7函数图象的对称与变换高三复习专题
函数的对称性与周期性(归纳总结)
函数的对称性与周期性（归纳总结）一、函数对称性：1.2.3.4.5.6.7.8.f（a+x）=f（a-x）==>f（x）关于x=a对称f（a+x）=f（b-x）==>f（x）关于x=（a+b）/2对称f（a+x）=-f（a-x）==>f（x）关于点（a，0）对称f（a+x）=-f（a-x）+2b==>f（x）关于点（a，b）对称f（a+x）=-f（b-x）+c==>f（x）关于点[（a+b）/2，c/2]对称y=f（x）与y=f（-x）关于x=0对称y=f（x）与y=-f（x）关于y=0对称y=f（x）与y=-f（-x）关于点（0,0）对称例1：证明函数y=f（a+x）与y=f（b-x）关于x=（b-a）/2对称。
【解析】求两个不同函数的对称轴，用设点和对称原理作解。
证明：假设任意一点P（m，n）在函数y=f（a+x）上，令关于x=t的对称点Q（2tm，n），那么n=f（a+m）=f[b（2tm）] ∴b2t=a，==>t=（b-a）/2，即证得对称轴为x=（b-a）/2.例2：证明函数y=f（a-x）与y=f（xb）关于x=（a+b）/2对称。
证明：假设任意一点P（m，n）在函数y=f（a-x）上，令关于x=t的对称点Q（2tm，n），那么n=f（a-m）=f[（2tm）b] ∴2t-b=a，==>t=（a+b）/2，即证得对称轴为x=（a+b）/2.二、函数的周期性令a,b均不为零，若：1、函数y=f（x）存在f（x）=f（x+a）==>函数最小正周期T=|a|2、函数y=f（x）存在f（a+x）=f（b+x）==>函数最小正周期T=|b-a|3、函数y=f（x）存在f（x）=-f（x+a）==>函数最小正周期T=|2a|4、函数y=f（x）存在f（x+a）=1/f（x）==>函数最小正周期T=|2a|5、函数y=f（x）存在f（x+a）=[f（x）+1]/[1f（x）]==>函数最小正周期T=|4a|这里只对第2~5点进行解析。
高三总复习7——由函数图形的对称性得到函数的周期性
高三总复习——由函数图象的对称性得到函数的周期性请同学们看一道高考题：f(x)为定义在R上的偶函数，图象关于直线x=1对称，且对于任意x1, x2∈[0,]都有：f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),f(1)=a>0。
（1）略；（2）证明f(x)为周期函数；（3）略。
由条件“f(x)是偶函数”，知函数f(x)的图象关于直线x=0对称。
因此，本题告诉我们这样一个基本事实：若函数f(x)图象关于直线x=0和x=1对称，则f(x)是周期函数。
证明上述结论的关键是借助于图象观察到f(x)的一个周期是2，从而只要证明f(x+2)=f(x)即可。
用同样的研究方法，不难将上述问题一般化。
命题1若定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x=a和x=b(a≠b)对称，则函数f(x)是周期函数，且2(a-b)是它的一个周期。
证：∵f(x)的图象关于直线x=a和x=b(a≠b)对称，∴f(x)=f(2a-x), f(x)=f(2b-x),∴f[2(a-b)+x]=f[2a-(2b-x)]=f(2b-x)=f(x),∴f(x)是周期函数，且2(a-b)是它的一个周期。
特别地，定义在R上的偶函数f(x)，若图象关于直线x=a(a≠0)对称，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期。
进一步探索：将命题1中一条直线换成一点，f(x)是否是周期函数？命题2 若定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x=a和点(b,y0)(a≠b)对称，则函数f(x)是周期函数，且4(a-b)是它的一个周期。
证：∵函数f(x)的图象关于直线x=a对称，∴f(x)=f(2a-x).又∵f(x)的图象关于点(b,y0)(a≠b)对称，∴f(2b-x)=2y0-f(x),∴f[4(a-b)+x]=f[2a-(4b-2a-x)]=f(4b-2a-x)=f[2b-(2a-2b+x)]=2y0-f(2a-2b+x)=2y0-f[2a-(2b-x)]=2y0-f(2b-x)=2y0-(2y0-f(x))=f(x),∴f(x)是周期函数，且4(a-b)是它的一个周期。
