拉氏变换及其反变换
拉氏变换与反变换
拉氏变换与反变换机电控制工程所涉及的数学问题较多，经常要解算一些线性微分方程。
按照一般方法解算比较麻烦，如果用拉普拉斯变换求解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转化为代数运算，又能够单独地表明初始条件的影响，并有变换表可查找，因而是一种较为简便的工程数学方法。
拉普拉斯变换的定义如果有一个以时间 t 为自变量的实变函数 ()t f ，它的定义域是 0≥t ，那么 ()t f 的拉普拉斯变换定义为()()()0e d st F s L f t f t t ∞-=∆⎡⎤⎣⎦⎰式中， s 是复变数， ωσj +=s （σ、ω均为实数）， ⎰∞-0e st称为拉普拉斯积分； )(s F 是函数 )(t f 的拉普拉斯变换，它是一个复变函数，通常也称 )(s F 为 )(t f 的象函数，而称 )(t f 为 )(s F 的原函数；L 是表示进行拉普拉斯变换的符号。
式（）表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件下，它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等价的复变函数)(s F 。
几种典型函数的拉氏变换1.单位阶跃函数 )(1t 的拉氏变换单位阶跃函数是机电控制中最常用的典型输入信号之一，常以它作为评价系统性能的标准输入，这一函数定义为⎩⎨⎧≥<∆)0(1)0(0)(1t t t单位阶跃函数如图所示，它表示在 0=t 时刻突然作用于系统一个幅值为1的不变量。
单位阶跃函数的拉氏变换式为0e 1d e )(1)](1[)(0∞-===-∞-⎰stst st t t L s F 当 0)Re(>s ，则 0e lim →-∞→st t 。
所以[]s s s t L st 1)1(00e 1)(1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∞-=-（）图 单位阶跃函数 2.指数函数的拉氏变换指数函数也是控制理论中经常用到的函数，其中 是常数。
令则与求单位阶跃函数同理，就可求得（）3.正弦函数与余弦函数的拉氏变换 设，，则由欧拉公式，有所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-∞--∞⎰⎰t t s F st t stt d e e d e e j 21)(0j 0j 1ωω ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-∞+-∞--⎰⎰t t stt s t s d e e d e j 210)j (0)j (ωω⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∞+-∞--=+---0e j 10e j 1j21)j ()j (t s t s s s ωωωω22j 1j 1j 21ωωωω+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=s s s） 同理）4.单位脉冲函数 δ(t ) 的拉氏变换单位脉冲函数是在持续时间期间幅值为的矩形波。
拉氏变化及反变换
t 0
1
2 单位阶跃函数
f (t )
1
0, t 0 1(t ) 1, t 0
0
t
L[1(t )]
0
1 st 1 1(t )e dt e 0 s s
st
3 单位斜坡函数
f (t )
f (t )
0, t 0 f (t ) t, t 0
1 1 1(t ) 1(t T ) T T
L[ f (t )]
1 1 sT 1 e (1 e sT ) Ts Ts Ts
T T f (t ) f1 (t ) f1 (t ) f1 (t ) f1 (t T ) 2 2 4 4 T 4 T 4 2 t 2 (t ) 2 (t ) 2 (t T ) T T 2 T 2 T
1 jt sin t (e e jt ) 2j
st
Hale Waihona Puke e j cos j sin e j cos j sin
L[sin t ] sin t e dt
0
0
1 jt jt st e e e dt 2j
10.像函数的微分性质
设L[ f (t )] F (s)
dF ( s) Ltf (t ) ds
11.像函数的积分性质
设L[ f (t )] F (s)
1 L f (t ) F ( s)ds t s
例 求图示方波和三角波的拉氏变换
方波： f (t ) f1 (t ) f1 (t T )
1 1 1 s 2 2 s j s j s 2
