数学2-2北师大版2.2.1导数的概念
北师大版高中数学选修2-2课件2.2.2导数的几何意义课件
(1,1)
y 3x 4
小结
＊导数的几何意义： 函数在处的导数，即是曲线 y f ( x ) x0 在点处的切线斜率。 ( x0 , f ( x0 ) ) ＊导数法求曲线的切线方程：
y f ( x)
y f ( x ) x0 （1）求出在处的导数；
f ( x0 )
（2）利用点斜式求得切线方程为：
由题知，
( 2,4) x 2 时割线过点和；
(0,0)
( 2,4) ( 1,1) x 1 时割线过点和； ( 2,4) ( 1.5,2.25) 图略。 x 0.5 时割线过点和，
（2） f ( 2 ) ∴ k f ( 2) 4 又切线过点 ( 2,4) ∴切线方程为：
2
yx
2
x0 , x0 x
yx
2
的平均变化率，并画出过点的相应割线； ( x0 , f ( x0 ) ) 在点处的切线。 ( 2,4)
解析
y f ( x) 2 x x 1 例2求函数在处的切线方程。
3
解析
总结概括
利用导数求曲线的切线方程：
y f ( x ) x0 （1）求出在处的导数；
y 4 x 4
图略。 例2
分析： 要求切线斜率，即导数。
解：
f (1)
∴ k切线 f (1) 6 ∴切线方程为：
( y 2) 6( x 1)
即 y 6x 4 概括
f ( 0) f ( 2) 0 2： x 1 , 0.5
f ( 1) f ( 2) ( 1)2 ( 2)2 3 1 1
f (1.5) f ( 2) ( 1.5)2 ( 2)2 3.5 0.5 0.5
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修2-2 2.1导数的概念》
导数的概念一、教学目标：（1） 理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵 ;（2） 能解释具体函数在一点的导数的实际意义；（3） 会求简单函数()x f y =在0x x =处的导数。
二、教学重、难点本节的重点是了解导数的概念；难点是理解导数概念的本质内涵。
三、教学过程●复习回顾在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h 单位：m 与起跳后的时间t （单位：）存在函数关系ht = 2t 10（1）平均速度：计算运动员在2~3t 的平均速度1、 若设01x x x -=∆，()()01x f x f y -=∆，函数的平均变化率：()()()()xx f x x f x x x f x f x y ∆-∆+=--=∆∆000101，我们用它刻画函数值在区间[]10,x x 上变化的快慢。
（2）瞬时速度：我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。
运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，t=2时的瞬时速度是多少？考察t=2时附近的情况：2、瞬时变化率：用平均变化率“逼近”瞬时变化率即x ∆趋于0时，平均变化率就趋于函数在点0x 的瞬时变化率。
瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢。
●新课讲授导数的概念：设函数＝f ，当自变量1趋于0时，即Δ趋于0时，如果平均变化率()()()()xx f x x f x x x f x f x y ∆-∆+=--=∆∆000101 趋于一个固定的值，那么这个值就是函数＝f 在0点的瞬时变化率，也称为＝f 在0点的导数．记法：函数＝f 在0点的导数，通常用符号 ()0x f '表示，记作()()()()()xx f x x f x x x f x f x f x x x ∆-∆+=--='→∆→00001010lim lim 01 注：导数即为瞬时变化率问题：如何利用导数定义求函数在某点处的导数呢？用平均变化率“逼近”瞬时变化率例1、一条水管中流过的水量（单位：m 3）是时间（单位:）的函数=f=3。
高中数学 北师大选修2-2 2.2.1导数的概念
1 2
, 求x0的值.
解 : y x0 x x0 ,
y x0 x x0 ( x0 x x0 )( x0 x x0 )
x
x
x( x0 x x0 )
1
.
x0 x x0
y
1
1
lim lim
,
x0 x x0 x0 x x0 2 x0
由y'|x x0
1 ,得 22
1 x0
x 0
x
x0 x
称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f (x0 )
或 y |xx0 , 即
1. f (x0)与x0的值有关，不同的 x0其导数值一般也不相同 。 2. f (x0)与x的具体取值无关。 3.瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称。
由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的 基本方法是:
3.1.2 导数的概念
复习：平均变化率
一般的，函数 f (x) 在区间上 [x1, x2 ] 的平均变化率为
y f (x2 ) f (x1)＝f x1＋x－f x1
x
x2 x1
x
定义: 函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
lim f (x0 Δx) f (x0 ) lim y
f ' (x0 )
x0
y x
必做题: 1.如果质点 A 按照规律 s 3t2 运动,则在 t 3 时的瞬时
速度为 18 . 2.函数 y x 1 在 x 1处的导数等于 0 .
x
3.设函数 f (x) ax 3 ,若 f '(1) 3 ,则 a 3 .