(整理版)第四讲函数图象的对称性与变换
第四讲：函数图象的对称性与变换一、 两个函数的图象的对称性：1、y=f 〔x 〕与y=-f 〔x 〕关于x 轴对称。
2、y=f 〔x 〕与y=f 〔－x 〕关于y 轴对称。
3、 y=f 〔x 〕与y=－f 〔－x 〕关于原点对称。
4、y=f 〔x 〕与y=f 1-〔x 〕关于直线y=x 对称,〔或y=f 〔x 〕与x=f 〔y 〕关于直线y=x 对称〕。
5、y=f 〔x 〕与y=f 〔2a －x 〕｛注：y=f 〔a+x 〕与y=f 〔a －x 〕关于直线x=0对称｝关于直线x=a 对称。
6、y=f 〔x 〕与y=－f 〔2a －x 〕+2b 关于点〔a,b 〕对称.二、 一个函数的图象的对称性：1、关于直线x=a 对称时，f 〔x 〕=f 〔2a －x 〕或f 〔a －x 〕=f 〔a+x 〕,特例：a=0时，关于y 轴对称，此时 f 〔x 〕=f 〔－x 〕为偶函数。
2、y=f 〔x 〕关于〔a,b 〕对称时,f 〔x 〕=2b －f 〔2a －x 〕，特别a=b=0时， f 〔x 〕=－f 〔－x 〕，即f 〔x 〕关于原点对称，f 〔x 〕为奇函数。
3、y=f 〔x 〕关于直线y=x+b 对称时,由上面知y=f 〔x 〕关于直线y=x+b 对称的函数的解析式是y=f 1-〔x+b 〕+b 。
它与y=f 〔x 〕应是同一函数，所以：f 〔x 〕＝f1-〔x+b 〕+b 。
特别当b ＝0时，f 〔x 〕＝f 1-〔x 〕，即一个函数关于直线y=x 对称时，它的反函数就是它本身。
4、类似4有y=f 〔x 〕关于直线y=－x+b 对称时, f 〔x 〕＝b －f 1-〔b －x 〕。
特别当b ＝0时，f 〔x 〕＝－f 1-〔－x 〕, f 〔x 〕关于直线y=－x 对称.5、假设f(a+x)=f(b-x)，那么f(x)的图像关于直线2b a x +=对称， 三：图象平移与伸缩变换、翻折变换。
1、平移变换〔向量平移法那么〕：y=f 〔x 〕按a ＝〔h,k 〕平移得y=f 〔x －h 〕+k,即F 〔x,y 〕=0按a ＝〔h,k 〕平移得F 〔x －h,y －k 〕=0,当m>0时,向右平移，m<0时,向左平移。
高考专题 函数对称性
函数对称性一知识点精讲：I 函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）1、)()(x b f x a f -=+⇔)(x f y =图象关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=对称 证明：函数)(x f y =图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f x y =）关于直线2a b x +=的对称点为00(,)Q a b x y +-，00()[()]f a b x f b x a +-=-+000[()]()f b b x f x y =--==∴点Q 仍在函数的图象上，从而函数的图象关于直线a b +对称.推论1推论2推论32、f (证明对称点为(Q a b +∴点Q 推论1推论2推论3II 1、y 2、y 345.函数00000∴点Q 在函数()y f b x =-的图象上；反之函数()y f b x =-的图象上任一点关于直线2b a x -=的对称点也在函数()y f a x =+图象上.从而函数()y f a x =+与()y f b x =-的图象关于直线2b a x -=对称. 推论1:函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称推论2:函数)(x f y =与)2(x a f y -=图象关于直线a x =对称推论3:函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称6若函数)(x f y =的定义域为R ，则函数()y f a x =+与()y f b x =--的图象关于点(,0)2b a -对称.证明：函数()y f a x =+图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f a x y +=）关于点(,0)2b a -的对称点为00(,)Q b a x y ---，000[()]()f b b a x f a x y ----=-+=-∴点Q 在函数()y f b x =--的图象上；反之函数()y f b x =--的图象上任一点关于点(,0)2b a -的对称点也在函数()y f a x =+图象上.从而函数()y f a x =+与()y f b x =--的图象关于点(,0)2b a -对称. 二典例解析： 1、定义在实数集上的奇函数)(x f 恒满足)1()1(x f x f -=+，且)0,1(-∈x 时,512)(+=x x f ,则=)20(log 2f ________。
