初中数学讲义

初中理科实验班数学初中数学目录第1讲实数与二次根式 (1)第2讲二次根式的运算 (8)第3讲二次根式的化简与求值 (14)第4讲一元二次方程 (18)-2-初中数学1第1讲实数与二次根式一．平方根与算术平方根：1．平方根的定义及其表示：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根．例如：932=，那么，3就叫做9的平方根．同样的，3-也是9的平方根．我们知道，一个数的平方是非负数，且互为相反数的两个数的平方相同．因此，一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根0；负数没有平方根．正数a 的平方根记为a ±．求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方，其中a 叫做被开方数．开平方与平方之间互为逆运算．2．算术平方根：正数a 有两个平方根(表示为a ±)，我们把其中正的平方根，叫做a 的算术平方根，表示为a ．0的平方根也叫做0的算术平方根，因此0的算术平方根是0，即00=．3．算术平方根的非负性：a 的意义有两点(均为其非负性的体现)：(1)被开方数a 表示非负数，即0≥a ；(2)a 也表示非负数，即0≥a ．也就是说，非负数的“算术”平方根是非负数．负数不存在算术平方根，即0<a 时，a 无意义．4．平方根与算术平方根的区别与联系：平方根与算术平方根有以下区别与联系：(1)定义不同；(2)个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个；(3)表示方法不同：正数a 的平方根表示为a ±，正数a 的算术平方根表示为a ；(4)取值范围不同：正数的算术平方根一定是正数，正数的平方根是一正一负；(5)0的平方根与算术平方根都是0．初中数学25．常见算术平方根的近似值：许多算术平方根不能用我们以前学过的小数或分数准确地表示出来．这里，我们给出其中一些数的近似值：4142.12≈7321.13≈2361.25≈4495.26≈6458.27≈二．立方根与n 次方根：1．立方根的定义及其表示：同样的，类比平方根定义，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根，记作3a ．正数的立方根为一个正数，负数的立方根为一个负数，0的立方根为0．求一个数a 的立方根的运算，叫做开立方，其中a 仍叫做被开方数．开立方与立方之间互为逆运算．2．n 次方根的定义及其表示：如果一个数的n 次方等于a ，那么这个数叫做a 的n 次方根：(1)如果n 为奇数，则记作n a ，其中a 叫做被开方数，n 叫做根指数；(2)如果n 为偶数，则记作n a ±，其中a 叫做被开方数，n 叫做根指数．并且0≥a ，0≥na ．3．分数指数幂：若0>a ，n m 、均为正整数，则m n mna a =．三．无理数与实数：1．无理数的定义：无理数是不能表示成两个整数的比的数，即无限不循环小数．相反的，有理数为可以表示成两个整数的比的数．事实上，我们之前学过的整数、分数、有限小数、无限循环小数均为有理数，而π则是一个无理数．2．实数：有理数和无理数统称为实数，实数与数轴上的点是一一对应的．四．二次根式的定义：我们规定：形如)0(≥a a 的式子称为二次根式，其中“”称为二次根号，0≥a ．五．二次根式的性质：初中数学3性质1：)0(2≥=a a a ；性质2：||2a a=．六．最简二次根式：我们知道，20202=．那你们有没有注意到一个让人惊讶的结论，那就是2)52(居然也等于20．这是为什么呢？推导过程如下：205452)52(222=⨯=⨯=．而20和52都是非负数，由此，我们得到了一个结论：5220=．让我们来分析一下为什么会有这样的结果，事实上，52202⨯=，而222=，所以5220=．同理，如果一个二次根式根号下是一个整数或整式，并且这个整数或整式含有可以开的尽方的因数或因式，那么都可以通过同样的方法将二次根式进行化简，化简后的结果称为最简二次根式．七．同类二次根式：如果几个二次根式化成最简二次根式后的被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．例如：2318228==，，那么，8和18就是同类二次根式．例1：已知12-a 的平方根是3±，13-+b a 的平方根是4±，求b a 2+的平方根．例2：16的平方根是___________，算术平方根是__________．例3：25-的相反数是___________，绝对值是__________．例4：一个数的算术平方根为62-a ，平方根为)2(-±a ，求这个数．初中数学4例5：已知b a 、分别是196、289的算术平方根，求多项式1)2(24422+--+-b a b ab a 的平方根．例6：(1)已知0|56|31=-+-y x ，求y x -的值；(2)已知实数y x ，满足01)1(1=---+y y x ，求y x 34-的值；(3)已知0962||2=-+-+-y y x ，求y x ，的值．