复变函数——第四章级数
第四章复变函数级数
第四章复变函数级数第四章复变函数级数（42）⼀、内容摘要1．复数列的极限:设有复数列{}n z ,若存在复数z ,对于任意的0>ε,总有数N >0,使数列序数N n >时总有ε<-z z n ,则称复数z 为数列{}n z 的极限,或者说数列{}n z 收敛于z ,记作：lim n n z z →∞= 由于n n n iv u z +=, iv u z +=, 当lim n n z z →∞=式成⽴时, 等价于lim ,n n u u →∞=lim n n v v→∞=1nn z ∞=∑收敛的充要条件是1nn u ∞=∑和1nn v ∞=∑都收敛。
2．复数级数（定义）：设有复数项级数 +++=∑∞=k k n z z z z 211若其前n 项和n n z z z S ++=21构成的数列{}n S 收敛,则称级数1n k z ∞=∑收敛,⽽数列{}n S 的极限S 叫做级数1n k z ∞=∑的和.否则称级数1n k z ∞=∑发散。
由于∑∑==+=n k kn v i uS 11，所以11lim lim limnk n k n n n k n k u u S S u iv v v →∞=→∞→∞=?=??==+=??∑∑；绝对收敛：若⼀个级数的模级数∑∞=1k k z 收敛,则称级数∑∞=1k k z 是绝对收敛；若收敛级数的模级数不收敛，则称条件收敛。
3．设复变函数)(z f k ( ,2,1,0=k )区域G 内都有定义, 则定义复变函数项级数：∑∞=++++=010)()()()(k k k z f z f z f z f ，其中前n 项和：∑==nk k n z f S 0)(。
若对于G 内某点0z ,极限lim n n s S →∞=存在,则称复变函数项级数在点0z 收敛,s 叫做级数的和.若级数在区域G 内处处收敛,其和必是⼀个复函数:∑∞==)()(k k z f z s .则()s z )称为级数0()k k f z ∞当n N >时，1|()|n pk k n f z ε+=+<∑(p 为任意正整数)则称级数0()n n f z ∞=∑在B 内(或曲线L 上)⼀致收敛。
高等数学课件-复变函数与积分变换 第四章 级数
称为级数的部分和。
在收敛域D内
lim
n
Sn
(
z)
S
(
z
),
S ( z) 为级数的和函数。
二、幂级数
若 fn (z) Cn zn 或 fn (z) Cn (z z0 )n 时，
幂级数为
Cn zn 或
Cn (z z0 )n
n0
n0
定理4.7
Ab el 定理如果级数
Cn zn
n0
z z 在
z0
sin
z
k 0
(1)k z2k1
2k 1!
R
• 例5 将 cos z 在 z 0处展开成幂级数。
sin z 解： 将
两边对z求导
cos z
(1)k (2k 1)z2k
k 0
2k 1!
(1)k z2k
k 0
2k !
例6 arctan z 在 z 0 处展开成幂级数。
解：
arctan
z
b
二、复数项级数
定义4.2
z 设
为一复数列，表达式
n
zn z1 z2 zn
n1 为复数项级数，其前n项之和
Sn z1 z2 zn
为级数的部分和。 称级数收敛，
若
lim
n
Sn
S,
S称为级数的和，
记为
S zn
若
{Sn} 不收敛，则称级数是发散的
n1
n
n
n
Sn k an i bn 有
收敛，那么对满足
0
| z || z0 | 的z，
级数必绝对收敛。
如果在
z z 级数发散，那么对满足 0
《复变函数论》第四章
第四章 解析函数的幂级数表示方法第一节 级数和序列的基本性质 1、复数项级数和复数序列： 复数序列就是：111222,,...,,...n n n z a ib z a ib z a ib =+=+=+在这里，n z 是复数，,Im ,Re n n n n b z a z ==一般简单记为}{n z 。
按照|}{|n z 是有界或无界序列，我们也称}{n z 为有界或无界序列。
设0z 是一个复常数。
如果任给0ε>，可以找到一个正数N ，使得当n>N 时ε<-||0z z n ,那么我们说{}n z 收敛或有极限0z ，或者说{}n z 是收敛序列，并且收敛于0z ，记作0lim z z n n =+∞→。
如果序列{}n z 不收敛，则称{}n z 发散，或者说它是发散序列。
令0z a ib =+，其中a 和b 是实数。
由不等式0||||||||||n n n n n a a b b z z a a b b --≤-≤-+-及容易看出，0lim z z n n =+∞→等价于下列两极限式： ,lim ,lim b b a a n n n n ==+∞→+∞→因此，有下面的注解：注1、序列{}n z 收敛（于0z ）的必要与充分条件是：序列{}n a 收敛（于a ）以及序列{}n b 收敛（于b ）。
注2、复数序列也可以解释为复平面上的点列，于是点列{}n z 收敛于0z ，或者说有极限点0z 的定义用几何语言可以叙述为：任给0z 的一个邻域，相应地可以找到一个正整数N ，使得当n N >时，n z在这个邻域内。
注3、利用两个实数序列的相应的结果，我们可以证明，两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差积、商。
定义4.1复数项级数就是12......n z z z ++++或记为1n n z +∞=∑，或n z ∑，其中n z 是复数。
定义其部分和序列为：12...n n z z z σ=+++如果序列{}n σ收敛，那么我们说级数n z ∑收敛；如果{}n σ的极限是σ，那么说n z ∑的和是σ，或者说n z ∑收敛于σ，记作1nn zσ+∞==∑，如果序列{}n σ发散，那么我们说级数n z ∑发散。
复变函数幂级数
z
f()d
cnzn1
zR ,CzaR
0
n0 n1
---幂级数的逐项积分运算
整理课件
30
例4 求幂级数的和函数及收敛圆.