拉普拉斯变换及反变换1
——不常用解
方法二： 方法二：查拉氏变换表求解 ——对简单的象函数适用 方法三： 方法三：部分分式法——象函数为有理分式函数时适用
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控制工程基础
应用部分分式展开式计算拉氏逆变换的 一般步骤 ： 的极点； （1）计算有理分式函数F（s）的极点； （2）根据极点把F（s）的分母多项式进行因 式分解、 展开成部分分式； 式分解、并进一步把F（s）展开成部分分式； （3）对F（s）的部分分式展开式两边同时进 行拉氏逆变换。 行拉氏逆变换。
（11）卷积定理 11）
f (t ) * g (t ) = ∫
+∞
−∞
f (τ ) g (t − τ )dτ
= ∫ f (τ ) g (t − τ )dτ
0
t
L[ f (t ) * g (t )] = F ( s ) ⋅ G ( s ) = G ( s ) F ( s )
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控制工程基础
s +1 c2 = ( s + 3) ( s + 2)( s + 3)
s = −3
（2）对F（s）的分母多项式进行因式分解、并把 （s）展开 ） （ ）的分母多项式进行因式分解、并把F（ ） 成部分分式
=2
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控制工程基础
s +1 1 2 F ( s) = 2 =− + s + 5s + 6 s+2 s+3
− st
单位阶跃函数，记作 单位阶跃函数，记作1( t )
t<0 t≥0
1 L[1(t )] = s
拉氏变换及拉氏反变换
t dt 1 ，且δ(t)有如下
t f t dt f 0
式中f(0)——t=0时刻的f(t)的函数值。
由拉氏变换的定义得
L t t e st dt e st
0
t 0
1
2.2.2 几种典型函数的拉氏变换
L f at
1 s F a a
2.2.3 拉氏变换主要定理
微分定理
设f(n)(t)表示f(t)的n阶导数，n=1，2，3，……正整数， f(t)的拉氏变换为F(s)，则
L f t s F s sf 0 f 0
F s
s 1 s 1 k k 1 2 s 2 5s 6 s 2s 3 s 2 s 3
s 1 s 2 s 1 1 k1 s 2s 3 s 2 s 3 s 2 s 1 s 3 s 1 2 k2 s 2s 3 s 3 s 2 s 3 2 1 1 1 2 f t L1 F s L1 L1 L 2e 3t e 2t s 2 s 3 s 2 s 3
拉氏变换亦与此相似，即把微分方程变换为代数方程 求解。
2.2.1 拉氏变换的定义
定义
对于时间函数f（t），如果满足
当t<0时，f（t）=0； 当t≥0时，实函数f（t）的积分
f t e
0
st
dt 在s的某一域内收敛，则定义f（t）的拉氏变换
为
F s f t e st dt
附-拉氏变换与拉氏反变换_图文
件求解微分方程的方法------拉氏变换法。
2、 拉普拉斯变换的定义
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设有一时间函数f(t) [0,∞] 或 0≤t≤∞单边
函数，且积分
在s的某一域内收敛，则
由此积分所确定的函数可记为：
式中：s = + jω (复数)，称为复频率或拉氏算
子
f(t) 称为原函数，是 t 的函数。 F(s) 称为象函数，是s 的函数。
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b)拉氏变换和拉氏反变换可以利用公式和图表简 化其运算，而不必求上述积分运算。
3、拉氏变换存在定理
若函数f(t)满足下列条件， 1）当t ＜0时，f(t)=0； 2）f(t)是连续的或只有有限个极值点，并且能找 到适当的s=σ +jω 值，使下述积分存在。
控制工程中常见的一些函数一般都能满足上述条件。
利用此定理可求信号的稳态值。
例如：求信号
的稳态值。
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拉氏变换的基本性质（1）
线性
微分 积分
时移 频移
四、拉普拉斯反变换
1、一般公式
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上式可由傅里叶变换推导而得，是由F(s)求 f(t)的一般公式，右边积分称为拉氏反演积分，是 一种复变函数积分，计算较困难，但当F(s)满足一 定条件时，可以用留数的方法来计算这个反演积 分，特别当F(s)为有理函数时，就是将F(s)展开为 部分分式，再利用 拉氏变换表确定其原 函数。
