2015年高考第一轮复习数学：13.3 函数的极限
高考第一轮复习数学：132数列的极限-教案(含习题及答案).
13.2 数列的极限●知识梳理1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{a n }的项a n 无限地趋近于某个常数a （即|a n －a|无限地接近于0），那么就说数列{a n }以a 为极限.注：a 不一定是｛a n ｝中的项.2.几个常用的极限：①∞→n lim C=C （C 为常数）;②∞→n limn1=0;③∞→n lim q n=0（|q|＜1）.3.数列极限的四则运算法则：设数列｛a n ｝、｛b n ｝，当∞→n lim a n =a, ∞→n lim b n =b 时，∞→n lim （a n ±b n ）=a ±b;∞→n lim （a n ·b n ）=a ·b; ∞→n limn n b a =ba（b ≠0）. 特别提示（1）a n 、b n 的极限都存在时才能用四则运算法则； （2）可推广到有限多个. ●点击双基1.下列极限正确的个数是①∞→n lim αn 1=0（α＞0） ②∞→n lim q n=0 ③∞→n lim n n nn 3232+-=－1 ④∞→n lim C=C （C 为常数） A.2 B.3C.4D.都不正确 解析:①③④正确. 答案:B 2. ∞→n lim ［n （1－31）（1－41）（1－51）…（1－21+n ）］等于 A.0 B.1C.2D.3解析: ∞→n lim ［n （1－31）（1－41）（1－51）…（1－21+n ）］=∞→n lim ［n ×32×43×54×…×21++n n ］ =∞→n lim 22+n n=2. 答案:C 3.下列四个A.若∞→n lim a n 2＝A 2，则∞→n lim a n ＝AB.若a n ＞0，∞→n lim a n ＝A ，则A ＞0C.若∞→n lim a n ＝A ，则∞→n lim a n 2＝A 2D.若∞→n lim （a n －b ）＝0，则∞→n lim a n ＝∞→n lim b n解析:排除法，取a n ＝（－１）n，排除A ； 取a n ＝n1，排除Ｂ；取a n ＝b n ＝n ，排除D ． 答案:C4.（2005年春季上海,2） ∞→n limnn ++++ 212=__________.解析:原式=∞→n lim 2)1(2++n n n =∞→n lim 221212nn n ++=0.答案:05.（2005年春季北京,9） ∞→n lim 32222-+n nn =____________.解析:原式=∞→n lim23221nn -+=21. 答案:21【例1】 求下列极限：（1）∞→n lim757222+++n n n ;（2） ∞→n lim （n n +2－n ）;（3）∞→n lim （22n +24n+…+22n n ）.剖析:（1）因为分子分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法则，可通过变形分子分母同除以n 2后再求极限；（2）因n n +2与n 都没有极限，可先分子有理化再求极限；（3）因为极限的运算法则只适用于有限个数列，需先求和再求极限.解:（1）∞→n lim 757222+++n n n =∞→n lim 2275712nn n +++=52. （2）∞→n lim （n n +2－n ）= ∞→n limnn n n ++2=∞→n lim1111++n=21. （3）原式=∞→n lim 22642n n ++++ =∞→n lim 2)1(n n n +=∞→n lim （1+n1）=1. 评述:对于（1）要避免下面两种错误：①原式=)75(lim )72(lim 22+++∞→∞→n n n n n =∞∞=1,②∵∞→n lim （2n2+n+7）, ∞→n lim （5n 2+7）不存在，∴原式无极限.对于（2）要避免出现下面两种错误：①∞→n lim （n n +2－n ）= ∞→n lim n n +2－∞→n lim n=∞－∞=0;②原式=∞→n limn n +2－∞→n lim n=∞－∞不存在.对于（3）要避免出现原式=∞→n lim22n +∞→n lim 24n +…+∞→n lim22n n =0+0+…+0=0这样的错误.【例2】 已知数列｛a n ｝是由正数构成的数列，a 1＝3，且满足lga n ＝lga n －1＋lgc ，其中n 是大于1的整数，c 是正数．（1）求数列｛a n ｝的通项公式及前n 和S n ；（2）求∞→n lim 1122+-+-n n nn a a 的值．解:（1）由已知得a n ＝ｃ·a n －1,∴｛a n ｝是以a 1＝3，公比为c 的等比数列，则a n ＝3·ｃn －1.∴S n ＝⎪⎩⎪⎨⎧≠>--=).10(1)1(3)1(3c c c c c nn 且（2） ∞→n lim1122+-+-n n n n a a ＝∞→n lim n n n n cc 323211+---. ①当c=2时，原式＝－41; ②当ｃ＞2时，原式＝∞→n lim c cc n n 3)2(23)2(11+⋅---＝－c 1;③当0＜ｃ＜2时，原式=∞→n lim 11)2(32)2(31--⋅+-n n c c c ＝21.评述:求数列极限时要注意分类讨论思想的应用.【例3】 已知直线l:x －ny=0（n ∈N *）,圆M:（x+1）2+（y+1）2=1,抛物线ϕ:y=（x－1）2,又l 与M 交于点A 、B ，l 与ϕ交于点C 、D ，求∞→n lim 22||||CD AB .剖析:要求∞→n lim 22||||CD AB 的值，必须先求它与n 的关系.解:设圆心M （－1,－1）到直线l 的距离为d,则d 2=1)1(22+-n n .又r=1,∴|AB|2=4（1－d 2）=218nn+. 设点C （x 1,y 1）, D （x 2,y 2）， 由⎩⎨⎧-==-2)1(0x y ny x ⇒nx 2－（2n+1）x+n=0, ∴x 1+x 2=nn 12+, x 1·x 2=1. ∵（x 1－x 2）2=（x 1+x 2）2－4x 1x 2=214n n +,（y 1－y 2）2=（n x 1－n x 2）2=414n n +, ∴|CD|2=（x 1－x 2）2+（y 1－y 2）2=41n（4n+1）（n 2+1）.∴∞→n lim 22||||CD AB =∞→n lim 225)1)(14(8++n n n =∞→n lim 2)11)(14(8nn ++=2. 评述:本题属于解析几何与数列极限的综合题.要求极限，需先求22||||CD AB ,这就要求掌握求弦长的方法.【例4】 若数列{a n }的首项为a 1=1,且对任意n ∈N*,a n 与a n+1恰为方程x 2－b n x+c n=0的两根,其中0＜|c|＜1,当∞→n lim （b 1+b 2+…+b n ）≤3,求c 的取值范围.解:首先,由题意对任意n ∈N*,a n ·a n+1=c n恒成立. ∴121+++⋅⋅n n n n a a a a =n n a a 2+=n n cc 1+=c.又a 1·a 2=a 2=c.∴a 1,a 3,a 5,…,a 2n －1,…是首项为1,公比为c 的等比数列,a 2,a 4,a 6,…,a 2n ,…是首项为c,公比为c 的等比数列.其次,由于对任意n ∈N*,a n +a n+1=b n 恒成立.∴n n b b 2+=132+++++n n n n a a a a =c.又b 1=a 1+a 2=1+c,b 2=a 2+a 3=2c,∴b 1,b 3,b 5,…,b 2n －1,…是首项为1+c,公比为c 的等比数列,b 2,b 4,b 6,…,b 2n ,…是首项为2c,公比为c 的等比数列,∴∞→n lim （b 1+b 2+b 3+…+b n ）= ∞→n lim （b 1+b 3+b 5+…）+ ∞→n lim （b 2+b 4+…）=c c -+11+cc-12≤3. 解得c ≤31或c ＞1.∵0＜|c|＜1,∴0＜c ≤31或－1＜c ＜0. 故c 的取值范围是（－1,0）∪（0,31］.评述:本题的关键在于将题设中的极限不等式转化为关于c 的不等式,即将{b n }的各项和表示为关于c 的解析式,显然“桥梁”应是一元二次方程根与系数的关系,故以根与系数的关系为突破口.●闯关训练 夯实基础1.已知a 、b 、c 是实常数，且∞→n lim c bn can ++=2, ∞→n lim b cn c bn --22=3,则∞→n lim acn c an ++22的值是A.2B.3C.21D.6解析:由∞→n lim c bn can ++=2,得a=2b.由∞→n lim b cn c bn --22=3,得b=3c,∴c=31b. ∴ca=6. ∴∞→n lim a cn c an ++22=∞→n lim 22nac n c a ++=ca =6. 答案:D2.