北京宏志中学2014年高二数学(文科)寒假作业——导数答案

北京宏志中学2014学年高二年级（文科）数学寒假作业——导数答案一、填空题（每小题4分，共40分）1.与直线042=+-y x 平行的抛物线y ＝x 2的切线方程是 .2.函数4532)(23+-+=x x x x f 的导数=')(x f ，=-')3(f .3.已知函数f (x )=x sin x +cos x ，则f ′()的值为 .4.设f (x )=－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为 .5.一点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的距离为t t t t s 873741234-+-=，那么速度为零的时刻是 .6．某汽车启动阶段的路程函数为s (t )=2－5,则t =2时,汽车的瞬时速度是 .7.对任意的x ，有,1)1(,4)(3-=='f x x f 则此函数解析式为 .8.过原点作曲线y =的切线，则切点的坐标为 ，切线的斜率为 . 二、解答题（每小题12分，共60分） 9.求下列函数的导数. （1）sin ln x x y x=； （2）32)3(-=x y . .10.如果曲线103-+=x x y 的某一切线与直线34+=x y 平行，求切点坐标与切线方程．11.已知函数32()f x x bx cx d =+++的图象过点P （0，2），且在点M （－1，f （－1））处的切线方程为076=+-y x ．求函数y=f (x )的解析式.12.已知曲线12-=x y 与31x y +=在0x x =处的切线互相垂直，求0x 的值.1.1 导数的概念一、填空题 1.12-=x y解析：设切点坐标为()20,x x ，则切线斜率为02x，由02x ＝2得0x ＝1，故切点坐标为（1，1），切线斜率为2，故切线方程为y －1=2(x －1)，即12-=x y . 2.2665x x +-, 313.0 解析：∵ f ′(x )=sin x +x cos x －sin x =x cos x ，∴ f ′()＝0.4.{xx >2} 解析：由题意知x >0，且f ′(x )=2x －2－，即f ′(x )=＞0，∴ －x －2>0，解得x <－1或x >2.又∵ x >0，∴ x >2.5.1，2，4秒末 解析：由题意，得v=+14t -8,令+14t -8=0，解得t =1或t =2或t =4.6.4 解析：汽车在t =2时的瞬时速度为s (t )在t =2处的导数,将t =2代入s ′(t )=6-10t 即可.7.4()2f x x =- 解析：由34)(x x f ='，可设f (x )=+c ,又f (1)=-1,所以f (1)=1+c =-1.解得c =-2，所以4()2f x x =-.8.(1,e ) e 解析：设切点坐标为(,). ∵ y ′=，∴ 切线的斜率k =.又切线过原点，∴ k ==，即=，可得＝1， ∴ 切点的坐标为(1,e )，切线的斜率为e . 二、解答题9.解：(1)(2)错误！未指定书签。

