拉氏变换与反变换.
拉氏变换和反变换
第十三章拉普拉斯变换(Laplace Transformations)本章介绍拉普拉斯变换的定义、性质和反变换的应用；运算电路图的画法；用拉普拉斯变换分析电路。
§13-1 拉普拉斯变换定义教学目的：拉普拉斯变换的定义。
教学重点：拉普拉斯正变换，拉普拉斯变换存在的条件。
教学难点: 用拉普拉斯变换定义求几个常见函数的拉氏变换。
教学方法：课堂讲授。
教学内容：一、引言拉普拉斯拉斯变换可用于求解常系数线性微分方程，是研究线性系统的一种有效而重要的工具。
拉普拉斯拉斯变换是一种积分变换，它把时域中的常系数线性微分方程变换为复频域中的常系数线性代数方程。
因此，进行计算比较简单，这正是拉普拉斯拉斯变换（简称：拉氏变换）法的优点所在。
二、拉普拉斯拉斯变换的定义一个定义在区间的函数,其拉氏变换定义为:e-st dt式中：s=б+jω为复数，有时称变量S为复频率。
应用拉普拉斯拉斯变换进行电路分析有称为电路的复频域分析，有时称为运算法。
F(s)又称为f(t)的象函数，而f(t)称为F(s)的原函数。
通常用“L[ ]”表示对方括号内的函数作拉氏变换。
三、几个常见函数的拉氏变换1．2．§13-2 拉普拉斯变换的基本性质教学目的：本节将介绍拉氏变换的一些基本性质，利用这些基本性质，可以很容易的求得一些较复杂的原函数的象函数，同时，这些基本性质对于分析线性非时变网络也是非常必要的。
教学重点：拉普拉斯变换的性质。
教学难点: 用拉普拉斯变换的性质求得象函数。
教学方法：课堂讲授。
教学内容：一、唯一性定义在区间的时间函数与其拉氏变换存在一一对应关系。
根据可以唯一的确定其拉氏变换；反之，根据，可以唯一的确定时间函数。
唯一性是拉氏变换非常重要的性质，正是这个性质，才是我们有可能将时域中的问题变换为复频域中的问题进行求解，并使在复频域中求得的结果有可能再返回到时域中去。
唯一性的证明从略。
二、线性性质若和是两个任意的时间函数，其拉氏变换分别为和，和是两个任意常数，则有：[证]：根据拉氏变换的定义可得[例]：求的拉氏变换。
拉氏变换与反变换
拉氏变换与反变换机电控制工程所涉及的数学问题较多，经常要解算一些线性微分方程。
按照一般方法解算比较麻烦，如果用拉普拉斯变换求解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转化为代数运算，又能够单独地表明初始条件的影响，并有变换表可查找，因而是一种较为简便的工程数学方法。
拉普拉斯变换的定义如果有一个以时间 t 为自变量的实变函数 ()t f ，它的定义域是 0≥t ，那么 ()t f 的拉普拉斯变换定义为()()()0e d st F s L f t f t t ∞-=∆⎡⎤⎣⎦⎰式中， s 是复变数， ωσj +=s （σ、ω均为实数）， ⎰∞-0e st称为拉普拉斯积分； )(s F 是函数 )(t f 的拉普拉斯变换，它是一个复变函数，通常也称 )(s F 为 )(t f 的象函数，而称 )(t f 为 )(s F 的原函数；L 是表示进行拉普拉斯变换的符号。
式（）表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件下，它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等价的复变函数)(s F 。
几种典型函数的拉氏变换1.单位阶跃函数 )(1t 的拉氏变换单位阶跃函数是机电控制中最常用的典型输入信号之一，常以它作为评价系统性能的标准输入，这一函数定义为⎩⎨⎧≥<∆)0(1)0(0)(1t t t单位阶跃函数如图所示，它表示在 0=t 时刻突然作用于系统一个幅值为1的不变量。
单位阶跃函数的拉氏变换式为0e 1d e )(1)](1[)(0∞-===-∞-⎰stst st t t L s F 当 0)Re(>s ，则 0e lim →-∞→st t 。
所以[]s s s t L st 1)1(00e 1)(1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∞-=-（）图 单位阶跃函数 2.指数函数的拉氏变换指数函数也是控制理论中经常用到的函数，其中 是常数。
