第十四章 拉普拉斯变换
电路14章 拉氏变换2015
n
d ( s p1 ) 2 F ( s) ds
s p1
n K 1, l 1 K 1l Ki K 11 则：F ( s ) s p1 ( s p1 ) 2 ( s p1 ) l i l 1 s pi d K11 ( s p1 ) l F ( s ) s p1 ，K12 ( s p1 ) l F ( s ) s p1 ds 1 d l 1 l K1l ( s p ) F ( s ) 1 l 1 (l 1)! ds n K11 l 1 p1t p1t p1t f (t ) K1l e K1,l 1te t e K i e pi t (l 1)! i l 1
例 11- 2 L[sint ] L[
1 1 1 1 (e jt e jt ) (t )] [ ] 2 2 s 2j 2 j s j s j
二 . 导数性质
若：L[ f (t )] F (s) 则： L[
s s 1 d 例11 3：L[cos t ] L[ (sin t )] 0 2 2 s2 2 dt s
K i ( s pk ) F ( s) s pk , K11 ( s p1 ) F ( s) s p
2
1
, K12
f (t ) K12e p1t K11te p1t K i e pi t
3. D(s)有一个l 重根,其余为单根 D( s) b0 ( s p1 )l ( s pl 1 ) ( s pn )
2 j c j
1
c j
F ( s)e st ds
f (t ) Mect
第十四章拉普拉斯变换
第十四章 拉普拉斯变换典型例题例14-1 求以下函数的象函数。
（1）单位冲激信号()t δ （2）单位阶跃信号()t ε （3）单边指数信号()t e at ε- （4）单边正弦信号()t t εωsin 解（1） 单位冲激信号()t δ的象函数()()[]()10=====--∞⎰-t stst e ds e t t L s F δδ即 ()1↔t δ （14-5） 可以看出，按拉氏变换定义式（14-1）进行计算，能计及t=0时()t f 中所包含冲激函数。
（2） 单位阶跃信号()t ε的象函数()()[]()se s ds e ds e t t L s F st st st 11000=-====∞-∞--∞⎰⎰-εε即 ()st 1↔ε （14-6）由于()t f 的单边拉氏变换其积分区间为[)∞-,0，故对定义在()∞∞-,上的实函数()t f 进行单边拉氏变换时，相当于()()t t f ε的变换。
所以常数1的拉氏变换与()t ε的拉氏变换相同，即有 s 11↔同理，常数A 的拉氏变换为 sAA ↔ （14-7）（3）指数信号()t eatε-的象函数()()[]()as dt e dt e e t e L s F t s a st at at +====⎰⎰∞+-∞-----10ε 即 ()as t e at+↔-1ε （14-8） 同理()as t e at -↔1ε（4） 单边正弦信号()t t εωsin 的象函数 由于 ()t j tj e e jt ωωω--=21sin 故()()[]()()22112121sin ωωωωεεωωω-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==-s j s j s j t e e j L t t L s F t j t j 即 ()22sin ωωεω-↔s t t （14-9）例14-2 求单边余弦信号()t t εωcos 的象函数。
(电机学)第十四章 拉普拉斯变换-091216
线性动态电路的复频域分析
2014-12-29
浙江工业大学信息学院
1
主 要 内 容
拉 普 拉 斯 变 换
拉氏 变换 基本 性质
拉氏 反变 换的 部分 分式 展开
运 算 电 路
应用 拉氏 变换 分析 线性 电路
2014-12-29
浙江工业大学信息学院
14- 2
§14-1 拉氏变换的定义
例： 求下列函数的原函数
F (s)
F (s)
s 1 s 3 2s 2 2s
解：
s 1 s 1 A B C s 3 2s 2 2s s ( s 1 j )( s 1 j ) s s 1 j s 1 j
