8第八章-边界层理论基础和绕流运动
8第八章-边界层理论基础和绕流运动
8第⼋章-边界层理论基础和绕流运动第⼋章边界层理论基础和绕流运动8—1 设有⼀静⽌光滑平板宽b ＝1m ，长L ＝1m ，顺流放置在均匀流u ＝1m/s 的⽔流中，如图所⽰，平板长边与⽔流⽅向⼀致，⽔温t ＝20℃。
试按层流边界层求边界层厚度的最⼤值δmax 和平板两侧所受的总摩擦阻⼒F f 。
解：20℃⽔的运动粘度ν＝1.003?10-6 m 2/s 密度3998.2/kg m ρ=6119970091.00310ν-?===?L uLRe 因为 56310997009310?<=按层流边界层计算。
max 1/25.4470.0055m Re L L δ===3f 1/21.46 1.4610-===?L C Re 223998.2122 1.461011N 1.46N 22f ff u F C A ρ-?=== 8—2 设有极薄的静⽌正⽅形光滑平板，边长为a ，顺流按⽔平和铅垂⽅向分别置放于⼆维恒定均速u 的⽔流中，试问：按层流边界层计算，平板两种置放分别所受的总摩擦阻⼒是否相等，为什么？解：因为两种置放情况的物理模型和数学模型及其分析、推导所得计算公式是相同的，所以两种情况平板所受的总摩擦阻⼒相等。
8—3 设有⼀静⽌光滑平板,如图所⽰,边长1m,上宽0.88m,下宽0.38m,顺流铅垂放置在均匀流速u =0.6m/s 的⽔流中，⽔温t=15℃。
试求作⽤在平板两侧的总摩擦阻⼒F f 。
注：若为层流边界层，C f 按式（8—24）计算。
解：由表1—1查得，15℃时⽔的密度ρ=999.13/kg m ，运动粘度ν=1.139×10-6m 2/s 。
⾸先判别流态，计算平板上宽雷诺数560.60.884635655101.13910-?===Re ，按层流边界层计算。
设z 轴铅垂向上,平板宽度x 为0.38+0.5z ，阻⼒系数C f 按式（8-24）计算,即12f 60.6(0.380.5)1.328 1.13910--?+??==z C1521.328 5.2677810(0.380.5)z -轾=创?犏臌总摩擦阻⼒F f 按式(8—20)计算，f f12012(0.380.5)d 2F C u z z r =?ò11522 1.328 5.2677810(0.380.5)z -轾=创创+犏臌ò题8-1图21999.10.6(0.380.5)d 2z z 创创+ 110.658(0.380.5)d z z =ò。
流体力学第八章(20160228)
8.3 边界层的动量积分方程
利用动量定理，建立了边界层的动量 代入并整理边界层的动量积分方程— 积分方程。 PCD PAB PAC Fx —卡门动量积分方程 d d 2 dp 单位宽度，则单位时间通过AB、CD、 dy dy 0 u u u dx 0 x dx 0 x dx AC 各个面上的动量分别为 边界层的动量积分方程的求解 P u dy
0
AB
边界层的动量积分方程有5个未知量， 流场速度：由势流方程求解；压强： 作用在ABCD上的外力。忽略质量力， 由伯努利方程求解；边界层厚度：动 只有表面力， 量方程求解；边界层内流速：边界层 内流速分布关系式；边界层内切应力： p 1 p dxd 0dx 边界层内切应力分布关系式。 F x dx
P AB dx u xdy P CD P AB 0 x x u xdy dx P AC u 0 0 x
0
x
u dy dx
0 2 x
d u0 dx
0
d u xdy dx
0
u 2 xdy
第八章 边界层理论基础和绕流运动
王浩 1251934
本章概论
8.1 边界层的基本概念
8.2 边界层微分方程普朗特边界层方程 8.3 边界层的动量积分方程
8.4 平板上的层流边界层
8.5 平板上的湍流边界层
8.6 边界层的分离现象和卡门涡街
8.7 绕流运动
8.1 边界层的基本概念
8.1.1边界层的提出
dp 0 dx
流体力学 第八章 绕流运动
