D13函数的极限02951
高中数学极限知识点lim
高中数学极限知识点lim
嘿，朋友！说起高中数学里的极限知识点“lim”，那可真是一座充满挑战又藏着宝藏的大山呀！
你想啊，极限就像是一场追逐游戏。
想象一下，你在追一只跑得超快的兔子，你永远也追不上它，但你能越来越接近它，那个无限接近
却又碰不到的点，就是极限。
比如说，函数 y = 1 / x ，当 x 趋近于无穷大时，y 就趋近于 0 。
这
就好像你站在一条无限长的跑道上，越往前跑，手里的东西就变得越轻，轻到几乎感觉不到重量，那个几乎为 0 的感觉就是极限。
再看数列的极限。
就像一群小朋友排队报数，1，2，3，4……一直报下去，当报到无穷大的时候，某个和式或者乘积式会趋近于一个固
定的值，这就是数列的极限。
还有函数的极限，那简直就是数学世界里的神秘探险！比如说，f(x) = sin(x) / x ，当 x 趋近于 0 时，极限值是 1 。
这就好比是在走钢丝，越靠近那个关键的点，越要保持平衡，找到那个稳定的结果。
计算极限也有不少技巧呢！比如等价无穷小替换，这就像是找到了一把神奇的钥匙，能轻松打开难题的大门。
可别小看了极限，它在数学的各个领域都大显身手。
就像盖房子的基石，没有它，好多高楼大厦都建不起来。
在解决实际问题中，极限也能帮大忙。
比如在物理学中计算瞬时速度，不就是通过极限的思想来搞定的吗？
学极限可不能怕吃苦，得像个勇敢的探险家，不怕困难，勇往直前。
多做练习题，多思考，多总结，你就会发现，原来极限也没那么可怕，反而充满了乐趣和惊喜！
所以啊，朋友们，好好掌握极限这个知识点，让它成为你数学世界
里的得力助手，帮你攻克一个又一个难题，开启数学的奇妙之旅！。
D无穷小无穷大D极限运算法则
xx0
x x0时的无穷小量.
定理2 有限个无穷小的代数和是无穷小.
★定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
推论1 常数与无穷小之积为无穷小. 推论2 有限个无穷小之积为无穷小.
高等数学（上）
3/36
定义2 若任给 M >0, 总存在 (正数X), 使对
x x0
u
高等数学（上）
14/36
1.直接利用极限运算法则
例1 计算lim(3x2 2x 1). x1
例2
计算 lim x0
x2 x2
1. 1
高等数学（上）
15/36
小结 代入法
x x0时, 初等函数f (x)的极限,只要 f (x0 )有意义,均可代入．
例如
lim arctan
(1) lim(u v) limu limv A B; (2) lim(uv) (limu)(lim v) AB; (3) lim(u / v) (limu) /(lim v) A / B(B 0).
★注意 使用运算法则前提,参与运算的极限都存在.
高等数学（上）
1
1
1
1
(5) lim(u m ) (lim u)m Am (m N,且Am有意义);
(6) lim(uV ) (lim u)limV AB (要求结果有意义).
