2020届北京市东城区高三上学期期末数学试题(解析版)
2020届北京市东城区高三上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}|1A x x =≤，{|(2)(1)0}B x x x =-+<，那么A B =I （ ） A ．{}|12x x -<< B ．{}|11x x -≤< C ．{}|12x x ≤< D ．{}|11x x -<≤【答案】D【解析】求得集合{|12}B x x =-<<，结合集合的交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合{|(2)(1)0}{|12}B x x x x x =-+<=-<<， 所以A B =I {}|11x x -<≤. 故选：D . 【点睛】本题主要考查了集合的交集的运算，其中解答中正确求解集合B ，结合集合交集的概念及运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2．复数在复平面内的对应点位于（ ）A ．第一象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第四象限【答案】B【解析】先化简复数，再计算对应点坐标，判断象限. 【详解】，对应点为，在第三象限.故答案选B 【点睛】本题考查了复数的坐标表示，属于简单题.3．下列函数中，是偶函数，且在区间()0,∞+上单调递增的为（ ） A ．1y x=B ．ln ||y x =C ．2x y =D ．1||y x =-【答案】B【解析】结合函数的单调性与奇偶性的定义与判定方法，以及初等函数的性质，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，对于A 中，函数()()1f x f x x-=-=-，所以函数为奇函数，不符合题意；对于B 中，函数()ln ||f x x =满足()()ln ||ln ||f x x x f x -=-==，所以函数为偶函数，当0x >时，函数ln y x =为()0,∞+上的单调递增函数，符合题意；对于C 中，函数2xy =为非奇非偶函数，不符合题意；对于D 中，1||y x =-为偶函数，当0x >时，函数1y x =-为单调递减函数，不符合题意， 故选：B . 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和函数的单调性的判定与应用，其中解答中熟记函数的单调性与奇偶性的判定方法，以及初等函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.4．设,a b 为实数，则“0a b >>”是“a b ππ>”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据函数()xf x π=为单调递增函数，结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由题意，函数()xf x π=为单调递增函数，当0a b >>时，可得()()f a f b >，即a b ππ>成立，当a b ππ>，即()()f a f b >时，可得a b >，所以0a b >>不一定成立， 所以“0a b >>”是“a b ππ>”的充分而不必要条件. 故选：A . 【点睛】本题主要考查了指数函数的性质，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记指数函数的性质，以及熟练应用充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于中档题.5．设α，β是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，则下列结论中正确的是（ ）A ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αB ．若αβ⊥，m α⊥，n β⊥，则m n ⊥C ．若//n α，m n ⊥，则m α⊥D ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n【答案】B【解析】根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，对于A 中，若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n ⊂α，所以不正确；对于C 中，若//n α，m n ⊥，则m 与α可能平行，相交或在平面α内，所以不正确； 对于D 中，若//αβ，m α⊂，n β⊂，则m 与n 平行、相交或异面，所以不正确； 对于B 中，若αβ⊥，m α⊥，n β⊥，，根据线面垂直的性质，可证得m n ⊥成立， 故选：B . 【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题. 6．从数字1，2，3，4，5中，取出3个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于6，这样的三位数的个数为（ ） A ．7 B ．9 C ．10 D ．13【答案】C【解析】由题意，把问题分为三类：当三个数分别为1,1,4，1,2,3，2,2,2三种情况，结合排列、组合和计数原理，即可求解. 【详解】从数字1，2，3，4，5中，取出3个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于6，可分为三类情况：（1）当三个数为1,1,4时，共有133C =种排法； （2）当三个数为1,2,3时，共有336A =种排法；（3）当三个数为2,2,2时，只有1中排法，由分类计数原理可得，共有36110++=种不同排法，即这样的数共有10个.故选：C . 【点睛】本题主要考查了计数原理与排列、组合的应用，其中解答中认真审题，合理分类，结合计数原理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 7．设α，β是三角形的两个内角，下列结论中正确的是（ ）A ．若2παβ+<，则sin sin αβ+<B ．若2παβ+<，则cos cos αβ+<C ．若2παβ+>，则sin sin 1αβ+> D ．若2παβ+>，则cos cos 1αβ+>【答案】A【解析】结合三角恒等变换的公式，以及合理利用赋值法，逐项判定，即可求解得到答案. 【详解】对于A 中，因为2παβ+<，则0,24424αβππαβπ+-<<-<<又由sin sin 2sin cos2sincos22422αβαβπαβαβαβ+---+=<=≤所以sin sin αβ+<对于B 中，例如,66ππαβ==，此时coscos66ππ+=>所以cos cos αβ+<对于C 中，因为2παβ+>，例如5,612ππαβ==时，5611sinsin 2124ππ+=+<， 所以sin sin 1αβ+>不正确；对于D 中，因为2παβ+>，例如2,36ππαβ==时，1cos c 23os 1622ππ+=-+<， 所以cos cos 1αβ+>不正确， 故选：A . 【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的应用，以及三角函数值的应用，其中解答熟记三角恒等变换的公式，以及合理利用赋值法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8．用平面截圆柱面，当圆柱的轴与α所成角为锐角时，圆柱面的截面是一个椭圆，著名数学家Dandelin 创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于α的上方和下方，并且与圆柱面和α均相切.给出下列三个结论：①两个球与α的切点是所得椭圆的两个焦点；②若球心距124O O =3，则所得椭圆的焦距为2； ③当圆柱的轴与α所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大. 其中，所有正确结论的序号是（ ） A ．① B ．②③C ．①②D ．①②③【答案】C【解析】设圆柱的底面半径为R ，根据题意分别求得b R =，sin R a α=，tan ROC α=，结合椭圆的结合性质，即可求解. 【详解】由题意，作出圆柱的轴截面，如图所示，设圆柱的底面半径为R ，根据题意可得椭圆的短轴长为22b R =，即b R =，长轴长为22sin R a α=，即sin Ra α=， 在直角1O OC ∆中，可得1tan O C OC α=，即1tan tan O C ROC αα==，又由22222222211tan tan sin R R OC b R R ααα⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭， 即222OC b a +=，所以222OC a b =-，又因为椭圆中222c a b =-，所以OC c =，即切点为椭圆的两个交点，所以①是正确的；由124O O =，可得12O O =33R = 在直角1O OC ∆中，2222212(3)1OC OO R =-=-=，由①可知，即1c =，所以22c =，即椭圆的焦距为2，所以②是正确的；由①可得sin R a α=，tan Rc α=，所以椭圆的离心率为sin tan cos tan sin Rc e R a ααααα====， 所以当当圆柱的轴与α所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率变小，所以③不正确.故选：C【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质及其应用，其中解答中认真审题，合理利用圆柱的结构特征，以及椭圆的几何性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.二、填空题9．若双曲线221x y m -=与22132x y -=有相同的焦点，则实数m =_________.【答案】4【解析】结合双曲线的几何性质，得到132m +=+，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，双曲线221x y m -=与22132x y -=有相同的焦点，可得132m +=+，解得4m =. 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及几何性质的应用，其中解答中熟练应用双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.10．已知{}n a 是各项均为正的等比数列，n S 为其前n 项和，若16a =，2326a a +=，则公比q =________，4S =_________.【答案】12 454【解析】根据等比数列的通项公式，得到2210q q +-=，求得12q =再由等比数列的前n 项和公式，求得4S ，得到答案. 【详解】由题意，在数列{}n a 是各项均为正的等比数列，因为16a =，2326a a +=，可得221126126a q a q q q +=+=，即2210q q +-=，解得12q =或1q =-（舍去）， 又由等比数列的前n 项和公式，可得4416[1()]4521412S ⋅-==-. 故答案为：12，454. 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，以及等比数列前n 项和公式的应用，其中解答中熟练等比数列的通项公式和前n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11．能说明“直线0x y m -+=与圆22420x y x y ++-=有两个不同的交点”是真命题的一个m 的值为______. 【答案】0【解析】根据直线与圆相交，利用圆心到直线的距离小于圆的半径，得到<m 的取值范围，即可求解.【详解】由题意，圆22420x y x y ++-=的圆心坐标为(2,1)-，半径为r =若直线0x y m -+=与圆22420x y x y ++-=有两个不同的交点，<33m <<+所以命题为真命题的一个m 的值为0. 故答案为：0.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系，列出不等式求得m 的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.12．在平行四边形ABCD 中，已知AB AC AC AD ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，||4AC =u u u r ，||2BD =u u u r ，则四边形ABCD 的面积是_______. 【答案】4【解析】由AB AC AC AD ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，根据向量的线性运算，得到AC BD ⊥uuu r uu u r，进而得到四边形ABCD 是菱形，即可求得四边形的面积，得到答案. 【详解】由题意，在平行四边形ABCD 中， AB AC AC AD ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，可得()0AB AC AC AD AB AC BD ⋅=⋅-=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以AC BD ⊥uuu r uu u r所以四边形ABCD 是菱形，又由||4AC =u u u r ，||2BD =u u u r ，所以面积为14242S =⨯⨯=.故答案为：4. 【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，向量的数量积的应用，以及菱形的面积的计算，其中解答熟练应用向量的减法运算公式，以及向量的数量积的公式，求得四边形为菱形是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.13．已知函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>，曲线()y f x =与直线y =在相邻两个交点间的距离为6π，则ω的所有可能值为__________． 【答案】2或10【解析】令2sin()x ωϕ+=2,3x k k Z πωϕπ+=+∈或22,3x k k Z πωϕπ+=+∈， 根据存在相邻两个交点间的距离为6π，得到2136x x w ππ-==或21536x x w ππ-==，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>，曲线()y f x =与直线y =令2sin()x ωϕ+=sin()2x ωϕ+=， 解得2,3x k k Z πωϕπ+=+∈或22,3x k k Z πωϕπ+=+∈， 由题意存在相邻两个交点间的距离为6π，结合正弦函数的图象与性质， 可得2122(),33k w x x k Z πππ-+=-∈，令0k =，可得2136x x w ππ-==，解得2w =. 或21722(),33k w x x k Z πππ-+=-∈，令0k =，可得21536x x w ππ-==，解得10w =. 故答案为：2或10. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，以及三角方程的求解，其中解答中熟练应用三角函数的图象与性质，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理能力与计算鞥能力，属于中档试题.14．将初始温度为0C ︒的物体放在室温恒定为30C ︒的实验室里，现等时间间隔测量物体温度，将第n 次测量得到的物体温度记为n t ，已知10t C =︒.已知物体温度的变化与实验室和物体温度差成正比（比例系数为k ）.给出以下几个模型，那么能够描述这些测量数据的一个合理模型为__________：（填写模型对应的序号） ①130n n n kt t t +-=-；②()130n n n t t k t +-=-；③()130n n t k t +=-.在上述模型下，设物体温度从5C ︒升到10C ︒所需时间为min a ，从10C ︒上升到15C ︒所需时间为min b ，从15C ︒上升到20C ︒所需时间为min C ，那么a b 与bc的大小关系是________（用“>”，“=”或“<”号填空） 【答案】② >【解析】由温度的变化与实验室和物体温度差成正比（比例系数为k ），即可得到()130n n n t t k t +-=-，再根据函数模型，分别求得k 的值，结合作差比较，即可得到答案. 【详解】由题意，将第n 次测量得到的物体温度记为n t ，则两次的体温变化为1n n t t +-， 又由温度的变化与实验室和物体温度差成正比（比例系数为k ），所以()130n n n t t k t +-=-，当物体温度从5C ︒升到10C ︒所需时间为min a ，可得()105305k -=-，可得51255k ==， 当物体温度从10C ︒上升到15C ︒所需时间为min b ，可得()15103010k -=-，可得14k =， 当物体温度从15C ︒上升到20C ︒所需时间为min c ，可得()20153015k -=-，可得13k =，可是111,,,0543a mb mc m m ===>，又由222221111111()5341516151601111431212b c m m m m m a ac b b bc m m m ⨯-----====>⨯， 即a b 与b c 的大小关系是a b >b c . 故答案为：② ，>【点睛】本题主要考查了函数的模型的选择，以及实际应用问题的求解，其中解答中认真审题，正确理解题意，选择适当的函数模型是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.三、解答题15．在ABC ∆中，已知sin cos 0c A C +=. （1）求C ∠的大小；（2）若2b =，c =，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）23C π∠=（2【解析】（1）由正弦定理可得sin sin sin 0C A C A +=，求得sin 0C C +=，即可求解C ∠的大小；（2）由正弦定理，可得1sin 2B =，得到6B π∠=，进而得到6A B C ππ∠=-∠-∠=，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）因为sin cos 0c A C =，由正弦定理可得sin sin sin 0C A C A +=，又因为(0,)A π∈，所以sin 0A >，所以sin 3cos 0C C +=，即tan 3C=-， 又因为0C π<<，所以23C π∠=. （2）由正弦定理，可得32sin 12sin 223b C B c ⨯===， 又因为03B π<<，所以6B π∠=，所以6A B C ππ∠=-∠-∠=.所以ABC ∆的面积111sin 2233222S bc A ==⨯⨯⨯=. 【点睛】 本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.16．2019年6月，国内的5G 运营牌照开始发放.从2G 到5G ，我们国家的移动通信业务用了不到20年的时间，完成了技术上的飞跃，跻身世界先进水平.为了解高校学生对5G 的消费意愿，2019年8月，从某地在校大学生中随机抽取了1000人进行调查，样本中各类用户分布情况如下：用户分类预计升级到5G 的时段 人数 早期体验用户2019年8月至2019年12月 270人 中期跟随用户2020年1月至202l 年12月 530人 后期用户2022年1月及以后 200人我们将大学生升级5G 时间的早晚与大学生愿意为5G 套餐支付更多的费用作比较，可得出下图的关系（例如早期体验用户中愿意为5G 套餐多支付5元的人数占所有早期体验用户的40%）.（1）从该地高校大学生中随机抽取1人，估计该学生愿意在2021年或2021年之前升级到5G 的概率；（2）从样本的早期体验用户和中期跟随用户中各随机抽取1人，以X 表示这2人中愿意为升级5G 多支付10元或10元以上的人数，求X 的分布列和数学期望；（3）2019年底，从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G 套餐，能否认为样本中早期体验用户的人数有变化？说明理由.【答案】（1）0.8（2）详见解析（3）事件D 虽然发生概率小，但是发生可能性为0.02，所以认为早期体验用户没有发生变化，详见解析【解析】（1）由从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前升级到5G ，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解；（2）由题意X 的所有可能值为0,1,2，利用相互独立事件的概率计算公式，分别求得相应的概率，得到随机变量的分布列，利用期望的公式，即可求解.（3）设事件D 为“从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G 套餐”，得到七概率为()P D ，即可得到结论.