高三函数对称性知识点汇总
高三函数对称性知识点汇总函数是数学中的重要概念，在高三数学学习中，函数的对称性是一个重要的知识点。
本文将对高三函数对称性的相关知识进行汇总，并介绍不同函数的对称性及其特点。
函数的对称性是指函数图像在某种变换下保持不变的性质。
在高三函数学习中，常见的函数对称性有以下几种：关于x轴对称、关于y轴对称、关于原点对称、关于直线对称、关于点对称。
一、关于x轴对称若函数图像在x轴两侧关于x轴对称，即对于函数中的每一个点(x, y)，都存在另一个点(x, -y)也在函数图像上，则称函数关于x轴对称。
对于一个函数关于x轴对称的特点有：1. 函数的解析式中只含有偶次项，或不包含奇次项。
2. 函数图像关于y轴对称。
若函数图像在y轴两侧关于y轴对称，即对于函数中的每一个点(x, y)，都存在另一个点(-x, y)也在函数图像上，则称函数关于y 轴对称。
对于一个函数关于y轴对称的特点有：1. 函数的解析式中只含有偶次幂的x，或不包含x。
2. 函数图像关于x轴对称。
三、关于原点对称若函数图像关于原点对称，即对于函数中的每一个点(x, y)，都存在另一个点(-x, -y)也在函数图像上，则称函数关于原点对称。
对于一个函数关于原点对称的特点有：1. 函数的解析式中只含有偶次幂的x，或不包含x。
2. 函数图像关于原点对称。
当函数图像在直线L两侧对称时，我们称函数关于直线L对称。
对于关于直线对称的函数，其特点有：1. 函数的解析式中含有x与常数的乘积，并且在函数中不含有形如|x|的项。
2. 函数图像上关于直线L对称。
五、关于点对称若函数图像在点P两侧对称时，我们称函数关于点P对称。
对于关于点对称的函数，其特点有：1. 函数的解析式中含有x与常数的乘积，并且在函数中不含有形如|x|的项。
2. 函数图像关于点P对称。
综上所述，高三数学中的函数对称性知识点主要包括关于x轴对称、关于y轴对称、关于原点对称、关于直线对称、关于点对称等几种形式。
高三函数对称性知识点总结
高三函数对称性知识点总结在高中数学的学习过程中，函数是一个非常重要的概念。
而函数的对称性是函数图像在坐标轴上的对称特性，它是一种具有很高抽象性的数学思维，对于理解和解决数学问题具有重要意义。
在高三数学学习中，函数的对称性是一个非常重要的知识点，也是数学建模和解题中常用的技巧之一。
下面将对高三函数对称性的知识点进行总结。
一、函数的对称性1. 关于x轴的对称性当函数图像与x轴对称时，称函数具有关于x轴的对称性。
即对于函数图像上任意一点(x, y)，都有对应的点(x, -y)也在函数图像上。
2. 关于y轴的对称性当函数图像与y轴对称时，称函数具有关于y轴的对称性。
即对于函数图像上任意一点(x, y)，都有对应的点(-x, y)也在函数图像上。
3. 关于原点的对称性当函数图像与原点对称时，称函数具有关于原点的对称性。
即对于函数图像上任意一点(x, y)，都有对应的点(-x, -y)也在函数图像上。
4. 奇函数如果函数f(-x) = -f(x)，那么称函数f(x)为奇函数。
奇函数的图像关于原点对称，且通过原点。
5. 偶函数如果函数f(-x) = f(x)，那么称函数f(x)为偶函数。
偶函数的图像关于y轴对称，且通过y 轴。
6. 周期函数如果函数f(x + T) = f(x)，其中T为正实数，那么称函数f(x)为周期函数。
周期函数的图像在一个周期内具有对称性。
二、对称性在数学建模中的应用1. 对称性可以简化问题在数学建模中，对称性可以帮助我们简化问题，减少计算量和分析难度。
通过对称性的特点，我们可以找到函数图像上的对称点，从而减少求解方程的步骤。
2. 对称性可以加快求解过程利用函数的对称性，在求解函数的零点、极值点和拐点时，可以通过对称点的关系，快速地确定函数的特征点，从而加快求解过程。
