傅里叶变换性质证明
傅里叶变换性质证明
傅里叶变换性质证明性质一：线性性质F[a*f(t)+b*g(t)]=a*F[f(t)]+b*F[g(t)]其中F表示傅里叶变换。
这个性质的证明非常简单，我们只需将傅里叶变换的定义代入到等式中即可。
性质二：时移性质时移性质指的是时域上的移动会导致频域上的相位变化。
设F[f(t)]表示函数f(t)的傅里叶变换，则有：F[f(t - a)] = e^(-2πiaω) * F[f(t)]其中a是常数，ω是角频率。
这个性质的证明可以通过将f(t-a)展开成泰勒级数，并代入傅里叶变换的定义进行推导得到。
性质三：频移性质频移性质指的是频域上的移动会导致时域上的相位变化。
设F[f(t)]表示函数f(t)的傅里叶变换，则有：F[e^(2πiaω0) * f(t)] = F[f(t - a)]其中a是常数，ω0是角频率。
这个性质的证明可以利用傅里叶变换的定义以及欧拉公式进行推导。
性质四：尺度变换性质尺度变换性质指的是时域上的信号缩放会导致频域上的信号压缩。
设F[f(t)]表示函数f(t)的傅里叶变换，则有：F[f(a*t)]=，a，^(-1)*F[f(t/a)]其中a是常数。
这个性质的证明可以通过将f(a*t)展开成泰勒级数，并代入傅里叶变换的定义进行推导得到。
性质五：卷积定理卷积定理是傅里叶变换中最重要的性质之一、它指出卷积在频域上等于两个函数的傅里叶变换的乘积。
设f(t)和g(t)是两个函数，f(t)*g(t)表示它们的卷积，F[f(t)]和F[g(t)]表示它们的傅里叶变换，则有：F[f(t)*g(t)]=F[f(t)]*F[g(t)]其中*表示卷积，乘法表示两个函数的傅里叶变换的乘积。
这个性质的证明可以通过将卷积展开成积分形式，然后利用傅里叶变换的定义进行推导得到。
以上是傅里叶变换的几个重要性质及其证明。
这些性质使得傅里叶变换具有很强的分析和应用能力，在信号处理、图像处理、通信等领域得到广泛应用。
这些性质的正确性和证明对于理解和应用傅里叶变换非常重要。
傅里叶变换性质傅里叶变换的性质证明
F ( ) R ( ) j X ( ) R () jX () F * ()
五．时移特性
若 f(t) F (),
则 f(t t0 ) F ()e j t0 ;
若 F ()F ()ej() 则 f ( t t 0 ) F () e j ( ) t 0
utF 直流 12
余下部 f2(t)分 u(t)1 21 2sgtn),( utj1
f2t微f分 2tt1, f2(t)j1
ut
f1 t
dut f1t
1
dt
1 2
1
o
t
o
t
o
t
2．频域微分性质
若 f(t) F (),则 t( t f ) jF d d
或 j t( t f ) d F d
显然
R ftc ostdt
X
fts
intdt
R R
关于 的奇函数
X X
F F
已 F f t 知 F
F f t F
证明
当 F 1 a 0 时 ,设 f(a a b b t)t e j x t,d 则 tt x b ,d t 1 d x
aa
F 1 f(x )e j axeja ba 1d xa1Faejab
2 E ej24 E 2 E e j2 j2 F 2 F
F 1 2 2 E e j 2 4 E 2 E e j 2
122 E ej2 2 e j2
2 E 2 e j 4 e j 4 2 2 E 2 2 jsi4 n 2
2
对压 所 2 ： f缩 2 有 t 5 E S a e j 5 2
傅里叶变换性质证明
傅里叶变换性质证明 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】傅里叶变换的性质2.6.1线性若信号和的傅里叶变换分别为和，则对于任意的常数a和b，有将其推广，若,则其中为常数，n为正整数。
由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质.显然傅里叶变换也是一种线性运算，在第一章我们已经知道了，线性有两个含义：均匀性和叠加性。
