拉氏变换逆变换
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拉氏逆变换
• 例4
如图。设输入电压为
1, 0 ≤ t < T u0 (t ) = t ≥T 0,
• 求输出电压uR(t)（电容C在t=0时不带电）。
C
u0(t)
i
R
uR
布置作业：
பைடு நூலகம்
• P49: 2. 5. 6. 8. 11. • P54: 1(3)(5). 2(1).
• 求法：由性质，适当结合查表及部分分式 第七节 拉氏逆变换 分解法求拉氏逆变换。 • 性质1（线性性质）
L [a1 F1 ( p ) + a2 F2 ( p )]
−1
= a1 L [ F1 ( p )] + a2 L [ F2 ( p)]
−1
−1
= a1 f1 (t ) + a2 f 2 (t )
• 例1 求象函数的拉氏逆变换： 1 • (1) F ( p) = (2) F ( p ) =
p+3
1 ( p − 2) 3
• (3)
2p −5 F ( p) = p2
4p −3 (4) F ( p) = 2 p +4
• 例2 • 例3
2p +3 求 F ( p) = 2 的逆变换。 p −2p +5
步骤总结：
常系数线性 微分方程 作拉氏变换 象函数的 代数方程 解 代 数 方 程 拉氏 变换 象函数
象原函数（微 分方程的解）
• 例2 求微分方程 • 满足初始条件 y ( 0 ) = 2 , y ′( 0 ) = − 1 的解。
′′ − 3 y ′ + 2 y = 2 e − t y
x′′ − 2 y′ − x = 0 • 例3 求 满足初始条 x′ − y = 0 • 件 x ( 0 ) = 0, x ′( 0 ) = 1, y ( 0 ) = 1 的解。
积分变换第7讲拉氏逆变换
b - j
k 1 ssk
最常见的情况, 是函数F(s)是有理函数, 即
F (s)
am s m bn s n
am-1sm-1 a1s a0 bn-1sn-1 b1s b0
amsm am-1sm-1 a1s a0 bn (s - s1)(s - s2 )(s - sn )
-
sk
)
c1 ( s
-
sk
)2
再令两边取s sk的极限,得
c-1
Res
ssk
A(s) B(s)
est
lim
ssk
(s
-
sk
)
A(s) B(s)
est
一阶极点处留数的求法
而极限
lim
ssk
(s
-
sk
)
A(s) B(s)
est
lim
ssk
A(s) B(s) - B(sk
)
est
s - sk
(t)
A(j k ) B(j k )
e jkt
A(- jk) B(- jk)
e- jkt
k 2 jk
e jkt
k -2 jk
e- jkt
sin
kt,
t
0
如方程B(s)=0有一个二重根s1, 称s1为B(s)的二 阶零点, 也是F(s)est的二阶极点, 这时F(s)est在 s=s1处可展开为罗朗级数, 其形式为:
C k 1
即
1
2
j
b
jR
F
(
s)
e
std
s
b - jR
CR F (s) estd s
n
Res
拉普拉斯变换及反变换
0
t
重要性质
( t ) f ( t ) dt f ( 0 )
( t ) dt ( t ) dt 1
0
0
L[ ( t )]
(t ) e
st
0
dt ( t ) e
st
dt 1
第7页
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（5）指数函数
f (t )
控制工程基础
f (t )
（k =const）
0 2 f ( t ) kt 1( t ) 1 2 kt t 2 2 1
0
t0
t
t0
0
t
F ( s ) L [ f ( t )]
（ b）
跃函数
坡 函 kt 斜 2 数
0
1
2
e
st
dt
k s
3
F s
的原函数；L是表示进行拉氏变换的 符号。
第2页
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控制工程基础
F ( s ) L [ f ( t )]
f ( t ) L [ F ( s )]
拉氏变换是这样一种变换，即在一定的 条件下，它能把一实数域中的实变函数 f t 变换为一个在复数域内与之等价的 复变函数 F s 。
控制工程基础
2）当解出s有重根时，对F(s)作因式分解：
F (s) br ( s p1 )
r
b r 1 ( s p1 )
r 1
b1 ( s p1 )
r
a r 1 ( s p r 1 )
t
重要性质
( t ) f ( t ) dt f ( 0 )
( t ) dt ( t ) dt 1
0
0
L[ ( t )]
(t ) e
st
0
dt ( t ) e
st
dt 1
