2019年南京市鼓楼区数学一模(含答案)

鼓楼区2019年模拟考试数 学注意事项：1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．3．答选择题必须用2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．4．作图必须用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡．．．相应位置．．．．上） 1．4的算术平方根是A ．±2B ． 2C ．－2D ．162．鼓楼区公益项目“在线伴读”平台开通以来，累计为学生在线答疑15 000次．用科学记数法表示15 000是 A ．0.15×106B ．1.5×105C ．1.5×104D ．15×1033．计算(－a )2·(a 2)3的结果是A ．a 8B ．－a 8C ．a 7D ．－a 74．若顺次连接四边形ABCD 各边中点所得的四边形是菱形，则下列结论中正确的是A ．AB ∥CDB ．AB ⊥BCC ．AC ⊥BDD ．AC ＝BD5．下图是某家庭2018年每月交通费支出的条形统计图，若记该家庭2018年月交通费平均支出为a 元，则下列结论中正确的是 A ．200≤a ≤220 B ．220≤a ≤240 C ．240≤a ≤260 D ．260≤a ≤2806．A 、B 两地相距900 km ，一列快车以200 km/h 的速度从A 地匀速驶往B 地，到达B 地后立刻原速原路返回A 地，一列慢车以75 km/h 的速度从B 地匀速驶往A 地．两车同时出发，截止到它们都到达终点时，两车恰好相距200 km 的次数是 A ．5B ．4C ．3D ．2（第5题）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上） 7．－3的绝对值是 ▲ ．8．若式子x ＋1在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ▲ ． 9．计算 27－62的结果是 ▲ ． 10．方程1x ＋2＝2x的解是 ▲ ． 11．正五边形的每个外角的大小是 ▲ °．12．已知关于 x 的方程x 2＋mx －2＝0有一根是2，则另一根是 ▲ ，m ＝ ▲ ． 13．如图，AB ∥EG ∥CD ，EF 平分∠BED ．若∠D ＝69°，∠GEF ＝21°，则∠B ＝ ▲ °． 14．如图，圆锥底面圆心为O ，半径OA ＝1，顶点为P ．将圆锥置于平面上，若保持顶点P位置不变，将圆锥顺时针滚动三周后点A 恰回到原处，则圆锥的高OP ＝ ▲ ． 15．如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，B 是 AC ︵的中点，过C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ．若∠AEC ＝84°，则∠ADC ＝ ▲ °．16．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝4，BC ＝3．若点P 在△ABC 内部（含边界）且满足PC ≤P A≤PB ，则所有点P 组成的区域的面积为 ▲ ．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（7分）解不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧3x ＞2x －2，x －3(x －2)≥4．18．（7分）计算 a －2a －1÷(a ＋1－3a －1)．（第13题）（第15题） （第14题）19．（8分）（1）解方程x 2－x －1＝0．（2）在实数范围内分解因式x 2－x －1＝ ▲ ．20．（8分）如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，BC ＝DE ，点E 在BC 上． （1）求证△ABC ≌△ADE ； （2）求证∠EAC ＝∠DEB ．21．（8分）（1）两只不透明的袋子中均装有红球、黄球、白球各1个，这些球除颜色外无其他差别．分别从每个袋子中随机摸出一个球，求摸出的两个球都是红球的概率．（2）鼓楼区实施全面均衡分班，某校为七年级各班随机分配任课教师．已知该校七年级共有10个班，语文洪老师、数学胡老师都只执教该年级的某一个班，则他俩都任教七（1）班的概率为 ▲ ．22．（8分）妈妈准备用5万元投资金融产品，她查询到有A 、B 两款“利滚利”产品，即上一周产生的收益将计入本金以计算下一周的收益．例如：投资100元，第一周的周收益率为5%，则第一周的收益为100×5%＝5元，第二周投资的本金将变为100＋5＝105元．下图是这两款产品过去．．5．周．的周收益率公告信息．（第1周：3月1日~3月7日） （1）若妈妈3月1日投资产品B ，到第二周结束时会不赚不赔，这种说法对吗？请判断并说明理由．（2）请运用学过的统计知识，为妈妈此次投资金融产品提出建议并简要说明理由．ABDCE（第20题）－－第二周 第三周 第四周 第一周 第五周（第22题）产品A23．（8分）已知点A （1，1），B （2，3），C （4，7）．请用两种不同的方法判断这三点是否在一条直线上．（写出必要的推理过程）24．（8分）已知：如图，在□ABCD 中，G 、H 分别是AD 、BC 的中点，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足分别为E 、F ．（1）求证：四边形GEHF 是平行四边形；（2）已知AB ＝5，AD ＝8．求四边形GEHF 是矩形时BD 的长．25．（8分）某商品的进价是每件40元，原售价每件60元．进行不同程度的涨价后，统计了商品调价当天的售价和利润情况，以下是部分数据：（1）当售价为每件60元时，当天可售出 ▲ 件；当售价为每件61元时，当天可售出 ▲ 件．（2）若对该商品原售价每件涨价x 元（x 为正整数）时当天售出该商品的利润为y 元． ①用所学过的函数知识直接写出y 与x 满足的函数表达式： ▲ ． ②如何定价才能使当天的销售利润不低于6 200元？ABCDGH E F（第24题）26．（9分）如图①，一座石拱桥坐落在秦淮河上，它的主桥拱是圆弧形．如图②，桥宽AB为8米，水面BC 宽16米，BC ︵表示的是主桥拱在水面以上的部分，点P 表示主桥拱拱顶．小明乘坐游船，沿主桥拱的中轴线向主桥拱行驶．（1）图③是主桥拱在水面以上部分的主视图，请用直尺和圆规作出主桥拱在静水中的倒影（保留作图痕迹，不写作法）．（2）已知小明眼睛距离水面1.6米，游船的速度为0.2米/秒．某一时刻，小明看拱顶P的仰角为37°，4秒后，小明看拱顶P 的仰角为45°，整个过程中，游船未经过主桥拱的正下方． （参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．） ①求拱顶P 到水面的距离；②船上的旗杆高1米，某时刻游船背对阳光行驶，小明发现旗杆在阳光下的投影所在直线与航线平行且长为2米．