令则与求单位阶跃函数同理，就可求得（）3.正弦函数与余弦函数的拉氏变换 设，，则由欧拉公式，有所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-∞--∞⎰⎰t t s F st t stt d e e d e e j 21)(0j 0j 1ωω ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-∞+-∞--⎰⎰t t stt s t s d e e d e j 210)j (0)j (ωω⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∞+-∞--=+---0e j 10e j 1j21)j ()j (t s t s s s ωωωω22j 1j 1j 21ωωωω+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=s s s） 同理）4.单位脉冲函数 δ(t ) 的拉氏变换单位脉冲函数是在持续时间期间幅值为的矩形波。
拉氏变化及反变换
t 0
1
2 单位阶跃函数
f (t )
1
0, t 0 1(t ) 1, t 0
0
t
L[1(t )]
0
1 st 1 1(t )e dt e 0 s s
st
3 单位斜坡函数
f (t )
f (t )
0, t 0 f (t ) t, t 0
1 1 1(t ) 1(t T ) T T
L[ f (t )]
1 1 sT 1 e (1 e sT ) Ts Ts Ts
T T f (t ) f1 (t ) f1 (t ) f1 (t ) f1 (t T ) 2 2 4 4 T 4 T 4 2 t 2 (t ) 2 (t ) 2 (t T ) T T 2 T 2 T
1 jt sin t (e e jt ) 2j
st
Hale Waihona Puke e j cos j sin e j cos j sin
L[sin t ] sin t e dt
0
0
1 jt jt st e e e dt 2j
10.像函数的微分性质
设L[ f (t )] F (s)
dF ( s) Ltf (t ) ds
11.像函数的积分性质
设L[ f (t )] F (s)
1 L f (t ) F ( s)ds t s
例 求图示方波和三角波的拉氏变换
方波： f (t ) f1 (t ) f1 (t T )
1 1 1 s 2 2 s j s j s 2
拉普拉斯变换及反变换1
——不常用解
方法二： 方法二：查拉氏变换表求解 ——对简单的象函数适用 方法三： 方法三：部分分式法——象函数为有理分式函数时适用
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控制工程基础
应用部分分式展开式计算拉氏逆变换的 一般步骤 ： 的极点； （1）计算有理分式函数F（s）的极点； （2）根据极点把F（s）的分母多项式进行因 式分解、 展开成部分分式； 式分解、并进一步把F（s）展开成部分分式； （3）对F（s）的部分分式展开式两边同时进 行拉氏逆变换。 行拉氏逆变换。
（11）卷积定理 11）
f (t ) * g (t ) = ∫
+∞
−∞
f (τ ) g (t − τ )dτ
= ∫ f (τ ) g (t − τ )dτ
0
t
L[ f (t ) * g (t )] = F ( s ) ⋅ G ( s ) = G ( s ) F ( s )
第19页 页
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s +1 c2 = ( s + 3) ( s + 2)( s + 3)
s = −3
（2）对F（s）的分母多项式进行因式分解、并把 （s）展开 ） （ ）的分母多项式进行因式分解、并把F（ ） 成部分分式
=2
第24页 页
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s +1 1 2 F ( s) = 2 =− + s + 5s + 6 s+2 s+3
− st
单位阶跃函数，记作 单位阶跃函数，记作1( t )
t<0 t≥0
1 L[1(t )] = s
拉氏变换与反变换
机电控制工程所涉及的数学问题较多，经常要解算一些线性微分方程。