3. 对称性可以提高模型的精度在数学建模中，对称性可以帮助我们合理地选择函数模型，提高模型的精度和可靠性。
三、对称性在解题中的应用举例1. 求函数图像与坐标轴的交点在函数图像与坐标轴相交的点的求解中，利用函数的对称性可以帮助我们简化求解过程。
高三对称函数知识点
高三对称函数知识点函数是数学中的重要概念，而对称函数则是函数中的一种特殊形式。
在高三数学学习中，对称函数是一个重要的知识点。
它具有独特的性质和应用，对于理解和解决数学问题有着重要的作用。
本文将介绍高三数学中对称函数的概念、性质和常见应用。
一、对称函数的概念对称函数是指在数学中，对于自变量的某种变化，函数值也发生相应的对应变化，呈现某种对称性质的函数。
简而言之，就是函数图像关于某一轴线对称。
二、对称函数的性质1. 关于y轴对称：若有函数f(x) = f(-x)，则可以得出函数图像关于y轴对称。
例如，f(x) = x^2就是一个关于y轴对称的函数。
2. 关于x轴对称：若有函数f(x) = -f(-x)，则可以得出函数图像关于x轴对称。
例如，f(x) = sin(x)就是一个关于x轴对称的函数。
3. 关于原点对称：若有函数f(x) = -f(x)，则可以得出函数图像关于原点对称。
例如，f(x) = x^3就是一个关于原点对称的函数。
4. 其他对称形式：还有一些函数的对称性不仅仅表现在对称轴上，具体形式可以是折线对称、旋转对称等。
三、对称函数的应用1. 图像对称性的判断：通过对称性，我们可以判断一个函数的图像是否对称于某一轴。
这在解析几何或图像处理等领域中，具有重要的应用意义。
2. 函数性质的分析：对称函数的性质能够帮助我们更好地理解函数本身的特点。
比如，通过观察对称函数的导数，可以判断函数的凸凹性质。
3. 函数的求解：对称函数在解决一些数学问题时也起到了关键作用。
比如，通过对称性，我们可以简化函数的求导过程，从而快速求得函数的极值点。
四、对称函数的例子1. 指数函数：f(x) = 2^x是一个关于y轴对称的函数。
2. 正弦函数：f(x) = sin(x)是一个关于x轴对称的函数。
3. 偶数次多项式函数：例如f(x) = x^2是一个关于y轴对称的函数。
4. 奇数次多项式函数：例如f(x) = x^3是一个关于原点对称的函数。
高三数学专题教案函数图像的变换及应用_
芯衣州星海市涌泉学校2021届高三数学专题教案：函数图像的变换及应用一．知识梳理复习函数图像的变换：(1)、奇偶函数图象的对称性；(2)、假设f(x)满足f(a+x)=f(b －x)那么f(x)的图象以2a b x+=为对称轴;特例：假设f(a+x)=f(a －x)那么f(x)的图象关于x=a 对称。
(3)、假设f(x)满足f(a+x)=-f(b －x)那么f(x)的图象以(,0)2a b +为对称中心;特例：假设f(a+x)=-f(a －x)那么f(x)的图象以点〔a,0〕为对称中心。
(4)、假设f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c 那么f(x)的图象关于点(,)22a b c +中心对称。
二．例题讲解例1、求函数y=f 〔1-x 〕与函数y=f 〔x-1〕的图象对称轴方程？〔1〕．对于定义在R 上的函数)(x f ，有下述命题： ①假设)(x f 是奇函数，那么)1(-x f 的图像关于点)0,1(A 对称；②假设对R x ∈，恒有)1()1(-=+x f x f ，那么)(x f 的图像关于直线1=x 对称； ③假设函数)1(-x f 的图像关于直线1=x 对称，那么)(x f 为偶函数； ④函数)1(x f +与函数)1(x f -的图像关于直线1=x 对称．其中正确命题的序号为______________________．例2、设f(x)=x+1,求f(x+1)关于直线x=2对称的曲线的解析式。
例3、设函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，在x≤1时，f(x)=(x+1)2－1,求f(x)的解析式。