均匀性表明，若信号乘以常数a，则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a，即叠加性表明，几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和?2.6.2 反褶与共轭性设f(t)的傅里叶变换为，下面我们来讨论信号反褶、共轭以及既反褶又共轭后，新信号的傅里叶变换。
（1）反褶f(-t)是f(t)的反褶，其傅里叶变换为（2）共轭（3）既反褶又共轭本性质还可利用前两条性质来证明：设g(t)=f(-t)，h(t)=g*(t)，则在上面三条性质的证明中，并没有特别指明f(t)是实函数还是复函数，因此,无论f(t)为实信号还是复信号，其傅里叶变换都满足下面三条性质2.6.3 奇偶虚实性已知f(t)的傅里叶变换为。
在一般情况下，是复函数，因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分，即?根据定义，上式还可以写成下面根据f(t)的虚实性来讨论F()的虚实性。
(1) f(t)为实函数对比式(2-33)与(2-34)，由FT的唯一性可得（）f(t)是实的偶函数，即f(t)=f(-t)X()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故这时X()=0，于是可见，若f(t)是实偶函数，则F()也是实偶函数，即左边反褶，右边共轭（）f(t)是实的奇函数，即-f(t)=f(-t)R()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故这时R()=0，于是可见，若f(t)是实奇函数，则F()是虚奇函数，即左边反褶，右边共轭有了上面这两条性质，下面我们来看看一般实信号（即可能既不是偶信号，又不是奇信号，反正不清楚，或者说是没有必要关心信号的奇偶特性）的FT频谱特点。
傅里叶变换的基本性质
傅里叶变换的基本性质（一）傅里叶变换建立了时间函数和频谱函数之间转换关系。
在实际信号分析中，经常需要对信号的时域和频域之间的对应关系及转换规律有一个清楚而深入的理解。
因此有必要讨论傅里叶变换的基本性质，并说明其应用。
一、线性傅里叶变换是一种线性运算。
若则其中a和b均为常数，它的证明只需根据傅里叶变换的定义即可得出。
例3-6利用傅里叶变换的线性性质求单位阶跃信号的频谱函数。
解因由式(3-55)得二、对称性若则证明因为有将上式中变量换为x，积分结果不变，即再将t用代之，上述关系依然成立，即最后再将x用t代替，则得所以证毕若是一个偶函数，即，相应有，则式(3-56)成为可见，傅里叶变换之间存在着对称关系，即信号波形与信号频谱函数的波形有着互相置换的关系，其幅度之比为常数。
式中的表示频谱函数坐标轴必须正负对调。
例如：例3-7若信号的傅里叶变换为试求。
解将中的换成t，并考虑为的实函数，有该信号的傅里叶变换由式(3-54)可知为根据对称性故再将中的换成t，则得为抽样函数，其波形和频谱如图3-20所示。
三、折叠性若则四、尺度变换性若则证明因a＞0，由令，则，代入前式，可得函数表示沿时间轴压缩(或时间尺度扩展) a倍，而则表示沿频率轴扩展(或频率尺度压缩) a倍。
该性质反映了信号的持续时间与其占有频带成反比，信号持续时间压缩的倍数恰好等于占有频带的展宽倍数，反之亦然。
例3-8已知,求频谱函数。
解前面已讨论了的频谱函数，且根据尺度变换性，信号比的时间尺度扩展一倍，即波形压缩了一半，因此其频谱函数两种信号的波形及频谱函数如图3-21所示。
五、时移性若则此性质可根据傅里叶变换定义不难得到证明。
它表明若在时域平移时间，则其频谱函数的振幅并不改变，但其相位却将改变。
例3-9求的频谱函数。
解: 根据前面所讨论的矩形脉冲信号和傅里叶变换的时移性，有六、频移性若则证明证毕频移性说明若信号乘以，相当于信号所分解的每一指数分量都乘以，这就使频谱中的每条谱线都必须平移，亦即整个频谱相应地搬移了位置。
傅里叶变换的性质
由于 满足绝对可积条件，其傅里叶变换不含冲激函数，故
