傅立叶变换的推导.
傅里叶变换常用公式推导
傅里叶变换常用公式推导
傅里叶变换是信号处理中非常重要的数学工具，可以将一个信号从时域转换到频域。
在信号处理和通信领域，傅里叶变换广泛应用于频谱分析、滤波、调制解调等方面。
傅里叶变换的常用公式包括正向变换和逆向变换。
正向变换将一个时域信号转换为频域信号，逆向变换则将频域信号恢复回时域信号。
首先，我们来看正向傅里叶变换的常用公式。
设时域信号为x(t)，
其傅里叶变换为X(f)，则公式可以表示为：
X(f) = ∫[x(t) * e^(-j2πft)] dt
其中，∫表示积分运算，e为自然对数的底数，j为虚数单位。
这个
公式表示的是在时域上的函数与指数函数的乘积的积分。
公式的意义是将时域信号分解成一系列的正弦和余弦函数，每个正弦和余弦函数对应一个频率分量。
逆向傅里叶变换则是将频域信号还原为时域信号。
设频域信号为X(f)，其逆向傅里叶变换为x(t)，则公式可以表示为：
x(t) = ∫[X(f) * e^(j2πft)] df
逆向傅里叶变换的公式与正向变换的公式非常相似，只是积分的变量从时间t变为频率f，并且指数函数的符号发生了变化。
这个公式的意义是将频域信号合成为一个时域信号。
傅里叶变换的常用公式还包括一些性质和定理，如平移性、尺度性、线性性等。
这些公式和定理使得傅里叶变换成为一种非常灵活和强大的工具，可以方便地对信号进行分析和处理。
总结起来，傅里叶变换的常用公式推导了信号从时域到频域的转换过程，以及从频域到时域的逆向转换过程。
这些公式和定理为信号处理和通信领域提供了重要的数学基础，使得我们可以更好地理解和分析信号。
傅里叶变换推导
2.3 快速傅立叶变换问题1) 问题背景在数值电路的传输中，为了避免信号干扰，需要把一个连续信号 x(t)先通过取样离散化为一列数值脉冲信号x(0), x(1), …… ,然后再通过编码送到传输电路中。
如果取样间隔很小，而连续信号的时间段又很长，则所得到的数值脉冲序列将非常庞大。
因此，传输这个编码信号就需要长时间的占用传输电路，相应地也需要付出昂贵的电路费用。
那么能否经过适当处理是使上述的数值脉冲序列变短，而同时又不会丧失有用的信息？的经过研究，人们发现，如果对上述数值脉冲序列作如下的变换处理：(1)则所得到的新序列X(0), X(1) , ……将非常有序，其值比较大的点往往集中在某一很狭窄的序列段内，这将非常有利于编码和存储，从而达到压缩信息的目的。
公式（1）就是所谓的离散傅立叶变换，简称DFT。
现在我们来分析一下计算DFT所需要的工作量。
如果我们不考虑公式（7.1）中指数项的运算，那么计算其每一个点X (n) 需要N次复数乘法和N-1次的复数加法。
显然当N很大时，这个工作量也非常巨大。
正是由于这个原因，使得DFT的应用范围在过去很长的时间里受到了严格的限制。
注意到公式（1）是非常有规律性的，那么能否利用这种规律性来降低DFT的计算时间？1965年，凯莱和塔柯的提出了一种用于计算DFT的数学方法，大大减少了DFT的计算时间，同时又特别适用于硬件处理，这就是所谓的快速傅里叶变换，简称FFT。
鉴于DFT的数据结构可以通过傅立叶变换的离散化获得，亦可通过三角插值得到，而本质上又同连续傅里叶分析有着极为密切的关系。
下面我们从傅立叶级数级数和傅立叶积分入手，导出DFT结构的来源和FFT的工作原理。
2）傅立叶变换如果x(t)是定义在整个实轴上的实值或复值函数，则其傅立叶变换可由下式给出：（2）若对任意参数f，上述积分都存在，则（2）式确定了一个函数X(f)，称为x(t) 的傅立叶变换。
如果已知X(f) 则利用如下的傅立叶逆变换，还可复原x(t) ：（3）若x(t) 和 X(f) 同时满足（2）、（3）式，则称他们是一个傅立叶变换对，记为。
傅里叶变换概念及公式推导
傅里叶变换概念及公式推导傅里叶变换是一种数学工具，用于将一个函数从时域（时间域）转换为频域。
傅里叶变换的基本概念是，任何一个周期性函数都可以表示为一系列不同频率的正弦和余弦函数的叠加。