【详解】（1）由题意可知，从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前升级到5G 的概率估计为样本中早期体验用户和中期跟随用户的频率，即2705300.81000+=. （2）由题意X 的所有可能值为0,1,2，记事件A 为“从早期体验用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G 多支付10元或10元以上”，事件B 为“从中期跟随用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G 多支付10元或10元以上”，由题意可知，事件A ，B 相互独立，且()140%0.6P A =-=，()145%0.55P B =-=，所以(0)()(10.6)(10.55)0.18P X P AB ===--=，(1)()()()P X P AB AB P AB P AB ==+=+()(1())(1()()P A P B P A P B =-+- 0.6(10.55)(10.6)0.55=⨯-+-⨯0.49=，(2)()0.60.550.33P X P AB ===⨯=，所以X 的分布列为X0 1 2 P0.18 0.49 0.33故X 的数学期望()00.1810.4920.33 1.15E X =⨯+⨯+⨯=.（3）设事件D 为“从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G 套餐”，那么327031000()0.02C P D C =≈. 回答一：事件D 虽然发生概率小，但是发生可能性为0.02，所以认为早期体验用户没有发生变化.回答二：事件D 发生概率小，所以可以认为早期体验用户人数增加.【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列，数学期望的求解及应用，对于求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可能取值，计算得出概率，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望，其中列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题.17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，12AA AB BC ===.（1）求证：1BC ⊥平面11A B C ；（2）求异面直线1B C 与1A B 所成角的大小；（3）点M 在线段1B C 上，且11((0,1))B M B Cλλ=∈，点N 在线段1A B 上，若MN ∥平面11A ACC ，求11A N A B的值（用含λ的代数式表示）. 【答案】（1）证明见解析（2）3π（3）1λ- 【解析】（1）根据三棱柱111ABC A B C -的结构特征，利用线面垂直的判定定理，证得11A B ⊥平面11B BCC ，得到111A B BC ⊥，再利用线面垂直的判定定理，即可证得1BC ⊥平面11A B C ；（2）由（1）得到AB BC ⊥，建立空间直角坐标系B xyz -，求得向量11,B C A B u u u r u u u r ，利用向量的夹角公式，即可求解.（3）由11B M B C λ=，得(2,0,22)M λλ-，设11A N A Bμ=，得(0,22,22)N μμ--，求得向量MN u u u u r 的坐标，结合//MN 平面11A ACC ，利用0MN n ⋅=u u u u r r，即可求解.【详解】（1）在三棱柱111ABC A B C -中，由1BB ⊥平面ABC ，所以1BB ⊥平面111A B C ， 又因为1BB ⊂平面11B BCC ，所以平面11B BCC ⊥平面111A B C ，交线为11B C . 又因为AB BC ⊥，所以1111A B B C ⊥，所以11A B ⊥平面11B BCC .因为1BC ⊂平面11B BCC ，所以111A B BC ⊥又因为12BB BC ==，所以11B C BC ⊥，又1111A B B C B =I ，所以1BC ⊥平面11A B C .（2）由（1）知1BB ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，如图建立空间直角坐标系B xyz -， 由题意得()0,0,0B ，()2,0,0C ，()10,2,2A ，()10,0,2B .所以()12,0,2B C =-u u u r ，()10,2,2A B =--u u u r .所以()1111111cos ,2||||A B B C A B B C BA B C ⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 故异面直线1B C 与1A B 所成角的大小为3π.（3）易知平面11A ACC 的一个法向量()1,1,0n =r， 由11B M B Cλ=，得(2,0,22)M λλ-. 设11A N A Bμ=，得(0,22,22)N μμ--，则(2,22,22)MN λμλμ=---u u u u r 因为//MN 平面11A ACC ，所以0MN n ⋅=u u u u r r， 即(2,22,22)(1,1,0)0λμλμ---⋅=，解得1μλ=-，所以111A N A Bλ=-.【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.18．已知函数321()3()3f x x x ax a =--∈R . （1）若()f x 在1x =-时，有极值，求a 的值；（2）在直线1x =上是否存在点P ，使得过点P 至少有两条直线与曲线()y f x =相切？若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）1a =-（2）不存在，详见解析【解析】（1）求得2()23f x x x a '=-+，根据函数()f x 在1x =-取得极值，即可求解；（2）不妨设点()1,P b ，设过点P 与()y f x =相切的直线为l ，切点为()00,x y ，求得切线方程，根据直线l 过()1,P b ，转化为()()322000000132313b x x ax x x a x -+-=-+-，设函数322()2233g x x x x a b =-+-+，转化为()g x 在区间(),-∞+∞上单调递增，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数321()33f x x x ax =-+，则2()23f x x x a '=-+， 由()f x 在1x =-时，有极值，可得(1)1230f a '-=++=，解得1a =-.经检验，1a =-时，()f x 有极值.综上可得1a =-.（2）不妨设在直线1x =上存在一点()1,P b ，设过点P 与()y f x =相切的直线为l ，切点为()00,x y ，则切线l 方程为()()32200000013233y x x x x x a x x α-+-=-+-， 又直线l 过()1,P b ，有()()322000000132313b x x ax x x a x -+-=-+-， 即32000222303x x x a b -+-+=， 设322()2233g x x x x a b =-+-+，则22()2422(1)0g x x x x '=-+=-≥， 所以()g x 在区间(),-∞+∞上单调递增，所以()0g x =至多有一个解，过点P 与()y f x =相切的直线至多有一条，故在直线1x =上不存在点P ，使得过P 至少有两条直线与曲线()y f x =相切.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，其中解答中熟记函数的导数与函数间的关系是解答的关键，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力．19．已知椭圆222:1(1)x C y a a +=>. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知1F ，2F 分别是椭圆C 的左、右焦点，过2F 作斜率为k 的直线l ，交椭圆C 于,A B 两点，直线1F A ，1F B 分别交y 轴于不同的两点,M N .如果1MF N ∠为锐角，求k的取值范围.【答案】（1）2212x y +=（2）,0,44⎛⎛⎫⎛⎫⎫-∞⋃-⋃⋃+∞ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【解析】（1）由题意，列出方程组，求得22a =，即可得到椭圆的方程；（2）设直线l 的方程为()1y k x =-，联立方程组，根据根和系数的关系，结合向量的数量【详解】（1）由题意，椭圆222:1(1)x C y a a +=>的离心率是2，可得222221c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得22a =，所以椭圆C 的方程为2212x y +=. （2）由已知直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为()1y k x =-，直线l 与椭圆C 的交点为()11,A x y ，()22,B x y . 由22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222214220k x k x k +-+-=. 由已知，判别式>0∆恒成立，且2122421k x x k +=+，21222221k x x k -=+.① 直线1F A 的方程为11(1)1y y x x =++，令0x =，则110,1y M x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭. 同理可得220,1y N x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭. 所以()()()()()()2121211121211111111k x x y y F M F N x x x x --⋅=+=+++++u u u u r u u u u r ()()()()222212121212121212121111111k x x k x x k k x x x x x x x x x x x x ++-+++⎡⎤-++⎣⎦=+=++++++将①代入并化简，得21127181k F M F N k -⋅=-u u u u r u u u u r .依题意，角1MF N ∠为锐角，所以110F M F N ⋅>u u u u r u u u u r ，即211271081k F M F N k -⋅=>-u u u u r u u u u r . 解得217k >或218k <. 综上，直线l的斜率的取值范围是,⎛⎛⎫⎛⎫-∞⋃⋃⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.20．已知数列{}n a ，记集合{}*1(,)|(,),1,,i i j T S i j S i j a a a i j i j +==+++<∈N L „.（1）对于数列{}:1,2,3,4n a ，写出集合T ；（2）若2n a n =，是否存在*,i j N ∈，使得(),1024S i j =？若存在，求出一组符合条件的,i j ；若不存在，说明理由.（3）若22n a n =-，把集合T 中的元素从小到大排列，得到的新数列为12:,,,n B b b b L L ，若2020m b ≤，求m 的最大值.【答案】（1）{3,5,6,7,9,10}T =（2）不存在*,i j N ∈，使得(),1024S i j =成立.(3)详见解析【解析】（1）根据集合的定义{}*1(,)|(,),1,,i i j T S i j S i j a a a i j i j +==+++<∈N L „，即可求解；（2）假设存在*,i j N ∈，使得(),1024S i j =，得到1024(1)()j i i j =-++，根据i j +与j i -奇偶性相同，所以i j +与1j i -+奇偶性不同，进而得到结论.（3）若*,i j N ∃∈，使得(1)()(1)22t j i i j i i j -++++++==L ，得到1(1)()2t j i i j +-++=不成立，结合数学归纳法，把数列22n a n =-，转化为数列0,1,2,3,,,n L L ，其相应集合T 中满足1010n b ≤有多少项，即可得到结论.【详解】（1）由题意，集合{}*1(,)|(,),1,,i i j T S i j S i j a a a i j i j +==+++<∈NL „，可得{3,5,6,7,9,10}T =.（2）假设存在*,i j N ∈，使得(),1024S i j =，则有1102422(1)2(1)()i i j a a a i i j j i i j -=+++=++++=-++L L ，由于i j +与j i -奇偶性相同，所以i j +与1j i -+奇偶性不同.又因为3i j +≥，12j i -+≥，所以1024必有大于等于3的奇数因子，这与1024无1以外的奇数因子矛盾.故不存在*,i j N ∈，使得(),1024S i j =成立.（3）首先证明n a n =时，对任意的*m N ∈都有2t m b ≠，*t N ∈.若*,i j N ∃∈，使得：(1)()(1)22t j i i j i i j -++++++==L ， 由于1j i -+与j i -均大于2且奇偶性不同，所有1(1)()2t j i i j +-++=不成立.其次证明除()2tt N ∈形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和. 若正整数()221th k =+，其中t N ∈，*t N ∈. 当1221t k +>+时，由等差数列的性质有：()()()()(21)(21)(21)2212212t t t t t h k k k k k =++++++=-++-++++++L L L此时结论成立.当1221t k +<+时，由等差数列的性质有： (21)(21)(21)h k k k =++++++L()()21(1)(1)(2)2t t k k k k k k =-+++-++++++++L L ，此时结论成立.对于数列22n a n =-，此问题等价于数列0,1,2,3,,,n L L ，其相应集合T 中满足：1010n b ≤有多少项.由前面的证明可知正整数2，4，8，16，32，64，128，256，512不是集合T 中的项， 所以n 的最大值为1001.【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的应用，以及数列的综合应用，其中解答中认真审题，利用题设条件，结合数列的运算和数学归纳法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，试题综合性强，属于难题.。
北京市东城区2020届高三数学上学期期末教学统一检测试题 含答案
与圆柱面和 均相切.给出下列三个结论：
①两个球与 的切点是所得椭圆的两个焦点；
②若球心距 O1O2 4 ，球的半径为 3 ，则所得椭圆的焦距为 2 ；
③当圆柱的轴与 所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大.
其中，所有正确结论的序号是
(A) ①
(B) ② ③
(C) ① ②
(D) ① ② ③
的物体温度记为 tn ，已知 t1 0 C .已知物体温度的变化与实验室和物体温度差成正比（比例系数为 k ）. 给
出以下几个模型，那么能够描述这些测量数据的一个合理模型为
；(填写模型对应的序号）
① tn1
tn
tn
k 30
；
② tn1 tn k(30 tn ) ；
③ tn+1=k(30 tn ) .
(6)从数字1, 2,3, 4,5 中，取出 3 个数字(允许重复)，组成三位数，各位数字之和等于 6，这样的三位数的个数为
13
(7)设， 是三角形的两个内角，下列结论中正确的是
(A) 若 ，则 sin sin 2 2
(C) 若 ，则 sin sin 1 2
(C) 充分必要条件
(D) 既不充分也不必要条件
(5)设, 是两个不同的平面， m, n 是两条不同的直线，则下列结论中正确的是
(A) 若 m ， m n ，则 n∥
(B) 若 ， m ， n ，则 m n
(C) 若 n∥ ， m n ，则 m
(D) 若 ∥ ， m ， n ，则 m∥n
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我们将大学生升级 5G 时间的早晚与大学生愿意为 5G 套餐支付更多的费用作比较，可得出下图的关系(例如早
2020-2021学年北京市东城区高三(上)期末数学试卷1(附解析)
2020-2021学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合A={x|x−1≥0}，B={0,1，2}，则A∩B=()A. {0}B. {1}C. {2}D. {1,2}2.已知{a n}是公差为d的等差数列，S n为其前n项和.若S3=3a1+3，则d=()A. −2B. −1C. 1D. 23.下列函数中，既是奇函数，又在区间(0,1)上单调递增的是()A. y=2−xB. y=lnxC. y=1xD. y=sinx4.将正方体去掉一个四棱锥，得到的几何体如图所示，该几何体的侧(左)视图为()A.B.C.D.5.与圆x2+(y−1)2=5相切于点(2,2)的直线的斜率为()A. −2B. −12C. 12D. 26.函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则f(π)=()A. −√3B. −√32C. √32D. √37. 设a ⃗ ，b ⃗ 是两个不共线向量，则“a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为锐角”是“a ⃗ ⊥(a ⃗ −b⃗ )”的( ) A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8. 十二生肖，又叫属相，依次为鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪.现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三名同学从中各选一个，甲没有选择马，乙、丙二人恰有一人选择羊，则不同的选法有( )A. 242种B. 220种C. 200种D. 110种9. 已知抛物线y 2=2px(p >0)的焦点F 到准线的距离为2，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且|AF|=3|FB|，则点A 到y 轴的距离为( )A. 5B. 4C. 3D. 210. 某公园门票单价30元，相关优惠政策如下：①10人(含)以上团体购票9折优惠；②50人(含)以上团体购票8折优惠；③100人(含)以上团体购票7折优惠；④购票总额每满500元减100元(单张票价不优惠)．现购买47张门票，合理地设计购票方案，则门票费用最少为( )A. 1090元B. 1171元C. 1200元D. 1210元二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11. 设i 为虚数单位，则复数3+4i i = ______ ．12. 函数f(x)=√x −1+lnx 的定义域是______ ．13. 已知sinθ=−13，θ∈(π,3π2)，则cosθ= ______ ，cos2θ= ______ ． 14. 已知双曲线M ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，△ABC 为等边三角形.若点A 在y 轴上，点B ，C 在双曲线M 上，且双曲线M 的实轴为△ABC 的中位线，则双曲线M 的离心率为______ ．15. 已知函数f(x)=2[sinx]+3[cosx]，x ∈[0,2π]，其中[x]表示不超过x 的最大整数.例如：[1]=1，[0.5]=0，[−0.5]=−1．①f(2π3)= ______ ；②若f(x)>x +a 对任意x ∈[0,2π]都成立，则实数a 的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=4，底面ABCD是边长为2的正方形，E，F分别为PB，PC的中点．(Ⅰ)求证：平面ADE⊥平面PCD；(Ⅱ)求直线BF与平面ADE所成角的正弦值．)，ℎ(x)=cosx，再从条件①、条件②这两个条件中选17.已知函数g(x)=sin(x−π6择一个作为已知，求：(Ⅰ)f(x)的最小正周期；]上的最大值．(Ⅱ)f(x)在区间[0,π2条件①：f(x)=g(x)⋅ℎ(x)；条件②：f(x)=g(x)+ℎ(x)．18.