顺思逆想解一例——巧用轴对称图形
轴对称辅导教案：巧用轴对称解决奇妙数学题
轴对称辅导教案：巧用轴对称解决奇妙数学题巧用轴对称解决奇妙数学题导语：学好数学，学好数学，需要掌握的不仅仅是计算技巧和公式规律，更重要的是思维能力和创新意识。
在数学教育中，教师的教学方法和技巧对学生的学习有着至关重要的影响。
轴对称教学法旨在培养学生的创新思维能力，让学生热爱数学，提高数学素养，是数学教学中的重要手段。
本篇文章将带领大家通过几个实例来探讨如何巧妙应用轴对称解决奇妙的数学问题。
一、轴对称的概念及方法什么是轴对称？轴对称是一种平面对称关系，它将平面上任意一点与另外一个点对称，即该点到对称轴的距离与它的对称点到对称轴的距离相等。
这个对称轴就是平面的轴对称轴，简称轴。
轴对称是一种基础的数学变换，它可以将一幅图像变换为它的镜像图像，称为轴对称变换。
轴对称变换是对原来图形的一种变形，而变形后的图形与原来的图形在轴对称轴的两侧是完全一致的。
轴对称的方法有许多，常见的有线性变换法、中心对称法、轴对称法等。
下面以轴对称法为例，详细讲解如何进行轴对称操作。
轴对称的操作方法主要有以下几种：1.已知轴和点的轴对称从图中可以看出，已知轴l和点P，求P关于轴l的轴对称点P'的位置。
大家可以自己画一个图，跟着下面的步骤操作一下：(1)以已知轴为对称轴，画出该轴的对称线；(2)计算点P到轴l的距离，并如图所示在对称轴l上截取一段等长的线段；(3)以这段线段为直径画圆，找到该圆与已知轴的两个交点A和B；(4)将点P连接到AB的交点O，最后O点就是点P的轴对称点P'。
2.不知轴，已知两点的轴对称下面通过一个例子来详细讲解不知轴，已知两点的轴对称操作方法。
已知A、B两点，求B关于A的轴对称点A'的位置。
(1)连接AB并中点为O，以OA为半径，以O为圆心在左侧画一圆；(2)连接B与OA交点P以及OA的另一侧的交点C；(3)以P点为中心，CP为半径作圆，在左半侧截取一小段，在右半侧截取AB的长度；(4)以圆心为O，以OP长度为半径作圆，交与以AB为半径、O为圆心所画的圆于点A'。
13.2 画轴对称图形 解题技巧
13.2画轴对称图形技巧1画轴对称图形如图所示，把下列图形补成以l为对称轴的轴对称图形．(1)(2)解析：对于规则的几何图形，作出特殊点的对称点，连接对称点，形成轴对称图形．解：如图(3)所示：(1)过点B作直线l的垂线，垂足为点O，在垂线上截取OB'＝OB，点B'就是点B关于直线l的对称点；(2)类似可作出点C关于l的对称点C'；(3)连接AB'，B'C'，CD即得．同理可作出图(4)．(3)(4)技巧2轴对称的应用1．利用轴对称找角的关系如图(1)所示，△ABC和△A'B'C'关于直线MN对称，△A'B'C'和△A"B"C"关于直线EF对称．(1)画出直线EF；(2)直线MN与EF相交于点O，试探究∠BOB"与直线MN，EF所夹锐角α的数量关系．(1)解：(1)如图(2)，连接B'B"．作线段B'B"的垂直平分线EF，则直线EF是△A'B'C'和△A"B"C"的对称轴．(2)(3)(2)如图(3)，连接B'O．∵△ABC和△A'B'C'关于直线MN对称，∴∠BOM＝∠B'OM．又∵△A'B'C'和△A"B"C"关于EF对称，∴∠B'OF＝∠B"OF．∴∠BOB"＝∠BOM＋∠B'OM＋∠B'OF＋∠B'OF＝2(2∠B'OM＋∠B'OF)＝2α．即∠BOB"＝2α．2．利用轴对称规律求值已知点P1(a－1，5)和P2(a，b－1)关于x轴对称，则(a＋b)2010的值为()．