例7：若295n +-是整数，求所有满足条件的整数n ．例8：若等式2|2|222++-=+++b ba b b ab a 成立，那么b a 、应满足什么条件？例9：已知01<<-x ，化简：21212222+++-+x x x x ．初中数学5例10：下列各式在什么条件下有意义：(1)ba +6(2)c b a 32(3)24x -(4)ab 23例11：计算：(1)665232+-(2)7142--例12：计算：(1)6531222-⨯(2)6131328193⨯⨯例13：比较8!8和9!9的大小．例14：把下列根式化为最简二次根式：=8=50=45=56=98=100=120=150=21=31=32=54c b a 2342(0>b a ，)233216a a +(0>a )232ab初中数学6例15：观察分析，探求规律，然后填空：，，，，，1022622……_________(请在横线上写出第100个数)例16：将aa --11)1(中的根号外面的因式移到根号里面．例17：已知最简二次根式45-x 与63+x 是同类二次根式，求x 的值．例18：证明2为无理数．例19：证明523+是无理数．初中数学7例20：计算：；_______2111122=++；_______3121122=++_______4131122=++．由此猜想：_______)1(11122=+++n n ．根据你的猜想，计算：222222104611045113121121111+++⋯⋯++++++．例21：判断下列说法是否正确，若正确，请给出证明；若不正确，请举出反例．(1)如果y x ，都是有理数，那么y x +是有理数；(2)如果y x ，都是无理数，那么y x -是无理数；(3)如果y x ，都是无理数，那么xy 是无理数；(4)如果x 是有理数，y 是有理数，那么yx 是有理数．(5)如果x 是无理数，y 是无理数，那么y x 是无理数．初中数学8第2讲二次根式的运算一．二次根式的乘法与除法：从前面求最简二次根式的过程中，我们可以看到：)0(≥=⨯b a ab b a 、，这就是二次根式的乘法法则．反之，也可以得到二次根式的除法法则：)00(>≥=b a baba 、例1：计算：(1)5×7(2)13×9(3)123(4)3128÷例2：计算：(1)522225÷⨯⨯(2)21102112736112⨯÷例3：计算：abb a ab b 3)23(235÷-⋅(0>b a 、)例4：已知9966x xx x --=--，且x 为偶数，求)1(x +22541x x x -+-的值．二．二次根式的加法与减法：两个二次根式是同类二次根式，可以对其合并，即：)0()(≥±=±a a y x a y a x ．这就是二次根式的加减法的运算法则．二次根式的加减法运算，通常分两步：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将其中的同类二次根式进行合并．例5：计算：(1)123319483+-(2)5122048-++例6：计算：xxx x 1246932-+(0>x )三．分母有理化：在二次根式的计算中，通常情况下，我们要求其结果中，分母不含根号．因此，对于分母上的根号，通常需要将其去掉．这一过程称为分母有理化，方法为分子、分母同时乘以分母的有理化因式．(1)对于最简二次根式a ，因为a a a =⨯，因此其有理化因式就是a ．(2)对于b a +，根据平方差公式，b a b a b a -=-+))((，因此其有理化因式是b a -．同理，b a -的有理化因式是b a +．例7：分母有理化：(1)121-(2)132-(3)373+例8：计算：1.3231+821－5051 2.)321(++(321--)3．22)32()21(--- 4.2)2332(+5．222)7()62()3(--+- 6.)455112()3127(+--+7．)152811(322-⨯8.913.0)31(22-+-9．22)31()31(+--10.22)3(25)6(-+--11．)32224()61263(+--12．)2732(3+13．24)654(-14．)82(2+15．21223222330÷⨯16．21223151437⨯÷-17．)1021(32531-⨯⨯18．2484554+-+19．27464834÷⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-20．()()()2123523527---+二．含字母的二次根式的化简：注意式子中字母的取值范围．例9：化简：ba b ab ab ba b a ++÷-+)(例10：化简：aby x b a a b ab a xy a b x 222)(÷+-(0>b a ，)三．无理数比较大小：常用方法为平方法，估值法，分子有理化．例11：比较下列每组中两个数的大小：(1)347(2)1210+112(3)56-67-四．复合二次根式的化简：形如b a 2+的式子称为复合二次根式．