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（5）指数函数
f (t )
控制工程基础
f (t )
（k =const）
0 2 f ( t ) kt 1( t ) 1 2 kt t 2 2 1
0
t0
t
t0
0
t
F ( s ) L [ f ( t )]
（ b）
跃函数
坡 函 kt 斜 2 数
0
1
2
e
st
dt
k s
3
F s
的原函数；L是表示进行拉氏变换的 符号。
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控制工程基础
F ( s ) L [ f ( t )]
f ( t ) L [ F ( s )]
拉氏变换是这样一种变换，即在一定的 条件下，它能把一实数域中的实变函数 f t 变换为一个在复数域内与之等价的 复变函数 F s 。
控制工程基础
2）当解出s有重根时，对F(s)作因式分解：
F (s) br ( s p1 )
r
b r 1 ( s p1 )
r 1
b1 ( s p1 )
r
a r 1 ( s p r 1 )
拉氏反变换 课件
t 0 0 τ
t
该定理说明，在时间域的平移变换在复数域有对应的 该定理说明， 衰减变换。 衰减变换。
求如图所示周期锯齿波信号的拉氏 变换。 变换。
f(t)
该信号为周期信号。 解： 该信号为周期信号。若已知 信号第一周期的拉氏变换为 (s)，则应用延迟定理， F1(s)，则应用延迟定理， 有
T = 0.5sec
3、单位斜坡信号
单位阶跃信号的数学表达式为
t,t ≥ 0 f (t ) = 0,t < 0
f(t)
简写为
f ( t ) = t ⋅ 1( t )
0 t
利用分部积分公式, 利用分部积分公式, 变换为
∞ − st
可求得拉氏
∞
1 1 − st [te − st L[t ⋅ 1(t )] = ∫ t ⋅ e dt = t ⋅ d( e ) = − s 0∫− −s 0−
t 0 T
F ( s ) = F1 ( s ) + e − Ts F1 ( s ) + e − 2 Ts F1 ( s ) + L = F1 ( s )( 1 + e − Ts + e − 2 Ts + L ) 1 = ⋅ F1 ( s ) − Ts 1− e
锯齿波信号第一周期的拉氏变换为
1 2 × 0.25 −0.5s 1 −0.5s 1 − 0.5s ⋅ e−0.25s − e−0.5s F1 ( s) = 2 − e − 2e = s s s s2
−1
这是复变函数的积分，计算复杂，极少采用。 这是复变函数的积分，计算复杂，极少采用。 常用方法----部分分式法。 常用方法----部分分式法。 ----部分分式法
理由： 理由： 工程中常见的时域信号f(t)的拉氏变换F(s) f(t)的拉氏变换F(s)都 工程中常见的时域信号f(t)的拉氏变换F(s)都
拉氏变化及反变换
0
t 0
1
2 单位阶跃函数
f (t )
1
0, t 0 1(t ) 1, t 0
0
t
L[1(t )]
0
1 st 1 1(t )e dt e 0 s s
st
3 单位斜坡函数
f (t )
f (t )
0, t 0 f (t ) t, t 0
1 1 1(t ) 1(t T ) T T
L[ f (t )]
1 1 sT 1 e (1 e sT ) Ts Ts Ts
T T f (t ) f1 (t ) f1 (t ) f1 (t ) f1 (t T ) 2 2 4 4 T 4 T 4 2 t 2 (t ) 2 (t ) 2 (t T ) T T 2 T 2 T
1 jt sin t (e e jt ) 2j
st
Hale Waihona Puke e j cos j sin e j cos j sin
L[sin t ] sin t e dt
0
0
1 jt jt st e e e dt 2j
10.像函数的微分性质
设L[ f (t )] F (s)
dF ( s) Ltf (t ) ds
11.像函数的积分性质
设L[ f (t )] F (s)
1 L f (t ) F ( s)ds t s
例 求图示方波和三角波的拉氏变换
方波： f (t ) f1 (t ) f1 (t T )
1 1 1 s 2 2 s j s j s 2
t 0
1
2 单位阶跃函数
f (t )
1
0, t 0 1(t ) 1, t 0
0
t
L[1(t )]
0
1 st 1 1(t )e dt e 0 s s
st
3 单位斜坡函数
f (t )
f (t )
0, t 0 f (t ) t, t 0
1 1 1(t ) 1(t T ) T T
L[ f (t )]
1 1 sT 1 e (1 e sT ) Ts Ts Ts
T T f (t ) f1 (t ) f1 (t ) f1 (t ) f1 (t T ) 2 2 4 4 T 4 T 4 2 t 2 (t ) 2 (t ) 2 (t T ) T T 2 T 2 T
