数)(x f 的一个零点，即至少有一点ξ（a ＜ξ＜b ）使0)(=ξf . ⑵介值定理：设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，且在这区间的端点取不同函数值，B b f A a f ==)(,)(，那么对于B A ,之间任意的一个数C ，在开区间),(b a 内至少有一点ξ，使得C f =)(ξ（a ＜ξ＜b ）.⑶夹逼定理：设当δ ||00x x -时，有)(x g ≤)(x f ≤)(x h ，且A x h x g x x x x ==→→)(lim )(lim 00，则必有.)(lim 0A x f x x =→ 注：||0x x -：表示以0x 为的极限，则||0x x -就无限趋近于零.（ξ为最小整数）6. 几个常用极限： ①1,0lim q q n n =+∞→ ②)0(0!lim a n a nn =+∞→ ③k a a n n kn ,1(0lim =+∞→为常数） ④0ln lim=+∞→n n n ⑤k n n k n ,0(0)(ln limεε=+∞→为常数）。
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第十三章极限
1．（2006
年陕西卷）n B ）
（A ）0 （B ）14 （C ）1
2
（D ）1 2. ( 2006年湖南卷）数列{n a }满足:11
3
a =,且对于任意的正整数m,n 都有m n m n a a a +=⋅,
则12lim()n n a a a →∞
++
+= ( A )
A.
12 B.23 C.3
2
D.2 3．（2006年四川卷）已知()23,12,1x x f x x +≠⎧=⎨=⎩
，下面结论正确的是（D ）
（A ）()f x 在1x =处连续 （B ）()5f x =
（C ）()1
lim 2x f x -→= （D ）()1
lim 5x f x +
→= 4．（2006年福建卷）如图，连结ABC ∆
结111A B C ∆的各边中点得到222A B C ∆，如此无限继续下 去，得到一系列三角形：ABC ∆，111A B C ∆，222A B C ∆， 这一系列三角形趋向于一个点M 。
已知(0,0),(3,0),A B
(2,2),C 则点M 的坐标是＿＿52
(,)33
＿。
5．（2006年安徽卷）设常数0a >，4
2ax ⎛+ ⎝
展开式中3
x 的系数为2，则2lim()n n a a a →∞
++⋅⋅⋅+=_____。
解：14822
14
r r r
r
r T C a
x
x
---+=，由18232
,2,r r
x
x
x r --==得4431=22
r r
C a -由知a=，所以
21
2lim()11
12
n n a a a →∞++⋅⋅⋅+==-，所以为1。
6．（2006年广东卷）=+---→)21
44(
lim 2
2
x x
x
6．41
21lim )2144(
lim 222
=-=+---→-→x x x
x x 7． ( 2006年重庆卷)
∝
-n lim
=---+++12)12(312
n n n ___ 1
2__. 8. （2006年上海春卷）计算：=+-∞→3423lim
n n n 4
3
.
9．（2006年天津卷）设函数()1
1+=x x f ，点0A 表示坐标原点，点()()()*
,N n n f n A n ∈，若向量01121n n n a A A A A A A -=++
+，n θ是n a 与i 的夹角，
（其中()0,1=i
），设n n S θθθtan tan tan 21+++= ，则n n S ∞
→lim = 1 ．
10．（2006年江西卷）数列｛
214n 1－｝的前n 项和为S n ，则n lim →∞S n
＝12
10．解：n 211111
a 4n 12n 12n 122n 12n 1
•＝＝＝（－）
－（－）（＋）－＋ 故n 12n S a a a ＝＋＋…＋
11111111
12323522n 12n 1＝（－）＋（－）＋…＋（－）－＋111111
123352n 12n 1＝（－＋－＋…＋－）
－＋ 11122n 1＝（－）＋n n n 111 limS lim 122n 12→∞→∞∴＝（－）＝＋
11．（2006年辽宁卷）2222464646()()...()
57
5757lim 545454
()()...()656565
n n n n n →∞-+-++-=-+-++-_____________ 【解析】22222222464646444666()()...()(...)(...)
57
5757555777lim 545454555444
()()...()(...)(...)656565666555
n n n n n n n n n →∞-+-++-+++-+++=-+-++-+++-+++ 4161[1()][1()]5577
1111511()()1()575
77lim lim lim 1514111
5[1()][1()]()()()16655656
111165
n n n n n
n n n n n n n n →∞→∞→∞-------====-------- 【点评】本题考查了等比数列的求和公式以及数列极限的基本类型.
12．（2006年北京卷）22132lim 1x x x x →-++-的值等于____-1
2
______________.
13．（2006年上海卷）计算：1
lim 33
+∞→n C n
n ＝ 1/6 ．
14．(2006年山东卷）若lim
1,
n a ==则常数 2 .。