12统计矩分析
第六章 统计矩
思考题
• 1、什么是药动学数据解析的统计矩方法？ • 与房室模型法相比有何有缺点？ • 2、ACU,AUMC,MRT,VRT的意义是什么？ • 3、统计矩法可解决哪些药动学问题？
一、 各阶统计矩定义以及计算公式
2、 平均驻留时间MRT 和VRT
MRT代表药物分子在体内的平均驻留时间， VRT为其方差。零阶矩与一阶矩可以用于药 物动力学分析，VRT为较高阶的矩，由于误 差较大，结果难以肯定，应用价值很小
Байду номын сангаас
二、 生物利用度
绝对生物利用度计算公式为：
相对生物利用度计算公式为：
第六章 非房室模型的统计矩方法
• 非房室模型的统计矩方法以概率论和数理统计学 中的统计矩(Statistical Moment)方法为理论基础， 对数据进行解析，包括零阶矩、一阶矩和二阶矩， 体现平均值、标准差等概念，反映了随机变量的 数字特征。在药动学中，零阶矩为AUC，和给药 剂量成正比，是一个反映量的函数；一阶矩为 MRT，反映药物分子在体内的平均停留时间，是 一反映速度的函数；二阶矩为VRT，反映药物分 子在体内的平均停留时间的差异大小。
十、 非房室模型和房室模型的优缺点比较
非房室模型的最基本的优点是限制性假设较少，只要求药 时曲线的尾端符合指数消除，而这一点容易被实验所证实。此 外，解决了不能用相同房室模型拟合全部实验数据的问题。例 如，有的实验对象其数据符合一房室模型，另有部分对象数据 符合二房室模型，很难比较各参数。而用非房室模型分析，不 管指数项有多少，都可以比较各组参数，如AUC、MRT、Cl等。 但是从另一个角度看，这也是非房室模型的缺点，不能提供药 时曲线的细节，只能提供总体参数。由于房室模型长期作为标 准方法，集中惯例和教条，忽视了方法的假设和限制，目前存 在不少滥用和错误，忽视了模型的前提和假设。例如，对于缓 控释制剂，或者吸收不规则的制剂，药物的吸收很难采用指数 形式进行描述，但是目前还是有不少文献进行Ka的拟合。这种 情况下房室模型拟合出来的理论参数往往和实际相差很大。统 计矩方法如果拟合理想，可选择拟合值进行计算，如果拟合不 理想，也可采用实测值计算，比较灵活。
第六章 统计矩
思考题
• 1、什么是药动学数据解析的统计矩方法？ • 与房室模型法相比有何有缺点？ • 2、ACU,AUMC,MRT,VRT的意义是什么？ • 3、统计矩法可解决哪些药动学问题？
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一、 各阶统计矩定义以及计算公式
2、 平均驻留时间MRT 和VRT
MRT代表药物分子在体内的平均驻留时间， VRT为其方差。零阶矩与一阶矩可以用于药 物动力学分析，VRT为较高阶的矩，由于误 差较大，结果难以肯定，应用价值很小
二、 生物利用度
绝对生物利用度计算公式为：
相对生物利用度计算公式为：
十、 非房室模型和房室模型的优缺点比较
非房室模型的最基本的优点是限制性假设较少，只要求药 时曲线的尾端符合指数消除，而这一点容易被实验所证实。此 外，解决了不能用相同房室模型拟合全部实验数据的问题。例 如，有的实验对象其数据符合一房室模型，另有部分对象数据 符合二房室模型，很难比较各参数。而用非房室模型分析，不 管指数项有多少，都可以比较各组参数，如AUC、MRT、Cl等。 但是从另一个角度看，这也是非房室模型的缺点，不能提供药 时曲线的细节，只能提供总体参数。由于房室模型长期作为标 准方法，集中惯例和教条，忽视了方法的假设和限制，目前存 在不少滥用和错误，忽视了模型的前提和假设。例如，对于缓 控释制剂，或者吸收不规则的制剂，药物的吸收很难采用指数 形式进行描述，但是目前还是有不少文献进行Ka的拟合。这种 情况下房室模型拟合出来的理论参数往往和实际相差很大。统 计矩方法如果拟合理想，可选择拟合值进行计算，如果拟合不 理想，也可采用实测值计算，比较灵活。
第六章非房室模型的统计矩方法非房室模型的统计矩方法以概率论和数理统计学中的统计矩statisticalmoment方法为理论基础对数据进行解析包括零阶矩一阶矩和二阶矩体现平均值标准差等概念反映了随机变量的数字特征
统计矩
第一节 统计矩的基本概念
零阶矩
———血药浓度-时间曲线下面积（AUC）
AUC Cdt Cdt Cn e dt
kt 0 0 tn
tn
tn
0
Cn Cdt k
Ci Ci 1 Cn (ti ti 1 ) 2 k i 1
n
末端直线部 分拟合求得
Vss CL MRTiv 6.20 3.71 22.98( L)
第三节 用统计矩法研究药物体内过程
MDIT: Mean
Disintegration Time
MDT: Mean
Dissolution Time
MAT: Mean
Absorption Time
MRTiv
固体制剂
崩解
溶出 MRT片剂 =MDIT片剂+ MRT颗粒 MRT颗粒=MDT颗粒+ MRT溶液
梯形法求得
一阶矩
——— 时间与血药浓度的乘积与时间的 曲线下面积（AUMC）
AUMC tCdt tCdt tCdt tCdt tC0e kt dt
0 0 tn 0 tn tn tn
tn
0
n C0 C0tn ktn ti ci ti 1ci 1 Cn Cntn tCdt ( 2 )e (ti ti 1 ) ( 2 ) k k 2 k k i 1
第十二章
统计矩原理在药动学的应用
D atas et 1
1000
C ( 礸 /lC l_s tatus as integer)
100
Dataset 1 fitting
10
1
0.1
高中数学 第一章 统计案例教案 北师大版选修12
