用二分法求方程的近似解
用二分法求方程的近似解(带练习)
4.5.2用二分法求方程的近似解1．二分法的概念对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2．用二分法求函数零点近似值的步骤给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下：(1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)<0．(2)求区间(a，b)的中点__c__．(3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则__c__就是函数的零点；②若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；③若f(c)f(b)<0(此时零点x0∈(c，b))，则令a＝c.(4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．以上步骤可借助口诀记忆：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断.1．已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的零点的个数分别为()A．4，4 B．3，4C．5，4 D．4，3D解析：图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的零点个数为3，故选D.2．若函数f(x)在(1，2)内有1个零点，要使零点的近似值满足精确度为0.01，则对区间(1，2)至少二等分( )A ．5次B ．6次C ．7次D ．8次C 解析：设对区间(1，2)至少二等分n 次，初始区间长为1. 第1次二等分后区间长为12；第2次二等分后区间长为122；第3次二等分后区间长为123；…第n 次二等分后区间长为12n .根据题意，得12n ＜0.01，∴n ＞log 2100. ∵6＜log 2100＜7， ∴n ≥7.故对区间(1，2)至少二等分7次．【例1】下面关于二分法的叙述中，正确的是( ) A ．用二分法可求所有函数零点的近似值B ．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C ．二分法无规律可循，无法在计算机上完成D ．只能用二分法求函数的零点B 解析：用二分法求函数零点的近似值，需要有端点函数值符号相反的区间，故选项A 错误；二分法是一种程序化的运算，可以在计算机上完成，故选项C 错误；求函数的零点的方法还有方程法、函数图象法等，故选项D 错误．故选B.运用二分法求函数的零点应具备的条件(1)函数图象在零点附近连续不断．(2)在该零点左右函数值异号．只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数的零点．1．下列关于函数f(x)，x∈[a，b]的命题中，正确的是()A．若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点B．若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可以用二分法求x0的近似值C．函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点D．用二分法求方程的根时，得到的都是近似解A解析：使用二分法必须满足二分法的使用条件，B不正确；f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点，C不正确；用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，D不正确，只有A正确．2．已知下列四个函数图象，其中能用二分法求出函数零点的是()A解析：由二分法的定义与原理知A选项正确.【例2】利用二分法求方程x2－x－1＝0的近似解(精确度为0.3)．解：令f(x)＝x2－x－1，由于f(0)＝－1＜0，f(1)＝－1＜0，f(2)＝1＞0，故可取区间(1，2)作为计算的初始区间．用二分法逐次计算，列表如下：零点所在区间中点的值中点函数值(1，2) 1.5 －0.25(1.5，2) 1.75 0.312 5(1.5，1.75) 1.625 0.015 625∵|1.75－1.5|＝0.25＜0.3，∴方程x2－x－1＝0的近似解可取1.5或1.75.二分法的步骤证明函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1，2)内有唯一一个零点，并求出这个零点．(精确度为0.1)证明：∵函数f(x)＝2x＋3x－6，∴f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0.∴f(x)在区间(1，2)内有零点．又∵f(x)是增函数，∴函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1，2)内有唯一的零点．设该零点为x0，则x0∈(1，2)，取x1＝1.5，f(1.5)≈1.33>0，f(1)·f(1.5)<0，∴x0∈(1，1.5)．取x2＝1.25，f(1.25)≈0.128>0，f(1)·f(1.25)<0，∴x0∈(1，1.25)．取x3＝1.125，f(1.125)≈－0.44<0，f(1.125)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.125，1.25)．取x4＝1.187 5，f(1.187 5)≈－0.16<0，f(1.187 5)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.187 5，1.25)．∵|1.25－1.187 5|＝0.062 5<0.1，∴可取x0＝1.25，则该函数的零点近似解为1.25.