等积法的运用 - 360文档中心

等积法

“等积法”在勾股定理中的应用一、“等积法”用不同的方法．．．．．表示同一个图形的面积，结果相等。

[分析]1、当所表示的图形是“规则”的图形时，（如三角形、平行四边形、矩形、正方形、梯形等可以用面积公式计算），“不同的方法”指的是①直接用面积公式表示②其他图形面积的和或差表示。

2、当所表示的图形是“不规则”的图形时，“不同的方法”指的是：“割”或“补”。

二、勾股定理的证明证法一：如图，用四个全等的直角三角形拼成下图，运用“等积法”证明勾股定理证法二：如图，用四个全等的直角三角形拼成下图，运用“等积法”证明勾股定理证法三：如图，用两个全等的直角三角形拼成下图，运用“等积法”证明勾股定理三、“等积法”的练习1、利用“等积法”证明：“等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离和等于一腰上的高”2、如图，矩形ABCD中，AC、BD交于O点，B E⊥AC于E，C F⊥BD于F，求证：BE=CF四、“等积法”的拓展应用1、“同底等高”2、“等底同高”3、两个三角形高相等,底成倍数关系,面积也成同样的倍数关系；同理,两个三角形底相等、高成倍数关系，面积也成同样的倍数关系。

例：梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于O 点，AO:CO=1:2，求：A O D S ∆:COD S ∆=?【补充】勾股定理--证法四：如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D .利用相似三角形的性质说明：222c b a =+证法五：“青朱出入图”（自己动手完成）你还收集了哪些证明勾股定理的方法？。

面积——等面积法

面积法在中学数学解题中的巧用利用同一图形的面积相等，可以列方程计算线段的值，或证明线段间的数量关系；利用图形面积的和、差关系列方程，将相等的高或底约去，可以计算或证明线段间的数量关系。

利用等积变形，可以排除图形的干扰，实现“从形到数〞的转化，从而从数量方面巧妙地解决问题。

用面积法解题就是根据题目给出的条件，利用等积变换原理和有关面积计算的公式、定理或图形的面积关系进行解题的方法。

运用面积法,巧设未知元,可获“柳暗花明〞的效果。

有关面积的公式〔1〕矩形的面积公式：S=长⨯宽〔2〕三角形的面积公式：ah S 21=〔3〕平行四边形面积公式: S=底⨯高〔4〕梯形面积公式: S=21⨯(上底+下底)⨯高〔5〕对角线互相垂直的四边形：S=对角线乘积的一半〔如正方形、菱形等〕有关面积的公理和定理 1、面积公理〔1〕全等形的面积相等；〔2〕一个图形的面积等它各部分面积之和； 2、相关定理〔1〕等底等高的两个三角形面积相等；夹在平行线间的两个共底的三角形面积相等；如下图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD〔2〕等底等高的平行四边形、梯形〔梯形等底应理解为两底的和相等〕的面积相等；〔3〕等底的三角形、平行四边形面积之比等于其高之比；等高的三角形、平行四边形面积之比等于其底之比；〔4〕相似三角形的面积的比等于相似比的平方；〔5〕在两个三角形中，若两边对应相等，其夹角互补，则这两个三角形面积相等；〔6〕等底等高的平行四边形面积是三角形面积的2倍。

一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积是长方形面积的15%，黄色三角形的面积是21平方厘米。

问：长方形的面积是__________平方厘米。

等面积法的应用一：利用平行线间两个共底的三角形面积相等解题。

如图，矩形ABCD 中，AB=3cm ，AD=6cm ，点E 为AB 边上的任意一点，四边形EFGB 也是矩形，且EF=2BE ，则AFC S =△92cm如图，在四边形ABCD 中，动点P 从点A 开始沿A →B →C →D 的路径匀速前进到D 为止。