第一章统计案例§1回归分析1．1 回归分析1．2 相关系数1．3 可线性化的回归分析(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)通过对典型案例的探究，了解回归的基本思想、方法及初步应用．(2)了解相关系数r的含义，会根据两个随机变量的线性相关系数判断它们之间的线性相关程度．(3)能将非线性回归问题转化为线性回归问题来解决．2．过程与方法在分析和探讨变量之间的线性关系的过程中，体会统计推理由直观到严谨的过程，进一步了解统计推理的基本方法和基本思想，发展统计思维能力．3．情感、态度与价值观通过对两个随机变量进行回归分析，并根据回归方程对数据进行预测，认识和体会统计推理及其方法在解决实际问题中的作用，感受数学与生活的密切联系．●重点难点重点：(1)回归分析的基本思想和方法．(2)判断两个随机变量是否线性相关．难点：(1)对两个随机变量是否线性相关进行判断．(2)求线性回归方程．本节的教学，要通过具体问题的解决，引导学生复习回顾利用最小二乘法求变量之间的线性回归方程的方法，以及如何根据线性回归方程，对数据进行估计．教学中，要通过引导学生探究，明确在求线性回归方程时，要对变量是否线性相关作出判断的必要性以及判断方法．判断方法有两种：散点图法—定性判断，相关系数法—定量判断．(教师用书独具)●教学建议1．通过学生熟悉的实际问题引入课题，为学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生的求知欲，调动学生主动参与的积极性．2．在教学中，要引导学生探究两个变量相关性的判断方法，感悟两个变量相关性判断的必要性．3．在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用，具体体现在设问、讲评和规范等方面，要教会学生清晰的思维、准确地计算，要引导学生感悟定性判断与定量判断之间的辩证关系．●教学流程情境引入⇒如何判断线性相关⇒如何判断线性相关的程度⇒线性回归方程的应用⇒可线性化的回归分析⇒归纳总结，深化认识1．自变量取值一定时，若因变量的取值也随之确定，则这两个变量之间的关系称为什么关系？若因变量的取值具有随机性呢？【提示】函数关系，相关关系．2．类比用函数图像研究函数，具有相关关系的两个变量可用什么研究？【提示】散点图．1．回归分析设变量y对x的线性回归方程为y＝a＋bx，由最小二乘法知系数的计算公式为：b ＝l xy l xx＝∑i ＝1n x i －xy i －y∑i ＝1nx i －x2＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x 2，a ＝y －b x .2．相关系数 (1)相关系数r 的计算假设两个随机变量的数据分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，则变量间线性相关系数r ＝l xyl xx l yy＝∑i ＝1nx i －xy i －y∑i ＝1nx i －x2∑i ＝1ny i －y2＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x 2∑i ＝1ny 2i －n y2.(2)相关系数r 与线性相关程度的关系 ①r 的取值范围为[－1,1]；②|r |值越大，误差Q 越小，变量之间的线性相关程度越高； ③|r |值越接近0，误差Q 越大，变量之间的线性相关程度越低． (3)相关性的分类①当r >0时，两个变量正相关； ②当r <0时，两个变量负相关；③当r＝0时，两个变量线性不相关.一根弹簧的长度y(单位：厘米)在不同拉力x(单位：牛顿)的作用下的数据如下表：(1)求出该弹簧长度y 对拉力x 的线性回归方程； (2)预测拉力为18牛顿时的弹簧长度是多少？【思路探究】 根据样本点数据画出散点图．利用散点图直观分析弹簧长度y 与拉力x 具有线性相关关系，利用线性回归方程中参数的计算公式可得线性回归方程．【自主解答】 (1)作出散点图如图所示：由散点图可看出，两个变量呈现出近似的线性关系，可以建立弹簧长度y 对拉力x 的线性回归方程．将已知数据列成下表：由此可得x ＝6＝17.50，y ＝6≈9.49，进而可求得b ＝1 076.20－6×17.50×9.492 275－6×17.502≈0.18， a ＝9.49－0.18×17.50＝6.34.于是，y 对x 的线性回归方程为y ＝6.34＋0.18x .(2)由线性回归方程可知当拉力为18牛顿时，弹簧长度的估计值为6.34＋0.18×18＝9.58(厘米)．1．回归分析是定义在具有相关关系的两个变量基础上的，因此，在作回归分析时，要先判断这两个变量是否相关，利用散点图可直观地判断两个变量是否相关．2．利用回归直线，我们可以进行预测．若回归直线方程y＝a＋bx，则x＝x0处的估计值为y0＝a＋bx0.3．线性回归方程中的截距a和斜率b都是通过样本估计而得到的，存在着误差，这种误差可能导致预报结果的偏差，所以由线性回归方程给出的是一个预报值而非精确值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4．回归直线必过样本点的中心点．假定单位面积小麦基本苗数x 与成熟期有效穗y 是线性相关的，今测得5组数据如下：求【解】 设线性回归方程为y ＝a ＋bx . 则x ＝30.36，y ＝43.5，x 2＝921.729 6，x y ＝1 320.66，∑i ＝15x i y i ＝6 746.76，∑i ＝15x 2i ＝5 101.56.所以b ＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x 2≈0.291，a ＝y －b x ≈34.67，∴所求的线性回归方程为y ＝34.67＋0.291x .当x ＝56.7时，y ＝34.67＋0.291×56.7＝51.170. 估计成熟期有效穗为51.170.下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料，请判断交通事故数与机动车辆数是否有线性相关关系．机动车辆数x/千台95110112120129135150180 交通事故数y/千件6.27.57.78.58.79.810.213.0断交通事故数y与机动车辆数x是否线性相关．【自主解答】将数据列成下表：i x i y i x2i y2i x i y i195 6.29 02538.44589.021107.512 10056.25825.031127.712 54459.29862.441208.514 40072.25 1 020.051298.716 64175.69 1 122.361359.818 22596.04 1 323.0715010.222 500104.04 1 530.0818013.032 400169.00 2 340.0∑ 1 03171.6137 835671.009 611.7 由此可得x＝128.875，y＝8.95.