探究题1某方程在区间D＝(2，4)内有一无理根，若用二分法求此根的近似值，要使所得的近似值的精确度达到0.1，则应将区间D等分的次数至少是________次．5解析：第一次等分，则根在区间(2，3)内或(3，4)内，此时精确度ε>0.1；不妨设根在(2，3)内，第二次等分，则根在区间(2，2.5)内或(2.5，3)内，此时精确度ε>0.1；不妨设根在(2，2.5)内，第三次等分，则根在区间(2，2.25)内或(2.25，2.5)内，此时精确度ε>0.1；不妨设根在(2，2.25)内，第四次等分，则根在区间(2，2.125)内或(2.125，2.25)内，此时精确度ε>0.1；不妨设根在(2，2.125)内，第五次等分，则根在区间(2，2.062 5)内或(2.062 5，2.125)内，此时精确度ε<0.1.满足题目要求，故至少要等分5次.探究题2在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为()A．0.68 B．0.72 C．0.7 D．0.6C解析：已知f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，则函数f(x)的零点的初始区间为[0.64，0.72]，又0.68＝12×(0.64＋0.72)，且f(0.68)＜0，所以零点在区间[0.68，0.72]，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7.因此，0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值．1．根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的．求方程f(x)＝0的近似解，即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．2．区分好“精确度”与“精确到”．3．现实生活中，有很多问题可以用二分法来解决，例如线路断路、地下管道的堵塞、水管的泄漏等．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量轻一点)，现在只有一台天平，应用适当的方法最多称几次就可以发现这枚假币？将26枚金币平均分成两份，放在天平上，假币在轻的那13枚金币里面；将这13枚金币拿出1枚，将剩下的12枚平均分成两份，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚，若不平衡，则假币一定在轻的那6枚金币里面；将这6枚金币平均分成两份，则假币一定在轻的那3枚金币里面；将这3枚金币任意拿出2枚放在天平上，若平衡，则剩下的那一枚是假币，若不平衡，则轻的那一枚是假币．依据上述分析，最多称4次就可以发现这枚假币．用二分法求方程的近似解练习(30分钟60分)1.(5分)定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的曲线，已知函数f(x)在区间(a，b)上有一个零点x0，且f(a)f(b)<0，用二分法求x0时，当fa＋b2＝0时，函数f(x)的零点是() A．(a，b)外的点B.a＋b2C．区间a，a＋b2或a＋b2，b内的任意一个实数D．x＝a或bB解析：由fa＋b2＝0知a＋b2是零点，且在(a，b)内．2．(5分)为了求函数f(x)＝2x＋3x－7的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x和函数f(x)的部分对应值，如表所示．x 1.25 1.312 5 1.375 1.437 5 1.51.562 5f(x) －0.871 6 －0.578 8 －0.281 30.021 01 0.328 43 0.641 15则方程2x＋3x＝7的近似解(精确到0.1)可取为()A．1.32 B．1.39 C．1.4 D．1.3C解析：由题意可知f(x)为增函数．由f(1.375)•f(1.437 5)＜0，可知方程2x＋3x＝7的近似解可取为1.4.故选C.3．(5分)若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下．f(1)≈－2 f(1.5)≈0.625 f(1.25)≈－0.984f(1.375)≈－0.260 f(1.437 5)≈0.162 f(1.406 25)≈－0.054那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度为0.05)可以是()A．1.25 B．1.375 C．1.42 D．1.5C解析：由表格可得，函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的零点在(1.406 25，1.437 5)之间，且1.437 5－1.406 25<0.05.结合选项可知，方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度为0.05)可以是1.42.故选C.4.(5分)用二分法求方程ln x－2＋x＝0在区间[1，2]上零点的近似值时，先取区间中点c＝32，则下一个含根的区间是32，2．5.(5分)某同学在借助计算器求“方程lg x＝2－x的近似解(精确到0.1)”时，设f(x)＝lg x＋x－2，算得f(1)<0，f(2)>0；在后面的过程中，他用二分法又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断，方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是________．1．5，1.75，1.875，1.812 5解析：第一次用二分法计算得区间(1.5，2)，第二次得区间(1.75，2)，第三次得区间(1.75，1.875)，第四次得区间(1.75，1.812 5)．6.