10） 频谱如图 5.4-8(d)所示。
（5.4-
(a)
(b)
(c) 图 5.4-8 三角脉冲信号及其频谱 若傅里叶变换式对 求导，可得频域微分性质：
(d) （5.4-11）
例 5.4-6 利用频域微分性质求斜变函数 解
的傅里叶变换。
根据频域微分性质，有
4 傅里叶变换的性质
傅里叶变换建立了信号的时域与频域间的一般关系。实际上， 通过数学运算求解一个信号的傅里叶变换不是最终的目的，重要的是在信号分 析的理论研究与实际设计中能够了解当信号在时域进行某种运算后在频域将 发生何种变化，或反过来从频域的运算推测时域信号的变动。如果采用傅里叶 变换的基本性质求解复杂信号变换，不仅计算过程简单，而且物理概念清楚。
一、线性 傅里叶变换的线性性质包含齐次性与可加性，若
，
则
（5.4-1）
式中 、 为任意常数。
上面的结论可以容易地由傅里叶变换的定义式证明。即傅里 叶变换是一种线性运算，相加信号的频谱等于各个信号的频谱之和。
二、对偶性 若
则
如图 5.4-1 所示，其中
，
。
图 5.4-1 对偶性说明 证明 由逆傅里叶变换公式
（5.4-8）
图 5.4-7 符号函数及其频谱 利用常数 1 和符号函数的傅里叶变换，可求得阶跃函数的变换。由于
故有
（5.4-9）
阶跃函数的傅里叶变换在 处为
，在 处为
。
例 5.4-5 利用时域微分性质求图 5.4-8(a)所示三角脉冲 信号的傅里叶变换。
解 三角脉冲信号可表示为
对 求两次导数，波形如图 5.4-8(b)和(c)所示。根据微分性质得
信号分析与处理——傅里叶变换性质
1. 线性 2. 奇偶性 3. 对偶性 4. 尺度变换特性 5. 时移特性
6.
频移特性
7.
微分特性
8.
积分特性
9. 帕斯瓦尔定理
10. 卷积定理
1、线性（叠加性）
若:
x1 (t) X1 ()
x2 (t) X 2 ()
则: a1x1 (t) a2 x2 (t) a1 X 1 () a2 X 2 ()
Sa(t0
)e
j t0 2
2
由积分性质，可得 的x频2 (谱t)为
X 2 ()
X1() j
X1(0) ()
又因为： 所以得：
X1(0) 1
X 2 ()
1
Sa(
t0
)e
j
t0 2
j 2
()
9、帕斯瓦尔定理
若: x(t) X ()
则:
x(t) 2 dt 1 X () 2 d
2
式(2-100)为有限能量信号的帕斯瓦尔公式
2
)
由线性和时移特性，有:
X
2
()
3Sa(
3
2
)
X
()
1 2
e
j
5 2
X 1 ( )
e
j 5 2
X
2
()
e
j 5 2
1 2
Sa(
2
)
3Sa( 3
2
)
例：求三脉冲信号的频谱
g (t为)P36页的标准矩形脉冲信号
求如下三脉冲信号的频谱函数
x(t) g(t) g(t T ) g(t T )
解：
X () G()(1 e jT e jT ) G()(1 2 cosT ) E Sa( )(1 2 cosT )
序列的傅里叶变换的定义和性质
式中a, b为常数
3. 时移与频移
设X(e jω)=FT[x(n)]， 那么
改变相位
FFTT[[xx((nnnn00))]]eejjn0n0XX((eejj)) FFTT[[eejj00nnxx((nn))]]XX((eej(j(00)))
序列的傅里叶变换的定义和性质
h(n)= he(n)u+(n) h(n)= ho(n)u+(n)+h(o)δ(n)
u(n)
分段增 益函数
2, n 0 1, n 0 0, n 0
说明：实因果序列可以完全仅由其偶序列he(n)恢复，因为其
奇序列ho(n)中缺少n=0点h(n)的信息，因此由ho(n)恢复h(n)
时，需要补充一点h(o)δ(n)信息
h (o ), n 0
h0(，o ) n, =0n 0
he(n)
1 h (n ), n 0 2 1 h ( n ), n 0 2
ho (n)
1 h (n ), n 0 2 1 h ( n ), n 0
2
序列的傅里叶变换的定义和性质
实因果序列h(n)分别用he(n)和ho(n)表示为