第八章绕流运动一、应用背景1、问题的广泛存在性：在自然界和工程实际中，存在着大量的流体绕物体的流动问题（绕流问题），如：飞机在空气中的飞行、河水流过桥墩、大型建筑物周围的空气流动、植物护岸（消浪，船行波），粉尘颗粒在空气中的飞扬和沉降，水处理中固体颗粒污染物在水中的运动。
（一种：流体运动；另外一种：物体运动），我们研究，将坐标系固结于物体上，将物体看成静止的，讨论流体相对于物体的运动。
2、问题的复杂性上一章的内容中可以看出，流体力学的问题可以归结为求解在一定边界条件和初始条件下偏微分方程组的求解。
但描述液体运动的方程式非常复杂的：一方面，是方程的非线性性质，造成方程求解的困难；另一方面，复杂的边界条件和初始条件都给求解流体力学造成了很多麻烦。
迄今为止，只有很少数的问题得到了解决。
平面泊萧叶流动，圆管coutte流动等等。
而我们所要解决的绕流问题正是有着非常复杂的边界条件。
3、问题的简化及其合理性流体力学对此的简化则是，简化原方程，建立研究理想液体的势流理论。
实际液体满足势流运动的条件：粘性不占主导地位，或者粘性还没有开始起作用。
正例：远离边界层的流体绕流运动、地下水运动、波浪运动、物体落入静止水体中，水的运动规律研究。
反例：研究阻力规律、能量损失、内能转换等等。
圆柱绕流（经典之一）半无限长平板绕流（经典之二）分成两个区域：一个区域是远离边界的地方，此区域剪切作用不明显，而且流体惯性力的影响远远大于粘性力的影响（理想液体）（引导n-s方程）；另一个是靠近边界的地方（附面层，粘性底层），此区域有很强烈的剪切作用，粘性力的影响超强，据现代流体力学的研究表明，此区域是产生湍流的重要区域，有强烈的剪切涡结构，但此区域只有非常薄的厚度。
此区域对绕流物体的阻力、能量耗损、扩散、传热传质都产生重要影响。
4、本章的主要研究内容（1） 外部：理想液体，（简化方法，求解方式）、（2） 内部：附面层理论，（简化方法，求解方式，求解内容，现象描述） （3） 两者的衔接。
流体力学教案第8章边界层理论
第八章 边界层理论§8—1 边界层的基本概念实际流体和理想流体的本质区别就是前者具有粘性。
对层流而言，单位面积摩擦力的大小yud d μτ=，可以看出，对于确定的流体的等温流场,摩擦力的大小与速度梯度有关，其比例函数即动力粘度。
速度梯度yud d 大,粘性力也大,此时的流场称为粘性流场。
若速度梯度yud d 很小，则粘性力可以忽略，称为非粘性流场。
对于非粘性流场，则可按理想流体来处理。
则N-S 方程可由欧拉方程代替,从而使问题大为简化。
Vlv l lV v A y u V l tVl t u mρρμρρ======2223d d d d 粘性力惯性力当空气、蒸汽，水等小粘度的流体与其它物体作高速相对运动时，一般雷诺数很大。
由vVl==粘性力惯性力Re ，则在这些流动中，惯性力〉〉粘性力，所以可略去粘性力。
但在紧靠物体壁面存在一流体薄层，粘性力却与惯性力为同一数量级。
所以，在这一薄层中，两者均不能略去。
这一薄层就叫边界层，或叫速度边界层，由普朗特在1904年发现.a ．流体流过固体壁面，紧贴壁面处速度从零迅速增至主流速度,这一流体薄层，就叫边界层或速度边界层。
b ．整个流场分为两部分 层外,0=∂∂yu,粘性忽略，无旋流动。
层内，粘性流，主要速度降在此，有旋流动.c ．由边界层外边界上∞=V u %99，来定义δ，δ为边界层厚度。
d ．按流动状态，边界层又分为层流边界层和紊流边界层。
由于在边界层内，流体在物体表面法线方向（即yu∂∂)速度梯度很大,所以，边界层内的流体具有相当大的旋涡强度；而在层外，由于速度梯度很小。
所以，即使对于粘度很大的流体,粘性力也很小,故可忽略不计，所以可认为，边图8-2空气沿平板边界层速度分布外部区域边界层界层外的流动是无旋的势流.边界层的基本特征有: (1)1<<Lδ⇒薄层性质,其中L 为物体的长度；沿流方向↑↑→δx 。
(2） 层内yu∂∂很大， 边界层内存在层流和紊流两种流态。
第8章 边界层理论基础及绕流运动
ux
∂ux ∂x
+ uy
∂ux ∂y
=
−
1 ρ
∂p ∂x
+
ν
∂ 2u x ∂y 2
∂ux ∂x
+
∂uy ∂y
=
0
