拉普拉斯变换及反变换.
拉普拉斯变换和反变换
F (s)s(s2s 2 1 s 5 )1 5 [1 ss2 s 2 s3 5 ]
L 1 [(s 1 s ) 2 3 4 ] L 1 [(s ( 1 s ) 2 1 )4 ] L 1 [(s 1 4 )2 4 ]
0
s
t
L[ 0
t 0
f(t)dnt]s1nF(s)
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（7）初值定理
lim f(t)lim sF (s)
t 0
s
f(0)lim sF(s) s
（8）终值定理
lim f(t)lim sF (s)
t
s 0
f()lim sF(s)
Fssp1
Ns sp2 .......spn
k1 k2 .........kn
sp1 sp2
spn
其中 k i [F s(s p i)s ]p i
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例
F(s)s2
s1 5s6
解：（1）F（s）的极点
s25s60 s1 2 s2 3
Fs 的原函数；L是表示进行拉氏变换的
符号。
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F(s)L[f(t)]
f(t)L1[F(s)]
拉氏变换是这样一种变换，即在一定的 条件下，它能把一实数域中的实变函数
f t 变换为一个在复数域内与之等价的
复变函数 Fs。
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1）、 典型函数的拉氏变换
式中 L1 表示拉普拉斯反变换的符号
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022第五章-3拉普拉斯变换反变换
§5.5 拉普拉斯反变换 一、部分分式展开法(Haviside Theorem)
Ⅰ. F(s)单极点情况
(1) F (s)有n个单极点s1, s2
sn , 且n m,即F (s)为真分式
ki ki e si t (t ) s si
(2) F ( s)有n个单极点，但 n m 即 F ( s) 为假分式
则应将F(s)化为多项式和真分式之和，真分式部分用“部分分 式展开法”求反变换，多项式的反变换为冲激函数及其导数
(t ) 1 (t ) s
s 例3、 F ( s) 2 求 f (t ) s 2s 5
真分式、共轭极点
e t sin t (t ) e t cos t (t )
k1 ( s 2 ) k2 ( s 2 ) 解： F (s) 2 2 s 3 s 2s 5
2 4 4 3 s 1 2 s 1 k1 ( s ) 2 s s 1 1 ss22 s 2 s 5 s 2 3 0 1 3 04
p
( s sn ) K11 s s1
K1 p 1 ( s s1 )
p 1
K1i i ( s s1 )
Kn s sn
p i
1 d p 其中：K1i [(s s1 ) F (s) ] s s p i 1 ( p i) ! ds
P231 式（5-26C）
0 2 s 0 2
s
2 s 0 2
解： 极点 s1,2 1 j 2
s 1 1 2 s F ( s) 2 2 2 ( s 1) 2 2 ( s 1) 2 22 ( s 1) 4
常用拉普拉斯变换及反变换
419附录A 拉普拉斯变换及反变换1.表A-1 拉氏变换的基本性质 齐次性)()]([s aF t af L =1线性定理叠加性)()()]()([2121s F s F t f t f L ±=±一般形式=−=][′−ٛ−=−=−−−−=−∑11)1()1(1222)()()0()()(0)0()(])([)0()(])([k k k k nk k n n n n dt t f d t f f s s F s dt t f d L f sf s F s dt t f d L f s sF dt t df L M ）（ 2微分定理初始条件为0时)(])([s F s dtt f d L n nn =一般形式 }}∑∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫==+−===+=++=+=nk t n n k n n n n t t t dt t f ss s F dt t f L sdt t f s dt t f s s F dt t f L sdt t f s s F dt t f L 101022022]))(([1)(])()([]))(([])([)(]))(([])([)(])([个共个共L L M3积分定理初始条件为0时}nnn s s F dt t f L )(]))(([=∫∫个共L4 延迟定理（或称t 域平移定理）)()](1)([s F e T t T t f L Ts−=−− 5 衰减定理（或称s 域平移定理）)(])([a s F e t f L at +=−6 终值定理 )(lim )(lim 0s sF t f st →∞→=7 初值定理 )(lim )(lim 0s sF t f s t ∞→→=8 卷积定理)()(])()([])()([21021021s F s F d t f t f L d f t f L tt =−=−∫∫τττττ4202．