线性代数期中考试试卷
07-08-2线性代数期中试卷(文)小强
课程名称：线性代数 考试类型：期中考试 考试时间：90’ 适用班级：一．填选题(4'1040'⨯=)1. 设10a Ab ⎛⎫=⎪⎝⎭, 则A 可逆的条件是ab ≠, 此时1A -=110b ab a -⎛⎫ ⎪⎝⎭.2. 在五阶行列式中1253354124a a a a a 的符号为-；3. 设132231αβ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，则T αβ=10, Tαβ=321642963⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 4. 111213131211212223232221313233333231()22122a a a a a a a a a a a a a a a a a a -=-- 5. 000100020001000000001D n n ==-(2)(1)2(1)!n n n ---, (n 为个人学号最后两位加100)6. 设4阶行列式D 中第二列元素依次为-1, 2, 1, 0, 它们的余子式依次分别是0, 3,2, 3, 则D =4；(＊如果该行列式中第一列的元素依次是2, 1, x , 0, 则x =3/2.)7. 设,A B 为3阶矩阵, ||2,||3A B ==-, 那么21*|2|T A B A A --=192.8. 若n 阶矩阵A 满足方程2230,A A I ++=则1A -=1(2)3A I -+.9. 对方程组12323123304050x kx x x x kx x x +-=⎧⎪+=⎨⎪--=⎩, 下列命题正确的是( AD ).(A) 若方程组有非零解，则系数行列式等于0, 从而3k =-或1k =-(B) 若方程组有非零解，则系数行列式等于0, 从而3k =-且1k =- (C) 若方程组有只有零解，则系数行列式等于0, 从而3k =-或1k =- (D) 若方程组有只有零解，则系数行列式不等于0, 从而3k ≠-且1k ≠- 10. 矩阵m n A ⨯, 且()r A r m n =<<, 则正确的是( ABCD ).(A) A 中r 阶子式不全为0； (B) A 中任何阶数大于r 的子式皆为0；(C) A 不可能是满秩矩阵 (D) A 经过初等变换可化为r I O O O ⎛⎫⎪⎝⎭;二．计算题 (60')11. (8')设140320A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭, 121032B -⎛⎫⎪=⎪ ⎪-⎝⎭, 求矩阵X , 使32A X B +=. 解：由32A X B+=，得1321241025111(3)1009191/29/22223620929/21X B A -------⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+----⎝⎭⎝⎭⎝⎭12. (8')求行列式1231232224101301D =-解：2131324341221231123112311231232201400140014014241000720072007213113072r r r r r r r r r r D --+--------=====---------13. (10')求行列式1111111n nn D n=解：112()2,,1112111211111211011112111(21)(1)i n r r c c c i nn n n n n n n n n D nn nn n n -+++=-----===--=--14. (10')求解方程组12312312323052722025440x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-+-=⎨⎪-+-=⎩.解：2131323231352(1/9)17211231123(,)52722071737254407810112311230717370717370092700131103070140013r rr r r r r r r r r AA b ---⨯--+----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==-−−−→- ⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪−−−→-−−−−→- ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎛⎫−−−→-- ⎝⎭ 1221/7(1/7)100101020013()()3r r r r Ar A +⨯⨯-⎛⎫⎪ ⎪−−−−→⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭∴== 从而原方程组有唯一解，其解为：1231,2,3x x x ===15. (12')设033110,2123A A X A X ⎛⎫ ⎪==+ ⎪ ⎪-⎝⎭, 求: (1) 1(2)A I --, (2)X解：1221313232(1/2)233100110010(2,)110010233100121001121001110010110010013120013120011011002111110010131200011/21/r r r r r r r r r A I I ↔++-⨯---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭-−−−−→2312311100100101/21/23/221/20011/21/21/21001/23/23/20101/21/23/20011/21/21/21/23/23/2(2)1/21/23/21/21/21/22(2)(r