（2003年北京）若数列{a n }的通项公式是a n =2)23()1(23n n n n n ------++,n=1,2,…,则∞→n lim （a 1+a 2+…+a n ）等于A.2411 B.2417 C.2419 D.2425 解析:a n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-++--+--------),(22323),(2)23(23为偶数为奇数n n nn n n n n n n 即a n =⎪⎩⎪⎨⎧--).3),(2(为偶数为奇数n n n n∴a 1+a 2+…+a n =（2－1+2－3+2－5+…）+（3－2+3－4+3－6+…）.∴∞→n lim （a 1+a 2+…+a n ）=411213132122221-=-+-----+91191-=.2419 答案:C3.（2004年春季上海）在数列{a n }中，a 1=3，且对任意大于1的正整数n,点（n a ,1-n a ）在直线x －y －3=0上，则∞→n lim 2)1(+n a n=__________________.解析:由题意得n a －1-n a =3 （n ≥2）. ∴{n a }是公差为3的等差数列，1a =3. ∴n a =3+（n －1）·3=3n. ∴a n =3n 2.∴∞→n lim 2)1(+n a n =∞→n lim 12322++n n n =∞→n lim21213nn ++=3.答案:34.（2004年 上海,4）设等比数列{a n }（n ∈N ）的公比q=－21,且∞→n lim （a 1+a 3+a 5+…+a 2n－1）=38,则a 1=_________________. 解析:∵q=－21,∴∞→n lim （a 1+a 3+a 5+…+a 2n －1）=4111-a =38.∴a 1=2.答案:25.（2004年湖南,理8）数列{a n }中,a 1=51,a n +a n+1=156+n ,n ∈N*,则∞→n lim （a 1+a 2+…+a n ）等于A.52 B.72 C.41 D.254解析:2（a 1+a 2+…+a n ）=a 1+［（a 1+a 2）+（a 2+a 3）+（a 3+a 4）+…+（a n －1+a n ）］+a n =51+[256+356+…+n56]+a n .∴原式=21［51+511256-+∞→n lim a n ］=21（51+103+∞→n lim a n ）.∵a n +a n+1=156+n ,∴∞→n lim a n +∞→n lim a n+1=0.∴∞→n lim a n =0.答案:C6.已知数列｛a n ｝满足（n －1）a n+1=（n+1）（a n －1）且a 2=6,设b n =a n +n （n ∈N*）. （1）求{b n }的通项公式；（2）求∞→n lim （212-b +213-b +214-b +…+21-n b ）的值.解:（1）n=1时，由（n －1）a n+1=（n+1）（a n －1）,得a 1=1.n=2时，a 2=6代入得a 3=15.同理a 4=28,再代入b n =a n +n,有b 1=2,b 2=8,b 3=18,b 4=32,由此猜想b n =2n 2.要证b n =2n 2,只需证a n =2n 2－n.①当n=1时，a 1=2×12－1=1成立.②假设当n=k 时，a k =2k 2－k 成立.那么当n=k+1时，由（k －1）a k+1=（k+1）（a k －1）,得a k+1=11-+k k （a k －1） =11-+k k （2k 2－k －1）=11-+k k （2k+1）（k －1）=（k+1）（2k+1）=2（k+1）2－（k+1）. ∴当n=k+1时，a n =2n 2－n 正确，从而b n =2n 2.（2）∞→n lim （212-b +213-b +…+21-n b ）=∞→n lim （61+161+…+2212-n ）=21∞→n lim ［311⨯+421⨯+…+)1)(1(1+-n n ］ =41∞→n lim ［1－31+21－41+…+11-n －11+n ］ =41∞→n lim ［1+21－n 1－11+n ］=83. 培养能力7.已知数列{a n }、{b n }都是无穷等差数列,其中a 1=3,b 1=2,b 2是a 2与a 3的等差中项,且∞→n lim n n b a =21,求极限∞→n lim （111b a +221b a +…+n n b a 1）的值. 解:{a n }、{b n }的公差分别为d 1、d 2.∵2b 2=a 2+a 3,即2（2+d 2）=（3+d 1）+（3+2d 1）, ∴2d 2－3d 1=2.又∞→n lim n n b a =∞→n lim 21)1(2)1(3d n d n -+-+=21d d =21,即d 2=2d 1, ∴d 1=2,d 2=4.∴a n =a 1+（n －1）d 1=2n+1,b n =b 1+（n －1）d 2=4n －2.∴n n b a 1=)24()12(1-⋅+n n =41（121-n －121+n ）. ∴原式=∞→n lim41（1－121+n ）=41. 8.已知数列｛a n ｝、{b n }都是由正数组成的等比数列，公比分别为p 、q,其中p ＞q 且p≠1,q ≠1,设c n =a n +b n ,S n 为数列{c n }的前n 项和，求∞→n lim1-n nS S . 解:S n =p p a n --1)1(1+qq b n --1)1(1,.1)1(1)1(1)1(1)1(1111111qq b p p a qq b p p a S S n n n n n n --+----+--=--- 当p ＞1时，p ＞q ＞0,得0＜pq ＜1,上式分子、分母同除以p n －1，得.1])(1[1)11(1)1(1)1(11111111111q p q pb p p a qpq p b p p p a S S n n n n nn n n n --+----+--=-------∴∞→n lim 1-n n S S=p. 当p ＜1时，0＜q ＜p ＜1, ∞→n lim 1-n n S S =qb p a qbp a -+--+-11111111=1.探究创新9.已知数列{a n }满足a 1=0,a 2=1,a n =221--+n n a a ,求∞→n lim a n .解:由a n =221--+n n a a ,得2a n +a n －1=2a n －1+a n －2,∴{2a n +a n －1}是常数列. ∵2a 2+a 1=2,∴2a n +a n －1=2.∴a n －32=－21（a n －1－32）.∴{a n －32}是公比为－21,首项为－32的等比数列.∴a n －32=－32×（－21）n －1.∴a n =32－32×（－21）n －1.∴∞→n lim a n =32. ●思悟小结1.运用数列极限的运算法则求一些数列的极限时必须注意以下几点： （1）各数列的极限必须存在；（2）四则运算只限于有限个数列极限的运算. 2.熟练掌握如下几个常用极限： （1） ∞→n lim C=C （C 为常数）;（2） ∞→n lim （n1）p=0（p ＞0）;（3） ∞→n lim d cn b an k k ++=ca（k ∈N *,a 、b 、c 、d ∈R 且c ≠0）;（4） ∞→n lim q n=0（|q|＜1）.●教师下载中心 教学点睛1.数列极限的几种类型：∞－∞,∞∞,0－0,00等形式，必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限，另外还有先求和，约分后再求极限，对含参数的题目一定要控制好难度，不要太难了.2.重视在日常学习过程中化归思想、分类讨论思想和极限思想的运用.拓展题例【例题】 已知等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q,且有∞→n lim （q a +11－q n）=21,求首项a 1的取值范围.解: ∞→n lim （q a +11－q n）=21, ∴∞→n lim q n一定存在.∴0＜|q|＜1或q=1.当q=1时，21a －1=21,∴a 1=3.当0＜|q|＜1时，由∞→n lim （q a +11－q n）=21得q a +11=21,∴2a 1－1=q.∴0＜|2a 1－1|＜1.∴0＜a 1＜1且a 1≠21.综上,得0＜a 1＜1且a 1≠21或a 1=3.。
高三数学课件：函数的极限
lim[ f (x)] = [ lim f (x)]
n x→xo
n
这些法则对于
k x→xo
x →∞
k o *
的情况仍然适用.
lim x = x (k ∈N ),
1 lim k = 0(k ∈ N * ) x →∞ x
基础题
x −1 1. lim 2 的值是 x →∞ x + 1
2
( B ) D. -1
3
求
f (x )
小结 ：有限个函数的和（或积）的极 限等于这些函数的和（或积）；两个 （或几个）函数的极限至少有一个不 存在时，他们的和、差、积、商的极 限不一定不存在. 在求几个函数的和 （或积）的极限时，一般要化简，再 求极限 .求函数的极限要掌握几种基本 的方法.①代入法；②因式分解法；③ 分子、分母同除x的最高次幂；④有理 化法.