表A-2 常用函数的拉氏变换和z 变换表 序号 拉氏变换E(s)时间函数e(t) Z 变换E(z)1 1δ(t)12 Ts e −−11∑∞=−=0)()(n T nT tt δδ 1−z z3 s1 )(1t 1−z z 421s t2)1(−z Tz5 31s 22t32)1(2)1(−+z z z T6 11+n s!n t n )(!)1(lim 0aTn n n a e z z a n −→−∂∂− 7 as +1ate −aTe z z−− 8 2)(1a s + atte− 2)(aT aT e z Tze −−−9 )(a s s a +ate−−1 ))(1()1(aT aT e z z z e −−−−− 10 ))((b s a s ab ++− btate e−−−bTaT e z z e z z −−−−− 11 22ωω+st ωsin 1cos 2sin 2+−T z z Tz ωω12 22ω+s st ωcos1cos 2)cos (2+−−T z z T z z ωω 13 22)(ωω++a s t eatωsin −aTaT aT eT ze z T ze 22cos 2sin −−−+−ωω 14 22)(ω+++a s a st e at ωcos −aTaT aTe T ze z T ze z 222cos 2cos −−−+−−ωω15aT s ln )/1(1−T t a/az z −4213． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
(完整版)拉普拉斯变换表
拉普拉斯变换及反变换1. 表 A-1 拉氏变换的基本性质1齐次性线性定理叠加性2微分定一般形式理L[af ( t)] aF (s)L[ f1 (t ) f 2 ( t )] F1 ( s) F2 ( s) L[ df (t ) ] sF (s) f (0)dtL[d 2 f (t) 2f（）dt 2 ] s F (s) sf (0) 0n nd f (t ) n n k ( k 1 )L dt n s F (s) k 1 s f (0) f ( k 1) (t ) d k 1 f (t )dt k 1初始条件为 0 时一般形式3积分定理初始条件为 0 时4延迟定理（或称 t 域平移定理）5衰减定理（或称 s 域平移定理）6终值定理7初值定理8卷积定理L[d n f (t) ndt n ] s F (s)L[ f (t)dt]F (s) [ f (t)dt] t 0s sL[ f (t)(dt)2 ] F (s)[ f (t )dt]t 0[ f (t)( dt) 2 ] t 0s2 ss2共 n个n共 n个nF (s) 1 nL[ f (t )(dt) ] 1 [ f (t)( dt) ] t 0nk 1 sn ks共 n个F (s)L[ f (t )( dt) n ]s nL[ f (t T )] e Ts F ( s)L[ f ( t)e at ] F (s a)lim f (t ) lim sF (s)t s0lim f (t ) lim sF ( s)t 0 st 1 ( ) 2 ( ) ] [ t 1 ( ) 2 ( ) ] 1() 2()[ f d L f f t dL f t t F s F s0 012．表 A-2 常用函数的拉氏变换和z 变换表拉氏变换E(s)111 e Ts1s12s13s1s n 11s a1( s a) 2as( s a)b a( s a)(s b)s2 2ss2 2( s a) 2 2s a( s a)2 21s (1 / T ) ln a 时间函数 e(t)δ(t)T (t )(t nT )n01(t )tt 22ntn!e atte at1 e ate at e btsin tcos te at sin te at cos ta t / T23．用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
拉普拉斯变换及反变换1
——不常用解
方法二： 方法二：查拉氏变换表求解 ——对简单的象函数适用 方法三： 方法三：部分分式法——象函数为有理分式函数时适用
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应用部分分式展开式计算拉氏逆变换的 一般步骤 ： 的极点； （1）计算有理分式函数F（s）的极点； （2）根据极点把F（s）的分母多项式进行因 式分解、 展开成部分分式； 式分解、并进一步把F（s）展开成部分分式； （3）对F（s）的部分分式展开式两边同时进 行拉氏逆变换。 行拉氏逆变换。
（11）卷积定理 11）
f (t ) * g (t ) = ∫
+∞
−∞
f (τ ) g (t − τ )dτ
= ∫ f (τ ) g (t − τ )dτ
0
t
L[ f (t ) * g (t )] = F ( s ) ⋅ G ( s ) = G ( s ) F ( s )
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s +1 c2 = ( s + 3) ( s + 2)( s + 3)
s = −3
（2）对F（s）的分母多项式进行因式分解、并把 （s）展开 ） （ ）的分母多项式进行因式分解、并把F（ ） 成部分分式
=2
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s +1 1 2 F ( s) = 2 =− + s + 5s + 6 s+2 s+3
− st
单位阶跃函数，记作 单位阶跃函数，记作1( t )
t<0 t≥0
1 L[1(t )] = s
拉普拉斯变换及其逆变换表
1.表 A-1 拉氏变换的基本性质
1 线性定理 齐次性 叠加性
L[ af (t )] aF ( s )
L[ f 1 (t ) f 2 (t )] F1 ( s ) F2 ( s )
df (t ) ] sF ( s ) f (0) dt d 2 f (t ) L[ ] s 2 F ( s ) sf (0) f （ 0 ） dt 2 L[
1(t )
z z 1
1 s2
1 s3
t
t2 2
Tz ( z 1) 2
T 2 z ( z 1) 2( z 1) 3
1 s n 1
1 sa
tn n!
