2012年中国科学院大学数学分析考研试题及解答考研真题考研试题硕士研究生入学考试试题
2012中科院-概率论与数理统计-考研真题
中国科学院研究生院 2012 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 科目名称：概率论与数理统计
前两个步骤能按时完成的条件下，第三个步骤能按时完成的概率为 0.9，问前二 个步骤能按时完成，但第三个步骤却失败的概率是多少？
4
(共 15 分) 一个盒子中有 5 个红球和 8 个蓝球， 从中无放回地抽 3 个球， 设X
是 3 次中得到红球的次数， Y 是 3 次中得到蓝球的次数，试求 X 与 Y 的协方差
服从 [0, ] 上的均匀分布.
（a） 试求针与线相交的概率； （b） 设计一个投针实验用以估计圆周率 .
3 （共 15 分）有一个实验需要三个步骤才能完成，第一个步骤能按时完成的概 率为 0.7，已知第一个步骤完成的条件下，第二个步骤能按时完成的概率为 0.8， 科目名称：概率论与数理统计 第1页 共3页
科目名称：概率论与数理统计
第3页
共3页
R1 , R2, , Rn 的区域，假定每个单位面积上出现雪松的平均个数是 .
（a） 试求 的极大似然估计； （b） 该估计是否无偏？为什么？
7． （每小题 10 分，共 30 分）许多患者常希望医生告知药物的非专利名，以便 节省医疗开销.现有一个调查结果：有人访问了 102 名医生，其中有 47 人知道美 沙酮这一药物的非专利名.这是否说明少于一半的医生知道这一事实呢？现在作 一个检验水平为 0.01 的假设检验， 设 p 为医生中知道美沙酮的非专利名的比例. H 0 : p 0.5, H a : p 0.5.
中国科学院2012年高等代数考研试题
2012中科院高等代数1.(15分) 证明()231....1!2!3!!nx x x x f x n =++++与()'f x 没有重因式。
2. (20分) 设()g x 是[]P X 中的非零多项式, ()g x =()()1n p x g x ,且()()()1,1p x g x =证明对任意()f x 均有: ()()()()()()()111n n f x r x f x g x p x p x g x -=+ 其中:()0r x ∂=或者()()r x p x ∂<∂。
3. (20分) 设矩阵21121221222121..11..1::::11..n n n n n a a a a a a a a a a A a a a a a ⎡⎤++⎢⎥++⎢⎥=⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎣⎦且满足11n i i a ==∑;21n i i a n ==∑。
()1求矩阵A 的所有特征值()2求det A 及trA4.(15分) 若n 阶方阵A 满足2A A =,其中1V 为0AX =的解空间,2V 为()0n A I X -=的解空间,证明12P V V =⊕。
5. (20分) 若n 阶方阵A 可逆,且,αβ均为n 维列向量又满足110T A βα-+≠。
()1 证明1T A P αβ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦可逆,并求其逆矩阵. ()2 证明T Q A αβ=+可逆,并求其逆矩阵.6. (20分) 证明:任意n 阶复方阵A 与其转置矩阵T A 相似。
7.(22分) 若n 阶方阵,A B 满足()(),T A B tr A B =。
()1 证明: (),A B 为内积.()2 若W 为1100A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,1011B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦生成的子空间,求W 的一组标准正交基W ⊥.8.(18分) 若1T ,2T ,3T ….. n T 为线性空间V 上的一组非零变换.证明:线性空间V 上存在向量α,使得()0i T α≠,{}1,2,3,.....,.i n ∈。
中科大历年考研数学真题
直线 l1, l2 平行，且 π 与 l1 的距离是 91, 求 π 的方程。
3. 设 A : U → V 为数域 F 上的线性空间 U 到 V 上线性映射. 证明：
dim KerA + dim Im A = dim U
2 −1 1 4. 设 A = 2 2 −1 , 求方阵 P , 使得 P −1AP 为 A 的 Jordan 标准形。
··· ···
(α1, αn)
(α2, αn) ...
,
其中 (αi, αj) 是 V 的内积.
(αn, α1) (αn, α2) · · · (αn, αn)
求证:G 正定的充分必要条件是 α1, · · · , αn 线性无关。
5. 设 A 是无限维线性空间 V 的线性变换，B 是 A 在 ImA 上的限制变换. 求证：
.
a2x1 + x2 + x3 = 1
5.
