高二数学导数的应用
高中数学第1章导数及其应用1.3.2利用导数研究函数的极值b22b高二22数学
故当 x＝0 时，函数取得极小值，且 y 极小＝0.
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1．讨论函数的性质要注意定义域优先的原则．
2．极值点与导数的关系
(1)可导函数的极值点一定是导数值为 0 的点，导数值为 0 的点
不一定是极值点．
点 x0 是可导函数 f(x)在区间(a，b)内的极值点的充要条件：
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(3)f(x)＝|x|＝x－，xx，≥x0<，0.
显然函数 f(x)＝|x|在 x＝0 处不可导，
当 x>0 时，f′(x)＝x′＝1>0，
函数 f(x)＝|x|在(0，＋∞)内单调递增；
当 x<0 时，f′(x)＝(－x)′＝－1<0，
函数 f(x)＝|x|在(－∞，0)内单调递减．
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2．函数 f(x)＝2x－cos x 在(－∞，＋∞)上( )
A．无最值
B．有极值
C．有最大值
D．有最小值
[解析] f′(x)＝2＋sin x>0 恒成立，所以 f(x)在(－∞，＋∞)上单调 递增，无极值，也无最值．
[答案] A
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3．下列说法正确的是________．(填序号) ①函数的最大值一定是函数的极大值； ②开区间上的单调连续函数无最值； ③函数 f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处 取得．
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1．观察[a，b]上函数 y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、极小 值．
提示：f(x1)，f(x3)为函数的极大值，f(x2)，f(x4)为函数的极小值．
高二数学《导数》知识点总结
高二数学《导数》知识点总结【一】1、导数的定义：在点处的导数记作.2.导数的几何物理意义：曲线在点处切线的斜率①k=f/(x0)表示过曲线y=f(x)上P(x0,f(x0))切线斜率。
V=s/(t)表示即时速度。
a=v/(t)表示加速度。
3.常见函数的导数公式：①;②;③;⑤;⑥;⑦;⑧。
4.导数的四则运算法则：5.导数的应用：(1)利用导数判断函数的单调性：设函数在某个区间内可导,如果,那么为增函数;如果,那么为减函数;注意：如果已知为减函数求字母取值范围,那么不等式恒成立。
(2)求极值的步骤：①求导数;②求方程的根;③列表：检验在方程根的左右的符号，如果左正右负,那么函数在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么函数在这个根处取得极小值;(3)求可导函数值与最小值的步骤：ⅰ求的根;ⅱ把根与区间端点函数值比较,的为值,最小的是最小值。
导数与物理，几何，代数关系密切：在几何中可求切线;在代数中可求瞬时变化率;在物理中可求速度、加速度。
学好导数至关重要，一起来学习高二数学导数的定义知识点归纳吧!导数是微积分中的重要基础概念。
当函数y=f(x)的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存有，a即为在x0处的导数，记作f'(x0)或df(x0)/dx。
导数是函数的局部性质。
一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这个点附近的变化率。
如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这个点上的切线斜率。
导数的本质是通过极限的概念对函数实行局部的线性逼近。
例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。
不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。
若某函数在某一点导数存有，则称其在这个点可导，否则称为不可导。
不过，可导的函数一定连续;不连续的函数一定不可导。
对于可导的函数f(x)，xf'(x)也是一个函数，称作f(x)的导函数。
_高中数学第一章导数及其应用2
f(x)＝1x
f ′(x)＝－x12＝－x－2
f(x)＝ x
f ′(x)＝21 x＝12x－12
f(x)＝x3
f′(x)＝3x2
结论：若f(x)＝xα(α为有理数)，则f′(x)＝αxα－1.
1．y＝c表示平行于x轴的直线，或与x轴重合的直线， 其斜率为0，故y＝c上任一点处的导数值为____0____， 直线y＝x的斜率为1，故直线y＝x上任一点处的导数值 为___1_____.
[分析] 只需求出K、Q两点的横坐标即可．
[解析]
设P(x0，y0)，则kl1＝y′|x＝x0＝2
1 x0
.
∵直线l1与l2垂直，则kl2＝－2 x0，
∴直线l2的方程为y－y0＝－2 x0(x－x0)．
∵点P(x0，y0)在曲线y＝ x上，∴y0＝ x0.
在直线l2的方程中令y＝0，则－ x0＝－2 x0(x－x0)．
2．当y＝c表示路程关于时间的函数时，常数c表明路 程不变化，因此一直处于__静__止____状态，故瞬时速度 为___0_____，因此y′＝____0____；
当y＝x表示路程关于时间的函数时，路程的改变量等 于时间的改变量，因此物体做匀速直线运动，瞬时速 度为___1_____，故y′＝____1____.
