初二数学菱形

初二数学菱形性质：1.菱形具有平行四边形所有的性质。

（特有的性质）2.菱形的四边都相等。

3.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

4.菱形既是轴对称图形也是中心对称图形。

5.菱形的面积公式=底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半。

判定：1.定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

3.四边都相等的四边形是菱形。

中点四边形1.矩形四边中点的连线组成一个菱形。

2.菱形四边中点的连线组成一个矩形。

（本质）1.对角线相等的四边形四边中点的连线组成一个菱形。

2.对角线垂直的四边形四边中点的连线组成一个矩形。

例题1.如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．2、如图所示，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，DE∥AC，DF∥BC，四边形DECF是菱形吗?试说明理由．3.如图，已知菱形ABCD，AB=AC，E、F分别是BC、AD的中点，连接AE、CF．（1）证明：四边形AECF是矩形；（2）若AB=8，求菱形的面积．4.如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE.(1)求证：四边形BECD是平行四边形；(2)若∠E＝60°，AC＝43，求菱形ABCD的面积．5.如图所示，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝18°．求∠CEF的度数．6.如图，△ABC中，∠ACB=60°，分别以△ABC的两边向形外作等边△BCE、等边△ACF，过A作AM∥FC交BC于点M，连接EM．求证：（1）四边形AMCF是菱形；（2）△ACB≌△MCE．7.如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝．8.如图所示，已知菱形ABCD 中E 在BC 上，且AB=AE ，∠BAE=12∠EAD ，AE 交BD 于M ，试说明BE=AM9.如图所示，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，CE 平分∠ACD ，交AD 于点G ，交AB 于点E ，EF ⊥BC 于点F ． 求证：四边形AEFG 是菱形．10.如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，BD 为AC 的中线，过点C 作CE ⊥BD 于点E ，过点A 作BD 的平行线，交CE 的延长线于点F ，在AF 的延长线上截取FG=BD ，连接BG 、DF ．（1）求证：BD=DF ；（2）求证：四边形BDFG 为菱形；（3）若AG=13，CF=6，求四边形BDFG 的周长．3421M E DCB A11.如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，E是AB边的中点，P是AC边上一动点，PB＋PE的最小值是2，求AB的值．12.菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）．A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相垂直 D．对角线相等13.下列说法不正确的是（）．A．菱形的对角线互相垂直 B．菱形的对角线平分各内角C．菱形的对角线相等 D．菱形的对角线交点到各边等距离14.菱形的两邻角之比为1：2，如果它的较短对角线为3cm，则它的周长为（）． A．8cm B．9cm C．12cm D．15cm15.如图，在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，若∠BAC＝50°，则∠ABC等于（）A．40° B．50° C．80° D．100°16.如图，已知菱形ABCD，其顶点A、B在数轴上对应的数分别为－4和1，则BC ＝_____.17.如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为cm，则对角线AC长和BD长之比为 .18.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点B的坐标为（8，4），则C点的坐标为_______.19.如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB中点，且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为______2cm.20. 如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以lcm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿线射BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；（2）当t为多少时，四边形ACFE是菱形．答案1.证明：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAE，CD=BC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=FC，∠CFD=∠CEB=90°．