其中系数：A s F (s)
t2 tn
A/ s
1 e
t
A s A s(s )
e
t
sin(t )
et cos(t )
tet
sin(t )
s2 2
s s2 2 1 s2
(s )2 2 s (s )2 2
1 (s )2 s (s )2
若时间函数f (t) 的拉氏变换为F (s) ，则f (t) 的导数 f (1) (t)的拉氏变换为： £ £
如果f(t)代表电容电压或电感电流，则它们导数的象函数 中的第二项便是uc(0-)或iL(0-)，即动态元件的初始状态。 二阶导数f (2) (t)的拉氏变换为：
£
n 阶导数f (n) (t)的拉氏变换为：
浙江工业大学信息学院
14- 14
五、复频域平移性质
若时间函数f (t) 的拉氏变换为F (s) ，则将f (t) 乘以eat后得拉氏变换为的拉氏变换为： £
拉普拉斯变换法
拉氏变换定义
原函数f(t）旳拉氏变换F（S）定义为：
就是将原函数乘以e-st，并将乘积从时间为0→∞之间 作定积分。
拉氏变换旳实质是将时间函数体现式转换为拉氏运 算子s旳函数体现式。 f(t） --- 原函数 F（S）--- 象函数
二、 简朴函数L氏变换 1. 常数 f（t）=A
2. 指数函数 f（t）= e-at
3.导函数
三、L氏变换旳主要性质 ❖ L氏变换是线性变换 设
则
即 代数多项式旳L氏变换等于各项 变换旳代数和。
❖ 微分性质
若 则
某些常用函数旳Laplace变换表
函数，F（t） A t
Ae-at
L氏变换，f（s） A/s 1/s2
A/(s+a)
A/s(s+a)
Ate-at
A/(s+a)(s+b) A/(s+a)2
拉普拉斯变换 （Laplace Transform）
一、 概述
❖ 线性方程组：表征表观零级或一级过程旳速度旳方 程组。
❖ 拉普拉斯变换（L氏变换）：是一种微分方程或积 分方程求解旳简化措施。可用于解线性微分方程 组。
❖ 进行L氏变换旳实质，在于把速度方程式中旳时间 定义域置换成拉普拉斯运算子s旳复。
四、L氏变换解线性微分方程
1. 零级静脉输注
速度体现式：
dX k 0 kX
dt
L氏变换
sL[ X (t)] X (0) k 0 kL[ X (t)] s
s X X (0) k 0 k X S
X k0 s(s k)
方程终解 X k 0 (1 ekt ) K
2. 静脉注射
dX kX dt
( t=0, X=X0)
第十四章 拉普拉斯变换
F e jt d
F f t e jt dt
成立条件： 1
记为：
F F f t
f t F 1 f t
f(t)满足狄里克利条件
2 f(t)在( -∞,+∞)上绝对可积 4、付氏变换的物理意义： （1）把 f(t)看成无穷多个0~∞频率、振幅为无穷小的正弦波的 合成。F(ω )是频谱密度，也是单位频率所贡献的振幅。 （2）非周期函数 f(t)可表示成 -∞~+∞ 频率的指数函数的连续 和。
2、拉普拉氏变换
G (t ) (t )e t e jt dt
式中 S= δ +jω
0
f (t )e ( j )t dt f (t )e st dt
0
——称为复频率算子；
f(t)= ψ (t)· ε (t) ——实际上还是ψ (t)。
n 1,2,3
上式可合成为:
1 T cn 2T fT t e jn0t dt T 2
f T t
n jn0t c e n
n 0, 1 ,2, 3
1.2
故1.1可写为:
付氏级数的物理意义：用正弦函数的叠加来等效任意的 非正弦周期函数。 3、傅氏变换 当周期函数fT(t)在所讨论的区间上满足狄里克利条件, fT(t)可 展开为付氏级数： T 1 jn0t 2 jn0t c f t e dt f T t cn e 其中： n T T T 2 n 定义：令nω 0 =ω ， 则定义周期函数fT(t)的傅里叶变换为：
14拉普拉斯变换
§14.1 拉普拉斯变换的定义
基本要求：掌握常用函数的拉普拉斯变换。 (直流或阶跃函数、指数函数、冲激函数)
一.拉氏变换定义:
1. 设函数f(t)在 t[0，∞）内有定义，而且积分
0
f ( t )e st dt 在复平面 s 的某一域内收敛.