x(n)=cosωn+j sinωn 上式表明:共轭对称序列的实部是偶函数， 虚部是奇函数。
序列的傅里叶变换的定义和性质
(3) 任意序列可表示成共轭对称序列与共轭反对称序列之和
x(n)=xe(n)+xo(n)
xe(n), xo(n)和原序列x(n)有何关系？ 将上式中的n用-n代替， 取共轭：
x*(-n)=xe(n)-xo(n)
根据上面两式， 得到
xxee ((nn))
1 22
3.5傅立叶变换的性质与应用
线性与对称性
例4. 求:
1 F t
(ω ≠ 0)
解: 由符号函数的傅立叶变换对: 由符号函数的傅立叶变换对: Sgn(t)
2 jω
2 ∴ 2π Sgn(ω) = 2π Sgn(ω) jt
1 则 jπ Sgn(ω) : t
脉冲展缩与频带的关系
尺度特性 信号在时域中的扩展或压缩, 信号在时域中的扩展或压缩,将影响频谱的波形 若 f (t ) F ( jω ) 则
h(t ) H ( jω )
Y f ( jω ) = H ( jω ) F ( jω )
卷积定理
利用卷积定理证明时移特性: 利用卷积定理证明时移特性:
f (t t0 ) = f (t ) * δ (t t0 ) F ( jω )e jω t0
利用卷积定理证明频移特性: 利用卷积定理证明频移特性:
0
Aτ 4π τ
ω
τ
4
τ
4
τ
等效脉宽与等效频宽
F ( jω ) =
∫
∞
∞
f ( t )e
jω t
dt
1 ∞ jω t f (t ) = ∫∞ F ( jω)e dω 2π
∫
∞
∞
f ( t )d t = F (0)
F (0 ) B B
f f
∫
= 1
∞
∞
F ( jω )dω = f (0)
等效脉宽
1 ω f ( at ) F( j ) a a
(a ≠ 0)
若 a > 1: 时域压缩,则频域展宽; 若 : 时域压缩,则频域展宽; 若 0 < a < 1: 时域展宽,则频域压缩. 若 : 时域展宽,则频域压缩. 若 a = -1: 若 :
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2.6 傅里叶变换的性质
2.6.1线性
若信号和的傅里叶变换分别为和，
则对于任意的常数a和b，有
将其推广，若,则
其中为常数，n为正整数。
由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质.
显然傅里叶变换也是一种线性运算，在第一章我们已经知道了，线性有两个含义：均匀性和叠加性。
均匀性表明，若信号乘以常数a，则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a，即
叠加性表明，几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和
2.6.2 反褶与共轭性
设f(t)的傅里叶变换为，下面我们来讨论信号反褶、共轭以及既反褶又共轭后，新信号的傅里叶变换。
（1）反褶
f(-t)是f(t)的反褶，其傅里叶变换为
（2）共轭
（3）既反褶又共轭
本性质还可利用前两条性质来证明：
设g(t)=f(-t)，h(t)=g*(t)，则
在上面三条性质的证明中，并没有特别指明f(t)是实函数还是复函数，因此,无论f(t)为实信号还是复信号，其傅里叶变换都满足下面三条性质
2.6.3 奇偶虚实性
已知f(t)的傅里叶变换为。
在一般情况下，是复函数，因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分，即
根据定义，上式还可以写成
下面根据f(t)的虚实性来讨论F()的虚实性。
(1) f(t)为实函数
对比式(2-33)与(2-34)，由FT的唯一性可得
（1.1）f(t)是实的偶函数，即f(t)=f(-t)
X()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故这时X()=0，于是
可见，若f(t)是实偶函数，则F()也是实偶函数，即