为了解果园某种水果产量情况，随机抽取10个水果测量质量，样本数据分组为[100,150)，[150,200)，[200,250)，[250,300)，[300,350)，[350,400](单位：克)，其频率分布直方图如图所示：(Ⅰ)用分层抽样的方法从样本里质量在[250,300)，[300,350)的水果中抽取6个，求质量在[250,300)的水果数量；(Ⅱ)从(Ⅰ)中得到的6个水果中随机抽取3个，记X为质量在[300,350)的水果数量，求X的分布列和数学期望；(Ⅲ)果园现有该种水果约20000个，其等级规格及销售价格如表所示，质量m(单位：克)m<200200≤m<300m≥300等级规格二等一等特等价格(元/个)4710试估计果园该种水果的销售收入．19.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(−2,0)，B(2,0)，且离心率为12．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设直线l与椭圆C有且仅有一个公共点E，且与x轴交于点G(E,G不重合)，ET⊥x轴，垂足为T.求证：|TA||TB|=|GA||GB|．20.已知函数f(x)=1−ax2，a∈R．e x(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于直线y=x，求该切线方程；(Ⅱ)若a=1，求证：当x>0时，f(x)>0；(Ⅲ)若f(x)恰有两个零点，求a的值．21.给定正整数m，t(m≤t)，若数列A：a1，a2，…，a n，…满足：a i∈(0,1}，a i=a i+t，a1+a2+⋯+a t=m，则称数列A具有性质E(t,m)．对于两个数列B：b1，b2，…，b n，…；C：c1，c2，…，c n，…，定义数列B+C：b1+c1，b2+c2，…，b n+c n，…．(Ⅰ)设数列A具有性质E(4,2)，数列B的通项公式为b n=n(n∈N∗)，求数列A+B 的前四项和；(Ⅱ)设数列A i(i∈N∗)具有性质E(4,m)，数列B满足b1=1，b2=2，b3=3，b4=4且b j=b j+4(j∈N∗).若存在一组数列A1，A2，……，A k，使得A1+A2+⋯+A k+B 为常数列，求出m所有可能的值；(Ⅲ)设数列A i(i∈N∗)具有性质E(t,t−1)(常数t≥2)，数列B满足b1=1，b2=2，…，b t=t且b j=b j+t(j∈N∗).若存在一组数列A1，A2，…，A k，使得A1+A2+⋯+A k+B为常数列，求k的最小值.(只需写出结论)答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵A={x|x≥1}，B={0,1，2}，∴A∩B={1,2}．故选：D．可求出集合A，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法和列举法的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：∵S3=3a1+3，∴3a1+3d=3a1+3，则d=1．故选：C．利用求和公式即可得出．本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：对于A，y=2−x为非奇非偶函数，不符合题意；对于B，y=lnx为非奇非偶函数，不符合题意；对于C，y=1为奇函数，但在区间(0,1)上单调递减，不符合题意；x对于D，y=sinx为奇函数，由正弦函数的图象可知，y=sinx在区间(0,1)上单调递增，符合题意．故选：D．由基本初等函数的单调性和奇偶性逐一判断即可．本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断，熟练掌握基本初等函数的性质是解题的关键，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：将几何体补充为正方体，如图1所示：则该正方体去掉这个四棱锥，得到的几何体的侧(左)视图如图2所示：故选：B．将几何体补充为正方体，结合图形得出该几何体的侧(左)视图．本题考查了空间几何体三视图的应用问题，也考查了直观想象能力，是基础题．5.【答案】A【解析】解：根据题意，圆x2+(y−1)2=5，其圆心为(0,1)，设圆心为C，切点(2,2)为P，则K PC=2−12−0=12，则切线的斜率k=−2，故选：A．根据题意，求出圆的圆心坐标，设圆心为C，切点(2,2)为P，求出PC的斜率，由切线的性质分析可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及切线的性质，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：由图可知，T2=5π12−(−π12)=π2，则T=π，∴ω=2．又2×5π12+φ=π2，∴φ=−π3．则f(x)=2sin(2x−π3)，∴f(π)=2sin(2π−π3)=2sin(−π3)=−√3．故选：A．由已知函数图象求得T，进一步得到ω，再由五点作图的第二点求得φ，则函数解析式可求，从而可得f(π)．本题主要考查由函数的部分图象求函数解析式，属于中档题．7.【答案】B【解析】解：若a⃗⊥(a⃗−b⃗ )，则a⃗⋅(a⃗−b⃗ )=a⃗2−|a⃗||b⃗ |cos<a⃗,b⃗ >=|a⃗|(|a⃗|−|b⃗ |cos<a⃗,b⃗ >)=0∵a⃗，b⃗ 是两个不共线向量，∴a⃗≠0⃗，即|a⃗|≠0，∴|a⃗|=|b⃗ |cos<a⃗,b⃗ >，∴cos<a⃗,b⃗ >>0，∵<a⃗,b⃗ >≠0，∴a⃗与b⃗ 的夹角为锐角，而a⃗与b⃗ 的夹角为锐角，不妨设a⃗=(1,0),b⃗ =(2,2)，此时a⃗⋅(a⃗−b⃗ )=−1≠0，故a⃗与(a⃗−b⃗ )不垂直，∴“a⃗与b⃗ 的夹角为锐角”是“a⃗⊥(a⃗−b⃗ )”的必要不充分条件．故选：B．根据向量垂直时数量积为0建立等式，可得到a⃗与b⃗ 的夹角为锐角，反之不成立，再结合充分条件必要条件的定义可得结论．本题主要考查向量的有关性质，以及充分条件必要条件的判定，同时考查了学生转化的能力，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：根据题意，分3步进行分析：对于甲，不选马和羊，有10种选法，对于乙和丙，有1个人选择羊，有2种选法，剩下1人在剩下10个生肖中任选1个，有10种选法，则有10×2×10=200种不同的选法，故选：C．根据题意，分3步进行分析甲乙丙的选法，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：焦点F到准线的距离为p=2，过点A作AD垂直于准线l于点D，过点B作BE垂直于l 于点E，延长AB交l于点C，则△BCE∽△ACD，所以BCAC =BEAD=BFAF=13，记BC=x，则AC=3x，因为|AF|=3|FB|，所以BF=14AB=12x，AF=3BF=32x，因为CF=BC+BF=32x，F为AC的中点，所以AD=2FG=4，即点A到y轴的距离为4−p2=3．故选：C．根据题意得到p的值，过点A作AD垂直于准线l于点D，过点B作BE垂直于l于点E，延长AB交l于点C，再利用三角形相似得到BC和AC的关系，从而得到BF，AF，CF 的关系，求出AD=4，即可得到答案．本题考查了抛物线性质的应用，涉及了抛物线定义的理解和应用，在涉及抛物线上的点到焦点距离的问题时，一般会转化为到准线的距离开解决．10.【答案】B【解析】解：由于需要购买47张门票，所以不能享受优惠政策中的②和③，若只按优惠政策①购买，则门票费用为47×30×90%=1269元；若将47分为17+17+13，则可享受两次优惠政策④，一次优惠政策①，门票费用为(17×30−100)×2+13×30×90%=1171元，因为1269>1171，所以门票费用最少为1171元．故选：B．分两种情况：只按优惠政策①购买，将47分为17+17+13，两次按优惠政策④，一次按优惠政策①购买，分别计算门票费用，取较小者的方案．本题考查函数的实际应用，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．11.【答案】4−3i【解析】解：复数3+4i i=−i(3+4i)−i⋅i=4−3i ．故答案为：4−3i ．利用复数的运算法则即可得出．本题考查了复数的运算法则，属于基础题．12.【答案】[1,+∞)【解析】解：由题意得： {x −1≥0x >0，解得：x ≥1， 故函数的定义域是[1,+∞)， 故答案为：[1,+∞)．根据对数函数的性质以及二次根式的性质求出函数的定义域即可．本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质以及二次根式的性质，是一道基础题．13.【答案】2√2【解析】解：因为sinθ=−13，θ∈(π,3π2)，可得cosθ=−√1−sin 2θ=−√1−(−13)2=−2√23， 可得cos2θ=2cos 2θ−1=2×(−2√23)2−1=79．故答案为：−2√23，79．由已知利用同角三角函数基本公式可求得cosθ的值，利用二倍角的余弦公式即可求解cos2θ的值．本题主要考查了同角三角函数基本公式，二倍角的余弦公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．14.【答案】√2【解析】解：∵双曲线M 的实轴为△ABC 的中位线， ∴等边△ABC 的边长为4a ，假设点B 在第一象限，则点B 的坐标为(2a,√3a)， 将其代入双曲线M 的方程有，4a 2a 2−3a 2b 2=1，∴a b=1，离心率e =√a 2+b 2a 2=√1+b2a 2=√2． 故答案为：√2．易知，等边△ABC 的边长为4a ，不妨取点B 为(2a,√3a)，将其代入双曲线的方程可得a =b ，再由e =√1+b 2a2，得解．本题考查双曲线的几何性质，包含a 、b 、c 的含义与关系，离心率，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．15.【答案】43 (−∞,32−2π]【解析】解：①f(2π3)=2[sin 2π3]+3[cos 2π3]=2[√32]+3[−12]=20+3−1=43；②若f(x)>x +a 对任意x ∈[0,2π]都成立，即为a <f(x)−x =2[sinx]+3[cosx]−x 对任意x ∈[0,2π]都成立， 当x =0或x =2π时，f(x)−x =1+3=4或4−2π； 当x =π2时，f(x)−x =2+1−π2=3−π2； 当x =π时，f(x)−x =1+13−π=43−π； 当x =3π2时，f(x)−x =12+1−3π2=32−3π2；当0<x <π2时，sinx ∈(0,1)，cosx ∈(0,1)， 可得a ≤20+30−π2=2−π2；同理可得当π2<x <π时，可得a ≤20+3−1−π=43−π； 当π<x <3π2时，可得a ≤2−1+3−1−3π2=56−3π2；当3π2<x <2π时，可得a ≤2−1+30−2π=32−2π． 综上可得，a 的取值范围是(−∞,32−2π]． 故答案为：43；(−∞,32−2π]．①由特殊角的三角函数值和诱导公式、以及[x]的定义，可得所求值；②由题意可得a <f(x)−x =2[sinx]+3[cosx]−x 对任意x ∈[0,2π]都成立，分别讨论x 在各个象限和坐标轴的取值情况，结合[x]的定义，可得所求范围．本题考查函数恒成立问题解法，以及新定义[x]的理解和运用，考查分类讨论思想和化简运算能力、推理能力，属于中档题．16.【答案】(Ⅰ)证明：因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD ⊥AD ，因为底面ABCD 是正方形， 所以AD ⊥CD ， 因为PD ∩CD =D ， 所以AD ⊥平面PCD ， 又AD ⊂平面ADE ， 所以平面ADE ⊥平面PCD ； (Ⅱ)解：因为PD ⊥平面ABCD ， 所以PD ⊥AD ，PD ⊥CD ， 因为底面ABCD 是正方形， 所以AD ⊥CD ，如图建立空间直角坐标系D −xyz ，因为PD =4，底面ABCD 是边长为2的正方形，所以P(0,0，4)，A(2,0，0)，B(2,2，0)，C(0,2，0)，D(0,0，0)，E(1,1，2)，F(0,1，2)， 则DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0),DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,2),BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−1,2)， 设平面ADE 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 则有{m ⃗⃗⃗ ⋅DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得{2x =0x +y +2z =0，所以m⃗⃗⃗ =(0,2,−1)， 设直线BF 与平面ADE 所成的角为θ，则sinθ=|cos <BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,m ⃗⃗⃗ >|=|BF ⃗⃗⃗⃗⃗⋅m ⃗⃗⃗ ||BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=√9×√5=4√515， 所以直线BF 与平面ADE 所成角的正弦值为4√515．【解析】(Ⅰ)利用直线与平面垂直的性质定理和平面与平面垂直的判定定理进行分析证明即可；(Ⅱ)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标，求出直线的方向向量和平面的法向量，将直线与平面所成的角转化为两个向量的夹角进行求解即可．本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的性质定理和面面垂直的判定定理的应用，用向量法求解空间角时，关键是建立合适的空间直角坐标系，准确求出所需点的坐标．17.【答案】解：选择条件①：f(x)=g(x)⋅ℎ(x)，(Ⅰ)f(x)=sin(x−π6)cosx=(√32sinx−12cosx)cosx=√32sinxcosx−12cos2x=√32×12sin2x−1+cos2x2=√34sin2x−14cos2x−14=12sin(2x−π6)−14，所以f(x)的最小正周期T=2π2=π．(Ⅱ)因为x∈[0,π2]，可得2x−π6∈[−π6,5π6]，所以sin(2x−π6)∈[−12,1]，可得12sin(2x−π6)−14∈[−12,14]，当2x−π6=π2，即x=π3时，f(x)有最大值14．选择条件②：f(x)=g(x)+ℎ(x)，(Ⅰ)f(x)=sin(x−π6)+cosx=(√32sinx−12cosx)+cosx=√32sinx+12cosx=sin(x+π6)，所以f(x)的最小正周期T=2π1=2π．(Ⅱ)因为x∈[0,π2]，可得x+π6∈[π6,2π3]，所以sin(x+π6)∈[12,1]，当x+π6=π2，即x=π3时，f(x)有最大值1．【解析】选择条件①：(Ⅰ)利用三角函数恒等变换的应用可求函数解析式为f(x)=1 2sin(2x−π6)−14，利用正弦函数的周期公式即可求解；(Ⅱ)由已知可求2x−π6∈[−π6,5π6]，利用正弦函数的性质，即可求解函数的最大值．选择条件②：(Ⅰ)利用三角函数恒等变换的应用可求函数解析式为f(x)=sin(x+π6)，利用正弦函数的周期公式即可求解；(Ⅱ)由已知可求得x+π6∈[π6,2π3]，利用正弦函数的性质，即可求解函数的最大值．本题主要考查了三角函数恒等变换，正弦函数的周期公式以及正弦函数的性质，考查了转化思想和函数思想的应用，属于基础题．18.【答案】解：(Ⅰ)质量在[250,300)，[300,350)的该种水果的频率分别为0.008×50= 0.4，0.004×50=0.2，其比为2：1，所以按分层抽样从质量在[250,300)，[300,350)的这种水果中随机抽取6个，质量在[250,300)的该种水果有4个；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，6个水果中有2个质量在[300,350)，所以X 的所有可能取值为0，1，2， P(X =0)=C 43C 63=15，P(X =1)=C 42C 21C 63=35，P(X =2)=C 41C 22C 63=15，所以X 的分布列为：所以E(X)=0×15+1×35+2×15=1；(Ⅲ)二等品的频率为(0.002+0.002)×50=0.2， 一等品的频率为(0.003+0.008)×50=0.55， 特等品的频率为(0.004+0.001)×50=0.25，则20000个水果中共有二等品4000个，一等品11000个，特等品有5000个， 则销售收入约为4000×4+11000×7+5000撑10=143000元．【解析】(Ⅰ)根据频率分布直方图得到质量在[250,300)，[300,350)的该水果的频率，按照比例抽取即可；(Ⅱ)由(Ⅰ)得到X 的所有可能取值，再分别求得其相应的概率，列出分布列，再求期望即可；(Ⅲ)根据频率分布直方图，得到该水果的频率，然后估计20000个水果中各等级的个数，求解即可．本题考查了离散型随机变量及其分布列、频率分布直方图的相关知识，也考查了学生处理数据的能力．解题的关键是正确读取频率分布直方图中的信息． 19.【答案】解：(Ⅰ)由题意可得{a =2e =c a =12a 2=b 2+c 2，解得：a 2=4，b 2=3，所以椭圆的方程为：x 24+y 23=1；(Ⅱ)由题意可得直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为：y =kx +m(m ≠0)， {y =kx +m x 24+y 23=1，整理可得：(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−12=0，由题意可得△=0，即64k 2m 2−16(3+4k 2)(m 2−3)=0，解得：m 2=3+4k 2设G(x1,0)，E(x0,y0)则x1=−mk ，x0=−4km3+4k2=−4km，因为ET⊥x轴，所以T(−4km,0)，|TA| |TB|=|−4km+2||2−(−4km)|=|−4k+2m||2m+4k|=|m−2k||m+2k|，又因为|GA||GB|=|−2+mk||2+mk|=|m−2k||m+2k|，所以可证：|TA||TB|=|GA||GB|．【解析】(Ⅰ)由题意及a，b，c之间的关系求出a，b的值，进而求出椭圆的方程；(Ⅱ)由题意开始直线l的方程，与椭圆联立，由判别式为0求出参数之间的关系，设G，E的坐标，由题意可得G，E用直线的参数表示的坐标，进而求出|TA||TB|与|GA||GB|的表示，可证得|TA||TB|=|GA||GB|．本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆相切的性质，及证明的方法，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)因为f′(x)=ax(x−2)e x，所以f′(1)=−ae=1，故a=−e，所以f(1)=1−ae=2，所以切线方程为y−2=x−1，即y=x+1．(Ⅱ)当a=1时，f(x)=1−x2e x ，f′(x)=x(x−2)e x，当x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(2,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)的最小值为f(2)=1−4e2>0，故x>0时，f(x)>0．(Ⅲ)对于函数f(x)=1−ax2e x，a∈R，①当a≤0时，f(x)>0，f(x)没有零点，②当a>0时，f(x)=ax(x−2)e x，当x∈(−∞,0)时，f′(x)>0，所以f(x)在区间(−∞,0)上单调递增，当x∈(0,2)时，f′(x)<0，所以f(x)在区间(0,2)上单调递减，当x∈(2,+∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在区间(2,+∞)上单调递增，所以f(0)=1是函数的极大值，f(2)=1−4ae2是f(x)的极小值，因为√a )=1−a(−√a)2e−1√a=1−1e−1√a=1−1√a<0，所以f(x)在(−∞,0)上有且只有一个零点，由f(2)=1−4ae2，①若f(2)>0，即a<e24，f(x)在区间(0,+∞)上没有零点．②若f(2)=0，即a=e24，f(x)在区间(0,+∞)上只有一个零点．③若f(2)<0，即a>e24，由于f(0)=1，所以f(x)在区间(0,2)上有一个零点．由(Ⅱ)知，当x>0时，e x>x2，所以f(4a)=1−16a 3e4a =1−16a3(e2a)2>1−16a3(2a)2=1−1a>0，故f(x)在区间(2,4a)上有一个零点，因此a>e24时，f(x)在区间(0,+∞)上有两个零点，综上，当f(x)有两个零点时，a=e24．【解析】(Ⅰ)对f(x)求导得f′(x)，由导数的几何意义可得k切=f′(1)，进而由点斜式写出切线的方程．(Ⅱ)当a=1时，f(x)=1−x2e x，对f(x)求导得f′(x)，分析f′(x)的正负，f(x)单调性，进而可得f(x)的最小值f(2)=1−4e2>0，即可证明．(Ⅲ)对于函数f(x)=1−ax2e x，a∈R，分两种情况①当a≤0时，②当a>0时，分析f(x)的单调性，最值，进而得函数f(x)的零点．本题考查导数的综合应用，解题中注意分类讨论思想的应用，属于中档题．21.【答案】解：(I)数列A+B的前四项和为A的前四项和与B的前四项和之和，为2+ 10=12，(II)由题知m≤4，数列A i(i∈N∗)满足a i=a i+4，b j=b j+4(j∈N∗)，故只要考虑数列A i，B j的前四项，取A1，A2，…A5，A6为1，0，0，0；1，0，0，0；1，0，0，0；0，1，0，0；0，1，0，；0，0，1，0，可使A1+A2+⋯+A6+B的前四项为4，4，4，4，所以m=1成立；取A1，A2，A3为1，1，0，0；1，1，0，0；1，0，1，0，可使A1+A2+A3+B的前四项为4，4，4，4，所以m=2成立；取A1，A2，…A5，A6为1，1，1，0；1，1，1，0； 1，1，0，1；1，1，1，0；1，0，1，1；1，1，0，1，可使A1+A2+⋯+A6+B的前四项为7，7，7，7，所以m=3成立；当m=4时，A i的前四项是1，1，1，1，所以对任意的k，A1+A2+⋯+A k+B不会是常数列，综上，m=1，2，3．t(t−1)．(III)12【解析】(I)数列A+B的前四项和为A的前四项和与B的前四项和之和，代入可求；(II)由题知m≤4，a i=a i+4，b j=b j+4，只要考虑数列A i，B j的前四项，分情况检验即可求解满足条件的m，(III)结合已知条件代入直接求解．本题以新定义为载体，主要考查了数列性质的综合应用，考查了考生的逻辑推理的能力．。