r r r A I A X A X A I X AX A -+--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭-⎛⎫ ⎪−−−→- ⎪ ⎪-⎝⎭-⎛⎫⎪∴-=-⎪ ⎪-⎝⎭=+∴-=∴=- 11/23/23/20330332)1/21/23/21101231/21/21/2123110I A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=-⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭16. (12')设12001062410,111361611971434A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪----⎝⎭求秩()r A , 并判断A 是否为满秩矩阵.解：314123324421/21/3(1/7)1200112001062410062410111361609361511971434021714351200112001031250312503125000000312500r r r r r r r r r r r A --⨯⨯-⨯--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=−−−→ ⎪⎪⎪ ⎪--------⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ −−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭()2m in(4,5)r A ⎪⎪⎪∴=<从而A 不是满秩矩阵。
线代期中(A类)试卷及答案 (2)
一．计算题（共50分）1．（6分）设200111313A⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,计算（1）TAA，（2）T A A.2. （6分）计算行列式100 010 000 5432 xxxx+.3.（6分）计算行列式12222 22222 2232222212 2222nn-.《线性代数》课程期中考试卷学院＿＿＿年级＿＿姓名＿＿＿＿学号＿＿＿＿主考教师：试卷类型：（A卷）4. （6分）设1231212011311042025k A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，()3R A =,求k .. 5.（6分）设123,,,,αβγγγ都是4维列向量，矩阵123,,,5,A αγγγ==矩阵123,,,2B βγγγ==-，求2A B +.6. （10分）设A,B,C,D 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，A 是可逆矩阵. 如果分块矩阵110,,0E A B E A B P Q R CA E C D E --⎡⎤-⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， （1）计算PQR,（2）证明矩阵Q 可逆的充分必要条件是1D CA B --是可逆的.7（10分）已知矩阵11101123351Aa⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与矩阵11101023151Baa⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦等价，确定常数a的取值范围.二. （10分）证明cos112cos1cos12cos112cosnD nααααα==.三.（15分）设A,B,C 为4阶矩阵，满足1132TA BC AB --+=，其中0100101100101101,0001111010000111B C ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 求A .四. （20分）设1012,2,211aαβγ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，若,T TA Bαββα==，求解方程22A x Bxγ=+.五.(5分) 设 []12,,,n A ααα=是n 阶矩阵，满足T A A E =且1A =，又[]12,,,Tn c c c β=满足1T n βα=，证明[]121,,,,n B αααβ-=可逆，并求B .二． 计算题（共50分）1．（6分）设200111313A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,计算（1）T AA ，（2）T A A . 解（1）T AA =4264228210-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，（2）T A A =14484228210-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦。
线性代数期中考试试卷