请估计此刻桥的正下方被阳光照射到的部分的面积（需画出示意图）．第26题①BC 水面第26题③第26题②BCP 81627．（9分）把一个函数图像上每个点的纵坐标变为原来的倒数（原函数图像上纵坐标为0的点除外）、横坐标不变，可以得到另一个函数的图像，我们称这个过程为倒数变换．例如：如图，将y ＝x 的图像经过倒数变换后可得到y ＝1x 的图像．特别地，因为y ＝x 图像上纵坐标为0的点是原点，所以该点不作变换，因此 y ＝1x的图像上也没有纵坐标为0的点．（1）请在同一个平面直角坐标系中画出y ＝－x ＋1的图像和它经过倒数变换后的图像．（2）观察上述图像，结合学过的关于函数图像与性质的知识，①猜想：倒数变换得到的图像和原函数的图像之间可能有怎样的联系？写出两个即可．②说理：请简要解释你其中一个猜想．（3）请画出y ＝1x 2＋c（c 为常数）的大致图像．＝1x（第27题）鼓楼区2018-2019学年度第二学期调研测试卷九年级数学参考答案及评分标准说明：本评分标准每题给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．）7．3 8．x ≥－1 9．2 3 10．x ＝－4 11．72° 12．－1，－1 13．27° 14．22或52 15．64° 16． 2732三、解答题（本大题共11小题，共88分．） 17．（本题7分）解：由①，得x ＞－2． ................................................................................................... 2分由②，得x ≤1． ....................................................................................................... 5分 ∴ 不等式组的解集为－2＜x ≤1． ...................................................................... 7分18．（本题7分）解：a －2a －1÷(a ＋1－3a －1)＝a －2a －1÷⎣⎡⎦⎤(a ＋1)(a －1)a －1－3a －1 .............................................................................. 2分 ＝a －2a －1÷a 2－1－3a －1 ＝a －2a －1•a －1(a ＋2)(a －2)............................................................................................... 5分 ＝1a ＋2． .................................................................................................................. 7分 19．（本题8分）（1）解： x 2－x ＝1x 2－x ＋( 1 2)2＝ 54(x － 1 2)2＝ 54................................................................................................................ 2分x － 1 2＝±52............................................................................................................. 4分x 1＝1＋5 2，x 2＝1－52． .................................................................................. 5分 （2）(x －1＋5 2)(x －1－52)． ...................................................................................... 8分20．（本题8分）（1）证明：∵ AD ＝AB ，AE ＝AC ，DE ＝BC ，∴ △ABC ≌△ADE （SSS ）． ........................................................................................ 4分 （2）证明：∵ AC ＝AE ，∴ ∠AEC ＝∠C ． ∵ △ABC ≌△ADE ， ∴ ∠AED ＝∠C ． ∴ ∠AEC ＝∠AED ． 设 ∠EAC ＝x °，则∠AEC ＝180°－x °2． ∴∠BED ＝180°－180°－x °2•2＝x °．∠EAC ＝∠DEB ． ............................................................................................................ 8分 21．（本题8分）解：（1）记两个袋子中的球分别为红1、黄1、白1，红2、黄2、白2．可能结果如下：（红1，红2），（红1，黄2），（红1，白2）， （黄1，红2），（黄1，黄2），（黄1，白2）， （白1，红2），（白1，黄2），（白1，白2）． 所有可能的结果共9种，它们出现的可能性相同，其中“摸出的两个球都是红球”（记为事件A ）包含其中1种结果．所以P (A )＝19． ................................................................................................................ 6分（2）1100． ........................................................................................................................... 8分22．（本题8分）解：（1）不对． ............................................................................................................... 1分 设投资B 产品a 元，则第一周的收益为2%a 元，第二周投资的本金变为(1＋2%)a 元， 第二周结束时的余额为a (1＋2%)(1－2%)＝0.9996a ＜a ，所以赔了． ..................... 4分 （2）答案不唯一，自圆其说即可得分． ........................................................................ 