电路分析基础第11章耦合电感和理想变压器
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第11章 耦合电感和理想变压器
11 22
证毕。
k = 1 称为全耦合 。 11 k 接近1 称为紧耦合 。 12
2212
k 较小 称为松耦合 。
i1
i2
k = 0 称为无耦合 。
2020/3/27
11.2 含耦合电感的电路
一. 耦合电感的串联
i 顺接串联：
L1 M L2
u1
u2
u
iL u
等效电感： LL 1L22M 证： 左边电路的VAR：
u1
2 2221
i2 u2
11、 22为自感磁通链，21、 12为互感磁通链。 L1、L2分别为线圈1和线圈2的自感，M21、 M12为耦 合电感的互感。可以证明M21＝M12＝M。
第1个线圈总的磁通链为 1＝ 11＋ 12＝L1 i1+M i2 第2个线圈总的磁通链为 2＝ 22＋ 21 ＝L2 i2+M i1
2020/3/27
二. 耦合电感的并联
同侧并联：
+i
M
u
u L 1d 1d i tM d2i dt u L 2d2i d tM d1d i t-
L1
i1
L2
i2
L
正弦稳态电路中，有
U j L 1I 1j M I 2
U j L 2I 2j M I 1
解得：
I 1j 2 M L 2 2 j2 L M 1 L 2 U ,I 22 jM L 2 1 j2 L M 1 L 2 U
理想变压器是人为定义的理想化的耦合元件。
一、 理想变压器的定义（VAR） i 1
i2
+
+
u2(t)nu1(t)
i2(t) (1n )i1 (t) u 1
第十一章 耦合电感和理想变压器
相对位置，而且实际上的线圈都要包上绝缘层，有的还要经过浸
漆，甚至是密封的，所以线圈的实际绕向是看不出来的。电工技
术中，一般用标注同名端的方法来反映线圈的相对绕向和相对位
置。
7
三、同名端及其判别法
1、同名端的含义（定义）：
当两线圈中的电流都是从同名端流入时，产生的互感磁通与 自感磁通是同方向的。也就是说，分别从两线圈的某一端通同一 方向的电流，若两线圈建立（产生）的磁通互相加强，则该两端 为同名端。反之，若相互削弱，则该两端为异名端。
I2
●
– jωMI2 – ●
(b)
即
同侧并联等效电感为
L
L1L2 M2 L1 L2 2M
jωL2
+
●●
jωM(I1–I2)
–
14
﹡2、异名端并联（异侧并联）
电路如图(c) 所示，其等效相量模型如图(d) 所示。
M
●
由图(d) 列网孔方程为：
+ ●
u i1 L1 i2 L2
●
●
●
●
●
jωL1I1 – jωL1I2 – jωM I2 = U
+
●
●
+
u1 L1 L2 u2
–
–
(a)
i1 M
i2
u1 L1
–
M
d
i
+
2
dt –
L2
+
M
d
i1
– dt
u2
–
i1 (c)
i2
+
+
+
●
u1 L1 L2
李瀚荪《电路分析基础》(第4版)章节题库-第11章 耦合电感和理想变压器【圣才出品】
第11章 耦合电感和理想变压器一、选择题1．如图11-1所示是一个全耦合的耦合电感元件，其两个绕组L1＝L2＝1H，两绕组串联连接，通过的电流i＝1 A，耦合电感元件所储磁能为（）J。
图11-1A．0.5B．1C．2D．0【答案】D2．如图11-2所示耦合电感电路中，其去耦等效电路为（）。
图11-2A．B．C．D．【答案】B3．如图11-3所示含理想变压器的电路中，欲使负载电阻R。
获得最大功率，则变比n和所获得的最大功率值为（）。
图11-3【答案】A【解析】欲使负载电阻R。
获得最大功率，则负载电阻折算到理想变压器原边后的等效电阻应等于电源内阻，即故可求出n＝2。
此时负载电阻所获得的最大功率为4．两个自感系数为L1、L2的耦合电感，其互感系数M的最大值为（）。
A．L1L2B．C．D．【答案】D5．如图11-4所示含理想变压器电路的输入电阻为（）Ω。
图11-4【答案】C【解析】设参考电流如图11-5所示。
由图11-5有所以 图11-5二、填空题1．如图11-6所示电路中，已知线性非时变耦合电感L1＝4 H，L2＝3 H，M＝2 H，则从A、B端看进去的等效电感L AB为______H。