(5分)利用计算器，列出部分自变量和函数值的对应值如表：x －1.6 －1.4 －1.2 －1 －0.8 －0.6 －0.4 －0.2 0y＝2x 0.329 9 0.378 9 0.435 3 0.5 0.574 30.659 8 0.757 9 0.870 6 1y＝x2 2.56 1.96 1.44 1 0.64 0.36 0.16 0.04 0 若方程2x＝x2有一个根位于区间(a，a＋0.4)(a在表格中第一行里的数据中取值)，则a 的值为________．－1或－0.8解析：令f(x)＝2x－x2，由表中的数据可得f(－1)<0，f(－0.6)>0，f(－0.8)<0, f(－0.4)>0，∴方程的根在区间(－1，－0.6)与(－0.8，－0.4)内．∴a＝－1或a＝－0.8.7.(5分)用二分法求方程x2＝2的正实根的近似解(精确度为0.001)时，如果选取初始区间是[1.4，1.5]，则达到精确度要求至少需要计算________次．7解析：设至少需要计算n次，则n满足0.12n<0.001，即2n>100，因为n∈N*，且27＝128，故要达到精确度要求至少需要计算7次．8.(12分)以下是用二分法求方程x3＋3x－5＝0的一个近似解(精确度为0.1)的不完整的过程，请补充完整，并写出结论．设函数f(x)＝x3＋3x－5，其图象在(－∞，＋∞)上是连续不断的一条曲线．先求值，f(0)＝________，f(1)＝________，f(2)＝________，f(3)＝________．所以f(x)在区间________内存在零点x0，填表：区间中点m f(m)的符号区间长度解：f(0)＝－5，f(1)＝－1，f(2)＝9，f(3)＝31，f(x)在区间(1，2)内存在零点x0，填表为区间中点m f(m)的符号区间长度(1，2) 1.5 ＋ 1(1，1.5) 1.25 ＋0.5(1，1.25) 1.125 －0.25(1，125，1.25) 1.187 5 ＋0.125(1.125，1．187 5) 0.062 5因为|1.187 5－1.125|＝0.062 5<0.1，所以原方程的近似解可取为1.187 5.9.(13分)求方程x2－2x－1＝0的一个大于零的近似解(精确度为0.1)．解：设f(x)＝x2－2x－1，先画出函数图象的草图，如图所示.因为f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0，所以在区间(2，3)上，方程x2－2x－1＝0有一解，记为x1，取2和3的中间数2.5，因为f(2.5)＝0.25>0，所以x1∈(2，2.5)，再取2与2.5的中间数2.25，因为f(2.25)＝－0.437 5<0，所以x1∈(2.25，2.5)，如此继续下去，得f(2.375)<0，f(2.437 5)>0，则x1∈(2.375，2.4375)，因为|2.437 5－2.375|＝0.062 5<0.1.所以此方程大于零的近似解为2.437 5.。
《用二分法求方程的近似解》教学设计
《用二分法求方程的近似解》教学设计一、教学目标1. 知识目标：学生能够掌握二分法求解方程的基本方法和步骤，理解近似解的概念和计算方法。
2. 能力目标：学生能够独立运用二分法解决实际问题，提高数学问题的解决能力。
3. 情感目标：培养学生的数学兴趣，激发学生对数学的热爱和好奇心。
二、教学重点和难点1. 教学重点：二分法求解方程的基本方法和步骤。
2. 教学难点：学生对于二分法的理解和运用能力。
三、教学过程1. 导入与引入为了让学生更好地理解二分法求解方程，可以通过一个简单的例子引入，比如求解方程sin(x) = 0的近似解。
引导学生思考如何用二分法来解决这个问题。
2. 理论学习1）介绍二分法的基本原理和步骤，通过图表和实际问题进行说明。
2）讲解二分法在数学问题中的应用，如求函数的零点、求解方程等。
3）举例说明二分法的具体运用，帮助学生理解二分法的实际操作过程。
3. 案例分析以一些典型的实际问题为例，让学生运用二分法进行求解。
比如通过一个实际应用问题，让学生理解并运用二分法。
如通过实例，“小明在深山中迷路，他在午夜时分按照手表上的时间发出信号弹，他需要知道现在是深夜0时还是清晨0时。
如果他发了三次信号弹，分别被回声弹在0.5分钟、2分钟、3分钟之后听到，那么他能知道现在的时间是多少吗？”4. 练习与训练1）学生按照老师指导的方式进行相应的答疑与讨论，对理论知识进行巩固。
2）组织课外实践活动，让学生通过实际操作来练习和巩固二分法的运用。
5. 总结与拓展1）总结二分法求解方程的基本方法和步骤，复习本节课的知识点。
2）让学生思考二分法在其他数学问题中的应用，指导学生拓展和深入理解。
3）布置相关作业，让学生巩固所学知识。
四、教学手段1. PowerPoint演示：用于讲解二分法的基本原理和步骤，用图表等形式进行说明。
2. 实例分析：通过一些实际问题的案例，让学生理解并运用二分法。
3. 板书：用于记录学生提出的问题和解题的关键步骤，便于学生理解。
3.1.1二分法求方程的近似解
已知f(2)<0,f(3)>0，求方程f(x)=lnx+2x-6=0的近根似解
-
-
+
f (2.5) 0, f (3) 0 2.5 x1 3
2
2.5
3
-
- + + f (2.5) 0, f (2.75) 0 2.5 x1 2.57
ln x 2x
f (2) 0, f
6零点在2，3
(3) 0
次数
ab 2
f ( a b) 取a
2
取b
区间长度：
ba
1 2.5
-0.084
(22.5.5,33)
0.5
2 2.75
0.512
(22..55 , 22.7.755 )
0.25
3 2.625
0.215
(2.5, 2.625)
0.125
3.1.2 用二分法求方程的近似解
数学发现之旅从这里开始……
复习思考：
1.零点存在的判定
如果函数y=f (x)在区间[a, b]上的图象是 连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0, 那么，函数y=f(x)在区间（a,b）内有零点， 即存在c (a,b),使得f(c)=0,这个c也就是 方程f(x)=0的根.