(s =+j是复参量)
象函数 (image function)
( t 0-)
0 积分下限从0 开始，称为0 拉氏变换 。 0 + 开始，称为0+ 拉氏变换 。 积分下限从 0 0
今后讨论的拉氏变换均为 0 拉氏变换，考虑在t=0时出 现的冲激激励。
F ( s) 简写 f (t )
f (t ) 1 F ( s )
拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的部分分式展开运算电路应用拉普拉斯变换分析线性电路网络函数的定义网络函数的极点与零点极点零点与冲激响应极点零点与频率响应第七章研究了线性动态电路暂态过程的时域分析法
第十四章 线性动态电路的复频域分析
拉普拉斯变换的定义 拉普拉斯变换的基本性质 拉普拉斯变换的部分分式展开 运算电路 应用拉普拉斯变换分析线性电路 网络函数的定义 网络函数的极点与零点 极点、零点与冲激响应 极点、零点与频率响应
N ( s) N ( s) F ( s) D( s ) ( s α jω)( s α jω) D1 ( s )
K1 K2 N1 ( s) s α jω s α jω D1 ( s )
K1,K2也是一对共轭复数
设K 1 K e j K 2 K e-j
0
t
t
( t)
1
[tε( t )]
拉普拉斯变换 课件
Example
f(t) = t 0<= t <=1 1 t >= 1
(法一) L(f(t)) = ∫e-st f(t)dt = ∫te-st dt + ∫e-st dt = (1 – e-s) / s2 (法二) f(t) = tu(t) + [u(t-1) – tu(t-1)] = tu(t) + (1-t)u(t-1) = tu(t) – (t-1)u(t-1) L(f(t)) = (1/s2) - (e-s / s2) = (1-e-s) / s2
sY + s2z = -(s3 / s2 + 1) s2Y – sY(0) - y(0) – z = 1 / s2 + 1 求解得 Y = s / s2 +1 , z = -(s+1) / (s2 + 1) = -(s / s2+1) – (1 / s2+1) ∴y(t) = L-1(Y) = cosx , z(t) = cosx – sinx
(CASE3)不重覆複數因子 (s-a)(s-a＊) = (s - α)2 + β2 Y(s) 有 As + B / (s-a)(s-a＊) 或 As + B / (s - α)2 + β2 型態之部份分式 L(eatcosβt) = s-α / (s-α)2 + β2 及 L(eatsinβt) = β / (s-a)2 + β2
部份分式法 (微分方程式) 如果解之拉式變換式Y = F(S) / G(S) 可以部份分式分解 之，則可各則由逆拉式變換還原微分式之解y(t)。 (CASE1)不重覆因子 (s-a) Example1 G(s) = (s-a1)(s-a2)(s-a3)…(s-an) Y(s) =( A1 / s – a1) + ( A2 / s – a2) +…+ ( An / s – an) y(t) = A1ea1t + A2ea2t +…+ Aneant
线性动态电路的复频域分析
第十四章 线性动态电路的复频域分析本章讨论的问题1、什么是象函数？什么是原函数？什么是拉普拉斯原变换？什么是拉普拉斯反变换？2、在电路分析中，常采用什么方法进行拉普拉斯反变换？3、什么是运算电路？什么是运算法？4、如何用拉普拉斯变换法分析线性电路？5、什么是网络函数？什么是网络函数的零点和极点？教学重点一、拉普拉斯变换1、目的：拉普拉斯变换法是一种数学的积分变换，其核心是把时间函数 f (t) 与复变函数 F(s) 联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作相反的变换得到待求的时间函数。
由于解复变函数的代数方程比解时域微分方程简单且有规律，所以拉普拉斯变换在线性电路分析中得到广泛应用。