边界条件： y =∞（或y = δ），ux = U0 y = 0，ux = 0， uy = 0
其中 U0 = U0(x) =边界层外界限上外部流动的流速 且 p = p(x) = 边界层外界限上外部流动的压强
=
1 2
δ
∫ ∫ δ2 =
δ 0
ux u0
⎜⎜⎝⎛1 −
ux u0
⎟⎟⎠⎞dy
=
δ
1η(1− η)dη = 1 δ
0
6
∫ ∫ ( ) δ3 =
δ 0
ux u0
⎜⎜⎝⎛1 −
ux 2 u0 2
⎟⎟⎠⎞dy
=
δ
1η 1− η2
0
dη = 1 δ 4
10
8.2 边界层微分方程
——利用边界层的性质对粘性流体基本方程（纳维－斯托克斯方 程）的简化。
⎟⎠⎞
=
−δ
dp dx
− τ0
其中: dp/dx和u0应由外部流动求出 → 三个未知量：τ0、δ、ux
应用动量积分方程求解边界层问题的步骤： (1) 补充 ux (x, y)、τ0(δ)关系式，积分方程转变为δ的常微分方程
（2）求解方程 → δ(x) →τ0(x) → 总阻力→ 计算位移厚度等其他 参数。
∫ ∫∫ ∑ 积分形式的动量方程
∂ ∂t
ρurdV
cv
+
cs
ρurundA
流体力学教案第8章边界层理论
第八章 边界层理论§8-1 边界层的基本概念实际流体和理想流体的本质区别就是前者具有粘性。
对层流而言，单位面积摩擦力的大小yud d μτ=，可以看出，对于确定的流体的等温流场，摩擦力的大小与速度梯度有关，其比例函数即动力粘度。
速度梯度yud d 大，粘性力也大，此时的流场称为粘性流场。
若速度梯度yud d 很小，则粘性力可以忽略，称为非粘性流场。
对于非粘性流场，则可按理想流体来处理。
则N-S 方程可由欧拉方程代替，从而使问题大为简化。
Vlv l lV v A y u V l tVl t u mρρμρρ======2223d d d d 粘性力惯性力当空气、蒸汽，水等小粘度的流体与其它物体作高速相对运动时，一般雷诺数很大。
由vVl==粘性力惯性力Re ，则在这些流动中，惯性力>>粘性力，所以可略去粘性力。
但在紧靠物体壁面存在一流体薄层，粘性力却与惯性力为同一数量级。
所以，在这一薄层中，两者均不能略去。
这一薄层就叫边界层，或叫速度边界层，由普朗特在1904年发现。
a ．流体流过固体壁面，紧贴壁面处速度从零迅速增至主流速度，这一流体薄层，就叫边界层或速度边界层。
b ．整个流场分为两部分 层外，0=∂∂yu，粘性忽略，无旋流动。
层内，粘性流，主要速度降在此，有旋流动。
c ．由边界层外边界上∞=V u %99，来定义δ，δ为边界层厚度。
d ．按流动状态，边界层又分为层流边界层和紊流边界层。
由于在边界层内，流体在物体表面法线方向(即yu∂∂)速度梯度很大，所以，边界层内的流体具有相当大的旋涡强度；而在层外，由于速度梯度很小。
所以，即使对于粘度很大的流体，粘性力也很小，故可忽略不计，所以可认为，图8-2空气沿平板边界层速度分布外部区域边界层边界层外的流动是无旋的势流。
边界层的基本特征有： (1)1<<Lδ⇒薄层性质，其中L 为物体的长度；沿流方向↑↑→δx 。
(2) 层内yu∂∂很大， 边界层内存在层流和紊流两种流态。
第八章 边界层理论
U0 x Re x v
（8—1）
Usually we take Reynolds number at transition point is
Rec 5 105
（8—2）
15
随着边界层厚度的增加，粘性对边界层内流体的约束作 用减小，而惯性作用增大。当粘性作用控制不住水质点的运 动时，就和流体在圆管中流动一样，由层流转变成紊流，此 现象称为边界层转捩，并且在过渡区和紊流区下面存在一层 流底层 0 。 假设主流中流速为 U 0 ，到平板前端的距离为 x ，这时 的雷诺数为
3
第八章 §8–1 引言
边界层理论
§8–2 边界层的基本概念 §8–3 边界层的运动微分方程式 §8–4 边界层中的各种厚度
§8–5 边界层的动量方程式和摩擦切应力
§8–6 光滑平板上的层流边界层 第八章 习题
4
Chapter 8 Boundary Layer Theory