左边反褶，右边共轭
（ 1.2）f(t)是实的奇函数，即-f(t)=f(-t) R()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故这时R()=0，于是
可见，若f(t)是实奇函数，则F()是虚奇函数，即
左边反褶，右边共轭
有了上面这两条性质，下面我们来看看一般实信号（即可能既不是偶信号，又不是奇信号，反正不清楚，或者说是没有必要关心信号的奇偶特性）的FT频谱特点。
2.6.4对称性
傅里叶变换与傅里叶反变换之间存在着对称关系，称为傅里叶变换的对称性质。
若已知
F()=F[f(t)] 则有F[f(t)]=2лf(-)
证明：因为
将变量t与互换，再将2乘过来，得上式右边是傅里叶正变换定义式，被变换函数是F(t)
所以F[F(t)]=2лf(-)
若f(t)为偶信号，即f(t)=f(-t)，则有F[F(t)]=2f()
从上式可以看出，当f(t)为偶信号时，频域和时域的对称性完全成立――即f(t)的频谱是F()，F(t)的频谱为f()。
若f(t)为奇信号，即f(t)=-f(-t)，则有F[F(t)]=-2f()
利用FT的对称性，我们可以很方便地一些信号的傅里叶变换。
下面我们举些例子来说明这一点。
2.6.5 尺度变换
若F[f(t)]=F()，则
这里a是非零的实常数。
下面利用FT的定义及积分的性质，分a>0和a<0两种情形来证明傅里叶变换的尺度变换特性。
证明：因为
令at=x，
当a > 0时
当a < 0时
上述两种情况可综合成如下表达式：
由上可见，若信号f(t)在时域上压缩到原来的1/a倍，则其频谱在频域上将展宽a倍，同时其幅度减小到原来的1/a。
尺度变换性质表明，在时域中信号的压缩对应于频域中信号频带的扩展，反之，信号的时域扩展对应于频域的压缩。
对于a=-1的特殊情况，它说明信号在时域中沿纵轴反褶等效于在频域中频谱也沿纵轴反褶。
对傅里叶变换的尺度变换特性最通俗的解释可以采用生活中的实例来说明，在录音带快放时，其放音速度比原磁带的录制速度要快，这就相当于信号在时间上受到了压缩，于是其频谱就扩展，因而听起来就会感觉到声音发尖，即频率提高了。
反之，当慢放时，放音的速度比原来速度要慢，听起来就会感觉到声音浑厚，即低频比原来丰富了（频域压缩）。
2.6.6 时间平移(延时)
下面进行证明
证明：
上式右边的积分项为傅里叶变换定义式，
于是可以得到
同理可以得到
2.6.7 时域微分
若F[f(t)]=F()，则
证明：因为，两边对t求导，可得
所以
同理，可以推出
由上可见，在时域中f(t)对t取n阶导数等效于在频域中f(t)的频谱F()乘以(j)n. 下面举一个简单的应用例子。
若已知单位阶跃信号u(t)的傅里叶变换，可利用此定理求出(t)的FT
2.6.8 频域微分
若F[f(t)]=F()，则
证明：因为，两边分别对求导，可得
所以
2.6.9 时域积分
可见，这与利用符号函数求得的结果一致。
2.6.10 频域积分
若F[f(t)]=F() ，则有
2.6.11 时域卷积定理
2.6.12 频域卷积定理
与时域卷积定理类似，
证明方法同时域卷积定理，在这里不在重复，同学们可自己证明。
由上可见，两个时间函数频谱的卷积等效于两个时间函数的乘积。
或者说，两个时间函数乘积的频谱等于各个函数频谱乘积乘以1/2。
显然，时域与频域卷积定理是对称的，这是由傅里叶变换的对称性决定的。
2.6.13 帕斯瓦尔定理
前面我们在讲信号分解时，提及帕斯瓦尔定理。
下面我们来研究一下该定理在FT中的具体表现形式。
若F[f(t)]=F() ，则
这就是帕斯瓦尔定理在傅里叶变换中体现，它表明了信号的能量在时域与频域是守恒的。
下面利用FT的定义和性质，推导信号能量的求解。
式中是信号f(t)的总能量，为信号f(t)的能量谱密度。
帕斯瓦尔定理表明，这个总能量既可以按每单位时间的能量|f(t)|2在整个时间内积分计算出来，也可以按单位频率内的能量/2在整个频率范围内积分来得到。
此定理也可以如下证明。
由相关性定理可得
取t=0，即得帕斯瓦尔定理。