2020届高三上学期期末教学质量检测数学理试题含答案及评分标准
理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项： 1．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．答第Ⅱ卷时，必须答题卡上作答．在试题卷上作答无效． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =棱柱的体积公式V Sh =，其中S 、h 分别表示棱柱的底面积、高．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 1．12i i +=A ．i --2B ．i +-2C ．i -2D ．i +22．集合{||2|2}A x x =-≤，2{|,12}B y y x x ==--≤≤，则A B =IA ．RB ．{|0}x x ≠C ．{0}D ．∅3．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22122x y -=的右焦点重合，则p 的值为 A ．2- B ．2 C ．4- D ．44．不等式10x x->成立的一个充分不必要条件是 A ．10x -<<或1x > B ．1x <-或01x << C ．1x >- D ．1x > 5．对于平面α和共面的两直线m 、n ，下列命题中是真命题的为 A ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α B ．若//m α，//n α，则//m nC ．若m α⊂，//n α，则//m nD ．若m 、n 与α所成的角相等，则//m n6．平面四边形ABCD 中0AB CD +=u u u r u u u r r ，()0AB AD AC -=⋅u u u r u u u r u u u r，则四边形ABCD 是A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．梯形 7．等比数列{}n a 中5121=a ，公比21-=q ，记12n n a a a ∏=⨯⨯⨯L （即n ∏表示 数列{}n a 的前n 项之积），8∏ ，9∏，10∏，11∏中值为正数的个数是 A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 48．定义域R 的奇函数()f x ，当(,0)x ∈-∞时()'()0f x xf x +<恒成立，若3(3)a f =，(log 3)(log 3)b f ππ=⋅，()c f =－２－２，则A ．a c b >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ． a b c >>第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二 填空题：本题共6小题，共30分，把答案填在答题卷相应的位置上．9．某校有4000名学生，各年级男、女生人数如表，已知在全校学生中随机抽取一名奥运火炬手，抽到高一男生的概率是0.2，现用分层抽样的方法在全校抽取100名奥运志愿者，则在高二抽取的学生人数为______．10．如果实数x 、y 满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，那么2x y -的最大值为______．11．在ABC ∆中角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若(2)cos cos b c A a C -=， 则cos A =________． 12．右图给出的是计算201614121+⋅⋅⋅+++的值 的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是i >___？13．由数字0、1、2、3、4组成无重复数字的 五位数，其中奇数有 个． 14．若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这 个正三棱柱的体积为__________．三．解答题（本大题共6小题，共80分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题共12分）已知函数()sin cos f x x x =+，()f x '是()f x 的导函数． （1）求函数()()'()g x f x f x =⋅的最小值及相应的x 值的集合； （2）若()2()f x f x '=，求tan()4x π+的值．16．（本题满分12分）近年来，政府提倡低碳减排，某班同学利用寒假在两个小区逐户调查人们的生活习惯是否符合低碳观念．若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳题12图 主视图 俯视图左视图族”．数据如下表（计算过程把频率当成概率）．（1）如果甲、乙来自A小区，丙、丁来自B小区，求这4人中恰有2人是低碳族的概率；（2）A小区经过大力宣传，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的行列．如果2周后随机地从A小区中任选25个人，记X表示25个人中低碳族人数，求()E X．17．（本小题满分14分）已知点(4,0)M、(1,0)N，若动点P满足6||MN MP NP=⋅u u u u r u u u r u u u r．（1）求动点P的轨迹C；（2）在曲线C上求一点Q，使点Q到直线l：2120x y+-=的距离最小．18．(本小题满分14分)已知梯形ABCD中，AD∥BC，2π=∠=∠BADABC，42===ADBCAB，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，xAE=．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF(如图)．G是BC的中点，以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为()f x．（1）当2=x时，求证：BD⊥EG；（2）求()f x的最大值；（3）当()f x取得最大值时，求异面直线AE与BD所成的角的余弦值．19．（本题满分14分）数列{}na中112a=，前n项和2(1)n nS n a n n=--，1n=，2，…．（1）证明数列1{}nnSn+是等差数列；（2）求nS关于n的表达式；（3）设3n nnb S=１，求数列{}nb的前n项和nT．20．（本题满分14分）二次函数()f x满足(0)(1)0f f==，且最小值是14-．A小区低碳族非低碳族频率p0.50.5B小区低碳族非低碳族频率p0.80.2（1）求()f x 的解析式；（2）设常数1(0,)2t ∈，求直线l ： 2y t t =-与()f x 的图象以及y 轴所围成封闭图形的面积是()S t ；（3）已知0m ≥，0n ≥，求证：211()()24m n m n +++≥．答案及评分标准：8~1：CCDD ；CBB A ；9．30；10．1；11．12；12．10；13．36；14．以下是各题的提示：1．21222i i i i i i+-+==-．2．[0,4]A =，[4,0]B =-，所以{0}A B =I ．3．双曲线22122x y -=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =．4．画出直线y x =与双曲线1y x=，两图象的交点为(1,1)、(1,1)--，依图知10x x->10x ⇔-<<或1x >(*)，显然1x >⇒(*)；但(*)⇒/1x >．5．考查空间中线、面的平行与垂直的位置关系的判断．６．由0AB CD +=u u u r u u u r r ，得AB CD DC =-=u u u r u u u r u u u r，故平面四边形ABCD 是平行四边形，又()0AB AD AC -=⋅u u u r u u u r u u u r ，故0DB AC =⋅u u u r u u u r，所以DB AC ⊥，即对角线互相垂直．７．等比数列{}n a 中10a >，公比0q <，故奇数项为正数，偶数项为负数，∴110∏<，100∏<，90∏>，80∏>，选B ．8．设()()g x xf x =，依题意得()g x 是偶函数，当(,0)x ∈-∞时()'()0f x xf x +<，即'()0g x <恒成立，故()g x 在(,0)x ∈-∞单调递减，则()g x 在(0,)+∞上递增，3(3)(3)a f g ==，(log 3)(log 3)(log 3)b f g πππ==⋅，2(2)(2)(2)c f g g =--=-=．又log 3123π<<<，故a c b >>． 9．依表知400020002000x y z ++=-=，0.24000x=，于是800x =， 1200y z +=，高二抽取学生人数为112003040⨯=．10．作出可行域及直线l ：20x y -=，平移直线l 至可行域的点(0,1)-时2x y -取得最大值．11．由(2)cos cos b c A a C -=，得2cos cos cos b A c A a C =+，2sin cos sin cos sin cos B A C A A C =+，故2sin cos sin()B A A C =+，又在ABC ∆中sin()sin 0A C B +=>，故1cos 2A =，12．考查循环结构终止执行循环体的条件．13．1132336636C C A =⨯=⋅⋅．14．由左视图知正三棱柱的高2h =，设正三棱柱的底面边长a ，=，故4a =，底面积142S =⨯⨯=，故2V Sh === 15．解：（1）∵()sin cos f x x x =+，故'()cos sin f x x x =-， …… 2分∴()()'()g x f x f x =⋅(sin cos )(cos sin )x x x x =+-22cos sin cos 2x x x =-=， ……… 4分∴当22()x k k Z ππ=-+∈，即()2x k k Z ππ=-+∈时，()g x 取得最小值1-，相应的x 值的集合为{|,}2x x k k Z ππ=-+∈． ……… 6分评分说明：学生没有写成集合的形式的扣1分． （2）由()2()f x f x '=，得sin cos 2cos 2sin x x x x +=-，∴cos 3sin x x =，故1tan 3x =， …… 10分 ∴11tan tan34tan()2141tan tan 143x x x πππ+++===--． …… 12分 16．解：（1）设事件C 表示“这4人中恰有2人是低碳族”． …… 1分2222112222222222()0.50.20.50.50.20.80.50.8P C C C C C C C =+⨯⨯⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅0.010.160.160.33=++=． …… 4分 答：甲、乙、丙、丁这4人中恰有2人是低碳族的概率为0.33； …… 5分（2）设A 小区有a 人，两周后非低碳族的概率20.5(120%)0.32a P a⨯⨯-==．故低碳族的概率10.320.68P =-=． ………… 9分 随机地从A 小区中任选25个人，这25个人是否为低碳族相互独立，且每个 人是低碳族的概率都是0.68，故这25个人中低碳族人数服从二项分布，即17~(25,)25X B ，故17()251725E X =⨯=． ………… 12分 17．解：（1）设动点(,)P x y ，又点(4,0)M 、(1,0)N ，∴(4,)MP x y =-u u u r ，(3,0)MN =-u u u u r ，(1,)NP x y =-u u u r． ……… 3分由6||MN MP NP =⋅u u u u r u u u r u u u r，得3(4)x --= ……… 4分∴222(816)4(21)4x x x x y -+=-++，故223412x y +=，即22143x y +=， ∴轨迹C 是焦点为(1,0)±、长轴长24a =的椭圆； ……… 7分 评分说明：只求出轨迹方程，没有说明曲线类型或交代不规范的扣1分． （2）椭圆C 上的点Q 到直线l 的距离的最值等于平行于直线l ：2120x y +-=且与椭圆C 相切的直线1l 与直线l 的距离．设直线1l 的方程为20(12)x y m m ++=≠-． ……… 8分由22341220x y x y m ⎧+=⎨++=⎩，消去y 得2242120x mx m ++-= （*）． 依题意得0∆=，即0)12(16422=--m m ，故216m =，解得4m =±．当4m =时，直线1l ：240x y ++=，直线l 与1l 的距离5d ==当4m =-时，直线1l ：240x y +-=，直线l 与1l 的距离d ==由于55<，故曲线C 上的点Q 到直线l 的距离的最小值为5．…12分 当4m =-时，方程（*）化为24840x x -+=，即2(1)0x -=，解得1x =．由1240y +-=，得32y =，故3(1,)2Q ． ……… 13分 ∴曲线C 上的点3(1,)2Q 到直线l 的距离最小． ……… 14分18．（法一）（1）证明：作EF DH ⊥，垂足H ，连结BH ，GH ， ∵平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，DH ⊂平面EBCF ， ∴⊥DH 平面EBCF ，又⊂EG 平面EBCF ，故DH EG ⊥， ∵12EH AD BC BG ===，//EF BC ，90ABC ∠=o ． ∴四边形BGHE 为正方形，故BH EG ⊥．又BH 、DH ⊂平面DBH ，且BH DH H =I ，故⊥EG 平面DBH ． 又⊂BD 平面DBH ，故BD EG ⊥．（2）解：∵AE EF ⊥，平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，AE ⊂平面AEFD ．∴AE ⊥面EBCF ．又由（1）⊥DH 平面EBCF ，故//AE DH ，∴四边形AEHD 是矩形，DH AE =，故以F 、B 、C 、D 为顶点的三棱 锥D BCF - 的高DH AE x ==，又114(4)8222BCF S BC BE x x ∆==⨯⨯-=-⋅． ∴三棱锥D BCF -的体积()f x =13BFC S DH ∆⋅13BFC S AE ∆=⋅2128(82)333x x x x =-=-+2288(2)333x =--+≤．∴当2x =时，()f x 有最大值为83．（3）解：由（2）知当()f x 取得最大值时2AE =，故2BE =，由（2）知//DH AE ，故BDH ∠是异面直线AE 与BD 所成的角． 在Rt BEH ∆中222422BH BE EH AD =+=+=，由⊥DH 平面EBCF ，BH ⊂平面EBCF ，故DH BH ⊥ 在Rt BDH ∆中222823BD BH DH AE =+=+=，∴3cos 323DH BDH BD ∠===． ∴异面直线AE 与BD 所成的角的余弦值为33． 法二：（1）证明：∵平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，AE ⊂平面AEFD ，EF AE ⊥，故AE ⊥平面EBCF ，又EF 、BE ⊂平面EBCF ，∴AE ⊥EF ，AE ⊥BE ，又BE ⊥EF ，取EB 、EF 、EA 分别为x 轴、y轴、z 轴，建立空间坐标系E xyz -，如图所示． 当2x =时，2AE =，2BE =，又2AD =，122BG BC ==． ∴(0,0,0)E ，(0,0,2)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)G ，(0,2,2)D ．∴(2,2,2)BD =-u u u r ，(2,2,0)EG =u u u r，∴440BD EG ⋅=-+=u u u r u u u r．∴BD EG ⊥u u u r u u u r，即BD EG ⊥；（2）解：同法一；（3）解：异面直线AE 与BD 所成的角θ等于,AE BD <>u u u r u u u r或其补角．又(0,0,2)AE =-u u u r ， 故3cos ,3|||2444|AE BD AE BD AE BD <>===-++⋅⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ∴3cos 3θ=，故异面直线AE 与BD 所成的角的余弦值为33． 19．（1）证明：由2(1)n n S n a n n =--，得21()(1)(2)n n n S n S S n n n -=---≥．∴221(1)(1)n n n S n S n n ---=-，故111(2)1n n n nS S n n n -+-=≥-．…２分 ∴数列由1{}n n S n+是首项11221S a ==，公差1d =的等差数列； …… 4分 （2）解：由（1）得112(1)11n n S S n d n n n+=+-=+-=．……… 6分∴21n n S n =+； ………８分（3）由（２），得3n n nb S =１＝321n n n +g １＝111(1)1n n n n =-++．…… 10分∴数列{}n b 的前n 项和1211111111122311n n n T b b b b n n n n -=++++=-+-++-+--+L L …１２分 1111n n n =-=++． ……… 14分 20．解：（1）由二次函数()f x 满足(0)(1)0f f ==．设()(1)(0)f x ax x a =-≠，则221()()24af x ax ax a x =-=--． ……………… ２分 又()f x 的最小值是14-，故144a -=-．解得1a =．∴2()f x x x =-； ………………４分（2）依题意，由22x x t t -=-，得x t =，或1x t =-．（1t -p ｔ）……６分由定积分的几何意义知3232222002()[()()]()|3232t tx x t t S t x x t t dx t x tx =---=--+=-+⎰…… ８分（3）∵()f x 的最小值为14-，故14m -，14n ≥-． …… １０分∴12m n +-≥-，故12m n ++． ……… 12分∵1()02m n +，102m n ++≥≥， ……… 13分∴11()()22m n m n +++≥=，∴211()()24m n m n +++≥． ……… 14分。
2020届北京市东城区高三上学期期末数学试题(解析版)
【点睛】 本题主要考查了指数函数的性质，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记指 数函数的性质， 以及熟练应用充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键， 着重考查
了推理与论证能力，属于中档题
5．设 ， 是两个不同的平面，m,n是两条不同的直线， 则下列结论中正确的是 （ ）A．若m，mn，则n//B．若，m，n，则m n
【解析】结合三角恒等变换的公式，以及合理利用赋值法，逐项判定，即可求解得到答 案.
【详解】
对于A中，因为 ，则0 ,
2 2 4 4 2 4
又由
2 2 4 2 2
所以
对于B中，例如,，此时cos cos 3 2，
6 6 6 6
所以cos cos 2不一定成立，所以不正确；
5
对于C中，因为 ，例如,时，
A．第一象限B．第三象限C．第二象限D．第四象限
【答案】B
【解析】先化简复数，再计算对应点坐标，判断象限.
【详解】
，对应点为 ，在第三象限.
故答案选B
【点睛】
本题考查了复数的坐标表示，属于简单题.
3．下列函数中，是偶函数，且在区间0,上单调递增的为( )
1x
A
【答案】B
【解析】结合函数的单调性与奇偶性的定义与判定方法，以及初等函数的性质，逐项判 定，即可求解.