§8-1 Introduction
因为随着平板长度的增加，摩擦损失亦增加，流体内部的能 量减少，流速亦减少，为了满足连续条件，边界层的厚度增大。
12
3、laminar flow section, transition section and turbulent flow section also exists in the boundary layer, under the transition section and turbulent flow section, there also exists a bottom layer 0 of laminar flow. As shown in Fig.8-1. y
8 第八章 边界层与绕流阻力解析
应用量级比较法
流 体 力 学 与 流 体 机 械
Fluid Mechanics and Machinery
第二节 边界层微分方程
~ L, ~ 1 ~ , dy ~ ~ , x ~ 1, u x ~ U
ux ~ 1, x u y ~ 1, u y ux 1 2 ux 2ux 1 ~ , ~ 1, ~ 2, ~1 2 2 y y x y u y ~ 1, u y x ~ , 2u y x
u x u x 1 p 2 u x 2 u x uy ( 2 2 ) u x y x x y x 2 2 u y 1 p u y u y u y uy ( 2 2 ) u x y y x y x u x u y x y 0
流 体 力 学 与 流 体 机 械
第一节 边界层概念 2 边界层的形成与发展
U
层流边界层
过渡区
紊流边界层
Rex=Ux/
层流底层
x
边界层的发展
流体流过光滑平板时，边界层由层流转变为湍流发生在 Rek=21053106
Fluid Mechanics and Machinery
流 体 力 学 与 流 体 机 械
U 2 U U u dy
2 0
2
0
u U
u 1 U
u dy 0 U
u 1 U
dy
Fluid Mechanics and Machinery
流 体 力 学 与 流 体 机 械
第二节 边界层微分方程 对不可压缩、二维、恒定流绕流流动，忽略质量力， 则其N-S方程式为：
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第八章 边界层理论基础和绕流运动8—1 设有一静止光滑平板宽b ＝1m ，长L ＝1m ，顺流放置在均匀流u ＝1m/s 的水流中，如图所示，平板长边与水流方向一致，水温t ＝20℃。
试按层流边界层求边界层厚度的最大值δmax 和平板两侧所受的总摩擦阻力F f 。
解：20℃水的运动粘度ν＝1.003⨯10-6 m 2/s 密度3998.2/kg m ρ=6119970091.00310ν-⨯===⨯L uLRe因为 56310997009310⨯<=<⨯L Re按层流边界层计算。
max 1/25.4475.447m 0.0055m Re 997009L L δ=== 3f 1/21.46 1.4610997009-===⨯L C Re 223998.2122 1.461011N 1.46N 22f ff u F C A ρ-⨯==⨯⨯⨯⨯⨯= 8—2 设有极薄的静止正方形光滑平板，边长为a ，顺流按水平和铅垂方向分别置放于二维恒定均速u 的水流中，试问：按层流边界层计算，平板两种置放分别所受的总摩擦阻力是否相等，为什么？解：因为两种置放情况的物理模型和数学模型及其分析、推导所得计算公式是相同的，所以两种情况平板所受的总摩擦阻力相等。
8—3 设有一静止光滑平板,如图所示,边长1m,上宽0.88m,下宽0.38m,顺流铅垂放置在均匀流速u =0.6m/s 的水流中，水温t =15℃。
试求作用在平板两侧的总摩擦阻力F f 。
注：若为层流边界层，C f 按式（8—24）计算。
解：由表1—1查得，15℃时水的密度ρ=999.13/kg m ，运动粘度ν=1.139×10-6m 2/s 。
首先判别流态，计算平板上宽雷诺数560.60.884635655101.13910ν-⨯===<⨯⨯L uLRe ，按层流边界层计算。