图11-6【答案】38【解析】对图11-6所示电路进行互感去耦等效，可得如图11-7所示的等效电路，有等效电感L AB＝5×（－2）/5＋（－2）＋6＝8/3H。
图11-72．如图11-8所示电路的等效电感L ab＝______H。
图11-8【答案】73．如图11-9所示含耦合电感的电路中，若L＝M，则电路的入端（复）阻抗为______。
图11-9【答案】三、计算题1．如图11-10所示含耦合电感电路中，互感M＝30H，t＝0时S闭合，试求t≥0时的一次电流i1和二次电流i2。
图11-10解：如图11-10所示电路中的耦合电感为全耦合电感，其等效电路如图11-18．1所示，其中图11-11（a ）可表示成图11-11（b ）所示等效电路。
李瀚荪电路分析基础第十一章耦合电感和理想变压器
§1 基本概念
11-2
(1) 互感电压
i1 21 u2
i1
φ21
1
+
u1 N1
-
1＇ 线圈Ⅰ
(b)
i1
1
+
u1 N1
-
1＇ 线圈Ⅰ
φ21 φs1
2
+
N2 u（2 开路）
-2＇
线圈Ⅱ
-2
(a)
N2 u（2 开路） 两次运用右手螺旋法则，
确定i1、u2的参考方向后，
+2＇
方可运用
线圈Ⅱ
u2
dN2 21
从而i1也必须为零。在非零u1下，L1应→∞。类似地可说
明L2→∞。
(c)采取技术措施可力争实现上述两条件。 设计精良的变压器可认为是理想的； 一般变压器
也可用理想变压器为核心构成它的模型。
*(2)全耦合变压器 只满足条件(a)
11-24
+i1
- u1
i1＇=0
- L1 u+1
iφ
1:n
+
u-2
i2=0
j10Ω
j15Ω -j20Ω
11-13
I1
15Ω
+
- Us
j 10Ω
Zref
解 (a) 求 I1
回路2对回路1
Z ref
2M 2
Z 22
52 25 j5 j15 j20 j5
I1 15
US j10
j5Ω
150 15 j15
150 0.707 45 A 2 1545
(b) 求 I2
改变，公式符号须作改变。
1
若在二次侧外接电阻RL
第11章耦合电感和理想变压器2-PPT文档资料
L1i1 Mi2 Mi1 L2i2
u1
d1 dt
u2
d 2 dt
u1 L1 dd1itMdd2it
u2
Mdd1itL2
d2i dt
u1 L1 dd1itMdd2it
u2
Mdd1itL2
d2i dt
u1uL1uM 12
u2uM 21uL2
uL1，uL2 —自感电压 uM12，uM21—互感电压
jMU S
(M)2 Z1 1
Z1 1 jL2
R2
ZL
j M U S
Z 11
( M )2 Z 11
Z 22
例1:写出图示互感线圈端电压u1和u2的表达式
+ i1 M i2 +
+ i1 M
i2 +
u1 L1
L2
u2
_
_
u1L1dd1it+
Md2i dt
u2Mdd1it+ L2dd2it
u1 L1 L2 u2
_
_
u1
Ld1i –
dt
Md2i dt
u2– Mdd1it+ L2dd2it
例2
2e2tA
(R 1j L 1) I1j M j L 2 j M R I2 1 Z LU S
解:
R1
U
+ S_
I1 j_L1
jMI2
+
R2
jL2 I 2
+_jMI1
ZL
I1 R1jL1jU SL2( M R)22ZL
令 R1jL1Z11 ——初级回路自阻抗
耦合电感元件和理想变压器
22
L1 M L2 M L1 L2 M 2 LM L1 M L2 M L1 L 2 2M
L1 M L2 M L1 L2 M 2 L M L1 M L2 M L1 L 2 2M
图 5-10 两个耦和电感的并联
2
5.1 耦合电感元件
5.1.1 耦合电感的概念 图5-1是两个相距很近的线圈（电感），当线
圈1中通入电流 i1时，在线圈1中就会产生自感磁
通Φ11，而其中一部分磁通Φ21 ，它不仅穿过线 圈1，同时也穿过线圈2，且Φ21≤Φ11。同样，若 在线圈2中通入电流 i2，它产生的自感磁通Φ22， 其中也有一部分磁通Φ12不仅穿过线圈2，同时也