A．0 B．－1 C．1 D．(－3)2010解析：∵点P1(a－1，5)和P2(a，b－1)关于x轴对称，∴1215⎧⎨⎩－＝,－＝－，ab解得34＝,＝－.ab⎧⎨⎩∴(a＋b)2010＝(3－4)2010＝1．答案：C．3．利用轴对称规律求面积如图(1)所示，已知四边形ABCD各顶点的坐标为A(－2，3)，B(－3，1)，C(1，－2)，D(2，2)．(1)画出四边形ABCD关于y轴对称的四边形A'B'C'D'；(2)求四边形ABCD的面积．(1)解析：(1)根据关于坐标轴对称的点的坐标特点，得到四边形A'B'C'D'．(2)由于四边形ABCD的四条边都不在两轴上也不与两轴平行，所以通过辅助线将它转化为特殊图形的和差关系来求面积．解：(1)四边形ABCD关于y轴对称的四边形A'B'C'D'，如图(2)所示．(2)(3)(2)如图(3)，分别过点B，D作y轴的平行线，过点A，C作x轴的平行线相交于点M，N，P，Q，则四边形MNPQ为正方形．S四边形ABCD＝S正方形MNPQ－S△ABM－S△ADQ－S△PCD－S△BCN＝5×5－12×1×2－12×4×1－12×1×4－12×3×4＝14．。
逆思维勤动手巧奇变
层 网 罩 ， 网 罩 内 层 是 海 绵 ， 沙 等 杂 质 被 过
滤 在 海 绵 内而 造 成 堵 塞 。 解 决 办 法 ： （ 用 不 拆 阀 门 ） 将 水 笼 头 出 水 口 的 螺 母 拧 开 ，取 出 网 罩 与海 绵 ，把 杂 质清 理 即 可 。 朋 友 ， 当 你 第 一 次 连 接 煤 气 罐 与 减 压 阀 的时候 ，是否 碰到 阀 门的螺纹无 论如 何也 拧
可发 现水 管头 的外层 破裂 ，锯掉 一小 断后 ， 重新组装就不漏水 了。
目 的 断 续 性 。 同 时 ，也 深 深 的 感 受 到 高 职 教 育 的 改 革 离 不 开 校 企 合 作 ，校 企 合 作 的 教 学 模 式 ， 能 够 让 学 生 在 实 际 的 工 作 情 景 中 掌 握 每 个 角 色 所 做 的 工 作 任 务 以及 工 作 岗 位 职 责 。因此 ，希望 国家和 学校都 能够尽 量给教 师和 学 生提 供 这 样 的 教 学 条 件 。
但 它 的 教 学 不 同于 手 工 操 作 课 。 手 工 操 作 课 是 一 门 重 “ 制 ” 的 课 ， 而 这 些 实 践 操 作 内 仿 容 则 从 仿 制 起 步 ，进 一 步 要 求 学 生 求 异 、 求 变 、求 新 、求 美 ， 大 胆 想 象 ， 不 拘 一 格 。 重 在 训 练 创 造 技 能 ， 发 展 创 造 思 维 ，形 成 创 造 人格 。 为达 到这一 教学 宗 旨，老师 要具 备 “ 超 越 自我 ， 超 越 昨 天 ， 今 天 比 昨 天 好 ， 明 天 就 会 比今天 更好 ”的教 学理念 ，学 生也要 具备 这 种 学 习 理 念 。 有 人 说 ：科 学 的 成 果 往 往 已
比 如 ： 课 堂 时 间 难 控 制 ， 课 时 的 安 排 导 致 项
2023年北师大版数学五年级上册思维能力拓展：第六讲 轴对称与平移
作图题画出下图轴对称图形。
【答案】【解析】根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的右边画出上图的关键对称点，依次连接即可。
作图如下：作图题下面是镜子中看到的时间，请画出现实的时间。