例3、设定义域为R 的函数⎩⎨⎧=≠-=1,01,||1|lg |)(x x x x f ，那么关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f有7个不同实数解的充要条件是〔〕(A)0<b 且0>c(B)0>b 且0<c (C)0<b 且0=c (D)0≥b 且0=c 例4．函数)(x f 的图像与函数21++=x x y 的图像关于点)1,0(A 对称． 〔1〕求)(x f 的解析式；〔2〕假设xa x f x g +=)()(且)(x g 在区间]2,0(上为减函数，求正数a 的取值范围． 例5、函数4(1)|1|()2(1)x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩〔1〕作出函数()y f x =的大致图像． 〔2〕〔考虑题〕假设关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有三个不同的实数解123x x x 、、，求222123x x x ++的值．三、课后习题：1、设函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，在x≤1时，f(x)=(x+1)2－1,求f(x)的解析式。
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函数图象的变换及对称性
1.函数的对称性：
例1.函数()41
2
x x
f x +=的图象（ ） A. 关于原点对称 B. 关于直线y x =对称 C. 关于x 轴对称 D. 关于y 轴对称 演变1.函数1
2+-=
x x
y 的图像关于__________对称 例2.对任意实数x ，函数()f x 满足()(2)20f x f x -+++=，则函数()f x 的图象关于（ ） A ．直线1x =对称 B ．直线2x =对称 C ．点(1,1)-对称 D ．点(1,1)-对称 演变1.函数()y f x =满足)2()2(x f x f +=-，且)(x f =0有且只有17个根，则这些实数根的和为 演变2.函数1
1y x
=
-的图象与函数2sin y x π=（24x -≤≤）的图象所有交点的横坐标之和等于__________
2.函数图象的对称与不等式：
例1.已知定义域为R 的函数)(x f 满足)4()(+-=-x f x f ，且当2>x 时，)(x f 单调递增。
如果421<+x x ，且0)2)(2(21<--x x ，则)()(21x f x f +的值的符号是____
例2.已知()f x 是定义在(3,3)-上的奇函数，当03x <<时，()f x 的图像如下图所示，那么不等式()cos 0f x x ⋅<的解集是_____________（答：(,1)(0,1)(,3)22
π
π
-
-）
演变1.已知函数()y f x =，x ∈[－1，1]的图象是由以原点为圆心的两段圆弧及原点构成（如
图所示）, 则不等式的()()->+f x f x 的解集为 （答：)2
1,0()21,1[ --） 3.函数图象的变换：
例1.若函数x x y +=2
与)(x g y =的图象关于点（-2，3）对称，则)(x g ＝______
演变1.已知直线l 与直线220x y +-=关于点（1，2）对称，则直线l 方程为 演变 2.与函数|3|y x =+的图象关于直线1x =-对称的函数图象所对应的函数解析式是______________________
例2.函数|)1(log |2+-=x y 的单调区间为__________
演变1.已知函数()|lg |f x x =.若a b ≠且()()f a f b =，则a b +的取值范围是_______
演变2.已知函数2|1|
=1
x y x --的图象与函数=2y kx -的图象恰有两个交点,则实数k 的取值范
围是______________.(0,1)
(1,4)
演变3.设a 、b 、c 均为正数，且a a 2
1log 2=，b b
2
1log )2
1
(=，c c
2log )2
1(=，则有（ ）
A.c b a <<
B.a b c <<
C.b a c <<
D.c a b << 演变4.已知两条直线1:l y m =和2l :8
21
y m =
+(0m >)，1l 与函数2log y x =的图像从左
至右相交于点A 、B ，2l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于C 、D ，记线段AC 和
BD 在x 轴上的投影长度分别为a 、b ，当m 变化时，
b
a
的最小值为（ B ）