8．用平面截圆柱面，当圆柱的轴与所成角为锐角时，圆柱面的截面是一个椭圆，著
名数学家Dandelin创立的双球实验证明了上述结论.如图所示， 将两个大小相同的球嵌 入圆柱内，使它们分别位于 的上方和下方，并且与圆柱面和均相切.给出下列三个
结论：
1两个球与 的切点是所得椭圆的两个焦点；
2020-2021学年北京市东城区高三(上)期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．（4分）已知集合A＝{x|x﹣1≥0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝（）A．{0}B．{1}C．{2}D．{1，2}2．（4分）已知{a n}是公差为d的等差数列，S n为其前n项和．若S3＝3a1+3，则d＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．23．（4分）下列函数中，既是奇函数，又在区间（0，1）上单调递增的是（）A．y＝2﹣x B．y＝lnx C．y＝D．y＝sin x4．（4分）将正方体去掉一个四棱锥，得到的几何体如图所示，该几何体的侧（左）视图为（）A．B．C．D．5．（4分）与圆x2+（y﹣1）2＝5相切于点（2，2）的直线的斜率为（）A．﹣2B．﹣C．D．26．（4分）函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（π）＝（）A．﹣B．﹣C．D．7．（4分）设，是两个不共线向量，则“与的夹角为锐角”是“⊥（﹣）”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（4分）十二生肖，又叫属相，依次为鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪．现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三名同学从中各选一个，甲没有选择马，乙、丙二人恰有一人选择羊，则不同的选法有（）A．242种B．220种C．200种D．110种9．（4分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为2，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，且|AF|＝3|FB|，则点A到y轴的距离为（）A．5B．4C．3D．210．（4分）某公园门票单价30元，相关优惠政策如下：①10人（含）以上团体购票9折优惠；②50人（含）以上团体购票8折优惠；③100人（含）以上团体购票7折优惠；④购票总额每满500元减100元（单张票价不优惠）．现购买47张门票，合理地设计购票方案，则门票费用最少为（）A．1090元B．1171元C．1200元D．1210元二、填空题（共5小题）.11．复数＝．12．函数f（x）＝+lnx的定义域是．13．已知sinθ＝﹣，θ∈（π，），则cosθ＝，cos2θ＝．14．已知双曲线M：＝1（a＞0，b＞0），△ABC为等边三角形．若点A在y轴上，点B，C在双曲线M上，且双曲线M的实轴为△ABC的中位线，则双曲线M的离心率为．15．已知函数f（x）＝2[sin x]+3[cos x]，x∈[0，2π]，其中[x]表示不超过x的最大整数．例如：[1]＝1，[0.5]＝0，[﹣0.5]＝﹣1．①f（）＝；②若f（x）＞x+a对任意x∈[0，2π]都成立，则实数a的取值范围是．三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
(附加20套期末模拟试卷)北京市东城区2020届高三(上)期末教学统一检测数学(理)试卷及答案
北京市东城区2020届高三（上）期末教学统一检测数学（理）试卷及答案本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. （1）已知集合{1,2,3,4}U =，集合{1,3,4}A =，{2,4}B =，那么集合()U C A B =I（A ）{2} （B ）{4} （C ）{1,3} （D ）{2,4} （2）已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，那么该三棱锥的体积等于331侧（左）视图1俯视图（A ）32cm 3 （B ）2 cm 3 （C ）3 cm 3 （D ）9 cm 3 （3）设i 为虚数单位，如果复数z 满足(12)5i z i -=，那么z 的虚部为（A ）1- （B ）1 （C ） i （D ）i - （4）已知(0,1)m ∈，令log 2m a =，2b m =，2mc =，那么,,a b c 之间的大小关系为（A ）b c a << （B ）b a c << （C ）a b c << （D ）c a b << （5）已知直线l 的倾斜角为α，斜率为k ，那么“3πα>”是“k >（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（6）已知函数11,02()ln ,2x f x x x x ⎧+<≤⎪=⎨⎪>⎩，如果关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，那么实数k的取值范围是（A ） (1,)+∞ （B ）3[,)2+∞ （C ）32[,)e +∞ （D ）[ln 2,)+∞（7）过抛物线220)y pxp =>（的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，如果3BF =，BF AF >，23BFO π∠=，那么AF 的值为 ()A 1 ()B 32()C 3 （D ） 6（8）如图所示，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1, ,E F 分别是棱AA '，CC '的中点，过直线,E F 的平面分别与棱BB '、DD '交于,M N ，设 BM x =，)1,0(∈x ，给出以下四个命题： ① 四边形MENF 为平行四边形；② 若四边形MENF 面积)(x f s =,)1,0(∈x ,则)(x f 有最小 值；③ 若四棱锥A MENF 的体积)(x p V =，)1,0(∈x ，则)(x p 常函数；④ 若多面体MENF ABCD -的体积()V h x =，1(,1)2x ∈， 则)(x h 为单调函数． 其中假．命题．．为 ()A ①()B ②()C ③（D ）④第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.（9） 在ABC ∆中，a b 、分别为角A B 、的对边，如果030B =，0105C =，4a =，那么b = . （10）在平面向量a,b 中，已知(1,3)=a ，(2,y)=b .如果5⋅=a b ，那么y = ；如果-=a +b a b ，那么y = .（11）已知,x y 满足满足约束条件+10,2,3x y x y x ≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，那么22z x y =+的最大值为___.（12）如果函数2()sin f x x x a =+的图象过点(π,1)且()2f t =．那么a = ；()f t -= ．（13）如果平面直角坐标系中的两点(1,1)A a a -+，(,)B a a 关于直线l 对称，那么直线l 的 方程为__.（14）数列{}n a 满足：*112(1,)n n n a a a n n N -++>>∈，给出下述命题：①若数列{}n a 满足：21a a >，则*1(1,)n n a a n n N ->>∈成立； ②存在常数c ，使得*()n a c n N >∈成立；③若*(,,,)p q m n p q m n N +>+∈其中，则p q m n a a a a +>+；④存在常数d ，使得*1(1)()n a a n d n N >+-∈都成立．上述命题正确的是____．(写出所有正确结论的序号)三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题共13分）设{}n a 是一个公比为(0,1)q q q >≠等比数列，1234,3,2a a a 成等差数列,且它的前4项和415s =.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令2,(1,2,3......)n n b a n n =+=,求数列{}n b 的前n 项和.（16）（本小题共13分）已知函数22()sin cos cos ()f x x x x x x =+-∈R ． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期和在[0,π]上的单调递减区间； （Ⅱ）若α为第四象限角，且3cos 5α=，求7π()212f α+的值.（17）（本小题共14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，AB AP =,E 为棱PD 的中点.（Ⅰ）证明AE CD ⊥；（Ⅱ）求直线AE 与平面PBD 所成角的正弦值； （Ⅲ）若F 为AB 中点，棱PC 上是否存在一点M ，使得FM AC ⊥，若存在，求出PMMC的值，若不存在，说明理由.（18）（本小题共13分）已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的焦点是12F F 、，且122F F =，离心率为12．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过椭圆右焦点2F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，求22||||AF F B g的取值范围．（19）（本小题共14分）已知函数()(ln )xe f x a x x x=--． （Ⅰ）当1a =时，试求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≤时，试求()f x 的单调区间；（Ⅲ）若()f x 在(0,1)内有极值，试求a 的取值范围．（20）（本小题共13分）已知曲线n C 的方程为：*1()n nx y n N +=∈. （Ⅰ）分别求出1,2n n ==时，曲线n C 所围成的图形的面积;（Ⅱ）若()n S n N *∈表示曲线n C 所围成的图形的面积，求证：()n S n N *∈关于n 是递增的;(III) 若方程(2,)n n nx y z n n N +=>∈，0xyz ≠，没有正整数解，求证：曲线(2,)n C n n N *>∈上任一点对应的坐标(,)x y ，,x y 不能全是有理数.学校___________班级_____________姓名____________考号___________本试卷共5页，150分。
2020届北京市东城区高三一模考试数学试题及答案
绝密★启用前2020届北京市东城区高三一模考试数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合{}10A x x =->，{}1,0,1,2B =-，那么A B =()A ．{}1,0-B ．{}0,1C ．1,0,1,2D ．{}2答案：D先化简集合A ，再利用交集的定义求解. 解：∵{}1A x x =>，{}1,0,1,2B =-， ∴{}2A B ⋂=. 故选：D. 点评：本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2．函数()f x =() A ．(]1,2- B ．[)2,+∞C ．()[),11,-∞-+∞D ．()[),12,-∞-+∞答案：B首先根据()f x =2201x x -≥+，再解不等式即可. 解：函数()f x =，令2201x x -≥+，得20x -≥， 解得2x ≥，所以()f x 的定义域为[)2,+∞.故选：B 点评：本题主要考查函数的定义域，属于简单题.3．已知()211i a R ai=-∈+，则a =（） A ．1B ．0C ．1-D ．2-答案：A利用复数的除法得出211ai i+=-，进而可求得实数a 的值. 解：211i ai=-+，()()()21211111i ai i i i i +∴+===+--+，因此，1a =. 故选：A. 点评：本题考查利用复数相等求参数，考查复数除法法则的应用，考查计算能力，属于基础题.4．若双曲线()222:10y C x b b-=>的一条渐近线与直线21y x =+平行，则b 的值为()A ．1 BC D ．2答案：D求出双曲线C 中斜率为正数的渐近线方程，根据该直线与直线21y x =+平行可求得b 的值. 解：双曲线()222:10y C x b b-=>的一条渐近线y bx =与直线21y x =+平行，可得2b =.故选：D. 点评：本题考查利用双曲线的渐近线与直线平行求参数，考查计算能力，属于基础题.5．如图所示，某三棱锥的正（主）视图、俯视图、侧（左）视图均为直角三角形，则该三棱锥的体积为（）A ．4B ．6C ．8D ．12答案：A利用三视图作出几何体的直观图，然后利用锥体的体积公式可求得该几何体的体积. 解：由三视图知，几何体是一个三棱锥1D BCD ，根据三棱锥的三视图的数据，设出三棱锥两两垂直的三条侧棱分别是4DC =，3BC =，12DD =，因此，三棱锥的体积是11432432⨯⨯⨯⨯=. 故选：A. 点评：本题考查利用三视图计算几何体的体积，解答的关键就是结合三视图还原几何体，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题.6．已知1x <-，那么在下列不等式中，不成立的是() A ．210x ->B ．12x x+<- C ．sin 0x x -> D ．cos 0x x +>答案：D利用作差法可判断A 、B 选项的正误，利用正弦、余弦值的有界性可判断C 、D 选项的正误.综合可得出结论. 解：1x <-，则()()21110x x x -=-+>，()22112120x x x x x x x+++++==<，又sin x 、[]cos 1,1x ∈-，sin 0x x ∴->，cos 0x x +<.可得：ABC 成立，D 不成立. 故选：D. 点评：本题考查不等式正误的判断，一般利用作差法来进行判断，同时也要注意正弦、余弦有界性的应用，考查推理能力，属于中等题.7．在平面直角坐标系中，动点M 在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟转动一周.若点M 的初始位置坐标为12⎛ ⎝⎭，则运动到3分钟时，动点M 所处位置的坐标是()A ．12⎫⎪⎪⎝⎭B ．1,22⎛-⎝⎭C ．221⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭D ．12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭答案：C计算出运动3分钟时动点M 转动的角，再利用诱导公式可求得结果. 解：每12分钟转动一周，则运动到3分钟时，转过的角为32122ππ⨯=.设点M 的初始位置的坐标为()cos ,sin αα，则1cos 2α=，sin 2α=， 运动到3分钟时动点M 所处位置的坐标是cos ,sin 22M ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫'++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.由诱导公式可得3cos sin 2παα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭，1sin cos 22παα⎛⎫+== ⎪⎝⎭， 所以，点M '的坐标为3,21⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.故选：C.点评：本题考查点的坐标的求解，考查了诱导公式的应用，考查计算能力，属于基础题.8．已知三角形ABC ，那么“AB AC AB AC +>-”是“三角形ABC 为锐角三角形”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：B在不等式AB AC AB AC +>-两边平方并化简得0AB AC ⋅>，判断出角A 的属性，再结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 解：三角形ABC 中，“AB AC AB AC +>-”0AB AC ⇒⋅>，可得A 为锐角，此时三角形ABC 不一定为锐角三角形.三角形ABC 为锐角三角形A ⇒为锐角.∴三角形ABC ，那么“AB AC AB AC +>-”是“三角形ABC 为锐角三角形”的必要不充分条件. 故选：B. 点评：本题考查必要而不充分条件的判断，同时也考查了平面向量数量积的应用，考查推理能力，属于中等题.9．设O 为坐标原点，点1,0A ，动点P 在抛物线22y x =上，且位于第一象限，M 是线段PA 的中点，则直线OM 的斜率的范围为() A ．(]0,1 B．⎛ ⎝⎭ C．⎛ ⎝⎦ D．⎫+∞⎪⎪⎣⎭答案：C设点2,2y P y ⎛⎫⎪⎝⎭，可得出线段PA 的中点M 的坐标，利用基本不等式可求得直线OM 的斜率的取值范围. 解：设2,2y P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0y >，所以PA 的中点22,42y y M ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 所以222222224OMyy k y y y y ===+++，因为2y y +≥102y y<≤=+，所以0,2OM k ⎛∈ ⎝⎦， 故选：C. 点评：本题考查直线斜率取值范围的计算，涉及基本不等式的应用，考查计算能力，属于中等题. 10．假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物，则我们称前者为被捕食者，后者为捕食者.现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型.假设捕食者的数量以()x t 表示，被捕食者的数量以()y t 表示.如图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向.下列说法正确的是（）A ．若在1t 、2t 时刻满足：()()12y t y t =，则()()12x t x t =B ．如果()y t 数量是先上升后下降的，那么()x t 的数量一定也是先上升后下降C ．被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值D ．被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者的数量也会达到最大值 答案：C根据图形可判断A 选项的正误；根据曲线上半段中()y t 和()x t 的变化趋势可判断B 选项的正误；根据捕食者和被捕食者的最值情况可判断C 选项的正误；取()10x t =，()100y t =可判断D 选项的正误. 解：由图可知，曲线中纵坐标相等时横坐标未必相等，故A 不正确；在曲线上半段中观察到()y t 是先上升后下降，而()x t 是不断变小的，故B 不正确；捕食者数量最大时是在图象最右端，最小值是在图象最左端，此时都不是被捕食者的数量的最值处， 同样当被捕食者的数量最大即图象最上端和最小即图象最下端时，也不是捕食者数量取最值的时候，所以被捕食者数量和捕食者数量不会同时达到最大和最小值，故C 正确； 当捕食者数量最大时在图象最右端，()()25,30x t ∈，()()0,50y t ∈，此时二者总和()()()25,80x t y t +∈，由图象可知存在点()10x t =，()100y t =，()()110x t y t +=，所以并不是被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者数量也会达到最大值，故D 错误，故选：C. 点评：本题考查函数图象的性质，考查数据分析能力，比较抽象，属于中等题. 二、填空题11．已知向量(),1a m =，()1,2b =-，()2,3c =，若a b -与c 共线，则实数m =______. 答案：3求出向量a b -的坐标，利用共线向量的坐标表示可得出关于m 的等式，进而可求得m 的值. 解：向量(),1a m =，()1,2b =-，()2,3c =，()1,3a b m ∴-=-，a b -与c 共线，1323m -∴=，解得实数3m =. 故答案为：3. 点评：本题考查利用向量共线求参数，考查计算能力，属于基础题. 12．在622()x x+的展开式中，常数项为_____．（用数字作答） 答案：60根据二项式展开式的通项公式，利用x 项的指数为0，即可求出常数项. 解： 在622()x x+的展开式中,通项公式为： 66316622()2r r r r r r r T C x C x x--+== 令6302r r -=∴=所以展开式的常数项为：226260C = 故答案为：60 点评：本题考查了二项式定理的通项公式，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题. 13．圆心在x 轴上，且与直线1:l y x =和2:2l y x =-都相切的圆的方程为______.答案：()22112x y -+=设所求圆的方程为()()2220x a y r r -+=>，根据圆与直线1l 、2l 都相切可求得a 、r 的值，由此可得出所求圆的方程. 解：设所求圆的方程为()()2220x a y r r -+=>，因为圆()()2220x a y r r -+=>与直线1:l y x =和2:2l y x =-r ==，解得1a =，22r，所以圆的方程为()22112x y -+=.故答案为：()22112x y -+=. 点评：本题考查圆的方程的求解，同时也考查了直线与圆相切的处理，考查计算能力，属于中等题.14．设函数()()1,0,22,0.x a a xa x x f x x --⎧+<=⎨+≥⎩给出下列四个结论：①对0a ∀>，t R ∃∈，使得()f x t =无解；②对0t ∀>，a R ∃∈，使得()f x t =有两解；③当0a <时，0t ∀>，使得()f x t =有解；④当2a >时，t R ∃∈，使得()f x t =有三解.其中，所有正确结论的序号是______. 答案：③④取3a =，由一次函数的单调性和基本不等式，可得函数()f x 的值域，可判断①的正误；取0a =，判断函数()f x 的单调性，即可判断②；考虑0a <时，求得函数()f x 的值域，即可判断③；当2a >时，结合一次函数的单调性和基本不等式，以及函数()f x 的图象，即可判断④.综合可得出结论. 解：对于①，可取3a =，则()()3331,0,22,0.x xx x f x x --⎧+<=⎨+≥⎩， 当0x <时，()()()31,3f x x =+∈-∞；当0x ≥时，()3333222222x x x x f x ----=+≥⋅=，当且仅当3x =时，取得等号， 故3a =时，()f x 的值域为R ，t R ∀∈，()f x t =都有解，故①错误；对于②可取0a =时，()0,022,0x xx f x x -<⎧=⎨+≥⎩，可得()f x 在(0,)+∞上单调递增， 对0t ∀>，()f x t =至多一解，故②错误；对于③，当0a <时，0x <时，()()1f x a x =+单调递减，可得()f x a >； 又0x ≥时，0x a ->，即有21x a ->.