线性代数期中考试试卷一、选择题（每题2分，共20分）1. 设矩阵A是一个3阶方阵，如果A的行列式值为0，则下列哪个结论是正确的？A) A是可逆的B) A的秩小于3C) A的迹等于0D) A的逆矩阵存在2. 对于向量组的线性相关性，以下哪个说法是错误的？A) 非零向量组线性相关，则至少存在一个向量可以由其他向量线性表示B) 零向量与任何向量线性相关C) 一组向量线性无关，则它们不能表示为其他向量的线性组合D) 两个向量线性无关，它们可以构成一个平面3. 如果一个向量空间的基由n个向量构成，则该向量空间的维数是：A) 0B) nC) 1D) 24. 以下哪个矩阵不是正交矩阵？A) 单位矩阵B) 反射矩阵C) 对称矩阵D) 旋转矩阵5. 线性变换的核是变换的零向量，以下哪个说法是正确的？A) 核是变换的像B) 核是变换的值域C) 核是变换的零空间D) 核是变换的基二、填空题（每空1分，共10分）6. 若矩阵B是矩阵A的转置，则称矩阵B是矩阵A的_________。
7. 向量空间V中，若向量v满足Av=0，其中A是矩阵，则称v是A的_________。
8. 一个向量空间的基的向量个数称为该向量空间的_________。
9. 若矩阵A的秩等于其行数，则称矩阵A是_________的。
10. 线性变换的像空间是变换的_________。
三、解答题（每题15分，共30分）11. 证明如果矩阵A和矩阵B可交换，则它们的迹相等。
12. 给定两个向量v1和v2，证明它们线性无关的充分必要条件是它们构成的矩阵的行列式不为零。
四、应用题（每题15分，共30分）13. 已知矩阵A和向量b，求解线性方程组Ax=b。
14. 给定一个线性变换T: R^3 → R^2，其矩阵表示为T，求T的核和像，并证明核和像的直和等于R^3。
五、附加题（10分）15. 讨论矩阵的特征值和特征向量，并给出一个3阶方阵A的特征值和特征向量的计算方法。
《线性代数》期中考试参考答案
2009至2010第 2 学期 课程名称 线性代数 信电学院期中考试试卷参考答案考试性质： 闭卷 考试时间 120 分钟说明：在本卷中，T A 表示矩阵A 的转置矩阵，*A 表示矩阵A 的伴随矩阵，E 表示单位矩阵，A 表示方阵A 的行列式，()R A 表示矩阵A 的秩。
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．A; 2．A; 3．D; 4．D; 5. A; 6．C; 7．D; 8．C ． 9. D; 10.A二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11，21)(-n n ; 12．35-; 13．A nλ; 14． A -; 15．⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----1716213213012; 16．.91；17. 1; 18. 1 ; 19. 1123324411233442,a a a a a a a a -. 20. 1;三、证明题（本大题共3小题，每小题10分，共计30分）21. 已知TTA ααββ=+，Tα为α的转置，T β为β的转置.（1）求证2≤)(A R ；（2）若,αβ线性相关，则2<)(A R . 证明： (1) 因为)1()1)(()()1)(()()1)(()(分分分分2≤+≤+≤+=βαββααββααR R R R R A R T T T T ，所以2≤)(A R （5分）。
(2) 由于,αβ线性相关，不妨设k αβ=（2分）. 于是())1()()()1)(()()(分分2112<≤≤=+=+=βββββββααR R k R R A R T T T T ，即2<)(A R （3分）。
22、设向量组4321,,,ββββ线性无关,且43214432134321243211,,,ββββαββββαββββαββββα+---=-+--=--+-=---=证明向量组432,,,1αααα线性无关. 证明：[][]1234123411111111,,,,,,11111111ααααββββ---⎡⎤⎢⎥---⎢⎥=⎢⎥---⎢⎥---⎣⎦ …………………2分 111111110,11111111P P P ---⎡⎤⎢⎥---⎢⎥=≠⎢⎥---⎢⎥---⎣⎦设可逆 …………………2分 [][]112341234,,,,,,P ββββαααα-=,12341234,,,,,,,ββββαααα即可由线性表示 …………………2分 12341234,,,,,,.ααααββββ向量组与等价 …………………2分 1234,,,,αααα由等价的向量组秩相等所以线性无关. ………2分23. 设矩阵2221212n na a aA a a ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，现矩阵A 满足方程AX B =，其中()1,,Tn X x x =，T B ),,,(001 =，求证()1n A n a =+.证明： 记||n D A =，下面用数学归纳法证明(1)nn D n a =+．当1n =时，12D a =，结论成立(1分)． 当2n =时，2222132a D a aa==，结论成立（2分）． 假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第1行展开得2212102121212n n a a a aD aD a a-=-（3分）21221222(1)(1)n n n n n aD a D ana a n a n a ---- =-=--=+（3分）故 ||(1)nA n a =+（1分）.四、解答题（共30分）24. 问λ取何值时, 非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211λλλλλx x x x x x x x x ，(1)有唯一解; (2)无解;(3)有无穷多个解，并在无穷多个解时，求方程组的通解.