通过傅里叶变换，我们可以将原始信号分解成许多不同频率的正弦和余弦波。
F(ω) = ∫[−∞,+∞] f(t) e^(−iωt) dt其中，F(ω)表示频域中的函数，与f(t)相对应。
为了推导傅里叶变换的公式，我们首先将复数e^(−iωt)展开为正弦和余弦函数的形式：e^(−iωt) = cos(ωt) − i sin(ωt)然后将这个展开式代入变换公式中，得到：F(ω) = ∫[−∞,+∞] f(t) (cos(ωt) − i sin(ωt)) dt为了求解这个积分，我们可以利用欧拉公式，将复数表示为以指数函数的形式：F(ω) = ∫[−∞,+∞] f(t) e^(iωt) dt − i ∫[−∞,+∞] f(t) sin(ωt) dt将第一个积分的积分变量由t替换为−t，得到：F(ω) = ∫[−∞,+∞] f(t) e^(iωt) dt − i ∫[−∞,+∞] f(−t) sin(ωt) dt由于f(t)是一个偶函数（即f(−t)=f(t)）F(ω) = ∫[−∞,+∞] f(t) e^(iωt) dt − i ∫[−∞,+∞] f(t)sin(ωt) dt记F(ω)的实部为Re[F(ω)]，虚部为Im[F(ω)]，我们可以将公式进一步简化为：Re[F(ω)] = ∫[−∞,+∞] f(t) cos(ωt) dtIm[F(ω)] = − ∫[−∞,+∞] f(t) sin(ωt) dt这就是傅里叶变换的实部和虚部的计算公式，也称为余弦分量和正弦分量的公式。
通过计算这两个积分，我们可以得到函数在不同频率上的分量。
这些频率分量相当于原始函数在频域中的表现，有助于我们理解原始函数的频率特征。
要注意的是，以上推导过程是针对连续时间信号的傅里叶变换。
傅里叶变换性质证明
傅里叶变换性质证明性质一：线性性质F[a*f(t)+b*g(t)]=a*F[f(t)]+b*F[g(t)]其中F表示傅里叶变换。
这个性质的证明非常简单，我们只需将傅里叶变换的定义代入到等式中即可。
性质二：时移性质时移性质指的是时域上的移动会导致频域上的相位变化。
设F[f(t)]表示函数f(t)的傅里叶变换，则有：F[f(t - a)] = e^(-2πiaω) * F[f(t)]其中a是常数，ω是角频率。
这个性质的证明可以通过将f(t-a)展开成泰勒级数，并代入傅里叶变换的定义进行推导得到。
性质三：频移性质频移性质指的是频域上的移动会导致时域上的相位变化。
设F[f(t)]表示函数f(t)的傅里叶变换，则有：F[e^(2πiaω0) * f(t)] = F[f(t - a)]其中a是常数，ω0是角频率。
这个性质的证明可以利用傅里叶变换的定义以及欧拉公式进行推导。
性质四：尺度变换性质尺度变换性质指的是时域上的信号缩放会导致频域上的信号压缩。
设F[f(t)]表示函数f(t)的傅里叶变换，则有：F[f(a*t)]=，a，^(-1)*F[f(t/a)]其中a是常数。
这个性质的证明可以通过将f(a*t)展开成泰勒级数，并代入傅里叶变换的定义进行推导得到。
性质五：卷积定理卷积定理是傅里叶变换中最重要的性质之一、它指出卷积在频域上等于两个函数的傅里叶变换的乘积。
设f(t)和g(t)是两个函数，f(t)*g(t)表示它们的卷积，F[f(t)]和F[g(t)]表示它们的傅里叶变换，则有：F[f(t)*g(t)]=F[f(t)]*F[g(t)]其中*表示卷积，乘法表示两个函数的傅里叶变换的乘积。
这个性质的证明可以通过将卷积展开成积分形式，然后利用傅里叶变换的定义进行推导得到。
以上是傅里叶变换的几个重要性质及其证明。
这些性质使得傅里叶变换具有很强的分析和应用能力，在信号处理、图像处理、通信等领域得到广泛应用。
这些性质的正确性和证明对于理解和应用傅里叶变换非常重要。
sin和cos的傅里叶变换推导
sin和cos的傅里叶变换推导傅里叶变换是一种非常重要的信号处理技术，它最初是用来描述定义在时间域上的信号的频域表示的。