因为ab b a b a 2)(2±+=±，所以：b a ab b a ±=±+2．所以：对于复合二次根式b a 2±，当：()x y ax y xy b +=⎧>⎨=⎩时，,y x b a ±=±2．例12：化简下列各式：(1)223+(2)288-(3)53+第3讲二次根式的化简与求值例1：求22222222-++++ 的值.例2：已知1992199411x x ⨯+=-求：2221244x x x x ++-++的值.例3：设实数()()()()19942121511111a a a a a x a a ⎛⎫+-++-⎪+=+⎪+ ⎪++⎝⎭，试求x 的个位数字.例4：化简()()3211133111113++++.例5：计算1111335335755749474749++++++++ .例6：已知11n n x n n +-=++，11n n y n n++=+-，n 为正整数，且2219123191985x xy y ++=.求n 的值.例7：化简3381813333a a a a a a +-+-++-.例8：求441143114322⎛⎫⎛⎫++-+⎪ ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.例9：已知111122x +=，求()199454322535754x x x x +--+的值.例10：已知44122x =-，求222424x x xx x x++++-+的值.例11：若1983-的整数部分是a ,小数部分是b ,求2a b b++的值.例12：α，β分别表示137-的整数部分和小数部分，求()217ααβ-+的值.例13：已知a ，b 为有理数，且32752a b +=+，求a ，b 的值.例14：化简2199119921993199411992⨯⨯⨯+-.例15：设y 是与331221+-最接近的整数，求32y -的值.例16：已知0x ≠，求24411x x x x++-+的最大值.第4讲一元二次方程1．什么是一元二次方程形如)0( 02≠=++a c bx ax 的方程称为一元二次方程2．配方法解一元二次方程及方程的求根公式≠a ∴在方程02=++c bx ax 两边同时除以a 得：02=++ac x a b x 配方得：4)2(222=+-+a c ab a b x 移项得：22244)2(a ac b a b x -=+由上式可知：042>-ac b 时，aacb b x 242-±-=,此公式即为一元二次方程的求根公式.3．一元二次方程的判别式称ac b 42-=∆为一元二次方程的判别式，它可以用来判断一元二次方程的解的情况，判别方法如下：(1).0>∆时，方程有两个不等的实数根；(2).0=∆时，方程有两个相等的实数根；(abx x 221-==)(3).0<∆时，方程没有实数根.4．一元二次方程根与系数的关系——韦达定理对于一元二次方程02=++c bx ax (0≠a )，当0≥∆时，方程有两个实数根1x ，2x ，则方程的根与系数a ，b ，c 之间有如下关系：(1).ab x x -=+21(2).ac x x =215．韦达定理的证明当0≥∆时，方程有两个实数根1x ，2x ，并且aac b b x 2422,1-±-=aba b a ac b b a ac b b x x -=-=---+-+-=+∴2224242221a caac a ac b b a ac b b a ac b b a ac b b x x ==--=---=---⋅-+-=222222222221444)4(44)(24246．关于求根公式，韦达定理，判别式的两点说明说明1:上述方法是对于一元二次方程的传统推导方法,证明过程为:配方⇒求根公式⇒韦达定理,下面给出另一种方法,先证明韦达定理,再推出求根公式.证明：0≠a ∴在方程02=++c bx ax 两边同时除以a 得：02=++ac x a b x 移项，整理得：ac x a b x =--)(令x aby --=，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+a c xy a b y x 易知x 是方程02=++c bx ax 的一个根，而由上述方程组关于x ，y 对称知y 是方程的另一个根！(注：这里这么说其实并不严谨，但本人很喜欢这种说法，它体现了数学的对称美！)所以x x =1，y x =2，代入上述方程组得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+a c x x a b x x 2121至此，韦达定理证毕！下面推导求根公式：ab x x -=+21∴设t a b x +-=21，t a b x --=22代入a cx x =21得：22244)2)(2(a ac b t a c t a b t a b -=⇒=--+-∴(1).042>-=∆ac b 时，aacb t 242-=(2).042=-=∆ac b 时，0=t (3).042<-=∆ac b 时，t 不存在∴(1).042>-=∆ac b 时，方程有两个不等的实数根aac b b x 2422,1-±-=(2).042=-=∆ac b 时，方程有两个相等的实数根ab x x 221-==(3).042<-=∆ac b 时，方程没有实数根.