当P点不是切点时，设切点为A(x0，y0)，由定义可求得切 线的斜率为k＝3x20.
∵A在曲线上，∴y0＝x30，∴xx300－－82＝3x20，
∴x30－3x20＋4＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0， ∴x0＝－1或x0＝2(舍去)，∴y0＝－1，k＝3， 此时切线方程y＋1＝3(x＋1)，即3x－y＋2＝0. 故经过点P的曲线的切线有两条，方程为12x－y－16＝0和 3x－y＋2＝0. [警示] 求曲线过点P的切线时，应注意检验点P是否在曲 线上，若点P在曲线上，应分P为切点和P不是切点讨论．
高二数学导数知识要点总结
高二数学《导数》知识要点总结导数：导数的意义-导数公式-导数应用1、导数的定义：在点处的导数记作.2.导数的几何物理意义：曲线在点处切线的斜率①k=f/表示过曲线y=f上P)切线斜率。
V=s/表示即时速度。
a=v/表示加速度。
3.常见函数的导数公式:①;②;③;⑤;⑥;⑦;⑧。
4.导数的四则运算法则：5.导数的应用：利用导数判断函数的单调性：设函数在某个区间内可导,如果,那么为增函数;如果,那么为减函数;注意：如果已知为减函数求字母取值范围,那么不等式恒成立。
求极值的步骤：①求导数;②求方程的根;③列表：检验在方程根的左右的符号，如果左正右负,那么函数在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么函数在这个根处取得极小值;求可导函数最大值与最小值的步骤：ⅰ求的根;ⅱ把根与区间端点函数值比较,最大的为最大值,最小的是最小值。
导数与物理，几何，代数关系密切：在几何中可求切线;在代数中可求瞬时变化率;在物理中可求速度、加速度。
学好导数至关重要，一起来学习高二数学导数的定义知识点归纳吧!导数是微积分中的重要基础概念。
当函数y=f 的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'或df/dx。
导数是函数的局部性质。
一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。
如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。
导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。
例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。
不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。
若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。
然而，可导的函数一定连续;不连续的函数一定不可导。
对于可导的函数f，x↦f'也是一个函数，称作f的导函数。
导数的应用(第3课时)利用导数研究函数的最值和二次函数(课件)高二数学(沪教版2020选择性必修二)
在闭区间上的连续函数 ， 函数的最大值与最小 ， 可以直观地理解为在区间 I上图像为一条连绵不断的曲线的函数 ． 更精确及普适的连续函 数的定义 ， 要用到严格的极限语言 ， 在高等数学中才能给出 ．
例9.已知（f x）＝-x2＋６x 1，求函数y （f x）在区间［ ０，７］ 上的最大值与最小值
解 由本节例 ６ 可知 ， 函数 （f x）＝-x2＋６x 1 的驻点为 x ＝３ ，比较 f（ ３ ） ＝８ ， f（ ０ ） ＝－１ ， f（ ７ ） ＝－８ ， 可知该函数在 ［ ０ ， ７ ］ 上的最大值是 ８ ， 最小值是 －８ ， 如图 ５-３-３ 所示
首先 ，可以利用导数的正负来判断函数y=ax2 +bx+c（a＞０）的单调性 ， 同时求出它的极值 ．
记f (x)=ax2 +bx+c ．对该函数求导 ，可得f (x)＝２ax＋b，令f (x)＝０，
解得函数有唯一驻点x0 ＝-
b ．可以列表如下 2a
：
因此 ，函数y f (x)的单调减区间为( - ，- b ),单调增区间为(- b ，+)
当 Δ≤０ 时 ， 该不等式的解集为 Ｒ． 这就很方便地得到必修课程 第 ２ 章中的相应结论 ．
课本练习 宋老师数学精品工作室
１． 判断下列说法是否正确 ， 并说明理由 ： （ １ ） 函数在某区间上的极大值不会小于它的极小值 ； （ ２ ） 函数在某区间上的最大值不会小于它的最小值 ； （ ３ ） 函数在某区间上的极大值就是它在该区间上的最大值 ； （ ４ ） 函数在宋某老区师间数上学的精最品大工值作就室是它在该区间上的极大值 ．
第 5 章导数及其应用
导数是高二上册吗知识点