2、 定义：对定义在)[∞,0上的函数)(t f ，其拉普拉斯变换与拉普拉斯反变换分别为()()⎰∞--=0dt e t f s F st ； ()()ds e s F j t f st j c j c ⎰∞+∞-=π21 上式中：s=σ+jω为复数，被称为复频率，()s F 称为)(t f 的象函数，)(t f 称为()s F 原函数。
3、常用拉普拉斯变换对L ()[]S A t A =ε ； L ()[]A t A =δ ； L ()[]as t e at +=-1ε ； L ()[]1!+=n n s n t t ε ； L ()()[]22sin ωωεω+=s t t ；L ()()[]22cos ωεω+=s s t t 二、拉普拉斯反变换由象函数求原函数的方法有：1、 利用公式；2、 对简单形式的 F(S) ，可以查拉氏变换表得原函数 ；3、 把 F(S) 分解为简单项的组合，也称部分分式展开法。
则线性电路分析时，所得结果的象函数一般是S 的有理分式。
有理分式在化为真分式后，可用部分分式展开的方法求拉普拉斯反变换。
S 的有理真分式可写为()()()s D s N s F = 1）、当()0=s D 的根为单根（包括单重共轭复根）时，()s F 可写为 ()()()()()nn n p s K p s K p s K p s p s p s s N s F -⋅⋅⋅-+-=-⋅⋅⋅--=221121 则()t p n t p t p n e K e K e K t f +⋅⋅⋅++=2121其中 ()()[]i p s i i s F p s K =-=或 ()()ip s i s D s N K ==' ，()s D '为()s D 对S 的一阶导数。
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（1）ε(t)可以使在t＜0时的无意义变为有意义（均等于0）。因 而可以使(-∞,+∞)区间变为[0,+∞)区间。（因为在(-∞,0)上值为 0，不需考虑）。
（2）e-δt可以使可能不可积的函数φ(t)变得绝对可积，最后改
造好的函数为g(t)=ψ(t) ·ε(t)·e -δt 。只要δ选得合适，这个 函数g（t）的付氏变换总是存在的。
于是对ψ(t)乘以ε(t)和e-δt，再求付氏变换的运算，就产生
了拉普拉斯变换 。
2、拉普拉氏变换 式中 S= δ+jω
G
(t
)
(t
)e
t
e
jt
dt
f (t)e( j)t dt 0
f (t)est dt 0
——称为复频率算子；
f(t)= ψ(t)·ε(t) ——实际上还是ψ(t)。
FT
T cn
2 T
fT
2
则FT(ω)傅立叶反变换为：
t e jt dt
fT
t
பைடு நூலகம்
1 T
FT
n
e jt
问题：我们遇到的大量的非周期函数怎么进行傅里叶变换呢？
对于一个非周期函数f(t)，可以认为是周期函数fT(t) 在T→∞ 时演变而来。
当Δωn →无穷小时,频谱就成为连续的,但ＴCn仍可以是有 限值（因为当T→∞时，Cn→无穷小），因而仍可定义TCn为非周 期函数的付氏变换,因而对于非周期函数f(t)（相当于T→∞）有：
T
2 T
fT
t e jn0t dt
2
式中
：
cn
an
jbn
2
1 T
T
2
T
fT
t e jn0t dt
2
c0
a0 2
1 T
T
2 T
fT tdt
2
n 1,2,3
上式可合成为:
1 cn T
T
2 T
fT
2
t e jn0t dt
n 0, 1,2, 3
故1.1可写为: fT t
1、问题的提出：
①付氏变换说： 存在付氏变换的条件：一是满足狄里克利条件 （连续或有限个第一间断点，区间内收敛）；二是在(-∞,+∞)上 可积，就一定存在古典意义下的付氏变换。但绝对可积的条件是 很强的，许多函数，即使是很简单的函数（单位阶跃函数，正弦 函数，余弦，以及线性函数等）都不满足这个条件。