在Rt△CDF与Rt△CBE中，，∴Rt△CDF≌Rt△CBE（HL），∴DF=BE．2.解：四边形DECF是菱形，理由如下：∵ DE∥AC，DF∥BC∴四边形DECF是平行四边形．∵ CD平分∠ACB，∴∠1＝∠2∵ DF∥BC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3．∴ CF＝DF，∴四边形DECF是菱形．3.（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，又∵AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∵E是BC的中点，∴AE⊥BC（等腰三角形三线合一），∴∠1=90°，∵E、F分别是BC、AD的中点，∴AF=12ADEC=12 BC，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC且AD=BC，∴AF∥EC且AF=EC，∴四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），又∵∠1=90°，∴四边形AECF是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）；（2）在Rt△ABE中，AE=2284=43，S菱形ABCD=43×8＝3234.（1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，又∵BE＝AB，∴BE＝CD，BE∥CD，∴四边形BECD是平行四边形(2)解：∵四边形BECD是平行四边形，∴DB∥CE，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴AC⊥CE.在Rt△ACE中，∵∠E＝60°，AC＝43，∴CE＝ACtanE＝433＝4，∵四边形BECD是平行四边形，∴BD＝CE＝4，∴S菱形ABCD＝12AC·BD＝12×43×4＝8 35.解：连接AC．∵四边形ABCD是菱形，∴ AB＝BC，∠ACB＝∠ACF．又∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC．∴∠ACF＝∠B＝60°．又∵∠EAF＝∠BAC＝60°∴∠BAE＝∠CAF．∴△ABE≌△ACF．∴ AE＝AF．∴△AEF为等边三角形．∴∠AEF＝60°．又∵∠AEF＋∠CEF＝∠B＋∠BAE，∠BAE＝18°，∴∠CEF＝18°．6.证明：（1）∵△ACF是等边三角形，∴∠FAC=∠ACF=60°，AC=CF=AF，∵∠ACB=60°，∴∠ACB=∠FAC，∴AF∥BC，∵AM∥FC，∴四边形AMCF是平行四边形，∵AM∥FC，∠ACB=∠ACF=60°，∴∠AMC=60°，又∵∠ACB=60°，∴△AMC是等边三角形，∴AM=MC，∴四边形AMCF是菱形；（2）∵△BCE是等边三角形，∴BC=EC，在△ABC和△MEC中∵，∴△ABC≌△MEC（SAS）．7.2.48.解：∵AB=AE∴∠ABE=∠AEB=∠EAD∵∠BAE=12∠EAD∴∠EAD=2∠BAE∴5∠BAE=180°∠BAE=36°∠ABE=∠AEB=∠EAD=72°∵菱形ABCD∴∠ABD=∠DBC=72°÷2=36°=∠BAE 即：∠ABD=∠BAE AM =BM9.证明：∵ CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，∴ AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4．∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ EF∥AD．∴∠4＝∠5．∴∠3＝∠5．∴ AE＝AG．∴ EF AG．∴四边形AEFG是平行四边形．又∵ AE＝AG，∴四边形AEFG是菱形10.证明：∵∠ABC=90°，BD为AC的中线，∴BD=AC，∵AG∥BD，BD=FG，∴四边形BGFD是平行四边形，∵CF⊥BD，∴CF⊥AG，又∵点D是AC中点，∴DF=AC，∴BD=DF；（2）证明：∵BD=DF，∴四边形BGFD是菱形，（3）解：设GF=x，则AF=13﹣x，AC=2x，∵在Rt△ACF中，∠CFA=90°，∴AF2+CF2=AC2，即（13﹣x）2+62=（2x）2，解得：x=5，∴四边形BDFG的周长=4GF=20．11.解：∵∠ABC＝120°∴∠BCD＝∠BAD＝60°；∵菱形ABCD中，AB＝AD∴△ABD是等边三角形；又∵E是AB边的中点，B关于AC的对称点是D ，DE ⊥AB连接DE ，DE与AC交于P ，PB＝PD ；DE的长就是PB＋PE的最小值2；12.C13.C14.C15.C16.517.1：；【解析】如图，设AC ，BD 相较于点O ，∵菱形ABCD 的周长为8cm ，∴AB=BC=2cm ，∵高AE 长为cm ，∴BE==1（cm ），∴CE=BE=1cm ，∴AC=AB=2cm ，∵OA=1cm ，AC ⊥BD ，∴OB==（cm ），∴BD=2OB=2cm ，∴AC ：BD=1：．18.（3,4）；【解析】过B 点作BD ⊥OA 于D ，过C 点作CE ⊥OA 于E ，BD ＝4，OA ＝，AD＝8－，，解得，所以OE ＝AD ＝8－5＝3，C点坐标为（3,4）.19.220.证明：∵AG ∥BC ，∴∠EAD=∠DCF ，∠AED=∠DFC ，∵D 为AC 的中点，∴AD=CD ，在△ADE 和△CDF 中，，∴△ADE ≌△CDF （AAS ）；（2）解：①若四边形ACFE 是菱形，则有CF=AC=AE=6，则此时的时间t=6÷1=6（s ）．x x ()22284x x =-+5x =。