设z 轴铅垂向上,平板宽度x 为0.38+0.5z ，阻力系数C f 按式（8-24）计算,即12f 60.6(0.380.5)1.328 1.13910--⨯+⎡⎤==⨯⎢⎥⨯⎣⎦L z C Re1521.328 5.2677810(0.380.5)z -轾=创?犏臌总摩擦阻力F f 按式(8—20)计算，f f12012(0.380.5)d 2F C u z z r =?ò11522 1.328 5.2677810(0.380.5)z -轾=创创+犏臌ò21999.10.6(0.380.5)d 2z z 创创+ 1120.658(0.380.5)d z z =?ò。
因0.380.5x z =+，所以d 0.5d x z = ，或d 2d =z x 。
代入上式得题8-1图0.88130.8822f 0.380.3820.6582 1.3163=⨯⨯=⨯⎰F x dx x0.88(0.830.23)N 0.528N =?=8—4 油的动力粘度μ=50×10-3Pa·s ，密度r =990kg/m 3，流速u =0.3m/s ，流过一水平放置的静止光滑平板。
试求距离平板始端150mm 处的边界层厚度δ以及边界层厚度为50mm 处距离平板始端的距离L 。
解：（1）30.39900.158915010x u x Re r m -创===´，为层流边界层。
5.4770.028m d ==?（2）0.05m d =时，假设仍为层流边界层0.05===0.495m L =30.39900.49529405010L Re -创==´，为层流边界层。
0.05m d ==8—5 试按光滑平板上的湍流边界层计算习题8—1中平板上边界层厚度的最大值maxd 和平板两侧所受的总摩擦阻力F f 。
解：max 150.3810.024m Re L Ld ===3f 150.074= 4.6710LC Re -==? ()2f f f =22u F C A r 两侧23998.212 4.671011N4.66N 2-´=创创?max d 、F f 值均大于习题8—1按层流边界层计算所得的值。
8—6 空气的温度t ＝0℃，流速u ＝30m/s ，在一个标准大气压下，流过一水平放置的（静止）光滑平板。
已知距平板始端4m 处的某点流速u x ＝27m/s ，试求该点距平板的垂直距离y 。
解：t ＝0℃时，空气的动力粘度μ=1.71×10-5Pa·s ，密度31.293kg/m r =。
51.29330490736841.7110x ux Re r m -创===´，在5731010:´范围内。
按湍流边界层计算150.3810.3810.062m xx Re d ==?17x y u u d 骣÷ç=÷ç÷ç桫 77270.062m 0.03m 30x u y ud 骣骣÷÷çç=??÷÷çç÷÷çç桫桫8—7 有一宽b ＝2.5m ，长L ＝30m 的光滑平板潜没在静水中，以5m/s 的速度等速拖曳，平板长边与运动方向一致，水温为20℃，试求光滑平板的总摩擦阻力F f 。
解：t ＝20℃时，水的运动粘度n =1.003×10-6m 2/s ，密度998.2r =kg/m 3。
65301.00310o L U L Re n -´===´149551346＞107，按湍流边界层计算。
()fm 2.580.4550.002lg L C Re == 220fm f 998.25220.002 2.530N 3743.25N 22U F C A r ´==创创=总8—8 空气的温度t ＝40℃，流速U 0＝60m/s ，流过一长L ＝6m ，宽b ＝2m 的光滑平板, 平板长边与流速方向一致。
设平板边界层由层流转变为湍流的条件为60crcr 10x U x Re n==。
试求平板两侧所受的总摩擦阻力F f （注：按混合边界层计算）。
解：t ＝40℃时，空气的运动粘度521.6810m /s n -=?，密度31.128kg/m r =。
60560621428571101.6810L U L Re n -´===>´，按混合边界层计算。