可得222x a a x --+>，则()f x 的值域为(),a +∞，0t ∀>，()f x t =都有解，故③正确；对于④，当2a >时，0x <时，()()1f x a x =+递增，可得()f x a <；当0x ≥时，()222x a a x f x --=+≥，当且仅当x a =时，取得等号，由图象可得，当23t <<时，()f x t =有三解，故④正确. 故答案为：③④.点评：本题考查分段函数的应用，主要考查方程根的个数问题，注意运用反例法判断命题不正确，考查推理能力，属于中等题. 三、双空题15．ABC 是等边三角形，点D 在边AC 的延长线上，且3AD CD =，27BD =，则CD =______；sin ABD ∠=______.答案：2321由3AD CD =可得2AC CD =，在BCD 中利用余弦定理可求得CD 的长，在ABD △中，利用正弦定理可求得sin ABD ∠的值. 解：如图所示，等边ABC 中，3AD CD =，所以2AC CD =.又7BD =2222cos BD BC CD BC CD BCD =+-⋅⋅∠，即(()22227222cos120CD CD CD CD +-⋅⋅⋅=，解得2CD =，所以6AD =；由sin sin AD BD ABD A =∠∠，即67sin sin 60ABD =∠，解得321sin 14ABD ∠=. 故答案为：2；32114. 点评：本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题. 四、解答题16．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥面ABCD ，底面ABCD 为平行四边形，AB AC ⊥，1AB AC ==，1PD =.（Ⅰ）求证：//AD 平面PBC ；（Ⅱ）求二面角D PC B --的余弦值的大小. 答案：（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）3-. （Ⅰ）根据四边形ABCD 是平行四边形得出//AD BC ，再利用线面平行的判定定理可证得//AD 平面PBC ；（Ⅱ）过D 作平行于AC 的直线Dx ，以D 为坐标原点，DC 、DP 所在直线分别为y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角D PC B --的余弦值. 解： （Ⅰ）证明：底面ABCD 为平行四边形，//AD BC ∴，BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ，//AD ∴平面PBC ；（Ⅱ）解：过D 作平行于AC 的直线Dx ，AB AC ⊥，Dx DC ⊥，又PD ⊥面ABCD ，∴以D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D xyz -.则()0,1,0C 、()0,0,1P 、()1,2,0B ，()1,1,0CB =，()0,1,1CP =-，设平面PCB 的一个法向量为(),,n x y z =，由00n CB x y n CP y z ⎧⋅=+=⎨⋅=-+=⎩，取1y =，得()1,1,1n =-.取平面PCD 的一个法向量()1,0,0m =，则cos ,31m n m n m n⋅<>===-⨯⋅.由图可知，二面角D PC B --为钝角，∴二面角D PC B --的余弦值为3-点评：本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角的余弦值，考查推理能力与计算能力，属于中等题.17．已知函数()()2sin 22cos 066f x a x x a ππ⎛⎫⎛⎫=--+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且满足_______. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式及最小正周期；（Ⅱ）若关于x 的方程()1f x =在区间[]0,m 上有两个不同解，求实数m 的取值范围.从①()f x 的最大值为1，②()f x 的图象与直线3y =-的两个相邻交点的距离等于π，③()f x 的图象过点,06π⎛⎫⎪⎝⎭.这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答. 答案：满足①或②或③；（Ⅰ）()2sin 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，最小正周期为π；（Ⅱ）47,33ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭； （Ⅰ）利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式，根据①或②或③中的条件求得1a =，可得出()2sin 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期；（Ⅱ）令()1f x =，得sin 216x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得3x k ππ=+，k Z ∈，可得出方程()1f x =在区间[]0,m 上的实数根，进而可得出实数m 的取值范围. 解：（Ⅰ）函数()2sin 22cos 66f x a x x ππ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2cos 2163a x x ππ⎛⎫⎛⎫=--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2cos 21662a x x πππ⎛⎫⎛⎫=---+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2sin 2166a x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1sin 216a x π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，若满足①()f x 的最大值为1，则12a +=，解得1a =，所以()2sin 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则函数()f x 的最小正周期为22T ππ==； （Ⅱ）令()1f x =，得sin 216x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得2262x k πππ-=+，k Z ∈，即3x k ππ=+，k Z ∈；若关于x 的方程()1f x =在区间[]0,m 上有两个不同解，则3x π=或43π； 所以实数m 的取值范围是47,33ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 若满足②，()f x 的图象与直线3y =-的两个相邻交点的距离等于π， 且()f x 的最小正周期为22T ππ==，所以()113a -+-=-，解得1a =； 以下解法均相同.若满足③，()f x 的图象过点,06π⎛⎫⎪⎝⎭，则()1sin 1066f a ππ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，解得1a =；以下解法均相同. 点评：本题考查利用正弦型函数的基本性质求函数解析式，同时也考查了利用正弦型函数方程的根的个数求参数，考查计算能力，属于中等题.18．中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，预计2020年北斗全球系统建设将全面完成.如图是在室外开放的环境下，北斗二代和北斗三代定位模块，分别定位的50个点位的横、纵坐标误差的值，其中“⋅”表示北斗二代定位模块的误差的值，“+”表示北斗三代定位模块的误差的值.（单位：米）（Ⅰ）从北斗二代定位的50个点位中随机抽取一个，求此点横坐标误差的值大于10米的概率； （Ⅱ）从图中A ，B ，C ，D 四个点位中随机选出两个，记X 为其中纵坐标误差的值小于4-的点位的个数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）试比较北斗二代和北斗三代定位模块纵坐标误差的方差的大小.（结论不要求证明） 答案：（Ⅰ）0.06；（Ⅱ）分布列见解析，1；（Ⅲ）北斗二代定位模块纵坐标误差的方差大于北斗三代.（Ⅰ）通过图象观察，在北斗二代定位的50个点中，横坐标误差的绝对值大于10米有3个点，由古典概率的计算公式可得所求值；（Ⅱ）通过图象可得，A ，B ，C ，D 四个点位中纵坐标误差值小于4-的有两个点：C ，D ，则X 的所有可能取值为0，1，2，分别求得它们的概率，作出分布列，计算期望即可；（Ⅲ）通过观察它们的极差，即可判断它们的方差的大小．解：（Ⅰ）由图可得，在北斗二代定位的50个点中，横坐标误差的绝对值大于10米有3个点，所以从中随机选出一点，此点横坐标误差的绝对值大于10米的概率为30.06 50=；（Ⅱ）由图可得，A，B，C，D四个点位中纵坐标误差值小于4-的有两个点：C，D，所以X的所有可能取值为0，1，2，()022416CP XC===，()112224213C CP XC===，()2224126CP XC===，所以X的分布列为所以X的期望为()1210121636E X=⨯+⨯+⨯=；（Ⅲ）北斗二代定位模块纵坐标误差的方差大于北斗三代.点评：本题考查古典概率的求法，以及随机变量的分布列和期望的求法，方差的大小的判断，考查数形结合思想和运算能力、推理能力，属于中档题.19．已知椭圆E：22221x ya b+=（0a b>>），它的上，下顶点分别为A，B，左，右焦点分别为1F，2F ，若四边形12AF BF 为正方形，且面积为2.（Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）设存在斜率不为零且平行的两条直线1l ，2l ，它们与椭圆E 分别交于点C ，D ，M ，N ，且四边形CDMN 是菱形，求出该菱形周长的最大值.答案：（Ⅰ）2212x y +=；（Ⅱ）（Ⅰ）由题意可得22212222b c c b a b c=⎧⎪⎪⋅⋅=⎨⎪=+⎪⎩，解出即可；（Ⅱ）设1l 的方程为1y kx m =+，2l 的方程为2y kx m =+，联立直线与椭圆方程并消元得韦达定理的结论，根据弦长公式可求得CD ，MN ，由四边形CDMN 为菱形可得0MC ND ⋅=，可得2213220m k --=，再根据基本不等式即可求出最值．解：解：（Ⅰ）∵四边形12AF BF 为正方形，且面积为2，∴22212222b cc b a b c =⎧⎪⎪⋅⋅=⎨⎪=+⎪⎩，解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆的标准方程2212x y +=；（Ⅱ）设1l 的方程为1y kx m =+，()11,C x y ，()22,D x y ， 设2l 的方程为2y kx m =+，()33,M x y ，()44,N x y ，联立12222y kx m x y =+⎧⎨+=⎩可得()22211124220k x km x m +++-=， 由>0∆可得()()22221116412220k m km-+->，化简可得221210k m +->，①1122412km x x k -=++，211222212m x x k-+=，12CD x x-===，同理可得MN =， ∵四边形CDMN 为菱形，∴CD MN =，∴2212m m =，又∵12m m ≠，∴12m m =-，∴1l ，2l 关于原点对称，又椭圆关于原点对称， ∴,C M 关于原点对称，,D N 也关于原点对称，∴3131x x y y =-⎧⎨=-⎩且4242x x y y =-⎧⎨=-⎩，∴()112,2MC x y =，()222,2ND x y =， ∵四边形CDMN 为菱形，可得0MC ND ⋅=， 即12120x x y y +=，即()()1211210x x kx m kx m +++=， 即()()2121122110kx xkm x x m ++++=，可得()221111222224012121m km km m k kk -+=--++++=⋅， 化简可得2213220m k --=，∴菱形CDMN的周长为4l CD ==28312k=+()222122142312k k k +++≤=+ 当且仅当222214k k +=+，即212k =时等号成立， 此时211m =，满足①，∴菱形CDMN 的周长的最大值为 点评：本题主要考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查椭圆的几何性质，考查一元二次方程根与系数的应用，考查基本不等式的应用，考查转化与划归思想，考查计算能力，属于难题． 20．已知函数()()ln f x x x ax =-（a R ∈）.（Ⅰ）若1a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）若()f x 有两个极值点，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）若1a >，求()f x 在区间(]0,2a 上的最小值.答案：（Ⅰ）y x =-；（Ⅱ）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（Ⅲ）()22ln 22a a a ⎡⎤-⎣⎦.由题意得()1ln 2f x x ax '=+-；（Ⅰ）当1a =时，求得()11f '=-，()11f =-，根据点斜式方程即可求出切线方程；（Ⅱ）由题意得1ln 2xa x +=两个不等的正根，令()1ln x g x x +=，则()2ln x g x x -'=，由此可得函数()g x 的单调性，由此可求出答案；（Ⅲ）由题意可得()12f x a x''=-，由二阶导的取值符号可得到f x 的单调性，得到()()max 1ln 202f x f a a ⎛⎫''==-< ⎪⎝⎭，由此可求出函数()f x 在(]0,2a 上单调递减，从而求出最值．解：解：∵()()ln f x x x ax =-， ∴()1ln 2f x x ax '=+-；（Ⅰ）当1a =时，()11f '=-，()11f =-，∴曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()()11y x --=--， 即y x =-；（Ⅱ）∵若()f x 有两个极值点，∴()1ln 20f x x ax '=+-=有两个不等的正根，即1ln 2xa x+=两个不等的正根， 令()1ln xg x x +=，0x >，()2ln x g x x-'=， 令()01g x x ='⇒=，当()0,1x ∈时0g x，此时()g x 单调递增，01g e ⎛⎫=∴ ⎪⎝⎭()(,1)g x ∈-∞；当()1,x ∈+∞时0g x ，此时()g x 单调递减，()(0,1)g x ∈∴函数()g x 在1x =处取得极大值，也是最大值()11g =，因为1ln 2xa x+=两个不等的正根， ∴021a <<，得102a <<， ∴实数a 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（Ⅲ）∵()()ln f x x x ax =-，∴()1ln 2f x x ax '=+-，()12f x a x''=-， ∵1a >，(]0,2x a ∈，令()102f x x a''=⇒=， 当10,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x ''>，此时f x 单调递增，当1,2x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x ''<，此时f x 单调递减，故()()max 1ln 202f x f a a ⎛⎫''==-< ⎪⎝⎭， ∴()f x 在(]0,2a 上单调递减，故()f x 在(]0,2a 上的最小值为()()222ln 22f a a a a ⎡⎤=-⎣⎦．点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查利用导数求曲线的切线方程，考查计算能力，考查转化与化归思想，属于难题．21．数列A ：1x ，2x ，3x ，…，n x ，…，对于给定的t （1t >，t +∈N ），记满足不等式：()*n t x t x t n -≥-（n +∀∈N ，n t ≠）的*t 构成的集合为()T t ．（Ⅰ）若数列2:n A x n =，写出集合()2T ； （Ⅱ）如果()T t （t +∈N ，1t >）均为相同的单元素集合，求证：数列1x ，2x ，…，n x ，…为等差数列；（Ⅲ）如果()T t （t +∈N ，1t >）为单元素集合，那么数列1x ，2x ，…，n x ，…还是等差数列吗？如果是等差数列，请给出证明；如果不是等差数列，请给出反例．答案：（Ⅰ）[]3,5；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）是等差数列，证明见解析．（Ⅰ）由题意得，()2*42n tn -≥-，分1n =和2n >两类讨论解出不等式，再根据()2T 的定义即可求出；（Ⅱ）由题意，若()T t 中均只有同一个元素，不妨设为a ，当1n t =+时，由题意可得1t t x x a +-≥，当1n t =-时，有1t t x x a --≤，则1t t x x a +-=成立，从而得出证明；（Ⅲ）不妨设(){}T i a =，(){}T j b =，1i j <<，a b ，由题意可得()j i x x a j i -≥-，()j i x x b j i -≤-，则()()j i a j i x x b j i -≤-≤-，则a b ≤；设(){}i T i t =，则23n t t t ≤≤≤≤，则i j t t ≤，首先证2t =时的情况，不妨设21x x >，由212x x t -≤，()2T 为单元素集，则212x x t -=；再证332t x x =-，由3t 和2t 的定义可证323x x t -=，则3322t x x t =->，则存在正整数4m ≥使得()222m m t x x -=-，而()()2112332m m m i i i i i x x x x t m t --==-=-≥>-∑∑，得出矛盾，从而32t t =，同理可证2345t t t t ====，由此可得结论． 解：（Ⅰ）解：由题意得，()2T 为满足不等式()*22n n x x t-≥-的*t 构成的集合，∵数列2:n A x n =， ∴()2*42n t n -≥-，即()()()*222n n n t ≥--+，当1n =时，上式可化为*3t ≤，当2n >时，上式可化为*2n t +≥，得*5t ≥，∴()[],235T =；（Ⅱ）证：对于数列A ：1x ，2x ，3x ，…，n x ，…，若()T t 中均只有同一个元素，不妨设为a ，下面证明数列A 为等差数列，当1n t =+时，有1t t x x a +-≥，①当1n t =-时，有1t t x x a --≤，②∵①②两式对任意大于1的整数均成立，∴1t t x x a +-=成立，∴数列1x ，2x ，…，n x ，…为等差数列；（Ⅲ）解：对于数列A ：1x ，2x ，…，n x ，…，不妨设(){}T i a =，(){}T j b =，1i j <<，a b ，由(){}T i a =，知()j i x x a j i -≥-，由(){}T j b =，知：()i j x x b i j -≥-，即()j i x x b j i -≤-，∴()()j i a j i x x b j i -≤-≤-，∴a b ≤；设(){}i T i t =，则23n t t t ≤≤≤≤，这说明1i j <<，则i j t t ≤，∵对于数列A ，()T t 中均只有一个元素，首先证2t =时的情况，不妨设21x x >，∵212x x t -≤，又()2T 为单元素集，∴212x x t -=，再证332t x x =-，证明如下：由3t 的定义可知：332t x x ≥-，3132x x t -≥，∴31332max 2,x x t x x -⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭， 由2t 的定义可知32221x x t x x -≥=-， ∴32213133222x x x x x x t x x -+--≥-≥=，∴323x x t -=， ∵32t t >，∴3322t x x t =->，则存在正整数()4m m ≥，使得()222m m t x x -=-，③∵212323431k k x x t x x t x x x x --=≤-≤≤-≤≤-≤， ∴()()2112332m m m i i i i i x x x x t m t --==-=-≥>-∑∑，这与③矛盾，∴32t t =，同理可证2345t t t t ====，即232314x x x x x x =-=--⋅⋅⋅， ∴数列1x ，2x ，…，n x ，…还是等差数列．点评：本题主要考查数列的新定义问题，考查定义法证明等差数列，考查计算能力与推理能力，考查分类讨论思想，考查转化与化归思想，属于难题．。
北京市东城区2020届高三数学上学期期末考试试题(含解析)