导数是高二上册吗知识点高等数学中的导数是高中数学的内容，通常在高二上学期开始学习。
导数是微积分的一个重要概念，用于研究函数的变化率和函数的局部性质。
在本文中，我们将介绍导数的定义、求导法则以及一些应用。
一、导数的定义在数学中，导数描述了函数在某一点上的变化率。
对于函数f(x)，它在点x处的导数可以用极限来定义：f'(x) = lim┬(h→0)〖(f(x+h)-f(x))/h〗其中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。
这个定义可以直观地理解为，当x在无限接近于给定点时，函数f(x)在该点的斜率逐渐趋近于某个特定值。
二、求导法则求导法则是计算函数导数的一套规则和方法，便于我们在实际应用中进行计算。
以下是常见的求导法则：1. 基本导数法则：a. 常数导数法则：如果c是一个常数，那么dc/dx = 0。
b. 幂函数导数法则：对于函数f(x) = x^n，其中n是一个实数，则f'(x) = nx^(n-1)。
c. 指数函数导数法则：对于函数f(x) = a^x，其中a是一个正实数且不等于1，则f'(x) = ln(a) * a^x。
d. 对数函数导数法则：对于函数f(x) = logₐ(x)，其中a是一个正实数且不等于1，则f'(x) = 1/(x * ln(a))。
2. 导数的四则运算法则：a. 和差法则：(f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)。
b. 积法则：(f(x) * g(x))' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)。
c. 商法则：(f(x) / g(x))' = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / (g(x))^2。
3. 复合函数导数法则：如果y = f(g(x))，则y' = f'(g(x)) * g'(x)。
高二数学导数的实际应用试题答案及解析
高二数学导数的实际应用试题答案及解析1.已知函数，则（）A．0B．1C．2D．【答案】C【解析】,.【考点】导数公式的应用.2.已知函数，则＝____________。
【答案】0；【解析】，所以；【考点】三角函数求导公式；3.函数的定义域为开区间，其导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内极小值点的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】在极小值点处满足：,由图可知在右边第二个零点处满足条件，故A.【考点】极值点定义.4.已知．.（1）求函数在区间上的最小值；（2）对一切实数，恒成立，求实数的取值范围；(3) 证明对一切，恒成立．【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析.【解析】（1）对于研究非常规的初等函数的最值问题，往往都需要求函数的导数.根据函数导数的正负判断函数的单调性，利用单调性求函数在某个区间上的最值；（2）恒成立问题，一般都需要将常数和变量分离开来（分离常数法）转化为最值问题处理；（3）证明不等式恒成立问题，往往将不等式转化为函数来证明恒成立问题.但有些时候这样转化后不等会乃然很难实现证明，还需对不等式经行恒等变形以达到化简不等式的目的，然后再证.试题解析：⑴，当，，单调递减，当，，单调递增． 1分（由于的取值范围不同导致所处的区间函数单调性不同，故对经行分类讨论.）①，t无解； 2分②，即时， 3分③，即时，在上单调递增，；所以 5分由题可知:,则.因对于,恒成立，故,设，则.单调递增，单调递减.所以，即.问题等价于证明(为了利用第（1）小问结论，并考虑到作差做函数证明不方便，下证的最值与最值的关系.)由（1）可知在的最小值是,当且仅当时取到.设,则,易得,当且仅当时取到.从而对于一切,都有恒成立.【考点】（1）含参量函数最值的讨论；（2）含参恒成立问题，参数取值范围；（3）利用倒数证明不等式.5.已知是的导函数，，且函数的图象过点．（1）求函数的表达式；（2）求函数的单调区间和极值．【答案】（1）;（2）函数的单调减区间为，单调增区间为极小值是，无极大值．【解析】⑴注意到是常数,所以从而可求得;又因为函数的图象过点，所以点的坐标满足函数解析式,从而可求出m的值，进而求得的解析式．（2）由⑴可得的解析式及其定义域,进而就可应用导数求其单调区间和极值．试题解析：⑴，，函数的图象过点，，解得：函数的表达式为：（2）函数的定义域为，当时，；当时，函数的单调减区间为，单调增区间为极小值是，无极大值．【考点】1．函数的导数;2．