进而求得r＝9 611.7－8×128.875×8.95137 835－8×128.8752×671.00－8×8.952≈0.992 7.因为r>0.75，所以可以得出交通事故数y和机动车辆数x有较强的线性相关程度．1．线性相关系数是从数值上来判断变量间的线性相关程度，是定量的方法．与散点图相比较，线性相关系数要精细得多．需要注意的是线性相关系数r的绝对值小，只是说明线性相关程度低，但不一定不相关，可能是非线性相关．2．利用相关系数r来检验线性相关显著性水平时，通常与0.75作比较，若r＞0.75，则线性相关较为显著，否则为不显著．现随机抽取了某中学高一10名在校学生，他们入学时的数学成绩(x)与入学后第一次考试的数学成绩(y)如下：【解】 x ＝110×(120＋108＋…＋99＋108)＝107.8， y ＝110(84＋64＋…＋57＋71)＝68，∑i ＝110x 2i ＝1202＋1082＋…＋992＋1082＝116 584， ∑i ＝110y 2i ＝842＋642＋…＋572＋712＝47 384， ∑i ＝110x i y i ＝120×84＋108×64＋…＋99×57＋108×71＝73 796. 所以相关系数为r ＝73 796－10×107.8×68116 584－10×107.8247 384－10×682≈0.750 6.由此可看出这10名学生的两次数学成绩具有较强的线性相关关系．可线性化的回归分析某地区的女性在不同年龄段的身高平均值x (单位：cm)和体重平均值y (单位：kg)的数据如下表：(2)若体重超过相同身高的女性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高175 cm、体重82 kg的女性的体重是否正常？【思路探究】由样本点画出散点图，找出拟合函数曲线，转化为线性回归模型解题．注意最后要将中间变量值用x代换．【自主解答】(1)根据上表中的数据画出散点图如图所示：由图可看出，样本点分布在某条类似指数函数曲线y＝e c1＋c2x的周围，其中c1和c2是待定的系数，令z＝ln y，变换后的样本数据表如下：设z与x之间的线性回归模型为z＝a＋bx，则由表中数据得b≈0.020，a＝z－b x≈0.625，所以z与x之间的线性回归方程为z＝0.625＋0.020x，所以y＝e0.625＋0.020x.(2)当x＝175 cm时，预测平均体重y＝e0.625＋0.020×175≈61.87(kg)，由于61.87×1.2＝74.24<82，所以这位女性偏胖．非线性回归方程的求解步骤：若函数模型为y ＝x 2＋bx ＋c ，则作变换t ＝________才能转化为y 对t 的线性回归方程． 【解析】 y ＝(x ＋b2)2＋4c －b 24，令t ＝(x ＋b 2)2，则y ＝t ＋4c －b 24.【答案】 (x ＋b2)2求解不严谨致误某工厂在2012年的各月中，某产品的月总成本y (万元)与月产量x (吨)之间有如下数据：点后两位)．【错解】 b ＝∑ni ＝1x i y i －n x y∑ni ＝1x 2i －n x2＝0.92，a ＝y －b x ＝0.60.∴线性回归方程为y ＝0.92x＋0.60.当x＝6时，y＝0.92×6＋0.60＝6.12(万元)，即该产品1月份的总成本的估计值为6.12万元．【错因分析】未判断y与x是否线性相关就求线性回归方程，思维不严谨致误．【防范措施】在求线性回归方程之前，应先判断变量之间是否线性相关，再求回归方程，否则建立的线性回归方程没有意义．【正解】(1)散点图见下图，从图中可以看到，各点大致在一条直线附近，说明x与y有较强的线性相关关系．(2)b＝∑ni＝1x i y i－n x y∑ni＝1x2i－n x2＝0.92，a＝y－b x＝0.60，∴线性回归方程为y＝0.92x＋0.60.当x＝6时，y＝0.92×6＋0.60＝6.12(万元)，即该产品1月份的总成本的估计值为6.12万元．1．解决线性回归问题的思路首先通过散点图分析两变量间是否线性相关，然后利用公式求回归方程，在此基础上，借助回归方程对实际问题进行分析．2．对于非线性回归问题，可以画出已知数据的散点图，经过比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，采用适当的变量置换，把问题化为线性回归分析问题.1．下列两变量中具有相关关系的是( )A．正方体的体积与边长B．人的身高与体重C ．匀速行驶车辆的行驶距离与时间D ．球的半径与体积【解析】 选项A 中正方体的体积为边长的立方，有固定的函数关系；选项C 中匀速行驶车辆的行驶距离与时间成正比，也是函数关系；选项D 中球的体积是43π与半径的立方相乘，有固定函数关系．只有选项B 中人的身高与体重具有相关关系．【答案】 B2．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：售额为( )A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元【解析】 x ＝4＋2＋3＋54＝3.5，y ＝49＋26＋39＋544＝42，∴a ＝y －b x ＝42－9.4×3.5＝9.1，∴回归方程为y ＝9.4x ＋9.1，∴当x ＝6时，y ＝9.4×6＋9.1＝65.5，故选B. 【答案】 B3．调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：y ＝0.254x ＋0.321，由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．【解析】 由题意知其回归系数为0.254，故家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加0.254万元．【答案】 0.2544．两个变量满足如下关系：【解】 由表可得：∑5i ＝1x 2i ＝1375，∑5i ＝1y 2i ＝59 051，∑5i ＝1x i y i ＝8 285，x ＝15，y ＝108.6.∴r ＝∑5i ＝1x i y i －5x y∑5i ＝1x 2i －5x2∑5i ＝1y 2i －5y2＝8 285－5×15×108.61 375－5×1525 9051－5×108.62≈0.982 6.