4 2.5625
0.066
(2.5, 2.5625)
0.0625
由于|2.5625-2.5|=0.0625<0.1
f (x) ln x 2x 6
所以方程的近似解为:
x 2.5625或2.5
2.5
2.75
2
初中数学教学课例《用二分法求方程的近似解》教学设计及总结反思
学生更多的关心。
一、问题导学
知识点一二分法的原理
教学过程
思考通过上节课的学习，我们知道 f(x)＝lnx＋2x
－6 的零点在区间(2,3)内，如何缩小零点所在区间
(2,3)的范围？
答案①取区间(2,3)的中点 2.5. ②计算 f(2.5)的值，用计算器算得 f(2.5)≈－ 0.084.因为 f(2.5)·f(3)<0，所以零点在区间(2.5,3) 内． 梳理二分法的概念 如果在区间[a，b]上，函数 f(x)的图像是一条连 续的曲线，且 f(a)·f(b)<0，则区间[a，b]内有方程 f(x)＝0 的解． 依次取有解区间的中点，如果取到某个区间的中点 x0，恰使 f(x0)＝0，则 x0 就是所求的一个解；如果区 间中点的函数值总不等于零，那么，不断地重复上述操 作，就得到一系列闭区间，方程的一个解在这些区间中， 区间长度越来越小，端点逐步逼近方程的解，可以得到 一个近似解． 像这样每次取区间的中点，将区间一分为二，再经 比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法． 知识点二精度与精确到 思考“精确到 0.1”与“精度为 0.1”一样吗？ 梳理在许多实际应用中，不需要求出方程精确的 解，只要满足一定的精度就可以．设^(x)是方程 f(x) ＝0 的一个解，给定正数 ε，若 x0 满足|x0－^(x)|<ε， 就称 x0 是满足精度 ε 的近似解．
初中数学教学课例《用二分法求方程的近似解》教学设计及 总结反思
学科
初中数学
教学课例名
《用二分法求方程的近似解》
称
本节课要解决的问题是如何找出这个零点。这就要
求学生能借助计算机或信息技术工具得到具体的函数
图象，使用计算器用二分法求相应方程的近似解，了解
3.1.2用二分法求方程的近似解(s必修一 数学 优秀课件)
f (2.75) 0.512 0
f (2.5) f (2.75) 0 所以零点在区间(2.5，2.75)内.
结论:由于 (2,3) (2.5,3) (2.5, 2.75) 所以零点所在的范围确实越来越小
用二分法求方程的近似解：
口 诀
定区间，找中点， 中值计算两边看. 同号去，异号算， 零点落在异号间. 周而复始怎么办? 精确度上来判断.
x 2 bx c, x 0 5.设函数 f ( x) ，若f (– 4) = f (0)， x0 2,
f (– 2) = – 2，则关于x的方程f (x) = x的解的个数为（ （B ） 2 （C ）3 （D ）4
）
（A ）1
6.若直线y = 2a与函数y = | a x– 1 |（a > 0且a ≠ 1）的
函数f(x)的一个零点在（-1，0）内，另一个零点在（2，3）内
y
如何进一步有效缩小根所在的区间？ 第一步：得到初始区间（2，3） 第二步：取2与3的平均数2.5 第三步：再取2与2.5的平均数2.25 如此继续取下去： 若要求结精确度为0.1，则何时停 止操作？
y=x2-2x-1
-1 0 1 2 3 2.25 2
15
10
y
-
(2,3)
+
2.5 2.75 2.625
-0.084
0.512
-20
1
5
（2.5，3） +
0.5
-10 0.25
-(2.5,2.75)+
0.215
o
5
10
x
-(2.5,2.625)+ 2.5625
(2.5,2.5625)
用二分法求方程的近似解(很实用)通用课件
使用数学软件实现二分法
总结词
数学软件如Matlab、Mathematica等提 供了强大的符号计算和数值计算功能， 适合用于实现二分法。
VS
详细描述
这些数学软件通常提供了内置的二分法函 数，可以直接调用。用户只需要输入方程 的形式和初始区间，软件会自动调用二分 法函数来求解近似解。
使用在线工具实现二分法
二分法的原理
总结词
二分法基于函数的连续性和零点的存在性定理，通过不断缩小搜索区间来逼近零点。
详细描述
二分法利用了函数在区间端点上的函数值异号的性质，每次迭代都将搜索区间缩小一半，从而以较快 的速度逼近零点。这个过程一直持续到找到满足精度要求的零点或者搜索区间长度小于某个阈值。
二分法的适用范围
总结词
二分法适用于寻找连续函数在某个区间内的零点。
详细描述
二分法要求函数在零点所在的区间内连续，且在区间的端点上的函数值异号。对于一些不满足这些条件的函数， 如分段函数或有多个零点的函数，二分法可能无法找到正确的零点。因此，在使用二分法之前，需要先对函数进 行适当的分析和验证。
02
二分法的基本步骤
确定初始区间
首先需要确定方程有解的初始区间 ，可以通过代入法或观察法得到。
计算中点
在初始区间内取中点，并计算中点 的函数值。
判断中点性质
根据中点的函数值与区间端点的函 数值进行比较，确定下一步的搜索 区间。
迭代搜索
不断重复上述步骤，每次将搜索区 间缩小一半，直到达到所需的精度 要求。
求函数的零点
01
确定初始区间
同样需要确定函数有零点的初 始区间。
02
计算中点
在初始区间内取中点，并计算 中点的函数值。
用二分法求方程的近似解的教学设计