x→x0
+ x→x0 − x→x0
x→ x0
x→x0
lim f (x) = a ⇔ lim f (x) = lim f (x) = a − +
x→x0 x→x0
1. 对于函数极限有如下的运算法则： 如果 lim f ( x) = A, lim g ( x) = B
x→xo x→xo
那么
x→xo
x→ x → xo
1+ 2 + 4 +… + 2 (2) lim( ) n −1 .........n →∞ 1 + 3 + 9 + … + 3
n− n−1
例3(优化P206例1) 2 x + b ( x > 0 ) (1)设f ( x ) = 0........( x = 0) 试确定b的值,使lim f ( x)存在 : x→0 1 + 2 x x > 0 ( ) f ( x) − 4 x3 f ( x) (2) f ( x)为多项式, 且lim = 1, lim = 5, 求f ( x)的表达式 2 x →∞ x→0 x x
高考第一轮复习数学函数的连续性及极限的应用
答案：D
3.下列图象表示的函数在x=x0处连续的是
A.①B.②③C.①④D.③④
答案：A
4.四个函数:①fx= ;②gx=sinx;③fx=|x|;④fx=ax3+bx2+cx+d.其中在x=0处连续的函数是____________.把你认为正确的代号都填上
答案：②③④
●典例剖析
图丁表示的是 fx存在,但它不等于函数在这一点处的函数值fx0.
●教师下载中心
教学点睛
1.函数fx在点x0处连续与fx在点x0处有极限的联系与区别:
其联系是:它要求 fx存在.
其区别是:函数在某点处连续比在此点处有极限所具备的条件更强.首先,fx在点x0处有极限,对于点x0而言,x0可以属于fx的定义域,也可以不属于fx的定义域,即与fx0是否有意义无关,而fx在点x0处连续,要求fx在点x0及其附近都有定义;其次,fx在点x0处的极限值与fx在点x0处的函数值fx0可以无关,而fx在点x0处连续,要求fx在点x0处的极限值等于它在这一点的函数值fx0.我们通常说“连续必有极限,有极限未必连续”,正是针对上述事实而言的.
1.函数fx在点x0处连续反映到函数fx的图象上是在点x=x0处是不间断的.一般地,函数fx在点x0处不连续间断大致有以下几种情况如下图所示.
图甲表示的是fx在点x0处的左、右极限存在但不相等,即 fx不存在.
图乙表示的是fx在点x0处的左极限存在,而右极限不存在,也属于 fx不存在的情况.
图丙表示的是 fx存在,但函数fx在点x0处没有定义.
2.函数fx在点x0处连续必须具备以下三个条件:
函数fx在点x=x0处有定义;
函数fx在点x=x0处有极限;
《高数13函数的极限》PPT课件
若当xx0时 f(x)无限接近于某常数A 则常数A叫
做函数f(x)当xx0时的左极限 记为
•精确定义
lim
x x0
f (x) A 或f(x0)A
.
lim
x x0
f
(x)
Ae
0
d
0
当x0dxx0
有|f(x)A|<e
注: xx0 有时也记为 x x0 ,
xx0+ 有时也记为x+x0.
x0
x0
x0 x
当x0dxx0
有|f(x)A|<e
类似地可定义右极限:
lim
x x0
f (x)
A或f ( x0 )
A.
•结论
lim f (x) A lim f (x) A 且 lim f (x) A
x x0
x x0
x x0
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下页
lim f (x) A lim f (x) A 且 lim f (x) A
1
sin
lim n
1 n 1,
n
同理
lim
n
n sin
1 1, n
lim
n
n2 n
1
sin
n n2
1
1
27
注: 1. 可利用函数的极限,求数列的极限;
2. 由 子 列 极 限 不 存 在 或 不相 等 函数极限不存在.
例10 证明 limsin 1 不存在.
x0
x
分析:
limsin 1 a
二、自变量趋向无穷大时函数的极限
观察函数 sin x 当 x 时的变化趋势. x
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17
问题:函数 y f ( x) 在x 的过程中, 对应 函数值 f ( x)无限趋近于确定值 A.
年高考第一轮复习数学.新编函数的极限
13.3 函数的极限●知识梳理1.函数极限的概念：（1）如果+∞→x lim f （x ）=a 且-∞→x lim f （x ）=a ,那么就说当x 趋向于无穷大时，函数f （x ）的极限是a ,记作∞→x lim f （x ）=a ,也可记作当x →∞时，f （x ）→a.（2）一般地，当自变量x 无限趋近于常数x 0（但x 不等于x 0）时，如果函数f （x ）无限趋近于一个常数a ,就说当x 趋近于x 0时，函数f （x ）的极限是a ,记作0lim x x →f （x ）=a ,也可记作当x →x 0时，f （x ）→a .（3）一般地，如果当x 从点x =x 0左侧（即x ＜x 0）无限趋近于x 0时，函数f （x ）无限趋近于常数a ,就说a 是函数f （x ）在点x 0处的左极限，记作-→0lim x x f （x ）=a .如果从点x =x 0右侧（即x ＞x 0）无限趋近于x 0时，函数f （x ）无限趋近于常数a ,就说a 是函数 f （x ）在点x 0处的右极限，记作+→0lim x x f （x ）=a .2.极限的四则运算法则：如果0lim x x → f （x ）=a , 0lim x x →g （x ）=b ,那么lim x x →[f （x ）±g （x ）]=a ±b ; 0lim x x →[f （x ）·g （x ）]=a ·b ; 0lim x x →)()(x g x f =ba（b ≠0）. 特别提示（1）上述法则对x →∞的情况仍成立； （2）0lim x x →[Cf （x ）]=C 0lim x x →f （x ）（C 为常数）;（3）0lim x x →[f （x ）]n =[0lim x x →f （x ）]n （n ∈N *）.●点击双基1.+→0lim x x f （x ）=-→0lim x x f （x ）=a 是f （x ）在x 0处存在极限的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案:C2.f （x ）=⎩⎨⎧<≥,10,12x x x 下列结论正确的是A.)(lim 1x f x +→=-→1lim x f （x ）B.)(lim 1x f x +→=2，)(lim 1x f x -→不存在C.+→1lim x f （x ）=0, )(lim 1x f x -→不存在D.+→1lim x f （x ）≠-→1lim x f （x ）答案:D3.函数f （x ）在x 0处连续是f （x ）在点x 0处有极限的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案:A4.（2005年西城区抽样测试） 1lim →x x x x x --+222=________________.解析: 1lim →x xx x x --+222=1lim →x )1()2)(1(-+-x x x x =1lim →x x x 2+=3. 答案:35.若1lim →x 3322+++x ax x =2,则a =__________.解析: 1lim →x 3322+++x ax x =2, ∴44+a =2.∴a =4. 答案:4●典例剖析【例1】求下列各极限：（1） 2lim →x （)21442---x x ；（2）∞→x lim （))((b x a x ++－x ）；（3） 0lim→x ||x x； （4） 2πlim→x .2sin2cos cos x x x-剖析:若f （x ）在x 0处连续，则应有0lim x x → f （x ）=f （x 0）,故求f （x ）在连续点x 0处的极限时，只需求f （x 0）即可；若f （x ）在x 0处不连续，可通过变形，消去x －x 0因式，转化成可直接求f （x 0）的式子.解:（1）原式＝2lim →x 4)2(42-+-x x ＝2lim→x 21+-x =－41. （2）原式=∞→x limxab x b a x ab x b a ++++++)()(2=a +b .（3）因为+→0lim x ||x x =1,而=-→0lim x ||x x =－1，+→0lim x ||x x ≠-→0lim x ||x x , 所以0lim →x ||x x不存在．（4）原式=2πlim→x 2sin 2cos 2sin 2cos 22x x x x --＝2πlim →x （cos 2x +sin 2x ）＝2.思考讨论数列极限与函数极限的区别与联系是什么？ 【例2】 （1）设f （x ）=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+=>+→,021;)(lim ,,00,020x x f b x x bx xx 存在使的值试确定;（2）f （x ）为多项式,且∞→x lim x x x f 34)(-=1,0lim →x xx f )(=5,求f （x ）的表达式.