因此可说两个变量的线性相关程度很强.一、选择题1．下列两个变量具有相关关系的是( ) A ．正方体的体积与边长B ．匀速行驶的车辆的行驶距离与行驶时间C ．人的身高与体重D ．人的身高与视力【解析】 A 、B 是函数关系，D 无相关关系．相关关系是一种不确定的关系． 【答案】 C2．随机抽样中测得四个样本点为(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，则y 与x 之间的回归直线方程为( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝x ＋2C ．y ＝2x ＋1D ．y ＝x －1【解析】 x ＝1＋2＋3＋44＝52，y ＝2＋3＋4＋54＝72.因为回归直线一定过点(x，y)，所以A项符合要求．【答案】 A3．设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图1－1－1)，以下结论正确的是( )图1－1－1A．直线l过点(x，y)B．x和y的相关系数为直线l的斜率C．x和y的相关系数在0到1之间D．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同【解析】由样本的中心(x，y)落在回归直线上可知A正确；x和y的相关系数表示为x与y之间的线性相关程度，不表示直线l的斜率，故B错；x和y的相关系数应在－1到1之间，故C错；分布在回归直线两侧的样本点的个数并不绝对平均，无论样本点个数是奇数还是偶数，故D错．【答案】 A4．为了考查两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两名同学各自独立地做了10次试验和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2.已知两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均数都为s，对变量y的观测数据的平均数都为t，那么下列说法中正确的是( )A．直线l1和l2都过点(s，t)B．直线l1和l2相交，但交点不一定是(s，t)C．直线l1和l2必平行D．直线l1和l2必重合【解析】线性回归方程y＝bx＋a恒过点(x，y)，故直线l1和l2都过点(s，t)．【答案】 A5．若已知∑(x i－x)2是∑(y i－y)2的两倍，∑(x i－x)(y i－y)是∑(y i－y)2的1.2倍，则相关系数r的值是( )A.21.2B.1.22C．0.92 D．0.65【解析】由题意知r＝∑i＝1nx i－x y i－y∑i＝1nx i－x2∑i＝1ny i－y2＝1.2∑i＝1ny i－y22∑i＝1ny i－y2·∑i＝1ny i－y2＝1.22.【答案】 B二、填空题6．已知变量y对x的线性回归方程为y＝－0.81＋0.50x，则当x＝25时，y的估计值为________．【解析】当x＝25时，y的估计值为－0.81＋0.50×25＝11.69.【答案】11.697．某单位为了了解用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温(℃)181310－1用电量(度)24343864℃时，用电量约为________．【解析】∵x＝18＋13＋10－14＝10，y＝24＋34＋38＋644＝40，y＝－2x＋a过(10,40)，∴a＝40＋2×10＝60，∴y＝－2x＋60. 当x＝－4时，y＝－2×(－4)＋60＝68.【答案】68度8．若回归直线方程中的回归系数b＝0，则相关系数r＝________.【解析】对比线性相关系数和线性回归方程系数b的求解公式：r＝∑ni＝1x i y i－n x y∑n i＝1x2i－n x2∑ni＝1y2i－n y2和b＝∑ni＝1x i y i－n x y∑ni＝1x2i－n x2，可以发现其分子相同，故b＝0，可推得r＝0.【答案】0三、解答题9．某连锁经营公司所属的5个零售店某月的销售额和利润情况如下表：商店名称 A B C D E销售额x/千万元35679利润y/百万元2334 5用最小二乘法计算利润y对销售额x的线性回归方程．(判断相关性利用两种方法)【解】判断相关性先利用散点图大体观察是否具有相关性，散点图如下：通过散点图可知，两个变量具有相关性，下面通过计算再次明确是否具有相关性(根据上表数据，可以算出：x＝6，y＝3.4)，其他数据见下表：x i y i x2i y2i x i y i进而可求得r ＝200－5×6263－5×3.42≈0.98，相关系数非常接近1，因此两个变量具有显著的线性相关性，b ＝112－5×6×3.4200－5×62＝0.5，a ＝3.4－0.5×6＝0.4，故所求线性回归方程为y ＝0.5x ＋0.4.10．某小卖部为了解雪糕销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了卖出雪糕数与当天气温的对照表：【解】 由表中数据可得：∑i ＝18x 2i ＝6 466，∑i ＝18x i y i ＝8 884，x ＝28，y ＝37.25，进而可以求得b ＝∑i ＝18x i y i －8x y∑i ＝18x 2i －8x 2＝8 884－8×28×37.256 466－8×282≈2.78， a ＝y －b x ≈37.25－2.78×28＝－40.59.∴线性回归方程为y ＝－40.59＋2.78x . 把x ＝37代入，得y ≈62，∴预测气温为37 ℃时，卖出雪糕的数量约为62根．11．某种图书每册的成本费y (元)与印刷册数x (千册)有关，经统计得到数据如下：y 10.15 5.52 4.08 2.85 2.11 1.62 1.41 1.30 1.21 1.15检测每册书的成本费y 与印刷册数的倒数1x之间是否具有线性相关关系，如有，求出y对x 的回归方程．【解】 首先作变量转换u ＝1x，题目所给数据变成如下表所示的数据：i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 u i 1 0.5 0.33 0.2 0.1 0.05 0.03 0.02 0.01 0.005 y i10.155.524.082.852.111.621.411.301.211.15可以求得，r ＝∑10i ＝1 u i －uy i －y∑10i ＝1u i －u 2∑10i ＝1y i －y2≈0.999 8.