lim
( 1) n n z ( ) n a 0 n! a z e aT
z z e aT
e at te
at
1 n 1 n 0 1 m 1 m
代数定理可将 F ( s ) 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① A( s) 0 无重根 这时，F(s)可展开为 n 个简单的部分分式之和的形式。
c c c c c F (s ) ss ss ss ss ss
1 2 i n n i i 1 1 2 i n
r 1 r 1 n r 1 1 r 1 i n r 1
c c c c c c (s s ) (s s ) (s s ) s s ss ss
r 1 1 1 r 1 i
n
式中， s1 为 F(s)的 r 重根， s r 1 ，…, sn 为 F(s)的 n-r 个单根； 其中， c r 1 ，…, cn 仍按式(F-2)或(F-3)计算， cr ， cr 1 ，…, c1 则按下式计算：
拉普拉斯变换及逆变换
第十二章 拉普拉斯变换及逆变换拉普拉斯(Laplace)变换就是分析与求解常系数线性微分方程得一种简便得方法,而且在自动控制系统得分析与综合中也起着重要得作用。
我们经常应用拉普拉斯变换进行电路得复频域分析。
本章将扼要地介绍拉普拉斯变换(以下简称拉氏变换)得基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中得应用。
第一节 拉普拉斯变换在代数中,直接计算328.957812028.6⨯⨯=N 53)164.1(⨯就是很复杂得,而引用对数后,可先把上式变换为164.1lg 53)20lg 28.9lg 5781(lg 3128.6lg lg ++-+=N然后通过查常用对数表与反对数表,就可算得原来要求得数N 。
这就是一种把复杂运算转化为简单运算得做法,而拉氏变换则就是另一种化繁为简得做法。
一、拉氏变换得基本概念定义12、1 设函数()f t 当0t ≥时有定义,若广义积分()pt f t e dt +∞-⎰在P 得某一区域内收敛,则此积分就确定了一个参量为P 得函数,记作()F P ,即dte tf P F pt ⎰∞+-=)()( (12、1)称(12、1)式为函数()f t 得拉氏变换式,用记号[()]()L f t F P =表示。
函数()F P 称为()f t 得拉氏变换(Laplace) (或称为()f t 得象函数)。
函数()f t 称为()F P 得拉氏逆变换(或称为()F P 象原函数),记作)()]([1t f P F L =-,即)]([)(1P F L t f -=。
关于拉氏变换得定义,在这里做两点说明:(1)在定义中,只要求()f t 在0t ≥时有定义。
为了研究拉氏变换性质得方便,以后总假定在0t <时,()0f t =。
(2)在较为深入得讨论中,拉氏变换式中得参数P 就是在复数范围内取值。
为了方便起见,本章我们把P 作为实数来讨论,这并不影响对拉氏变换性质得研究与应用。
拉普拉斯Laplace变换
f (t) = 2e − t − e −2t
例2
2s + 12 k1 k2 F(s) = 2 = + s + 2s + 5 s + 1 + 2 j s + 1 − 2 j
2s + 12 k1 = 2 (s + 1 + 2 j) s + 2s + 5
5 k2 = 1− j 2
s =−1− 2 j
5 = 1+ j 2
[a1s + a2 ]s =− p1 B( s) =[ ( s + p1 )( s + p2 )]s =− p1 A( s)
c. F(s)含有多重极点时，可展开为
an br br −1 b1 ar +1 F ( s) = + + ⋅⋅⋅ + + + ⋅⋅⋅ + r r −1 ( s + p1 ) ( s + p1 ) ( s + p1 ) ( s + pr +1 ) ( s + pn )
s =−1
=2
d s 2 + 2s + 3 a12 = [ (s + 1)3 ] s=−1 = 0 ds (s + 1)3 1 d 2 s 2 + 2s + 3 a13 = [ (s + 1)3 ] s =−1 = 1 2! ds 2 (s + 1)3
所以:
2 1 f (t) = L [ + ] = t 2e − t + e − t = (t 2 + 1)e − t (s + 1)3 s + 1
线性定理 位移定理 延迟定理 终值定理
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拉普拉斯变换及反变换
1.拉氏变换的基本性质
表-1 拉氏变换的基本性质
1()([n n k f t dt s s
-+=+∑⎰
个
2．常用函数的拉氏变换和z 变换表
表-2 常用函数的拉氏变换和z 变换表
3． 用查表法进行拉氏反变换
用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设)(s F 是s 的有理真分式，即
11
10
111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中，系数n n a a a a ,,...,,110-和011,,
,,m m b b b b -都是实常数；n m ,是正整数。
按代数定理
可将)(s F 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
（1）0)(=s A 无重根：这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式，即
∑=-=-++-++-+-=n
i i
i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122
11)( （1）
式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根；i c 为待定常数，称为()F s 在i s 处的留数，可按下列两式计算：lim()()i
i i s s c s s F s →=- （2）
或
i
s
s i s A s B c ='=
)()
( （3）
式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数为
[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11
1
)()(＝1
i
n s t
i i c e =∑ (4)
（2）0)(=s A 有重根：设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为
())
()()()
(11n r r s s s s s s s B s F ---=
+
=
n
n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11
111
111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…，n s 为F(s)的n r -个单根；其中，1+r c ，…，n c 仍按式(F-2)或式(F-3)计算，r c ，1-r c ，…，1c 则按下式计算：
)()(lim 11
s F s s c r s s r -=→
11lim
[()()]i
r r s s d
c s s F s ds
-→=-
)()(lim !11)()
(1s F s s ds
d j c r j j s s j
r -=→- (5)
)()(lim )!1(11)1()
1(11s F s s ds
d r c r r r s s --=--→
原函数)(t f 为 [])()(1
s F L
t f -=
⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L 11
111
1111)()()( t s n
r i i t s r r r r i
e c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+++-+-=112211
1
)!2()!1( （6）。