§14-1拉普拉斯变换的定义
§14-2拉普拉斯变换的性质
§14-3拉普拉斯反变换的部分分式展开法
§14-4运算电路
§14-5应用拉普拉斯变换法分析线性电路
§14-1拉普拉斯变换的定义 一、 拉普拉斯变换的由来
（一） 傅立叶级数
1、付氏三角级数
如右图fT(t)是一个周期函数， 非正弦，若加在激励端分析其 响应是很困难的，可以用第十 二章将非正弦信号分解为傅立 叶三角级数。将其分解为f1(t) + f2(t) 。f1(t) 和f2(t) 均为正弦信号 可以分别求其响应，而后叠加 得到 fT(t) 的响应。
（2）非周期函数 f(t)可表示成 -∞~+∞ 频率的指数函数的连续 和。
（二） 拉普拉斯变换（Laplace变换）
付氏级数可以将一个非正弦的周期信号分解为若干个不同频率的 正弦信号的叠加。付氏变换则可将时域里的信号 [f(t)] 表达式转换 为频率的表达式（频域），从而方便了频谱分析。
而我们在分析动态电路，尤其是高阶动态电路时，最困难的是 解时域里的高阶微分方程。能否借鉴付氏变换的思路，利用数学工 具将时域函数也进行一番变换，最后将时域里的高阶微分方程，变 换成另一域里的代数方程以便于求解呢？
fT
t
a0 2
an
n1
e jn0t
e jn0t 2
e jn0t e jn0t
bn
2j
a0 2
e jn0t
n1
2
an jbn
e jn0t
2
an jbn
c0
cn e jn0t cn e jn0t
n1
cn
an jbn 2
1 T
c e jn0t n
1.2
n
付氏级数的物理意义：用正弦函数的叠加来等效任意的
非正弦周期函数。 3、傅氏变换
当周期函数fT(t)在所讨论的区间上满足狄里克利条件, fT(t)可 展开为付氏级数：
fT t
cn e jn0t
n
其中：
cn
1 T
T
2 T
fT
2
t e jn0t dt
定义：令nω0 =ω， 则定义周期函数fT(t)的傅里叶变换为： T
T
2 T
2
fT tcosn0tdt
bn
2 T
T
2 T 2
fT tsin n0tdt
2、傅氏级数的指数形式
2、傅氏级数的指数形式 利用欧拉公式：
e j cos j sin 式1.1可写为：
或：cosn0t
1 2
e jn0t
e jn0t
sin
n0t
1 zj
e jn0t
e jn0t
第十四章 线性动态电路的复频域分析
拉普拉斯变换是一个数学工具，它可以将时域里的高阶微分 方程变换为复频域里的代数方程，从而大大简化求解过程。由于 这个变换是唯一的，因而复频域里的解也唯一地对应着原时域里 微分方程的解，通过反变换即可得到微分方程的解。这样就为分 析解决高阶电路提供了一个简便和实用的方法——运算法。因此， 拉普拉斯变换涉及到正变换和反变换两方面。
f
t
lim
T
fT
t
1
2
Fe jt d
F
f
t e jt dt
记为：
F F f t f t F 1 f t
成立条件： 1 f(t)满足狄里克利条件
2 f(t)在( -∞,+∞)上绝对可积 4、付氏变换的物理意义：
（1）把 f(t)看成无穷多个0~∞频率、振幅为无穷小的正弦波的 合成。F(ω)是频谱密度，也是单位频率所贡献的振幅。
通常，一个周期为T的周期函数fT(t)，在[-T/2，T/2]上满足狄 里赫利条件，总可以分解为如下的正弦函数的和：
fT t
a0 2
an
n1
cos n0t
bn
sin n0t
1.1
其中：T 为周期函数fT(t)的周期；
0
2
T
为基波角频率 ；
a0
2 T
T
f 2
T T 2
t dt
an
2 T
② 其次，可以进行付氏变换的函数必须在整个自变量轴（时间 轴）上有意义。但在物理、电子技术等实际应用中，许多以时间 为自变量的函数往往在t<0时无意义,或者根本不需要考虑。因此， 付氏变换在实应用中就受到一定限制。
由此想到，能否将不满足以上条件的函数ψ(t)通过适当的改
造，使其存在付氏变换（满足付氏变换的条件）呢？