Re x cr =106，由表8-1可查得A=3300()fm 11550.0740.07433000.002352142857121428571L LA C Re Re =-=-= 220f fm 1.12860220.0023526N 114.5N 22U F C bLr ´=?创创=8—9 空气的温度为293K ，流速u =30m/s,在一个标准大气压下，流过一水平放置的光滑平板。
层流边界层转变为湍流边界层的临界雷诺数cr x Re 5510=?，试求（1）边界层流态转变处离平板始端距离x cr 和该处离平板垂直距离y ＝1mm 处的流速u x ；（2）离平板始端1m 处的边界层厚度和每米宽平板所需的总拖曳力F f 。
（按混合边界层计算）解：（1）t =293K 时，空气的动力粘度51.8110Pa s m -=醋，密度31.205kg/m r =。
cr cr =x Re ux rm55cr cr 510 1.8110m 0.25m 1.20530x Re x u m r -创?===´cr 1/2cr 5.477 5.4770.00194m x x Re d ==? 2222300.001()(0.001)m/s 22.96m/s 20.0019420.00194x u y u y d d ´=-=-=´(2) 551.205301199********.8110L uL Re r m -创===>?´为湍流边界层。
1/5=0.3810.3810.0209m L x Re d =?f m 1/50.074170017000.003221997238L LC Re Re =-==22f fm 1.20530220.0032211N 3.49N 22u F C bL r ´==创创=8—10 设有一宽b =2.5m ，长L =30m 的粗糙平板潜没在静水中，以5m/s 的速度等速拖曳，平板宽边b 与运动方向一致，水温为20℃，平板当量粗糙度∆=0.3mm 。
试求粗糙平板的总摩擦阻力F f 。
解：由表1—1查得，水温t =20℃时，水的密度ρ= 998.2 kg/m 3，运动粘度ν=1.003×10-6m 2/s 。
5065 2.5124626125101.00310ν-⨯===>⨯⨯b U bRe ，为湍流边界层。
允许粗糙度∆'650100100 1.00310m 2.00610m 0.02mm 0.3mm /5U ν--⨯⨯≤==⨯≈<∆=＞14×0.02=0.28mm ，粗糙平板，且可认为属于湍流边界层粗糙区。
层流边界层长度 56cr cr 0510 1.00310m 0.1m 5-⨯⨯⨯===x Re v x U与平板宽边b =2.5m 相比，可略去不计。
按湍流边界层粗糙区计算摩阻系数C f ，即2.5 2.5f 2.5(1.62lg1.89)(1.62lg 1.89)0.0003--=+=+∆b C 31013.5-⨯= 2320f f 2 5.1310998.252.5302N 22U F C A r -创创创== 9601.44N =8—11 球形尘粒密度s ρ= 2.5×103kg/m 3，在20℃的大气中等速自由沉降。
若空气阻力可按斯托克斯阻力公式计算，试求尘粒最大直径d max 和自由沉降速度u f 。
解：由表1-2查得空气的运动粘度ν=1.5×10-5m 2/s ，密度ρ=1.205 kg/m 3 。
55.8410m 58.4μm d -===?max 58.4μm d =2f 1()18s u d g r r nr=-2510.000058418 1.510 1.205-=?创? (2.51000 1.205)9.8m/s 创-? f u 0.257m/s =8—12 球形水滴在20℃的大气中等速自由沉降，若空气阻力可按斯托克斯阻力公式计算，试求水滴最大直径d max 和自由沉降速度u f 。
解：（1）由表1-2查得空气的运动粘度ν=1.5×10-5m 2/s ，密度ρ=1.205 kg/m 3 ，水的密度F ρ= 998.2kg/m 3。