如果您喜欢这份文档，欢迎下载！东城区2019-2020学年度第一学期期末教学统一检测高三数学第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}|1A x x =≤，{|(2)(1)0}B x x x =-+<，那么A B = （）A.{}|12x x -<< B.{}|11x x -≤<C.{}|12x x ≤< D.{}|11x x -<≤【答案】D 【解析】【分析】求得集合{|12}B x x =-<<，结合集合的交集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合{|(2)(1)0}{|12}B x x x x x =-+<=-<<，所以A B = {}|11x x -<≤.故选：D .【点睛】本题主要考查了集合的交集的运算，其中解答中正确求解集合B ，结合集合交集的概念及运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.复数(1)z i i =-在复平面内的对应点位于（）A.第一象限B.第三象限C.第二象限D.第四象限【答案】B 【解析】【分析】先化简复数，再计算对应点坐标，判断象限.【详解】1i z =--，对应点为(1,1)--，在第三象限.故答案选B【点睛】本题考查了复数的坐标表示，属于简单题.3.下列函数中，是偶函数，且在区间()0,∞+上单调递增的为（）A.1y x=B.ln ||y x = C.2xy = D.1||y x =-【答案】B 【解析】【分析】结合函数的单调性与奇偶性的定义与判定方法，以及初等函数的性质，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，对于A 中，函数()()1f x f x x-=-=-，所以函数为奇函数，不符合题意；对于B 中，函数()ln ||f x x =满足()()ln ||ln ||f x x x f x -=-==，所以函数为偶函数，当0x >时，函数ln y x =为()0,∞+上的单调递增函数，符合题意；对于C 中，函数2x y =为非奇非偶函数，不符合题意；对于D 中，1||y x =-为偶函数，当0x >时，函数1y x =-为单调递减函数，不符合题意，故选：B .【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和函数的单调性的判定与应用，其中解答中熟记函数的单调性与奇偶性的判定方法，以及初等函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.4.设,a b 为实数，则“0a b >>”是“a b ππ>”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据函数()xf x π=为单调递增函数，结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由题意，函数()xf x π=为单调递增函数，当0a b >>时，可得()()f a f b >，即a b ππ>成立，当a b ππ>，即()()f a f b >时，可得a b >，所以0a b >>不一定成立，所以“0a b >>”是“a b ππ>”的充分而不必要条件.故选：A .【点睛】本题主要考查了指数函数的性质，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记指数函数的性质，以及熟练应用充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于中档题.5.设α，β是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，则下列结论中正确的是（）A.若m α⊥，m n ⊥，则//n αB.若αβ⊥，m α⊥，n β⊥，则m n⊥C.若//n α，m n ⊥，则m α⊥ D.若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n【答案】B 【解析】【分析】根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解，得到答案.【详解】由题意，对于A 中，若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n ⊂α，所以不正确；对于C 中，若//n α，m n ⊥，则m 与α可能平行，相交或在平面α内，所以不正确；对于D 中，若//αβ，m α⊂，n β⊂，则m 与n 平行、相交或异面，所以不正确；对于B 中，若αβ⊥，m α⊥，n β⊥，，根据线面垂直的性质，可证得m n ⊥成立，故选：B .【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.6.从数字1，2，3，4，5中，取出3个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于6，这样的三位数的个数为（）A.7B.9C.10D.13【答案】C 【解析】【分析】由题意，把问题分为三类：当三个数分别为1,1,4，1,2,3，2,2,2三种情况，结合排列、组合和计数原理，即可求解.【详解】从数字1，2，3，4，5中，取出3个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于6，可分为三类情况：（1）当三个数为1,1,4时，共有133C =种排法；（2）当三个数为1,2,3时，共有336A =种排法；（3）当三个数为2,2,2时，只有1中排法，由分类计数原理可得，共有36110++=种不同排法，即这样的数共有10个.故选：C .【点睛】本题主要考查了计数原理与排列、组合的应用，其中解答中认真审题，合理分类，结合计数原理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7.设α，β是三角形的两个内角，下列结论中正确的是（）A 若2παβ+<，则sin sin αβ+< B.若2παβ+<，则cos cos αβ+<C.若2παβ+>，则sin sin 1αβ+> D.若2παβ+>，则cos cos 1αβ+>【答案】A 【解析】【分析】结合三角恒等变换的公式，以及合理利用赋值法，逐项判定，即可求解得到答案.【详解】对于A 中，因为2παβ+<，则0,24424αβππαβπ+-<<-<<又由sin sin 2sin cos 2sin cos 22422αβαβπαβαβαβ+---+=<=≤所以sin sin αβ+<是正确的；对于B 中，例如,66ππαβ==，此时cos cos 66ππ+=>，所以cos cos αβ+<不一定成立，所以不正确；对于C 中，因为2παβ+>，例如5,612ππαβ==时，5611sin sin 2124ππ-+=+<，所以sin sin 1αβ+>不正确；对于D 中，因为2παβ+>，例如2,36ππαβ==时，1cos c 23os 1622ππ+=-+<，所以cos cos 1αβ+>不正确，故选：A .【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的应用，以及三角函数值的应用，其中解答熟记三角恒等变换的公式，以及合理利用赋值法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8.用平面截圆柱面，当圆柱的轴与α所成角为锐角时，圆柱面的截面是一个椭圆，著名数学家Dandelin 创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于α的上方和下方，并且与圆柱面和α均相切.给出下列三个结论：①两个球与α的切点是所得椭圆的两个焦点；②若球心距124O O =2；③当圆柱的轴与α所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大.其中，所有正确结论的序号是（）A.①B.②③C.①②D.①②③【答案】C【解析】【分析】设圆柱的底面半径为R ，根据题意分别求得b R =，sin R a α=，tan ROC α=，结合椭圆的结合性质，即可求解.【详解】由题意，作出圆柱的轴截面，如图所示，设圆柱的底面半径为R ，根据题意可得椭圆的短轴长为22b R =，即b R =，长轴长为22sin R a α=，即sin Ra α=，在直角1O OC ∆中，可得1tan O C OC α=，即1tan tan O C ROC αα==，又由22222222211tan tan sin R R OC b R R ααα⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭，即222OC b a +=，所以222OCa b =-，又因为椭圆中222c a b =-，所以OC c =，即切点为椭圆的两个交点，所以①是正确的；由124O O =，可得12O O =，即R =在直角1O OC ∆中，22222121OCOO R =-=-=，由①可知，即1c =，所以22c =，即椭圆的焦距为2，所以②是正确的；由①可得sin R a α=，tan Rc α=，所以椭圆的离心率为sin tan cos tan sin Rc e R a ααααα====，所以当当圆柱的轴与α所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率变小，所以③不正确.故选：C【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质及其应用，其中解答中认真审题，合理利用圆柱的结构特征，以及椭圆的几何性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9.若双曲线221x y m -=与22132x y -=有相同的焦点，则实数m =_________.【答案】4【解析】【分析】结合双曲线的几何性质，得到132m +=+，即可求解，得到答案.【详解】由题意，双曲线221x y m -=与22132x y -=有相同的焦点，可得132m +=+，解得4m =.故答案为：4.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及几何性质的应用，其中解答中熟练应用双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.10.已知{}n a 是各项均为正的等比数列，n S 为其前n 项和，若16a =，2326a a +=，则公比q =________，4S =_________.【答案】(1).12(2).454【解析】【分析】根据等比数列的通项公式，得到2210q q +-=，求得12q =再由等比数列的前n 项和公式，求得4S ，得到答案.【详解】由题意，在数列{}n a 是各项均为正的等比数列，因为16a =，2326a a +=，可得221126126a q a q q q +=+=，即2210q q +-=，解得12q =或1q =-（舍去），又由等比数列的前n 项和公式，可得4416[1()]4521412S ⋅-==-.故答案为：12，454.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，以及等比数列前n 项和公式的应用，其中解答中熟练等比数列的通项公式和前n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11.能说明“直线0x y m -+=与圆22420x y x y ++-=有两个不同的交点”是真命题的一个m 的值为______.【答案】0【解析】【分析】根据直线与圆相交，利用圆心到直线的距离小于圆的半径，<，求得m的取值范围，即可求解.【详解】由题意，圆22420x y x y ++-=的圆心坐标为(2,1)-，半径为r =，若直线0x y m -+=与圆22420x y x y ++-=有两个不同的交点，<33m <<+所以命题为真命题的一个m 的值为0.故答案为：0.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系，列出不等式求得m 的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.12.在平行四边形ABCD 中，已知AB AC AC AD ⋅=⋅，||4AC = ，||2BD = ，则四边形ABCD 的面积是_______.【答案】4【解析】【分析】由AB AC AC AD ⋅=⋅ ，根据向量的线性运算，得到AC BD ⊥uuu r uu u r ，进而得到四边形ABCD 是菱形，即可求得四边形的面积，得到答案.【详解】由题意，在平行四边形ABCD 中，AB AC AC AD ⋅=⋅，可得()0AB AC AC AD AB AC BD ⋅=⋅-=⋅= ，所以AC BD⊥uuu r uu u r 所以四边形ABCD 是菱形，又由||4AC = ，||2BD = ，所以面积为14242S =⨯⨯=.故答案为：4.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，向量的数量积的应用，以及菱形的面积的计算，其中解答熟练应用向量的减法运算公式，以及向量的数量积的公式，求得四边形为菱形是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.13.已知函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>，曲线()y f x =与直线y =相交，若存在相邻两个交点间的距离为6π，则ω的所有可能值为__________．【答案】2或10【解析】【分析】令2sin()x ωϕ+=，解得2,3x k k Z πωϕπ+=+∈或22,3x k k Z πωϕπ+=+∈，根据存在相邻两个交点间的距离为6π，得到2136x x w ππ-==或21536x x w ππ-==，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>，曲线()y f x =与直线y =令2sin()x ωϕ+=，即sin()2x ωϕ+=，解得2,3x k k Z πωϕπ+=+∈或22,3x k k Z πωϕπ+=+∈，由题意存在相邻两个交点间的距离为6π，结合正弦函数的图象与性质，可得2122(),33k w x x k Z πππ-+=-∈，令0k =，可得2136x x w ππ-==，解得2w =.或21722(),33k w x x k Z πππ-+=-∈，令0k =，可得21536x x w ππ-==，解得10w =.故答案为：2或10.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，以及三角方程的求解，其中解答中熟练应用三角函数的图象与性质，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理能力与计算鞥能力，属于中档试题.14.将初始温度为0C ︒的物体放在室温恒定为30C ︒的实验室里，现等时间间隔测量物体温度，将第n 次测量得到的物体温度记为n t ，已知10t C =︒.已知物体温度的变化与实验室和物体温度差成正比（比例系数为k ）.给出以下几个模型，那么能够描述这些测量数据的一个合理模型为__________：（填写模型对应的序号）①130n n n kt t t +-=-；②()130n n n t t k t +-=-；③()130n n t k t +=-.在上述模型下，设物体温度从5C ︒升到10C ︒所需时间为min a ，从10C ︒上升到15C ︒所需时间为min b ，从15C ︒上升到20C ︒所需时间为min C ，那么a b 与bc的大小关系是________（用“>”，“=”或“<”号填空）【答案】(1).②(2).>【解析】【分析】由温度的变化与实验室和物体温度差成正比（比例系数为k ），即可得到()130n n n t t k t +-=-，再根据函数模型，分别求得k 的值，结合作差比较，即可得到答案.【详解】由题意，将第n 次测量得到的物体温度记为n t ，则两次的体温变化为1n n t t +-，又由温度的变化与实验室和物体温度差成正比（比例系数为k ），所以()130n n n t t k t +-=-，当物体温度从5C ︒升到10C ︒所需时间为min a ，可得()105305k -=-，可得51255k ==，当物体温度从10C ︒上升到15C ︒所需时间为min b ，可得()15103010k -=-，可得14k =，当物体温度从15C ︒上升到20C ︒所需时间为min c ，可得()20153015k -=-，可得13k =，可是111,,,0543a mb mc m m ===>，又由222221111111()5341516151601111431212b c m m m m m a ac b b bc m m m ⨯-----====>⨯，即a b 与b c 的大小关系是a b >b c.故答案为：②，>【点睛】本题主要考查了函数的模型的选择，以及实际应用问题的求解，其中解答中认真审题，正确理解题意，选择适当的函数模型是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC ∆中，已知sin cos 0c A C +=.（1）求C ∠的大小；（2）若2b =，c =，求ABC ∆的面积.【答案】（1）23C π∠=（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理可得sin sin sin 0C A C A +=，求得sin 0C C =，即可求解C ∠的大小；（2）由正弦定理，可得1sin 2B =，得到6B π∠=，进而得到6A B C ππ∠=-∠-∠=，结合三角形的面积公式，即可求解.【详解】（1）因为sin cos 0c A C +=，由正弦定理可得sin sin sin 0C A C A +=，又因为(0,)A π∈，所以sin 0A >，所以sin 0C C +=，即tan C =又因为0C π<<，所以23C π∠=.（2）由正弦定理，可得32sin 12sin 2b C B c ⨯===，又因为03B π<<，所以6B π∠=，所以6A B C ππ∠=-∠-∠=.所以ABC ∆的面积111sin 2222S bc A ==⨯⨯=.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.16.2019年6月，国内的5G 运营牌照开始发放.从2G 到5G ，我们国家的移动通信业务用了不到20年的时间，完成了技术上的飞跃，跻身世界先进水平.为了解高校学生对5G 的消费意愿，2019年8月，从某地在校大学生中随机抽取了1000人进行调查，样本中各类用户分布情况如下：用户分类预计升级到5G 的时段人数早期体验用户2019年8月至2019年12月270人中期跟随用户2020年1月至202l 年12月530人后期用户2022年1月及以后200人我们将大学生升级5G 时间的早晚与大学生愿意为5G 套餐支付更多的费用作比较，可得出下图的关系（例如早期体验用户中愿意为5G 套餐多支付5元的人数占所有早期体验用户的40%）.（1）从该地高校大学生中随机抽取1人，估计该学生愿意在2021年或2021年之前升级到5G 的概率；（2）从样本的早期体验用户和中期跟随用户中各随机抽取1人，以X表示这2人中愿意为升级5G多支付10元或10元以上的人数，求X的分布列和数学期望；（3）2019年底，从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G套餐，能否认为样本中早期体验用户的人数有变化？说明理由.【答案】（1）0.8（2）详见解析（3）事件D虽然发生概率小，但是发生可能性为0.02，所以认为早期体验用户没有发生变化，详见解析【解析】【分析】（1）由从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前升级到5G，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解；（2）由题意X的所有可能值为0,1,2，利用相互独立事件的概率计算公式，分别求得相应的概率，得到随机变量的分布列，利用期望的公式，即可求解.（3）设事件D为“从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G套餐”，P D，即可得到结论.得到七概率为()【详解】（1）由题意可知，从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前升级到5G 的概率估计为样本中早期体验用户和中期跟随用户的频率，即2705300.81000+=.（2）由题意X 的所有可能值为0,1,2，记事件A 为“从早期体验用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G 多支付10元或10元以上”，事件B 为“从中期跟随用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G 多支付10元或10元以上”，由题意可知，事件A ，B 相互独立，且()140%0.6P A =-=，()145%0.55P B =-=，所以(0)()(10.6)(10.55)0.18P X P AB ===--=，(1)()()()P X P AB AB P AB P AB ==+=+()(1())(1()()P A P B P A P B =-+-0.6(10.55)(10.6)0.55=⨯-+-⨯0.49=，(2)()0.60.550.33P X P AB ===⨯=，所以X 的分布列为X012P0.180.490.33故X 的数学期望()00.1810.4920.33 1.15E X =⨯+⨯+⨯=.（3）设事件D 为“从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G 套餐”，那么327031000()0.02C P D C =≈.回答一：事件D 虽然发生概率小，但是发生可能性为0.02，所以认为早期体验用户没有发生变化.回答二：事件D 发生概率小，所以可以认为早期体验用户人数增加.【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列，数学期望的求解及应用，对于求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可能取值，计算得出概率，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望，其中列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题.17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，12AA AB BC ===.（1）求证：1BC ⊥平面11A B C ；（2）求异面直线1B C 与1A B 所成角的大小；（3）点M 在线段1B C 上，且11((0,1))B MB Cλλ=∈，点N 在线段1A B 上，若MN ∥平面11A ACC ，求11A NA B的值（用含λ的代数式表示）.【答案】（1）证明见解析（2）3π（3）1λ-【解析】【分析】（1）根据三棱柱111ABC A B C -的结构特征，利用线面垂直的判定定理，证得11A B ⊥平面11B BCC ，得到111A B BC ⊥，再利用线面垂直的判定定理，即可证得1BC ⊥平面11A B C ；（2）由（1）得到AB BC ⊥，建立空间直角坐标系B xyz -，求得向量11,B C A B，利用向量的夹角公式，即可求解.（3）由11B M B C λ=，得(2,0,22)M λλ-，设11A NA Bμ=，得(0,22,22)N μμ--，求得向量MN 的坐标，结合//MN 平面11A ACC ，利用0MN n ⋅=，即可求解.【详解】（1）在三棱柱111ABC A B C -中，由1BB ⊥平面ABC ，所以1BB ⊥平面111A B C ，又因为1BB ⊂平面11B BCC ，所以平面11B BCC ⊥平面111A B C ，交线为11B C .又因为AB BC ⊥，所以1111A B B C ⊥，所以11A B ⊥平面11B BCC .因为1BC ⊂平面11B BCC ，所以111A B BC ⊥又因为12BB BC ==，所以11B C BC ⊥，又1111A B B C B = ，所以1BC ⊥平面11A B C.（2）由（1）知1BB ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，如图建立空间直角坐标系B xyz -，由题意得()0,0,0B ，()2,0,0C ，()10,2,2A ，()10,0,2B .所以()12,0,2B C =- ，()10,2,2A B =--.