傅里叶变换主要用来研究可积或者指数可积连续函数，比如可以用来分析sin(x)和cos(x)这样的函数，它把函数的信息，根据频率分解，并画成以周期性变化的图形。
首先，我们可以推导出sin(x)的傅里叶变换，sin(x)属于广义函数，可以用以下式来定义：sinx=∫-∞ ∞f(t)ei2πixtdt通过计算积分，可以得到f (t)的傅立叶变换：F(ω)=∫-∞ ∞f(t)e-iωt dt由积分的定义，我们得出：F(ω)=∫-∞ ∞ sin (x)ei2πixtdt=∫-∞ ∞ sin(x) e -iωt dt=π(δ(ω-2πi)+δ(ω+2πi))其中，δ (ω)是希尔伯特函数，表示δ函数的概念，表示ω等于i2π时取值1，其余时候取值为0。
在上面的结果中，δ(ω-2πi)和δ(ω+2πi)表示ω取值为2πi和-2πi时取值1，其余取值为0。
因此，我们可以得到sin (x)的傅里叶变换：F(ω)=π(δ(ω-2πi)+δ(ω+2πi))同理，我们可以推导出cos(x)的傅里叶变换：cosx=∫-∞ ∞f(t)ei2πixtdt由此可以得到，cos(x)的傅里叶变换为：F(ω)=π(δ(ω-2πi)-δ(ω+2πi))上述结果表明，sin(x)和cos(x)的傅里叶变换的形状相似，都由两个δ函数组成，只是在正负号上有差异。
上述两组式子也可以用下面的形式表达：Cos(x)=π(δ(ω)+δ(ω-4πi))Sin(x)=π(δ(ω)-δ(ω-4πi))通过傅里叶变换，我们可以用很简单的方法来求解sin(x)和cos(x)，因此傅里叶变换非常实用，它在许多科学研究领域都有重要的作用。
傅里叶变换推导详解
傅里叶变换推导详解三角函数标准形式为公式2.1所示f\left( t \right) = Asin\left( \omega t + \varphi\right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.1)\ \在物理意义上这个函数又称之为正弦信号(正弦波),其中的t为时间变量,A为波幅, ω为角速度, φ为相位，我们可以通过公式2.2求得这个正弦波的频率。
f = \frac{\omega}{2\pi}\ (2.2)根据等式2.2，角速度和正弦波的频率是正相关的。
同时，因为三角函数是周期函数，其在-π到π的积分必定为0，由此性质可写出式2.3，2.4\int_{- \pi}^{\pi}{\sin\left( \text{nx} \right){dx =0\ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.3)}}\int_{- \pi}^{\pi}{\cos\left( \text{nx} \right){dx =0\ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.4)}}设某三角函数为f\left( x \right) = \sin\left( \text{nx} \right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.5)在式2.5两边同时乘以 \sin\left( \text{mx} \right) 同时,对两边在-π到π内进行积分,得出\int_{- \pi}^{\pi}{f\left( x \right)sin(mx)dx} =\int_{- \pi}^{\pi}{\sin\left( \text{nx}\right)sin(mx)dx}\ \ \ \ \ (2.6)由三角函数的积化和差公式,上式可变形为\int_{- \pi}^{\pi}{f( x )\sin( \text{mx} )\text{dx}} = \frac{1}{2}\int_{- \pi}^{\pi}{{ \cos\lbrack ( m - n )x \rbrack - \cos\lbrack ( m + n )x \rbrack }\text{dx}} = \frac{1}{2}\int_{- \pi}^{\pi}{\cos\lbrack ( m - n )x \rbrack\text{dx}} - \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}{\cos\lbrack ( m + n )x \rbrack\text{dx}}\ \ \ (2.7)依据上述推导方法我们可以继续推导出下列公式:\int_{-\pi}^{\pi}{\cos( \text{mx} )\cos( \text{nx} )}dx =\frac{1}{2}\int_{- \pi}^{\pi}{{ \cos\lbrack ( m - n )x \rbrack + \cos\lbrack ( m + nx ) \rbrack }\text{dx}} = \frac{1}{2}\int_{- \pi}^{\pi}{\cos\lbrack ( m - n )x \rbrack\text{dx}} + \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}{\cos\lbrack ( m + n )x \rbrack\text{dx}}\ (2.8)\int_{-\pi}^{\pi}{\sin( \text{mx} )\cos( \text{nx} )}dx =\frac{1}{2}\int_{- \pi}^{\pi}{{ \sin\lbrack ( m - n )x \rbrack + \sin\lbrack ( m + n )x \rbrack }\text{dx}} = \frac{1}{2}\int_{- \pi}^{\pi}{\sin\lbrack ( m - n )x \rbrack\text{dx}} + \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}{\sin\lbrack ( m + n )x \rbrack\text{dx}}\ \ \ (2.9)因为三角函数在-π到π内的积分为0,因此当 m \neq n 时,式2.7、2.8、2.9的结果必定为0，因此可以得出以下结论，频率不同的三角函数相乘在一个周期内(-π到π)的积分必定为0。
几种常见函数的傅里叶变换及推导
几种常见函数的傅里叶变换及推导傅里叶变换是数学中一种非常重要的变换方法，它可以将一个函数在时域（或空域）中的表达转换为频域中的表达。
在信号处理、图像处理、通信等领域中被广泛应用。
本文将介绍几种常见函数的傅里叶变换及推导过程。
1. 方波函数的傅里叶变换方波函数是一种周期函数，它在每个周期内以不同的幅度交替出现。
方波函数的傅里叶变换可以通过将方波函数表示为一系列正弦函数的和来推导得到。
假设方波函数为f(t)，其周期为T，傅里叶变换为F(ω)。
根据傅里叶级数展开的性质，方波函数可以表示为：f(t) = (1/2) + (2/π)sin(ωt) + (2/π)sin(2ωt) + (2/π)sin(3ωt) + ...其中，ω = 2π/T是方波函数的角频率。
根据傅里叶变换的定义，可以得到方波函数的傅里叶变换为：F(ω) = (1/2)δ(ω) + (1/2π)[δ(ω-ω0) - δ(ω+ω0)] + (1/2π)[δ(ω-2ω0) - δ(ω+2ω0)] + (1/2π)[δ(ω-3ω0) - δ(ω+3ω0)] + ...其中，δ(ω)是狄拉克函数，表示单位冲激函数。
傅里叶变换的结果是一系列的冲激函数，每个冲激函数对应一个正弦函数的频谱分量。
2. 高斯函数的傅里叶变换高斯函数是一种常用的连续函数，其在数学和物理学中有广泛的应用。
高斯函数的傅里叶变换可以通过将高斯函数表示为指数函数的平方和来推导得到。
假设高斯函数为f(t)，傅里叶变换为F(ω)。
根据高斯函数的定义，可以得到：f(t) = e^(-αt^2)其中，α是常数。
根据傅里叶变换的定义，可以得到高斯函数的傅里叶变换为：F(ω) = √(π/α)e^(-ω^2/(4α))高斯函数的傅里叶变换仍然是一个高斯函数，只是幅度和频率发生了变化。