(d)、(e) 电路来代替。可以看出：受控电压源（ 互感电压）的极性与产生它的变化电流的参考方 向对同名端是一致的。 这样，将互感电压模拟成受控电压源后，可直
接由图5-5(d)、 (e)写出两线圈上的电压，使用这
种方法，在列写互感线圈u—i关系方程时，会感 到非常方便。
15
5.2 耦合电感的去耦等效
图 5-4 同 名 端
12
有了同名端规定后，像图5-4(a)所示的互感线 圈在电路中可以用图5-5(b)所示的模型表示， 在图5-5(b)中，设电流i1、i2分别从a、d端流入， 磁通相助，如果再设各线圈的 u、i为关联参 考方向，那么两线圈上的电压分别为 di1 di2 u1 L1 M dt dt di2 di1 u 2 L2 M dt dt
我们以后不再加下标，一律用 M 表示两线圈的互 感系数，简称互感。互感的单位与自感相同，也 是亨利（H）。 因为Φ21≤Φ11 ，Φ12≤Φ22 ，所以可以得出
5
M 21
L1 M L2 M L1 L2 M 2 LM L1 M L2 M L1 L 2 2M
L1 M L2 M L1 L2 M 2 L M L1 M L2 M L1 L 2 2M
图 5-10 两个耦和电感的并联
2
5.1 耦合电感元件
5.1.1 耦合电感的概念 图5-1是两个相距很近的线圈（电感），当线
圈1中通入电流 i1时，在线圈1中就会产生自感磁
通Φ11，而其中一部分磁通Φ21 ，它不仅穿过线 圈1，同时也穿过线圈2，且Φ21≤Φ11。同样，若 在线圈2中通入电流 i2，它产生的自感磁通Φ22， 其中也有一部分磁通Φ12不仅穿过线圈2，同时也
(d)、(e) 电路来代替。可以看出：受控电压源（ 互感电压）的极性与产生它的变化电流的参考方 向对同名端是一致的。 这样，将互感电压模拟成受控电压源后，可直
接由图5-5(d)、 (e)写出两线圈上的电压，使用这
种方法，在列写互感线圈u—i关系方程时，会感 到非常方便。
15
5.2 耦合电感的去耦等效
图 5-4 同 名 端
12
有了同名端规定后，像图5-4(a)所示的互感线 圈在电路中可以用图5-5(b)所示的模型表示， 在图5-5(b)中，设电流i1、i2分别从a、d端流入， 磁通相助，如果再设各线圈的 u、i为关联参 考方向，那么两线圈上的电压分别为 di1 di2 u1 L1 M dt dt di2 di1 u 2 L2 M dt dt
我们以后不再加下标，一律用 M 表示两线圈的互 感系数，简称互感。互感的单位与自感相同，也 是亨利（H）。 因为Φ21≤Φ11 ，Φ12≤Φ22 ，所以可以得出
5
M 21
电路分析第11章耦合电路和理想变压器
M
i2
2H 1
+ u1 –
1H
M 0.5 2
列回路方程
I1
I2
j2 1 + jMI1 –
jI1 j0.5 2I 2 U (1 j 2 ) I2 j0.5 2I1 0
j 1.5 2 U ( ) I1 1 j 2 U j 1.5 2 I 1 j 2
R1 I1 jM
US
+ – jL1
1 jC
I 2 R2
解：回路法
( R1 jL1 1 ) I1 jMI 2 U S jC 1 ( R2 jL2 ) I 2 jMI1 0 jC
jL2 1 jC
R1 I1
US
jL1 – – jMI 2 + +
uM 2
di1 dt
uM 2 di1 M 21 dt
4
di M 21 1 dt
2.互电感 i1
+
Φ12
i2
+
自感电压
uL 2
di2 L2 dt
dt
u1
-
Φ 22 Φ22
u2
-
互感电压 u M di2 M1 12
uM 1 M 12 di2 dt
i2 流过第二个线圈产生自感磁通Φ22, 其磁链Ψ22=L2i2且 在第一个线圈产生互感磁通Φ12, 其磁链Ψ12=M12i2 M12=M21=M
M称为互电感，单位亨利（H)
5
2.互电感 i1
+
Φ12 i2
+ +
Φ21 i1
u2
-
电路分析基础11耦合电感和理想变压器
互感的测量方法： 顺接一次，反接一次，就可以测出互感：
L顺 L反 M 4
二、含耦合电感电路的一般分析
I1 +
+ M + R1 + u1 * * u2 u L1 L2 – 时域模型 如上，列写VCR方程
R1 jL1
+
I2
U
U1 jL2
+
R2