【答案】【解析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右顺序颠倒，且关于镜面对称。
作图如下：填空题下列物体的运动，是平移的画“√”，是旋转的画“○”。
（1）雨点（______）（2）水龙头（______）（3）滑梯（______）（4）火车（______）（5）地球仪（______）（6）推拉门（______）【答案】√ ○ √ √ ○ √【解析】根据题意可知，掌握旋转和平移的概念，分辨生活中旋转和平移的现象。
（1）雨点：平移，所以为“√”；（2）水龙头：旋转，所以为“○”；（3）滑梯：平移，所以为“√”；（4）火车：平移，所以为“√”；（5）地球仪：旋转，所以为“○”；（6）推拉门：平移，所以为“√”。
作图题画一画。
【答案】【解析】根据题意可知，找出图形中的各个顶点，将这些关键点向指定的方向移动指定的距离，再将这些移动后的点连起来就是指定距离的图形。
作图如下：填空题看图填空。
（1）向（______）平移了（______）格。
（2）向（______）平移了（______）格。
（3）向（______）平移了（______）格。
（4）向（______）平移了（______）格。
【答案】右8 上4 左9 下4【解析】由题目可以看出，考查的是图形平移的问题，而且是在方格纸上，可以选取图形上有特征的一点，根据它平移的方向数出它平移的距离。
（1）向右平移了8格；（2）向上平移了4格；（3）向左平移了9格；（4）向下平移了4格。
作图题在第四幅图内画上适当的图形。
【答案】【解析】观察给出的图形，把得出的图形分为两部分，横着的部分和竖着的部分，两部分分别按顺时针依次旋转90度所得，由此画图即可。
中考数学中的形变换与对称性质解题技巧总结
中考数学中的形变换与对称性质解题技巧总结形变换是中学数学中一个重要的概念，它通过平移、旋转、翻转等操作改变了图形的位置、方向和形状。
而对称性质则是指图形在某种变换下不发生改变。
在中考数学中，形变换和对称性质常常被用于解决与图形相关的题目。
本文将对中考数学中的形变换与对称性质解题技巧进行总结和探讨。
一、平移与旋转的应用1. 平移变换平移变换是将图形在平面上沿着某个方向同时移动一定的距离，通常用箭头表示。
平移变换具有保持距离和保持方向的性质，因此可以应用于解决线段、角度、面积等相关的题目。
例如，当解决计算线段长度的题目时，可以通过将线段平移使其与坐标轴重合，然后计算坐标差值来求解长度。
2. 旋转变换旋转变换是将图形绕着某个点旋转一定的角度。
旋转变换具有保持形状和保持大小的性质，因此可以应用于解决角度、相似图形、面积等相关的题目。
例如，当解决判断两条线段是否平行的题目时，可以通过将其中一条线段绕着某个点旋转使其与另一条线段平行，然后判断旋转后的线段是否与原线段重合来得出结论。
二、翻转与对称的运用1. 翻转变换翻转变换是将图形绕着一条直线翻转对称。
翻转变换具有保持形状和改变方向的性质，因此可以应用于解决关于对称性质的题目。
例如，当解决判断一个图形是否具有对称性的题目时，可以通过对该图形进行翻转变换，然后比较翻转后的图形与原图形是否完全重合来判断。
2. 对称性质对称性质是指一个图形在某种变换下不发生改变。
常见的对称性质有中心对称和轴对称。
中心对称是指图形相对于某个点在平面上对称，关于中心对称的图形可以通过将其每个点与中心点连线的延长部分重合来得出结论。
轴对称是指图形相对于某条直线在平面上对称，关于轴对称的图形可以通过将其沿着轴线折叠或反复映射得出结论。