解：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21111111λλλλλB⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+----22)1)(1()2)(1(00)1(11011 ~λλλλλλλλλλr. ……………………………2分 (1)要使方程组有唯一解, 必须R (A )=3. 因此当λ≠1且λ≠-2时方程组有唯一解.……2分(2)要使方程组无解, 必须R (A )<R (B ), 故(1-λ)(2+λ)=0, (1-λ)(λ+1)2≠0. 因此λ=-2时, 方程组无解. …………………………………………………2分 (3)要使方程组有有无穷多个解, 必须R (A )=R (B )<3, 故 (1-λ)(2+λ)=0, (1-λ)(λ+1)2=0.因此当λ=1时, 方程组有无穷多个解.这时原来方程组等价于1231x x x ++=，所以原方程通解为 12123111100010x x c c x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，12,c c 为常数。
线代期中试题EWord版
线性代数期中考试试卷E班级 学号 姓名 成绩 一、判断下列各题是否正确(每小题3分共15分)1．若A 、B 都是n 阶方阵，则||||AB BA =。
( ) 2．若矩阵A 、B 的乘积O AB =，则一定有O A =或O B =。
( ) 3．设A 为n 阶反对称阵，若n 为偶数，则||0A ≠。
( ) 4．若n 阶行列式D 中非零元素的个数小于n ，则0D =。
( ) 5．任意n 阶方阵都可以表示一系列的初等矩阵的乘积。
( ) 二、选择题（每小题3分共15分）1．设A 、B 、C 均为n 阶方阵，若由AB AC =能推出B C =，则A 应满足下列条件中的( )。
A ．A O ≠；B ．A O =；C ．||0A ≠；D ．||0A =。
2．设32214514r s a a a a a 是五阶行列式D 中的项，则下列中,r s 的值及该项的符号均对的是( )。
A ．3,5r s ==，符号为正；B ．3,5r s ==，符号为负；C ．5,2r s ==，符号为正；D ．5,3r s ==，符号为负。
3．设D 为n 阶行列式，则D 为零的充分必要条件是( )。
A ．D 中有两行(列)的对应元素成比例；B ．D 中有一行(列)的所有元素均为零；C ．D 中有一行(列)的所有元素均可以化为零；D ．D 中有一行(列)的所有元素的代数余子式均为零。
4．设A 是反对称阵，k 为正整数，则k A =( )。
A ．不是对称矩阵就是反对称矩阵，两者必居其一；B ．必为反对称阵；C ．必为对称阵；D ．既不是反对称矩阵也不是对称矩阵。
5．设A 、B 均为n 阶可逆矩阵，则下列等式中成立的是( )。
A ．AB BA I ==； B ．1111()()kAB k B A k R ----=∈；C ．11,A A B B --==；D ．111||||A B BA ---=。
三、计算题(每小题10分共50分)1．. 求多项式()x a a a a x aa f x aax a--=-的根。
线性代数期中考试试题+答案
线性代数期中考试试题+答案.⼀、填空题（共30分，每填对⼀空得3分）1、函数23u xy z =在点(1,1,1)P 处沿⽅向(1,2,3)有最⼤⽅向导数，最⼤⽅向导数等于．2、设arctan x y z x y -=+，则 z x ?=?22y x y+， 22z x ?=?()2222xyx y -+．.3、函数(,)z z x y =由⽅程230zx y z e ++-=确定；则 z x ?=?21z x e -， z y ?=?231z y e -．4、微分⽅程d 2d y xy x=的通解为2x y ce =；0d ()d yx y x xx -=>的通解为 ln y x x cx =+．.5、设函数(,)f x y 连续，(,)(,)d d Df x y xy f u v u v =+??，其中D 由直线0y =，1x =和y x =所围，则(,)d d Df u v u v =??14，(,)f x y =14xy +．⼆、单项选择题（共20分，每题4分）=+，则点=的全微分d d dz f x yO(D) ．(0,0)(A) 不是(,)f x y的连续点；(B) 不是(,)f x y的极值点；(C) 是(,)f x y的极⼤值点；(D) 是(,)f x y的极⼩值点．..2、设函数(,)f x y =，则 (B) ．(A) (0,0)x f '存在，(0,0)y f '不存在； (B) (0,0)x f '不存在，(0,0)y f '存在； (C) (0,0)x f '和(0,0)y f '都存在； (D) (0,0)x f '和(0,0)y f '都不存在．.3、设积分域D ：221x y +≤，221sin()d d DI x y x y =+??，332sin()d d DI x y x y =+??，443sin()d d DI x y x y =+??，则 (B) ． (A) 123I I I >>； (B) 132I I I >>； (C) 213I I I >>； (D) 231I I I >>．.4、设函数()f u 连续，D ={}22(,)2x y x y y +≤，则()d d D．(A)11d ()d x f xy y -??； (B) 2002d ()d y f xy x ??；(C) 2sin 20d (sin cos )d f r r πθθθθ??