(1) nnz112z3z2 n1
(2)
zn
z2 z
z3
n1 n
23
整理课件
定理4 级 数 n收敛 an和 bn都收敛
n1
n1
n1
? 若 n收 n1
敛 n收
n1
敛 (例.如:
n1
(1)ni n
)
定义 若n收 敛 ， 则称n为 绝 对 收 敛 ；
n1
n1
若n发 散 ，而n收 敛 ， 则称n为
n1
n1
n1
条 件 收.敛
整理课件
9
例2 下列级数是否收敛否？绝是对收敛？
(ii)幂级数(3)的收敛范围是以0为中心，半径为R 的圆域；幂级数(2)的收敛范围是以z0为中心,半径 为R的圆域.
整理课件
20
4. 收敛半径的求法
关于幂级cn数 zn (3)的收敛半径求法，
n0
(比定值理法2 )若 ln i m ccnn 1
，R 则 1 /
0
0 0
证明 (i) 0, ln i m cn c n 1z zn n1ln i m cc n n 1z z
(i) f(z)在 zR内 解 . 析
(i)if'(z ) ( c n z n ) ' (c n z n ) ' n n z n c 1 z R
n 0
n 0
n 1
---幂级数的逐项求导运算
(ii)i f(z)d z
复变函数与积分变换第4章4.1收敛数列与收敛级数
3
§4.1 复数项级数 第 一、收敛序列 四 章 2. 复数序列极限存在的充要条件 定理 设 zn xn i yn , a i , 则 lim z n a 的充要条件是 解 n P76 析 定理 lim x , lim y . n n n 函 4.1 n 数 zn 证明 必要性 “ ” 的 | zn - a | | yn - | 级 若 lim z n a , 则 e 0 , N , n 数 a | xn - | 表 当 n N 时，| zn - a | e , 示
即得级数 z n 收敛的充要条件是 x n 和 yn 都收敛。
9
§4.1 复数项级数 第 二、复数项级数 四 章 3. 复数项级数收敛的必要条件 定理 设 zn xn i yn , 则 z n 收敛的必要条件是 lim zn 0 . n 解 析 P79 函 证明 由于级数 z 收敛的充要条件是 x 和 y 都收敛， n n n 数 的 而实数项级数 x n 和 yn 收敛的必要条件是： 级 数 lim xn 0 , lim yn 0 等价于 lim zn 0 , 表 n n n 示 因此 z n 收敛的必要条件是 lim zn 0 .