按照一般方法解算比较麻烦，如果用拉普拉斯变换求解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转化为代数运算，又能够单独地表明初始条件的影响，并有变换表可查找，因而是一种较为简便的工程数学方法。
拉普拉斯变换的定义如果有一个以时间为自变量的实变函数，它的定义域是，那么的拉普拉斯变换定义为式中，是复变数，（σ、ω均为实数），称为拉普拉斯积分；是函数的拉普拉斯变换，它是一个复变函数，通常也称为的象函数，而称为的原函数；L是表示进行拉普拉斯变换的符号。
式（）表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件下，它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等价的复变函数。
几种典型函数的拉氏变换1.单位阶跃函数的拉氏变换单位阶跃函数是机电控制中最常用的典型输入信号之一，常以它作为评价系统性能的标准输入，这一函数定义为单位阶跃函数如图所示，它表示在时刻突然作用于系统一个幅值为1的不变量。
单位阶跃函数的拉氏变换式为当，则。
所以（）图单位阶跃函数2.指数函数的拉氏变换指数函数也是控制理论中经常用到的函数，其中是常数。
令则与求单位阶跃函数同理，就可求得（）3.正弦函数与余弦函数的拉氏变换设，，则由欧拉公式，有所以）同理）4.单位脉冲函数δ(t)的拉氏变换单位脉冲函数是在持续时间期间幅值为的矩形波。
其幅值和作用时间的乘积等于1，即。
如图所示。
图单位脉冲函数单位脉冲函数的数学表达式为其拉氏变换式为此处因为时，，故积分限变为。
5.单位速度函数的拉氏变换单位速度函数，又称单位斜坡函数，其数学表达式为见图所示。
图单位速度函数单位速度函数的拉氏变换式为利用分部积分法令则所以当时，,则（）6.单位加速度函数的拉氏变换单位加速度函数的数学表达式为如图所示图单位加速度函数其拉氏变换式为（）拉氏变换的主要定理根据拉氏变换定义或查表能对一些标准的函数进行拉氏变换和反变换，但利用以下的定理，则对一般的函数可以使运算简化。
拉氏变换及拉氏反变换
t dt 1 ，且δ(t)有如下
t f t dt f 0
式中f(0)——t=0时刻的f(t)的函数值。
由拉氏变换的定义得
L t t e st dt e st
0
t 0
1
2.2.2 几种典型函数的拉氏变换
L f at
1 s F a a
2.2.3 拉氏变换主要定理
微分定理
设f(n)(t)表示f(t)的n阶导数，n=1，2，3，……正整数， f(t)的拉氏变换为F(s)，则
L f t s F s sf 0 f 0
F s
s 1 s 1 k k 1 2 s 2 5s 6 s 2s 3 s 2 s 3
s 1 s 2 s 1 1 k1 s 2s 3 s 2 s 3 s 2 s 1 s 3 s 1 2 k2 s 2s 3 s 3 s 2 s 3 2 1 1 1 2 f t L1 F s L1 L1 L 2e 3t e 2t s 2 s 3 s 2 s 3
拉氏变换亦与此相似，即把微分方程变换为代数方程 求解。
2.2.1 拉氏变换的定义
定义
对于时间函数f（t），如果满足
当t<0时，f（t）=0； 当t≥0时，实函数f（t）的积分
f t e
0
st
dt 在s的某一域内收敛，则定义f（t）的拉氏变换
为
F s f t e st dt
拉氏变换及反变换
1 当n＝1， ℒ [t ] 2 ； s 2 2 当n＝2， ℒ [t ] 3 ； s
依次类推， 得 ℒ
机械工程控制基础
常 用 函 数 的 拉 普 拉 斯 变 换 表 δ(t) δ(n)(t) u(t) t tn e-at te-at tne-at e-jwt 1 sn 1/s 1/s2
1
t 0
区间的函数式
1 t ] e ( t 0) ℒ [ s
机械工程控制基础
2.3
一、线性性质
拉普拉斯变换及反变换
拉普拉斯变换的基本性质
若 ℒ [f1 (t )] F1 ( s ) , ℒ [f 2 (t )] F2 ( s )
则 ℒ [a f1 (t ) b f 2 (t )] aF1 ( s ) bF2 ( s )
at
] e e dt
at st 0
1 ( s a )t e sa
0
1 sa
j t
1 ] s j
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3. f (t ) (t ) （单位脉冲函数）