因此，变量y 与u 之间具有较强的线性相关关系．经计算得b ≈8.973，a ≈1.125，最后回代u ＝1x可得，y ＝1.125＋8.973x.(教师用书独具)某商店经营一批进价为每件4元的商品，在市场调查时发现，此商品的销售单价x(元)与日销售量y(件)之间有如下关系：x 5678y 1087 3经计算得：x与y具有线性相关关系，且∑4i＝1 (x i－x)(y i－y)＝－11，∑4i＝1(x i－x)2＝5，为使日利润最大，则销售单价应定为多少元？【思路探究】本题具有综合性，首先求得线性回归方程，再利用函数思想求得关于利润的关系式，转化为二次函数知识求解．【自主解答】由b＝∑ni＝1x i－x y i－y∑n i＝1x i－x2＝－115＝－2.2，结合数表可得x＝6.5，y＝7.由y＝b x＋a，得a＝y－b x＝7－(－2.2)×6.5＝21.3，则销售单价为x时的利润w＝(x－4)(－2.2x＋21.3)＝－2.2x2＋30.1x－85.2，当x＝30.12×2.2≈6.8时，日利润最大．∴销售单价应定为6.8元．1．在求回归方程时，一般先要考查y 与x 是否具有线性相关关系，考查的方法有两种：一种是画出散点图，另一种是作相关性检验，即求相关系数．2．求解两个变量的相关系数及它们的线性回归方程的计算量较大，需要细心、谨慎地计算．如果会使用含统计的科学计算器，能简单得到∑ni ＝1x i ，∑ni ＝1y i ，∑ni ＝1x 2i ，∑ni ＝1y 2i ，∑ni ＝1x i y i 这些量，也就无需制表这一步，直接算出结果即可．另外，利用计算机有关应用程序也可以对这些数据进行处理．3．本题把线性回归、一次函数、二次函数巧妙地结合在一起，知识交汇是高考命题的主要思路，所以这类题目应该引起关注．某高中地处县城，学校规定家到学校路程在5里以内的学生可以走读，因交通便利，所以走读生人数很多，该校先后5次对走读生的情况进行统计，下表是根据5次调查得到的下午开始上课时间与平均每天午休的走读生人数的统计数据表：(1)如果把下午开始上课时间2：00作为横坐标原点，上课时间每推迟10分钟，横坐标x增加1，以平均每天午休人数为纵坐标，画出散点图；(2)求平均每天午休人数y与上课时间x之间的线性回归方程y＝bx＋a；(3)预测当下午上课时间推迟到2：50时，走读生中大约有多少人午休？【解】(1)由题意得(2)x＝2，y＝500，b＝130，a＝y－b·x＝240，∴所求线性回归方程为y＝130x＋240.(3)下午上课时间推迟到2：50，x＝5，∴y＝130×5＋240＝890.此时午休的走读生约有890人．线性回归的来历回归分析最早是19世纪末期高尔顿所引入．高尔顿是生物统计学派的奠基人，他的表哥达尔文的巨著《物种起源》问世以后，触动他用统计方法研究智力进化问题，统计学上的“相关”和“回归”的概念也是高尔顿第一次使用的．1855年，他发表了一篇“遗传的身高向平均数方向的回归”文章，分析儿童身高与父母身高之间的关系，发现父母的身高可以预测子女的身高，当父母越高或越矮时，子女的身高会比一般儿童高或矮，他将子女与父母身高的这种现象拟合出一种线形关系．但是有趣的是，通过观察他注意到，尽管这是一种拟合较好的线性关系，但仍然存在例外现象：身材较矮的父母所生子女比其父母要高，身材较高的父母所生子女的身高将回降到人的平均身高．换句话说，当父母身高走向极端(或者非常高，或者非常矮)，子女的身高不会像父母身高那样极端化，其身高要比父母们的身高更接近平均身高．高尔顿选用“回归”一词，把这一现象叫做“向平均数方向的回归”．关于父辈身高与子代身高的具体关系，高尔顿和他的学生K·Pearson观察了1078对夫妇，以每对夫妇的平均身高作为自变量，取他们的一个成年子女的身高作为因变量，结果发现两者近乎一条直线，其回归直线方程为y＝33.73＋0.516x，这种趋势及回归方程表明父母身高每增加一个单位时，其成年子女的身高平均增加0.516个单位．这样当然极端值就会向中心靠拢．§2独立性检验2．1 条件概率与独立事件(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)了解条件概率的概念，能利用条件概率分析和解决简单的实际问题．(2)能从条件概率的角度理解两个事件相互独立的含义，能求两个相互独立事件同时发生的概率．2．过程与方法在利用事件的独立性对生活中的随机现象进行辨析的过程中，进一步培养学生的随机观念，掌握利用概率的知识，分析解决实际问题的方法．3．情感、态度与价值观通过利用概率知识解决简单的实际问题，进一步体会和感受数学知识在生活中的应用，培养随机意识．●重点难点重点：两个事件相互独立的概念及相应概率的计算．难点：对条件概率的概念的理解及相应计算．本节中条件概率的引入，目的是为了讲解事件的独立性．因此，在教学中，要引导学生探究如何从条件概率的角度来理解事件间的独立性．对于条件概率，可通过一些简单的问题，让学生理解其意义与求法．(教师用书独具)●教学建议1．由于条件概率的引入目的是为了讲解事件的独立性，在教学中，没有必要对条件概率的内容展开介绍．2．在教学中，要注意公式的类比与变形，由P(A|B)＝P A ∩BP B类比可得到P(B|A)＝P A∩BP A，变形可得到P(A∩B)＝P(A|B)·P(B)．3．如果事件A，B相互独立，则事件A与B，A与B，A与B也相互独立，课堂上可以以事件A与B相互独立为例，给出证明过程，深化学生对事件独立性的认识．●教学流程情境引入⇒实例探究⇒抽象概括：条件概率的定义及计算公式⇒实例探究⇒抽象概括：两事件独立的定义及其同时发生的概率的计算方法⇒应用实例及变式训练⇒归纳提升条件概率一个家庭有两个孩子，假设男女出生率一样．(1)这个家庭一男一女的概率是多少？(2)预先知道这个家庭中至少有一个女孩，这个家庭一男一女的概率是多少？【提示】 (1)12，(2)23.(1)概念：已知事件B 发生的条件下，A 发生的概率称为B 发生时A 发生的条件概率，记为P (A |B )．(2)公式：当P (B )＞0时，P (A |B )＝P ABP B.相互独立事件在一次数学测试中，甲考满分，对乙考满分有影响吗？ 【提示】 没有影响．