函数的单调区间;3．函数的极值．6.已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值等于（）A．B．-1C．4D．2【答案】A【解析】对求导，知，令可得，解得.【考点】求导.7.函数的导函数的图像如图所示，则的图像最有可能的是（）【答案】C.【解析】从的图像中可以看到，当时，，当时，，∴在上是减函数，在上是增函数，∴选C.【考点】导数的运用.8.函数在x=4处的导数= .【答案】.【解析】∵，∴，∴.【考点】复合函数的导数.9.函数的单调递增区间是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，单调递增区间有,，可得.【考点】由导数求函数的单调性.10.已知函数在上是单调递减函数,方程无实根，若“或”为真，“且”为假，求的取值范围。
高二数学导数在实际生活中的应用2
课题：导数的应用
我行 我能 我要成功 我能成功
例: 在如图所示的电路中，已 知电源的内阻为r，电动势为ε， 外电阻R为多大时，才能使电功 率最大？最大电功率是多少？
r ε
R
课题：导数的应用
我行 我能 我要成功 我能成功
强度分别为a,b的两个点光源A,B，它们
间的距离为d，试问在连接这两个光源 的线段AB上，何处照度最小？试就 a=8,b=1,d=3时回答上述问题（照度与 光的强度成正比，与光源距离的平方成 反比）
课题：导数的应用
我行 我能 我要成功 我能成功
课题：导数的应用
我行 我能 我要成功 我能成功
利用导数求函数f(x)在区间[a,b]上最值的步骤: (1)求f(x)在区间[a,b]内极值； (极大值或极小值) (2) 将 y=f(x) 的各极值与 f(a) 、 f(b) 比较，其中最大的一个为最大值，最小的
( 2 )( x ) x
x ' x
'
( 为常数）
(3)( a ) a lna(a 0, 且 a 1)
1 ( 4)( log a x ) (a 0, 且 a 1) xlna
(5)( e ) e
x '
'
x
(7 )(sinx ) cosx
(8)(cosx) sinx
时就扑向她怀里の同时开口说道：“额娘，您头上の珠花要掉咯！”弘时壹边说着，壹边抬起手去给淑清摆弄珠花，然后这只小手半路中就变
咯方向。他哪里是伸向咯他额娘の珠花，而是直直地照着正在布菜の壹各奴才の胳膊上伸咯过去。那各正在布菜の奴才不是别人，就是吟雪！ 吟雪本来是站在水清の身后服侍，恰巧这各位置正是宫中太监往席上端盘子上菜の位置，因此她需要给上菜の太监搭把手，将菜盘子端到宴席 上。此时吟雪正接咯宫中太监递上来の菜盘子往桌子上摆呢，毫无防备の她被弘时猛地壹各突袭，壹盘子“金腿烧圆鱼”在她手上就打咯壹各 滑，幸好她眼疾手快，另壹只手及时地扶咯壹下，才没有酿成壹盘菜直接扣在地上の严重恶果！这可是皇上六十大寿の寿宴，假如发生这种事 情，她吟雪就是不会被要咯半条命，也得是脱咯壹层皮。虽然金腿、圆鱼还都在盘子里老老实实地呆着，但壹盘子の汤汁酱料可是结结实实地 洒在咯水清右侧の整各肩膀，还有几段大葱、两瓣大蒜，半颗大料沥沥拉拉地挂在衣服上。吟雪吃咯壹各哑巴亏！她哪儿敢说是弘时小格碰咯 她の胳膊，只能是赶快先找热巾来擦试。好不容易汤汁不再四处横流咯，但水清整整右肩膀外加右前襟全都是油腻腻の酱汁。今天因为是出席 宫中の寿宴，她の服饰完全是按品级穿戴，侧福晋の公服是粉红色旗装。因此，在粉红色旗装の映衬下，那壹大片近乎黑色の酱汁极为刺眼夺 目。看着平时漂漂亮亮、光光鲜鲜の年姨娘现在竟是这副狼狈不堪の样子，弘时の心中简直就是乐开咯花。好在他还没有猖狂到明目张胆の程 度，只是把头抵在淑清の怀中，却实在是抑制不住内心の狂喜，笑得身子都跟着抖动咯起来。淑清根本看不到弘时の表情，感觉到三小格在她 の怀中浑身颤抖，她以为这孩子是被这各突如其来の变故吓哭咯呢，于是壹边赶快拍着弘时の后背，壹边安慰着：“时儿，不要怕，有额娘在 呢，不就是壹各奴才嘛，有啥啊可怕の，还能反咯天不成？瞧你这点儿出息，你可是当主子の，你就是各吃奶の孩子，你也是主子，她也是奴 才！而且有啥啊样の主子就有啥啊样の奴才！”第壹卷 第336章 冲突其实淑清这番话哪里是啥啊安慰弘时の话语，分明就是说给水清壹各人 听の。她当然看到咯年妹妹身上那片难看の菜汁，也知道吟雪の胳膊被弘时挡咯壹下。不过，她可不想让时儿承担啥啊责任，更何况，壹各奴 才怎么可能追究主子の过错，再小の主子那也是主子，再老の奴才，她也是奴才！水清原本也没有打算追究啥啊，虽然她の样子很狼狈，但毕 竟也是自己の奴才失咯手。可是李姐姐の这番话说得可就不对咯，事情是有因才有果の，吟雪假如没有被三小格欺负，怎么可能犯咯这么大の
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