选做题:
1.设函数 f (x) 可导,则 lim f (1 x) f (1)
2.2《导数的概念及其几何意义》课件(北师大版选修2-2)
主题探究导学
1.“函数y=f(x)在x=x0处的导数值就是Δ x=0时的平均变化率”.
这种说法对吗？
提示：这种说法不对，y=f(x)在x=x0处的导数值是Δx趋向于
y 0时，平均变化率 无限接近的一个常数值，而不是Δx=0时 x y 的值，实际上，在平均变化率的表达式 中，Δx≠0. x
答案：-1
三、解答题（6题12分，7题13分，共25分） 4 6.（2010·漳州高二检测）求曲线y= 1 x3+x在点（1, )处 3 3 的切线与坐标轴围成的三角形的面积. 【解题提示】求切线的斜率k=f′(1) →求切线方程→求 切线与两坐标轴的交点→求切线与坐标轴围成三角形的面积.
【解析】
消去x2得方程2x21+2x1+1+a=0.
若判别式Δ=4-4×2×(1+a)=0,即a= 1 时， 2 解得x1=x2= 1 , 此时点P与Q重合. 2 即当a= 1 时C1和C2有且仅有一条公切线. 2 由①得公切线方程为y=x 1 . 4
思路点拨：解答本题可先求出函数值的增量Δs,自变量的增量
Δt,再利用公式求解，最后说明运动状况.
【练一练】1.如果质点A按规律s=2t3运动，则在t=3 s时的瞬时
速度为（
（A）6
）
（B）18 （C）54 （D）81
2.一杯80 ℃的热红茶置于20 ℃的房间里，它的温度会逐渐下
降，温度T（单位:℃）与时间t(单位:min）间的关系，由函数
【解析】
答案：
5.如图，函数y=f(x)的图像在点P处的切线方程是y=-2x+9，P
点的横坐标是4，则f(4)+f′(4)=__________.
2020-2021学年北师大版数学选修2-2学案：2.2 导数的概念及其几何意义 Word版含解析
2 导数的概念及其几何意义授课提示：对应学生用书第15页[自主梳理]一、导数的概念当Δx 趋于0时，如果平均变化率趋于一个________，那么这个值就是函数y ＝f (x )在________的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y ＝f (x )在__________的导数，通常用符号____________表示，记作f ′(x 0)＝li m x 1→x 0f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝________________.二、导数的几何意义函数y ＝f (x )在x 0处的导数，是曲线y ＝f (x )在点______处的切线的________．函数y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处切线的斜率反映了导数的几何意义．[双基自测]1．设函数f (x )＝ax 3＋2，若f ′(－1)＝3，则a ＝( ) A ．－1B.12C ．1D.132．设f (x )在x ＝1处有导数且满足li m x →0 f (1)－f (1－2x )2x＝－1，则过曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( )A ．2B ．－1C ．1D ．13．已知f (x )＝2x 2－x ，则f ′(x )＝__________，f ′(1)＝________. 4．曲线f (x )＝13x 3－2在⎝⎛⎭⎫－1，－73处切线的倾斜角为________．[自主梳理]一、固定的值 x 0 x 0点 f ′(x 0) lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx二、(x 0，f (x 0)) 斜率[双基自测]1．C 因为f ′(－1)＝li mΔx →0 f (－1＋Δx )－f (－1)Δx＝li m Δx →0[a (Δx )2－3a Δx ＋3a ]＝3a ＝3， 所以a ＝1. 2．B li m x →0 f (1)－f (1－2x )2x＝li m x →0f (1－2x )－f (1)－2x＝li m－2x →0 f [1＋(－2x )]－f (1)－2x＝f ′(1)＝－1.3．4x －1 3 因为Δy ＝2(x ＋Δx )2－(x ＋Δx )－(2x 2－x )＝4x Δx －Δx ＋2(Δx )2，所以Δy Δx ＝4x Δx －Δx ＋2(Δx )2Δx ＝4x －1＋2Δx .故f ′(x )＝li mΔx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0 (4x －1＋2Δx )＝4x －1.所以f ′(1)＝4×1－1＝3. 4．