0 (t 0) (t ) (t 0)
δ(t)
s s
1 s 1 sa
由终值定理得
f () lim sF ( s) lim
s 0 s 0
1 s 0 sa
机械工程控制基础
七、时域卷积性 ： 8时域卷积性
L 若f1 (t ) F1 ( s ), f 2 (t ) F2 ( s ) L 则f1 (t ) f 2 (t ) F1 ( s ) F2 ( s )
t
f () lim f (t ) lim sF ( s)
附-拉氏变换与拉氏反变换_图文
件求解微分方程的方法------拉氏变换法。
2、 拉普拉斯变换的定义
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设有一时间函数f(t) [0,∞] 或 0≤t≤∞单边
函数，且积分
在s的某一域内收敛，则
由此积分所确定的函数可记为：
式中：s = + jω (复数)，称为复频率或拉氏算
子
f(t) 称为原函数，是 t 的函数。 F(s) 称为象函数，是s 的函数。
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b)拉氏变换和拉氏反变换可以利用公式和图表简 化其运算，而不必求上述积分运算。
3、拉氏变换存在定理
若函数f(t)满足下列条件， 1）当t ＜0时，f(t)=0； 2）f(t)是连续的或只有有限个极值点，并且能找 到适当的s=σ +jω 值，使下述积分存在。
控制工程中常见的一些函数一般都能满足上述条件。
利用此定理可求信号的稳态值。
例如：求信号
的稳态值。
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拉氏变换的基本性质（1）
线性
微分 积分
时移 频移
四、拉普拉斯反变换
1、一般公式
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上式可由傅里叶变换推导而得，是由F(s)求 f(t)的一般公式，右边积分称为拉氏反演积分，是 一种复变函数积分，计算较困难，但当F(s)满足一 定条件时，可以用留数的方法来计算这个反演积 分，特别当F(s)为有理函数时，就是将F(s)展开为 部分分式，再利用 拉氏变换表确定其原 函数。
，则上式右边只
若对上式对s求 右边只剩下
次导，并令 。
，则上式
解：
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自测题：
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五、利用拉氏变换求解常系数微分方程
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第3讲 拉氏反变换
用拉氏变换解常系数线性微分方程
第一章 绪论
§2.2 拉氏变换及反变换
第一章 绪论
§2.2 拉氏变换及反变换
(s 2)(s 3) F ( s) s 1
练习：
第一章 绪论
§2.2 拉氏变换及反变换
（2）有共轭复数极点。
[ F ( s)( s s1 )(s s2 )]|ss1 ( s s2 ) (k1s k2 ) |s s1 ( ss2 ) k3 F ( s)( s s3 ) |s s 3 kn F ( s)( s sn ) |s s n
第一章 绪论
§2.2 拉氏变换及反变换
解
第一章 绪论
§2.2 拉氏变换及反变换
f (t ) L
1
F (s) 1 e
0.5t
3 3 0.5t 3 cos t e sin t 2 3 2
第一章 绪论
§2.2 拉氏变换及反变换
解
2( s 1) 10 F ( s) 2 ( s 1) 4 ( s 1) 2 4 2( s 1) 2 5 ( s 1) 2 4 ( s 1) 2 4 f (t ) 2e t cos 2t 5e t sin 2t
复
习
求系统的微分方程 拉氏变换的求法 拉氏变换的性质
第一章 绪论
§2.2 拉氏变换及反变换
二、拉氏反变换及其计算方法
1.定义
2.计算方法 查表法与部分分式法相结合的方法。
第一章 绪论
§2.2 拉氏变换及反变换
（1）极点为互不相同的的实数。
第一章 绪论
§2.2 拉氏变换及反变换
第一章 绪论
§2.2 拉氏变换及反变换
2.2拉氏变换及反变换
n 1
x
s
n!