1 n 1 zn 2 i 2 e n n
i
π n 2
§4.1 复数项级数 第 二、复数项级数 四 章 4. 复数项级数的绝对收敛与条件收敛 定义 (1) 若 | z n | 收敛，则称 z n 绝对收敛。 解 析 P79 (2) 若 | z n | 发散， z n 收敛，则称 z n 条件收敛。 函 数 的 定理 若 | z n | 收敛，则 z n 必收敛。 P80 定理4.4 级 2 2 | z | x y 证明 由 收敛， n n 收敛， n 数 表 2 2 2 2 | x | x y , | y | x y 又 示 n n n n n n,
复变函数 第四章 级数
∞
∞
n
Proof:
2 α n = a n + ibn , | α n |= a n + bn2
∞ ∞
2 2 由： |α n |= ∑ a n + bn ∑ n =1 n =1
| a |≤ a 2 + b 2 n n n 收敛， 收敛，及 2 2 | bn |≤ an + bn
y R
R 0 x
则称：（ ） 为收敛半径 则称：（1）R为收敛半径 ：（ （2）| z |< R 为收敛圆域 ）
返回
╬
2、幂级数的三种收敛情况： 、幂级数的三种收敛情况：
处收敛， ，收敛圆域为点圆； （1）只在原点 z = 0 处收敛，R=0，收敛圆域为点圆； ） （2）在整个复平面上处处收敛， = +∞ ）在整个复平面上处处收敛， R （3）在复平面上有时收敛，有时发散，则R为一个 ）在复平面上有时收敛，有时发散， 为一个 确定的正实数。 确定的正实数。
（5） 令 ζ = z − 1, ）
z 是复变量。 是复变量。
注：当 a = 0 时，幂级数为
∞ n =0 ∞
cn z n , ∑
n =0 n ∞ n =0
∞
ζ = z − a ， 则 ： c n ( z − a ) = ∑ c nζ n 令 ∑
故：只须讨论形如
c n z n 的幂级数。 ∑ 的幂级数。
n =0
返回
╬
2、幂级数在一点 z 0 的收敛性 、
收敛， （1） 若 ∑ c n z 0 收敛，则 z 0 称为 ）
n n =0 ∞
c n z n 的收敛点。 ∑ 的收敛点。
n=0
∞
复变函数PPT第四章
1 例2 求 f ( z ) 2 在 z 0 点邻域内的 Taylor级数. (1 z )
解：z1 1 是 f ( z ) 的惟一奇点，且 z1 0 1, 故收敛半径 R 1.
利用逐项积分得
(n 1)z dz
n 0 n 0 n 0
z
z
0
( n 1) z dz z
n n 0
n 1
z . 1 z
所以
1 z n (n 1)z 1 z (1 z )2 n 0
z 1 .
n0
的收敛范围与和函数.
解 级数的部分和为
sn 1 z z 2 z n1 1 lim sn z 1 n 1 z
z 1
lim z 0
n n
1 zn , ( z 1) 1 z z n 收敛, 级数
n 0
级数
z n 发散.
所以收敛半径 R 1,
即原级数在圆 z 1内收敛, 在圆外发散, zn 1 在圆周 z 1上,级数 3 3 n 1 n n 1 n 收敛的 p 级数 ( p 3 1). 所以原级数在收敛圆上是处处收敛的.
(cos in) z n （2）
n 0
1 n 解 因为 cn cos in (e e n ), 所以收敛半径为 2 en en cn 1 1 e 2 n lim n1 R lim . n 1 lim 2 n 1 n e n c n e e e e n1
(7)(1 z ) 1 z
( 1)
复变函数：第四节罗朗(Laurent)级数
内 展 开 成Laurent级 数 。
y
y
y
o 1 2x
o 1 2x
o 1 2x
（i) 0 z 1 (ii) 1 z 2
(iii) 2 z
解 f (z) 1 1 1z 2z
(i) 0 z 1 z 1 z 1
2
故
f
(z
)
1
1
z
1 2
1
1
z
2
(1 z z2 zn ) 1 (1 z z2 ) 2 24
1 2
3 4
z
7 8
z2
(1
n0
1 2n1
)zn
(ii)1 z 2 z 1 1 1 又 z 2 z 1
z
2
f (z)
1 1
z
1 2
z
1 z
1 1 1
1 2
1 1
z
z
2
1 z
(1
1 z
1 z2
)
1 2
(1
z 2
z2 4
)
1 zn
1 z n1
1 z
1 2
z 4
z2 8
式(*1),(*2)中系数cn的积分分别是在k2， k1上进
行的，在D内取绕z0的简单闭曲线c，由复合闭路
定理可将cn写成统一式子：
cn
1
2i
c (
f (
z0
) )n
1
d
(n
0,1,2,)
f (z) cn (z z0 )n 证毕！ n
级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为 洛朗级数的解析部分和主要部分。
cn (z z0 )n c0 c1(z z0 ) cn (z z0 )n (2)
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f ( z ) g( z ) ( an z ) ( bn z ),
n n n 0 n 0
R min(r1 , r2 )
(anb0 an1b1 a0bn ) z n ,
n0
zR
2)幂级数的代换(复合)运算
如果当 z r 时, f ( z ) an z n , 又设在
z z n z (5) cos z 1 ( 1) , 2! 4! ( 2n)!
2
4
2n
( z )
n 1 z2 z3 z n (6) ln(1 z ) z ( 1) , 2 3 n1 n 1 z ( 1)n ( z 1) n1 n0
那末 f ( z ) 在 D 内可展开成洛朗级数
f (z)
n
n c ( z z ) n 0 ,
1 f ( ) 其中cn d 为洛朗系数. n 1 2πi C ( z0 )
( n 0 , 1 ,)
C为圆环域内绕 z0 的任一正向简单闭曲线.