45° 因为k ＝li mΔx →0 f (－1＋Δx )－f (－1)Δx＝li m Δx →0 13(－1＋Δx )3－2－⎣⎡⎦⎤13(－1)3－2Δx＝li m Δx →0 (－1)2Δx －(Δx )2＋13(Δx )3Δx＝li m Δx →0 ⎣⎡⎦⎤1－Δx ＋13(Δx )2＝1， 所以直线的倾斜角为45°.授课提示：对应学生用书第15页探究一 求函数在某点处的导数[例1] 求函数y ＝f (x )＝4x2在x ＝2处的导数．[解析] ∵Δy ＝4(Δx ＋2)2－422＝4(Δx ＋2)2－1＝－(Δx )2＋4Δx (Δx ＋2)2，∴Δy Δx ＝－Δx ＋4(Δx ＋2)2.∴f ′(2)＝li mΔx →0 ΔyΔx ＝－li m Δx →0 Δx ＋4(Δx ＋2)2＝－1.由导数的定义可知，求函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的步骤 (1)求函数值的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝li mΔx →0 Δy Δx.1．求函数f (x )＝1x在x ＝1处的导数． 解析：∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1) ＝11＋Δx －1＝1－1＋Δx 1＋Δx ＝－Δx1＋Δx (1＋1＋Δx )， ∴Δy Δx ＝－11＋Δx (1＋1＋Δx ). 当Δx 无限趋近于0时，1＋Δx 无限趋近于1， ∴Δy Δx 无限趋近于－12， ∴f ′(1)＝－12.探究二 求曲线的切线方程[例2] 求曲线y ＝2x 2＋1在点P (1,3)处的切线方程． [解析] 曲线y ＝f (x )＝2x 2＋1在点P (1,3)处的斜率为： k ＝li m Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝li m Δx →0 2(1＋Δx )2＋1－3Δx＝li m Δx →0 2(Δx )2＋4ΔxΔx＝4.∴切线方程为y －3＝4(x －1)，即4x －y －1＝0.求曲线在点(x 0，f (x 0))处的切线方程的步骤： (1)求出函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)；(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)·(x －x 0)．2．已知f (x )＝x 3在点P 处的切线斜率为3，求点P 的坐标及切线方程． 解析：设点P 的坐标为(x 0，x 30)， ∴斜率k ＝li mΔx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝li m Δx →0 (x 0＋Δx )3－x 30Δx＝li m Δx →0 3x 20Δx ＋3x 0(Δx )2＋(Δx )3Δx＝li m Δx →0[3x 20＋3x 0Δx ＋(Δx )2]＝3x 20.∴3x 20＝3，x 0＝±1. ∴P 点的坐标是(1,1)或(－1，－1)，则切线方程为y －1＝3(x －1)或y ＋1＝3(x ＋1)，即为3x －y －2＝0或3x －y ＋2＝0.探究三 导数几何意义的综合应用[例3] 已知抛物线y ＝2x 2＋1，求： (1)抛物线上哪一点处的切线的倾斜角为45°？ (2)抛物线上哪一点处的切线平行于直线4x －y －2＝0? (3)抛物线上哪一点处的切线垂直于直线x ＋8y －3＝0? [解析] 设点的坐标为(x 0，y 0)，则Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2.∴ΔyΔx＝4x 0＋2Δx . 当Δx 趋于零时，ΔyΔx 趋于4x 0.即f ′(x 0)＝4x 0.(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°， ∴切线的斜率为tan 45°＝1，即f ′(x 0)＝4x 0＝1，得x 0＝14，该点为⎝⎛⎭⎫14，98. (2)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0， ∴切线的斜率为4，即f ′(x 0)＝4x 0＝4，得x 0＝1，该点为(1,3)． (3)∵抛物线的切线与直线x ＋8y －3＝0垂直， ∴切线的斜率为8，即f ′(x 0)＝4x 0＝8，得x 0＝2，该点为(2,9)．解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数、进而可求此点的横坐标．解题时注意解析几何中直线方程知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，直线的平行、垂直等．3．求经过点(2,0)且与曲线y ＝1x 相切的直线方程．解析：可以验证点(2,0)不在曲线上，设切点为P (x 0，y 0)． 