高等数学（上）
13/36
定理2 设y f [(x)] 是由y f (u)与 u (x) 复合而成,
。
高等数学（上）
★一般有如下结果：
lim
x
a0 xm b0 xn
函数不定式极限的洛必达法则
函数不定式极限的洛必达法则需要熟记的几个重要极限：11()11limlim0,lim lim 0,(1)limlim,(0)11lim (1)lim (1)lim (1)lim (1())=,(lim ()0)sin sin ()limlim1,()n x nxn x n x nxx n x x x x x nxq q q an b ax b a c cn dcx dcx e x nxx x xx ϕαααϕϕϕϕ→∞→+∞→∞→+∞→∞→+∞→∞→∞→∞→∆→∆→→∆====<++==≠+++=+=+=+===只需满足(lim ()0)x x ϕ→∆=只需满足需要知道的极限四则运算法则： 设0lim (),lim ().x x x x f x A g x B →→==则（1）0lim ()lim ()x x x x pf x p f x pA →→==（2）0lim [()()]lim ()lim ().x x x x x x pf x qg x p f x q g x pA qB →→→±=±=±（3）0lim [()()]lim ()lim ().x x x x x x pf x qg x p f x q g x pqAB →→→⋅=⋅=（4）0lim ()()lim,(0)()lim ()x x x x x x p f x A pf x pA qB qg x q g x BqB→→→==≠当时注：上式不仅对0x x →这种类型的极限成立，它对于x →∞，x →+∞，x →-∞，0x x +→，0x x -→这些类型的极限也都成立。
另外，它对数列极限也实用。
需要知道的定理:1.若函数f 在点0x 连续，00lim ()()x x f x f x →=2.若函数f 在点0x 连续，g 在点0u 连续，则复合函数g f 在点0x 连续。
用极限来表述就是如下：0lim (())(lim ())(())x x x x g f x g f x g f x →→==注：若复合函数g f 的内函数f 当0x x →时极限为a ，而0()a f x ≠或f 在点0x 处无定义（即0x 为f 的可去间断点），又有外函数g 在点a 连续，则我们仍可用上述定理来求复合函数的极限，即有lim (())(lim ())x x x x g f x g f x →→=上式不仅对0x x →这种类型的极限成立，它对于x →∞，x →+∞，x →-∞，0x x +→，0x x -→这些类型的极限也都成立。
高等数学(第二版)上册课件：函数的极限
定理1.5（唯一性） 若极限 lim f x 存在，则其
极限是唯一的.
如 lim2x 1 3 x1
定义1.8 在 x x（0 或 x ）的过程中，若M 0,
使 x U x0 （或 x X ）时， f x M，则称 f x
是 x x（0 或 x ）时的有界变量.
定理1.6 若极限 lim f x 存在，则 f x是该极限过程
趋近于某个确定的常数A，则称当 x x
时函数 f x 的极限为A.
记作 lim f x A ( lim f x A)
x
x
考查 f x 2x 的图像，问lim 2x , lim 2x ,lim 2x 是否存在？ x x x
当 x 时，f x arctan x 是否有极限？为什么？
时都有不等式 f x A 成立，则称常数A为函数 f x
当 x x0 时的极限，记为
lim
xx0
f
x
A 或者
f
x
Ax
x0
lim f x A 的几何意义：
xx0
对于任意的正数 ，存在正数 ，当点 x, f x 的横坐标
x 落入 x0 的去心领域 x0 , x0 x0, x0 之内时，纵
函数值无限接近一个常数的情形与数列极限类似. 所不同的是，自变量的变化可以是连续的.
有时，当 x 和 x 时，函数 f x
无限趋近的常数不同.
例如反正切函数 f x arctan.x
lim arctan x
x
2
,
lim arctan x
x
ห้องสมุดไป่ตู้
2
故有下列定义
定义1.5 如果当x x 时，函数 f x
1-3函数极限zhm
例：求 lim arctan 1 .
x0
x
1
例：求 lim e x . x0
思考题
x
sin
1 x
,
试问函数 f ( x) 10,
5 x2 ,
x0 x 0 在x 0处
x0
的左、右极限是否存在？当 x 0时， f ( x) 的
极限是否存在？
思考题解答
lim f ( x) lim (5 x2 ) 5,
n
x n n
而 lim sin 1 lim sin 4n 1
n
xn n
2
lim1 1, n
二者不相等, 故 lim sin 1 不存在.
x0
x
思考题：证明：当x 时，cos x，sin x没有极限.
五、小结
函数极限的统一定义
lim f (n) A;
。
推论1
若 lim x x0
f
(x)
A,且
0,当x U ( x0 ,
)时,
f ( x) 0(或f ( x) 0),则A 0(或A 0).
推论2(保序性) 设 lim f ( x) A, lim g( x) B,且A B
x x0
x x0
。
则 0,x U ( x0, ),有f ( x) g( x).
x从右侧无限趋近x0 , 记作x x0 0;
左极限 设f ( x)在( x0 , x0 )内有定义，对 0,
0,使当x0 x x0时,恒有 f ( x) A ,
则称A是f ( x)在x0处的左极限.
记作 lim x x0 0
高数极限1-2pdf
函数的极限
无限增大. 用数学语言刻划 无限接近、 无限接近、
f ( x ) − A < ε 表示 f ( x ) − A 任意小; x > X 表示 x → ∞的过程 .