R2
–
+ -
+ - -
U2
jMI2
jMI1
-
相量模型 U1 jL1 I1 jMI 2 U 2 jMI1 jL2 I 2 U R I
对互感电压，因产生该电压的电流在另一线圈上，因 此，要确定其符号，就必须知道两个线圈的绕向及磁通方 向。这在电路分析中显得很不方便。
11
s
0
N1 i1 N2 N3
+
*
u11 –
+ u21 – + u31 –
*
di 1 u21 M 21 dt di 1 u31 M 31 dt
引入同名端可以解决这个问题。
专业基础课
电路分析基础
教师：张 荣
第十一章 耦合电感和理想变压器
耦合电感
互感 耦合电感的VCR 耦合系数 空心变压器 反映阻抗 理想变压器的VCR 理想变压器的阻抗变换
11. 1 互感和互感电压
一、 互感和互感电压
11
21
N1 i1 + u11 – + N2 u21 –
U1
–
U2
+
2. 理想变压器的功率性质： 理想变压器的特性方程为代数关系，因此无记忆作用。 i1
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意义：k值的大小取决于两个线圈的相对位臵 及磁介质的性质。衡量两个线圈耦合程度。 一般地：0≤K≤1 当 K=1 时，全耦合 当 K=0 时，无耦合 当 K≈1 时，紧耦合 当 K＜＜1时，松耦合
二、耦合电感的伏安关系：
+
i1
M L2
i2
1 L1i1 M i 2 2 M i1 L2i 2
+ u2
_
u1 L 1
d 1 u1 dt
d 2 u2 dt
_
di1 di 2 u1 L1 M dt dt di1 di 2 u2 M L2 dt dt
di1 di 2 u1 L1 M dt dt di1 di 2 u2 M L2 dt dt
u1 u L1 u M12
第十一章
耦合电感和理想变压器
11-1 耦合电感的伏安关系
11-2 含耦合电感电路的分析方法 •等效电路法（基本方法）
•耦合电感线圈间的串并联
•去耦等效电路法（有公共端相连） 11-3 空心变压器电路的分析 11-4 理想变压器的伏安关系 11-5含理想变压器电路的分析方法
11-1
耦合电感的伏安关系
11
u2
12
22
1
自磁通 互磁通
21
_
2
自磁链 互磁通
1 11 12 2 22 21
1 11 12 2 22 21
②仿照自感系数定义，定义互感系数为
11 L1 i1 22 L2 i2
可以证明
12 M12 i2 21 M 21 i1
2
同名端的含义（应用）：产生互感电压的电流与 互感电压的参考方向对同名端一致。 求右侧线圈的互感电压： 例 3： i1 a M c
大小：
M
di1 dt
极性： c高d低
L1
b
L2
d
总结：
（1）耦合电感伏安关系一般式：
di1 di 2 u1 L1 M dt dt di1 di 2 u 2 M L2 dt dt
由KVL
I2 jL2
+ _jMI1
ZL
(R1 jL1 ) I1 jM I2 U S ( jL2 R 2 ZL ) I 2 jM I1
j M I1 (R 1 jL1 )I1 jM U S jL 2 R 2 ZL
u2 u M 21 u L2
u L1，u L 2 —自感电压 u M12，u M 21 — 互感电压
线圈相对绕向不同： i1 +
11
12
+
u1 _
22
u2
21
i2
_
di1 di 2 u1 L1 M dt dt di1 di 2 u 2 M L2 dt dt
线圈相对位臵不同： i1 + u1 _ i2 +
相量模型
4 0 V
+ I1 2
j4
I1
_
-j2 4 I2 j6 I2
(2 j4 j6) I1 j6 I2 4 j6 I ( j6 j2 4) I 0
1 2
解得:
A 40 . 24 I1 0.47 4 . 76 I 2 0.498
. . . . . .
.
.
.
U jωL1 b
( L1 M )( L2 M ) L1L2 M 2 L M L1 L2 2 M L1 L2 2 M
三、去耦等效电路法——当耦合线圈有公共端时等效电路
1.同名端为公共端时：
+ u1
M
i1
L1
L 2 u2
i
.
i2
+
_
.