3. 矩形函数的傅里叶变换矩形函数是一种常见的函数，它在一个有限区间内的值为常数，而在其他区间内的值为零。
矩形函数的傅里叶变换可以通过将矩形函数表示为两个单位阶跃函数的差来推导得到。
fft数学推导
fft数学推导快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的算法，可用于计算离散傅里叶变换（DFT）。
该算法的主要思想是通过迭代将DFT转化为多个规模较小的DFT计算。
下面将简要介绍FFT算法的推导过程。
设x[n]为离散信号序列，其长度为N。
DFT可以通过以下公式计算：X[k] = ∑(x[n] * exp(-j2πnk/N)) (n=0 to N-1)其中，X[k]表示频域上的一个离散值，k为频率序号。
假设N是2的整数次幂，那么可以将DFT等效地分解为两个较小规模的DFT。
将序列x[n]进行奇偶分解，可以得到如下公式：x[n] = x_even[n] + x_odd[n] (n=0 to N/2-1)其中，x_even[n] = x[2n] (n=0 to N/2-1)x_odd[n] = x[2n+1] (n=0 to N/2-1)可以将上述DFT公式改写为： X[k] = ∑(x_even[n] * exp(-j 2πnk/(N/2))) + exp(-j2πk/N) * ∑(x_odd[n] * exp(-j2πnk/ (N/2))) (n=0 to N/2-1)此公式中，第一部分计算了x_even[n]的DFT，第二部分计算了x_odd[n]的DFT，并乘以额外的旋转因子exp(-j2πk/N)。
通过观察上述公式，我们可以发现，原本的DFT计算被转化为两个规模较小的DFT计算。
这种分治的思想可以继续应用于分别计算x _even和x_odd的DFT。
通过递归地应用以上分解步骤，可以将原始的DFT计算转化为多个较小规模的DFT计算。
当分解到序列长度为1时，即达到基本结束条件，可以直接计算该点的DFT。
最终，可通过FFT算法在O(NlogN)的时间复杂度内计算出原始序列的DFT值。
这种高效的计算方法使得FFT广泛应用于信号处理、图像处理、通信等领域。
以上是FFT算法的推导过程，它通过将DFT分解为多个规模较小的计算，实现了DFT计算的高效性。
傅里叶变换公式的推导
傅里叶变换公式的推导傅里叶变换是数学中的一个重要概念，它可以将一个函数分解成不同频率的正弦和余弦函数的组合。
在信号处理、图像处理等领域有着广泛的应用。
傅里叶变换的推导过程并不复杂，但需要一定的数学基础和推导技巧。
我们来看一维离散傅里叶变换的推导过程。
假设有一个长度为N的离散信号序列x(n)，其中n为整数。
根据傅里叶变换的定义，信号x(n)的傅里叶变换X(k)可以表示为：X(k) = Σ x(n) * exp(-j2πnk/N)其中，k为频率索引，取值范围为0到N-1。
上述公式是傅里叶变换的离散形式，表示信号在频域上的分解。
通过对信号进行傅里叶变换，可以将其从时域转换到频域，方便进行频域分析和处理。
接下来，我们可以通过欧拉公式将指数函数转换为正弦和余弦函数的形式。
将指数函数exp(-j2πnk/N)展开，可以得到：exp(-j2πnk/N) = cos(2πnk/N) - j * sin(2πnk/N)将上述公式代入傅里叶变换的定义式中，可以得到傅里叶变换的公式：X(k) = Σ x(n) * [cos(2πnk/N) - j * sin(2πnk/N)]这就是一维离散傅里叶变换的推导过程。
通过将指数函数展开为正弦和余弦函数，我们可以将信号在频域上进行分解，得到不同频率成分的振幅和相位信息。
除了一维离散傅里叶变换，还有一维连续傅里叶变换和多维傅里叶变换等形式。
它们的推导过程类似，但需要考虑不同维度上的变换方式和性质。
总的来说，傅里叶变换是一种非常有用的数学工具，可以帮助我们理解信号的频域特性和进行频域处理。