等积法的公式

等积法的公式等积法是一种常用的数学方法，用于解决一些与面积、体积相关的问题。

在等积法中，我们通过保持一个物体的面积或体积不变，来推导出其他相关的数学关系。

下面我们来详细介绍一些常见的等积法公式及其应用。

一、长方形的等积法公式在等积法中，长方形是最常见的几何形状之一。

我们可以通过等积法来推导出长方形的一些重要公式。

假设一个长方形的长为a，宽为b，面积为S。

根据等积法，我们可以得到以下公式：1. 面积公式：S = a * b；2. 周长公式：P = 2 * (a + b)。

利用这些公式，我们可以解决一些与长方形相关的问题。

例如，已知一个长方形的面积为20平方米，我们可以通过面积公式计算出长和宽之间的关系。

如果长方形的长为4米，那么根据面积公式，可以得到宽为5米。

同样地，我们可以通过周长公式计算出周长为18米。

二、平行四边形的等积法公式平行四边形也是常见的几何形状之一。

通过等积法，我们可以推导出平行四边形的面积公式和周长公式。

假设平行四边形的底为a，高为h，面积为S。

根据等积法，我们可以得到以下公式：1. 面积公式：S = a * h；2. 周长公式：P = 2 * (a + b)。

利用这些公式，我们可以解决一些与平行四边形相关的问题。

例如，已知一个平行四边形的面积为24平方米，我们可以通过面积公式计算出底和高之间的关系。

如果底为6米，那么根据面积公式，可以得到高为4米。

同样地，我们可以通过周长公式计算出周长为20米。

三、圆的等积法公式圆是另一个常见的几何形状，通过等积法，我们可以推导出圆的面积公式和周长公式。

假设圆的半径为r，面积为S，周长为C。

根据等积法，我们可以得到以下公式：1. 面积公式：S = π * r^2，其中π是一个常数，约等于3.14159；2. 周长公式：C = 2 * π * r。

利用这些公式，我们可以解决一些与圆相关的问题。

例如，已知一个圆的半径为5厘米，我们可以通过面积公式计算出面积为78.53975平方厘米。

相似三角形等积等比证明方法

相似三角形解题方法【基本图形】两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.【方法精讲】一、、“三点定形法”例1、已知:如图,ΔABC 中,CE ⊥AB,BF ⊥AC.求证: BA AC AF AE （判断“横定”还是“竖定”？）例2、如图，CD 是Rt△ABC 的斜边AB 上的高，△BAC 的平分线分别交BC 、CD 于点E 、F ，AC·AE=AF·AB 吗？说明理由。

分析方法：1）先将积式______________2）______________（“横定”还是“竖定”？）练习1、已知：如图，△ABC中，∠ACB=900，AB的垂直平分线交AB于D，交BC延长线于F。

求证：CD2=DE·DF。

二、过渡法（或叫代换法）有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用“过渡”，其主要类型有三种，下面分情况说明．1、等量过渡法（等线段代换法）例1：如图3，△ABC中，AD平分△BAC，AD的垂直平分线FE交BC的延长线于E．求证：DE2＝BE·CE．2、等比过渡法（等比代换法）当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法，即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结论中某个比相等的比，并进行代换，然后再用三点定形法来确定三角形。

例2：如图4，在△ABC中，△BAC=90°，AD△BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于点F．求证：AB DF AC AF．3、等积过渡法（等积代换法）思考问题的基本途径是：用三点定形法确定两个三角形，然后通过三角形相似推出线段成比例；若三点定形法不能确定两个相似三角形，则考虑用等量（线段）代换，或用等比代换，然后再用三点定形法确定相似三角形，若以上三种方法行不通时，则考虑用等积代换法。

等面积法例题初二数学

等面积法例题初二数学（原创版）目录1.等面积法的概念2.等面积法的应用3.初二数学中常见的等面积题目类型4.解决等面积题目的步骤和技巧5.例题解析正文一、等面积法的概念等面积法是一种求解几何问题的方法，主要是通过将复杂的几何问题转化为简单的面积问题，从而简化问题。