，则上式右边只
若对上式对s求 右边只剩下
次导，并令 。
，则上式
解：
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自测题：
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五、利用拉氏变换求解常系数微分方程
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第3讲 拉氏反变换
用拉氏变换解常系数线性微分方程
第一章 绪论
§2.2 拉氏变换及反变换
第一章 绪论
§2.2 拉氏变换及反变换
(s 2)(s 3) F ( s) s 1
练习：
第一章 绪论
§2.2 拉氏变换及反变换
（2）有共轭复数极点。
[ F ( s)( s s1 )(s s2 )]|ss1 ( s s2 ) (k1s k2 ) |s s1 ( ss2 ) k3 F ( s)( s s3 ) |s s 3 kn F ( s)( s sn ) |s s n
第一章 绪论
§2.2 拉氏变换及反变换
解
第一章 绪论
§2.2 拉氏变换及反变换
f (t ) L
1
F (s) 1 e
0.5t
3 3 0.5t 3 cos t e sin t 2 3 2
第一章 绪论
§2.2 拉氏变换及反变换
解
2( s 1) 10 F ( s) 2 ( s 1) 4 ( s 1) 2 4 2( s 1) 2 5 ( s 1) 2 4 ( s 1) 2 4 f (t ) 2e t cos 2t 5e t sin 2t
复
习
求系统的微分方程 拉氏变换的求法 拉氏变换的性质
第一章 绪论
§2.2 拉氏变换及反变换
二、拉氏反变换及其计算方法
1.定义
2.计算方法 查表法与部分分式法相结合的方法。
第一章 绪论
§2.2 拉氏变换及反变换
（1）极点为互不相同的的实数。
第一章 绪论
§2.2 拉氏变换及反变换
第一章 绪论
§2.2 拉氏变换及反变换
拉氏变换与反变换
2.5 拉氏变换与反变换机电控制工程所涉及的数学问题较多，经常要解算一些线性微分方程。
按照一般方法解算比较麻烦，如果用拉普拉斯变换求解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转化为代数运算，又能够单独地表明初始条件的影响，并有变换表可查找，因而是一种较为简便的工程数学方法。
2.5.1 拉普拉斯变换的定义如果有一个以时间 为自变量的实变函数 ，它的定义域是 ，那么 的拉普拉斯变换定义为(2.10)式中， 是复变数， （σ、ω均为实数）， 称为拉普拉斯积分；是函数的拉普拉斯变换，它是一个复变函数，通常也称 为 的象函数，而称为 的原函数；L 是表示进行拉普拉斯变换的符号。
式（2.10）表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件下，它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域与之等价的复变函数。
2.5.2 几种典型函数的拉氏变换1.单位阶跃函数的拉氏变换单位阶跃函数是机电控制中最常用的典型输入信号之一，常以它作为评价系统性能的标准输入，这一函数定义为单位阶跃函数如图2.7所示，它表示在 时刻突然作用于系统一个幅值为1的不变量。
单位阶跃函数的拉氏变换式为t ()t f 0≥t ()t f ()()()0e d stF s L f t f t t ∞-=∆⎡⎤⎣⎦⎰s ωσj +=s ⎰∞-0e st )(s F )(t f )(s F )(t f )(t f )(s F )(s F )(1t ⎩⎨⎧≥<∆)0(1)0(0)(1t t t 0=t当 ，则 。
所以（2.11）图2.7 单位阶跃函数2.指数函数的拉氏变换指数函数也是控制理论中经常用到的函数，其中 是常数。
令则与求单位阶跃函数同理，就可求得（2.12）3.正弦函数与余弦函数的拉氏变换设，，则0e 1d e )(1)](1[)(0∞-===-∞-⎰stst st t t L s F 0)Re(>s 0e lim →-∞→st t []s s s t L st 1)1(00e 1)(1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∞-=-由欧拉公式，有所以(2.13）同理(2.14）4.单位脉冲函数 δ(t ) 的拉氏变换单位脉冲函数是在持续时间期间幅值为的矩形波。
2.2拉氏变换及反变换
n 1
x
s
n!