； (D)2sin 2d (sin cos )d r f r r πθθθθ??．.5、函数(,)f x y 在点(0,0)O 处可微的⼀个充分条件是 (D) ． (A) (,)(0,0)lim(,)(0,0)x y f x y f →=；(B) 0(,0)(0,0)lim 0x f x f x →-=, 0(0,)(0,0)lim 0y f y f y→-=；(C) 0lim (,0)(0,0)x x x f x f →''= 且 0lim (0,)(0,0)y y y f y f →''=；(D) (,)(0,0)(,)(0,0)0x y f x y f →-=．.三、（10分）求微分⽅程 2(34)xy y x e ''-=+ 通解．解特征⽅程 210λ-=，特征根 121,1λλ=-=；------2分对应的齐次⽅程的通解 12x xy c e c e -=+ -----5分设原⽅程的特解* 2()xy ax b e =+并代⼊原⽅程，解得: *2xy xe = -----9分原⽅程的通解: 212xxxy c e c e xe -=++ -----10分四、（10分）求曲线L：2226x y zx y z++=++=在点(1,2,1)P-处的切线和法平⾯⽅程．解对x求导，得2220 10x yy zzy z''++=?''在点(1,2,1)P-处，211y zy z''-+=-''+=-，得0y'=，1z'=-------6分切线⽅程：121101x y z-+-==------8分法平⾯⽅程：0x z-=-----10分..五、（10分）计算⼆重积分 2(3)d d DI x y x y =+??，其中D ：221x y +≤．22(96)d d (9)d d DDI x y xy x y x y x y =++=+（奇偶性+对称性）-------2分2222221(9)(9)d d 5()d d 2D Dx y x y x y x y x y ??=+++=+ （轮换对称性） -------4分213055d d 2r r πθπ==?------10分.六、（10分）在曲⾯S ：22221x y z ++=上求距离平⾯26x y z +-=的最近点、最远点．解点(,,)x y z 到平⾯的距离26x y z +--，---2分设 2222(,,,)(26)(21)L x y z x y z x y z λλ=+--+++-------2分.令 2224(26)402(26)202(26)20210xyz L x y z x L x y z y L x y z z L x y z λλλλ'=+--+=??'=+--+=??'=-+--+=??'=++-=? ------6分解得最近点1111(,,)222P -，最远点2111(,,)222P -- -----10分.六、（10分）在曲⾯S ：22221x y z ++=上求距离平⾯∏：26x y z +-=的最近点、最远点．解令 0000(,,)P x y z S ∈, 椭球⾯S 过0P 切平⾯⽅程1000:2 1.x x y y z z ∏++=令12//∏∏，有:0002211x y z ==-， (1)⼜： 22221x y z ++=， (2)解得最近点1111(,,)222P -，最远点2111(,,)222P --.定理设0000(,,)P x y z S ∈，⽽S 为实⼆次曲⾯22222 2 A x B xy C x z Dy E y z F z +++++2 2 20,G x H y I z J ++++=若 Ax 0 + By 0 + Cz 0 + G,Bx 0 + Dy 0 + Ez 0 + H, Cx 0 + Ey 0 + Fz 0 + I ,不全为零, P 0 称为S 的寻常点. 则⼆次曲⾯S 在0000(,,)P x y z 处的切平⾯⽅程为:()()()00000000 A x x B x y xy C x z x z Dy y E y z y z +++++++()()()0000 0.F z z G x x H y y I z z J ++++++++=.七、（10分）设函数()f u 在(0,)+∞内⼆阶连续可微，(1)0f =，(1)1f '=，且z f =满⾜22220z zx y+=，求()f u ．解u =，则()z xf u x u'=，222232()()z y x f u f u x u u ?'''=+?； ()z y f u y u'=，222232()()z x y f u f u y u u ?'''=+?. --4分.代⼊原⽅程并化简，得 1()()0f u f u u'''+=，即()()(())0u f u f u u f u '''''+==， ------5分从⽽ 1()u f u c '=。
线性代数期中测试题
－24
b a L b
的值为多少？ 的值为多少？ (a + ( n − 1)b )(a − b )
n −1
M
M
M
M
b b b L a n× n 5． 如果非齐次线性方程组 Ax = b （ b ≠ 0 ）中方程个数少于未知数个数，那 中方程个数少于未知数个数， ．
么 (a) Ax = b 必有无穷多解； 必有无穷多解； (b) Ax = 0 必有非零解； 必有非零解； (c) Ax = 0 仅有零解； 仅有零解； (d) Ax = b 一定无解。 一定无解。 因为秩(A)< 未知数个数 请说明理由 (b) 因为秩
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5
答案
6
1．已知 a = [1 , 1 , 3] , b = [2, 0 , 2] , 则 (ba ) ．
T T T
2008
2 2 6 = 8 2007 0 0 0 2 2 6
2
=?