等面积法在初二数学中是一个重要的知识点，对于提高学生的几何解题能力有重要作用。

二、等面积法的应用等面积法在初二数学中的应用非常广泛，例如在求解三角形、四边形、圆等几何图形的面积时，都可以运用等面积法。

此外，等面积法还可以用于解决一些复杂的几何组合问题，如求解两个三角形面积之和等于一个矩形面积的问题等。

三、初二数学中常见的等面积题目类型初二数学中常见的等面积题目类型主要包括以下几种：1.已知两个图形的面积，求它们的形状和大小；2.已知一个图形的面积和一个边长，求其他边的长度；3.已知两个图形的边长，求它们的面积和形状；4.求解两个图形面积之和等于一个矩形面积的问题。

四、解决等面积题目的步骤和技巧解决等面积题目一般可以分为以下几个步骤：1.观察题目，找出已知条件和需要求解的问题；2.根据已知条件，运用等面积法将问题转化为面积问题；3.利用相关的几何公式，求解面积问题；4.根据求解的结果，得出结论。

在解决等面积题目时，可以运用一些技巧，如：1.利用相似三角形的面积比等于相似比的平方；2.利用两个三角形共边时，它们的面积和等于共边边上的高的比；3.利用矩形的面积等于长乘以宽。

五、例题解析例题：已知一个矩形的长为 8cm，宽为 6cm，求一个与它等面积的三角形的高。

解：根据等面积法，可知该三角形的面积等于矩形的面积，即S=8*6=48。

由于三角形的面积等于底乘以高的一半，所以可以得出：48=底*高/2，解得高=48*2/底。

由于题目没有给出三角形的底，因此需要进一步求解。

可以利用相似三角形的性质，设该三角形的底为 x，那么根据相似比的平方等于面积比，可得出：x/8=高/6，解得 x=48/5。

＂等积法＂在高考解题中的应用

ＳＡＡＡ１曰．・．６脚ｈ＝ａＡ口＝Ａｃ＝ × ｓ “ ‘ ＡＡｌ即三
Ｊ
２、／６
棱锥ｃ．一ＡＢＢ的体积为。
６
二求点到平面的距离
总之，用等积法的关键是找准问题的角度，注意观察，从不同角度思考，充分利用同一几何体体积不Ｂ
，
Ｂ
…
．・．
１ｘｄｘ￣２
３
－三棱锥Ｃ，肋的体积。
－－２
图３
分析：利用等体积代换求出三棱锥的体积。
解：在三棱柱Ｃ — １日Ｃ中，。． ’ Ｓ△ＡＢＢ＝
２ｋＦ６
．
＝
，
故异面直线４Ｅ和Ｇ，间的距离为
知：
３ ×ｄ×ｓ＝１
× ×ｓ
三、求体积
如图３，正三棱柱Ａ曰ｃ —ＡＢＣ的底面边长
ＡＩＢｊ￣ＢＩＢ＝ ÷ｘ２ｘ２＝２。
由ＡＩ－ＢＩＦＣ￣－
为３，侧锨Ａ＝
三求Ｂ
ＡＩＢ｝ＣｌＤ｛中，ＡＡ１＝ＡＢ＝２，ＡＤ＝
１，点Ｅ、Ｆ、Ｇ分别是ＤＤ．、ＡＢ、
ＣＣ的中点，求异面直线ＡＥ
和ＧＦ的距离。
分析：把异而直线问的距离转化为直线与平面
问的距离，再转化为点１ＢＦ．ＢＤ．ｓｉｎＺ＿ＦＢＤ：１
．
— 一