通过对傅里叶变换的推导和理解，我们可以更好地应用它在实际问题中，为信号处理和图像处理等领域提供更多可能性和方法。
希望本文的内容能够对读者有所帮助，引起对傅里叶变换的兴趣和深入研究。
sa函数的傅里叶变换推导过程
sa函数的傅里叶变换推导过程傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学工具，它在信号处理、图像处理等领域有广泛的应用。
傅里叶变换将一个连续信号分解成一系列的正弦和余弦函数的和，可以描述信号的频率和幅度信息。
其中，傅里叶变换的核心是计算信号的频谱，而信号的频谱可以由信号的自相关函数或互相关函数得到。
在推导傅里叶变换的过程中，我们首先需要熟悉复指数函数以及它的性质。
复指数函数的定义如下：e^(jωt) = cos(ωt) + jsin(ωt)其中，j是虚数单位，ω表示频率，t表示时间。
傅里叶变换的推导包括两个部分：傅里叶级数和傅里叶变换。
傅里叶级数适用于周期信号，而傅里叶变换适用于非周期信号。
在这里，我们以非周期信号的情况来推导傅里叶变换。
假设我们有一个连续时间域信号x(t)，它的傅里叶变换为X(ω)。
那么，傅里叶变换的定义可以表示为：X(ω) = ∫[x(t) * e^(-jωt)] dt其中，∫表示积分运算，x(t)*e^(-jωt)表示信号x(t)与复指数函数的乘积。
根据欧拉公式，复指数函数可以表示为：e^(-jωt) = cos(-ωt) + jsin(-ωt) = cos(ωt) - jsin(ωt)将其代入傅里叶变换的定义中，得到：X(ω) = ∫[x(t) * (cos(ωt) - jsin(ωt))] dt进一步展开，可以得到：X(ω) = ∫[x(t)cos(ωt)] dt –j∫[x(t)sin(ωt)] dt这样，我们可以将信号x(t)表示为正弦和余弦函数的和的形式：x(t) = (1/2π) ∫[X(ω)cos(ωt)] dω + (1/2π)∫[X(ω)sin(ωt)] dω这就是傅里叶级数的表达式，它将信号x(t)表示为一系列的正弦和余弦函数的和，其中X(ω)是信号的频谱。
接下来，我们将推导傅里叶变换的表达式。
首先，我们考虑连续时间的傅里叶级数表达式。
我们可以将频率ω看作连续变量，将级数变为积分，得到如下表达式：X(ω) = ∫[x(t)cos(ωt)] dt –j∫[x(t)sin(ωt)] dt然后，我们将上式中的正弦和余弦函数用正弦函数的复指数形式来替代，得到：X(ω) = ∫[x(t) * e^(-jωt)] dt这就是傅里叶变换的表达式。
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式2.1.6
f (t ) cos(n1t )dt
T 2 T 2
F (n) 1 T
f (t )e jn t dt
1
思考：其中的2到哪去了？
QH2.1.11
5，指数形式的傅里叶级数的分析
an jbn F (n1) e j 2 cn 2 2 1 其中频率谱 F (n1) an bn 2 2 bn n arctan( ) 相位谱 an T T （4） an 2 2T f (t ) cos(n1t )dt bn 2 2T f (t )sin(n1t )dt T 2 T 2
T 2 T 2
T a0 sin(n1t )dt 2T an cos(n1t )sin(n1t ) bn sin 2 (n1t )dt 2 2 n 1
bn T 2
bn 2 2T f (t )sin(n1t )dt T 2
T
QH2.1.5
2，三角形式的傅里叶级数的推导
a0 T 2
a0 2 T
T 2 T 2
f (t )dt
QH2.1.3
2，三角形式的傅里叶级数的推导
[ T , T ] 对式2.1.1两边同乘 cos(n1t) 再在 2 2
积分，得：
f (t ) cos(n1t )dt
T 2 T 2 T a0 cos(n1t )dt 2T an cos 2 (n1t ) bn sin(n1t ) cos(n1t )dt 2 2 n 1