1 jt sin t (e e jt ) 2j
st
Hale Waihona Puke e j cos j sin e j cos j sin
L[sin t ] sin t e dt
0
0
1 jt jt st e e e dt 2j
10.像函数的微分性质
设L[ f (t )] F (s)
dF ( s) Ltf (t ) ds
11.像函数的积分性质
设L[ f (t )] F (s)
1 L f (t ) F ( s)ds t s
例 求图示方波和三角波的拉氏变换
方波： f (t ) f1 (t ) f1 (t T )
1 1 1 s 2 2 s j s j s 2
拉氏逆变换
令 j s 有
f t
2 j
1
j
j
F s e ds. t 0
st
这就是从象函数F s 求它的象原函数f t 的一般公 式，右端的积分称为拉氏反演积分。
2
F s f t e dt和 0 1 j st f t F s e ds. t 0 2 j j 构成了一对互逆的积分变换公式，也称f t 和F s
n
t 0……2
11
公式1 和2 都称为和赫维赛德 Heaviside 展开式。 s 例1.求F s 2 的逆变换。 s 1 解： B s s2 1有两个单零点： s1 j、s2 j
则由公式有： s st s st s 1 e e f t L 2 2s s j 2s s 1 1 jt e e jt cos t，t 0. 2
5
n
1 jR st st 即 F s e ds F s e ds CR jR 2 j
st Res F s e ，sk . k 1 n
并根据若尔当引理 令R ，
有当t 0时， lim
从而
s j
12
例2.求F s
1 s s 1
2
2
的逆变换.
解： B s s s 1
由公式：
f t
它有：s1 0为单零点，s2 1为二级零点。
1 2 e st 3s 4s 1 d 1 2 st lim s 1 e 2 s 1 ds s s 1 s 0
§ 2.3 拉氏逆变换
拉氏变换与反变换
2.5 拉氏变换与反变换机电控制工程所涉及的数学问题较多，经常要解算一些线性微分方程。
按照一般方法解算比较麻烦，如果用拉普拉斯变换求解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转化为代数运算，又能够单独地表明初始条件的影响，并有变换表可查找，因而是一种较为简便的工程数学方法。
2.5.1 拉普拉斯变换的定义如果有一个以时间 为自变量的实变函数 ，它的定义域是 ，那么 的拉普拉斯变换定义为(2.10)式中， 是复变数， （σ、ω均为实数）， 称为拉普拉斯积分；是函数的拉普拉斯变换，它是一个复变函数，通常也称 为 的象函数，而称为 的原函数；L 是表示进行拉普拉斯变换的符号。
式（2.10）表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件下，它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域与之等价的复变函数。
2.5.2 几种典型函数的拉氏变换1.单位阶跃函数的拉氏变换单位阶跃函数是机电控制中最常用的典型输入信号之一，常以它作为评价系统性能的标准输入，这一函数定义为单位阶跃函数如图2.7所示，它表示在 时刻突然作用于系统一个幅值为1的不变量。
单位阶跃函数的拉氏变换式为t ()t f 0≥t ()t f ()()()0e d stF s L f t f t t ∞-=∆⎡⎤⎣⎦⎰s ωσj +=s ⎰∞-0e st )(s F )(t f )(s F )(t f )(t f )(s F )(s F )(1t ⎩⎨⎧≥<∆)0(1)0(0)(1t t t 0=t当 ，则 。
所以（2.11）图2.7 单位阶跃函数2.指数函数的拉氏变换指数函数也是控制理论中经常用到的函数，其中 是常数。
令则与求单位阶跃函数同理，就可求得（2.12）3.正弦函数与余弦函数的拉氏变换设，，则0e 1d e )(1)](1[)(0∞-===-∞-⎰stst st t t L s F 0)Re(>s 0e lim →-∞→st t []s s s t L st 1)1(00e 1)(1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∞-=-由欧拉公式，有所以(2.13）同理(2.14）4.单位脉冲函数 δ(t ) 的拉氏变换单位脉冲函数是在持续时间期间幅值为的矩形波。
拉普拉斯反变换
1
p 1 p
2
求拉氏反变换
(1). e
2 ( p 2 )
解：
1 p
(t )
2 ( p 2 )
1 p
e
2 p
( t 2)
2t
p2
p
3 p
e
( 2).