所以()1111111cos ,2||||A B B C A B B C BA B C ⋅==.故异面直线1B C 与1A B 所成角的大小为3π.（3）易知平面11A ACC 的一个法向量()1,1,0n =，由11B MB Cλ=，得(2,0,22)M λλ-.设11A NA Bμ=，得(0,22,22)N μμ--，则(2,22,22)MN λμλμ=---因为//MN 平面11A ACC ，所以0MN n ⋅=，即(2,22,22)(1,1,0)0λμλμ---⋅=，解得1μλ=-，所以111A NA Bλ=-.【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.18.已知函数321()3()3f x x x ax a =--∈R .（1）若()f x 在1x =-时，有极值，求a 的值；（2）在直线1x =上是否存在点P ，使得过点P 至少有两条直线与曲线()y f x =相切？若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）1a =-（2）不存在，详见解析【解析】【分析】（1）求得2()23f x x x a '=-+，根据函数()f x 在1x =-取得极值，即可求解；（2）不妨设点()1,P b ，设过点P 与()y f x =相切的直线为l ，切点为()00,x y ，求得切线方程，根据直线l 过()1,P b ，转化为()()322000000132313b x x ax x x a x -+-=-+-，设函数322()2233g x x x x a b =-+-+，转化为()g x 在区间(),-∞+∞上单调递增，即可求解.【详解】（1）由题意，函数321()33f x x x ax =-+，则2()23f x x x a '=-+，由()f x 在1x =-时，有极值，可得(1)1230f a '-=++=，解得1a =-.经检验，1a =-时，()f x 有极值.综上可得1a =-.（2）不妨设在直线1x =上存在一点()1,P b ，设过点P 与()y f x =相切的直线为l ，切点为()00,x y ，则切线l 方程为()()32200000013233y x x x x x a x x α-+-=-+-，又直线l 过()1,P b ，有()()322000000132313b x x ax x x a x -+-=-+-，即32000222303x x x a b -+-+=，设322()2233g x x x x a b =-+-+，则22()2422(1)0g x x x x '=-+=-≥，所以()g x 在区间(),-∞+∞上单调递增，所以()0g x =至多有一个解，过点P 与()y f x =相切的直线至多有一条，故在直线1x =上不存在点P ，使得过P 至少有两条直线与曲线()y f x =相切.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，其中解答中熟记函数的导数与函数间的关系是解答的关键，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力．19.已知椭圆222:1(1)x C y a a +=>的离心率是2.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知1F ，2F 分别是椭圆C 的左、右焦点，过2F 作斜率为k 的直线l ，交椭圆C 于,A B 两点，直线1F A ，1F B 分别交y 轴于不同的两点,M N .如果1MF N ∠为锐角，求k 的取值范围.【答案】（1）2212x y +=（2）,0,,7447⎛⎛⎫⎛⎛⎫-∞-⋃-⋃⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】（1）由题意，列出方程组，求得22a =，即可得到椭圆的方程；（2）设直线l 的方程为()1y k x =-，联立方程组，根据根和系数的关系，结合向量的数量【详解】（1）由题意，椭圆222:1(1)x C y a a +=>的离心率是22，可得222221c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得22a =，所以椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）由已知直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为()1y k x =-，直线l 与椭圆C 的交点为()11,A x y ，()22,B x y .由22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222214220k x k x k +-+-=.由已知，判别式>0∆恒成立，且2122421k x x k +=+，21222221k x x k -=+.①直线1F A 的方程为11(1)1y y x x =++，令0x =，则110,1y M x ⎛⎫⎪+⎝⎭.同理可得220,1y N x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭.所以()()()()()()2121211121211111111k x x y y F M F N x x x x --⋅=+=+++++()()()()222212121212121212121111111k x x k x x k k x x x x x x x x x x x x ++-+++⎡⎤-++⎣⎦=+=++++++将①代入并化简，得21127181k F M F N k -⋅=- .依题意，角1MF N ∠为锐角，所以110F M F N ⋅> ，即211271081k F M F N k -⋅=>- .解得217k >或218k <.综上，直线l 的斜率的取值范围是7227,0,,7447⎛⎫⎛⎫⎛⎛⎫-∞-⋃-⋃⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.20.已知数列{}n a ，记集合{}*1(,)|(,),1,,i i j T S i j S i j a a a i j i j +==+++<∈N .（1）对于数列{}:1,2,3,4n a ，写出集合T ；（2）若2n a n =，是否存在*,i j N ∈，使得(),1024S i j =？若存在，求出一组符合条件的,i j ；若不存在，说明理由.（3）若22n a n =-，把集合T 中的元素从小到大排列，得到的新数列为12:,,,n B b b b ，若2020m b ≤，求m 的最大值.【答案】（1）{3,5,6,7,9,10}T =（2）不存在*,i j N ∈，使得(),1024S i j =成立.(3)详见解析【解析】【分析】（1）根据集合的定义{}*1(,)|(,),1,,i i j T S i j S i j a a a i j i j +==+++<∈N ，即可求解；（2）假设存在*,i j N ∈，使得(),1024S i j =，得到1024(1)()j i i j =-++，根据i j +与j i -奇偶性相同，所以i j +与1j i -+奇偶性不同，进而得到结论.（3）若*,i j N ∃∈，使得(1)()(1)22t j i i j i i j -++++++== ，得到1(1)()2t j i i j +-++=不成立，结合数学归纳法，把数列22n a n =-，转化为数列0,1,2,3,,,n ，其相应集合T 中满足1010n b ≤有多少项，即可得到结论.【详解】（1）由题意，集合{}*1(,)|(,),1,,i i j T S i j S i j a a a i j i j +==+++<∈N ，可得{3,5,6,7,9,10}T =.（2）假设存在*,i j N ∈，使得(),1024S i j =，则有1102422(1)2(1)()i i j a a a i i j j i i j -=+++=++++=-++ ，由于i j +与j i -奇偶性相同，所以i j +与1j i -+奇偶性不同.又因为3i j +≥，12j i -+≥，所以1024必有大于等于3的奇数因子，这与1024无1以外的奇数因子矛盾.故不存在*,i j N ∈，使得(),1024S i j =成立.（3）首先证明n a n =时，对任意的*m N ∈都有2t m b ≠，*t N ∈.若*,i j N ∃∈，使得：(1)()(1)22t j i i j i i j -++++++== ，由于1j i -+与j i -均大于2且奇偶性不同，所有1(1)()2t j i i j +-++=不成立.其次证明除()2tt N ∈形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和.若正整数()221th k =+，其中t N ∈，*t N ∈.当1221t k +>+时，由等差数列的性质有：()()()()(21)(21)(21)2212212t t t t t h k k k k k =++++++=-++-++++++ 此时结论成立.当1221t k +<+时，由等差数列的性质有：(21)(21)(21)h k k k =++++++ ()()21(1)(1)(2)2t t k k k k k k =-+++-++++++++ ，此时结论成立.对于数列22n a n =-，此问题等价于数列0,1,2,3,,,n ，其相应集合T 中满足：1010n b ≤有多少项.由前面的证明可知正整数2，4，8，16，32，64，128，256，512不是集合T 中的项，所以n 的最大值为1001.【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的应用，以及数列的综合应用，其中解答中认真审题，利用题设条件，结合数列的运算和数学归纳法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，试题综合性强，属于难题.。
北京市东城区2020届高三第一学期期末数学试题(word版含答案)
北京市东城区2020届第一学期末统一检测 高三数学 2020.1本试卷共4页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1)已知集合{|1}A x x =≤，()(){|210}B x x x =-+<，那么A B =I (A){|12}x x -<< (B){|11}x x -<≤ (C){|12}x x <≤(D){|11}x x -<≤(2)复数z=i(i 1)-在复平面内对应的点位于 (A)第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限(D)第四象限(3)下列函数中，是偶函数，且在区间(0+)∞，上单调递增的为 (A)1y x=(B)ln y x = (C)2xy -=(D)1y x =-(4)设,a b 为实数，则“0a b >>”是“a b π>π”的 (A) 充分而不必要条件(B) 必要而不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 (5)设,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，则下列结论中正确的是 (A)若m α⊥，m n ⊥，则 n α∥(B) 若αβ⊥，m α⊥，n β⊥，则m n ⊥ (C)若n α∥，m n ⊥，则m α⊥(D)若αβ∥，m ⊂α，n ⊂β，则m n ∥(6)从数字1,2,3,4,5中，取出3个数字(允许重复)，组成三位数，各位数字之和等于6，这样的三位数的个数为 (A)7 (B) 9(C)10(D)13(7)设αβ，是三角形的两个内角，下列结论中正确的是(A)若2αβπ+<，则sin sin αβ+<若2αβπ+<，则cos cos αβ+<(C)若2αβπ+>，则sin sin 1αβ+>(D)若2αβπ+>，则cos cos 1αβ+>(8) 用平面截圆柱面，当圆柱的轴与α所成角为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆．著名数学家Dandelin 创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于α的上方和下方，并且与圆柱面和α均相切.给出下列三个结论： ①两个球与α的切点是所得椭圆的两个焦点；②若球心距124O O =，球的半径为3，则所得椭圆的焦距为2； ③当圆柱的轴与α所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大. 其中，所有正确结论的序号是 (A) ① (B)②③ (C) ① ② (D) ① ②③第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市东城区2020届高三上学期期末教学统一检测数学试题答案(pdf版)
东城区2019-2020学年度第一学期期末教学统一检测高三数学参考答案及评分标准 2020.1一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）D （2）C （3）B （4）A（5）B （6）C （7） A （8）C二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）4 （10）14524（11）0 （答案不唯一） （12）4（13）2或10 （14）② >三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（Ⅰ）由正弦定理可得sin sin sin =0C A C A .因为sin 0A >，所以tan C =又因为0C <∠<π, 所以2π=3C ∠. ...................................................................................................7分 （Ⅱ）由正弦定理得2sin 1sin =2b C B c ==, 又因为03B π<∠<， 所以ππ,66B A B C ∠=∠=π-∠-∠= . 所以△ABC的面积111sin 2222S bc A ==⨯⨯=. ................................................13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）由题意可知，从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前升级到5G 的概率估计为样本中早期体验用户和中期跟随用户的频率，即2705300.810001000+=. ..............................3分 （II ）由题意X 的所有可能值为0,1,2.记事件A 为“从早期体验用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G 多支付10元或10元以上”， 事件B 为“从中期跟随用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G 多支付10元或10元以上”，由题意可知，事件，A B 相互独立，且()140%0.6P A =-=，()145%0.55P B =-=， 所以(0)()(10.6)(10.55)0.18P X=P AB ==--=，(1)()()()()(1())(1()()0.610.5510.6)0.550.49P X P AB+AB P AB P AB P A P B P A P B ===+=-+-=⨯-+-⨯=（）（，()()0.60.550.33.P X=2P AB ==⨯=所以X 的分布列为故X 的数学期望00.1810.4920.33 1.15（）E X =⨯+⨯+⨯=. ……………10分 （III ）设事件D 为“从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G 套餐”，那么327031000()0.02.C P D C =≈ 回答一：事件D 虽然发生概率小，但是发生可能性为0.02，所以认为早期体验用户没有发生变化. 回答二：事件D 发生概率小，所以可以认为早期体验用户人数增加. ……………13分（17）（共14分）解：（Ⅰ）在三棱柱111ABC A B C -中，由于1BB ⊥平面ABC ，所以1BB ⊥平面111A B C ．又1BB ⊂平面11B BCC ，所以平面11B BCC ⊥平面111A B C ，交线为11B C .又因为AB BC ⊥，所以1111A B B C ⊥．所以11A B ⊥平面11B BCC ．因为1BC ⊂平面11B BCC ，所以111.A B BC ⊥又因为12BB BC ==，所以11B C BC ⊥．又11A B 11B C B =,所以1BC ⊥平面11A B C ． …………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知1BB ⊥底面ABC ，AB BC ⊥．如图建立空间直角坐标系B xyz -．由题意得(0,0,0)B ，(2,0,0)C ，1(0,2,2)A ，1(0,0,2)B ．所以1(2,0,2)B C =-uuu r ，1(0,2,2)A B =--uuu r ． 所以1111111cos ,2||||A B B C A B B C BA B C ⋅〈〉==uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ． 故异面直线1B C 与1A B 所成角的大小为3π． …………9分 （Ⅲ）易知平面11A ACC 的一个法向量为(1,1,0)=n ， 由11B M B Cλ=，得(2,0,22).M λλ- 设11A N A Bμ=，得(0,22,22)N μμ--， 则(2,22,22)MN λμλμ−−→=---因为//MN 平面11A ACC ，所以0MN −−→⋅=n ，即(2,22,22)(1,1,0)0λμλμ---⋅=，解得1μλ=-． 所以111A N A B λ=-． …………14分（18）（共13分）解：(Ⅰ) 因为 321()33f x x x ax =-+， 所以 ()223f x x x a '=-+.由()f x 在1x =-时，有极值得 ()11230f a '-=++= ，解得 1a =- .经检验，1a =-时，()f x 有极值.综上，1a =-. ……………4分（Ⅱ）不妨设在直线1x =上存在一点(1,)P b ，设过点P 与()y f x =相切的直线为l ，切点为00(,)x y ，则切线l 方程为32200000013(23)()3y x x ax x x a x x -+-=-+-.又直线l 过(1,)P b ，有32200000013(23)(1)3b x x ax x x a x -+-=-+-， 即3200022+2303x x x a b --+=. 设322()2233g x x x x a b =-+-+， 22'()2422(1)0g x x x x =-+=-≥.所以()g x 在区间(,)-∞+∞上单调递增，所以()0g x =至多有一个解.过点P 与()y f x =相切的直线至多有一条.故在直线1x =上不存在点P ，使得过P 至少有两条直线与曲线()y f x =相切. ………………13分（19）（共14分）解：（Ⅰ）由题意222221c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，，解得22a =. 所以椭圆C 的方程为22 1.2x y +=…………4分 （Ⅱ）由已知直线l 的斜率不为0.设直线l 方程为()1y k x =-.直线l 与椭圆C 的交点为()()1122,,,A x y B x y .由()22112y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2222214220k x k x k +-+-=. 由已知，判别式0∆>恒成立，且22121222422,.2121k k x x x x k k -+==++① 直线1F A 的方程为()1111y y x x =++，令0x =，则11(0,)1y M x +. 同理可得22(0,)1y N x +. 所以()()()()()()2121211121211111111k x x y y F M F N x x x x --⋅=+=+++++uuu u r uuu r()()()()222212121212121212121111111k x x k x x k k x x x x x x x x x x x x ++-+++-++⎡⎤⎣⎦=+=++++++.将①代入并化简，得21127181k F M F N k -⋅=-uuu u r uuu r . 依题意，1MF N ∠我锐角，所以110F M F N ⋅>，即211271081k F M F N k -⋅=>-uuu u r uuu r . 解得217k >或218k <. 综上，直线l斜率的取值范围是(,(,0)(0,(,)7447-∞--+∞U U U . ....................14分 （20）（共13分） 解：（Ⅰ）{}=3567910T ，，，，，. …………………………………………………………………3分（Ⅱ）假设存在i j *∈N ，，使得()=1024S i j ，，则有 1102422(1)2(1)()L L i i j a a a i i j j i i j +=+++=++++=-++，由于i j +与j i -奇偶性相同，所以i j +与1j i -+奇偶性不同. 又因为3i j +≥，12j i -+≥，所以1024必有大于等于3的奇数因子，这与1024无1以外的奇数因子矛盾.故不存在i j *∈N ，，使得()=1024S i j ，成立. …………………………8分 （Ⅲ）首先证明n a n =时，对任意的m *∈N 都有2t m b t *≠∈N ，. 若,i j *∃∈N ，使得：(1)()(1)22L t j i i j i i j -++++++==， 由于1j i -+与j i -均大于2且奇偶性不同，所以1(1)()2t j i i j +-++=不成立. 其次证明除2()t t ∈N 形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和.若正整数2(21)t h k =+，其中t ∈N ，k *∈N .当1221t k +>+时，由等差数列的性质有：(21)222=(2)(21)2(21)(2)t t t t t t t t k h k k +=+++-++-+++++个L L L 144444424444443此时结论成立.当1221t k +<+时，由等差数列的性质有：2(21)(21)(21)=(21)(1)(1)(2)(2),t t t h k k k k k k k k k =++++++-+++-++++++++个L 14444444444444244444444444443L L此时结论成立.对于数列22n a n =-. 此问题等价于数列0123n ，，，，，，L L ，其相应集合T 中满足：1010n b ≤有多少项.由前面的证明可知正整数248163264128256512，，，，，，，，不是集合T 中的项， 所以n 的最大值为1001. .............................13分。