第三章《函数的应用》内容中“用二分法求方程的近似解”一节进行教学设计。
用二分法求方程的近似解的教学设计交城一中郭冬妮教材分析：本节课是这一小节的第二节课，即用二分法求方程的近似解。
它是在上节课所学知识的基础上，以“函数的零点与方程的解之间的关系”以及“连续函数的零点存在定理”为依据，确定方程的解所在区间，并用“逼近”的思想求方程近似解，这个侧面来体现“方程与函数的关系”；而且在“用二分法求函数零点的步骤”中渗透了算法的思想，为学生后续学习算法的内容埋下伏笔；充分体现新课程“渗透算方法，关注数学文化以及重视信息技术应用”的理念。
在求方程近似解过程中隐含着“逼进”的数学思想。
学情分析：学生有了第一节课的基础，对函数的零点具备基本的认识；而二分法来自生活，是由生活中抽象而来的，只要我们选材得当，能够激发学生的学习兴趣，达到渗透数学思想关注数学文化的目的，学生也能够很容易理解这种方法。
其中运用“二分法”进行区间缩小的依据、总结出“运用二分法求方程的近似解”的步骤、将“二分法”运用到生活实际，是需要学生努力才能达到的。
三维目标:1、知识与技能：理解二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法。
2、过程与方法：让学生能够初步了解逼近思想，极限思想，培养学生探究问题的能力、严谨的科学态度和创新能力。
探究与活动，适当借助现代化的计算工具解决问题。
3、情感态度与价值观通过具体实例的探究，归纳概括所发现的结论或规律，体会从具体到一般的认知过程。
教学重点:能够借用计算器，用二分法求相应方程的近似解，使学生体会函数的零点与方程根之间的关系，初步形成用函数观点处理问题的意识。
教学难点:1.方程近似解所在初始区间的确定2.在利用二分法求方程的近似解的过程中，由于数值计算较为复杂，因此对获得给定精确度的近似解增加了困难。
教学方法:游戏导入-- 推出课题--实践探究--总结提炼--学生感悟教具准备:多媒体课件、信息技术工具计算器、电脑Excel和《几何画板》软件等。
用二分法求方程的近似解
用二分法求方程的近似解（1）【教学目标】1．使学生理解利用二分法求方程的近似解的思想方法，会用二分法求某些方程的近似解2．通过本节内容的学习，让学生体会到在现实世界中，等是相对的，而不等是绝对的，这样可以加深对数学的理解．【学习指导】我们已经学过一元一次方程、一元二次方程等方程的解法，并掌握了一些方程的求根公式．实际上，大部分方程没有求根公式，那么，这些方程怎么解？学完这一课，你就会知道利用方程的根与函数的零点的关系求方程的实数解（近似解）了．本节的重点就是利用二分法求方程的近似解，所谓二分法就是：对于在区间[a,b]上连续不断、且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而和到零点近似值的方法．【例题精析】例1．借助计算机或计算器，用二分法求函数f(x)= x3-5x2-4x+2的一个零点，精确到0.05．【分析】先用大范围法寻找零点所在的区间，然后不断使用二分法，逐步缩小区间，直至达到精度的要求．【解法】先作出x与f(x)的对应值表，并试图找出一个根所在的区间：通过举值，发现函数在(0，1)与(5，6)内都至少有一个零点，现不妨求(0，1)内的一个零点．令x1=0.5，f(0.5)= -1.125．因为f(0)·f(0.5)＜0，所以零点x0∈(0，0.5)．令x2=0.25，f(0.25)≈0.7．因为f(0.25)·f(0.5)＜0，所以零点x0∈(0.25，0.5)．令x3=0.375，f(0.375)≈-0.15．因为f(0.375)·f(0.25)＜0，所以零点x0∈(0.25，0.375)．令x4=0.3125，f(0.3125)≈0.29．因为f(0.375)·f(0. 3125)＜0，所以零点x0∈(0.3125，0.375)．令x5=0.359375，f(0.359375)≈-0.04．因为f(0.359375)·f(0.3125)＜0，所以零点x0∈(0.3125，0.359375)．由于|0.359375-0.3125|=0.047＜0.05，此时区间(0.3125，0.359375)的两个端点精确到0.05的近似值都是0.336，所以函数的一个零点为0.336．【评注】①选好初定区间是使用二分法求近似解的关键．选取初定区间的方法有多种，常用方法有试验估计法，数形结合法，函数单调性法，函数增长速度差异法等等．②本题还有两个零点，你能把它独立求解出来吗？(答案为-1，5.646．)例2．（师生共同探究）概括用二分法求方程的近似解的基本程序．【分析】通过对例1的研究，希望能够对解决问题的方法进行提炼，而这一点切不可以由老师包办代替，要通过师生的合作探究解决问题．【解法】（1）在同一坐标系中分别作出两个简单函数的图象，注意两个图象与x轴的交点坐标；（2）估算出第一个解的区间（x1，x2），（x1＜x2）；（3）计算f （221x x ＋）的值，若f （221x x ＋）＜0，则第二个解区间为（221x x ＋，x 2）；若f （221x x ＋）＞0，则第二个解区间为（x 1，221x x ＋）；若f （221x x ＋）＝0，则近似解为x ＝221x x ＋； （4）重复第（3）步的操作，直至给出的解区间（x i ，y i ）满足精确度要求为止；（5）写出原方程的近似解．