(1 e
)(1 e p
p2
1 e
( t 2) e
p
)
F ( p)
e
3 p
2
2
k22 ( p 2 j1)
4
k11 ( p 2 j1) F ( p )
k12 d dp
2
p 2 j 1
2 4
j
e
1 4 e
[( p 2 j1) F ( p )]
2t
j
2
p 2 j 1
f (t ) [
1 2
te
cos(t
k21 ( p j )
2
k22 ( p j )
N1 ( p) D1 ( p )
系数求得后，可用求得其反变换。由于
可以证明， 21 K11 , K 22 K12 K
设K11 | k11 | e
L [
1
j 1 1
K 22 | k22 | e
] K 22 e
例：求原函数
F ( p)
p 1 [( p 2) 1]
2 2
解：D( p ) 0的根有二重根 1, 2 2 j1, 故F ( p )可展开为 p
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K0 K1 K2 s 2 s 1 j2 s 1 j2
2015-1-14 信号与系统
K 0 ( s 2) F ( s) s 2
s2 3 7 2 s 2s 5 s 2 5 s2 3 ( s 1 j 2)(s 2) s 2
s2 s 2 例：已知F ( s) 3 ，求f (t ) 2 s 3s 2s
f (t ) (1 2et 2e2t )u(t )
2015-1-14 信号与系统
s 3 5s 2 9 s 7 例：已知F ( s) ，求f (t ) ( s 1)(s 2)
2015-1-14
信号与系统
3.极点有重根
m重根极点对应展开式中的m项分式
设s p1为m重极点 k1m A( s) k11 k12 F ( s) m m 1 B( s) ( s p1 ) ( s p1 ) s p1
3 例：F ( s) , 求f (t ) 3 2 ( s 1) s
3 2 t f (t ) (9e 6te t e 9 3t )u (t ) 2
t t
2理求解
留数定理：若函数g(s)在闭合区域中除有限个奇点外 处处解析，则有：
g ( s)ds 2j [ g ( s)的留数]
c
1 1 j st f (t ) F ( s ) e ds j 2j 1
2015-1-14
信号与系统
1.极点为实数且无重根
A( s) A( s) F ( s) B( s) ( s p1 )(s p2 )...(s pn ) kn k1 k2 ... s p1 s p2 s pn 系数的求解方法：k j ( s p j ) F ( s) |s p j
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信号与系统
2s 2 3s 3 例：F ( s) , 用留数法求 f (t ) ( s 1)(s 2)(s 3)
解： r1 [(s 1) F ( s)e st ] |s 1 e t
r2 [(s 2) F ( s)e ] |s 2 5e
先求解系数k1然后在利用待定系数法确定： k2和k3
2 2 4 5 s2 5 ( s 1) 5 2 7 1 7 1 2 5 s 2 ( s 1) 4 5 s 2 ( s 1) 2 4
f (t )
7 2 t 2 t 4 e e cos( 2t )u (t ) e t sin( 2t )u (t ) 5 5 5
t
(t 0)
2015-1-14
信号与系统
四、求解过程中注意灵活利用性质求解
se 例： (1) F ( s ) 2 s 5s 6 1 (2) F ( s ) 2 2 ( s 3)
1 (3) F ( s ) ln s s
5 s
s (4) F ( s ) s 1 e
A( p1 ) k1 ( s j ) F ( s ) |s j 2 jB1 ( p1 ) A( p1*) k 2 ( s j ) F ( s ) | s j k1 * 2 jB1 ( p1*)
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4.4 拉普拉斯逆变换
利用拉普拉斯变换法分析连续系统时，最后都需要 求象函数的逆变换，得到信号的时域形式。因此拉普拉 斯逆变换在求解系统相应及系统分析中是非常重要的一 个环节。要求要熟练掌握。
1 j st f (t ) F ( s)e ds 2j j
拉普拉斯逆变换可以按照逆变换的定义式进行求 解（留数法），实际中也可以采用其他一些简便的方 法求解。
设k1 c jd , 则k2 c jd c jd c jd F ( s) s j s j
反变换式中会出现振荡的形式：
f (t ) k1e( j )t k2 e( j )t 2e t [c cos t d sin t ]