等积法的应用

等积法的应用以等积法的应用为标题，我们来探讨一下等积法在实际生活中的应用。

等积法是一种数学解题方法，常常用于解决几何问题。

它基于一个基本原理：如果两个形状的面积相等，那么它们的某些特征也相等。

这个原理在解决各种实际问题中非常有用，下面我们将介绍几个例子来说明等积法的应用。

等积法在建筑设计中有着广泛的应用。

设计师在进行建筑设计时，常常需要考虑到建筑物的比例和平衡性。

通过运用等积法，设计师可以根据建筑物的总体面积和布局，确定各个部分的大小和位置。

例如，在设计一座大厦时，设计师可以通过等积法来确定每层的面积和高度，从而使整个建筑在视觉上更加和谐和平衡。

等积法在农业生产中也有着重要的应用。

农民在进行农田规划时，需要合理安排不同作物的种植面积和间距，以提高土地的利用效率。

通过运用等积法，农民可以根据作物的需求和农田的面积，确定每种作物的种植面积，以达到最佳的产量和质量。

同时，等积法也可以帮助农民确定灌溉系统的设计，以确保每块土地都能得到适当的水源供应。

等积法还可以应用于交通规划和城市规划中。

在规划道路和交叉口时，交通工程师需要考虑到不同道路的通行能力和流量。

通过等积法，他们可以根据道路的宽度和长度，确定合适的车道数量和交叉口的布局，以提高交通系统的效率和安全性。

类似地，在城市规划中，等积法可以帮助规划师确定不同区域的用地面积，从而实现城市的合理布局和功能分区。

等积法还可以应用于商业领域。

在零售业中，商家常常需要决定不同商品的陈列位置和面积。

通过等积法，他们可以根据商品的销售额和利润率，确定每种商品的陈列面积和位置，以最大化销售量和利润。

此外，在广告设计中，等积法也可以用来确定不同元素的尺寸和位置，以实现视觉效果的平衡和吸引力。

等积法在实际生活中有着广泛的应用。

无论是建筑设计、农业生产、交通规划还是商业领域，等积法都可以帮助我们解决各种问题，并找到最优解决方案。

通过合理运用等积法，我们可以提高效率、优化资源利用，并实现更好的结果。

等面积法求线段相等

等积法求相等的线段说题稿杨得封原题：如图，AD 垂直平分BC ，D 为垂足，DM ⊥AC ，DN ⊥AB ，M ，N 分别为垂足，求证：DM=DNA一、说背景与价值此题选自人教版八年级上第十二章《12.3角平分线的性质》习题第二题。

解决此题涉及的知识有垂直的定义，垂直平分线的定义及性质，三角形全等的判定，角平分线的性质，三角形的面积等。

本习题是在学生学习三角形全等的判定定理“AAS 〞，及角平分线的性质的根底上给出的。

课本设置此练习的目的旨在稳固三角形全等的判定及角平分线的性质。

大局部学生想到利用三角形全等，然而解题的方法较多，需要学生发散思维，充分联系与求证，综合运用已学的知识来解决，在众多的方法中进行选优，从而获得一定的解题经验。

二、说教学与改良学生已经学会了三角形全等的判定定理“SSS 〞,“SAS 〞,“ASA 〞,“AAS 〞,对于证明相等的线段，根本上具备了解决此题的知识储藏和技能。

而学生往往会思维定势，联想到证明三角形全等，而无视了此时证明的是垂线段这个重要信息，缺乏相应的想象。

学生可能的做法：1、先证明△ADC ≅△ADB 得∠B=∠C ，再证明△DCM △DBN ，得到DM=DN ；2、先证明△ADC ≅△ADB 得∠CAD=∠BAD ，再证明△DAM ≅△DAN ，得到DM=DN ；3、先证明△ADC ≅△ADB 得AD 是角平分线，再利用角平分线的性质，得到DM=DN ；4、先由中垂线的性质证明AB=AC ，再由三角形的中线将三角形的面积二等分，得ADB ADC S S ∆∆=，由DM ⊥AC ，DN ⊥AB ，得到DM=DN 。

在原先的教学中，让学生思考后答复，发现大局部学生是第1,2种解法，很少出现第3,4的解法，然后再追问，还有其他的方法吗？能利用今天学过的知识来解决吗？能利用角平分线的性质吗？终于有了第3种方法，可是学生缺乏想象，这样的教学效果不好。