(1)定义：对两个事件A ，B ，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称A ，B 相互独立． (2)性质：如果A ，B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立．(3)如果A 1，A 2，…，A n 相互独立，则有P (A 1A 2…A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n ).条件概率问题在100件产品中有95件合格品，5件不合格品，现从中不放回地取两次，每次任取一件，试求：(1)第一次取到不合格品的概率；(2)在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率．【思路探究】 求解的关键是判断概率的类型．第一问是古典概型问题；第二问是条件概率问题．【自主解答】 设“第一次取到不合格品”为事件A ，“第二次取到不合格品”为事件B .(1)P (A )＝5100＝0.05.(2)法一 第一次取走1件不合格品后，还剩下99件产品，其中有4件不合格品．于是第二次再次取到不合格品的概率为499，这是一个条件概率，表示为P (B |A )＝499.法二 根据条件概率的定义计算，需要先求出事件AB 的概率．P (AB )＝5100×499， ∴有P (B |A )＝P ABP A ＝5100×4995100＝499.1．注意抽取方式是“不放回”地抽取．2．解答此类问题的关键是搞清在什么条件下，求什么事件发生的概率． 3．第二问的解法一是利用缩小样本空间的观点计算的，其公式为P (B |A )＝n ABn A，此法常应用于古典概型中的条件概率求法．在例1题设的条件下，试求在第一次取到合格品后，第二次取到不合格品的概率． 【解】 法一 第一次取走1件合格品后，还剩下99件产品，其中有5件不合格品，于是第二次取到不合格品的概率为599.法二 ∵P (A B )＝95100×599，∴P (B |A )＝PA B PA＝95100×59995100＝599.独立事件的判定对于下列给出的两个事件：①甲、乙两同学同时解一道数学题，事件A 表示“甲同学做对”，事件B 表示“乙同学做对”；②在某次抽奖活动中，记事件A 表示“甲抽到的两张奖券中，一张中一等奖，另一张未中奖”，事件B 表示“甲抽到的两张奖券均中二等奖”；③一个布袋里有3个白球和2个红球，记事件A ，B 分别表示“从中任意取一个是白球”与“取出的球不放回，再从中任取一球是红球”；④在有奖储蓄中，记甲在不同奖组M 和N 中所开设的两个户头分别中一等奖为事件A 和B .其中事件A 和事件B 相互独立的是( ) A ．①② B ．①④ C ．③④ D ．仅有①【思路探究】 判断事件A 与事件B 是否相互独立，就是要看事件A 的发生对事件B 的发生是否有影响．【自主解答】判断两个事件是不是相互独立有以下两种方法：(1)由定义，若P(AB)＝P(A)P(B)，则事件A与B相互独立．(2)由事件本身的性质直接判断，也就是判断一个事件的发生对另一个事件有没有影响．下列事件A，B是独立事件的是( )A．一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“第二次为反面”B．袋中有4个小球，其中2个白球，2个黑球，不放回地摸两次，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球”C．掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为偶数”D．A＝“人能活到30岁”，B＝“人能活到60岁”【解析】由独立事件的意义可定性地判断B，C，D中，其中一个事件的发生对另一个事件有一定的影响．故选A.【答案】 A甲、乙两名篮球运动员分别进行一次投篮，如果两人投中的概率都是0.6.求：(1)两人都投中的概率；(2)其中恰有一人投中的概率；(3)至少有一人投中的概率．【思路探究】本题的着眼点是①事件性质的判断；②概率公式的选择；③“正难则反”的转化．【自主解答】设A为“甲投篮一次，投中”，B为“乙投篮一次，投中”．(1)易知AB为“两人各投篮一次，都投中”，由题意知，事件A与B相互独立，∴P(AB)＝P(A)P(B)＝0.6×0.6＝0.36.(2)事件“两人各投篮一次，恰好有一人投中”包括两种情况：一种是甲投中，乙未投中(事件A B发生)，另一种是甲未投中，乙投中(事件A B发生)．根据题意，这两种情况在各投篮一次时不可能同时发生，即事件A B与A B互斥，并且A与B，A与B各自相互独立，因而所求概率为P(A B)＋P(A B)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝0.6×(1－0.6)＋(1－0.6)×0.6＝0.48.(3)事件“两人各投篮一次，至少有一人投中”的对立事件“两人各投篮一次，均未投中”的概率是P(A B)＝P(A)P(B)＝(1－0.6)×(1－0.6)＝0.16.因此，至少有一人投中的概率为1－P(A B)＝1－0.16＝0.84.1．求解某些事件的概率时，应首先确定事件间的关系，即两事件是互斥事件，还是相互独立事件．再选择相应的概率公式进行概率计算．2．求解含有“恰有”“至少”“至多”等词语的概率问题，通常转化为求其对立事件的概率，即利用P(A)＝1－P(A)求解．有n位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是p(0<p<1)，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学能通过测试的概率为( ) A．(1－p)n B．1－p nC．p n D．1－(1－p)n【解析】至少有一位同学通过测试的对立事件为无人通过测试，其概率为(1－p)n.应用对立事件的概率求解知，至少有一位同学通过测试的概率为1－(1－p)n.【答案】 D事件理解不清致误袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，则在发现其中之一是黄色的时，另一个也是黄色的概率为________．【错解】P＝610×59＝49.【答案】4 9【错因分析】将该事件错误地认为是在第一次取出黄色的乒乓球的条件下，第二次取出的也是黄色的乒乓球．【防范措施】在求概率时，首先要弄清楚随机试验是什么？属于什么概型？其次要判断清楚事件的性质．“其中之一是黄色的”包含三个事件：①第一个是黄色的，第二个是白色的；②两个都是黄色的；③第一个是白色的，第二个是黄色的．。