解:（1）+→0lim x f （x ）= +→0lim x （2x +b ）=b ,-→0lim x f （x ）= -→0lim x （1+2x ）=2,当且仅当b =2时, +→0lim x f （x ）= -→0lim x f （x ）,故b =2时,原极限存在.（2）由于f （x ）是多项式,且∞→x lim xx x f 34)(-=1,∴可设f （x ）=4x 3+x 2+ax +b （a 、b 为待定系数）.又∵0lim →x xx f )(=5,即0lim →x （4x 2+x +a +xb）=5, ∴a =5,b =0,即f （x ）=4x 3+x 2+5x .评述:（1）函数在某点处有极限,与其在该点处是否连续不同. （2）初等函数在其定义域内每点的极限值就等于这一点的函数值,也就是对初等函数而言,求极限就是求函数值,使极限运算大大简化.【例3】 讨论函数f （x ）= ∞→n limnn xx 2211+-·x （0≤x ＜+∞）的连续性，并作出函数图象.部析:应先求出f （x ）的解析式，再判断连续性.解:当0≤x ＜1时，f （x ）= ∞→n lim ⋅+-nnx x 2211x =x ;当x ＞1时，f （x ）= ∞→n limnnx x 2211+-·x =∞→n lim 111122+-n nxx ·x =－x ;当x =1时，f （x ）=0.∴f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧>-=<≤).1(),1(0),10(x x x x x i ∵+→1lim x f （x ）=+→1lim x （－x ）=－1,-→1lim x f （x ）= -→1lim x x =1, ∴1lim →x f （x ）不存在.∴f （x ）在x =1处不连续，f （x ）在定义域内的其余点都连续. 图象如下图所示.评述:分段函数讨论连续性，一定要讨论在“分界点”的左、右极限，进而判断连续性. ●闯关训练 夯实基础1.已知函数f （x ）是偶函数,且-∞→x lim f （x ）=a ,则下列结论一定正确的是A. +∞→x lim f (x )=－a B. +∞→x lim f （x ）=aC. +∞→x lim f (x )=|a | D. -∞→x lim f （x ）=|a |解析：∵f （x ）是偶函数,∴f （－x ）=f （x ）. 又-∞→x lim f （x ）=a ,+∞→x lim f （－x ）=a ,f （x ）=f （－x ）,∴+∞→x lim f （－x ）= +∞→x lim f （x ）=a .答案：B2.（2004年全国Ⅱ，理2）1lim →x 54222-+-+x x x x 等于A.21B.1C.52D.41 解析:∵122lim ,52)5)(1()2)(1(542→∴++=+-+-=-+-+x x x x x x x x x x x 54222-+-+x x x x =21.答案:A3.已知函数y =f （x ）在点x =x 0处存在极限,且+→0lim x x f （x ）=a 2－2,-→0lim x x f （x ）=2a +1,则函数y =f（x ）在点x =x 0处的极限是____________.解析:∵y =f （x ）在x =x 0处存在极限,∴+→0lim x x f （x ）=-→0lim x x f （x ）,即a 2－2=2a +1.∴a =－1或a =3.∴0lim x x → f （x ）=2a +1=－1或7.答案:－1或7 4.若f （x ）=11113-+-+x x 在点x =0处连续，则f （0）=__________________.解析:∵f （x ）在点x =0处连续， ∴f （0）=0lim →x f （x ）,lim →x f （x ）= 0lim→x 11113-+-+x x= 0lim→x 1111)1(332++++++x x x =23. 答案:235.已知函数f （x ）=∞→n limnnn n xx +-22，试求:（1）f （x ）的定义域，并画出图象；（2）求--→2lim x f （x ）、+-→2lim x f （x ）,并指出2lim -→x f （x ）是否存在.解:（1）当|x |＞2时，∞→n limn n nnx x +-22=∞→n lim 1)2(1)2(+-nnxx =－1; 当|x |＜2时，∞→n lim n n n n x x +-22=∞→n lim nn x x )2(1)2(1+-=1; 当x =2时，∞→n lim nn nn x x +-22=0;当x =－2时，∞→n lim nn nn x x +-22不存在.∴f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<<-=-<>-).22(1),2(0),22(1x x x x 或∴f （x ）的定义域为{x |x ＜－2或x =2或x ＞2}. 如下图:（2）∵--→2lim x f （x ）=－1,+-→2lim x f （x ）=1.∴2lim -→x f （x ）不存在.6.设函数f （x ）=ax 2+bx +c 是一个偶函数,且1lim →x f （x ）=0,2lim -→x f （x ）=－3,求出这一函数最大值.解:∵f （x ）=ax 2+bx +c 是一偶函数, ∴f （－x ）=f （x ）, 即ax 2+bx +c =ax 2－bx +c . ∴b =0.∴f （x ）=ax 2+c .又1lim →x f （x ）= 1lim →x ax 2+c =a +c =0, 2lim -→x f （x ）=2lim -→x ax 2+c =4a +c =－3,∴a =－1,c =1.∴f （x ）=－x 2+1.∴f （x ）max =f （0）=1. ∴f （x ）的最大值为1. 培养能力7.在一个以AB 为弦的弓形中,C 为的中点,自A 、B 分别作弧AB 的切线,交于D 点,设x 为弦AB 所对的圆心角,求ABDABCx S S ∆∆→0lim.解：设所在圆圆心为O ,则C 、D 、O 都在AB 的中垂线上,∴∠AOD =∠BOD =2x.设OA =r .S △ABC =S 四边形AOBC －S △AOB =r 2sin 2x －21r 2sin x =r 2sin 2x （1－cos 2x ）,S △ABD =S 四边形AOBD －S △AOB =r 2tan 2x －21r 2sin x =r 22cos2sin 3x x.∴0lim→x ABD ABCS S ∆∆=0lim →x 2cos2sin )2cos 1(2sin322x xr xx r -=0lim→x 2cos 12cos x x +=21. 8.当a ＞0时,求0lim→x bb x a a x -+-+2222.解:原式=0lim→x ))()(())()((222222222222a a x b b x b b x b b x a a x a a x ++++-+++++-+=0lim→x ))(())((2222222222a a x b b x b b x a a x ++-+++-+=0lim→x aa xb b x ++++2222=aa bb ++|||| =⎪⎩⎪⎨⎧>≤).0(),0(0时当时当b a b b探究创新9.设f （x ）是x 的三次多项式，已知a x 2lim →=a x x f 2)(-=a x 4lim →ax x f 4)(-=1. 试求a x 3lim →ax x f 3)(-的值（a 为非零常数）.解:由于a x 2lim →ax x f 2)(-=1,可知f （2a ）=0. ①同理f （4a ）=0. ②由①②，可知f （x ）必含有（x －2a ）与（x －4a ）的因式，由于f （x ）是x 的三次多项式，故可设f （x ）=A （x －2a ）（x －4a ）（x －C ）.这里A 、C 均为待定的常数.由a x 2lim →ax x f 2)(-=1,即 =ax 2lim →A （x －4a ）（x －C ）=1,得A （2a －4a ）（2a －C ）=1,即4a 2A －2aCA =－1. ③同理，由于a x 4lim →ax x f 4)(-=1,得A （4a －2a ）（4a －C ）=1,即8a 2A －2aCA =1. ④ 由③④得C =3a ,A =221a, 因而f （x ）=221a （x －2a ）（x －4a ）（x －3a ）. ∴a x 3lim →a x x f 3)(-=a x 3lim →221a （x －2a ）（x －4a ） =221a·a ·（－a ）=－21.●思悟小结 1. ∞→x lim f （x ）=A ⇔+∞→x lim f （x ）= -∞→x lim f （x ）=A ,lim x x →f （x ）=A ⇔+→0lim x x f （x ）=-→0lim x x f （x ）=A .2.函数f （x ）在x 0处连续当且仅当满足三个条件： （1）函数f （x ）在x =x 0处及其附近有定义； （2）0lim x x →f （x ）存在；（3） 0lim x x →f （x ）=f （x 0）.3.会熟练应用常见技巧求一些函数的极限. ●教师下载中心 教学点睛1.在讲解过程中，要讲清函数极限与数列极限的联系与区别，借助于函数图象讲清连续性的意义.2.函数极限比数列极限复杂之处在于它有左、右极限，并有趋近于无穷大和趋近于常数两类，需给予关注.3.在求函数极限时，需观察，对不能直接求的可以化简后求，但提醒学生要注意类似于+∞→x limx x 12+与-∞→x lim xx 12+的区别. 拓展题例【例1】 设f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧>≤+),0(e ),0(25x k x k x x 为常数问k 为何值时，有0lim →x f （x ）存在？解: -→0lim x f （x ）=2k , +→0lim x f （x ）=1,∴要使0lim →x f （x ）存在，应有2k =1.∴k =21.【例2】 a 为常数，若+∞→x lim （12-x －ax ）=0,求a 的值.解:∵+∞→x lim （12-x －ax ）= +∞→x limaxx x a x +---112222=+∞→x limaxx x a +---11)1(222=0,∴1－a 2=0.∴a =±1.但a =－1时，分母→0, ∴a =1.。