8分答案1：建议妈妈买产品A ，因为产品A 收益比较稳定，风险较小． 答案2：建议妈妈买产品B ，因为产品B 虽然风险高但收益同样也非常高．23．（本题8分）答案不唯一，例如： 法1：直线AB 的函数表达式为y ＝2x －1．当x ＝4时，y ＝7，∴C 点在直线AB 上． ......................................................... 5分 法2：如图，分别过点B 、C 作x 轴的垂线，分别过点A 、B 分别作x 轴的平行线，它们交于D 、E ．由题意得：AD ＝1，BD ＝2，BE ＝2，CE ＝4，∠D ＝∠E ＝∠DBE ＝90°． ∵AD BE ＝ BD CE ＝ 12且∠ADB ＝∠BEC ， ∴ △ABD ∽△BCE ． ∴ ∠A ＝∠CBE ． ∵ ∠A ＋∠ABD ＝90°， ∴ ∠CBE ＋∠ABD ＝90°．∴ ∠CBE ＋∠DBE ＋∠ABD ＝180°．∴ A 、B 、C 三点共线． ................................................................................... 8分法3：同法2作辅助线．由勾股定理可得：AB ＝12＋22＝5，BC ＝22＋42＝25，AC ＝32＋62＝35． ∴ AB ＋BC ＝AC ．∴ A 、B 、C 三点共线． ................................................................................... 8分 24．（本题8分）（1）证明：∵ AE ⊥BD ，CF ⊥BD ， ∴ ∠AED ＝∠CFB ＝90°．∵ G 、H 分别是AD 、BC 的中点，∴ EG ＝DG ＝12AD ，FH ＝BH ＝12B C ．∴ ∠1＝∠2，∠3＝∠4． ∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AD ＝BC ，AD ∥B C ． ∴ EG ＝FH ，∠2＝∠4. ∴ ∠1＝∠3．∴ EG ∥FH ．∴ 四边形GEHF 是平行四边形． ................................................................. 5分（2）解：连接GH ．当□GEHF 是矩形时，EF ＝GH ． 易证四边形ABHG 是平行四边形． ∴GH ＝AB ＝5．易证△ABE ≌△CDF ．∴BE ＝DF ．设 BE ＝x ，则DF ＝x ，ED ＝5＋x ．∴52－x 2＝82－(5＋x )2x ＝1.4∴BD ＝7.8． ......................................................................................................... 8分AB CD E（法2）ABCDGH EF（第24题）123425．（本题8分）解：（1）300，290． ........................................................................................................... 2分 （2）①y ＝－10x 2＋100x ＋6000． ............................................................................... 5分 ②y ＝－10x 2＋100x ＋6000＝－10(x －5)2＋6250． 当y ＝6200时，－10(x －5)2＋6250＝6200． 解得 x 1＝5－5，x 2＝5＋5． ∵ －10＜0，∴ 该二次函数的图像开口向下． ∴ 当y ≥6200时，5－5≤x ≤5＋5． 即 当y ≥6200时，3≤x ≤7（x 为正整数）．答：定价为：63，64，65，66，67． .................................................................. 8分 26．（本题9分）解：（1）如图即为所求（作法不唯一）； .......................................................................... 3分（2）①如图，设PE ＝x m ．在△PED 中，∠PED ＝90°，则tan ∠PDE ＝ PEDE．∴ DE ＝xtan45°＝x ．在△PEM 中，∠PEM ＝90°，则tan ∠PME ＝ PEME．∴ ME ＝xtan37°．∵ ME －DE ＝MD ， ∴xtan37°－x ＝0.8．解得x ＝2.4．∴ PH ＝1.6＋2.4＝4．答：拱顶P 到水面的距离是4 m ． ............................................................................ 6分PEHMDBC 水面②太阳照射到的部分如图所示．S ≈530π9－96≈89.46 m 2． ......................................................................................... 9分 估计方案合理即可酌情赋分，详见细则．27．（本题9分）（1）如图所示． ................................................................................................................... 2分（24分 猜想1：原函数图像在x 轴上（下）方的部分，经过倒数变换后的图像也在x 轴上（下）方． 猜想2：若原函数图像经过x 轴上的点A （a ，0），则经过倒数变换后的图像无限接近直线x＝a 且与它没有公共点．猜想3：原函数图像在x 轴上方的部分，若y 随x 增大而增大（减小），经过倒数变换后的该部分图像y 随x 的增大而减小（增大）；原函数图像在x 轴下方的部分，若y 随x 增大而增大（减小），经过倒数变换后的该部分图像y 随x 的增大而减小（增大）．猜想4：若原函数的图像和它经过倒数变换后的图像有公共点，则公共点纵坐标为1或－1．②答案不唯一，以下作为参考． ............................................................................................ 6分 解释1：互为倒数的两个数符号相同．解释2：0没有倒数，纵坐标的绝对值越小，倒数变换后的对应点的纵坐标绝对值越大． 解释3：y 1•y 2＝1，一个增大时，另外一个必然减小．解释4：y 1•y 2＝1且y 1＝y 2，可求得y ＝±1．（3）y＝1x2＋c（c为常数）的大致图像如下图所示． .................................................. 9分当c＞0时当c＝0时当c＜0时。