QH2.1.7
3，三角形式的傅里叶级数的分析
（2）同频合并：
c0 f (t ) cn cos(n1t n ) 2 n1
其中： c0 a0 cn an 2 bn 2
被称为频率谱， 被称为相位谱。 n cn
bn n arctan( ) an
QH2.1.8
1
1 2T f (t )e jn t dt T 2
QH2.1.10
5，指数形式的傅里叶级数的分析
（1）指数形式的傅里叶级数对
f (t ) Fne jn t
1
n
式2.1.5
1
（2）
F (n) 1 T an 2 T
T 2 T 2
T 2 T 2
f (t )e jn t dt
第二章 确定信号分析
第一节 确定信号的傅里叶变化及其推导 第二节 典型信号的傅里叶变换 第三节 傅里叶变换的性质 第四节 周期信号的傅里叶变换及抽样定理
QH2.0.2
第一节 确定信号的傅里叶变换 及其推导
1，傅里叶变换的基本结论 2，三角形式的傅里叶级数的推导 3，三角形式的傅里叶级数的分析 4，指数形式的傅里叶级数的推导 5，指数形式的傅里叶级数的分析 6，傅里叶变换的推导 7，傅里叶变换的分析
1 1
1 1 1 1
a0 an jbn jn t an jbn jn t ( )e ( )e 2 n1 2 2
1 1
令 F (n1) an jbn ，则 F (n1) an jbn （奇偶性） 2 2 a0 令 F (0) ，则得： 2
f (t ) Fne jn t
式2.1.4
bn 2 2T f (t )sin(n1t )dt T 2
QH2.1.6
3，三角形式的傅里叶级数的分析
（1）奇偶性
an 2 T bn 2 T
T 2 T 2 T 2 T 2
f (t ) cos(n1t )dt f (t )sin(n1t )dt
为偶函数 为奇函数
T 2 T 2
an T 2
an 2 2T f (t ) cos(n1t )dt T 2
T
QH2.1.4
2，三角形式的傅里叶级数的推导
T T sin( n t ) [ , ] 同理，对式2.1.1两边同乘 再在 1 2 2
积分，得：
T 2 T 2
f (t )sin(n1t )dt
QH2.1.2
2，三角形式的傅里叶级数的推导
a0 f (t ) an cos(n1t ) bn sin(n1t ) 2 n1
式2.1.1
根据三角函数的正交性，对式2.1.1两边积分，得：
f (t)dt
T 2 T 2
T a T 2 0 dt 2 an cos(n1t) bn sin(n1t)dt T T 2 2 2 n1
QH2.1பைடு நூலகம்1
1，傅里叶变换的基本结论
（1）三角形式的傅里叶级数
a0 f (t ) an cos(n1t ) bn sin(n1t ) 2 n1
（2）复数形式的傅里叶级数
f (t ) Fne jn t
1
n
（3）傅里叶变换
f (t ) F ( f )e j 2 ft df
4，指数形式的傅里叶级数的推导
cos(n1t ) 1 (e jn t e jn t ) sin(n1t) 1 (e jn1t e jn1t ) 2 2j a0 f (t ) an cos(n1t ) bn sin(n1t ) 2 n1 a0 an jn t jn t bn jn t jn t (e e ) (e e ) 2 n 1 2 2j
由此可得三角形式的傅里叶级数：
a0 f (t ) an cos(n1t ) bn sin(n1t ) 2 n1
其中：
a0 2 T
T 2 T 2 T 2 T 2 T
f (t )dt f (t ) cos(n1t )dt
式2.1.2
an 2 T
式2.1.3
1
n
QH2.1.9
4，指数形式的傅里叶级数的推导
an jbn F (n1) 2
1 ( 2 2T f (t ) cos(n1t )dt j 2 2T f (t )sin(n1t )dt ) 2 T 2 T 2 1 T
T 2 T 2 T T T
f (t )(cos(n1t ) j sin(n1t )dt