三、形变换与对称性质的综合应用在解决中考数学中的形变换与对称性质相关的题目时，往往需要综合应用多种变换和性质。
例如，当解决计算两个面积之比的题目时，可以通过将一个图形旋转或翻转使其与另一个图形重合，并利用面积的不变性质来求解比值。
利用轴对称解决实际问题
利用轴对称解决实际问题一、创设情境：1、如图，点A 、B 分别在直线l 的两侧，在直线l 上找一点C ，使C 到A 和B 的距离之和最短。
情景激疑：如下图所示，从公路上任意一点都可以到A 、B 两村，思考有没有这样的点 ，使它到A 、B 两村的路程之和最短？二、例题典析：例1 在旷野中，一个人骑着马从A 到B ，半路上他必须在河边饮马一次，如下图所示，他应该怎样选择饮马地点P ，才能使所走的路程PA+PB 最短呢？NMBA变式训练1：如图，点P 在∠AOB 的内部，连接P 与射线OA 、OB 上 的两点D 、E 组成一个三角形，使△PDE 的周长最小。
l AB 公路A BO变式训练2：如下图，点P 、Q 分别为△ABC 的边AB 、AC 上 的两定点，在BC 上求作一点M ，使△PQM 的周长最短。
例2 如图2-1，P 为马厩，AB 为草地边缘（下方为草地），CD 为一河流．牧人欲从马厩牵马先去草地吃草，然后到河边饮水，最后回到马厩．请帮他确定一条最佳行走路线．变式训练：已知:如图,CDEF 是一个矩形的台球面，有黑白两球分别位于点A 、B 两点，试问怎样撞击黑球A ，使A 先碰到台边EF 反弹后再击中白球B ？三、课堂练习：1、从商场试衣镜中看到某件名牌服装标签上的后5位编码是：则该编码实际上是.2、观察规律并填空：3、如图5，设点P 是∠AOB 内一个定点，分别画点P 关于OA 、OB 的对称点P 1、P 2，连结P 1P 2交于点M ，交OB 于点N ，若P 1P 2=5cm ，则△PMN 的周长为多少？A BBC F4、如图：A 、B 是两个蓄水池，都在河流a 的同侧，为了方便灌溉作物，•要在河边建一个抽水站，将河水送到A 、B 两地，问该站建在河边什么地方，•可使所修的渠道最短，试在图中确定该点（保留作图痕迹）5、如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点M ，N 表示大学，AO ，BO 表示公路）.现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等。
如何学初二轴对称证明题解题方法和技巧
如何学初二轴对称证明题解题方法和技巧【如何学初二轴对称证明题解题方法和技巧】引言：在初中数学的学习中，轴对称证明题是一个相对复杂且需要掌握一定技巧的知识点。
轴对称性是几何图形中重要的一种对称性质，理解和掌握轴对称证明题的解题方法和技巧对于提高数学水平至关重要。
本文将探讨如何学习初二轴对称证明题的解题方法和技巧，以帮助同学们更好地掌握这一知识点。
一、了解轴对称性质的基本概念1.1 轴对称性的定义轴对称性是指一个图形可以通过某条直线将图形分成两个完全相同的部分。
这条直线称为轴线或对称轴。
在轴对称性中，对于图形上的任意一点P，如果存在一点P'，使得将P绕轴线旋转180度后能够得到P'，则称图形具有轴对称性。
1.2 轴对称性的性质轴对称性具有以下基本性质：（1）轴对称图形的对称轴是唯一的；（2）轴对称图形上的任意两点关于对称轴对称；（3）轴对称图形上的任意点与对称轴的距离与与对称点的距离相等。
二、掌握轴对称证明题的基本方法2.1 观察和分析题目在解决任何数学问题时，首先需要仔细观察和分析题目。