针对很少学生想出方法3，方法4，以及充分发挥这道题目的价值，在教学中进行如下的改良。

相似三角形等积等比证明方法

相似三角形解题方法【基本图形】两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.【方法精讲】一、、“三点定形法”例1、已知:如图,ΔABC 中,CE ⊥AB,BF ⊥AC.求证: BA AC AF AE （判断“横定”还是“竖定”？）例2、如图，CD 是Rt△ABC 的斜边AB 上的高，△BAC 的平分线分别交BC 、CD 于点E 、F ，AC·AE=AF·AB 吗？说明理由。

分析方法：1）先将积式______________2）______________（ “横定”还是“竖定”？）练习1、已知：如图，△ABC 中，∠ACB=900，AB 的垂直平分线交AB 于D ，交BC 延长线于F 。

求证：CD 2=DE·DF 。

二、过渡法（或叫代换法）有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用“过渡”，其主要类型有三种，下面分情况说明．1、等量过渡法（等线段代换法）例1：如图3，△ABC中，AD平分△BAC，AD的垂直平分线FE交BC的延长线于E．求证：DE2＝BE·CE．2、等比过渡法（等比代换法）当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法，即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结论中某个比相等的比，并进行代换，然后再用三点定形法来确定三角形。

例2：如图4，在△ABC中，△BAC=90°，AD△BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于点F．求证：AB DF AC AF．3、等积过渡法（等积代换法）思考问题的基本途径是：用三点定形法确定两个三角形，然后通过三角形相似推出线段成比例；若三点定形法不能确定两个相似三角形，则考虑用等量（线段）代换，或用等比代换，然后再用三点定形法确定相似三角形，若以上三种方法行不通时，则考虑用等积代换法。

中考：等面积法

等面积法方法概述：运用同一图形的两种计算面积的方法，列出等量关系，从而求解线段的长度，或者证明线段之间的等量关系，甚至求解不规则图形的面接！技巧归纳：1、当图形中出现两个（或者以上）的垂直关系时，常用此法.2、计算多边形面积的常用方法：(1)面积计算公式(2)对于公式⑤的证明（如上图）：S= S△ABD+S△CBD= +==(3)割补法：将不规则图形“分割或补全’为规则图形.一、等面积法在直角三角形的应用在直角三角形中，两条直角边、斜边以及斜边上的高，知道任意两个可以运用勾股定理、等面积思想求出剩余两个。

如图：基本公式: ①勾股定理:②等面积法：证明②：即：,例题1：如图，在Rt ABC ,∠C=90°，当直角边AC =4，斜边AB =5时，求该直角三角形斜边AB上的高CD ?例题2：如图，在Rt ABC (BC AC ) ,∠C=90°，当斜边AB =10cm，斜边AB上的高CD =4.8cm 时，求该直角三角形直角边AC和BC的长度?巩固练习：1、如图，在Rt ABC,∠C=90°，且AC=24, BC=7，作ABC 的三个内角的角平分线交于点P，再过点P 依次作PD⊥AB于D，作PE⊥BC于E, 作PF⊥AC于F .(1)求证：PD = PE = PF ;(2)求出：PD的值.2、如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，则BC边长的高为（）A.22二、等面积法在等腰三角形的应用在等腰三角形中，可以运用“割补法”的等面积思想，先建立有关“腰以及腰上的高”的等式，再通过等式两边约分来探索出线段之间的数量关系！例题1：如图,在△ABC 中, AB=AC, AC 边上的高BD=10cm.（1）如图1,求AB 边上高CE 的长；（2）如图2,若点P 为BC 边上任意一点, PM⊥AB 于点M, PN⊥AC 于点N,求PM+PN 的值；（3）如图3,若点P 为BC 延长线上任意一点,PM⊥AB 于M,PN⊥AC 于点N,在①PM+PN ；②PM PN 中有一个是定值,判断出来并求值.例题2：已知等边△ABC和内部一点P，设点P 到△ABC三边的AB、BC 、AC 的距离分别是h1，h2，h3，△ABC的高为h，问h1、h2、h3 与h 之间有怎样的数量关系？请说明理由。