n 1
应记住的 一些简单函数的 拉氏变换
原函数 1t
t
象函数 1 s
e
1t
1 s -
sin t 1 t cos t 1 t
n
s
2 2
s s
2 2
t
1t
dt
s
e
s t
0
s
3、正弦函数 和余弦函数
根据欧拉公式：
j
sin t 1 t cos t 1 t
e
j
cos j sin cos j sin
sin 则 cos
1 , 0 t t0 lim t t 0 0 t 0 0 , t 0或 t t0
1 t0
1t 1t t 0 1 1 t 1 t t 0 解： t lim lim0 t0 0 t0 t0 t0 t0
s 0
使 用 条 件 ：x t 的 终 值 存 在 ， 即 x t 有 稳 态 解 。
例 ：求
lim s in t
t
当 t 时 ，s in t 的 值 也 始 终 在 1 之 间 不 定
s in t 无 终 值 。
例2-1 求单位脉冲函数的象函数
1 1 1 2 s j s j
2
4 .幂函数
设 ( ) 则 ( n 1)
n
t
e
x
1t
0
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拉普拉斯变换与拉普拉斯反变换
自动控制系统所涉及的数学问题较多，经常要结算一些线性微分方程。
按照一般方法解算比较麻烦，如果用拉普拉斯变换求解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转化为代数运算，又能够单独地表明初始条件的影响，并有变换表可查找，因而是一种较为简便的工程数学方法。
1、拉普拉斯变换（简称拉氏变换）的定义
如果有一个以时间 t 为自变量的实变函数()f t ，它的定义域是 0t ≥，那么
()f t \的拉普拉斯变换定义为
()[()]
()st F s L f t f t e dt ∞
-=⎰
（1）
式中， s 是复变数， s j σω=+（σ、ω均为实数），0
st e ∞-⎰称为拉普拉斯积分； ()F s 是函数()f t 的拉普拉斯变换，它是一个复变函数，通常也称()F s 为()f t 的象函数，而称()f t 为()F s 的原函数；L 是表示进行拉普拉斯变换的符号。
式（1）表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件下，它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等价的复变函数()F s 。
所以，拉氏变换得到的是复数域内的数学模型。
2、几种典型外作用函数的拉氏变换
（1）单位阶跃函数1()t 的拉氏变换
(0)1()
1
()
t t t <⎧⎨≥⎩
拉氏变换得
001
()[1()]1()st st
F s L t t e dt e s
∞
--∞
===-⎰
当Re()0s >，则lim 0st
t e
-→∞
→。
所以
1
11
[1()][0()]st
L t e s
s s
-∞=-=--=
（2）单位脉冲函数()t δ的拉氏变换
[()]1L t δ=
（3）单位斜坡函数t 的拉氏变换
0(0)()(0)
t f t t
t <⎧=⎨
≥⎩
拉氏变换式0
()st F s te dt ∞
-=⎰
利用分部积分法
[]0
udv uv vdu ∞
∞
=-⎰
⎰
令
,st t u e dt dv -==
则
1,
st dt du v e s
-==-
所以
001()st st t F s e e dt s s ∞
∞--⎡⎤⎛⎫
=--- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭
⎰
当Re()0s >时，lim 0st t e -→∞
→,则
2011()0st F s e dt s s
∞-=+=⎰
（4）单位加速度函数的拉氏变换
2
0(0)()1(0)
2
t f t t t <⎧⎪=⎨≥⎪⎩
其拉氏变换式为
2311
()()2F s L t s
==
通常并不根据定义来求解象函数和原函数，而可从拉氏变换表（书P32-33）中直接查出。
3、拉氏变换的主要定理（书P31表2-2）
根据拉氏变换定义或查表能对一些标准的函数进行拉氏变换和反变换，但
利用以下的定理，则对一般的函数可以使运算简化。
在计算中经常用到的定理是微分定理：设()[()],F s L f t =则有
()()(0)df t L sF s f dt ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦
，式中(0)f 是函数()f t 在0t =时的值。