【评注】利用二分法求方程的实数解的过程亦可以用下图表示．例3．利用计算器，求方程18lg 3=+x x 的近似解（精确到0.1）．【分析】作一张草图，找好解所在的大致区间．【解法】分别画出函数x y lg =和318x y -=的图象，在两个函数图象的交点处，函数值相等．因此，这个点的横坐标就是方程18lg 3=+x x 的解，由图象可以发现，方程18lg 3=+x x 有唯一解，并且这个解在区间（2，3）内,记为0x设 x x x f lg 18)(3--=，用计算器计算，得f (2)>0 , f (3)<0 则 )3,2(0∈xf (2.5)>0 , f (2.75)<0 则 )75.2,52(0．∈xf (2. 5)>0 , f (2.625)<0 则 )625.2,52(0．∈x f (2. 5625)>0 , f (2.625)<0 则 )625.2,56252(0．∈x 因为2．5625与2．625精确到0．1的近似值的为2．6，所以原方程的近似解为6.20=x ．【评注】由本题进一步熟悉用二分法求方程的近似解．【本课练习】1．函数f (x )=x 2+4x +4在区间[-4,-1]上( )．A 、没有零点B ．有无数个零点C ．有两个零点D ．有一个零点2．方程ln x +2x =6在区间上的根必定属于区间( )A ．(-2,1)B ．5,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．71,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．75,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ 3．下列函数图像与x 轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是( )A ．B ．C ．D ．4．函数f (x )=5-x 2的负数零点的近似值(精确到0.1)是（） A ．-2.1 B ．-0.2 C ．-2.2 D ．-2.35．求方程2x +x =4的近似解(精确到0.1) （ ）。
用二分法求方程的近似解__刘武平
(2,3)
逐渐缩小函数f ( x ) ln x 2 x 6的零点所在范围
在区间（2，3）内零点的近似值.
区间 （2，3） 中点 的值 2.5 中点函数 近似值 -0.084 0.512 0.215 0.066 -0.009 区间长度 1 0.5 0.25 0.125 0.0625
2.5 2.75 2.625 2.5625 2.53125 2.546875 2.5390625
1 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125 0.015625
2.53515625
0.0078125
a x0 b.
如图
设函数的零点为 0 , a =2.53125, . .
x
b
问题5: 你能归纳出“给定精确度ε,用二 分法求函数零点近似值的步骤”吗?
1.确定区间 a, b ,验证 f a f b 0 ,给定精确度 2.求区间 a, b 的中点 c ； 3.计算 f c ； （1）若 f c 0 ，则 c 就是函数的零点； （2）若 f a f c 0
（2.5，3） 2.75 （2.5，2.75） 2.625 （2.5，2.625） 2.5625 （2.5，2.5625） 2.53125 （？，？） …
思考: 通过这种方法,是否可以得到任 意精确度的近似值? （如精确度 为0.01）
精确度为0.01,即零点值与近 似值的差的绝对值要小于或等于 0.01
零点的近似值。 思考：如何缩小零点所在的区间？
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【参考教案2】《用二分法求方程的近似解》(数学人教必修一)
《用二分法求方程的近似解》教材分析本节是人教A版《普通高中标准试验教科书·数学1（必修）》第三章“函数的应用”中第一节“函数与方程”的第二节课内容，是在学习了集合与函数概念、基本初等函数后，研究函数与方程关系的内容。
本节课的教学内容是：结合函数大致图象，能够借助计算器用二分法求出相应方程的近似解，理解二分法的思想及了解这种方法是求方程近似解的常用方法。
本节内容是新教材中新增的内容。
在初中，学生学习了简单的一元一次方程和一元二次方程等简单方程的求根问题，但是实际问题中，有具体求根公式的方程是很少的。
对于这类方程，我们只能根据根的存在性定理判断根的存在，在利用二分法可以求出方程给定精确度的近似解。
经过本节内容的学习，将使学生更加深入理解函数与方程的数学思想。
教学目标【知识与能力目标】通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，会用二分法求解具体方程的近似解，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用，体会程序化解决问题的思想．【过程与方法】借助计算器求二分法求方程的近似解，让学生充分体验近似的思想、逼近的思想和程序化地处理问题的思想及其重要作用，并为下一步学习算法做准备．【情感、态度与价值观】通过探究体验、展示、交流养成良好的学习品质，增强合作意识。