使线性方程组
x1 + ax2 + x3 = a x1 + x2 + x3 =a2
有解的实数 a 的取值范围是
.
6.
已知实方阵 A 的伴随矩阵 A∗
2.
以曲线
y = x2 z=2
为准线，原点为顶点的锥面方程为
.
3. 以 xOy 平面上的权限 f (x, y) = 0 绕 x 轴旋转所得的旋转面的方程是
.如
果曲线方程是 x2 − y2 − 1 = 0, 由此得到的曲面类型是
.
4. 设 α1, α2α3α4 是线性空间 V 中 4 个线性无关的向量,
为 α1 = (1, 0, −1), α2 = (?, ?, ?), 求矩阵 A 以及使 A 对角化的矩阵 P 7. A 是复方阵，线性变换 T → AX + XA, 证明：如果 A 可对角化，那么 T 也可以对
2012考研数学真题+答案
x2 y 2 2
1 x x2 cos x 1 1 x 2
……10 分
的极值.
x2 y2 2
f y xye
x2 y2 2
， ……3 分
令
f x 0, 得驻点（1,0）和（-1,0）. f 0 , y
2 x2 y2 2
x( x 3)e 记 A f xx
（C）
2
(D)
3Байду номын сангаас
（A）
n (D) ( 1) n !
(2) 设函数 f ( x) (e x 1)(e2 x 2) (en x n) ，其中 n 为正整数，则 f (0)
n 1 (A) ( 1) ( n 1)! n (B) ( 1) ( n 1)! n 1 (C) ( 1) n !
1 a 0 0
解： （I） A
0 1 a 0 0 0 1 a a 0 0 1
1 a4.
……3 分
（II）若方程组 Ax 有无穷多解，则 A 0. 由（I）可得 a 1 或 a 1 .
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2012 年数学试题答案和评分参考
1 x2 1 1 x ln , 又 S ( 0) 3 ， 所以和函数 S ( x ) (1 x 2 ) 2 x 1 x 3,
(18)（本题满分 10 分） 已知曲线 L:
0 x 1,
(3) 如果函数 f ( x, y ) 在 (0, 0) 处连续，那么下列命题正确的是 (A) 若极限 lim
x 0 y 0
（B）
f ( x, y ) 存在，则 f ( x, y ) 在 (0, 0) 处可微 x y
中国科学院研究生院高等数学
科目名称：高等数学（丙） 第 1 页 共 3 页1 1⎨ 91 精品文档，欢迎下载！中国科学院研究生院2012 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：高等数学（丙）考生须知：1. 本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。
2. 所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
一、选择题 (本题满分 40 分，每小题 5 分。
请从每个题目所列的四个选项中选择一个适合放在空格中的项，并将你的选择标清题号写在考场发的答题纸上，直接填写在试题上无效。
每题的四个备选项中只有一个是正确的，不选、错选或多选均不得分。
)1. 下列极限式正确的是（ ）。
（A ） lim(1+ x →∞ 1 )x = 1 x （B ）lim(1 + x →01 )x = 1 x （C ） lim(1+ x ) x = 1x →0（D ） lim(1+ x ) x= e x →∞2. 设函数 f ( x ) 在 x = 0 处可导且导函数连续， f (0) = 0 ， f '(0) = b 。
若函数⎧ f ( x ) + a tan x, x ≠ 0F ( x ) = ⎪x⎪⎩ A ,在 x = 0 处连续，那么常数 A=（）。
x = 0 (A) a + b(B) a - b(C) b - a(D) -a - b3. 设函数 f (x ) 可导，函数 y = f (x 2) 的自变量 x 在 x = -1 处取增量∆x = -0.1时， 相应的函数增量∆y 的线性主部为0.1 ，则 f '(1) 等于（）。
（A ）0.5（B ） -0.5(C) 1(D) -1x4. 设 f (x ) 在 (0, +∞) 内连续， 且f (x ) > 0 ， 则函数 (x ) = ⎰1 tf (t )dt x在 (1, +∞) 内（）。
⎰1f (t )dt(A) 单调递减（B ）单调递增（C ）先递增后递减（D ）先递减后递增∞2 n -15.幂级数∑ n x n =1 的收敛半径为（）。
2012年全国硕士研究生入学考试数学一试题及解析-推荐下载
（D）若
（4）设 Ik
（A） I1 I2 I3
（5）设 1
f
(x,