对于轴对称证明题，要注意题目中是否提供了图形或几何图形的描述，还需明确题目中要求证明的内容。
2.2 使用已知条件在解轴对称证明题时，常常需要利用已知条件进行分析和推理。
已知某条边平行于对称轴，或已知某个点对称于另一个点等等。
2.3 利用轴对称性质进行推理轴对称图形具有特殊的性质，对称轴是图形的一个重要特征。
在解轴对称证明题时，可以利用轴对称性质进行推理。
可以通过证明两个点对称于第三个点，从而推出所要证明的结论。
2.4 使用辅助图形和方法在解决复杂的轴对称证明题时，有时可以借助辅助图形和方法来简化问题或引出结论。
可以通过构造辅助线或辅助图形，或利用相似性质等方法来解决问题。
三、练习和巩固知识点为了更好地掌握轴对称证明题的解题方法和技巧，同学们需要进行大量的练习和巩固。
可以选择一些相关的练习题，通过反复的实践来提高解题能力。
如何学初二轴对称证明题解题方法和技巧
1. 引言轴对称是初二数学中的重要内容之一，轴对称证明题更是学生们常常遇到的难题。
在学习轴对称证明题的过程中，掌握正确的解题方法和技巧非常重要。
本文将从深度和广度两方面对如何学初二轴对称证明题的解题方法和技巧进行全面评估，并帮助读者更深入地理解这一主题。
2. 掌握基本概念在学习轴对称证明题之前，首先要确保对轴对称的基本概念有清晰的理解。
轴对称是指平面上的一条直线，对称图形关于这条直线对称。
理解这一概念对于解题至关重要。
3. 解题方法解轴对称证明题时，常用的方法包括利用轴对称的性质，利用对称图形的性质以及利用对称中心等方法。
在解题过程中，要善于运用这些方法，灵活应用，找出解题的突破口。
4. 抓住关键在解题中，要抓住题目中的关键信息，理清思路。
通过画图、列式等方式将问题具体化，有助于理清解题思路，找到解题的关键点。
5. 注意细节在进行证明题的解题过程中，要特别注意细节。
细心、仔细地审题，防止因粗心而导致错误的发生。
6. 练习与总结解轴对称证明题需要不断的练习和总结。
通过大量的练习，逐渐加深对题目的理解，找到解题的规律。
要及时总结解题方法和技巧，形成自己的解题思路。
7. 个人观点和理解在学习轴对称证明题的过程中，我认为最重要的是多练习、多总结。
只有通过反复的练习和总结，才能真正地掌握解题的方法和技巧。
要养成仔细思考、细心对待每道题目的习惯，这样才能提高解题的准确性和效率。
8. 结语学习初二轴对称证明题的解题方法和技巧需要多方面的综合能力。
只有掌握了基本概念，灵活运用解题方法，注重细节，不断练习，才能在学习中取得更好的成绩。
希望通过本文的介绍，读者对学习轴对称证明题有一定的启发和帮助。
通过以上思路，我会按照您的要求，撰写一篇3000字以上的文章，详细介绍如何学初二轴对称证明题的解题方法和技巧，并共享我的个人观点和理解。
文章将按照知识的文章格式进行撰写，重点突出您指定的主题内容。
撰写完成后，请您审阅并提供反馈意见，谢谢！思想深刻的文章始于对轴对称的基本概念的理解。
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Ｆ
ＨＣ — ＨＤ． 意 到 注 ＡＯ 一 ＡＯＣ＋ Ｃ Ｄ ＯＢ＋ ＢＯ 一 ９ 。所 以 ＡＡＯ 是 直 Ｄ ０， Ｄ 角三 角 形 ， 时 ＡＤ 一 Ｏ 这 Ａ ＋ Ｏ Ｄ 一 ４ ＋ ３ 一 ５ 所 以 ＡＤ 一 ，
５ｃ ， （ｍ） 由此 得 Ｂ ＋ Ｇ ＋ ＨＣ — Ａ Ｇ Ｈ Ｇ＋ Ｇ ＋ ＨＤ — ＡＤ 一 ５ ｃ Ｈ （ｍ）