1 cn1 如果 lim , 那末收敛半径 R . n c n
方法2: 根值法(柯西判别法)
如果 lim n cn , 那末收敛半径 R
n
1
.
即
1 , 0 ; R , 0; 0, .
5 幂级数运算法则
则 1 时级数收敛; 1时级数发散; 1时失效.
3根值法：lim n un
3 复函数项级数
设{ f n ( z )} 是在点集E上有定义的一复函数列,
表达式
f
n1
n
( z )＝f1 ( z ) f 2 ( z ) ... f n ( z ) ...
幂级数
洛朗级数
充 要 条 件
必 要 条 件
泰勒级数
f ( z ) 在 z0 解析
复 变 函 数
1、复数项级数
设{ zn } { xn iyn } ( n 1, 2,)为一复数列,
表达式
z
n1
n
z1 z2 zn
称为复数项无穷级数.
部分和 其最前面 n 项的和
n 0
z R 内 g ( z ) 解析且满足 g( z ) r , 那末当 z R
n f [ g ( z )] a [ g ( z )] . 时, n n 0
3) 幂级数在收敛圆内的解析性
设幂级数
c (z z )
n 0 n 0
n
的收敛半径为R , 那末
n c ( z z ) n 0 n 0
的级数称为幂级数.
当 z0 0 时，
n 2 n c z c c z c z c z . n 0 1 2 n n 1
幂级数是最简单的解析函数级数，收敛区域是一个圆.
4 c ( z z ) 收敛半径的求法
n n 0 n 0
方法1: 比值法(达郎贝尔判别法)
定理 设 f ( z ) 在区域 D 内解析, z0 为 D 内的一
点, d 为 z0 到 D 的边界上各点的最短距离, 那末
n 当 z z0 d 时, f ( z ) cn ( z z0 ) 成立, n 0
泰勒展开式
泰勒级数
1 ( n) 其中 cn f ( z0 ), n 0, 1, 2, n!
(7) (1 z ) 1 z
( 1)
2! n!
z
2
( 1)( 2)
3! z n ,
z3
( 1)( n 1)
( z 1)
7、洛朗级数
定理
设 f ( z ) 在圆环域 R1 z z0 R2 内处处解析，
常见函数的泰勒展开式
2 n n z z z (1) e z 1 z , ( z ) 2! n! n 0 n!
1 ( 2) 1 z z 2 z n z n , ( z 1) 1 z n 0 1 ( 3) 1 z z 2 ( 1)n z n ( 1)n z n , 1 z n 0 ( z 1) 2 n 1 z3 z5 z (4) sin z z ( 1)n , 3! 5! ( 2n 1)! ( z )
1)幂级数的四则运算
(1)设 f ( z ) an z n , R r1 , g( z ) bn z n , R r2 .
n 0 n 0
f ( z ) g( z ) an z n bn z n (an bn ) z n ,
n 0 n 0 n 0
(1) 它的和函数 f ( z ) , 即 f ( z )
是收敛圆 z z0 R 内的解析函数 . (2) f ( z ) 在收敛圆 z z0 R 内的导数可将其幂
n1 级数逐项求导得到, 即 f ( z ) ncn ( z z0 ) . n1
6 泰勒级数
sn z1 z2 zn 称为级数的部分和.
那么{ sn }为一复数列Leabharlann 2、 复数项级数敛散性判别
zn ?0 判别复数项级数的 zn 敛散性时, 可先考察 lim n
n 1
lim zn 0, 级数发散; n 如果 lim z 0, 进一步判断. n n
4-6习题课
级数习题课
1、重点和难点 2、内容总结 3、习题处理
一、重点与难点
函数展开成泰勒级数与洛朗级数 重点：
难点：函数展开成洛朗级数
二、内容提要1
z为复常数
z
n 1
n
zn fn ( z )
复数项级数
收敛半径的计算
函数项级数
收敛条件
收敛半径R 运算与性质
绝 对 收 敛 条 件 收 敛
部分和极限
√实虚部级数收敛性 √绝对收敛否
充要条件：
z
n 1
n
收敛
x 与 y 都收敛
n 1 n n 1 n
必要条件： 绝对收敛 正项级数
条件收敛
u
n 1
n
收敛判别命题：
1比较法： un vn ,
un1 lim 2比值法： n u n
n
v n 收敛，则 un 收敛； n 1 n 1
称为复数项无穷级数. 部分和 其最前面 n 项的和
sn ( z ) f1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z ) 称为级数的部分和.
那么{ sn ( z )}为一复函数列
4. 幂级数的敛散性
在复变函数项级数中, 形如
n 2 n c ( z z ) c c ( z z ) c ( z z ) c ( z z ) n 0 0 1 0 2 0 n 0 n0