226(3)y x x '=-. 10.解： 切线与直线34+=x y 平行，∴ 斜率为4.又切线在点0x 处的斜率为0320(10)31x x x x y x x x ==''=+-=+，∴ 41320=+x , ∴ 10±=x . ∴ 001,8,x y =⎧⎨=-⎩ 或001,12.x y =-⎧⎨=-⎩∴ 切点为（1，-8）或（-1，-12）.∴ 切线方程为)1(48-=+x y 或)1(412+=+x y ，即124-=x y 或84-=x y . 11.解：由f (x )的图象经过P （0，2），知d =2，∴ ,2)(23+++=cx bx x x f .23)(2c bx x x f ++=' 由在M (-1,f (-1))处的切线方程是076=+-y x ，知 .6)1(,1)1(,07)1(6=-'=-=+---f f f 即{{326,23,121,0,3.b c b c b c b c b c -+=-=-∴-+-+=-===-即解得 故所求的解析式是 .233)(23+--=x x x x f 12.解：02210202,2;3,3,x x x x y x k y x y x k y x ==''''======.312001,61,k k x x =-∴=-= 13解：(1)设f (x )＝ln x x ，则f ′(x )＝1－ln xx2. 所以f ′(1)＝1，即L 的斜率为1. 又L 过点(1,0)，所以L 的方程为y ＝x －1.14解：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ax.(1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x(x >0)，因而f (1)＝1，f ′(1)＝－1，所以曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. (2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x >0知：①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值； ②当a >0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a ， 又当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值． 综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值.15解：(1)当a ＝1，b ＝－1时，函数f (x )＝x 2＋x －ln x ，则f ′(x )＝2x ＋1－1x，令f ′(x )＝0，得x ＝－1(舍去)或x ＝12.当0<x <12时，f ′(x )<0，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递减； 当x >12时，f ′(x )>0，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增．所以f (x )在x ＝12处取得极小值34＋ln 2，无极大值．16解 (1)当a ＝1时，f ′(x )＝6x 2－12x ＋6，所以f ′(2)＝6.又因为f (2)＝4，所以切线方程为y ＝6x －8.17解：(1)∵f (x )图像关于原点对称，∴f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．解得m ＝4，n ＝6，∴f (x )＝x 3－12x .(2)∵f (x )＝f (x )－(ax 2＋b )＝x 3－ax 2－12x －b ，∴F ′(x )＝3x 2－2ax －12，又 f (x )在[1，2]上是减函数，得⎩⎪⎨⎪⎧F ′（1）＝3－2a －12≤0，F ′（2）＝12－4a －12≤0， 解得a ≥0.故实数a 的取值范围为[0，＋∞)．18解:⑴()2323f x ax bx '=+-根据题意,得()()12,10,f f =-⎧⎪⎨'=⎪⎩即32,3230,a b a b +-=-⎧⎨+-=⎩解得10a b =⎧⎨=⎩所以()33f x x x =-⑵令()0f x '=,即2330x -=.得1x =±.因为()12f -=,()12f =-,所以当[]2,2x ∈-时,()max 2f x =,()min 2f x =- 则对于区间[]2,2-上任意两个自变量的值12,x x ,都有()()()()12max min 4f x f x f x f x -≤-=,所以4c ≥.所以c 的最小值为48.已知函数1)(,21)(23=++-=x x f c bx x x x f 在且处取得极值. （I ）求b 的值；(b =－2)（II ）若当2)(,]2,1[c x f x <-∈时恒成立，求c 的取值范围；(c<－1或c>2.) （III ）对任意的27|)()(|],2,1[,2121≤--∈x f x f x x 是否恒成立？如果成立，给出证明，a ax x a x x f 244)1(31)(23+++-=(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;()2,(-∞和),2(+∞a 是增函数，在区间)2,2(a 是减函数。

) (Ⅱ)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a 的取值范围。

(1<a<6)10.已知函数2()sin cos f x x x x x =++.(Ⅰ)若曲线()y f x =在点(,())a f a )处与直线y b =相切,求a 与b 的值. (0a =,(0)1b f ==) (Ⅱ)若曲线()y f x =与直线y b = 有两个不同的交点,求b 的取值范围.((1,)+∞).11．设a ∈R ，函数32()2(63)122f x x a x ax =+--+．（Ⅰ）若1a =，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；(1220x y +-=)（Ⅱ）求函数()f x 在[2,2]-上的最小值.( 当2a ≤-时，()f x 的最小值为1012a +；当22a -<<时，()f x 的最小值为3262a a --+；当2a ≥时，()f x 的最小值为4236a -．) 12.已知函数1)(2-=x x f 与函数)0(ln )(≠=a x a x g .（I ）若)(),(x g x f 的图象在点)0,1(处有公共的切线，求实数a 的值；(2a =)（II ）设)(2)()(x g x f x F -=，求函数)(x F 的极值.（当0<a 时，函数)(x F 在),0(+∞上无极值；当0>a 时，函数()F x 在a x =处取得极小值a a a ln 1--. ）13.已知函数2()ln (1)2ax f x x a x =+-+，a ∈R ，且0a ≥．（Ⅰ）若(2)1f '=，求a 的值；（32a =）（Ⅱ）当0a =时，求函数()f x 的最大值；（(1)1f =-）（Ⅲ）求函数()f x 的单调递增区间．（当0a =时，函数()f x 的递增区间是(0, 1)； 当01a <<时，函数()f x 的递增区间是(0, 1)，1(, )a+∞； 当1a =时，函数()f x 的递增区间是(0, )+∞；当1a >时，函数()f x 的递增区间是1(0, )a，(1, )+∞.） 14.已知函数1()()2ln ()f x a x x a x=--∈R ．（Ⅰ）若2a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（220x y --=）（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间. （当0a ≤时， ()f x 在(0,)+∞上单调递减。