A ．
B ．
C ．
D ．例3.对于函数①()lg(21)f x x =-+，②2()(2)f x x =-，③()cos(2)f x x =+，判断如下三个命题的真假：
命题甲：(2)f x +是偶函数；
命题乙：()f x 在()-∞2，上是减函数，在(2)+∞，上是增函数； 命题丙：(2)()f x f x +-在()-∞+∞，上是增函数． 能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（ D ） A ．①③
B ．①②
C ．③
D ．②
例4.设函数()0)f x a =
<的定义域为D ，若所有点(,())(,)s f t s t D ∈构成
一个正方形区域，则a 的值为（ B ）
A ．2-
B ．4-
C ．8-
D ．不能确定
强化练习
1.函数2
2log 2x
y x
-=+的图像（ ） A ．关于原点对称 B ．关于主线y x =-对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于直线y x =对称
2.函数2441
()431
x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩， ，的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
3.以c b a 、、依次表示方程232212=+=+=+x x x x x x 、、的根，则c b a 、、的大小顺序为（） A ．c b a <<
B ．c b a >>
C ．b c a <<
D ．c a b >>
4.设函数()y f x =在(,)-∞+∞内有定义，对于给定的正数K ，定义函数
(),(),(),().
K f x f x K f x K f x K ≤⎧=⎨
>⎩，取函数()2x
f x -=，当K =12时，函数()K f x 的单调递增区间为（ ）
A ．(,0)-∞
B ．(0,)+∞
C ．(,1)-∞-
D ．(1,)+∞ 5.函数2
()(0)f x ax bx c a =++≠的图象关于直线2b
x a
=-
对称，据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程[]2
()()0m f x nf x p ++=的解集不可能是（ ）
A ．{}1,2
B ．{}1,4
C ．{}1,2,3,4
D ．{}1,4,16,64
6.对于函数①()2f x x =+，②2
()(2)f x x =-，③()cos(2)f x x =-，判断如下两个命题的真假：
命题甲：(2)f x +是偶函数；
命题乙：()f x 在()-∞2，上是减函数，在(2)+∞，上是增函数； 能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是（ ） Ａ．①②
Ｂ．①③
Ｃ．②
Ｄ．③
7.已知函数()f x 的图象如图，则不等式|()()|1f x f x -->的解集为
.
8.已知()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，它们的定义域都是[,]ππ-，当[0,]x π∈时，它们的图像如图所示，则不等式
()
0()
f x
g x <的解为 9.已知对于任意实数x ，函数)(x f 满足)()(x f x f =-. 若方程0)(=x f 有2009个实数解，则这2009个实数解之和为 .
10.已知二次函数)0()(2≠+=a bx ax x f 满足条件)3()5(-=-x f x f ，且方程x x f =)(有相等实根，则)(x f ＝ .
11.已知函数211
x y x -=-的图像与函数y kx =的图像恰有两个交点，则实数k 的取值范围
是 .
12.设函数c bx x x x f ++=)(，给出下列4个命题：
①0,0>=c b 时，0)(=x f 只有一个实数根； ②0=c 时，)(x f y =是奇函数； ③)(x f y =的图象关于点),0(c 对称； ④方程0)(=x f 至多有2个实数根 上述命题中的所有正确命题的序号是 .
答案：A 、B 、C 、C 、D 、C 、11(,0)(0,)22-、(,0)(,)22πππ-、0、21
2
x x -+、10<<k 或21<<k 、①②③。