由f ′(x 0)＝li m Δx →0 1x 0＋Δx －1x 0Δx＝li m Δx →0 －ΔxΔx ·(x 0＋Δx )·x 0＝li mΔx →0 －1x 0(x 0＋Δx )＝－1x 20.故所求直线方程为y －y 0＝－1x 20(x －x 0)．由点(2,0)在所求的直线上，得x 20y 0＝2－x 0， 再由P (x 0，y 0)在曲线y ＝1x 上，得x 0y 0＝1，联立可解得x 0＝1，y 0＝1， 所以直线方程为x ＋y －2＝0.因对导数的概念理解不透彻而致误[例4] 已知f (x )在x ＝x 0处的导数为4，则 li mΔx →0 f (x 0＋2Δx )－f (x 0)Δx＝________.[解析] li m Δx →0 f (x 0＋2Δx )－f (x 0)Δx＝li mΔx →0 ⎣⎡⎦⎤f (x 0＋2Δx )－f (x 0)2Δx ×2＝2 li mΔx →0 f (x 0＋2Δx )－f (x 0)2Δx＝2f ′(x 0)＝2×4＝8. [答案] 8[错因与防范] 本例易因对导数概念不理解，乱套用定义致错．注意本题分子中x 0的增量是2Δx ，即(x 0＋2Δx )－x 0＝2Δx ，解决此类问题关键是变形分母中x 0的增量，使与分子中的增量一致(包括符号)，归结为c li mΔx →0 f (x 0＋k Δx )－f (x 0)k Δx(c ，k 为常数且kc ≠0)的形式．莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。
北师大版导数的概念与导数的几何意义-PPT
1
一、教学目标：理解导数的概念，会 利用导数的几何意义求曲线上某点处的 切线方程。
二、教学重点：曲线上一点处的切线 斜率的求法
教学难点：理解导数的几何意义 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程
2
1.导数是函数的瞬时变化率,它是从众多实际问题
到直线的最短距离
d
|
3 2
9 4
4
|
19
2
2
8
13
课外作业: 1.若曲线 y x3 x 2 上一点 P 处的切线恰好平
行于直线 y=11x－1，则 P 点坐标为____. (2,8)或(－2,－4)
2.若曲线 y x3 2ax2 2ax 上任意一点处的切线 的倾斜角都是锐角，那么 a 的取值范围为______.
___ .
2
11
1.过点 (1,0) 作抛物线 y x2 x 1的切线，则其中一条切线为（ ）
(A) 2x y 2 0 (B) 3x y 3 0 (C) x y 1 0 (D) x y 1 0
解析：设 (x1, y1) 为作抛物线 y x2 x 1上一点，则在该点处切 线的斜率为 y 2x1 1 ,于是过点 (x1, y1) 的抛物线的切线的方程为 y y1 (2x1 1)( x x1 )，又 y1 x12 x1 1， y （x12 x1 1） (2x1 1)( x x1 ) 又点（1，0）在切线上， （x12 x1 1）（2x1 1）(1 x1 ) 解之得 x1 0, x1 2 ，于是 y1 1或y1 3 则：过（0，1）的切线方程为 y 1 x ，即 x y 1 0 过（-2，-3）的切线方程为 y 3 3(x 2) ，即 3x y 12 0 讲评：本题考查利用导数的几何意义求抛物线的切线方程，注意 点（-1，0）不在抛物线上.
高中数学 第二章 变化率与导数 2.2.1 导数的概念 2.2.2 导数的几何意义课件 北师大版选
提示：在点x=x0处的导数的定义可变形为f′(x0)=
lx im 0f(x0－ 或－ xf )′－ x (xf0)=x0
lim
f
x
f
x0
.
xx0 x－x0
28
【类题·通】
求一个函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤
(1)求函数值的变化量Δy=f(x0+Δx)-f(x0).
(2)求平均变化率 yf(x0x)fx0.
47
(1)求直线l1，l2的方程. (2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积.
48
【思维·引】1.设出切点的坐标，利用导数在切点处的 导数值即为切线的斜率求解. 2.(1)利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而求出 两直线的方程；(2)解方程组求出两直线的交点坐标， 利用三角形的面积公式求解.
36
【解析】将x=1代入曲线C的方程得y=1，即切点
P(1，1).
因为f′(1)=
limy＝ lim(1x)313
x x 0
x 0
x
＝ lim3x3(x)2(x)3
x 0
x
=
l
xi[m30 +3Δx+(Δx)2]=3，
37
所以切线方程为y-1=3(x-1)， 即3x-y-2=0.