n 1
应记住的 一些简单函数的 拉氏变换
原函数 1t
t
象函数 1 s
e
1t
1 s -
sin t 1 t cos t 1 t
n
s
2 2
s s
2 2
t
1t
dt
s
e
s t
0
s
3、正弦函数 和余弦函数
根据欧拉公式：
j
sin t 1 t cos t 1 t
e
j
cos j sin cos j sin
sin 则 cos
1 , 0 t t0 lim t t 0 0 t 0 0 , t 0或 t t0
1 t0
1t 1t t 0 1 1 t 1 t t 0 解： t lim lim0 t0 0 t0 t0 t0 t0
s 0
使 用 条 件 ：x t 的 终 值 存 在 ， 即 x t 有 稳 态 解 。
例 ：求
lim s in t
t
当 t 时 ，s in t 的 值 也 始 终 在 1 之 间 不 定
s in t 无 终 值 。
例2-1 求单位脉冲函数的象函数
1 1 1 2 s j s j
2
4 .幂函数
设 ( ) 则 ( n 1)
n
t
e
x
1t
0
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Part 2.1 拉氏变换的定义
设函数f(t)满足：
1f(t)实函数；
2当t<0时 ， f(t)=0；
3当t0时，f(t)的积分
0
f
(t)est dt
在s的某一域内收敛
则函数f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为：
式中：s=σ+jω（σ，ω均为实数）；
F(s)称为函数f(t)的拉普拉氏变换或象函数; f(t)称为F(s)的原函数； L为拉氏变换的符号。
➢将微分方程通过拉氏变换变为 s 的代数方程； ➢解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式； ➢应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。
微分方程式的解
a、 A、B、
指数函数 Aeat 正弦函数 Bsin(t+)
微分方程式的各系数
外部条件
起始条件
✓应用拉氏变换法求解微分方程时，由于初始条件已自动地 包含在微分方程的拉氏变换式中，因此，不需要根据初始 条件求积分常数的值就可得到微分方程的全解。
位移定理
原函数乘以指数函数e-at像函数d在复数域中作位移a
延时定理
原函数平移 像函数乘以 e-s
终值定理
值定理
变量置换法
其它方法
Part 2.3拉氏反变换方法 部分分式法的求取拉氏反变换
F(s)
B(s) A(s)
单位脉冲函数拉氏变换
洛必达法则
单位加速度函数拉氏变换
抛物线函数
Part 2.2拉氏变换的主要运算定理
线性定理 微分定理 积分定理 位移定理 延时定理 卷积定理 初值定理 终值定理
线性定理 叠加定理
比例定理
多重微分
原函数的高阶导数 像函数中s的高次代数式
积分定理
多重积分
原函数的n重积分像函数中除以sn
b0sm a0sn
b1sm1 a1sn1
.... bm1s .... an1s
bm bn
,m
n
L-1[F(s)] = L-1[F1(s)]+L-1[F2(s)]+…+L-1[Fn(s)] = f1(t) + f2(t) + … + fn(t)
F(s)= F1(s)+F2(s)+…+Fn(s)
条件： 分母多项式能分解成因式
F (s) B(s) K (s z1)(s z2 )...( s zm ) A(s) (s p1)(s p2 )...( s pn )
多项式极点
p1, p2 ,..., pn
多项式零点
z1,z2 ,..., zm
Part 2.4拉氏变换求解线性微分方程
拉氏反变换的定义 其中L－1为拉氏反变换的符号。
拉氏变换的计算
➢指数函数 ➢三角函数 ➢单位脉冲函数 ➢单位阶跃函数 ➢单位速度函数 ➢单位加速度函数 ➢幂函数
高等函数初等函数
指数函数的拉氏变换
三角函数的拉氏变换
（尤拉公式）
阶跃函数的拉氏变换
幂函数的拉氏变换
单位速度函数的拉氏变换
斜坡函数