2015年高考第一轮复习数学：13.3 导数的综合问题
13.3 导数的综合问题●知识梳理1.若函数f （x ）有导数，它的极值可在方程f '（x ）=0的根处来考查，求函数y =f （x ）的极值方法如下：（1）求导数f '（x ）；（2）求方程f '（x ）=0的根；（3）检查f '（x ）在方程f '（x ）=0的根的左右的值的符号，如果左负右正，那么函数y =f （x ）在这个根处取得极小值；如果左正右负，那么函数y =f （x ）在这个根处取得极大值.2.设y =f （x ）是一多项式函数，比较函数在闭区间［a ，b ］内所有的极值，以及f （a ）和f （b ），最大者为最大值，最小者为最小值.●点击双基1.（2004年江苏，10）函数f （x ）=x 3－3x +1在闭区间［－3，0］上的最大值、最小值分别是A.1，－1B.1，－17C.3，－17D.9，－19解析：f '（x ）=3x 2－3=0，x =±1，f （－3）=－17，f （0）=1，f（1）=－1，f （－1）=3.答案：C2.函数f （x ）=x 3－3bx +3b 在（0，1）内有极小值，则A.0<b <1B.b <1C.b >0D.b <21 解析： f '（x ）=3x 2－3b ，当b >0，0<b <1时，适合题意.答案：A3.已知f （x ）=2x 3－6x 2+m （m 为常数）在［－2，2］上有最大值3，那么此函数在［－2，2］上的最小值是A.－37B.－29C.－5D.以上都不对解析：f '（x ）=6x （x －2），f （x ）在（－2，0）上为增函数，在（0，2）上为减函数的，x =0时，f （x ）=m 最大.∴m =3，f （－2）=－37，f （2）=－5.答案：A4.已知函数y =x 3+ax 2+bx +27在x =－1处有极大值，在x =3处有极小值，则a +b =________.解析：y ′=3x 2+2ax +b ，－1、3是3x 2+2ax +b =0的两根，∴a =－3，b =－9.答案：－125.设函数f （x ）=x 3－22x －2x +5.若对任意x ∈［－1，2］，都有f （x ）>m ，则实数m 的取值范围是________.解析：f '（x ）=3x 2－x －2=0，x =1，－32， f （－1）=521，f （－32）=52722，f （1）=321，f （2）=7. ∴m <321. 答案：m ∈（－∞，27） ●典例剖析【例1】 （2004年天津，20）已知函数f （x ）=ax 3+bx 2－3x 在x =±1处取得极值.（1）讨论f （1）和f （－1）是函数f （x ）的极大值还是极小值；（2）过点A （0，16）作曲线y =f （x ）的切线，求此切线方程.剖析：（1）分析x =±1处的极值情况，关键是分析x =±1左右f '（x ）的符号.（2）要分清点A （0，16）是否在曲线上.解：（1）f '（x ）=3ax 2+2bx －3，依题意，f '（1）=f '（－1）=0，即⎩⎨⎧=--=-+.0323,0323b a b a 解得a =1，b =0.∴f （x ）=x 3－3x ，f '（x ）=3x 2－3=3（x +1）（x －1）.令f '（x ）=0，得x =－1，x =1.若x ∈（－∞，－1）∪（1，+∞），则f '（x ）＞0，故f （x ）在（－∞，－1）上是增函数，f （x ）在（1，+∞）上是增函数.若x ∈（－1，1），则f '（x ）＜0，故f （x ）在（－1，1）上是减函数.所以f （－1）=2是极大值，f （1）=－2是极小值.（2）曲线y =x 3－3x ，点A （0，16）不在曲线上，设切点M （x 0，y 0），则y 0=x 03－3x .∵f '（x 0）=3x 02－3，∴切线方程为y －y 0=3（x 02－1）（x －x 0）.代入A （0，16）得16－x 03+3x 0=3（x 02－1）（0－x 0）.解得x 0=－2，∴M （－2，－2），切线方程为9x －y +16=0.评述：过已知点求切线，当点不在曲线上时，求切点的坐标成了解题的关键.【例2】 （2004年天津，21）已知函数f （x ）=ax 3+cx +d （a ≠0）是R 上的奇函数，当x =1时，f （x ）取得极值－2.（1）求f （x ）的单调区间和极大值；（2）证明：对任意x 1、x 2∈（－1，1），不等式|f （x 1）－f （x 2）|＜4恒成立.剖析：∵x ∈R 且f （x ）是奇函数，∴f （0）=0.又x =1是极值点，∴f '（1）=0，由此可得函数的解析式.（1）解：由奇函数定义，应有f （－x ）=－f （x ），x ∈R ，－ax 3－cx +d =－ax 3－cx －d ，∴d =0.因此f （x ）=ax 3+cx ，f '（x ）=3ax 2+c .由题意知⎩⎨⎧=+-=+.03,2c a c a 解得a =1，c =－3.∴f （x ）=x 3－3x ，f '（x ）=3x 3－3=3（x －1）（x +1），f '（－1）=f '（1）=0.当x ∈（－∞，－1）时，f '（x ）＞0，故f （x ）在单调区间（－∞，－1）上是增函数，当x ∈（－1，1）时，f '（x ）＜0，故f （x ）在单调区间（－1，1）上是减函数，当x ∈（1，+∞）时，f '（x ）＞0，故f （x ）在单调区间（1，+∞）上是增函数.∴（－∞，－1）和（1，+∞）为增区间；（－1，1）为减区间，x =－1时，f （－1）=2为极大值，x =－1时，f （1）=－2为极小值.（2）f （－1）=2，f （1）=－2.∵f （x ）在（－1，1）上是减函数，∴对任意x 1、x 2∈（－1，1），有－2<f （x 1）<2，－2<f （x 2）<2，－4<f （x 1）－f （x 2）<4，即|f （x 1）－f （x 2）|<4.评述：由奇函数定义可知当x =0时，则有f （0）=0，即函数过原点.对于本题的第（2）问，用数形结合法较为直观.【例3】 设函数f （x ）=x 3+mx 2+nx +p 在（－∞，0］上是增函数，在［0，2］上是减函数，x =2是方程f （x ）=0的一个根.（1）求n 的值；（2）求证：f （1）≥2.剖析：由题知x =0是极值点，那么另一个极值点在哪儿呢?是x =2吗?不一定.会在x =2的哪一侧呢?解：（1）f '（x ）=3x 2+2mx +n .∵f （x ）在（－∞，0］上是增函数，在［0，2］上是减函数，∴当x =0时，f （x ）取到极大值.∴f '（0）=0.∴n =0.（2）∵f （2）=0，∴p =－4（m +2），f '（x ）=3x 2+2mx =0的两个根分别为x 1=0，x 2=－32m ， ∵函数f （x ）在［0，2］上是减函数，∴x 2=－32m ≥2.∴m ≤－3. ∴f （1）=m +p +1=m －4（m +2）+1=－7－3m ≥2.评述：此题学生往往错误地认为x =2是另一个极值点.再证f （1）≥2时，首先将f （1）化成关于m 的式子，知道m 的范围，便可证之.【例4】 对于函数y =f （x ）（x ∈D ）若同时满足下列两个条件，则称f （x ）为D 上的闭函数.①f （x ）在D 上为单调函数；②存在闭区间［a ，b ］⊆D ，使f （x ）在［a ，b ］上的值域也是［a ，b ］.（1）求闭函数y =－x 3符合上述条件的区间［a ，b ］；（2）若f （x ）=x 3－3x 2－9x +4，判断f （x ）是否为闭函数.剖析：这是个知识迁移题，这类问题一般是考查学生的类比猜想能力、探索问题的能力.解：（1）∵y =－x 3，∴y ′=－3x 2≤0.∴函数y =－x 3为减函数.故⎩⎨⎧==,)(,)(a b f b a f 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-.3,333a b b a ∴⎩⎨⎧-=-=.1,1b a 所求闭区间为［－1，1］. （2）f '（x ）=3x 2－6x －9.