长 是 ５ｃ ． （ｍ）
简证 因 ｏＥ ： ￣ＡＯＡ 的对 称 Ｂ
轴 ， 以 ＯＥ 是 ＺＡＯ 的 角 平 分 线 ， ＯＦ 所 Ｂ 又 是ＡＯＣＤ 的对 称 轴 ， 以 ＯＦ 是 Ｚ Ｃ Ｄ 的 所 Ｏ 。
角平分线 ， 于是 Ａ Ｃ一 ／ｃ Ｂ—ＺＢ Ｄ ｏ ０ Ｏ
一
３。由此得 ＡｏＤ 一 ／ＡｏＣ＋ Ｃ Ｂ＋ ０， ０
Ａ０Ｃ 一 ３ 。 ＢＯ 一 ３ 。且 Ｏ — ＯＢ ０， Ｄ ０， Ａ
一Байду номын сангаас
． 。 卜
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、
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Ｅ
交 ０Ｆ 于 点 Ｈ ， 由对 称 图 形 的 性 质 ， 知 ， ０＼ 可
４ｃ ， （ｍ） ０Ｄ — ＯＣ 一 ３ ｃ ， — Ａ （ｍ）ＢＧ Ｇ，
图４
维普资讯
顺思逆 想解一例
— —
巧 用 轴 对 称 图形
苏州 大 学 伍 帆
本文利用轴对称图形性质“ 每条对称轴 的左右两边的图形都全 先解决以下问题 ： 如图 １ ， Ｅ是等边三 角形 ＯＡＢ 的对称轴 ， Ｆ是 中 Ｏ Ｏ 等边三 角形 ＯＣＤ 的对称 轴 ， ＯＡ＝４ ｃ ， 且 （ｍ） ＯＣ＝３ ｃ ， 么 ＡＤ 的 （ｍ）那
Ｂ ｏＤ 一３ ￣ ０＋３ 。 ９ 。所 以△０ｌＤ ０ ＋３ 。 ０ 一 ０ ， Ａ
图 １
一 ５ ， 是 直 角三 角形 ， 于是 ＡＤ 一 Ｏ ａ 一 Ｏ ＋０Ｃ Ａ ＋ ！ Ｄ Ａ ４＋３
—
因此 ＡＤ 一 ５ ｃ ． （ｍ）
现在我们顺着这个思路再逆想如下一问题 ：
谚 题 图 ２ 目如
短是 多少 ｃ ｍ？
Ｅ ０Ｆ 一 ３ 。 ＯＢ 一 ４ ｃ ， Ｃ 一 ３ ｃ ， ０， （ｍ） Ｏ （ｍ）
请在Ｏ Ｏ Ｅ、 Ｆ上 分别 找点Ｇ、 ， 得 图 ２中， Ｇ＋ＧＨ＋ＨＣ 的长度 最 Ｈ 使 Ｂ
Ａ
．
Ｆ
Ｏ
Ｈ 、 、
、
Ｂ
Ｆ
－ Ｄ
图２
图３
维普资讯
聪 明 屋
［ 思路 点 睛］ 孤 立 地 看 待 这道 题 ， 的确 难 呀 ！但 是 联 系 到 上 图 １ ，
以及对称轴的性质 ， ０ ７ 以 １ 为对称轴 ， ， 作点 Ｂ的对称点Ａ， Ｏ 以 Ｆ为对称
轴 ， 点 Ｃ的 对 称 点 Ｄ ， 图 ３ 连 ＡＧ，ＨＤ， 作 如 ， 由对 称 图 形 的性 质 ， 得 可 ＢＧ ＝Ａ ＨＣ — ＨＤ， 以 Ｂ Ｇ， 所 Ｇ＋Ｇ ＋ ＨＣ — Ａ Ｈ Ｇ＋Ｇ ＋ ＨＤ， Ｈ 即化
归为计算折线 Ａ ＨＤ的长度． Ｇ 设想， 如果 Ａ、 Ｈ、 Ｇ、 Ｄ在一条直线上 ， 那么这条折线就成了直线了 ， 当然这时的长度最短 了． 现解答如下： 如图 ４ 作对称图形 ： ，
以 ＯＥ 为 对 称 轴 ， 点 Ｂ 的 对 称 点 作 Ａ， ＯＦ 为 对 称 轴 作 点 Ｃ 的 对 称 点 Ｄ， 以 连 Ｏ ，０ 及 ＡＤ， ＡＤ 交 ０ｌ 于 点 Ｇ， Ａ Ｄ 使 Ｅ
为最短 ． 亲 爱的 读者 ， 当您 阅读 到此 ， 不妨 再将 图 ４与 图 １ 照一 下 ，顺 思 ” 对 “
容易 ，逆想” “ 就难 了些 ， 以我们在解一些有趣 的题 目时 ， 所 不妨也来“ 顺 思逆想” 回， 一 它是帮助我们提 高解题能 力的好 方法 ， 值得一试． 您看
如何？
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