则线性相关的向量组为
（A）1,2 ,3
y)
在 (0, 0)
存在，则 f (x, y) 在 (0, 0) 处可微
存在，则
处可微，则极限 lim x0 y0
k ex2 sin xdx(k 1, 2, 3) ，则有 ______
2012 年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题
一、选择题：1-8 小题，每小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项 符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
（1）曲线
（A）0
y
x2 x x2 1
渐进线的条数 ________
（B）1
（2）设函数 f (x) (ex 1)(e2x 2)(enx n) ，其中 n 为正整数，则 f (0) ________
（16）（本题满分 10 分）
f (x, y) xe
求
1 x
x2 y2
2
的极值
（17）（本题满分 10 分）
求幂级数 4n2 4n 3 x2n 的收敛域及和函数
n0 2n 1
（18）（本题满分 10 分）
已知曲线
L
:
x f (t)
y
cos
t
(0 t
P 1
AP
2 0 0
0 0
1 0
2
（C）
5
0 2
（C） 1 2
P( AB)
1
2012中科大数学分析硕士研究生入学考试试题(回忆版)
������
1 ������ − 1 ln ( ) ⅆ������， (������ > 1) ������ 32
2012 中科大数学分析考研试题 ������ − ������ 2 ⅈ(������ ) = . / 2 展开成以2������为周期的 Fourier 级数； （2）利用上面的级数计算下面级数的和 ∑
������������ ������������ ∞ ������=1
∞
������ ������ ⅇ −������������ 在(0, ∞)上一致收
2
+
������������ ������������
+
������������ ������������
= ⅈ，且
2012 中科大数学分析考研试题 ∬
2012 中科大数学分析考研试题
中国科学技术大学
2012 年硕士学位研究生入学考试试题 数学分析（回忆版） 1、 （15 分）回答下列问题，如果结论是肯定的，请举例说明：如果 结论是否定的，请给出证明。 （1）是否存在两个发散的正数列，而它们的和是一个收敛数列？ （2）是否存在,������, ������-上的不恒为 0 的连续函数ⅈ(������ )，使它在,������, ������-中 的有理点处的取值为 0？ (3) 是否存在数列*������������ +，使
������2n−1 = ������ ������→∞ 2������ − 1 ������������������
������1 + ������2 + ⋯ + ������������ ������ + ������ = ������→∞ ������ 2 ������������������ 3、函数 ⅈ(������ ) = ∫ 在何处取得最小值？ 4、已知函数ⅈ(������ )可微，且ⅈ ′ (������ ) = 0(������ )，(������ → +∞)，证明： ⅈ(������ ) = 0(������ 2 )，(������ → +∞) (注：0代表有界量)。 5、 （1）将函数 1
中国科学院大学2012年分析化学考研试题
考生须知：
1．本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。 2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。 3. 可以使用无字典存储和编辑功能的电子计算器。
一 选择题 (每题 2 分，共 40 分) 1 使用分析天平进行称量过程中，加、减砝码或取、放物体时，应把天平梁托起，这是为了 A 称量快速 C 防止天平盘的摆动 2 B 减少玛瑙刀口的磨损 D 防止指针的跳动
7
指出下列叙述中错误的结论 A 酸效应使配合物的稳定性降低 科目名称：分析化学 第 1 页 共 5 页
B 水解效应使配合物的稳定性降低 C 配位效应使配合物的稳定性降低 D 各种副反应均使配合物的稳定性降低 8 下列四种萃取剂中对金属离子萃取效率最好的是
N
A 9
OH
B CH3CH2OH
C
CH3CH2OCH2CH3
5
若测定污水中痕量三价铬与六价铬应选用下列哪种方法 A 原子发射光谱法 C 荧光光度法 B 原子吸收光谱法 D 化学发光法
6