说明2：关于判别式和韦达定理，其实，在推导出韦达定理后，可以反推出判别式与根的个数的关系，只需计算221)(x x -就可以了：acx x a b x x =-=+2121, 2222122122144)(4)()(a acb ac a b x x x x x x -=--=-+=-∴由此可知：(1).042>-=∆ac b 时，021≠-x x ，方程有两个不等的实数根(2).042=-=∆ac b 时，021=-x x ，方程有两个相等的实数根(3).042<-=∆ac b 时，21x x -在实数范围内不存在，方程没有实数根.7．二次三项式在实数范围的因式分解二次三项式)0( 2≠++a c bx ax ，当其判别式非负时，总能在实数范围内分解因式.))((212x x x x a c bx ax --=++，其中21x x ，为方程02=++c bx ax 的两个根，证明如下(从此证明可以方便地推出韦达定理并可推广到高次)：21,x x 是方程02=++c bx ax 的两个根∴))()((212x x x x x f c bx ax --=++ c bx ax ++2是二次多项式，))((21x x x x --也是二次多项式∴)(x f 是零次多项式，即)(x f 是一常数c bx ax ++2中2x 的系数为a ，))((21x x x x --中2x 的系数为1∴ax f =)(∴21212212)())((x ax x x x a ax x x x x a c bx ax ++-=--=++对比等式两边系数知：⇒⎩⎨⎧=+-=2121)(x ax c x x a b ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+a cx x a b x x 2121例1：不解方程，判断关于x 的方程的解的情况.(1)01172=+-x x (2)0121232=+-x x (3)01132=+-x x (4)932--=x x (5)11+=x x(6)52)2)(1(2-=-+x x x (7))13)(32(14--=+x x x (8)2)22(2=++-k x k x例2：用求根公式解下列方程(1)0762=+-x x (2)05722=--x x (3)07232=++-x x (4)9322+=x x 例3：在实数范围内分解因式(1)462--x x (2)532-+x x (3)71022++x x (4)932--x x 例4：已知方程0532=--x x 的两个根为21 x x ，，求下列式子的值：(1)2133x x +(2)214x x (3)2221x x +(4))34)(34(21--x x (5)2111x x +(6)2112x x x x +(7)||21x x -(8)3231x x +例5：已知关于x 的方程0)1()32(2=++++k x k kx ,则k 取何值时：(1)有两个不等的实数根；(2)有两个相等的实数根；(3)有一个实数根；(4)没有实数根.例6：已知关于x 的方程0)1()12(22=-+-+k x k x 有两个实数根21 x x ，，分别在下列条件下求k 的取值范围：(1)0021>>x x ，(2)0021<<x x ，(3)1121>>x x ，例7：已知关于x 的方程06)26(222=++-k x k x 有两个实数根21 x x ，，分别在下列条件下求k 的值：(1)两根互为相反数(2)两根互为倒数(3)102221=+x x 例8：设方程012=++ax x 的一个根是231-=x ，求a 及方程的另一个根2x .例9：方程0132=+-x x 的两个根是21 ,x x ，分别写出以下列每组中两个数为根的方程：(1)5 2，(2)212 2x x ，(3)2 221+-+-x x ，(4)2121 x x x x ，+(5)2221 x x ，例10：如果0722=--p p ，0722=--q q ，q p ≠，求：(1)22qp +(2)qp 11+(3))1)(1(++q p 例11：已知关于x 的方程062=++ax x 有两个整数根，求a 所有可能的值.例12：解方程或方程组(1)03)1(2)1(2=----x x x x (2)0312)1(22=----x xx x(3)412)2(3212=-+++-x x x x (4)0365322=-++-xx x x (5)⎩⎨⎧=+=+11322y x y x (6)⎩⎨⎧=-=-21622y x y x 例13：如果方程 02=++c bx ax 有一个根1=x ，证明：0=++c b a 例14：已知1x ，2x 是方程032=-+x x 的两个根，求1942231+-x x 的值例15：已知关于关于x 的方程023=+++d cx bx ax 有三个根321,,x x x ，求根与系数的关系.。