由f '（x ）≥0，得x ≥3或x ≤－1.由f '（x ）≤0，得－1≤x ≤3.∴f （x ）在定义域内不是单调函数.故f （x ）不是闭函数.评述：这类问题是近年高考命题的一个亮点，很能考查学生的分析问题、探索问题的潜在的能力.●闯关训练夯实基础1.函数y =x 4－8x 2+2在［－1，3］上的最大值为A.11B.2C.12D.10解析：y ′=4x 3－16x =4x （x 2－4）.由y ′=0及x ∈［－1，3］知x =0或x =2.根据单调性知f （x ）max =f （3）=11.答案：A2.函数f （x ）=x 3+ax 2+bx +c ，其中a 、b 、c 为实数，当a 2－3b <0时，f （x ）是A.增函数B.减函数C.常数D.既不是增函数也不是减函数解析：f '（x ）=3x 2+2ax +b ，Δ=4a 2－12b <0，∴f '（x ）>0，f （x ）是增函数.答案：A3.y =3x －x 3的极大值是________，极小值是________.解析：f （x ）在（－∞，－1）和（1，+∞）上递减，在（－1，1）上递增，f （－1）=－2为极小值，f （1）=2为极大值.答案：2 －24.（2005年北京西城区模拟题）如果函数y =f （x ）的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y =f （x ）在区间（－3，－21）内单调递增； ②函数y =f （x ）在区间（－21，3）内单调递减； ③函数y =f （x ）在区间（4，5）内单调递增；④当x =2时，函数y =f （x ）有极小值；⑤当x =－21时，函数y =f （x ）有极大值. 则上述判断中正确的是________.答案：③5.如图所示，曲线段OMB 是函数f （x ）=x 2（0<x <6）的图象，BA ⊥x 轴于A ，曲线段OMB 上一点M （t ，f （t ））处的切线P Q 交x 轴于P ，交线段AB 于Q ， （1）试用t 表示切线PQ 的方程；（2）试用t 表示△QAP 的面积g （t ），若函数g （t ）在［m ，n ］上单调递减，试求出m 的最小值.解：（1）f （x ）=2x ，∴k =2t ，切线PQ 的方程为y －t 2=2t （x －t ），即2tx －y －t 2=0.（2）由（1）可求得P （2t ，0），Q （6，12t －t 2）， ∴g （t ）=S △QAP =21（6－21t ）（12t －t 2）=41t 3－6t 2+36t （0<t <6），g ′（t ）=43t 2－12t +36.令g ′（t ）<0，得4<t <12. 考虑到0<t <6，∴4<t <6，即g （t ）的单调减区间为（4，6）. ∴m 的最小值为4.6.直线y =a 与函数f （x ）=x 3－3x 的图象有三个互不相同的公共点，求a 的取值范围.解：先求函数f （x ）的单调区间，由f '（x ）=3x 2－3=0，得x =±1.当x <－1或x >1时，f '（x ）>0；当－1<x <1时，f '（x ）<0.∴在（－∞，－1）和（1，+∞）上，f （x ）=x 3－3x 是增函数； 在（－1，1）上，f （x ）=x 3－3x 是减函数，由此可以作出f （x ）=x 3－3x 的草图（如图）.由图可知，当且仅当－2<a <2时，直线y =a 与函数f （x ）=x 3－3x 的图象有三个互不相同的公共点.培养能力7.已知函数f （x ）=4x 3+ax 2+bx +5的图象在x =1处的切线方程为y =－12x .（1）求函数f （x ）的解析式；（2）求函数f （x ）在［－3，1］上的最值.解：（1）f '（x ）=12x 2+2ax +b ，f '（1）=12+2a +b =－12. ①又x =1，y =－12在f （x ）的图象上，∴4+a +b +5=－12.②由①②得a =－3，b =－18，∴f （x ）=4x 3－3x 2－18x +5. （2）f '（x ）=12x 2－6x －18=0，得x =－1，23，f （－1）=16，f （23）=－461，f （－3）=－76，f （1）=－13. ∴f （x ）的最大值为16，最小值为－76.8.已知实数a >0，函数f （x ）=ax （x －2）2（x ∈R ）有极大值32.（1）求实数a 的值；（2）求函数f （x ）的单调区间.解：（1）∵f （x ）=ax （x －2）2=ax 3－4ax 2+4ax ，∴f '（x ）=3ax 2－8ax +4a .由f '（x ）=0，得3ax 2－8ax +4a =0.∵a ≠0，∴3x 2－8x +4=0.解得x =2或x =32. ∵a >0，∴x <32或x >2时，f '（x ）>0； 32<x <2时，f '（x ）<0.∴当x =32时，f （x ）有极大值32，即278a －916a +38a =32，∴a =27.（2）f （x ）在（－∞，32）和（2，+∞）上是增函数，在（32，2）上是减函数.9.已知f （x ）=ax 5－bx 3+c （a >0）在x =±1处有极值，且极大值为4，极小值为0，试确定a 、b 、c 的值.解：已知f （x ）=ax 5－bx 3+c ，所以f '（x ）=5ax 4－3bx 2=x 2（5ax 2－3b ）.根据题意f '（x ）=0应有根x =±1，故5a =3b .所以f '（x ）=5ax 2（x 2－1）.由上表可见⎩⎨⎧+-==++-=-=.)1(0,)1(4c b a f c b a f①+②得c =2，①－②得b =a +2.又5a =3b ，所以a =3，b =5，c =2.探究创新10.有点难度哟！（2000年全国）用总长14.8 m 的钢条作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5 m ，那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积.解：设容器底面短边长为x m ，则另一边长为（x +0.5） m ，高为4)5.0(448.14+--x x =3.2－2x （m ）.由3.2－2x >0和x >0得0<x <1.6.设容器的容积为y m 3，则有y =x （x +0.5）（3.2－2x ）（0<x <1.6），整理，得y =－2x 3+2.2x 2+1.6x .∴y ′=－6x 2+4.4x +1.6.令y ′=0，有－6x 2+4.4x +1.6=0，即15x 2－11x －4=0.解得x 1=1或x 2=－154（不合题意，舍去）.从而在定义域（0，1.6）内只有在x =1处使得y ′=0. ① ②因此，当x=1时，y取得最大值且y max=－2+2.2+1.6=1.8，这时，高为3.2－2×1=1.2.●思悟小结1.f'（x0）=0是x0为可导函数f（x）的极值点的必要不充分条件，如函数y=x3在x=0处.2.函数f（x）在极值点不一定可导，如函数y=|x|在x=0处.3.注意极值与最值的关系，理解若只有一个极值则必为最值.4.体会数形结合、函数、方程思想在本章的运用.●教师下载中心教学点睛1.导数的基本应用如下表：2.应用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系），如果函数在区间内只有一个点使f'（x）=0，此时函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值.拓展题例【例1】函数y=2x3+3x2－12x+14在［－3，4］上的最大值为________，最小值为________.解析：y′=6x2+6x－12=0.x=1，－2，f（－3）=20，f（－2）=34，f（1）=7，f（4）=142.答案：142 7【例2】设x=－2与x=4是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点.（1）求常数a、b；（2）判断x=－2，x=4是函数f（x）的极大值点还是极小值点，并说明理由.解：（1）f'（x）=3x2+2ax+b.由极值点的必要条件可知x=－2和x=4是方程f'（x）=0的两根，则a=－3，b=－24.（2）f'（x）=3（x+2）（x－4），得当x<－2时，f'（x）>0；当－2<x<4时，f'（x）<0.∴x=－2是f（x）的极大值点.当x>4时，f'（x）>0，则x=4是f（x）的极小值点.。
高三数学函数的极限函数的连续性PPT优秀课件
函数f(x)在［a，b］上连续的定义：
如果f(x)在开区间(a，b)内连续，在左端
点x=a处有 xlimaf(x)=f(a)，在右端点x=b
处有
lim
xb
f(x)=f(b),就说函数f(x)在闭区
间［a，b］上连续,或f(x)是闭区间［a，
b］上的连续函数
最大值 f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数，如果对 于任意x∈［a，b］，f(x1)≥f(x)，那么f(x)在 点x1处有最大值f(x1) 最小值 f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数，如果对 于任意x∈［a，b］，f(x2)≤f(x)，那么f(x)在 点x2处有最小值f(x2) 最大值最小值定理 如果f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数，那 么f(x)在闭区间［a，b］上有最大值和最小值