1. 定义 定义 (ε − X ) 设f ( x )在 | x |> a上有定义 .若 ∀ε > 0,
∃X > 0, 使得当 | x |> X时, 恒有 X ≥a | f ( x ) − A |< ε
则称x → ∞时函数 f ( x )有极限 A,记作
lim f ( x ) = A, 或 f ( x ) → A( x → ∞ ). x→∞
→∞
函数的极限
2. 另两种情形
(1) x → +∞ 情形 : lim f ( x ) = A
x → +∞
设f ( x )在x > a上有定义 . ∀ε > 0, ∃X > 0,
证略。（ 证略。（P8）
函数 f ( x ) 在点 x0 处极限存在的充要条件 为 : f ( x ) 在点 x0 处的左右极限都存在且 相 等。
性质常用于判断分段函数 性质常用于判断分段函数当 分段函数当x趋近于 分段点 分段点 时的极限.
函数的极限
例
x 试证函数 f ( x ) = sin x 当x → 1时, 无极限 .
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函数的极限
一、函数在一点 函数在一点(one-point)的极限
用数学语言刻划 x → x0 , 函数f ( x ) 无限接近 于确定值A.
f ( x ) − A < ε 表示 f ( x ) − A 任意小;
0 < x − x0 < δ 表示x → x0的过程 . x ≠ x0 δ U ( x0 , δ ) δ
1-3'函数的极限
lim (x +1) = 2
y
y
x +1 x ≥1 y = x −1 x <1
o x
o
1
xห้องสมุดไป่ตู้
x2 −1 lim =2 x→ x −1 1
lim f (x) = 不存在
x→ 1
y
o
x
1 lim = ∞ (不存在) x→0 x
左右极限(单侧极限 单侧极限) 三、左右极限 单侧极限
x → x0 时,
lim 定理3.2 x→x f ( x) = A 的充分必要条件是 定理
0
x→x0
lim f ( x) = lim f ( x) = A 或 + −
x→0
+ − f ( x0 ) = f ( x0 ) = A
定理2.2 又提供了讨论分段函数在分段点 0处是否 又提供了讨论分段函数在分段点x 定理 存在极限的方法. 存在极限的方法
y
1 y= 2 x +1
y
o
x
o
x
x→+∞
lim arctgx =
π
2
1 lim 2 =0 x→+∞ x + 1
2
x→−∞
lim arctgx = −
x→∞
π
1 lim 2 =0 x→−∞ x + 1
limarctgx不存在
1 lim 2 =0 x→∞ x + 1
容易得到以下结论:
x→∞
lim f (x) = A的充分必要条件是
x→+∞
lim f (x) = lim f (x) = A.
x→−∞
若lim f (x) = A, 则称直线y = A是曲线 = f (x)的 y
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定义1 . 设函数 f (x) 在点 x 0 的某去心邻域内有定义 ,
若 0,0,当 0xx0时, 有 f(x)A
则称常数 A 为函数 f ( x)当 x x0 时的极限, 记作
limf(x)A或 f(x ) A ( 当 x x 0 )
xx0
即 limf(x)A
xx0
0, 0,当 x(x0, )
例4.
证明:
当
x0
0
时
limx
xx0
x0.
证:
f(x)A x x0
x x0 x x0
1 x0
xx0
0,欲使 f(x)A,只要 xx0x0,且
x0. 而 x0可用 xx0x0保证 . 故取
m x 0 i,n x 0 ,则当 0xx0时, 必有
因此
x x0
lim x
xx0
x0
o x x0
因此
lim (2x1)1
x 1
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例3. 证明 limx2 1 2 x1 x 1
证: f(x)A x2 1 2 x12 x1 x 1
故 0, 取 , 当 0x1时 , 必有
x2 1 2
x 1
因此
limx2 1 2 x1 x 1
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当 A > 0 时, 取正数 A,
(< 0)
(A)
则在对应的邻域 (x0 , ) 上
y
A
A
A
y f (x)
f(x)0. ( 0)
x 0 x 0 x0 x
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推论:
若
lim f(x)A0,
x x0
则存在
(x0
,
),
使当
x(x0,)时, 有
f (x) A . 2
(P37 推论)
时, 有 f(x)A
几何解释:
y
A
A
A
y f (x)
这表明:
极限存在 函数局部有界
x 0 x 0 x0 x
(P36定理2)
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注意：
1.函数极 f(x)限 在x 与 点 0是否有定 ; 义无
2.与任意给定的 有正 关 . 数
例1. 证明 limCC(C为常)数
xx0
问题:函数 y f (x) 在 x x0 的过程中,对应函
数值 f (x) 无限趋近于确定值 A.
f(x ) A 表 示 f(x ) A 任 意 小 ;
0 x x 0表 示 x x 0 的 过 程 .
x0
x0
x0
x
点 x0的 去 心 邻 域 , 体 现 x接 近 x0程 度 .