金属离子 M 与 L 生成逐级配位化合物 ML、ML2···MLn，下列关系式中正确的是 A [MLn]=[M][L]n C [MLn]=βn[M]n[L] B [MLn]=Kn[M][L] D [MLn]=βn[M] [L] n
若试样的分析结果精密度很好，但准确度不好，可能原因是 A 试样不均匀 C 有过失操作 B 使用试剂含有影响测定的杂质 D 使用的容量仪器经过了校正
3
有一组平行测定所得的分析数据，要判断其中是否有异常值，应该用 A F 检验法加 t 检验法 C t 检验法 B F 检验法
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xn
．
5、 （15 分）设在区间 a, b 上， f x 连续， g x 可积，并且 f x 0, g x 0 ．证明
lim
n
b
a
f
n
x g x dx
1n
max f x ．
a x b
6、 （15 分）设在区间 0, a 上， f x 二次可导，且 f x 1, f x 1 ，则当 x 0, a 时， f x
中国科学院 2012 数学分析考研试题参考解答
引言
本文是中国科学院大学 2012 年硕士研究生入学考试《数学分析》试题的参考解答．试 题来自文献[1]．第二题由对称性计算定积分和二重积分．第五题证明连续函数的本性最大 模（范数）的积分定义式．第七题用介值定理和单调性处理代数方程求根问题．第八题计算 第一型曲面积分，附注中提供了另外的解题思路．
1 0
2 5
3、解：记幂级数
a x
n 1 n
n
，则 1 an 0 n ，放缩得
1 n 1 n 1 n n 1 n ， k 1 k 1
由 Cauchy-Hadamard 公式，得收敛半径
R
1 lim 1 ， x lim n an k 1 k 1
（2）等价无穷小量代换
1 x4 1 x4 1 lim cos exp lim ln cos exp lim cos 2 1 2 2 x x x x 2 x 2 x x4 1 1 1 exp lim 4 exp 4 x 2 e 2 x 4
试题
1、 （30 分，每小题 15 分）计算极限： （1） lim n 2sin n
3
1 2 sin ； n n
x4
1 （2） lim cos 2 ． x x
2、 （30 分，每小题 15 分）计算积分： （1） I （2） J
n x
1 n
由 1 an 0 n ，用 Leibniz 判别法， 由 an
a x
n 1 n
n
在 x 1 收敛，
1 1 n ，而 发散，用比较判别法， an x 在 x 1 发散． n n n 1 n 1
2 0
x 1 yf x
S
dx ； 1 tan 3 x
2
y 2 dxdy ，
3
其中 S 为由曲线 y x , y 1, x 1 所围成的区域， f x 为实值连续函数． 3、 （15 分）求下列幂级数的收敛域：
1 1 1 n 2 x 4、 （15 分）证明：函数列 sn x n 1 在区间 , 上一致收敛；函数列 1 n2 x2 nx tn x n 1 在区间 0,1 上不一致收敛． 1 n2 x2
2 a ． a 2
7、 （15 分） 设 n 是一个正整数． 证明： 方程 x nx 1 0 有唯一的正实根 xn ， 并且当 1
n
时，级数
x 收敛．
n 1 n
8、 （15 分）设 x, y, z 是原点 O 到椭球面
x2 y2 z 2 1 的上半部分（即满足 z 0 的 2 2
2、解： （1）对 ，对称换元得
x4
I
2 0
dx dx dx 4 2 0 1 tan x 1 tan x 4 1 tan x 1 1 dx dx 4 4 0 1 tan x 0 1 tan 2 x 1 tan x 1 cot
（方法 2）等价无穷小量代换
1 2 1 1 1 1 lim n3 2sin sin lim 2n3 1 cos sin lim 2n3 2 1 ． n n n n n n n 2n n
1 x3 y 1
xyf x 2 y 2 dxdy
dx 3 xdy
1 1 x 1
1
1
1 1 1 xyf x 2 y 2 dxdy dx 3 xdy x 1 2 1,11,1 1 1
x 1 x3 dx x 4 dx 2 x 4 dx
部分） 的任一点 x, y , z 处的切面的距离，求积分
x, y, z dS ．
z
解答
1、解： （1） （方法 1）无穷小量展开
1 1 1 2 1 2 4 1 n3 2sin sin n3 2 3 o 3 3 o 3 n n n n 3n n n 6n 1 1 n3 3 o 3 1 o 1 1 n n n
4
0
dx x
4 dx
0
4
特别地，令 3 得 I
（2）注意二元函数 xyf x y
2
4
．பைடு நூலகம்
2
关于原点中心对称，化为累次积分得
J x 1 yf x 2 y 2 dxdy
S
1 x3 y 1
xdxdy