第十二章 统计矩原理
❖ 血药浓度-时间曲线下的面积AUC为
AUC 0 Cdt
设函数
f (t) C （0≤t＜+∞） AUC
f (t)dt
C
dt
1
Cdt
AUC
1
损失 10.7%
89.3% 1.23h
体循环 9.19h
二、 吸收动力学
❖ MAT = MRT ni - MRTiv
一级吸收
MAT= 1/ka t1/2α = 0.693·MAT
零级吸收 MAT = T/2
非静脉给药时
MAT MRTni 1 k
MRTni
1 ka
1 k
S0 AUC
Cdt
0
tn Cdt
0
Cdt
tn
tn Cdt A e tn tn Cdt Cn
0
0
S1 AUMC
tCdt
0
tn tCdt
0
tCdt
tn
tn tCdt tAet dt
0
tn
tn 0
tCdt
(C n
/2
tnCn
/
)
Cn 即为tn时间的血药浓度，即实验中测定最后时 间的血药浓度；
口服 胶囊 350mg 0.5245
85.13 95.33
__ 10.77 1.58 0.35
__
54.92 61.48 64.49 13.09 3.90 2.67 2.32
胶囊剂在体内吸收各个过程的速率 与量的变化
64.5%
胶囊
药物动力学-统计矩原理
本章要求：
掌握零阶矩、一阶矩的定义与意义。 掌握统计矩原理在药剂学中的应用与统计矩参数 的计算方法。 熟悉MRT的原理。 熟悉应用统计矩方法求算半衰期、清除率、表观 分布容积、生物利用度、平均稳态血药浓度的方 法。 了解二阶矩的一般表述形式
T1 / 2( a) 0.693 MAT
若吸收为零级过程，设T为整个吸收时间，则
此外尿排泄速率-时间曲线的统计矩也可定 义为
X
u
dX dt
0
0
dt
dX dt t dt MRTu dX dt 0 dt
t* 0
0
t *
t i Ci t i 1Ci 1 (t i t i 1 ) tCdt i tCdt k k
t*
在统计学上“平均”的含义 对于正态分布，平均发生在样本总体的50%处
1 n 平均 ( y i ) n i 1
统计矩原理的概述
药物通过身体的过程是一个随机过程，血 药浓度-时间（C-t）曲线通常可看成是一种 统计分布曲线。 用统计矩分析药物的体内过程，其计算主 要依据药时曲线下的面积，不受数学模型 的限制，适用于任何隔室，故为非房室分 析法之一。 不论何种给药途径，从统计学上可以定义 三个统计矩。
AUC0-t
*
Ci Ci 1 (t i t i 1 ) i 1 2
n
注意：其中的k可能是β
二、一阶矩（First moment） 药物进入体内的平均驻留时间MRT（Mean Residence Time）为统计矩理论中的一阶 矩
AUMC MRT AUC
AUMC tCdt tCdt tCdt
统计矩原理计算药动学参数
X 0 AUMC X 0 AUMC Cl Vss Cl MRT iv k AUC AUC AUC 2
静脉滴注：
X 0 AUMC T Vss AUC AUC 2
式中：T为滴注持续的时间；滴注剂量X0等于滴注速度k0乘以T
静脉滴注实验数据求出MRTinf以后，就可以
间接得到MRTiv，然后根据上述关系式进一
步求出k和T1/2。
二. 清除率
清除率： 静脉注射给药后剂量标准化的血药 浓度-时间曲线的零阶距量的倒数
Cl
X 0iv AUC(iv)
X0为静注给药剂量；AUC就是零阶矩量
常通过静脉注射一定剂量求算
三. 稳态表观分布容积－Vss
0 f t dt
0
1 t f t dt
0
2 t f t dt
2 0
零阶矩 (zero moment)
将血药浓度-时间曲线下面积定义为零阶矩, 即：
AUC Cdt C dt C dt Cdt
0 0 n 0 n n
Cn
Ci Ci 1 Cn ti ti 1 AUC 2 i 1
n
λ ：药-时曲线末端直线部分的lnC对t线性回归的斜率 Cn：最末测定的血药浓度值
一阶矩 (First moment)
AUMC: 时间与血药浓度的乘积-时间曲线下面积
(AUMC)，即以t×C对t作图，所得曲线下的面积。
1978年 报道了统计矩用于药物动力学分析，阐明了 血药浓度-时间曲线和尿排泄速率-时间曲线的统计 矩定义
基于矩的图象分析及快速算法
基于矩的图象分析及快速算法近年来，随着计算机技术和图象处理技术的飞速发展，由矩的图象分析和快速算法的研究及应用受到了越来越多的关注。
矩分析是一种基于空间和时间的信息模式，具有复杂度较低、边界清晰、无歧义性、易于表示、容易处理和计算等优势，可以分析、识别、拟合以及应用到图象恢复、计算和模式识别等诸多领域，具有广泛的应用前景。
应用矩的图象分析和快速算法，首先是要正确描述它们的基本概念，然后根据它们的特性，运用到特定的图像处理应用中。
矩表示一维、二维或多维数据的分布特性，由于不需要绑定空间和时间的精确坐标，常用于复杂的图象分析和快速算法中，如图象构成、图象识别、图象处理、图象恢复、图象匹配，以及动态图象处理和跟踪等等。
针对矩的优势，有必要研发快速有效的算法来提高对图像的处理速度和准确性。
研究人员首先将图象转换为矩，然后提出了改进的快速矩计算算法，用于计算矩的一般特性和多元统计特性，完成了低维矩计算，从而提高了计算效率。
目前，随着这类算法的不断改进，有越来越多的研究对改进矩计算算法进行了深入研究，如快速矩估计算法、快速矩变换算法等，以提高图像算法的计算效率。
另外，结合机器学习或深度学习算法，可以将图像处理具体化，用于更多的应用场景，如自动驾驶、运动分析、智能机器人。
机器学习或深度学习算法可以自动学习识别出图像特征，以解决精准图像识别问题，并进行图像分析获得有用的结果。
总之，矩的图象分析及快速算法是一种有效可靠的图像处理技术，可以用于各种图像处理、计算机视觉等应用，为计算机辅助分析图像和处理视觉问题提供了新的可能性。
结合机器学习算法和深度学习算法，可以更好地解决复杂的图像处理问题，提高算法的准确性和效率。
此外，未来的发展方向还可能涉及图像增强算法，图像分类算法，图像重建算法，深度学习算法，以及矩的图像分析和快速算法等。