实际中出现共轭极点时也可以采用如下展开法：
设k1 c jd , 则k2 c jd c jd c jd F ( s) s j s j A1s A2 2 2 (s )
利用待定系数法确定系 数A1和A2
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A B
1 st F ( s ) e ds 2j c Res[F ( s)e ]
st
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C
留数求解公式：
pi为一阶极点：ri ( s pi ) F ( s )e st |s pi 1 d k 1 k st pi为k阶极点：ri [( s p ) F ( s ) e ] | s pi i k 1 (k 1)! ds
信号与系统
2015-1-14
2015-1-14 信号与系统
一、查表法
一些典型信号的逆变换可以借助于附表进行查询得到。
s 2 3s 1 (1) F ( s) s 1
1 解：F ( s) s 2 s 1 f (t ) ' (t ) 2 (t ) e t (t 0)
2s 2 9s 18 (2) F ( s) 2 s 4s 8
2015-1-14 信号与系统
作业：
4-4: (4)(8)(12)(14)(16)(19)(20) 4-5
预习4-5 4-6 节
2015-1-14
信号与系统
例题求解
例：求下示函数的逆变 换 s2 3 F ( s) 2 ( s 2s 5)(s 2)
s2 3 解：F ( s) [(s 1) 2 4](s 2) s2 3 ( s 1 j 2)(s 1 j 2)(s 2)
f (t ) ILTF (s) 2 (t ) e2t cos2t u(t )
2015-1-14 信号与系统
二、部分分式分解法
（要求熟练掌握的一种方法）
原函数的象函数一般都是有理分式的形式：
A(s) am s am1s ... a1s a0 F ( s) B( s ) bn s n bn1s n1 ... b1s b0
2015-1-14 信号与系统
例：求下示函数的逆变 换 s2 3 F ( s) 2 ( s 2s 5)(s 2)
7 2t 2 t 1 f (t ) e 2e cos(2t ) sin(2t ) u (t ) 5 5 5
2015-1-14
信号与系统
st 2t
r3 [(s 3) F ( s)e st ] |s 3 6e 3t
f (t ) e 5e
2015-1-14
t
2t
6e (t 0)
3t
信号与系统
s2 例：已知F ( s) , 用留数定理求f (t ) 2 s( s 1)
s 2 st e |s 0 2 解：r1 2 ( s 1) d s 2 st t r2 e ( 2 t )e ds s s 1 f (t ) 2 (2 t )e
f (t ) (t ) 2 (t ) (2e e )u(t )
t 2t
2015-1-14
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2.极点为共轭复根
设共轭复根为：p1, 2 j A( s ) 即：F ( s ) ( s j )(s j ) B1 ( s ) k1 k2 A1 ( s ) s j s j B1 ( s )
2 s 3 重新求解上例： F ( s ) ( s 2 2s 5)(s 2) k 2 s k3 k1 2 s 2 s 2s 5
先求解系数k1然后在利用待定系数法确定： k2和k3
7 2 t 2 t 4 t f (t ) e e cos( 2t )u (t ) e sin( 2t )u (t ) 5 5 5
K1 ( s 1 j 2) F ( s) s 2 1 j2 5
7 2 1 f (t ) e 2t 2e t cos(2t ) sin(2t ) u (t ) 5 5 5
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2 s 3 重新求解上例： F ( s ) ( s 2 2s 5)(s 2) k 2 s k3 k1 2 s 2 s 2s 5
m
m 1
系数ai 和bi 都为实数，m和n是正整数； 通常情况下： bn 1 A(s) 0 z1 , z2 ...zm 零点
B(s) 0 p1 , p2 ...pn 极点
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对有理真分式可以进行部分分式展开，形成多 个简单分式的和；