通过体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．教学重难点【教学重点】过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．【教学难点】恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．课前准备多媒体课件、教具等．教学过程一、问题引入实际问题：某个雷电交加的夜晚，医院的医生正在抢救一个危重病人，忽然电停了。
据了解原因是供电站到医院的某处线路出现了故障，维修工，如何迅速查出故障所在? (线路长10km ，每50m 一棵电线杆）如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多。
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中点函数 近似值 -0.084 0.512 0.215 0.066 -0.009 0.029 0.010 0.001
(2.53125, 2.5390625)
0.0078125 2.53515625
探索零点
当精确度为0.01时 由于： 当精确度为0.01时，由于： 0.01 |2.5390625-2.53125|＝0.0078125<0.01， |2.5390625-2.53125|＝0.0078125<0.01， 所以，我们可以将x＝2.54作为函数 所以，我们可以将 ＝2.54作为函数 f ( x) = ln x + 2 x − 6 的零点的近似值， 的零点的近似值，也即方程 ln x + 2 x − 6 = 0 根的近似 值．
“取中点” 取中点” 取中点
探索零点
第一次：取区间（ 的中点，算得： 第一次：取区间（2，3）的中点，算得： f（2.5）≈－0.084 （2.5） 因为f（2.5） （ 因为 （2.5）·f（3）<0, 所以零点在区间（2.5， 所以零点在区间（2.5，3）内． 第二次：取区间（2.5， 的中点，算得： 第二次：取区间（2.5，3）的中点，算得： f（2.75）≈0.512 （2.75） 因为f（2.5） （2.75） 因为 （2.5）·f（2.75）<0, 所以零点在区间（2.5，2.75） 所以零点在区间（2.5，2.75）内． 第三次：取区间（ 2.5， 的中点，算得： 第三次：取区间（ 2.5，2.75 ）的中点，算得： f（2.625）≈0.215 （2.625） 因为f（2.625） （2.5） 因为 （2.625）·f（2.5）<0, 所以零点在区间（2.5，2.625） 所以零点在区间（2.5，2.625）内．
用二分法求方程近似解 不解方程，如何求方程x2-2x-1=0的一个正的近似 不解方程，如何求方程 的一个正的近似 解 .（精确到 ） （精确到0.1）
2
+
3
f(2)<0，f(3)>0 ⇒ 2<x1<3 f(2)<0，f(2.5)>0 ⇒ 2<x1<2.5 f(2.25)<0，f(2.5)>0 ⇒2.25<x1<2.5 f(2.375)<0，f(2.5)>0 ⇒ 2.375<x1<2.5
温故知新
方程 f (x) = 0有实数根 的图象与x轴有交点 函数 ⇔ y = f (x) 的图象与 轴有交点 ⇔函数 y = f (x)有零点 的实数根， 求方程 f ( x) = 0的实数根，就是确定函数 y = f (x) 的零点， 的图象与x轴的交点的横 的零点，也就是函数 y = f (x) 的图象与 轴的交点的横 坐标． 坐标．
a x0 b x 所以0<x0-a<b-a, a-b<x0-b<0． 由于| 由于|a-b|<ε，所以|x0-a|<b-a<ε, x0-b<|a-b|<ε，
即a或b作为函数的零点x0的近似值都达到给 定的精确度ε ．
用二分法求函数零点
由函数的零点与相应方程根的关系， 由函数的零点与相应方程根的关系，我们 可用二分法来求方程的近似解． 可用二分法来求方程的近似解． 由于计算量较大，而且是重复相同的步骤， 由于计算量较大，而且是重复相同的步骤， 因此，我们可以通过设计一定的计算程序，借 因此，我们可以通过设计一定的计算程序， 助计算器或计算机完成计算． 助计算器或计算机完成计算． 在计算器或计算机中安装一个方程数值解 法的程序，当我们输入相应的方程， 法的程序，当我们输入相应的方程，并给出精 确度（有效数字） 确度（有效数字）后，计算器或计算机就会依 据程序进行运算了． 据程序进行运算了．
f(2.375)<0，f(2.4375)>0⇒ 2.375<x1<2.4375
2
+
2.5 3
2 2.25
+
2.5 3
- +
2
2.375 2.5
3
- +22.Fra bibliotek75 2.475
3
用二分法求方程近似解
怎样理解是否达到精度要求了？ 怎样理解是否达到精度要求了？ 作出数轴， 设函数的零点为x0，则a<x0<b．作出数轴， 对应的点． 在数轴上标出a、b、x0对应的点．
用二分法求函数零点
给定精确度ε,用二分法求函数f(x)零点近似 给定精确度ε,用二分法求函数f(x)零点近似 ε,用二分法求函数f(x) 值的步骤如下: 值的步骤如下:
给定精确度ε 1.确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε； 2.求区间(a,b)的中点 3.计算 f ( x 1 ) ；