xx0
limCC
xx0
xl im x0 xx0
l i m f ( x ) a l i m f ( x ) l i m f ( x ) a
x x 0
x x 0
x x 0
其趋中近于xl xim 0x0时 f的(x左)极a限表，示当x从左侧
于xxl 0im 时x0的f(右x)极a限表示当x从右侧趋近
变量x取正值并且无限增大时，如果 函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋 向于正无穷大时，函数f(x)的极限是a
记作：lim f(x)=a，或者当x→+∞时，f(x)→a x
(2)当自变量x取负值并且绝对值无限增大时， 如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x 趋向于负无穷大时，函数f(x)的极限是a
22
例2求下列函数的极限：
lim 3x2 1 x (x 1)3
lim x2 1 x2 x2 x2
高三数学函数的极限
xx0
xx0
xx0
斤。此人最善使用的兵器是『红火瀑神天线锤』，有一身奇特的武功『银光秋妖新月头』，看家的魔法是『白金香祖龙虾理论』，另外身上还带着一件奇异的法宝『粉
烟跳妖纸篓石』。她有着浮动的暗紫色烤鸭模样的身材和变形的深灰色奶酪造型的皮肤，真的有些温柔但又有些强硬，她头上是闪光的鲜红色破钟一样的短发，戴着一
1. 对于函数极限有如下的运算法则：
如果 lim f (x) A, lim g(x) B
xxo
xxo
那么
lim[ f (x) g(x)] A B
xxo
lim[ f (x) g(x)] A B
x xo
lim f ( x ) A ( B 0) x xo g ( x) B
说明：当C是常数，n是正整数时:
边是破烂的钢灰色船尾耳朵，鼻子下面是花哨的墨紫色旗杆般的嘴唇，说话时露出肥壮的纯灰色死鬼一般的牙齿，一条很小的紫红色牙刷似的舌头似乎有点风趣但又有
些神气。她酷似亮紫色兔子样的身材的确绝对的典雅出色，脏脏的碳黑色细小拐棍造型的胡须认为很是神气飘忽不定。脏脏的暗灰色面包一样的眼罩认为很是标准又标
新立异，很小的紫红色牙刷似的舌头认为很是正点而猜疑。那一双凹露的深白色瓜秧一样的眉毛，的确绝对的富贵科学。再看女无赖契温娆嘉妖女的身形，她有着紧缩
时，函数f(x)的极限是a，记作lim f (x) a或当x→x0时
f(x)→a。
x x0
2．当x从点x0左侧（即x﹤x0）无限趋近于x0时，函数
f(x)无限趋近于一个常数a，就说a是函数f(x)在点x0处的
左极限，记作 lim f (x) a。
x
x
0
3．如果当x从点x0右侧（即x﹥x0）无限趋近于x0时，
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13.3 函数的极限●知识梳理1.函数极限的概念：（1）如果+∞→x lim f （x ）=a 且-∞→x lim f （x ）=a ,那么就说当x 趋向于无穷大时，函数f （x ）的极限是a ,记作∞→x lim f （x ）=a ,也可记作当x →∞时，f （x ）→a.（2）一般地，当自变量x 无限趋近于常数x 0（但x 不等于x 0）时，如果函数f （x ）无限趋近于一个常数a ,就说当x 趋近于x 0时，函数f （x ）的极限是a ,记作0lim x x →f （x ）=a ,也可记作当x →x 0时，f （x ）→a .（3）一般地，如果当x 从点x =x 0左侧（即x ＜x 0）无限趋近于x 0时，函数f （x ）无限趋近于常数a ,就说a 是函数f （x ）在点x 0处的左极限，记作-→0lim x x f （x ）=a .如果从点x =x 0右侧（即x ＞x 0）无限趋近于x 0时，函数f （x ）无限趋近于常数a ,就说a 是函数 f （x ）在点x 0处的右极限，记作+→0lim x x f （x ）=a .2.极限的四则运算法则：如果0lim x x → f （x ）=a , 0lim x x →g （x ）=b ,那么lim x x →[f （x ）±g （x ）]=a ±b ; 0lim x x →[f （x ）·g （x ）]=a ·b ; 0limx x →)()(x g x f =ba（b ≠0）.特别提示（1）上述法则对x →∞的情况仍成立； （2）0lim x x →[Cf （x ）]=C 0lim x x →f （x ）（C 为常数）;（3）0lim x x →[f （x ）]n =[0lim x x →f （x ）]n （n ∈N *）.●点击双基1.+→0lim x x f （x ）=-→0lim x x f （x ）=a 是f （x ）在x 0处存在极限的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案:C2.f （x ）=⎩⎨⎧<≥,10,12x x x 下列结论正确的是A.)(lim 1x f x +→=-→1lim x f （x ） B.)(lim 1x f x +→=2，)(lim 1x f x -→不存在 C.+→1lim x f （x ）=0, )(lim 1x f x -→不存在 D.+→1lim x f （x ）≠-→1lim x f （x ） 答案:D3.函数f （x ）在x 0处连续是f （x ）在点x 0处有极限的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案:A4.（2005年西城区抽样测试）1lim→x xx x x --+222=________________. 解析: 1lim →x xx x x --+222=1lim →x )1()2)(1(-+-x x x x =1lim →x x x 2+=3. 答案:35.若1lim →x 3322+++x ax x =2,则a =__________.解析: 1lim →x 3322+++x ax x =2, ∴44+a =2.∴a =4. 答案:4●典例剖析【例1】求下列各极限：（1） 2lim →x （)21442---x x ； （2）∞→x lim （))((b x a x ++－x ）；（3） 0lim→x ||x x；（4） 2πlim→x .2sin2cos cos x x x-剖析:若f （x ）在x 0处连续，则应有0lim x x → f （x ）=f （x 0）,故求f （x ）在连续点x 0处的极限时，只需求f （x 0）即可；若f （x ）在x 0处不连续，可通过变形，消去x －x 0因式，转化成可直接求f （x 0）的式子.解:（1）原式＝2lim →x 4)2(42-+-x x ＝2lim →x 21+-x =－41. （2）原式=∞→x limxab x b a x ab x b a ++++++)()(2=a +b .（3）因为+→0lim x ||x x =1,而=-→0lim x ||x x=－1，+→0lim x ||x x ≠-→0limx ||x x , 所以0lim →x ||x x不存在．（4）原式=2πlim→x 2sin 2cos 2sin 2cos 22x x x x --＝2πlim →x （cos 2x +sin 2x ）＝2.思考讨论数列极限与函数极限的区别与联系是什么？ 【例2】（1）设f（x）=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+=>+→,021;)(lim ,,00,020x x f b x x bx xx 存在使的值试确定;（2）f （x ）为多项式,且∞→x lim x x x f 34)(-=1,0lim →x xx f )(=5,求f（x ）的表达式.解:（1）+→0lim x f （x ）= +→0lim x （2x +b ）=b ,-→0lim x f （x ）= -→0lim x （1+2x ）=2,当且仅当b =2时, +→0lim x f （x ）= -→0lim x f （x ）, 故b =2时,原极限存在.（2）由于f （x ）是多项式,且∞→x lim xx x f 34)(-=1,∴可设f （x ）=4x 3+x 2+ax +b （a 、b 为待定系数）.又∵0lim→x xx f )(=5, 即0lim →x （4x 2+x +a +xb）=5, ∴a =5,b =0,即f （x ）=4x 3+x 2+5x .评述:（1）函数在某点处有极限,与其在该点处是否连续不同. （2）初等函数在其定义域内每点的极限值就等于这一点的函数值,也就是对初等函数而言,求极限就是求函数值,使极限运算大大简化.【例3】 讨论函数f （x ）= ∞→n limnn x x 2211+-·x （0≤x ＜+∞）的连续性，并作出函数图象.部析:应先求出f （x ）的解析式，再判断连续性.解:当0≤x ＜1时，f （x ）= ∞→n lim ⋅+-nnx x 2211x =x ;当x ＞1时，f （x ）= ∞→n limnnx x 2211+-·x =∞→n lim 111122+-n n xx ·x =－x ; 当x =1时，f （x ）=0.