对有理假分式可以首先进行化简，化作为： 有理假分式＝ P(S)＋真分式 对多项式P(S)直接进行逆变换，对真分式进行部分分 式展开。 对有理真分式进行部分分式展开的按照极点的 不同特点，有不同的展开方法。
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K 0 ( s 2) F ( s) s 2
s2 3 7 2 s 2s 5 s 2 5 s2 3 ( s 1 j 2)(s 2) s 2
s2 s 2 例：已知F ( s) 3 ，求f (t ) 2 s 3s 2s
f (t ) (1 2et 2e2t )u(t )
2015-1-14 信号与系统
s 3 5s 2 9 s 7 例：已知F ( s) ，求f (t ) ( s 1)(s 2)
2015-1-14
信号与系统
3.极点有重根
m重根极点对应展开式中的m项分式
设s p1为m重极点 k1m A( s) k11 k12 F ( s) m m 1 B( s) ( s p1 ) ( s p1 ) s p1
3 例：F ( s) , 求f (t ) 3 2 ( s 1) s
3 2 t f (t ) (9e 6te t e 9 3t )u (t ) 2
t t
2理求解
留数定理：若函数g(s)在闭合区域中除有限个奇点外 处处解析，则有：
g ( s)ds 2j [ g ( s)的留数]
c
1 1 j st f (t ) F ( s ) e ds j 2j 1
2015-1-14
信号与系统
1.极点为实数且无重根
A( s) A( s) F ( s) B( s) ( s p1 )(s p2 )...(s pn ) kn k1 k2 ... s p1 s p2 s pn 系数的求解方法：k j ( s p j ) F ( s) |s p j
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2s 2 3s 3 例：F ( s) , 用留数法求 f (t ) ( s 1)(s 2)(s 3)
解： r1 [(s 1) F ( s)e st ] |s 1 e t
r2 [(s 2) F ( s)e ] |s 2 5e
先求解系数k1然后在利用待定系数法确定： k2和k3
2 2 4 5 s2 5 ( s 1) 5 2 7 1 7 1 2 5 s 2 ( s 1) 4 5 s 2 ( s 1) 2 4
f (t )
7 2 t 2 t 4 e e cos( 2t )u (t ) e t sin( 2t )u (t ) 5 5 5
t
(t 0)
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四、求解过程中注意灵活利用性质求解
se 例： (1) F ( s ) 2 s 5s 6 1 (2) F ( s ) 2 2 ( s 3)
1 (3) F ( s ) ln s s
5 s
s (4) F ( s ) s 1 e
A( p1 ) k1 ( s j ) F ( s ) |s j 2 jB1 ( p1 ) A( p1*) k 2 ( s j ) F ( s ) | s j k1 * 2 jB1 ( p1*)
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4.4 拉普拉斯逆变换
利用拉普拉斯变换法分析连续系统时，最后都需要 求象函数的逆变换，得到信号的时域形式。因此拉普拉 斯逆变换在求解系统相应及系统分析中是非常重要的一 个环节。要求要熟练掌握。
1 j st f (t ) F ( s)e ds 2j j
拉普拉斯逆变换可以按照逆变换的定义式进行求 解（留数法），实际中也可以采用其他一些简便的方 法求解。
设k1 c jd , 则k2 c jd c jd c jd F ( s) s j s j
反变换式中会出现振荡的形式：
f (t ) k1e( j )t k2 e( j )t 2e t [c cos t d sin t ]
实际中出现共轭极点时也可以采用如下展开法：
设k1 c jd , 则k2 c jd c jd c jd F ( s) s j s j A1s A2 2 2 (s )
利用待定系数法确定系 数A1和A2
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A B
1 st F ( s ) e ds 2j c Res[F ( s)e ]
st
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C
留数求解公式：
pi为一阶极点：ri ( s pi ) F ( s )e st |s pi 1 d k 1 k st pi为k阶极点：ri [( s p ) F ( s ) e ] | s pi i k 1 (k 1)! ds