知识小结
本节课主要学习了以下内容： 本节课主要学习了以下内容：
二分法概念
用二分法求方 程近似解步骤
用二分法求方程的近似解
中教育星软件技术有限公司 2006年 2006年3月制作
借助计算器或计算机作出该函数的图象与对应 值表． 值表．
x f(x)
0 -6
1 2 3 4 5 6 7 8 -2 3 10 21 40 75 142 273
观察图表，可知： 观察图表，可知： f(1)· f(2)<0，说明这个函数 在区间（ 内由零点． 在区间（1，2）内由零点． 下面是求方程近似解的框图，根据框图， 下面是求方程近似解的框图，根据框图，可选 择一种计算机语言，写出程序， 择一种计算机语言，写出程序，并在计算机上运行 后得出结果． 后得出结果．
二分法例题分析
开始 定义f（ ） 定义 （x） 输入ε ，x1 ， x2 y1＝f（x1） （
用二分法解例题2 用二分法解例题
x=
x1 + x2 ，y= f（x）， D＝| x－x2 | （ ）， ＝ 2
y=0 ? 否 是
否 D<ε? 否 y1 ·y<0 ? x1=x， y1=y ， 是
是
x2=x 打印x 打印
函数零点的性质是二分法求函数变号零点近似 函数零点的性质是二分法求函数变号零点近似 值的重要依据．必须是满足区间[a,b]上连续不断、 上连续不断、 值的重要依据．必须是满足区间 上连续不断 且f(a)f(b)<0这两个条件的函数才能用二分法求得零 这两个条件的函数才能用二分法求得零 点的近似值． 点的近似值．
探索零点
区间 (2, (2.5, (2.5, (2.5, (2.5, (2.53125, (2.53125, 3) 3) 2.75) 2.625) 2.5625) 2.5625) 2.546875)
区间长度 1 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125 0.015625
区间中点值 2.5 2.75 2.625 2.5625 2.53125 2.546875 2.5390625
二分法概念
对于区间[a,b]上连续不断、且f(a)f(b)<0 上连续不断、 对于区间 上连续不断 的函数y=f(x),通过不断地把函数 的零点所 通过不断地把函数f(x)的零点所 的函数 通过不断地把函数 在的区间一分为二， 在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步 逼近零点， 逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做 二分法（ 二分法（bisection）． ）．
温故知新
判断函数的零点： 判断函数的零点：
如果函数y = f (x)在区间 [a, b] 上的图象是连续不断的 一条曲线，并且有 f (a) ⋅ f (b) < 0，那么，函数 y = f (x) 在区 一条曲线， 那么， 内有零点， 这个c 间 (a, b) 内有零点，即存在 c ∈(a, b)，使得 f (x) = 0，这个 的根． 也就是方程 f (x) = 0 的根．
结束
二分法在实际应用
从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接 从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接 15 现在某接点发生故障，需及时修理， 点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了 尽快断定故障发生点， 尽快断定故障发生点，一般至少需要检查接点 的个数为 个．
1 2 3
4
5 6 7
8
9 10 11 12 13 14 15
x1；
就是函数的零点； （1）若f(x1)=0，则x1就是函数的零点； ） ， 此时零点x （2）若f(a)· f(x1)<0，则令 x1（此时零点 0∈(a, x1) ); ） ，则令b= 此时零点x （3）若f(x1)· f(b)<0，则令 x1（此时零点 0∈( x1,,b)); ） ，则令a= 4．判断是否达到精确度ε，即若 ．判断是否达到精确度 ，即若|a-b|< ε，则得到零点 ， 近似值a(或 ，否则重复步骤2~4． 近似值 或b)，否则重复步骤 ．
一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0)可以用公式 求根， 求根，有没有现成的公式用来求方程 x3＋3 x －1＝0 ＝ 和方程 ln x + 2 x − 6 = 0的根呢？ 的根呢？
没有
回想一下函数的零点与相应的方程根的关系， 回想一下函数的零点与相应的方程根的关系，试 想能否利用函数的有关知识来求它们的根的近似解 比如：精确到0.01 0.01） （比如：精确到0.01）呢？
引入课题
上节课已经知道， 上节课已经知道，函数 f ( x) = ln x + 2 x − 6 在 区间（ ， ）内有零点． 区间（2，3）内有零点．现在问题的关键是如何找 出这个零点？ 出这个零点？ 如果给你三次机会将零点所在的范围尽量缩小， 如果给你三次机会将零点所在的范围尽量缩小， 那么你会采取什么方法？ 那么你会采取什么方法？
探索零点
2.5 2.625 2.75
探索零点
由于 (2,3) ⊃ ≠ 实缩小了． 实缩小了．