只要我们对这些技术有深入的理解和掌握，就可以将之应用到图像处理和机器视觉多个领域，以改善图像处理技术水平，极大提高算法的计算效率。
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• 在药动学研究中，不管何种给药途径或何 种房室模型，从统计学上都可定义为三个 统计矩：零阶矩、一阶矩、二阶矩，体现 平均值、标准差等概念，反映了随机变量 的数字特征。
• 零阶矩为AUC，和给药剂量成正比，是一 个反映量的函数；一阶矩为MRT，反映药 物分子在体内的平均停留时间，是一反映 速度的函数；二阶矩为VRT，反映药物分 子在体内的平均停留时间的差异大小。
一、零阶矩 zero moment
• 给药以后，血药浓度的经时过程可以看 成随机分布曲线，不管何种给药途径或 何种房室模型，血药浓度-时间曲线下 的面积定义为药-时曲线的零阶矩(zero moment)
AUC 0 Cdt
• 通常血药浓度只观察到某一时间t*，于是计 算0-∞时间内的血药浓度-时间曲线下面积 AUC时可划分为两个阶段，从0-t*时间曲 线下的面积可用梯形法计算，再把t*~∞时
(t MRT)2 Cdt
VRT 0
0 Cdt
• 零阶矩和一阶矩用于药动学分析，较高阶的 矩，由于误差大，结果难以肯定，无应用价 值。
案例一
• 某药物的体内过程符合线性动力学。当静脉注射 1.0g该药时，测得不同时间的血药浓度见下表：
t(h) 0 0.165 0.5 1.0 1.5 3.0 5.0 7.5 10 C
外延部分k为一级消除速率常数，其中k为血 药浓度-时间曲线末端直线部分求得的速率常数 （lnC-t），一般采用最后两点直接计算斜率或 末端多点直线回归求斜率两种方法。
二、一阶矩 first moment
MRT
tCdt
0
Cdt
AUM C AUC
0
• 一阶矩MRT为药物在体内的平均滞留时间
(mean residence time, MRT)
间内曲线下面积与这块面积相加起来。故 间t*至∞时曲线下的面积应用外延方程C*/k 进行计算。所以
t*
C*
AUC 0 Cdt 0 Cdt k
• 时间由0到t*曲线下的面积，可用梯形法求
出
AUC 0 t
n i1
Ci
Ci1 2
( ti
ti1
)
• 由于药时曲线的尾端一般符合指数消除
AUC t
• 平均滞留时间(mean residence time, MRT) 描述所有药物分子在体内滞留的平均时间， MRT内也称为平均转运时间(mean transit time)或平均逗留时间(mean sojourn time)。
100 94.8 85.3 72.1 62.4 38.1 20.3 9.2 4.2 (ug/ml)
• 计算本药物体内过程的零阶矩、一阶矩
• 此例中，c*=4.2ug/ml, t*=10h, 通过梯形面 积估算以及末端外推计算出药物的零阶矩和一 阶矩，得：
•
k=0.3152h-1
•
AUC 010
9 i 1
12统计矩分析
学习要求
• 掌握零阶矩，一阶矩的定义和计算 • 掌握应用统计矩方法求算半衰期，清除
率，表观分布容积，生物利用度，平均 稳态血药浓度的方法 • 熟悉MRT的原理 • 了解二阶矩的一般表述形式
• 经典的药物动力学研究，是以房室模型 理论为基础的分析方法。这种方法的计 算公式复杂，而且模型的确定受实验设 计和药物浓度测定方法的影响。有时一 种药物以不同途径给药，或药物浓度测 定方法不同时，会出现不同的房室模型。 一旦模型选择有误时，得到的药动学参 数相差极大，故选择最佳模型并并不互相排斥。其实我们在前 面的章节中已经不指明地使用了统计矩方法 ，但由于统计矩方法目前逐渐成了主流，我 们特辟一章专门阐述其内容。
第一节 统计矩的基本概念
• 统计矩原理（statistical moment theory） 又称矩量法，是研究随机现象的一种数 学方法。
• AUMC为一阶矩曲线下的面积，即(tC)-t 作图，所得曲线下面积
•
同样， t 0
t
C
dt
可用梯形法求出，
tCdt 则可用外推法求出 t
t* tCdt
0
n i1
tiCi
ti 2
1C
i
1
(
t
i
ti1
)
t*C* C*
tCdt t*
k
k2
三、二阶矩 second moment
• VRT:平均滞留时间的方差(variance of mean residence time)，表示药物在体内滞留时间 的变异程度。
c(t)dt
C e ktdt t
C* /k
t
t
则
AUC0
n Ci
i 1
C
2
i
1
(ti
ti 1) Ct* / k
k值的计算
不论以何种途径给药以及给药后体内药物 是否存在非线性过程，在药物消除的后期，都 可以按线性动力学的规律进行描述。若最后测 出的末端浓度为C*，对应的时刻为t*，则t*时刻 后体内药物浓度可以通过末端直线外推法描述 估计。
Ci
Ci1 2
(ti
ti1) =306.61ug/ml*h
• AUC10 C* / k =13.32ug/ml*h
• AUC=319.93ug/ml*h
• AUMC=804.77+175.52=980.29ug/ml*h2 MRT AUMC = 3.06h
AUC
第二节 平均滞留时间的原理
• 将药物进行iv，剂量X0，药物分子大部分 全身分布，这些药物分子将在体内滞留一 定时间，有些药物分子进入体内以后立即 从体内消除，而其他药物分子将在其后的 时间逐渐自身体消除。
• 以统计矩理论为基础的新的分析方法在 估算药物动力学参数时不依赖于隔室模 型，而是以药一时曲线下面积为主要计 算依据．适用于任何隔室，故又被称为 非隔室分析法。该方法计算简便，很有 实用价值。
• 虽然统计矩的公式推导依旧复杂(已经 有专家完成了这些工作)，但是公式的使用 和经典房室模型相比简单得多。目前的体内 数据解析中非房室模型已经成为主流处理的 方法，各国药品审评当局均推荐采用。
• 药物在体内的过程只要符合线性动力学 过程，都可采用统计矩法。
• 统计矩应用于药物动力学研究是基于药 物体内过程的随机变量总体效应考虑的。 机体可认为是一个系统，给药后所有药 物分子在最终离开机体前都将在体内残 留一段时间。就不同分子来说，残留的 时间有长有短，各药物分子的滞留时间 属随机变量。因此，药物体内过程便是 这些随机变量的总体效应，药时曲线就 可视为一种统计分布曲线。