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一、查表法
一些典型信号的逆变换可以借助于附表进行查询得到。
s 2 3s 1 (1) F ( s) s 1
1 解：F ( s) s 2 s 1 f (t ) ' (t ) 2 (t ) e t (t 0)
2s 2 9s 18 (2) F ( s) 2 s 4s 8
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作业：
4-4: (4)(8)(12)(14)(16)(19)(20) 4-5
预习4-5 4-6 节
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例题求解
例：求下示函数的逆变 换 s2 3 F ( s) 2 ( s 2s 5)(s 2)
s2 3 解：F ( s) [(s 1) 2 4](s 2) s2 3 ( s 1 j 2)(s 1 j 2)(s 2)
f (t ) ILTF (s) 2 (t ) e2t cos2t u(t )
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二、部分分式分解法
（要求熟练掌握的一种方法）
原函数的象函数一般都是有理分式的形式：
A(s) am s am1s ... a1s a0 F ( s) B( s ) bn s n bn1s n1 ... b1s b0
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例：求下示函数的逆变 换 s2 3 F ( s) 2 ( s 2s 5)(s 2)
7 2t 2 t 1 f (t ) e 2e cos(2t ) sin(2t ) u (t ) 5 5 5
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st 2t
r3 [(s 3) F ( s)e st ] |s 3 6e 3t
f (t ) e 5e
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t
2t
6e (t 0)
3t
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s2 例：已知F ( s) , 用留数定理求f (t ) 2 s( s 1)
s 2 st e |s 0 2 解：r1 2 ( s 1) d s 2 st t r2 e ( 2 t )e ds s s 1 f (t ) 2 (2 t )e
f (t ) (t ) 2 (t ) (2e e )u(t )
t 2t
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2.极点为共轭复根
设共轭复根为：p1, 2 j A( s ) 即：F ( s ) ( s j )(s j ) B1 ( s ) k1 k2 A1 ( s ) s j s j B1 ( s )
2 s 3 重新求解上例： F ( s ) ( s 2 2s 5)(s 2) k 2 s k3 k1 2 s 2 s 2s 5
先求解系数k1然后在利用待定系数法确定： k2和k3
7 2 t 2 t 4 t f (t ) e e cos( 2t )u (t ) e sin( 2t )u (t ) 5 5 5
K1 ( s 1 j 2) F ( s) s 2 1 j2 5
7 2 1 f (t ) e 2t 2e t cos(2t ) sin(2t ) u (t ) 5 5 5
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2 s 3 重新求解上例： F ( s ) ( s 2 2s 5)(s 2) k 2 s k3 k1 2 s 2 s 2s 5
m
m 1
系数ai 和bi 都为实数，m和n是正整数； 通常情况下： bn 1 A(s) 0 z1 , z2 ...zm 零点
B(s) 0 p1 , p2 ...pn 极点
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对有理真分式可以进行部分分式展开，形成多 个简单分式的和；
对有理假分式可以首先进行化简，化作为： 有理假分式＝ P(S)＋真分式 对多项式P(S)直接进行逆变换，对真分式进行部分分 式展开。 对有理真分式进行部分分式展开的按照极点的 不同特点，有不同的展开方法。