_
.
j L U 1 1I1 jMI 2 j L U I j M I1 2 2 2 I I I
（4）耦合电感的相量模型： I1 jM I2
+ +
jL1 U 1
_
jL2
U 2
_
jL U I j M I2 1 1 1 jM U I j L 2 1 2I2
jL1 、 jL2
ZL1、 ZL2 自感抗
jM
ZM 互感抗
通过下列例题对上述总结加以理解和巩固
二、耦合电感线圈间的串并联： ※串联（记住结论） 1.串联顺接 电流i均从同名端流入，磁场方向相同而相互增强。 i M di di di di a u( t ) L1 M L2 M dt dt dt dt L2 L1 di1 ( L1 L2 2 M ) dt b a di L dt L 结果：等效为一个电感 b
11 12
di1 di 2 u1 L1 M dt dt
di1 di 2 u 2 M L2 dt dt
问题：
22
21
u2 怎么确定互感电压正负？ _
三、同名端：
定义：设两电流都从打 “•” 的端子流入，若它们 所产生的总磁通在其线圈中是相互加强（即同 方向）,打 “•” 的两个端子称为同名端。不 打 “ •” 的两个端子亦为同名端。 例1.线圈 1的端子 a打“•”，线圈2的哪个端子应该打 2 1 “•”？ 1 2 i1 • • a c b d 例2.两线圈的同名端如图所示,右侧线圈的绕向如何？ i2 i1 1 • •
耦合电感是耦合线圈的理想化电路模型，也称互感。 一、概念与定义
1.孤立电感：一个电感线圈
+ u –
i
N
（1）磁链是线圈中电流的函数
f (i) N Li
（2）磁场随时间变化产生电压
di uL dt
d di u L dt dt
2. 耦合电感：①定义：具有磁耦合的两个线圈。 i1 + u1 _ i2 +
L L1 L2 2M
2.串联反接 电流i从L1的同名端流入，则从L2的同名端流出，
磁场方向相反而相互削弱。 M i di di di di a u( t ) L1 M L2 M dt dt dt dt L1 L2 di1 ( L1 L2 2 M ) dt b di L dt a 结果：等效为一个电感 L L L1 L2 2M b
+
j0.5
+
,U . 求U 1 2
10 30 A
解：
j2 U 1 _
j1 U
2
_
30 U1 ZL1I1 j2 10 V 120 =20 30 U 2 U M ZM I1 j0.5 10 60 =5 V
例4: 在图(a)所示电路中，已知两线圈的互感 M=1H，电流源i1(t)的波形如图(b)所示， 试求：开路电压uCD的波形。
di 2 + L 2 dt
例2
+ u1 2H _
0.5H
+ 2H
求 u1 , u 2
u2 _
2e A
2 t
di1 d 2 t 解： u1 L1 2 2e dt dt 2 t 8e V d 2 t di 1 u2 M 0.5 2e dt dt 2 t V 2e
例3
2）电压电流的伏安关系一般式：
2 Mi1 L2i 2
di1 di 2 u1 L1 M dt dt di1 di 2 u 2 M L2 dt dt 牢记：① 电流的流入端与互感电压正极性端是同名端 ② 端口电压与电流参考方向关联时，自感电压 取正，否则取负。 返回
11-2
1 2
L1-M +
.
L2 -M M i2 + u2
U1 j(L1 M) I1 jM I U 2 j(L 2 M) I 2 jM I
. .
u1
i1
_
_
2.异名端为公共端时 原电路
M
L1 L2
等效电路
L1 M
L2 M
M
小结： 耦合电感的等效电路（三种）：
1） 基 本 方 法 2） 耦 合 电 感 的 串 并 联
含耦合电感电路的分析方法
一、基本方法：——等效电路法 把耦合电感的两个线圈看作是两个支路，由耦合 电感的伏安关系，可推知等效电路为： i1 M i2 i1 i2 + + + + L1 L2 u2 u1 + u1 L + u di L2 2 di1 1 M 2 M _ _ dt dt _ _ _ _ i1 i2 M i1 i2 + + + + L1 L 2 _ _ u1 u1 u L L1 2 di1 u2 di 2 2 M M _ dt + dt _ + _ _
M12 M21 M
意义：互感大小反映一个线圈电流在另一个线 圈中产生磁链的能力。单位：亨利 (H) 得到
1 L1i1 M i 2 2 M i1 L2i 2
③耦合电感特点：表征两线圈的参数有三个，即： L1 、 L2 ——自感
M——互感
④耦合系数 K 定义
M 2112 k 11 22 L1L2
di1 di 2 u1 L1 M dt dt di1 di 2 u 2 M L2 dt dt
（2）自感电压正、负号的确定：
与孤立电感相同，取决于线圈端电压与电流的 参考方向是否关联，关联为正号，否则取负号。
（3）互感电压正、负号的确定：
a.首先根据同名端，由产生互感电压电流的流入 端确定互感电压的正极性端。 b.然后根据 u1 、u2 的参考极性，确定极性一致 为正，反之为负号。