∴f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧>-=<≤).1(),1(0),10(x x x x x i ∵+→1lim x f （x ）=+→1lim x （－x ）=－1,-→1lim x f （x ）= -→1lim x x =1, ∴1lim →x f （x ）不存在.∴f （x ）在x =1处不连续，f （x ）在定义域内的其余点都连续. 图象如下图所示.评述:分段函数讨论连续性，一定要讨论在“分界点”的左、右极限，进而判断连续性.●闯关训练 夯实基础1.已知函数f （x ）是偶函数,且-∞→x lim f （x ）=a ,则下列结论一定正确的是A. +∞→x lim f (x )=－a B. +∞→x lim f （x ）=aC. +∞→x lim f (x )=|a | D. -∞→x lim f （x ）=|a |解析：∵f （x ）是偶函数,∴f （－x ）=f （x ）. 又-∞→x lim f （x ）=a ,+∞→x lim f （－x ）=a ,f （x ）=f （－x ）,∴+∞→x lim f （－x ）= +∞→x lim f （x ）=a .答案：B2.（2004年全国Ⅱ，理2）1lim →x 54222-+-+x x x x 等于A.21B.1C.52D.41 解析:∵122lim ,52)5)(1()2)(1(542→∴++=+-+-=-+-+x x x x x x x x x x x 54222-+-+x x x x =21. 答案:A3.已知函数y =f （x ）在点x =x 0处存在极限,且+→0lim x x f （x ）=a 2－2,-→0lim x x f （x ）=2a +1,则函数y =f （x ）在点x =x 0处的极限是____________.解析:∵y =f （x ）在x =x 0处存在极限,∴+→0lim x x f （x ）=-→0lim x x f （x ）,即a 2－2=2a +1.∴a =－1或a =3.∴0lim x x → f （x ）=2a +1=－1或7.答案:－1或7 4.若 f （x ）=11113-+-+x x 在点x =0处连续，则 f （0）=__________________.解析:∵f （x ）在点x =0处连续，∴f （0）=0lim →x f （x ）,lim →x f （x ）= 0lim→x 11113-+-+x x= 0lim→x 1111)1(332++++++x x x =23. 答案:235.已知函数f （x ）=∞→n limnnn n xx +-22，试求:（1）f （x ）的定义域，并画出图象； （2）求--→2lim x f （x ）、+-→2li m x f （x ）,并指出2lim -→x f （x ）是否存在.解:（1）当|x |＞2时，∞→n limn n nnx x +-22=∞→n lim 1)2(1)2(+-nnxx =－1; 当|x |＜2时，∞→n lim n n nnx x +-22=∞→n limnnx x )2(1)2(1+-=1; 当x =2时，∞→n lim nn nn x x +-22=0;当x =－2时，∞→n lim nn nn x x +-22不存在.∴f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<<-=-<>-).22(1),2(0),22(1x x x x 或∴f （x ）的定义域为{x |x ＜－2或x =2或x ＞2}. 如下图:（2）∵--→2lim x f （x ）=－1,+-→2lim x f （x ）=1.∴2lim -→x f （x ）不存在.6.设函数f （x ）=ax 2+bx +c 是一个偶函数,且1lim →x f （x ）=0,2lim -→x f（x ）=－3,求出这一函数最大值.解:∵f （x ）=ax 2+bx +c 是一偶函数, ∴f （－x ）=f （x ）, 即ax 2+bx +c =ax 2－bx +c . ∴b =0.∴f （x ）=ax 2+c .又1lim →x f （x ）= 1lim →x ax 2+c =a +c =0, 2lim -→x f （x ）=2lim -→x ax 2+c =4a +c =－3,∴a =－1,c =1.∴f （x ）=－x 2+1.∴f （x ）max =f （0）=1. ∴f （x ）的最大值为1. 培养能力7.在一个以AB 为弦的弓形中,C 为的中点,自A 、B 分别作弧AB 的切线,交于D 点,设x 为弦AB 所对的圆心角,求ABDABCx S S ∆∆→0lim.解：设所在圆圆心为O ,则C 、D 、O 都在AB 的中垂线上,∴∠AOD =∠BOD =2x.设OA =r . S △ABC =S 四边形AOBC －S △AOB =r 2sin 2x －21r 2sin x =r 2sin 2x （1－cos 2x ）,S △ABD =S 四边形AOBD －S △AOB =r 2tan 2x －21r 2sin x =r 22cos2sin 3x x .∴0lim→x ABDABC S S ∆∆=0lim→x 2cos2sin )2cos 1(2sin 322x xr xx r -=0lim →x 2cos 12cos x x +=21. 8.当a ＞0时,求0lim→x bb x a a x -+-+2222.解:原式=0lim→x ))()(())()((222222222222a a x b b x b b x b b x a a x a a x ++++-+++++-+=0lim→x ))(())((2222222222a a x b b x b b x a a x ++-+++-+=0lim→x aa xb b x ++++2222=aa bb ++|||| =⎪⎩⎪⎨⎧>≤).0(),0(0时当时当b a b b探究创新9.设f （x ）是x 的三次多项式，已知a x 2lim →=a x x f 2)(-=a x 4lim →ax x f 4)(-=1.试求a x 3lim →ax x f 3)(-的值（a 为非零常数）.解:由于a x 2l i m →ax x f 2)(-=1,可知f （2a ）=0.①同理f（4a）=0.②由①②，可知f （x ）必含有（x －2a ）与（x －4a ）的因式，由于f （x ）是x 的三次多项式，故可设f （x ）=A （x －2a ）（x －4a ）（x －C ）.这里A 、C 均为待定的常数.由a x 2lim→ax x f 2)(-=1,即a x 2lim→ax C x a x a x A 2))(4)(2(---- =ax 2lim →A （x －4a ）（x －C ）=1, 得A （2a －4a ）（2a －C ）=1, 即4a 2A －2aCA =－ 1.③同理，由于ax 4lim→ax x f 4)(-=1, 得A （4a －2a ）（4a －C ）=1, 即8a 2A －2aCA =1.④由③④得C =3a ,A =221a, 因而f （x ）=221a （x －2a ）（x －4a ）（x －3a ）. ∴a x 3lim →a x x f 3)(-=a x 3lim →221a （x －2a ）（x －4a ）=221a ·a ·（－a ）=－21. ●思悟小结1. ∞→x lim f （x ）=A ⇔+∞→x lim f （x ）= -∞→x lim f （x ）=A ,lim x x →f （x ）=A ⇔+→0lim x x f （x ）=-→0lim x x f （x ）=A .2.函数f （x ）在x 0处连续当且仅当满足三个条件： （1）函数f （x ）在x =x 0处及其附近有定义； （2）0lim x x →f （x ）存在；（3） 0lim x x →f （x ）=f （x 0）.3.会熟练应用常见技巧求一些函数的极限. ●教师下载中心 教学点睛1.在讲解过程中，要讲清函数极限与数列极限的联系与区别，借助于函数图象讲清连续性的意义.2.函数极限比数列极限复杂之处在于它有左、右极限，并有趋近于无穷大和趋近于常数两类，需给予关注.3.在求函数极限时，需观察，对不能直接求的可以化简后求，但提醒学生要注意类似于+∞→x limx x 12+与-∞→x lim xx 12+的区别. 拓展题例【例1】 设f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧>≤+),0(e),0(25x k x k x x为常数问k 为何值时，有0lim →x f （x ）存在？解: -→0lim x f （x ）=2k , +→0lim x f （x ）=1, ∴要使0lim →x f （x ）存在，应有2k =1.∴k =21. 【例2】 a 为常数，若+∞→x lim （12-x －ax ）=0,求a 的值.解:∵+∞→x lim （12-x －ax ）=+∞→x limaxx x a x +---112222=+∞→x limaxx x a +---11)1(222=0,∴1－a 2=0.∴a =±1.但a =－1时，分母→0, ∴a =1.。