38
【素养·探】 求曲线在某点处的切线方程通常应用的数学核心素养 是数学运算，一般要根据导数的定义求出函数的导数， 即所求切线的斜率，然后利用直线的点斜式方程求切 线的方程. 本典例中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？
59
2.面积问题三类型 (1)曲线的一条切线与两坐标轴围成的图形的面积.此类 问题，只要求出切线方程与两坐标轴的交点，即可计 算.
北师大版高中数学2-2第二章《变化率与导数》导数的概念
f 解： ′(1) = 4 表示该工人工作1h的时候，其生产 表示该工人工作1h的时候， 1h的时候 速度（即工作效率） 4kg/h，也就是说， 速度（即工作效率）为4kg/h，也就是说，如果 保持这一生产速度，那么他每时可以生产4kg 4kg的 保持这一生产速度，那么他每时可以生产4kg的 食品。 食品。 f ′(3) = 3表示该工人上班后工作3h的时候，其 .5 表示该工人上班后工作3h的时候， 3h的时候 生产速度为3.5kg/h 也就是说， 3.5kg/h， 生产速度为3.5kg/h，也就是说，如果保持这一 生产速度，那么他每时可以生产出3.5kg/h 3.5kg/h的食 生产速度，那么他每时可以生产出3.5kg/h的食 品。
14
课堂练习: 、 课堂练习 1、
2、课本 P
33
练习： 练习：1、2.
15
小结： 、瞬时速度的变化率的概念； 小结：1、瞬时速度的变化率的概念； 2、导数的概念； 、导数的概念； 3、利用导数的定义求函数的导数的方法 、 步骤： 步骤：
1、 求 函 数 的 变 化 率 y = f ( x0 + x ) − f ( x0 ) y x 2、 求 函 数 的 平 均 变 化 率 3、 求 极 限 lim
f ′(100) = −0.6
表示服药后100min时 表示服药后100min时，血液中药物 100min 的质量浓度下降的速度为－0.6μg/（mL·min min）。 的质量浓度下降的速度为－0.6μg/（mL min）。 也就是说，如果保持这一速度，每经过1min 1min， 也就是说，如果保持这一速度，每经过1min，血 液中药物的质量浓度将下降－0.6μg/（mL·min min）。 液中药物的质量浓度将下降－0.6μg/（mL min）。
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数学2-2北师大版2.2.1导数的概念
1、函数f(x)=x 2＋2x －1图象上一点P 〔1，2〕，点Q 也是图象上一点，且Q 位于点P 的右边，假设点Q 无限逼近P ，那么直线PQ 的斜率〔〕
A ． 不断增大且为负
B 、不断增大且为正
C 、不断减小且为正
D 、不断减小且为负
2、函数y=x 2＋1的图象上一点A 〔1，2〕及其邻近一点B 〔1＋△x,2＋△y 〕,那么直线AB 的斜率是〔〕
A 、2
B 、2x
C 、2＋△x
D 、2＋(△x)2
3、一质点做直线运动，由始点通过ts 后的距离为s=14
t 4－4t 3＋16t 2，那么速度为0的时刻是〔〕
A 、4s 末
B 、8s 末
C 、0s 末与8s 末
D 、C 、0s 末，4s 末，8s 末
4、满足f ′(x)=f(x)的函数是〔〕
A 、f(x)=1－x
B 、f(x)=x
C 、f(x)=0
D 、f(x)=1
5、直线y=－2x ＋1上两点的横坐标增量△y 与纵坐标增量△x 的比值是、
6、一质点的运动方程是S=2t 2＋1〔位移单位：m ，时间单位：s),那么平均变化率是、
7、对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，那么数列
1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭
的前n 项和的公式是、 8、设函数y=f(x)=x 2
－1，
（1） 当自变量x 由1变到1、1时，求函数值增量△y ；
（2） 当自变量x 由1变到1、1时，求函数值的平均变化率；
（3） 求该函数图象在点〔1，y 0〕处的切线方程、
参考答案
1、C 、提示：观看图形、
2、C 、提示：用△x 表示邻近点的坐标，再用斜率计算公式、
3、D 、提示：联想速度与路程的关系、
4、C 、提示：求导后再作比较，注意等式要恒成立、
5、－2、提示：联想斜率与比值大小的关系、
6、4t ＋2△t 、
7、()()/
11222,:222(2)n n n x y n y n x --==-++=-+-切线方程为，令x=0，求出切线与
y 轴交点的纵坐标为()012n y n =+，因此21n n a n =+，那么数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭
的前n 项和()
12122212n n n S +-==--
8、(1)0.21；(2)2.1；(3)y=2x －2、。