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分析:
A f(x ) A
若取
A 2
,
则在对应的邻域 (x0 , ) 上
A0:
A f(x)3A
2
2
A0:
3A
A
f(x)
2
2
y
A
A
A
x0
y f (x)
x 0 x0 x
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定理 5 . 若在 x 0 的某去心邻域内 f (x)0, 且
limf(x)A,则 A0.
xx0
0 |xx0|
| f(x)|M
3. 保号性定理
定理4
.
若
limf(x)A,且
xx0
(
A A
> <
0 0
, )
则存在
(x0 ,
),
使x当 (x0,)时 , f(x)0. (P37定理3)
(f(x)0)
证:
已知 limf(x)A,即
xx0
0,
(x0
,
),当
x(x0,) 时, 有 A f(x ) A .
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左极限与右极限
左极限 :
f
(x0
)
lim
xx0
f
(x)
A
0, 0, 当 x(x0,x0)
时, 有 f(x)A.
右极限 :
f
(x0
)
lim
xx0
f
(x)
A
0, 0, 当 x(x0,x0)
时, 有 f(x)A.
定理 1.
limf (x)A
xx0
lim f(x)lim f(x)A
x
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2.单侧极限:
例如,
设
f
1 x,
(
x)
x2
1,
证明lim f (x) 1. x0
x0 x0
y
y1x
yx2 1
1
o
x
分 x 0 和 x 0 两 种 情 况 分 别 讨 论
x从 左 侧 无 限 趋 近 x0,记作xx0;
x从 右 侧 无 限 趋 近 x0, 记作xx0;
x x0
x x0 ( P38 题8 )
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例5. 设函数
f (x) x01,, x1,
x0 x0 x0
y
y x1
1
o1
x
y x1
讨论 x0时 f ( x) 的极限是否存在 .
解: 利用定理 1 . 因为
lim f (x) lim(x1)1
x0
x0
lim f (x) lim(x1) 1
x0
x0
显然 f(0)f(0), 所以 lim f (x) 不存在 .
x 0
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2、函数极限的性质
1.唯一性
定理 2 若极limf (x) 存在,则极限唯一. x x0
2.函数极限的局部有界性
定理 3 若在某个过程下, f ( x)有极限,则存在过程
的一个时刻,在此时刻以后 f ( x)有界.
第三节 函数的极限
第一章
对 yf(x),自变量变化过程的六种形式:
(1) x x0 (2) xx0 (3) xx0
本节内容 :
(4) x (5) x (6) x
一、自变量趋于有限值时函数的极限
二、自变量趋于无穷大时函数的极限
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一、自变量趋于有限值时函数的极限
1. xx0 时函数极限的定义
(f(x)0)
xx0
(A0)
证: 用反证法. 当f(x)0时,假设 A < 0 , 则由定理 4,
存在 x 0 的某去心邻域 , 使在该邻域内 f(x)0, 与已知
条件矛盾, 所以假设不真, 故 A 0. (同样可证 f (x)0 的情形)
思考: 若定理 2 中的条件改为 f (x)0,是否必有 A0? 不能! 如 lim x2 0
证:
f(x)A CC 0
故 0, 对任意的 0, 当 0xx0时 ,
总有 因此
CC0
limCC
xx0
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例2. 证明 lim (2x1)1
x 1
证: f(x)A (2x1)12x1
0,欲使
只要 x12,
取 2, 则当 0x1 时 , 必有
f(x ) A ( 2 x 1 ) 1
x0
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4. 函数极限与数列极限的关系
定理6.
limf (x)A
xx0
xn: xn x0, f (xn ) 有定义,
xn x0(n ),有
limf
n
(xn)A
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定理6. limf(x)A