若初始值(0)0f =，则()()df t L sF s dt ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦。
同理，函数()f t 的高阶导数的拉氏变换为
12(1)()()(0)(0)(0)n n
n n n n
d f t L s F s s f s f f dt ---⎡⎤=----⎢⎥⎣⎦
显然，如果原函数()f t 及其各阶导数的初始值都等于零，则原函数()f t 的n 阶导
数的拉氏变换就等于其象函数()F s 乘以n
s ，即()()n n n
d f t L s F s dt ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
3、拉普拉斯反变换（简称拉氏反变换）
拉普拉斯反变换的公式为
()[]⎰∞
+∞
--==j j 1
d e )(πj 21)(c c st s s F s F L t f
式中 1
-L ——表示拉普拉斯反变换的符号
通常用部分分式展开法将复杂函数展开成有理分式函数之和，然后由拉氏变换表一一查出对应的反变换函数，即得所求的原函数()f t 。
所以，拉氏反变换得到的是时域的数学模型。
部分分式展开法：
在控制理论中，常遇到的象函数是的有理分式（n m ≥）
为了将()F s 写成部分分式，首先将()F s 的分母因式分解，则有
式中， ， ，…， 是的根的负值，称为()F s 的极点，
按照这些根的性质，可分为以下几种情况来研究。
1. F (s )的极点为各不相同的实数时的拉氏反变换
式中， 是待定系数，它是 处的留数，其求法如下
lim()()()()
i
i
i i i s p s p A s p F s s p F s =-→=+=+
再根据拉氏变换的迭加定理，求原函数
例： 求的原函数。
解: 首先将 的分母因式分解，则有
即得
2. F (s )含有共轭复数极点时的拉氏反变换
如果()F s 含有共轭复数极点，可将分母配成二项平方和的形式，并作为一个整体来求原函数。
例1 求2
20
()413
F s s s =
++的原函数。
解：22
203
203()413(2)9F s s s s ⨯==++++，然后由拉氏变换表查出对应的反变换函数，即得所求的原函数()f t ，220()sin 33
t
f t e t -=
例2 求220
()(1)(413)
F s s s s =
+++的原函数。
解：22202()(1)(413)1(413)
as b
F s s s s s s s +=
=+++++++，通分可求得系数2,3a b =-=-，
故22222
22(3)22(2)23()1(413)1(2)33(2)3
s s F s s s s s s s -++=
+=--⨯++++++++，查表可得所求的原函数()f t ，21
()22(cos3sin 3)3
t
t
f t e e
t t --=-+。
3. F (s )中含有重极点的拉氏反变换
例 求的拉氏反变换。
解: 将展开为部分分式
上式中各项系数为
于是
查拉氏变换表，得
4、应用拉氏变换解线性微分方程
应用拉氏变换解线性微分方程时，采用下列步骤：
(1) 对线性微分方程中每一项进行拉氏变换，使微分方程变为 s 的代数方程； (2) 解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式； (3) 用拉氏反变换得到微分方程的时域解。
22
()()
22()()d c t dc t c t r t dt dt
++=
例：已知系统的微分方程
22()()
32()2()d c t dc t c t r t dt dt
++=，初始条件分别为0)0(c
)0(c == 和1)0(c -=、0)0(c = 时系统在输入)t (1)t (r =作用下的输出)t (c 。
解：1、当初始条件c(0)c(0)0==时，应用微分定理可得 2
s C(s)3sC(s)2C(s)2R(s)++= 1121
C(s)s(s 1)(s 2)s s 1s 2
=
=-+++++
拉氏反变换可得： t
2t
c(t)12e e
--=-+
2、 当初始条件得时，由)t (2r )t (2c )t (c 3)t (c 0)0(c
,1)0(c =++=-= )s (2R )s (2C )0(3c )s (3sC )0(c )0(sc )s (C s 2
=+-+-- （应用高阶导数的拉氏变换得到）
代入初始条件得：2
s 2
1s 4s 1)2s )(1s (s 3s s 2)s (C 2+++-=++--=
拉氏反变换可得：2t t
2e 4e
1)t (c --+-=。