−1
=?
3．设 3 阶方阵的列分块矩阵 A = [a1 , a 2 , a 3 ] ，且 det A = 3 ，若三阶方 ． 阵 B = [ a1 ,−2a 2 ,3a 3 ] ，则 A + B =?
a b b L b b a b L b 4．n 阶行列式 D = b b a L b ．
的值为多少？ 的值为多少？
（3）有无穷多解 ）
2 A=λ 4
λ
−1 5
−1
1 = 0 且 R( A) = R([A, b])
线性代数B期中试卷(A卷)
(A). P2 AP 1 B
(B). P 1 AP 2 B
*
6、设 3 阶矩阵 A 的伴随矩阵为 A ,
1 A = ，则 (3 A) 1 2 A* = 2
0 1 2 1 四、(6 分)设矩阵 A 1 1 4 ， 求 A . 2 1 0
7、 已知方阵 A 满足 A A E O , 则 A E
3Байду номын сангаас
1
. .
课号：
课名：线性代数 B
)试卷
考试考查：考试
8、设 A 是 m n m n .矩阵， C 是 n 阶可逆矩阵，秩 R ( A) r ，秩 R ( AC ) r1 , 则 (A). n r1 r , (B). r1 r n , (C). r r1 , (D). r1 n
七、(本题 15 分)设 n 阶方阵 A, B 满足 A B AB
(1). 证明 A E 可逆且其逆阵为 B E .
2 0 0 (2). 若 B 0 3 0 , 求 A . 0 0 4
(3). 等式 AB BA 是否成立? 为什么?
x1 x2 2 x3 1 2 八、(15分)设线性方程组 x1 x2 x3 2 ， 问当 取何值时， x x x 1 1 2 3
3. 设 A，B，C 均为 n 阶矩阵(n>1)，下列命题正确的是 (A). (C).
.
.
T
A A
T T
A AT
(B). AB B A , (D). AB AC 且 A 0 则 B C ( E 为单位矩阵)，则等式 (C). ACB E 成立. (D). CBA E
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线性代数期中考试试卷文档编制序号：[KK8UY-LL9IO69-TTO6M3-MTOL89-
中国民航大学《线性代数》期中试题A 卷
一、填空、选择题(每题3分，共24分) 1、
设自然数从小到大为标准次序，则排列32514的逆序数是_______________ 2、矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--452301143的伴随阵=*A _______________ 3、矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-174532321的秩为_______________ 4、若44535231a a a a a j i 是5阶行列式中带正号的一项，则i,j 的值为（ ） A 、i=1,j=3 B 、i=2,j=3 C 、i=1,j=2 D 、i=2,j=1 5、行列式D 非零的充分条件是（ ） A 、D 的所有元素非零； B 、D 至少有n 个元素非零； C 、D 的任意两行元素之间不成比例； D 、以D 为系数行列式的线性方程组有唯一解。
6、设矩阵A 中有一个k-1阶子式不为零，且所有k+1阶子式全为零，则A 的秩r 必为（ ）
A 、r=k
B 、r=k-1
C 、r=k+1
D 、r=k-1或r=k
7、矩阵A =⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-311432000321的行最简形矩阵为_______________ 8、设A 为2阶矩阵，且2
1=A ，则()=-*-A A 521__________ 二、求解下列各题（每题6分，共24分）
1、计算行列式52222
5222
2522225=D
2、设33511102
4315
2113-----=D ，记D 的(i,j) 元的代数余子式为ij A ，
求444342414226A A A A +-+
3、设A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--111111111，B =⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--150421321，求AB 3及B A T
4，求方阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---011145223的逆矩阵。
三、（8分）计算n 阶行列式
x a a a x a a a x D n =
.
四、（8分）设100,,421,312A ab A b a T 求=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 五、（10分）设 六、（10分）解线性方程组 七、（8分）证明线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=-=-4
14343
232
121b x x b x x b x x b x x 有解的充要条件是
八、（8分）设阶n 矩阵A 满足阶单位阵，为n E E A ,2=
()().n E A R E A R =-++证明：。